UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GUÍA DE EJERCICIOS: DERIVADAS
1.-
Usando la definición de derivada calcule las siguientes derivadas: a) f ( x)
2.-
b) f ( x)
2x + 1
=
2
= x + 3 x + 5
c) f ( x)
=
Obtenga f ' ( x) para las siguientes funciones: a) f ( x)
x + x
=
x − 23 x b) f ( x) = 3 cos x + 2 sen x sen x + cos x c) f ( x) = sen − cos 16 3 2 d) f ( x) = 1 − x + x (1 − x ) 2 e) f ( x) = x e x ⋅ cos x f) f ( x) = 1 − sen x g) f ( x) = 2e x + ln x h) f ( x)
x
=
j) f ( x)
=
k) f ( x) l) f ( x)
=
Resp: Resp.:
− 3 sen x +
2
− 3 x
−
1 3
−
2 cos x
16 x 2
2 x + x x − 2 x −1 x 2
x
Resp.: 2e
1
+ x
e x (cos x + sen x)
=
i) f ( x)
Resp.:
e
+ sen x
e x
1
x − x + 1 x − 1
=
x
Resp.:
x ⋅ x 2
Resp.: +1
Resp.:
1 + 2 x
−
1 3
2 x 2
2 ( x −1) 2 3 x 2 +1
2 x ⋅ x 2 +1
5
m) f ( x) n) f ( x)
=
(t 2 − 1) ⋅ ( x 3 + 5 ) 2 2
12
= x ⋅ ( x − 1)
2) 3
2 3 7 sen 2 x − sen 2 x 3 7 2 p) f ( x) = 2 cos ec ( x ) o) f ( x)
=
2
⋅ (x +
1
Resp.: (sen x )2 ⋅ cos x
1 −
2
3.-
dy : dx
Derivar implícitamente las expresiones que se indican a) y x − x y b)
sen y
c) y 2
=
= 16
= y cos
Resp.:
( x − y )( x 2 + y 2 )
d) cos( x + y )
= x
e) sen( x + z )
=
Resp.: Resp.:
b) y = xe
Resp.:
= −2
Resp:
−
x 2 2
y sen x + sen y
cos x − x cos y 3 x 2 + y 2 − 2 xy 2 y + x 2 + 3 y 2 1
− 1 − sen( x + y )
[cos( x + z ) + e x ln y ]⋅ y e
− x
cos x 2 sen 2 y
xy' = ( 1 − x 2 ) y
−x
xy' = ( 1 − x ) y
x 2 y' ' −2 xy' +( x 2
c) y = xsenx x
e) y =
+
2 ) y = 0
y' ' + xy' − y = xe x ' ' ' + y' ' + ' + = 0
d) y = e
enx + 2 cos x
dy para las funciones dadas en forma paramétrica. dx
Obtenga a) x
=
a (t − sen t ); y
b) x
=
e 2t ; y
c) x
=
t 3
d) x
=
et cos t ; y
=
+ 3t + 1; y =
Demuestre que y
7.-
Sea f ( x)
=
a (1 − cos t )
=
e −2t
6.-
=
=
t 3
− 3t + 1
et sen t
x 2e x
2
2 3 1 2 x + x 3 2
Sea f ( x)
2
Resp.:
sen t 1− cos t −4 t
Resp.:
−e
Resp.:
3t 2 − 3
Resp,:
sen t + cos t cos t − sen t
3t 2 + 3
satisface la ecuación diferencial
−
d 2 y dx
2
−2
dy dx
+ y =
e x .
x − 1 . Hallar los puntos de la gráfica de f en que la pendiente de
la recta tangente en ese punto sea igual a: Resp: a) x = 12 ∨ x = −1 8.-
x
2 y
Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva: a) y = xe
5.-
x −
y
2 x
−
e − x ⋅ ln y
f) sen x + cos 2 y 4.-
Resp.:
y −
a) 0 b) x
b) –1 =
0∨ x
1 = −2
c) 5. c) x
3 = 2 ∨
x
= −2
ax + b . Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2 x sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 2, 4 ). Resp: a = −2; b = 4 = x +
9.-
Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales las gráficas de los dos polinomios f ( x)
3
= x − c
y g ( x )
2
= x +
misma tangente. 10.-
Demostrar que la recta y
y 11.-
3
2
= x − 6 x + 8 x .
= − x
ax + b se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la Resp.: a = −1; b = 2; c = −1
es tangente a la curva dada por la ecuación
Hallar los puntos de tangencia.
Existe
un
P (0) = P (1)
= −2 ; P ' (0) =
P ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d −1 ; P ' ' (0) = 10 . Calcular a, b, c y d .
polinomio
2
12.-
Mediante derivación implícita, demuestre que si x 3
13.-
Si x
=
e − t ⋅ sen t ; y
=
et ⋅ cos t . Encuentre
dy
.
2
+ y 3 =
tal
2
a 3 entonces y ' =
−3
Resp: e
que:
y x 2 t
14.-
dx ¿En qué punto de la curva y = x x la tangente es paralela a la recta 3 x − y + 6 = 0 ?. Resp: x = 0 ∨ x = 4
15.-
¿Para qué valores de x la gráfica de f ( x) horizontal?.
16.-
¿En qué punto de la curva y
= x
4
=
2 x3 − 3 x 2 − 6 x + 87 tiene una tangente Resp: x = 1.61 ∨ x = −0.61
la recta normal tiene la pendiente 16?. Resp: x
= −
1 4
17.- Si el costo de manufacturar x artículos es C(x) = x 3 + 20 x 2 + 90 x + 15 , halle la función de costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artículo número 50. Resp.: C ' ( 50 ) = 9590 ; C (50) − C ( 49) = 9421 2
18.- Si el costo de producir “q” unidades de un artículo está dado por C ( q ) = q − 50q + 800 , determine el costo marginal para un nivel de producción de 100 unidades. 19.- La demanda semanal de televisores plasmas es: p = 600 − 0.05 x 0 ≤ x ≤ 12.000 Donde p denota el precio en dólares y x la cantidad demandada. La función del costo total semanal vinculada con la producción de estos televisores está dada por: C ( x ) = 0.000002 x 3 − 0.03 x 2 + 400 x + 80000 donde C(x) denota el costo total de producción de x televisores. a) Encuentre la función Ingreso R y la función de Ganancia P b) Encuentre la función de Costo Marginal C’, la función de Ingreso Marginal R’ y la función de ganancia marginal P’.
c) Encuentre la función de Costo Promedio
C asociada a la función de costo C ( x .
d) Encuentra la función de Costo Promedio Marginal
20.- la función de consumo para la economía de Estados Unidos de 1929 a 1941 es: C ( x ) = 0.712 + 95.05 donde C(x) es el gasto personal y x es el ingreso personal, ambos en miles de millones de dólares. Encuentre la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. A esta cantidad se le denomina Propensión marginal al consumo. 21.- Para las siguientes funciones, determine los puntos críticos, indicando si representan máximos, mínimos o ninguno de ellos. a) y b) y
2
= x + 5 x − 1 . 5
Resp: x
2
= x − 20 x + 1 .
Resp: x
3
c) y
= x + 3 x + 1 .
d) y
= − x +
e) y
4
2
= x − 3 x +
0 máx; x
5 2
=
min.
2 min
Resp: no existe máximo ni mínimo.
4x + 2 . 3
=
= −
Resp: x
2.
Resp: x
=
0 no es máximo ni mínimo; x
=
2 max. 3
= 2
min.
22.- Estudie las siguientes funciones, indicando puntos críticos, máximos o mínimos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad, monotonía y gráfica. a) y b) y c) y
x
= =
2
e
− x
+1 2
= x ⋅ e
d) y =
− x
1 x (e − e − x ) 2 − x
23.- Dada la función f ( x) a) b) c) d)
= x ⋅ e
2
determine:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos de f , si es que existen. Puntos de inflexión de f , si existen. Intervalos de concavidad.
24.- Las utilidades de una empresa para los primeros once años de vida están dados por U(t) = 2t 3 36t2 + 162t – 50 donde U: ingreso en $ y t: tiempo en años. Determine: a) El trazado de la gráfica U(t) b) En que años se regístrale mínimo y el máximo de la utilidades Resp: t = 9 ; t = 3 2
25.- Si el costo de producción de q artículos es C (q ) = 14 q + 35q + 25 , y el precio de venta de cada artículo es p = 50 − 12 q , determine: a) La producción que maximiza la Utilidad b) La Utilidad máxima
Resp: 10 artículos Resp: 50 U.M.
26.- Un vendedor de bicicletas ha determinado que el costo anual del inventario “C” depende del número de bicicletas ordenadas “q”, mediante la función:
C ( q )
=
4860 q
+ 15q +
750000
Determinar: a) El número de bicicletas que se deben ordenar para que el costo anual del inventario sea mínimo. Resp: 18 bicicletas b) El valor del costo mínimo. Resp: 750540
27.- Determine el nivel de producción que maximice la ganancia en una empresa en donde las funciones de costo y demanda son : C ( x)
=
3800 + 5 x −
x 2
1000
( No olvidar que Ingreso (x) = x P(x) )
p( x) = 50 −
x
100
Resp: 2250 unidades
28.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:
C ( q ) = 50.000 + 20q + 0.0001q 2 I ( q) = 60q − 0.004q 2 a) Calcule las funciones de costos e ingresos marginales, y calcule cuantas unidades se deben producir para que se tenga que los ingresos marginales sean iguales a los costos marginales. b) Encuentre cuántas unidades maximizan la utilidad. Recuerde que Utilidad = Ingreso – Costo. Compare con la respuesta dada en a). Resp.: a) 4878 b) 4878 29.- Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital: a)
lim
(2 − x) ⋅ e x 3
x → 0
x −1
b) lim x →1
c)
lim
x → 0
d) lim
−
e
x−2
.
Resp: -1/6
−1
x 2 − 1 ln(cos(ax))
ln(cos(bx)) ln x
.
Resp:
x − 1 x ⋅ c tg x − 1 e) lim . x → 0 x 2 x + 2 f) lim 2 x → −2 x − 4 sen x − x g) lim 3
a2 b2
x →1
Resp: -1/3.
x → 0
x
x + c 30.- Aplicando L´Hopital, hallar la constante c de modo que lim x x − c →∞
=
4 Resp: c
=
ln 2
