UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA
CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa ıa No 1 Iv´ an an Vega Los ejercicios dados a continuaci´ on on est´ an tomados del libro de Stewart 6ta ED y del libro de Demidovich. Puede an hacer consulta de las respuestas en cada uno de ellos.
ANTIDERIVADAS 1. Hallar la antiderivada general o particular de las siguientes funciones
f (x) = 5x1/4 a. f (
2 , x 0 1 + x + x2 2 k. f (x) = x + x , 0 < x x 0 , x > 2 donde f (0) f (0) = 1, f (1) (1) = 3. 3.
− 7x3/4
10 x9 2 + x + x2 f (x) = c. f ( 1 + x + x2
f (x) = b. f (
√ x(6 + 5x 5x), g(1) = 10. 10. f (x) = (x + 1)(x 1)(x3 − 2) e. f ( √ (1/2) = 1 f. h (x) = 4/ 1 − x2 , h(1/
√ −−
≤
≤2
1 6x + 48x 48x2 , x ( , 0] 2x3 + 3x 3x2 4x + 5 , x (0, (0, ) donde f (0) f (0) = 1, 1, f (0) = 2, 2, f (1) = 11/ 11/2, f (1) (1) = 0
d. g (x) =
l. f (x) =
− √
−
∈ −∞ ∈ ∞
√ ∈ ∈ ∞
ex 2/ x , x (0, (0, 9) m. f (x) = 1 + x + x , x [9, [9, ) x n. g (x) = 3x ex sen t, f (0) (0) = 0, 0, f ( f (π) = 0. i. f (t) = 2et + 3 sen 1 n ˜ . h(x) = 2 (0) = 1, 1, f (0) = 2, 2, f (0) = 3. 3. n. j. f (x) = cos x, f (0) x +1
20x3 + 12x 12x2 + 4, 4, f (0) (0) = 8, 8, f (1) (1) = 5 g. f (x) = 20x 0 , f (1) f (1) = 0, 0, f (2) (2) = 0 h. f (x) = x −2 , x > 0,
afica afica de f de f . Dibuje la gr´afica afica de f s f sii ´esta esta es continua y f (0) f (0) = 1. 1. 2. Se muestra la gr´
¿C´ omo ser´ıa omo ıa la gr´afica afica si f si f (0) (0) =
−1?
a´rea superficial aumenta y por tanto, se incrementa su 3. Dato que las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su area resistencia resistencia a su ca´ ca´ıda. Una gota de lluvia tiene una velocidad velocidad inicial hacia abajo de 10 m/s y su aceleraci´ on es: a =
−
9 0,9t , si 0 t 0, si t > 0
≤ ≤ 10
Si al inicio la gota de lluvia est´ a a 500 mts arriba del suelo, ¿cuanto tardar´ a en caer? 1
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CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa No 1 Iv´ an Vega on f tal que f (x) = x 3 y la recta x + y = 0 sea tangente a la gr´ afica de f . 4. Encuentre una funci´ afica de una funci´on continua par f que cumpla las siguientes condiciones f (0) = 0, f (x) = 2x si 5. Dibuje la gr´ 0 < x < 1; f (x) =
−1 si 1 < x < 3 y f (x) = 1 si x > 3.
on para la 6. La pendiente de una curva en cualquier punto P (x, y) de ella es igual a sen x. Encuentre una ecuaci´ curva si esta pasa por el punto (π/2, 2). on es y = f (x), y = 6x2 7. En cada punto de una curva cuya ecuaci´ es 8. Halle una ecuaci´ on de la curva.
− 2; y el punto (2,2) la pendiente de la curva
afica de f pasa por el punto (1,6) y que la pendiente de su recta tangente en (x, f (x)) es 2x + 1, 8. Dado que la gr´ encuentre f (2). 9. Se proyecta un objeto hacia arriba con una velocidad inicial v0 metros por segundo, desde un punto x0 metros
arriba del piso. Demuestre que [v(t)]2 = v 02
− 19,6[x(t) − x0].
10. Se lanzan dos pelotas hacia arriba desde el borde del acantilado a 432 pies por arriba del suelo. La primera a una
velocidad de 48 pies/s y la segunda se arroja 1 seg m´as tarde a una velocidad de 24 pies/s ¿En alg´ un momento rebasa una a la otra? o caer una piedra de un desfiladero y choc´o contra el suelo con una velocidad de 120 pies/s ¿Cu´a l es la 11. Se dej´ altura del desfiladero? optero a 500 mts arriba del suelo. Su paraca´ıdas no se abre, pero 12. Se deja caer un recipiente met´alico desde un helic´ el recipiente ha sido dise˜ nado para soportar una velocidad de impacto de 100 m/s ¿Se reventar´ a o no? ovil viaja a 50 mi/h cuando se aplican los frenos con toda su potencia, lo cual genera una desaceleraci´ on 13. Un autom´ constante de 22 pies/s2 ¿Cu´ al es la distancia recorrida antes que el autom´ ovil se detenga totalmente? on constante se requiere para aumentar la velocidad de un autom´ ovil de 30 km/h a 50 km/h en 5 14. ¿Qu´e aceleraci´ seg.? ovil se desplaza a 100 km/h cuando el conductor observa que ha ocurrido un accidente 80 mts adelante 15. Un autom´ y frena repentinamente. ¿Qu´e desaceleraci´on constante se requiere para detener el autom´ovil a tiempo antes que se suscite una colisi´ on?
INTEGRALES DEFINIDAS 1
16.
(1 + x2 )3
3π/2
dx
18.
0
17.
e 2 x
1
0
+ x + 1 dx x
1
19.
| sin x| dx 10x dx
0
on de crecimiento de un ni˜ no en libras por a˜ no, ¿Qu´e representa 20. Si w (t) es la raz´
10 5 w (t)dt?
on de r(t) galones por minuto en el instante t, ¿Qu´e representa 21. Si se fuga aceite a raz´ o n de r(t) = 200 22. Del fondo de un tanque de almacenamiento fluye agua a raz´ 0
120 r(t)dt? 0
− 4t litros por minuto, donde
≤ t ≤ 50. Encuentre la cantidad de agua que fluye del tanque durante los primeros 10 minutos. 2
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CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa No 1 Iv´ an Vega
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO x
23. Sea g(x) =
f (t) dt, donde f es la funci´ on cuya gr´ afica se muestra .
0
ue g(0), g(1), g(2), g(3) y g(6). a. Eval´ e intervalo es creciente g? b. ¿En qu´ aximo g ? c. ¿Donde tiene un valor m´ afica aproximada de g d. Trace una gr´
24. Hallar la derivada
√ x
x
a. g(x) =
√
1 + 2t dt
d. y =
0
3
10
b. F (x) =
tan θ dθ
x 1/2
c. h(x) =
2
25. 26. 27. 28.
√ √ − √ (3x
2)20 dx
a + bx2 dx 3ax + bx3
sen atdt
e. g(x) =
cos t dt t sen x
1 3x+1
tan−1 t dt
sen x dx x
f. y =
1 t2 dt 1 + t4
−
sen(t4 ) dt
2x
´ INTEGRAR USANDO SUSTITUCI ON 29. 30. 31. 32.
√ √ −
cot x csc2 x dx
1
π
33.
sec2 (t/4) dt
0
dx x2 sen−1 x
34.
1 + x dx 1 + x2
1 z e
0
+1 dz ez + z
e4
ex + 1 dx ex
35.
e
dx √ x ln x
on de bacterias se inicia con 400 ejemplares y crece a raz´on de r(t) = (450,268)e1,12567t bacterias por 36. Una poblaci´ hora. ¿Cu´ antos espec´ımenes habr´ a despu´es de tres horas?
3
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CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa No 1 Iv´ an Vega
INTEGRAR POR PARTES 37. 38. 39. 40.
x cos5x dx
ln x dx x2
1
y dy e2y
1
x2 sen πxdx
43.
0
1/2
ln(2x + 1) dx
44.
0
arctan 4t dt
2
45.
1
41.
42.
2
46.
√
√
sen x dx
√ π
47.
θ3 cos(θ2 ) dθ
π/2
4
sen−1 x dx
48.
e
√ x
dx
1
(ln x)2 dx
1
(x2
+ 1)e−x dx
0
Sustituya y luego aplique por partes
ales de las siguientes a´reas son iguales? ¿Por qu´e? 49. ¿Cu´
´ ´ TRIGONOMETRICA ´ INTEGRALES TRIGONOMETRICAS Y POR SUSTITUCION 50.
√ − sen3
3π/4
51.
x cos2 x dx
56.
sen5 x cos3 x dx
√
π/2
2π
52.
1 √ dx x2 x2 + 4
55.
cos2 (6θ) dθ
−
0
53. 54.
tan3 x sec x dx
2
√
0
x = 3 sen θ
1
√ t3 √ t2 − 1 dt
2 3
57.
9 x2 dx x2
2
x = 2 tan θ
3
√ 16x− x2 dx
FRACCIONES PARCIALES 58.
x 9 (x + 5)(x
−
3
59.
2
60.
1 x2
(x
−1
−
− 2)
dx
dx
10 dx 1)(x2 + 9)
61.
62. 63.
4
x3 + x2 + 2x + 1 dx (x2 + 1)(x2 + 2)
√ − √
x dx x 4 x
−
x = u 2
1 dx x + 2
u2 = x + 2
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CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa No 1 Iv´ an Vega
INTEGRAR USANDO LAS TABLAS DE INTEGRALES 64. 65. 66.
x3
− 1 dx
70.
sec3 (πx) dx
71.
dx 4x2 + 9
x2
π
67.
x2 + x x2 + 9
− √
72.
x3 sen x dx
73.
tan3 (1/z) dz z2
74.
0
68. 69.
y
6 + 4y
− 4y2 dy
75.
− √ − √ −
sen2 x cos x ln(sen x) dx
ex dx 3 e2x x4 dx x10 2 4 + (ln x)2 dx x
e2x
1 dx
e2θ sen3θ dθ
MISCELANEA DE EJERCICIOS 76. 77.
78.
79.
80.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
√ − √ √ √ − √ √ √ − √ − − − √ − √ (nx)
1−n n
dx.
( x + 1)(x
x + 1) dx.
x)4
( a
ax
2 + x2 4
87.
89.
dx. 2
x4
88.
x2
dx.
90.
x2 + 5x + 7 dx. x + 3
91.
x4 + x2 + 1 dx. x 1
92.
x dx. (x + 1)2
x + ln x dx. x
dx dx. 3x2 + 5 x2
x2
5x + 6 dx. +4
dx . 7 + 8x2
93. 94. 95. 96. 97.
2x 3x2
5 dx. 2
− − √ − − − √ − √ − √ x
a4
x4
98.
dx.
99.
arc sen x dx. 1 x2
x
arctan 2x dx. 1 + 4x2
100.
101.
dx
. √ 2 2 (1 + x ) l n (x + 1 + x )
x
x
a
a
102.
(e + e− )2 dx.
103.
(ax bx )2 dx ax bx
104.
et dt . 1 e2t
105.
x dx . cos2 x2
106.
dx . cos x sen x
107.
sen x cos x dx. cos2 x sen2 x
−
5
108.
x dx . x + 1
√ √ √ √ ·
1 + x dx. 1+ x ln 2x dx ln 4x x e2x dx. ex + 1
sen3 x dx. cos x
ln xdx.
x cos3x dx x dx. ex
x 2−x dx. x sen x cos xdx. ln2 xdx.
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CALCULO INTEGRAL
Gu´ıa No 1 Iv´ an Vega
109. 110. 111.
112.
113.
114.
115. 116.
117.
118. 119.
√ − √ − √ − √ √ − √ −
x2 ln xdx.
120.
ex sen xdx.
121.
sen(ln x) dx.
122.
x2 dx . 1 x2
123.
x3 dx . 2 x2
124.
125.
x2 + 1 dx. x
126.
1
x2 dx . x2 a2
2 x3 e−x
x ln
dx.
1−x 1+x dx
131.
arc sen x dx. 1 x
132.
(arcsin x)2 dx.
133.
cos2 (ln x) dx.
134.
ax + b dx. αx + β
135.
2
x2 a2 dx. x
x2 dx.
ln(ln x) dx. x
√ √ − − − − −
127. 128.
129. 130.
b
a + x−a
dx
dx (a + b) (a x3
a2
b)x2
136. (0 < b < a). 137.
dx. x2
138.
(cos ax + sen ax)2 dx.
139.
(cos ax + sen ax)2 dx. sen ax
140.
1 sin x dx. x + cos x
6
141.
sec2 x dx . 4 tan2 x
√ − − √ − √ − √ √
earctan x + x ln(1 + x2 ) + 1 dx. 1 + x2 (1
x 2 sen √ ) 2
x sen √ 2
√
ln (x+ x2 +1) 1+x2
dx x x2 x2
1
.
dx . 4 x2
x2 e3x dx. x2 dx. (x2 + 1)2
eax sen bxdx. a + x2 dx.
x2 dx . 9 x2
−
dx. dx.
