NOTA: 1.-A cada una de las siguientes formulas debe agregarse una constante de integración. 2.- Todos los argumentos de las formulas trigonométricas están en radianes. 3.-Todos los logaritmos son del sistema natural. FORMULAS FUNDAMENTALES.: 1.-
∫ df ( x) = f ( x)
3.-
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
5.-
∫
7.-
∫
1
9.-
∫
a2
m
x dx
x
x
=
=
m +1
2 x
1
dx
∫
11.- udv
13.-
x2
=
=
f ( y ) dy dy
(ax + b )m 1 +
14.-
m ∫ (ax + b ) dx =
15.-
∫ ax + b = a log ax + b
16.-
∫ (ax + b )
17.-
∫ (ax + b )
a ( m + 1)
1
3
=−
1 a (ax + b )
=−
∫ ∫
FORMAS QUE CONTIENEN ax+b.
dx
∫a
dx 2
+
x2
12.- u
dx
2
8.-
x2
=
1 a
1 2a ( ax + b) 2
m ≠ −1
−
dv dx
arctag
1
dx
∫
dx
∫ x dx = log x
10.-
uv − vdu
dx
1
6.-
a+ x
2a log a − x
∫ f ( y)dx = ∫
∫ dx = x ∫ [u ( x) ± v( x)]dx = ∫ u ( x)dx ± ∫ v( x)dx
4.-
m +1
dx
−
2.-
a2
dx
=
=
x a
a−x
2 a log a + x
∫
uv − v
du dx
dx
18.-
∫ x(ax + b )
19.-
∫ ax + b = a − a
20.
xdx
dx
2
b
1
+
2
a2
b
=
2
2a ( ax + b)
a3
1 1 ( ax + b) 2 3 2
∫ ax + b = a
24.-
∫ (ax + b)
25.-
∫ (ax + b)
26.-
∫ x(ax + b) = b log ax + b
27.-
∫x
28.-
∫ x(ax + b)
x 2 dx
3
1
−
2
a ( ax + b)
−
1 3
1
=−
+
2b ax + b
−
b2
2(ax + b) 2
x
1
+
bx
( ax + b)
2
,(m ≠ −1,−2,−3 )
2b(ax + b) + b 2 log ax + b
1 log ax + b a3
dx
b 2 (ax + b) m+1 m +1
=
a b
2
1
=
dx x 2 ( ax + b) 2
∫x
+
b2 (ax + b) − ax + b − 2b log ax + b a
dx
∫
2b( ax + b) m + 2 m+2
log
−
b(ax + b)
ax + b
1 b2
x
log
+
29.-
−
=
dx
2
2
log ax + b
m+3
23.-
2
(m ≠ −1,−2 )
a ( m + 1)
1 (ax + b) m +3
∫
x 2 dx
m +1
2
log ax + b
2
22.- x 2 ( ax + b) m dx =
x 2 dx
b( ax + b )
−
a ( m + 2)
a (ax + b )
3
+2
2
b
=
xdx
∫ (ax + b)
(ax + b )m
=
x
xdx
∫ (ax + b)
21.-
m
=−
ax + b x +
2ax b b 2 x( ax + b) 1
−
2a3 log ax b x b
[
]
∫
x m (ax + b) n +1 − mb x m −1 ( ax + b) n dx a ( m + n + 1) 1 m+ n m n− = x 1 (ax + b) + nb x ( ax + b) 1 dx m + n +1 (m>0 , m+n+1 ≠ 0) Si n es entero positivo esta forma puede ser integrada termino por termino después de expandir (ax+b) n por el teorema binomial.
30.-
m
(ax + b) n dx
=
[
∫
]
31.-
∫x
m
(ax + b) n dx
1
=
a
m +1
∫u
n
(u − b) m du
(u=ax+b ) . Véase la nota después de
ñla formula 30. m
32.-
x dx
∫ (ax + b)
n
1
=
a
m +1
∫
(u − b) m du u
(u=ax+b ) .Véase la nota después de
n
la formula 30. FORMAS QUE CONTIENEN :ax+b , y , cx+d. dx
1
xdx
1
cx + d
34.-
∫ (ax + b)(cx + d ) = bc − ad log ax + b
35.-
∫ (ax + b)(cx + d ) = bc − ad a log ax + b − c log cx + d
36.-
∫ (ax + b) (cx + d ) = bc − ad ax + b + bc − ad log ax + b
37.-
1 b d = − log cx + d − ∫ (ax + bxdx ) (cx + d ) bc − ad a( ax + b) bc − ad ax + b
b
1
dx
d
1
c
cx + d
2
]
]
2
]
38.x 2 dx
b2
1
∫ (ax + b) (cx + d ) = a (bc − ad )(ax + b) + (bc − ad ) 2
39.-
2
ax + b
∫ cx + d dx =
ax
+
bc − ad
c
c
2
log cx + d
FORMAS QUE CONTIENEN: ax 2 + c dx
40.-
∫ ax
41.-
∫ ax
42.-
∫ ax
2
=
+c
dx 2
+
+
1
=
c
dx 2
1 a arctag x c a>0 , c>0 ac
2
1
=
c
− ac
2
− ac
log
log
x a
−
−c
x a
+
−c
x a
+
−c
x a
−
−c
a>0 , c<0
a<0 , c>0
2
d2 log cx + d c
+
b(bc − 2ad ) a2
log ax + b
xdx
43.-
∫ ax
44.-
∫ x(ax
2
+
1
=
dx 2
log ax 2
2a
c
1
=
+ c)
2c
log
+
c
ax 2 ax 2
c
+
D=b 2 −4ac
FORMAS QUE CONTIENEN :X= ax 2 +bx + c, 45.-
∫X
46.-
∫X
47.-
∫X
48.-
∫X
m
dx
dx
1
=
=
2a ( 2m + 1) 1 D
dx
−
dx
=−
D 2
2ax + b +
−
arctag
m −1
dx
]
D>0
2ax + b −
∫
Dm X
D
D<0
D
2 ax + b
FORMAS QUE CONTIENEN : 49.-
∫
50.-
∫x
51.-
∫x
52.-
∫
ax + b dx
53.-
∫
ax + b dx
54.-
∫
55.-
∫
ax + b dx
=
ax + b dx 2
m
2ax + b − D
log
2
=
[(2ax + b) X
=
x
dx
=
xdx
=
15a 2 2(15a 2 x 2
(ax + b )3
− 12abx + 8b
105a 2 ax + b
+
2 ax + b
−
=
2( ax − 2b) ax + b 3a 2
)
(ax + b )3
ax + b
−b
ax + b
+b
− b arctag
2 ax + b
2
3
b log
a
ax + b ax + b
=
3
(ax + b ) 3a 2(3ax − 2b)
=
ax + b dx
x
2
ax + b , donde : ax+b>0
ax + b −b
b>0
b<0
x dx
56.-
∫
57.-
∫x
58.-
∫x
59.-
∫
60.-
∫ (cx + d )
61.-
∫ (cx + d )
62.-
∫
2(3a 2 x 2
=
4abx + 8b 2 ) ax + b
−
15a 3
ax + b dx
1
=
ax + b
b
dx
log
2
=
ax + b
2
=
3a 2
ax + b dx
−
b
ax + b
+
b
(3ad
2 c ad
dx
− bc
2
=
ax + b
c bc − ad
ax + b cx + d dx
=
∫
acx 2
∫
64.-
∫x
65.-
∫x
2
66.-
∫x
3
67.-
∫x
68.-
∫x
69.-
∫x
70.-
∫
71.-
a
2
a
1
2
a
2
2
=
=
x 2 dx
2
+
x dx
2
1 3
a
2
a
2
2
+
+
dx 2
a +x xdx a2
+
log
x dx
+
x
2
a
c(ax + b)
−
bc − ad
c( ax + b )
+
bc − ad
2
+
2
x , o, ( a
2
+
2 3
x )
2
log( x + a 2
2
+
2
x )
2 3 x )
+
(a 2
c>0 , bc
− bc
+ ( ad + bc ) x + bd dx
a
+
ad
2 3 x )
+
a2x
−
8
log a 2
+
x
2
−
a4
8
1 2 2 2 x − a ( a 2 + x 2 )3 15 5 a
=
2
= −
2
+
1 x
= −
x
2
a
2
1 2x
2
(
=
log x + a 2
=
(
2
x2
x
4
x dx 2
2
(a 2
3
x dx
+
a
1
=
2
+
a
2
x dx
+
x
=
a2
1
∫
2
x dx
+
c (ax + b)
arctag
FORMAS QUE CONTIENEN :
63.-
b<0
−b
2bc + acx ) ax + b
−
=
ax + b
b>0
ax + b
arctag
−b
(cx + d ) dx
ax + b
a2
+
x2
)
−
+
a log x
a
2
+
x
2
+
2
+
x
)
2
a+
a2
+
x2
x
(
log x + a 2 −
1 2a
log
+
a+
x
2
)
a2 x
+
x2
log( x + a 2
+
2 x )
72.-
∫
73.-
∫
74.-
75.-
76.-
x 2 a2 a + x2 − log x + a 2 + x 2 2 2 2 2 a +x x 3dx x 2 2 3 = (a + x ) − a 2 a 2 + x 2 2 2 3 a +x x 2 dx
(
=
)
(
dx
∫x ∫x ∫x
a2
a2
+
a2
a x a
2
x
2
1
2
−
x2 )
x ( a 2 − x 2 )3 + a x a 2 3 8 1 2 2 2 (− x − a ) ( a 2 − x 2 ) 3 5 15
−
x2
+
2a 2 x 2
x2
2a
a2
FORMAS QUE CONTIENEN
77.-
∫
78.-
∫x
a2
x 2 dx
−
a
2
−
=
1 2
2
x dx
(x a2
=−
1
(a 2
3
x2
−
−
log 3
+
a
2
x
+
a+
2
+
= − +
x2
+ 2
x2
dx 3
x2
+
x
a2
= −
a2
a+
log
a
x2
+
dx 2
1
=
)
x
(a
x 2 , o,
−
3
x a 2 arcsen ) a
x 2 )3 2
79.-
x2 a2
∫ 80.- ∫ x 81.-
∫
82.-
∫
83.-
∫
84.-
∫
85.86.87.-
88.-
3
∫ ∫ ∫ ∫x
a2
a
2
−
−
x 2 dx
= −
−
x 2 dx
=
2
x dx
a2
=
x
a2
−
x a
2
−
x
x 2 dx
2 2
x dx
3
=
a −x xdx −
x
2
a
−
x
−
= −
= −
x2
−
x
2
2
dx a2
a
=−
x 3dx a2
arsen
2
x 2 dx 2
−
1
=−
2x
dx
2
a2
=−
x2
x2
1
x2
1 a
a
−
x
x2
1
+
2a
x a+
log
a2
−
log
−
x2
a2
+
2
x 2 )3
a+
a
arcsen
−a
2
2
x
x
−
a2 2
x a
−
a
2
x
2
x
2
a
x
−
a 2 arcsen x a
x
− arcsen
−
2
a
(a 2
3 = −
2
a2
2
a+
− log
x
2
a
−
+
x2
−
x
2
89.-
90.-
∫x ∫x
dx 2
a
2
x
−
a2
a2
=− −
x2
−
a2 x
2
dx 3
a2
= −
−
x2
2
2
2a x
x2
1
−
2a
91.-
∫
92.-
∫x
93.-
∫x
94.-
∫
95.-
∫
x2
−a
x2 2
2
x2
−a
2
x3 x2
−a
2
x2
97.-
∫
98.-
∫
99.-
∫
100.101.102.-
103.-
3
dx
=
dx
=
− a dx x2
x2
−
x dx
∫
∫x
−a
(x 2
−a
1 x
x2
=
x2
a2
−a
2
−a
x
2
1
log x +
=
2
2
2
)3
+
)5
+
8 a2
x2
−a
x2
−
(x 2
3
=
=
−a
x
x2
−a
(x 2 1 a
2
dx 2
1
2
x2
2
+ log
−a
−a
+
2
− a2
∫ senxdx = − cos x
)
3
2
−
x2
a x
2 3
)
+
1 2a
a2
ar cos
+
log x + a
2
a x
−a
x2
x+
2
2
a x
x
2
−
x2
−a
2
a x
a
2
−
−
x 2 )3
2
2
−a
ar cos
= −a
x
2
2
x
3
2
x2
2
a2
FORMAS QUE CONTIENEN :senx 104.-
a x
− aarcsen
−
−a
2
2
dx
2
log x +
2
…………
a 2 )3
(x 2
−a
=
x 3 dx
∫x
2
−
x2
2x
x 2 dx
x
4 1
=−
3
−
x2
=−
a 2 dx
x2 − a2 xdx
∫
a2
(x
2
x
x2
−
x2
2
x
5
=
2
−a
(x2
=
x
∫
x2
2 1
a 2 dx
−
x
=
a 2 dx
−
2
96.-
dx
−
x
− a 2 , o,
x2
FORMAS QUE CONTIENEN :
a2
a+
log
3
a2
a
2
8
log x +
x2
−a
2
x
1
105.-
∫ sen
2
106.-
∫ sen
3
107.-
∫
108.-
∫
109.-
111.-
∫ sendx x = ∫ cos c xdx = −ctgx ∫ xsenxdx = senx − x cos x ∫ x senxdx = 2 xsenx − ( x − 2) cos x
112.-
∫ xsen
113.-
∫x
114.-
∫ sen
115.-
∫ senaxsenbxdx =
116.-
∫ 1 + senx = −tag 4 − 2 = tagx − sec x
117.-
∫ 1 − senx = tag 4 + 2 = tagx + sec x
118.-
∫ a + bsenx =
110.-
119.-
xdx
=
−
2 1
sen 2 x
4
cos 3 x − cos x 3 3 1 1 sen 4 xdx = x − sen 2 x + sen 4 x 8 4 32 dx x = cos ecxdx = log tag = log csc x − ctgx 2 senx xdx
=
∫
2
2
2
2
2
2
xdx
x
=
2
x
−
4
sen 2 xdx
xdx
2
=
4 x
3
x
−(
6
π
a
8
) sen 2 x −
2
b
cos 2 x
−
sen ( a + b) x
2( a + b )
x
a −b
−b
2
−1
dx
x
4
x
−2
dx
1
cos 2 x
2( a − b ) π
∫ a + bsenx =
−
4
8
sen ( a − b) x
dx dx
2
1
log senx
= − xctgx +
x
sen 2 x −
2
−a
2
arctag
a+b
log
π 4
tag
b + asenx + b 2
+
−a
x
].......a 2
2 2
cos x
a + bsenx
FORMAS QUE CONTIENEN cosx 120.- 104.-
cos xdx
=
senx
121.-
∫ cos ∫xdx = 2 + 4 sen2 x
122.-
∫ cos
123.-
∫ sen
124.-
∫ cos x = ∫ sec xdx = log sec x + tagx = log tg ( 4 + 2 )
x
2
3
4
dx
xdx
=
xdx
=
1
3 8
x+
1
3 sen x 3 1 1 sen 2 x + sen 4 x 4 32
senx −
π
x
>
b2
.......a 2
<
b2
125.126.127.128.-
dx
∫ cos x = ∫ sec xdx = tgx ∫ x cos xdx = cos x + xsenx ∫ x cos xdx = 2 x cos x + ( x 2
2
2
∫ x cos
2
xdx
x
=
x
+
4
x 2 cos 2 xdx
129.-
2
=
3
+
(
x
6
130.-
− 2) senx
sen2 x +
4 x
2
2
−
4
1
1
cos 2 x
8
) sen 2 x −
8
∫ xdx ∫ cos x = − xtgx + log cos x
cos 2 x
2
sen(a − b ) x
∫ cos ax cos bxdx =
131.- 115.-
dx
sen( a + b) x
2( a + b )
x
∫ 1 + cos x = tag 2 = csc x − ctgx
133.-
∫ 1 − cos x = −ctag 2 = − csc x − ctgx
134.-
∫ a + b cos x =
dx
x
dx
a −b
2
dx
∫
+
2( a − b )
132.-
135.-
x
4
a
2
−b
arctag
a+b
2
1
=
a + b cos x
b
log[
−a
2
π 4
tag
+
b + a cos x + b 2
x
2 ].......a
2 −
a 2 senx
FORMAS QUE CONTIENEN :senx y cosx. 1
136.-
∫ senx cos xdx = 2 sen
137.-
∫ senax cos bxdx = −
138.-
∫
139.-
∫
140.-
∫ sen
senxdx
x cos 2 xdx
=
∫ cos
8
143.-
∫
144.-
∫
2
=
x cos 2 xdx
senx cos xdx sen 2 x
−
1
sen 4 x
32
π 4
= − senx + log tag
cos x senxdx
x
sec x =
cos x + log tag
= − csc x
cos(a + b) x 2( a + b )
∫ ctagxdx = log senx
2
142.-
−
2( a − b)
=
sen xdx
∫
cos(a − b) x
∫ tagxdx = log sec x
senx
141.-
x
=
cos x cos xdx 2
2
x
2
+
x
2
.......a 2
≠
b
.......a 2
a + b cos x
2
>
b2
2
<
b2
dx
145.-
∫ senx cos x = log tagx
146.-
∫ sen
147.-
∫ senx cos
148.-
∫
149.-
dx 2
x cos x
dx
2
= − csc x +
=
x
dx
sec x + log tag
=
1
+
senx cos x dx
∫ senx − cos x =
π 4
log tag
x
log tag
+
x
2
x
2 +
π
2 8 x π log tag − 2 2 8
1
2
b x + arctag a a +b dx 1 a 151.- ∫ 2 = arctag tagx b a sen 2 x + b 2 cos 2 x ab
1
dx
150.-
∫ asenx + b cos x =
152.-
∫a
dx 2
sen 2 x − b 2 cos 2 x
2
=
2
1 2ab
log tag
log
1 2
asenx − b cos x asenx + bsenx
FORMAS QUE CONTIENEN .tgx, ctgx , secx , cscx. 153.- tagxdx
=
log sec x
∫∫ tag xdx = tgx − x 155.- ∫ ctagxdx = log senx 156.- ∫ ctg xdx = −ctgx − x 157.- ∫ sec xdx = log sec x + tgx 158.- ∫ sec xdx = tgx 159.- ∫ csc xdx = log csc x − ctgx 160.- ∫ csc xdx = − ctgx 161.- ∫ tgx sec xdx = sec x 162.- ∫ ctgx csc xdx = − csc x 2
154.-
2
2
2
163.164.-
∫
sec 2 xdx
∫
csc 2 xdx
=
log tgx
=
log ctgx
tgx ctgx
FORMAS EXPONENCIALES.Para integrales que contienen a x , sustituya , a x siguientes. 1 165.- e ax dx = e ax a
∫
=
e xLna , y use las formas
166.-
∫ xe
167.-
∫x
ax
m
dx ax
e dx
168.-
∫
169.-
∫ b + ce
170.-
∫ b + ce
171.-
∫ ab + be
172.-
∫e
ax
173.-
∫
ax
p
e
=
ax
x e dx
a2 1 e
p +1
ac
1
=
ax
ab
dx
e
ax
a 1
=
dx
cx
m
x e
a
ax
ax
(ax − 1)
=
=
e dx
ax
ax
[(ax)
e a
=
ax
e dx
(−) p ax( p) 1 +( )p
p −2
p − 1 ax (
−
)
− ......... + − 1
p
]
p! ,p:entero
e ax
log
=
cos bxdx
p
m −1
log b + ce ax
b + ce ax
arctg e
c ab
senbxdx
∫x
a
1
=
m
−
2
b
ax
+b
e a2
a
cx
2
(asenbx − b cos bx )
ax
+b
2
(a cos bx − bsenbx )
FORMAS LOGARITMICAS. En estas formas x>0. 174.- log xdx = x(log x − 1) 175.-
∫ ∫ (log x )
m
dx
=
x (log x) m
−m
dx
176.-
∫ log x = log log x + log x +
177.-
∫ (log x)
178.-
∫x
179.-
∫
dx
m
m
∫ (log x)
(log x )
( m − 1)(log x )
log x
2
+
m −1
+
dx
(log x ) 3
2 × 2!
x
=−
m −1
1
............0 < x < ∞ 3 × 3! dx
∫
m − 1 (log x) m −1
., m ≠ 1 m + 1 (m + 1)
log xdx = x m +1
(log x ) m dx
=
1
−
2
(log x) m+1 m +1
x dx
180.-
∫ x log x = log log x
181.-
∫ sen(log x)dx = 2x [sen(log) x
182.-
∫ cos(log x)dx = 2 [sen(log) x
x
− cos
( )
log x
]
( )
log x
]
+ cos
FORMAS QUE CONTIENEN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .
∫ arcsenxdx = xarcsenx + 1 − x 184.- ∫ (arcsenx ) dx = x ( arcsenx ) − 2 x + 2 2
183.-
2
2
1 − x 2 arcsenx
185.-
1
∫ xarcsenxdx = 4 [(2 x
2
− 1)arcsenx +
x3
arcsenxdx
]
2 x 1− x
x5
x7
∫ x = x + 2 × 3 × 3 + 2 × 4 × 5 × 5 + 2 × 4 × 6 × 7 × 7 + ................., x 187.- ∫ arccos xdx = x arccos x − 1 − x 188.- ∫ (arccos x ) dx = x (arccos x ) − 2 x − 2 1 − x arccos x 186.-
2
<1
2
2
2
1
=
189.190.-
∫
∫
x arccos xdx
arcsenxdx
191.-
=
π
2
x
2
4 (2 x
[
log x
−
x−
−
−
1) arccos x x
3
m
m +1
]
x −
2× 4×5×5
1× 3 × 5x 7 2× 4× 6× 7× 7
1+ x2 1
arctgx
x
m +1
dx
∫ x arctgxdx = m + 1 − m + 1 ∫ 1 + x 193.- ∫ arcctgdx = xarcctgx + log 1 + x 192.-
2
−
x 1
1 × 3x 5
+
2×3×3
∫ arctagxdx = xarctgx − log x
2
2
,m ≠ 1
2
x
m +1
arcctgx
1
x
m +1
194.-
∫x
195.-
∫ arc sec xdx = xarc sec x − log x +
x2
−1
196.-
∫ arc csc xdx = xarc csc x + log x +
x2
−1
m
arcctgxdx
=
m +1
+
dx
m +1 ∫ 1+ x
2
,m ≠ 1
− ................., x
2
<1
