GUÍA DE MATEMÁTICA Noción de Variable A menudo nos encontramos con situaciones donde se utilizan números. Por ejemplo, supongamos que Bernardita va a sacar fotocopias. Una fotocopia vale $25 y ella necesita sacar 20. ¿Cuánto va a pagar? ¿Qué les dice el término variable? • ¿Qué variables observan en la situación anterior? • Si registramos los datos en una tabla, obtenemos: Nº de fotocopias Cantidad a pagar • •
1
2 25
3 50
4 75
5 1 00
6 125
150
7 175
8 200
9 225
10 250
¿Cuáles son las variables? ¿Qué relación pueden observar entre ellas?
Se puede decir que la cantidad a pagar depende del número de fotocopias que sacará Bernardita. El número de fotocopias es la variable independiente, esta será x; la cantidad a pagar es la variable dependiente, su valor depende de x, será y. Actividades 1.- Grafica la situación anterior. 2.- Suponga que va a la playa con su familia, de vacaciones, y arriendan una cabaña. Si el arriendo diario es de $8.000: a) ¿Cuánto deberán pagar por 15 días de arriendo? b) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente en esta situación? 3.- Inventa una situación similar a las anteriores: a) Identifique las variables dependiente e independiente. b) Grafíquela.
Función : ¿Qué es una función? Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra. Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es " f ", ", pero puedes ponerle otros como " g " ... Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función: Así que f(x) te dice que la función se llama " f ", ", y " x " se pone dentro Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada: f(x) = x 2 nos dice que la función " f " toma " x " y lo eleva al cuadrado.
Así que con la función " f(x) = x2", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir f(4) = 16. Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como y = x2 En matemáticas, una función,1 f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Veamos un ejemplo de cómo podemos utilizar las funciones en nuestra vida diaria: Felipe quiere tener un celular y compara las tres posibilidades que le ofrece una compañía: Tarifas
Cargo fijo
Tarifa 100 Tarifa 200 Tarifa 300
Minutos incluidos en el plan 100 200 300
$15.500 $18.990 $26.000
Valor minuto adicional $155 $125 $110
Felipe quiere saber cuál de los tres planes le es más conveniente. Completa en tu cuaderno las siguientes tablas con los valores que debería pagar, según los minutos utilizados en cada plan: Plan tarifa 100 MINUTOS COSTO ($)
100 15.500
101 15.655
102 15.810
150 23.250
200 31.000
250 38.750
300 46.500
400 62.000
200
250
300 31.490
400
200
250
300
400
Plan tarifa 200 MINUTOS COSTO ($)
100 18.990
101 18.990
102 18.990
150
Plan tarifa 300 MINUTOS COSTO ($)
100 26.000
101 26.000
102 26.000
150
En tu cuaderno, haz un gráfico de los tres planes en un mismo sistema cartesiano y responde las siguientes preguntas: a) b) c) d) e)
Si Felipe hablara 100 minutos, ¿cuál plan sería más conveniente? Si Felipe habla menos de 60 minutos, ¿cuál plan le convendría? Si Felipe hablara entre 200 y 300 minutos, ¿cuál plan le convendría? Si Felipe hablara entre 300 y 400 minutos, ¿cuál plan le convendría? Si tú contrataras un plan, ¿cuál de los presentados te convendría?
Actividades 1.- Una empresa de electricidad cobra a sus clientes un cargo fijo de $499, por arriendo de equipos $581 más $61,3 por cada kilowatt hora (kwh) de consumo.
a) Según lo anterior, completa la siguiente tabla: KWH CONSUMO
0
10
20
30
50
60
80
100
b) Haz un gráfico cartesiano, que ilustre el monto de la cuenta según el número de kilowatt hora de consumo.
2.- Un estacionamiento en el centro de la ciudad cobra $500 por la primera hora más $300 por cada media hora o fracción. a) Según lo anterior, completa la siguiente tabla: MINUTOS CUENTA($)
50
60
80
90
100
120
150
179
b) Haz un gráfico de la función que ilustra el monto a cancelar según el número de minutos de estacionamiento.
GUÍA DE MATEMÁTICA FUNCIONES
1.- En la tabla están registrados los datos, tomados a la misma hora y en el mismo sector, que informan la longitud de la sombra que proyectan dos árboles distintos, un poste de luz y un edificio.
ALTURA DEL OBJETO (M) Longitud de la sombra (m)
2 2,5
3 3,75
4 5
8 10
Según estos datos, desarrolla las siguientes actividades: a) Si hubiese a esa hora y lugar un árbol con una altura de 1 m, ¿qué longitud tendría su sombra? b) Si hubiese a esa hora y lugar un edificio con una altura de 15 m, ¿qué longitud tendría su sombra? c) Si la sombra tuviera una longitud de 60 m, ¿Qué altura tendría el objeto? d) Representa los datos de la tabla en un sistema cartesiano. e) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? f) Escribe una ecuación que represente la relación existente entre la altura del objeto y la longitud de la sombra. 2.- Observa las siguientes figuras, formadas con palitos de fósforos.
fig.1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
fig. 5
a) Determine una función que entregue la cantidad de fósforos que se necesitan para la figura “n”. b) Grafique la función anterior. c) ¿Qué tipo de función es? 3.- Si se conoce la longitud “x” del lado de un cuadrado: a) b) c) d)
Escribe una función que determine su perímetro. Haz una tabla de valores, dando diversos valores de x (por lo menos seis). Grafica la función anterior. ¿Qué tipo de función es?
4.- En un laboratorio informan que un litro de alcohol pesa 0,8 kg. Se tiene un recipiente con una capacidad de 20 litros que pesa, vacío, 2 kg. Completa la tabla con los datos entregados:
CANTIDAD DE ALCOHOL (LITROS) Peso del recipiente con alcohol (kg)
1
3
5
8
10
20
Según estos datos: a) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano. b) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? c) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de alcohol y el peso del recipiente con alcohol. 5.- ¿A cuál de las funciones corresponden los siguientes gráficos?
Prueba de Matemática-Segundo medio Funciones
Nombre: ____________________________ Curso: 2º medio A Fecha: ________ Ptje: _____ Puntaje total: 34 puntos. 1.- Supongamos que a Gloria le encanta ir al cine y asiste regularmente y la entrada tiene un valor de $2.400. Completa la tabla con los datos entregados:
NÚMERO DE VECES QUE VA AL CINE Dinero que paga
0
1
3
5
8
Según estos datos: a) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente de esta situación? b) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano. c) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? d) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de veces que va al cine y el dinero que paga. (6 puntos) 2.- La factura de electricidad incluye un monto fijo de $2.500, que se cobra haya o no consumo, y un valor de $120 por cada kw consumido. Completa la tabla:
Nº DE KW Cobro mensual
0
1
2
3
4
5
Según estos datos: a) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano. b) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? c) Escriba una ecuación que represente el cobro mensual según la cantidad de kw consumido. (5 puntos) 3.- Una empresa vende artículos para cumpleaños y presenta las siguientes listas de precios:
GLOBOS CANTIDAD PRECIO DE UNITAR GLOBOS IO 1 - 100 101 - 300 301 - 500 501 – 1.000
$100 $ 90 $ 80 $ 60
GORROS
CANTIDAD DE GORROS
PRECI O UNITA RIO
1 - 25 26 - 50 51 - 100 101 - 200
$250 $220 $190 $150
Haz el gráfico que represente cada situación y luego calcula cuánto se debe pagar por: 150 globos y 34 gorros.
(5 puntos) 4.- Grafica las siguientes funciones y nómbralas según corresponda:
a) f(x) =
x
3
−
2
b) f(x) = Іx + 1І
c) f(x) = x 2 + 1 (3 puntos c/u)
Prueba de Matemática – Segundo Medio Nombre: ___________________________ Curso: 2º medio A Fecha: ______ Puntaje: _____ Puntaje total: 25 puntos 1.- Determine dominio y recorrido de las siguientes funciones reales: a) f ( x) =
b) f ( x) =
2 x − 3 6 3 x + 1 x − 2
c) f( x) = d) f ( x) =
(3 pts c/u)
2x 5 2 x − 9
e) f ( x) = 5 x− 1
2.- Encuentra la función inversa de:
(2 pts c/u)
a) f( x) = 1 − 2 x b) f ( x) =
3x − 1
c) f ( x) =
x x+ 3
3.-
(2 pts c/u)
A) Para f ( x) = x− 1 , encontrar cada valor: a) f ( 2) −
=
b) f (0) = B) Para f ( x) = a) f (0) = b) f (5) =
3 x + 1 2
, encontrar cada valor:
GUÍA DE MATEMÁTICA Noción de Variable A menudo nos encontramos con situaciones donde se utilizan números. Por ejemplo, supongamos que Bernardita va a sacar fotocopias. Una fotocopia vale $25 y ella necesita sacar 20. ¿Cuánto va a pagar? ¿Qué les dice el término variable? • ¿Qué variables observan en la situación anterior? • Si registramos los datos en una tabla, obtenemos: Nº de fotocopias Cantidad a pagar • •
1
2 25
3 50
4 75
5 100
6 125
150
7 175
8 200
9 225
10 250
¿Cuáles son las variables? ¿Qué relación pueden observar entre ellas?
Se puede decir que la cantidad a pagar depende del número de fotocopias que sacará Bernardita. El número de fotocopias es la variable independiente, esta será x; la cantidad a pagar es la variable dependiente, su valor depende de x, será y. Actividades 1.- Grafica la situación anterior. 2.- Suponga que va a la playa con su familia, de vacaciones, y arriendan una cabaña. Si el arriendo diario es de $8.000: a) ¿Cuánto deberán pagar por 15 días de arriendo? b) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente en esta situación? 3.- La señora Gómez manda a su hijo Claudio a comprar jamón al almacén. El sabe que 250 gramos de jamón cuestan $1500. a) Supón que x representa cuántos gramos de jamón comprará Claudio y que y representa el precio que debe pagar. i) Confecciona una tabla de valores para las variables x e y. ii) Representa la tabla gráficamente iii) Determina la fórmula para la función. b) Claudio compra 350 g de jamón. ¿Cuánto debe pagar? c) Otro día, la señora Gómez manda a Claudio y le dice “anda y compra mil pesos de jamón”. ¿Qué cantidad comprará? 4.- Cierto agricultor vende su trigo a un molino de la zona, que paga $10.400 el quintal. a) Escribe una ecuación que relacione la cantidad de quintales de trigo vendidos con el monto a pagar. b) Si don Servando produce 17 quintales de trigo, ¿cuánto le pagarán? c) A don Arturo le pagaron $239.200. ¿Cuántos quintales vendió? 5.-Una empresa de electricidad cobra a sus clientes un cargo fijo de $499, por arriendo de equipos $581 más $61,3 por cada kilowatt hora (kwh) de consumo. a) Según lo anterior, completa la siguiente tabla: KWH CONSUMO
0
10
20
30
50
60
80
100
b) Haz un gráfico cartesiano, que ilustre el monto de la cuenta según el número de kilowatt hora de consumo.
6.- En un laboratorio informan que un litro de alcohol pesa 0,8 kg. Se tiene un recipiente con una capacidad de 20 litros que pesa, vacío, 2 kg. Completa la tabla con los datos entregados:
CANTIDAD DE ALCOHOL (LITROS) Peso del recipiente con alcohol (kg)
1
3
5
8
10
20
Según estos datos: d) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano. e) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? f) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de alcohol y el peso del recipiente con alcohol.
7.- Alejandro trabaja en un restaurant. Le pagan 8 mil pesos al día más lo que reciba por propinas. Supongamos que cada cliente le deja $300 en propinas. a) Confecciona un gráfico para esta situación. Señala claramente cuáles son las variables involucradas. b) Determina la función afín. c) Hoy Alejandro atendió a 18 clientes. ¿Cuánto dinero ganó? d) Alejandro necesita 15 mil pesos, para pagar una cuenta. ¿Cuántos clientes debe atender.
GUÍA DE MATEMÁTICA Proporcionalidad directa. Función lineal y afín. 1.- La siguiente tabla relaciona la presión del agua en el mar con la profundidad. PROFUNDIDAD (METROS) Presión (atmósferas)
2
3
10
0,192
0,288
0,96
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para esta situación? b) Escribe la función que relaciona ambas variables. c) ¿Qué presión ejercerá el agua a una profundidad de 11.033 m? d) Representa gráficamente la función. 2.- En una tienda de construcción tienen la siguiente tabla para calcular la cantidad de pintura que se necesita para cubrir una determinada superficie de muralla. PINTURA (CC) Superficie (m2)
40 1
60 1,5
100 2,5
200 3
La tabla presentada, ¿corresponde a una función lineal? Si es así, ¿cuál es la función que relaciona ambas variables? 3.- El costo fijo en la factura del gas es de $1.100 mensuales, más $2.400 por metro cúbico de consumo. Con la información anterior: a) Completa la siguiente tabla: CONSUMO (M3) Valor a pagar($)
3
6
9
12
15
18
b) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona las variables consumo (C) Y valor a pagar (V). c) Si una persona pagó por el consumo del mes $55.000, ¿puede haber consumido menos de 20 m3 de gas? Justifica. 4.- Un container vacío pesa 100 kg, y se utilizará para transportar cajas de 20 kg cada una. a) ¿Cuánto es la masa total del container si contiene 25 cajas? b) ¿Cuánto es la masa total del container si contiene 43 cajas? c) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona el peso total del container con la cantidad de cajas. d) Si la masa total del container es 1.100 kg, ¿cuántas cajas contiene?
PRUEBA DE MATEMÁTICA Nombre: ____________________ Curso: 1º medio A Fecha: _______ Ptje: ____ Puntaje total: 32 puntos Item desarrollo 1.- Dadas las siguientes situaciones, que pueden ser modeladas por alguna función, determina en cada caso la variable independiente y la dependiente. (1 pto c/u) a) La cuenta del agua varía según el consumo que se haya tenido durante el mes. V.I: V.D: b) El índice de masa corporal (IMC) depende de la estatura de una persona. V.I: V.D: 2.- Transantiago es el sistema de transporte que hace más de dos años que está funcionando en Santiago. Si el valor actual del pasaje adulto es de $380 y el valor del pasaje escolar es $130: a) ¿Cuánto paga mensualmente un adulto que realiza dos viajes diarios y viaja 20 días al mes? b) Calcula el gasto de un adulto que realiza 2, 6, 10 ó 20 viajes al mes. Construye una tabla. c) Determina la función que relaciona el valor mensual que paga una persona adulta con la cantidad de viajes que hace en un mes. d) Calcula el gasto mensual que realiza un escolar si hace 4, 10, 16 y 20 viajes al mes. Construye una tabla de valores. e) Determina la función que relaciona el precio mensual que paga un escolar con la cantidad de viajes que hace en un mes. (9 pts) 3.- En Chile hay muchos trabajadores a los que se les paga por comisión. Eso significa que tienen un sueldo base fijo, y aparte de ello les pagan una cantidad por cada parte del trabajo realizado. Lucía es promotora en un supermercado. A ella le pagan como base $3.000 diarios y por cada producto que venda le pagan $340. a) Suponiendo que un día lunes vende 5 productos y un día martes vende 7 productos, ¿cuánto es lo que gana en los dos días? b) ¿Cuánto gana Lucía si un día vende 5, 7, 9 ó 11 productos? Construye una tabla de valores. c) Determina la función que modela y entrega el sueldo de Lucía, en función de la cantidad de productos que venda. d) Construye el gráfico de la función determinada en el ejercicio anterior. (8 pts) 4.- Grafica la función f(x) = -3x + 2 y clasifícala.
Item selección múltiple:
(3 pts)
Marca la alternativa que consideres correcta, escribiendo al lado el desarrollo que la justifique. Si solo marcas la alternativa, tu puntaje corresponderá a 0,5 puntos. (2 pts. c/u) 1.- La pendiente y el coeficiente de posición de la función y = -x + 1, son respectivamente: A) 1 Y -1 B) x y 1 C) –x y 1 D) -1 y 1 E) ninguna de las anteriores. 2.- En la siguiente función el valor de la constante k, para que se cumpla con la condición es: f(x) = 3x + k, si f(-1) = -5
A) -5 B) -3 C) 3 D) -2 E) 2 3.- La siguiente tabla muestra algunos valores de cierta función; determínala: A.- f(x) = 3x + 7 x 0 1 B.- f(x) = 3x + 4 f(x) 7 4 3 C.- f(x) = x + 7
7
D.- f(x) =
3 7
x+3
E.- f(x) = -3x + 7 4.- Si f(x) = 3x y g(x) = -5x + 2, entonces f(g(x)) es: A.- f(g(x)) = -15x + 6 B.- f(g(x)) = 15x – 6 C.- f(g(x)) = -15x + 2 D.- f(g(x)) = -15x – 10 E.- f(g(x)) = 3x – 5x + 3 5.- En la biblioteca, por atraso, cobran $530 de base y $30 por cada hora adicional de retraso. La función que modela esta situación es: A.- f(x) = 530 + 30 B.- f(x) = x + 530 · 30 C.- f(x) = 30x + 530 D. -f(x) = x + 30 + 530 E.- f(x) = 530x + 530 · 30
PRUEBA FORMATIVA DE MATEMÁTICA Nombre: ____________________ Curso: 1º medio A Fecha: _______ Ptje: ____ Item desarrollo 1.- Dadas las siguientes situaciones, que pueden ser modeladas por alguna función, determina en cada caso la variable independiente y la dependiente. a) El consumo de una estufa a gas depende del nivel de potencia con el que se esté usando. b) El aprendizaje de un niño depende del nivel de escolaridad de la madre. 2.- De acuerdo a diversos estudios, Chile es el segundo mayor consumidor de pan en el mundo, con 98 kilogramos per cápita anuales. Si el kilogramo de pan cuesta $920: a) ¿cuánto es el total anual que gasta una persona por consumo de pan? b) Calcula lo que gasta una persona si consume 50, 60, 70, 80 ó 90 kilogramos de pan anualmente. Construye una tabla con dichos valores. c) Determina la función que relaciona el consumo de pan con el precio pagado por cada persona, anualmente. d) Grafica la función del ejercicio anterior. 3.- Grafica la función f(x) = -
x
2
+ 4 y clasifícala.
Item selección múltiple: Marca la alternativa que consideres correcta, escribiendo al lado el desarrollo que la justifique. Si solo marcas la alternativa, tu puntaje corresponderá a 0,5 puntos. 1.- En la siguiente función el valor de la constante k, para que se cumpla con la condición es: f(x) =
k x + 5, si f(3) = 0 3
A.- 5 B.- -5 C.- 3 D.- -3 E.- ninguna de las anteriores 2.- La señora Elsa va a comprar a la feria y paga por el precio de las manzanas un monto que es directamente proporcional a los kilogramos que lleva. Si el kilogramo de manzanas cuesta $280, ¿cuál de las siguientes funciones representa la situación? A.- f(x) = 280 + x B.- f(x) = 280x C.- f(x) = 280x + 280 D.- f(x) = 280 E.- f(x) = kx + 280 3.- La siguiente tabla muestra algunos valores de cierta función; determínala: A.- f(x) = 3x + 7 x 0 1 B.- f(x) = 3x + 4 f(x) 7 4 3 C.- f(x) = x + 7 D.- f(x) =
7 3 7
x+3
E.- f(x) = -3x + 7
