FACSÍMIL 4 DE MATEMÁTICA - 2011 Números y proporcionalidad 1.
1 2 2 = 1 2 1 2 1
A) 1 25 B) 12 5 C) D)
2 10
3 13 E) 3
2.
Si p es un número irracional, ¿cuál de los siguientes números es siempre un número racional? I) p2 A) B) C) D) E)
3.
II) p
III)
3 p p
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
Un padre compra paquetes de dulces para repartirlos repartirlos entre sus 3 hijos. Si cada paquete trae 25 dulces, ¿cuál es el mínimo número de paquetes que debe comprar para que los tres niños reciban la misma cantidad de dulces cada uno? A) B) C) D) E)
2 3 4 5 6
4.
Si M y N son dos cantidades inversamente inversamente proporcionales, entonces ¿cuáles de las siguientes afirmaciones afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)
A menor valor de M, mayor valor de N.
II)
La constante de proporcionalidad proporcionali dad es
III)
El gráfico de M vs N es una línea recta en el primer cuadrante de un sistema de ejes cartesiano.
M 1
N
.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
5.
Si los 5 primeros términos de una secuencia son: 3 , 4 , 5 , 6 , 7 . ¿Cuál es 4 5 6 7 8
la suma entre el noveno y el duodécimo términos de la secuencia? A) B) C) D) E)
6.
237 130 111 60 21 23 15 27 387 208
A, B y C son tres variables tales que, A y B son inversamente proporcionales y A y C son directamente proporcionales. ¿Cuál es la expresión que corresponde a la constante de proporcionalidad entre las tres variables? A)
C
AB 1 B) ABC AB C AC D) B A E) BC C)
7.
2 ∙ 102 + 2 ∙ 10–2 = A) 2,0002 B) 4 C) 2 D) 0 E) 200,02
8.
Para calcular el 20% más de una cantidad x , se puede: I) II) III)
Multiplicar x por 1,2. Multiplicar x por 20 y el resultado dividirlo por 100. Sumar x al resultado de 20 dividido por 100.
A) Solo I B) Solo II C) Solo Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
9.
a
y b están en razón de 2 : 3 y
b
: c = 4 : 3. ¿En qué razón están a y c ?
A) 2 : 3 B) 2 : 4 C) 3 : 4 D) 3 : 9 E) 8 : 9
10.
Al precio precio de costo C de un un artículo artículo se le le agrega un 25% de utilidad utilidad y en seguida se recarga en un 19% por concepto co ncepto de IVA. ¿Cuál es el precio de venta del artículo? A) C ∙ 0,44 B) C ∙ 1,44 C) C ∙ 0,25 ∙ 0,19 D) C ∙ 1,25 ∙ 1,19 E) C ∙ 0,25 ∙ 1,19
Álgebra y funciones 11.
2(a – b) + b = A) B) C) D) E)
2a 2a – 2b 2a + b 2a – b a2 - b x + b
12.
En la ecuación 1
x
2
3 x ,
el valor de 2 x es
A) 5 5 B) 2 4 C) 3 8 D) 3 10 E) 3
13.
Juan tiene p caramelos de menta y q de frutilla, se come uno y regala la tercera parte de los que le quedan. ¿Con cuántos caramelos se queda Juan? p q 1 A) p
B) C) D) E)
14.
1 3
p q 1 p
3 p q 1 2 p
3 p q p
3
1
p q 2 p
3
1
¿Cuál(es) de las siguientes siguientes expresiones es (son) equivalente(s) al enunciado “la suma de 3 múltiplos consecutivos de 3”? (x entero) I) 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 2 II) 3 x – 1 + 3 x + 3 x + 1 x + 1) + 3( x + 3) + 3( x + 6) III) 3( x A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y II E) Ninguna de las tres.
15.
Las dimensiones de un rectángulo son (a + medida de su diagonal?
C)
a 2
D)
a b
E)
2a2
El volumen de una esfera es
A) 2 x B) x + 1 x + 1)3 C) ( x x 1 D) 2 E) 2( x + 1)
2ab3(3ab2)3 = A) 6a4b7 B) 6a6b7 C) 18a9b7 D) 18a6b7 E) 54a4b9 a b
b a
A)
ab ab
B)
a2 b2 ab
C)
a2 b2 ab
D)
b).
¿Cuál es la
2
diámetro?
18.
–
2 a2 b2
B)
17.
y (a
2 a2 b2
A)
16.
b)
2a 2b
E) 1
ab
4 3 x x 3 x 2 3 x 1 ¿Cuál es la medida de su 3
19.
Se define la operación 1 2 3 4 ?
a b a b 1.
Entonces, ¿cuál es el resultado de
A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14
20.
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde con el área de un rectángulo de largo x – 2 y altura 7 – x ? A) 14 + 9 x – x 2 B) 14 + 5 x – x 2 C) 14 – 9 x + x 2 D) –14 + 9 x – x 2 E) –14 + 5 x – x 2
21. 3?
¿Cuál es el intervalo solución del sistema de inecuaciones: 1 < 2 x – 5 < A) B) C) D) E)
22.
[3, ]3, ]1, ]6,
4] 4[ 3[ 8[
8 2 2
=
A) 3 B) 5 10 2 D) 2 1 E) 2 2 C)
23.
125 75 5 A)
10
B)
5 3
C) 5 3 D) 5 15
E) 5 1 3
24.
¿Cuál es el gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones
x 2 1 x 2 6
?
A) 3
4
3
4
1
6
1
6
-1
8
B) C) D) E)
25.
¿Cuál de los siguientes conjuntos corresponde con el intervalo
3, 2 ?
A) { x ℝ/ -3 < x < 2} B) { x ℝ/ -3 < x ≤ 2} C) { x ℝ/ -3 ≤ x < 2} D) { x ℝ/ -3 ≤ x ≤ 2} E) { x ℝ/ x ≤ -3,2}
26.
La figura 1 representa a la función f( x ). ). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? verdadera(s)? I) f(5) = f(-5) II) f(-2) + f(2) = f(0) III) f(-1) < f(1)
Y 2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III
27.
2
2
X
Fig. 1
Las rectas de ecuaciones x + y + 1 = 0 y 2 x + y – 1 = 0 se intersectan en el punto de coordenadas A) (1,-1) B) (-1, 1) C) (-3, 2) D) (2,-3) E) (-1, 0)
28.
¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta de ecuación y = 4 x – 1? A) x + 2y + 1 = 0 B) 4 x + y – 1 = 0 C) x + 4y – 1 = 0 x
D) E)
29.
x
4
2y 1 0 2y 1 0
Un estanque, cuya capacidad es de 5.000 litros, tiene un desagüe que saca agua a razón de 0,2 litros por segundo. ¿Cuál es la relación que permite calcular el contenido C del estanque en el tiempo x al abrir el desagüe, si inicialmente se encontraba a plena capacidad? A) B) C) D) E)
30.
4
C = 0,2 x C = -0,2 x C = 5.000 + 0,2 x C = 5.000 – 0,2 x C = 5.000 x – 0,2
Si x ]0, 1[, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) correcta(s)? I) | x | = x II) | x – 2| = 2 III) |1 – x | = 1 A) B) C) D) E)
31.
– x – x
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
Si [ x ] = la parte entera de x , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? x + 1] = [ x ] + 1. I) Para cualquier número real x , [ x II) Para cualquier número real x < 0, [ x ] = [ x ] 1. III) Para cualquier número real x > 1, [ 1 x ] = 0.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
32.
La parábola que tiene por eje de simetría la recta de ecuación x = 2 es A) B) C) D) E)
33.
y y y y y
= 2 x 2 – 8 x + 2 = 2 x 2 + 8 x + 2 = x 2 – 8 x + 2 = x 2 + 8 x – 2 = 2 x 2 + 8 x + 1
Si K es una constante positiva, el gráfico que mejor representa a la recta y = K y a la parábola y = (K + 1) – x 2 es A)
Y
Y
B)
X
D)
X
X
E)
Y
Y
X
34.
Y
C)
X
Si f( x ) = 5 x , entonces esta función no está definida en ℝ si A) x > 5 B) x = - 5 C) x > –5 D) x < –5 E) –5 < x < 5
35.
Si f( x ) = x y g( x ) = x 3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)? I) Si 0 < x < 1, entonces f( x ) > g( x ). ). II) Si –1 < x < 0, entonces f( x ) < g( x ). ). III) Si x < –1 , entonces f( x ) > g( x ). ). A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
36.
Dada la función exponencial f(x) = 3–x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si a < b, entonces f(a) > f(b). II) f( x ) interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). III) f(-1) = (f(1))–1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
37.
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) II) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
38.
III)
log 100 = 2 log3 log3 log2 log2 log 12 = 2(log 2 + log 3) 3)
En un laboratorio es posible duplicar una molécula de un compuesto químico en un proceso que dura 30 minutos. ¿Cuántas moléculas se tendrán después de 8 horas si el proceso se repite ininterrumpidamente? A) B) C) D) E)
28 2 16 2 15 2·8 2 ∙ 16
Geometría 39.
Al triángulo ABC isósceles de la figura 2, de base 2 y altura 2, se le aplica una traslación de componentes (-3,-2). Entonces, el vértice A trasladado tiene coordenadas Y C
3
A) (0, 1) B) (1,-1) C) (0,-2) D) (-1,-1) E) (1, 0)
A
B 3
Fig. 2
X
40.
La figura 3 es un hexágono regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AD es un eje de simetría. II) E es la imagen de B respecto de AD . III) D es la imagen de A respecto de AD . A) B) C) D) E)
41.
E
D
F
Solo I Solo II Solo III Solo II y III III I, II y III
C
Fig. 3
A
B
¿Cuál(es) de las siguientes figuras corresponde(n) a una teselación regular de un plano ideal? I)
II)
III)
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III
42.
¿Cuántos ejes de simetría presenta el polígono de la figura 4? D
A) B) C) D) E)
Solo 1. 3 4 5 Más de 5.
E
Fig. 4
C
A
43.
B
En la figura 5, ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) B) C) D) E)
I) II)
AED BEC
III)
∢ DEC = 150°
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
C
D
DC AB
E
A Fig. 5
B
44.
En la figura 6, sobre los lados del cuadrado ABCD de lado 12 cm, se sitúan los diámetros de cuatro circunferencias congruentes entre sí. El diámetro de cada circunferencia es igual a la mitad del lado del cuadrado menor. Si las circunferencias son tangentes al cuadrado PQRS, el perímetro del cuadrado mayor es S R A) 60 cm B) 64 cm
D
C
A
B
C) 72 cm D) 76 cm E) 80 cm Fig. 6
45.
Q
P
En la figura 7 se se tienen dos cuadrados congruentes de lado 6 cm. Si la superficie del cuadrado no sombreado es 25 cm2, la superficie de la región sombreada es A) 11 cm2 B) 22 cm 2 C) 47 cm 2 2
D) 24 cm E) 28 cm
46.
Fig. 7
2
En la figura 8, ABCD y EFGH son cuadrados, E y H son puntos medios. Si el área achurada mide 2 cm2, ¿cuál es la superficie total de la figura? G
A) 11 cm2 B) 16 cm 2 C) 22 cm 2 D) 24 cm2 E) 30 cm2
H
D
C
E
Fig. 8 A
47.
F
B
El trapecio ABCD de la figura 9 es rectángulo de bases AD y BC , AC y BD son sus diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E) I, II y III
C
AED CEB ABE CDE ACD BAD
D E Fig. 9 A
B
48.
En la figura 10, L1 y L2 son dos rectas paralelas separadas por una distancia igual a 16 unidades. AC es una transversal perpendicular a L 1. ¿Cuál es la medida de MN ? A
L1
A) B) C) D) E)
49.
3 8 5 15 20
3 M
B
Fig. 10
4 x L2
N
X + 6
C
En un centro comercial, una escalera mecánica que conecta el primer nivel con el segundo, tiene una longitud de 50 m. Si el segundo nivel se encuentra a una altura de 8 m respecto del primero, ¿a qué altura se encuentra una persona que se subió a la escalera en el primer nivel y se ha desplazado 12 metros? A) B) C) D)
1,41 0,24 3,33 1,92
m m m m
E) 2,53 m
50.
En la circunferencia de centro O de la figura 11, la la medida del ángulo ángulo ACB es A) 20° B) 40° C) 50° D) 80°
B
Fig. 11
C
O 40°
E) 100°
A
51. En la circunferencia circunferenci a de la figura 12, BC es diámetro y AC es una cuerda. Si el arco BCA mide 300°, ¿cuál es la medida del ∢ BCA? A) 300º B) 150º C) 60º D) 30º E) 90º
B
A Fig. 12
C
52.
El cuadrado ABCD de la figura 13 es de lado 2 : 1, entonces la medida de MN es A)
2
2 cm. Si BR : RS : SC = 3 :
D
cm
3
C
M
3
E)
53.
B
A
2 2 3
cm
12 40 48 52
cm cm cm cm
E) 60 cm
Fig. 13
Q
P A
B
Fig. 14
En el triángulo rectángulo de la figura 15, AD = 6 cm y DC = 2 cm. ¿Cuál es el área del ABC? A) 120 cm2 B) 6 10 cm 2 C) 60 cm2 D) 12 10 cm 2 E) 54 cm2
55.
R
En la figura 14, el trazo AB mide 20 cm y está dividido armónicamente por los puntos P y Q en razón de 3 : 2 (AP > PB). Entonces, la medida de PQ es A) B) C) D)
54.
S
N
B) 2 2 cm C) 4 cm 2 D) cm
C
D
Fig. 15 B
A
En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 16, el valor de cos es A)
C
x
3 x
Fig. 16 x
B) x 10 C) D) E)
x x 10 3 x x 10 x 10 x
A
x
x
x
B
56.
Desde un punto situado situado a 20 m del frontis de un edificio, se observa un balcón del 4° piso con un ángulo de elevación de 25°. ¿A qué altura se encuentra el balcón del 10° piso si todos los pisos son de igual tamaño? A) 50 ∙ tg 25° m B) 10 ∙ tg 25° m C) 50 ∙ sen 25° m D) 10 ∙ sen 25° m E) 200 ∙ tg 25° m
57.
Una circunferencia de diámetro 4 cm, gira indefinidamente en torno a su diámetro. ¿Cuál es la superficie del cuerpo generado?
A) 64 cm2 B) 16 cm2 32 C) cm2 3 16 D) cm2 3 E) 4 cm2
58.
El triángulo ABC ABC de la figura 17 es rectángulo en B y las coordenadas de sus vértices son A(3, 2, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) B) C) D) E)
I) El cateto AB está contenido en el plano XY. II) El cateto cateto BC está contenido en el el plano YZ.
Z
III) La hipotenusa del triángulo triángulo mide
C
Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III
17 .
Fig. 17
B
X
Y
A
Estadística y probabilidad 59.
Si el abecedario contiene 27 letras en total, ¿cuál es la probabilidad probabilid ad de escoger una vocal al azar? A) B) C) D) E)
1 5 1 27 5 27 5 22 1 22
60.
Si se elige al azar una letra letra de la palabra PARALELEPÍPEDO, PARALELEPÍPEDO, ¿cuál es la probabilidad de que sea una vocal? A) B) C) D) E)
61.
Se lanzan un dado común y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad probabilid ad de que salga cara en la moneda moned a y un número par en el dado? A) B) C) D) E)
62.
4 14 7 14 4 7 7 8 4 8
3 12 3 6 4 12 1 12 1 4
En una carrera carrera participan 4 atletas, atletas, A, B, B, C, y D. ¿Cuál es la probabilidad de que D ocupe uno de los 3 primeros p rimeros lugares? lugares? A) B) C) D) E)
1 4 3 24 3 4 1 2 1 3
63.
Se tiene tiene una caja cerrada con 3 fichas fichas negras negras y 2 blancas blancas y otra caja cerrada, igual a la anterior, que contiene 3 fichas negras y una blanca. Si se escoge una de las dos cajas y en seguida se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha escogida sea blanca? A) B) C) D) E)
64.
1 3 1 10 1 20 13 20 13 40
La tabla tabla adjunta muestra la estadística estadística del número número de hermanos hermanos de los alumnos de un 4° medio, separados por género. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Hombres Mujeres
0 hermanos 2 4
I)
1 hermano 6 3
2 hermanos 6 5
3 hermanos 1 2
Más de 3 hermanos 1 0
Si se elige a una mujer al azar, la probabilidad de que no tenga hermanos es 4 de 30 II) Si se elige a un hombre al azar, la probabilidad de que tenga más de 2 2 hermanos es de 30 III) Si se escoge a un alumno al azar, la probabilidad de que sea mujer y que 5 tenga 2 hermanos es de . 30
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
65.
En una estadística estadística de variable x y cuyo número total de datos es T, la moda, la mediana y la media aritmética son iguales a M. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? correcta(s)? I) x = M es el dato de mayor frecuencia. T II) M 2 III) La suma de todos los datos es igual a MT. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
66.
En una encuesta aplicada a 1.000 jóvenes de la Región Metropolitana acerca del tipo de pantalón que más usaba en sus actividades diarias, la moda de dicha encuesta es “ jeans”. De acuerdo a esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Más del 50% de los jóvenes encuestados usa “ jeans”. II) El promedio de los jóvenes encuestados encuestados usa “ jeans” . III) La mediana del conjunto de jóvenes encuestados encuestados es “ jeans” . A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguna de las tres.
67.
De acuerdo a la tabla de la figura 18, ¿cuál es la frecuencia relativa relativa acumulada del dato x = D? A) 3 B) 16 3 C) 17 16 D) 17 3 E) 16
f 2 4 7 3 1
x
A B C D E Fig. 18
68.
Un curso de especialización especialización profesional de un año de duración duración en un Centro de Formación Técnica, tiene una matrícula anual de 100 alumnos. El gráfico de la figura 19 muestra el porcentaje de egresados desde el año 2005 hasta el año 2010. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s v erdadera(s)? )? I) II) III)
Si se se elige al al azar a un alumno de la promoción promoción 2005, es más probable que no hubiese egresado. Si se elige al azar a un alumno alumno de la promoción promoción 2008, es menos probable que no hubiese egresado. egresado. 80% De acuerdo a los resultados 75% 70% graficados, es seguro que un 60% alumno egrese en el año 2014. 50%
A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
40%
Fig. 19
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Evaluación de suficiencia de datos 69. Se puede determinar la suma de dos números naturales si si se sabe que: (1) (2) A) B) C) D) E)
70.
El menor de los números equivale equivale al 75% del mayor. Uno de los números es 12.
(1) por sí sola sola (2) por sí sola sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere requiere información adicional
Se puede saber saber cuál es el precio de venta de un artículo de ferretería, si se sabe que: (1) (2)
El artículo se vendió al 59% del costo. El precio de costo es $ 2.500, el el margen de ganancia es de un 40% y el impuesto al valor agregado es de 19%.
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
71.
Se puede determinar el signo de la expresión
2 x 2 4 x 6 si se x 2 1
sabe
que: (1) x 3 es un número positivo. (2) x + 1 es un número positivo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
72.
Un capital C se deposita por 1 año a un cierto porcentaje de interés interés compuesto. Se Se puede determinar el capital final, si se sabe que: q ue: (1) (2)
El porcentaje de interés es de un 0,5%. Los períodos de capitalización son trimestrales.
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
73.
En la figura 20, se puede determinar el valor de a si se sabe que: (1) (2)
L1 // L2, a : c = 3 : 2, b = 3 y d = 2. L1 // L3, a : b = 3 : 1, c = 6 y d = 2.
L1 a
A) (1) por sí sola . B) (2) por sí sola . C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
74.
L2
Fig. 20
c
L3
Se puede determinar la altura de un árbol si se conoce: (1) La longitud de su sombra a las 10 a.m . (2) La longitud de la sombra de un árbol de altura conocida. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
b
d
75. Sabiendo los datos de una serie finita de datos, se puede determinar el promedio si: (1) La frecuencia absoluta de todos los datos de la serie. (2) La frecuencia relativa de todos los datos de la serie. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
PAUTA DE RESPUESTAS CORRECTAS – FACSÍMIL 4 – 2011 PREGUNTA
CLAVE
PREGUNTA
CLAVE
PREGUNTA
CLAVE
PREGUNTA
CLAVE
1
B
21
B
41
A
61
E
2
C
22
A
42
D
62
C
3
B
23
D
43
E
63
E
4
C
24
A
44
C
64
C
5
B
25
B
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