FACULTAD DE INGENIERÍA
Guía de estudio:
CÁLC CÁLCUL ULO OI
Tema: Funciones
2016-I
FUNCIONES
: : =
) si para Dados dos conjuntos y , no nulos, se dice que es una función de en ( cada elemento existe un único elemento , el cual se denota por . El conjunto es llamado dominio y el conjunto rangode la función . Los valores del dominio se representan en el eje X y los valores del rango en el eje eje Y.
La gráfica de una función es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma plano cartesiano donde .
Observaciones: -
; del
En toda función no puede haber dos pares ordenados diferentes cuyas primeras componentes sean iguales. Con respecto a la definición anterior, cuando y son subconjuntos de los números reales (función real de variable variable real), toda recta vertical vertical (paralela al eje y) interseca interseca a la gráfica de una función en a lo más un punto.
Formas de representar una Función a) Verbal (mediante una descripción con palabras). Ejemplo: La distancia recorrida por un móvil, está en función del tiempo trascurrido. b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita). Ejemplo:
=2 la longitud de la circunferencia. circunferencia.
c) Visual (con una gráfica).
y
f ( x )
x
f
d) Diagrama Sagital Ejemplo:
A
Dominio
B
Rango
e) Conjunto de Pares Ordenados Ordenados Ejemplo: f = (2; (2; 3), (3;4), (3;4), (3;1), ;1), (4;5) (4;5)
2
EJERCICIO 1 Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares e indique el cuadrante al que pertenece cada punto. 2,6 , 4 , 4 , 3,7 , 6,3 , 1 ,8 , 2,0 , 0, 7
EJERCICIO 2 Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares e indique el cuadrante al que pertenece cada punto.
( 0 , 3 ) (1,8)
( 2 , 1) (2,0)
( 3 ,5 ) (0,11)
( 4 , 6 ) (2,9)
EJERCICIO 3 Indique cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamente sus respuestas. a) La nota 16 y los alumnos de un salón. b) El costo del servicio de luz del distrito de los Olivos Olivos y los vecinos. c) Las personas y su número de DNI.
EJERCICIO 4 Indique cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tus respuestas. a) A cada número real se le asocia su doble. b) El peso de un estudiante y el número de estudiantes de un salón. c) Las personas y la huella digital de su dedo índice de la mano derecha.
EJERCICIO 5 Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.
b)
;1),(6;; 2), 2), (3; (3; 16),(4;1 16),(4;1),(3, ),(3, 4) (2;1),(6 3;0),(0 ,(0;0) ;0),(2 ,(2;; 8),(5 8),(5;3),(2 ;3),(2;; 2) (3;0)
c)
(3;2),( 3 ;7),( 1;2 (3;2),(
a)
3
2
2
),(0;2),(9 ),(0;2),(9;7) ;7)
EJERCICIO 6 Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.
(2; 3), (3;4), (3;4), (3;1), ;1), (4;5) (4;5) (2; c) (1;1), ;1), (2;7), (1 (1; 4), ( 2;7)
a)
b) (1;2), (2;2), (3;3)
EJERCICIO 7 Indique cuáles de los siguientes diagramas representan representan una función
3
EJERCICIO 8 Indique cuáles de las siguientes gráficas representa una función
EJERCICIO 9 Determina el valor de la función para el punto señalado: Función
=−2+1 = 2−3 1− = = 4
(− 14)
−5
0
− 1
EJERCICIO 10 Sabiendo que: f ( x 3) 3 x 5x 6 , determine el valor valor de M f 2 f 1 . 2
EJERCICIO 11 Indique cuáles de las siguientes gráficas representa una función a) b)
c)
EJERCICIO 12
x 2 ; 4 x 4 3 f 3 2 f 2 H Sabiendo que: f ( x ) , Determine el valor de 3 f (5) 2 f 2 16 x 2 ; 4 x 8 EJERCICIO 13 Determine el dominio y el rango de la función representada en el gráfico siguiente
4
EJERCICIO 14 Determine el dominio y el rango de la función representada en el gráfico siguiente
EJERCICIO 15 Determine el dominio y el rango de la función representada en el gráfico siguiente
Respuestas: Ejercicio
Respuesta
2.
Eje Y; IV C; I C; II C IV C; Eje X; Eje Y; IIC a) Si es función b) Si es función a) Si es función b) Si es función a) No es función b) Si es función 38 1
4. 6. 8. 10. 12. 14.
Domf ( x)
{ 5;2};
c) Si es función c) No es función c) Si es función d) No es función
Ranf ( x) ] ;. 2[ ]0;6[ {1}
5
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Sea la función f = {(1; 7a+3b),(-2;3a+2b), (a+b;4),(2;1),(1;-8),(-2;-2), (-3;2b),(6,4)}.Determine:
EJERCICIO 2 Determina el valor de la función para el punto señalado: Función
=−2+1 = 1 − = 6
0
−2
+ 1
1
− 1
EJERCICIO 3 Tenemos una hoja de papel , lo recortamos por una línea paralela a la base (ver figura), enrollamos el papel y obtenemos un cilindros de radio 3 cm y altura x:
El volumen del cilindro es:V =
3¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
EJERCICIO 4 Se corta un alambre de 20cm.de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo. Si x representa el lado más corto, expresar el área del rectángulo en función de x, determinar el dominio y el rango de la función
EJERCICIO 5 En cada una de estas gráficas determine : Dominio, Rango, .
6
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES FUNCIÓN CRECIENTE Y FUNCIÓN DECRECIENTE.
< < ; , ∈ . 2) es decreciente en el intervalo , si > siempre que < ; ,∈. Sea un intervalo en el dominio de una función . Entonces: 1) es creciente en el intervalo , si siempre que
(x6 , f(x6 ))
EJEMPLO 1
(x3 , f(x3 ))
Según la gráfica, la función es: Creciente en los intervalos
,
(x5 , f(x5 ))
Decreciente en los intervalos ,
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS Intersección con el eje x Hacemos y
f ( x)
0 y hallamos el valor de x .
- Intersección con el eje y Hacemos
x
0 y hallamos el valor de y.
EJEMPLO 1 Consideremos la función g ( x) x 2 2x 3 y busquemos las intersecciones con el eje X. Para ello debemos resolver la ecuación g(x)= x 2 2 x 3 0 . Como vimos anteriormente, esta ecuación polinómica de grado 2 se puede resolver. x1 ,2
2
2
2 4 1 3 2 1
Luego, la intersección con el eje x es : x1 1 y
x
2
24
2
3
Los puntos de intersección de la función g ( x) con el eje X , son los puntos (-3,0) y (1,0) . Para hallar la intersección con el eje y Le damos el valor a x=0,
y g ( 0 ) 02
y 3
0 x 3 3. 2
Luego, la intersección con el eje y es : y
3
1
( – 3, 0) -4
(1, 0) (0,-3) 2
-2
x
-1
-2
-3
-4
7
FUNCION DEFINIDA POR PARTES Existen funciones que no pueden representarse mediante una única expresión. Por ejemplo si consideramos la función que le asigna a los números negativos el –1 y a los números positivos el 1, no podemos hallar una única expresión para dicha función. En estos casos dividimos el dominio de la función en partes. En el caso anterior, el dominio quedaría dividido en dos partes: los números negativos, para los cuales corresponde la expresión f ( x ) = –1, y los números positivos, para los cuales corresponde la expresión f ( x ) = 1, esto es
1 si x 0 1 si x 0
f ( x ) EJEMPLO 2
2 x 1 si x 1 f ( x ) 4 si 1 x 3 x si x 3 ¿Cuánto vale f (0)? Para poder responder esta pregunta es necesario que identifiquemos cuál de las partes en las que está dividido el dominio es la que contiene al número 0. Como 0 verifica la segunda condición, es decir, 1 0 3 , entonces, la imagen que le corresponde es 4. Si, en cambio, queremos hallar f ( –5), entonces, puesto que –5 cumple la primer condición, es decir, –5 < –1, la imagen que le corresponde es 2.( –5) + 1 = –9. Luego f ( –5) = –9. El gráfico de la función f está dado por:
FUNCION PAR Una función es par, si se cumple que f ( x) f ( x); x dom ( f ) Geométricamente se reconoce que una función es par cuando su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
EJEMPLO 3 La función definida por el f x
x
6
∀ ∈
6
es par, pues x IR se tiene f x x
x6
f x
8
FUNCION IMPAR Una función es Impar, si se cumple que
f ( x ) f ( x ); x dom ( f )
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.
EJEMPLO 4 La función f x f
Por tanto
f
x
x
3
x
x
es impar, porque
3
x 3
f x
.La gráfica de f es simétrica con respecto al origen de coordenadas
f x
FUNCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS: Función Positiva en un intervalo I : La gráfica está por encima del eje x en el intervalo I . ( x en I , f (x) > 0) Función Negativa en un intervalo I: La gráfica está por debajo del eje x en el intervalo I . ( x en I , f (x) 0)
EJEMPLO 5 Según la gráfica, la función es: Positiva en los intervalos <-3, - 1> ,<2, +∞> Negativa en los intervalos <-∞,-3> ,<-1,2>
EJERCICIO 1 Dadas las siguientes funciones
a) f x b) f ( x )
x2 x
Determine los intervalos en donde cada función: a) Es creciente. b) Es decreciente.
EJERCICIO 2 Dadas las siguientes gráficas de las funciones
f x
e x g x Lnx
Determine A f (0) g (1)
9
EJERCICIO 3 Determine si la función mostrada es par o impar f(x) =x5
y
EJERCICIO 4
f ( x )
Determine el intervalo donde la función es creciente 6
2
4
6
2
4
x
3 4 EJERCICIO 5 Determine si la siguiente función es simétrica respecto al eje y: f x 1 x
2
EJERCICIO 6 Determine si la siguiente función es par: f x
1 1 x
EJERCICIO 7 Determine si la siguiente función es simétrica respecto al origen: f x x 2x 1 2
EJERCICIO 8 Determine si la siguiente función es impar: f x
x 1 x
2
EJERCICIO 9 Determine los intervalos donde la función mostrada es creciente y decreciente
EJERCICIO 10 Determine el intervalo donde la siguiente función es creciente:
f x x 2
2x
EJERCICIO 11 Determine el dominio de las siguientes funciones: 10
a ) f ( x)
b ) f ( x)
x2
1
1 1 x 2 x
c) f ( x)
x 2
2x
3
EJERCICIO 12 Determine las coordenadas donde la gráfica de la función intercepta a eje x: f x x
2
2x
EJERCICIO 13 Determine las interceptos con los ejes de la función: f ( x) x 2
EJERCICIO 14 Determine las coordenadas done la gráfica intercepta a los ejes coordenados: f ( x)
1 x 2 1 x 2
EJERCICIO 15 Determine las interceptos con los ejes de la función: f ( x)
2 x 2 x2
Respuestas: Ejercicio
Respuesta
2.
A=1
4.
4;2
6.
Si, f es una función par
8.
Si, f es una función impar
10.
12.
(0; 0)
14.
al eje x en (1;0) ; ( 1;0) ;
; [ ;
2; 0
;
al eje y (0,1)
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Determina el valor de la función para el punto señalado: Función
0
=−2+1 = 1 − = 6
−2
+ 1
1
− 1
EJERCICIO 2 Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares; impares o ninguno de esos tipos a) b) c)
f ( x ) 2 x
4
x
5
4x
2
g ( x ) x 3 4 x x , si x 1 f ( x ) 2 x 2 x 3 , si x 1 11
EJERCICIO 3 Determine si la siguiente función es simétrica respecto al origen:
f x x
3
2x
EJERCICIO 4 Determine el conjunto de los números reales donde la función es positiva o negativa: a) f x x 2 x 3 b) f x
x 2x
2
1 3x
EJERCICIO 5 Dadas las siguientes gráficas de funciones.Determine los intervalos en donde cada función: a) Es creciente. b) Es decreciente.
FUNCIONES ESPECIALES
1. Función constante f ( x )
c , donde
c
es una constante, Dom f IR , Ran f
c
f ( x) c
12
2. Función identidad f ( x) x , Dom f IR , Ran f IR
f ( x) x
3. Función lineal f ( x) ax b, con a 0 , Dom f IR , Ran f IR f ( x) ax b b
4. Función cuadrática f ( x ) ax 2 bx c, con a 0 , Dom f IR , Ran f IR0
EJEMPLO 1 f ( x)
x2
EJEMPLO 2 Sea f ( x) 2 x 2 8x 5 la función cuadrática. Completando cuadrados, resulta: 5 2 5 2 x 4 x 4 4 2 13 2 x 2 2 x 2 13 2 2 Por lo tanto, f ( x) 2x 2 13
f ( x ) 2 x 4 x 2
2
2
2
Donde a = 2, h = –2 y k = –13.
13
5. Función raíz cuadrada f ( x)
x , entonces: Dom f IR0 , Ran f IR0
f ( x)
x
6. Función valor absoluto
f x
x , donde
x
x , x,
si x si x
0 0
, Dom f IR , Ran f IR0
f ( x)
x
14
TRANSFORMACIONES EN LA GRÁFICA DE FUNCIONES DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LAS GRÁFICAS
= + >0
= − >0
Desplaza la gráfica de hacia arriba unidades
=
Desplaza la gráfica de hacia abajo unidades
=
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LAS GRÁFICAS
= − >0
Desplaza la gráfica de hacia la derecha unidades
= + >0
Desplaza la gráfica de hacia la izquierda unidades
=
=
GRAFICAS REFLEJADAS
=
=−
La gráfica de se refleja respecto del eje .
=−
La gráfica de se refleja respecto del eje .
=
15
EJEMPLO 3 La función cuadrática f ( x ) x la vamos a desplazar g ( x ) 2
f ( x
h )
x
h . 2
En el siguiente gráfico se pueden observar las parábolas que resultan cuando h = 0, h = –2, h = 2, h = 4 y h = –5.
h = – 5
h = – 2
h = 0
y
h = 2
5
h = 4
4 3 2 1 x -7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
EJEMPLO 4
f ( x ) x 2 k . En el siguiente gráfico se pueden observar las parábolas que resultan de hacer k = 0, k = –1, k = 2, k = –3 y k = 6.
k = 2
y
k = 1 k = – 1
k = 0
3
k = -2
2
1
x -2
-1
1
2
-1
-2
EJEMPLO 4 Ahora graficaremos la función cuadrática de la forma
f ( x )
ax
2
.
En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer a = 1, a = –1, a = 3, a = –3, a = 12 , a = 12 . y aa=3 a = 1 a=3
a=1/2
a = 1
3
2
1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
16 a = – 1
-3
a = – 3
a =
Dada la forma canónica de una función cuadrática f x a x h
2
k , se tiene que:
El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parábola. El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la parábola. El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parábola.
Ya vimos que el vértice de la parábola y = x 2 es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en cuenta los desplazamientos analizados podemos inferir que el vértice de una función cuadrática de la forma
f x a x h k es el punto (h, k ) , ya que todos los puntos de su gráfica están desplazados h unidades en la dirección del eje de las x , y k unidades en la dirección del eje de las y . 2
EJERCICIO 1 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x)
x 2
4x
1
EJERCICIO 2 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x)
x
5
EJERCICIO 3 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x)
2x 6
EJERCICIO 4 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x )
1
x
3
EJERCICIO 5 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x )
2
3x
EJERCICIO 6 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:
x 2 4 f ( x) x 5
, si x 3 , si x 3
EJERCICIO 7 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:
x
f ( x)
6
; x 9,6 ; x ] 6, [
EJERCICIO 8 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
3 x 8 , 10 x 5 f ( x) 2 x 9 , x 5 EJERCICIO 9 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
3 x 2, si 4 x 4 , si 4 x 6 x
f ( x )
EJERCICIO 10 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
x 2 9 , x 3 f ( x ) x 3 2, , x 3,5 2 x 10 x 26 , x ]5, 7 EJERCICIO 11 x 2 6x 1 , x 2 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función: f ( x ) x 1 , 2 x 3 1 , x 3 17
EJERCICIO 12 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
x 2 1 ; f ( x) x 1 ; ; x
2 x 0 0 x 4 x 4
EJERCICIO 13 Determine
el
dominio,
el
rango
y
dibuje
la
gráfica
de
la
función:
x -2 20 ; f ( x) - 6 x-12 4 ; -2 x 4 3 x-20 ; x 4 EJERCICIO 14 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
10 x 6 , si 8 x 4 f ( x) 2 x 1 , si 4 x 1 x 2 2, si 1 x 3 EJERCICIO 15 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
2 x 4 , x 13,4 x f ( x) , x 4;4] 2 x 8 1 , x 4,
Respuestas: Ejercicio Respuesta 2. Dom f , Ran f 0
4.
Dom f ( x) [3,[ ; Ran f ( x) [;1]
6.
Dom f ( x) R; Ran f ( x) 4, [
8.
Dom f ( x) [10,[ ; Ran f ( x) [1,[
10.
Dom f ( x) ;7]; Ran f ( x) 2, [
12.
Dom f ( x) 2, [; Ran f ( x) [1,[
14.
Dom f ( x) [8;3]; Ran f ( x) [7;. 1[[2;.11]
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: f ( x )
2
2x
3
EJERCICIO 2 Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:
x 2 f ( x ) x 4 2
, si x 2 , si x 2
18
EJERCICIO 3 Grafique la función f ( x ) i) f ( x )
2x
2
2
2 x . A partir de ella graficar
3,
ii) f ( x )
2x
2
4 , iii) f ( x )
2x
2
2
EJERCICIO 4 Relacione cada grafica con su ecuación a) f ( x ) , b) f ( x ) x 2 ,
f ( x ) x
2
c) f ( x )
x
1,
d)
1
EJERCICIO 5 Determine el dominio, el rango y dibuje la gráfica de la función:
x 2 , si 6 x 3 f ( x ) 2 x 1 , si 3 x 0 x 1 , si 0 x 3 2
FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función lineal es aquella que se puede escribir de la forma:
=+ donde es la variable independiente, y son números reales. Observación La gráfica de f en el plano cartesiano es una recta, donde es la pendiente de la recta y el intercepto con el eje de ordenadas.
Pendiente de una recta Sean ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta se define como:
y
y
x
x
2
m
cambio vertical
1
2
1
cambio horizontal
Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero
Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical Pendiente positiva
Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa
Recta que desciende de izquierda a derecha
19
Ecuación de la Recta Ecuación punto – pendiente Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto ( x0 , y0 ) , tiene por ecuación: y
y0
m( x
x0 )
EJEMPLO 1 Determinar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5. Solución: Tenemos punto de paso (1,4) y m 5 , luego la ecuación de la recta es simplificando L : y
y
4
5( x 1)
5x 1 .
Ecuación que pasa por dos puntos Sea la recta L que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) y
( x2 , y2 ) . Entonces la ecuación de recta es:
y
y2 y1 ( x x1 ) y1 x x 2 1
EJEMPLO 2 Determinar la ecuación de la recta L que pasa por:
Solución: hallando la pendiente
5 m
2
3
3 ( 1)
1; 2
y tomando como punto de paso cualquiera de
ellos, digamos el punto 3;5 , se tiene la ecuación: y 5 3
3;5
4
Reduciendo tenemos: L : y
y
4
x
3 4
x 3 .
11 4
Rectas Paralelas y Perpendiculares Rectas Paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas, si sus pendientes Es decir
L1 // L2
si sólo si m1
m
2
m1 y m2 son iguales.
.
Rectas Perpendiculares Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, si sus pendientes relación m1.m2
1 . Es decir L1 L2 si y solo si
Aplicaciones p
m1
m1 y m2 satisfacen
1
la siguiente
.
m2
p
Pendiente negativa
Pendiente positiva q
q
Demanda Lineal
Oferta Lineal
p a es cantidad de equilibrio b es precio de equilibrio.
n
(a,b) Punto de equilibrio
m
20
q
EJEMPLO 3 Las curvas de oferta y demanda están dadas por: P = 2q + 150 y P = - 3q + 100 respectivamente. Determine el punto de equilibrio para la oferta y la demanda. Solución: Usando la definición de punto de equilibrio, igualamos las dos ecuaciones. 2q + 150 = - 3q + 100 Empleando el método de igualación para resolver sistemas 2x2. 2q + 3q = 100 + 150 5q = 250 entonces q = 50 Reemplazamos q = 50 en cualquiera de las dos ecuaciones. P = 2q + 150 P = 2(50) + 150 = 250 A un precio de 250 los consumidores compraran 50 unidades del producto. Que corresponde al mismo número de unidades de producto que el fabricante está dispuesto a vender a un precio de 250.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática de variable es aquella que se puede escribir de la forma
= ++ donde , y son constantes reales, y ≠ 0. Observación La gráfica de toda función cuadrática = + + ≠ 0 es una parábola.
Representación gráfica de una función cuadrática. Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical x
h,
llamada eje de simetría y con vértice V h, k . si
0,
2
si
y ax bx c la parábola se abre hacia arriba.
a
a
0
; y
ax 2
la parábola se abre hacia abajo.
y
y k
k
bx c
(h;k)
(h; k )
h Dom( f ) R ;
h
x
=[;+∞[ Dom( f )
k valor mínimo de la función
k
R;
x
=]−∞;]
valor máximo de la función
Coordenadas del Vértice
b
b , f 2a 2a
Las coordenadas del vértice son: V h , k
EJEMPLO 3
= 2 −8+9
Determine el dominio, rango y gráfica de Solución: Para hallar el vértice; con a 2, b
8 y
c 9, 21
b
Tenemos h
2a Luego el vértice es:
8
2(2) V
= 2 =22 −82+9
2 y
(2,1)
y
Como a 2 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba
Dom( f )
Gráfica
R
=[1;+∞[
1
(2;1) 2
EJERCICIO 1 Determine la ecuación de la recta L que corta al eje
x
x
en 3 y tiene pendiente 2.
EJERCICIO 2 Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto y
2x
1;2
y es paralela a la recta
3.
EJERCICIO 3 Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto
2;1
y es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos 2; 6 y 9;1 .
EJERCICIO 4 Determine el dominio y rango de f ( x)
2 6 x 3x 2
EJERCICIO 5 Determine el dominio, rango y gráfica de f ( x)
2 x 2
8 x
EJERCICIO 6 Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son, respectivamente: 180 2q q 18 p f q y p f q . Obtenga el punto de equilibrio. 15 6
EJERCICIO 7 Una compañía va a entregar mensualmente 5000 linternas de bolsillo a un precio de S/.50 la unidad; si el precio unitario es de S/.35, ofrece 2000 unidades. Suponiendo que la función de la oferta es lineal. Obtenga la función de la oferta.
EJERCICIO 8 Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda, si dicha ecuación es lineal.
EJERCICIO 9 A un precio de $2400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que la demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta en $300 por unidad, la oferta y la demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente. a) Determine las funciones de demanda y de oferta, suponiendo que son lineales. b) Determine el precio y cantidad de equilibrio.
22
EJERCICIO 10 Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 40 cada una. Hallar el precio por unidad cuando se requiere 67 unidades.
EJERCICIO 11 El gerente de una fábrica de refrigeradoras observa que si la empresa fabrica 30 refrigeradoras el costo total es $25 000, y si fabrica 40 unidades el costo total es $30 000. a) Modele la función lineal que represente el costo total en términos de la cantidad q de refrigeradoras producidas b) Si la empresa vende cada refrigeradora a $1 500, determine la función ingreso en términos de la cantidad q de refrigeradoras vendidas. c) Modele la función utilidad en términos de q. ¿Cuántas refrigeradoras debe vender esa empresa, para alcanzar el equilibrio?
EJERCICIO 12 Los costos de producción de una empresa que confecciona ternos se expresa mediante la función
C (q) 2q 2
280q 15000 , donde q representa el número de ternos fabricados y el costo se
expresa en dólares. a) Determine el nivel de producción que minimice el costo. b)
Determine dicho costo.
EJERCICIO 13 Por un vuelo en Wayra Perú cobran $ 200 por persona, más $ 4 por persona por cada asiento no vendido del avión. Si el avión tiene capacidad para 100 pasajeros y si representa el número de asientos no vendidos, encuentre lo siguiente. a) Una expresión para el ingreso total recibido por el vuelo. b) La gráfica para la expresión anterior.
c) El número de asientos no vendidos que produciría el ingreso máximo. d) El ingreso máximo.
EJERCICIO 14 Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta p costo unitario de $40. Si los costos fijos son de $1 800. a) Halle la función Utilidad. b)
Determine el nivel de producción que maximice la utilidad.
c)
Determine dicha utilidad.
150
q y un
EJERCICIO 15 Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su última novela de ficción será donde es la cantidad de libros que puede vender, por un año, a un precio de cada uno. a) Construya la función ingreso e identifique su dominio. b) ¿Qué precio debe cobrar la editorial para obtener los máximos ingresos anuales? c) ¿Cuál es el ingreso máximo?
= −2 000+ 150 000, $
23
Respuestas: Ejercicio
Respuesta
2.
: =2
4.
Dom( f )
6.
El punto de equilibrio es 30,8 .
8.
1
p
30
R ;
=]−∞;5]
454 q
3
10.
El precio sería de $16 si se requieren 67 unidades.
12.
70 unidades; $ 5 200.
14.
U= - q2 + 110q - 1800; 55 unidades; $1 225.
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto y x 6 .
(-2,2) y es paralela a la recta
EJERCICIO 2 ¿Qué gráfica corresponde a cada ecuación?
a) y=x/4 +3 b) y=4x+3 c) y=-x/4-3 d) y=-x/4 +3 e) y=-3 f) y=3x+4 g) y=x/4 h) y=-4x
EJERCICIO 3 Determine dominio, rango y gráfica de
f ( x ) 2 x 2
6 x
24
EJERCICIO 4 La demanda por semana de un producto es de 160 unidades a un precio de $ 45 por unidad y de 350 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda, si dicha ecuación es lineal.
EJERCICIO 5 La función oferta para un cierto tipo de lámparas para escritorio está dada por la ecuación
P ( x ) 0.125 x
2
.5x 15
0
Donde x es la cantidad ofrecida en miles P(x) es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica y determine el valor óptimo (máximo o mínimo).
FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA FUNCION EXPONENCIAL Definición. Sea f una función, tal que exponencial de base
a
f x
a x , a >
0,
a 1
, a f se le llama función
.
La gráfica de una función exponencial depende de la base, a saber:
Caso 1: Sí
a 1
. La gráfica presenta la forma siguiente:
La gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que uno, tiene las siguientes características: Su dominio es IR .
Rango es IR . Es estrictamente creciente. Tiene asíntota al eje X negativo.
(0,1)
Interseca al eje Y en 0,1 .
Caso 2: Sí 0 a 1 . La gráfica presenta la forma siguiente: La gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que uno, tiene las siguientes características: Su dominio es IR .
Rango es IR . Es estrictamente decreciente. Tiene asíntota al eje X positivo. Interseca al eje Y en 0,1 .
(0,1)
x
25
Función exponencial de base
e
Sea f una función, tal que f x Recordemos que
e
e x , a f se le llama función exponencial natural.
2.7182818459 ...este número es un número irracional, mayor que 1,
por lo que su gráfica es semejante a la del caso 1.
FUNCION LOGARITMO Definición. Sea f una función, tal que
f x log a x , con
a
0,
a 1
, f se le llama
función logarítmica. La gráfica de una función logarítmica depende de la base, a saber:
Caso 1: Si
a
> 1 f x
log a x, la gráfica es de la siguiente forma:
En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes características:
(1,0)
Su dominio es IR . Rango es IR . Es estrictamente decreciente. Tiene asíntota al eje Y negativo.
Interseca al eje X en 1 0 . ,
Caso 2: Sí
0 a 1 , la gráfica es una parábola de la siguiente
forma: En este caso podemos decir que la gráfica de toda función Logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes Características:
Su dominio es IR . Rango e IR . Es estrictamente decreciente. Tiene asíntota al eje Y negativo. Interseca al eje X en
1 ,0 .
EJEMPLO 1 Determine el dominio y el rango de f x 4 2 x . Grafique 26
Solución: Tabulamos dando valores adecuados.
x
f(x)
– 3
0,5 1 2 4 8 16
– 2 – 1
1 2
Dom(f )
Rang(f )
R
0,
EJEMPLO 2 Determine el dominio y el rango de f (x)
(log3 x )
1 . Grafique
Solución: Tabulamos dando valores adecuados.
x
f(x)
0,11 0,33 1 3 9
– 1
0 1 2 3
Dom(f )
Rang(f )
0,
R
EJEMPLO 3 La siguiente tabla corresponde a una función exponencial. Determine la regla de correspondencia.
x
f(x)
–2
2/9 2/3 2 6 18
–1
0 1 2
Solución: De la tabla obtenemos lo siguiente:
f( 0 )
3 2
1 2( ) 9 1 2( ) 3 2 (1)
f( 1 )
6
2 (3)
f( 2 )
18
2 (9)
f ( 2) f ( 1)
2 9 2
De donde se deduce que la función es f (x)
2(3x )
EJERCICIO 1 Determine el dominio y el rango de cada una de las funciones definas por: a)
f (x)
2(3 x ) 1
b)
f ( x)
(0,1)(3 x ) 2 27
c)
f (x)
2x
d)
f (x)
ex
EJERCICIO 2 La siguiente tabla corresponde a una función exponencial. Determine la regla de correspondencia. a) x f(x)
-2 48
-1 12
0 3
1 3/4
2 3/16
3 3/64
-2 1/9
-1 1/3
0 1
1 3
2 9
3 27
-2 25
-1 5
0 1
1 1/5
2 1/25
3 1/125
b) x f(x) c) x f(x)
EJERCICIO 3 Determine el dominio, el rango cada función y grafique a) f(x) 2(log3 x) b) f (x) c) f (x)
log(x
2)
d) f (x)
log(x 3) 3(log x)
EJERCICIO 4 Calcule el valor de x en cada caso, aplicando la definición de logaritmo a) log 6 (1/ 6) x b) log 4 (2) x c) log
1 ( ) 8
(1)
x
d) log
1 ( ) 5
(25)
x
EJERCICIO 5 Se proyecta que dentro de t años la población de cierta ciudad será P(t)
50(e0,02t ) millones de
habitantes. ¿Determine la población actual y la población dentro de 20 años?
EJERCICIO 6 Los biólogos han determinado que el número de bacterias de un cultivo crece exponencialmente de acuerdo al modelo siguiente B(t )
A(ekt ) donde t es el tiempo.
Si al inicio había 2,000 bacterias y luego de 20 minutos hay 6,000, determine el valor de k.
EJERCICIO 7 Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina de acuerdo a la siguiente relación
A(t) 10(0,8t ) gramos . Grafique la función en el plano cartesiano.
EJERCICIO 8 28
Cuando
cierta
maquina
industrial
tenga
t
años,
su
valor
de
reventa
será
t
V(t)
4,800(e
5
) 400 dólares. ¿Cuál es el valor de la maquina cuando estaba nueva?
EJERCICIO 9 La fórmula M(h)
5(e
0,4h
) sirve para determinar el número de miligramos que de cierto
medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente
ℎ horas después de su administración.
¿Cuántos miligramos estarán presentes luego de dos horas?
EJERCICIO 10 Las ganancias de cierta empresa son estimados de acuerdo a la siguiente función
f(t)
2
, donde t es el tiempo en semanas y f(t) es la ganancia en miles de soles. ¿Cuál 1 3e 0,9t será la ganancia luego de 3 semanas?
EJERCICIO 11 El número vatios proporcionados por la fuente de energía de cierto satélite espacial, después de d días, está dado por la formula W(d)
50(e
0,004d
) . ¿Qué cantidad de energía estará disponible
dentro de 30 días?
EJERCICIO 12 El número de bacterias de cierto cultivo se duplica cada hora. Escriba la fórmula que permita calcular este número de bacterias N, en este cultivo, después de n horas, si inicialmente se colocaron M bacterias
EJERCICIO 13 El tamaño de cierto cultivo de bacterias se duplica cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, ¿dentro de cuantas horas tendrá 320 millones de bacterias?
EJERCICIO 14 El tamaño de cierto cultivo de bacterias se duplica cada 20 minutos. Si al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿Cuántas bacterias había inicialmente?
EJERCICIO 15 El número de discos compactos producidos cada año crece exponencialmente. El número N, en millones, producidos es N
7,5e0,5t , donde t es el tiempo en años y t=0 corresponde al año
1990. A partir del año 1990, ¿Cuánto tiempo paso hasta que se vendió 1 billón de discos en un años?
Respuestas: Ejercicio
Respuesta 29
2.
4.
a) f (x)
3(4
b) f (x)
3x
c) f (x)
5
x
)
x
a) -1 b) 1/2 c) 0 d) -2
6.
ln 3
K
20
8.
5 200
10.
1572
12.
M(2n )
14.
9 millones
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8 x en el intervalo [-1, 1], usando una tabla de valores.
EJERCICIO 2 Use la gráfica de y = f(x) = 2 x para trazar las gráficas de a) y
g x
x
2
3
2
b) y h x
x
1
EJERCICIO 3 Use la gráfica de y = f(x) = log 5x, para obtener la gráfica de cada una de las siguientes funciones, i. g x log 5 x iii. g x
2
ii. g x 2 log 5 iv. g x 2 log 5
log x 5
x
x
EJERCICIO 4 Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elemento químico) de acuerdo con la función:
f ( x ) Ae
0.2 x
, donde y es la cantidad remanente después de x años.
(a) Si tenemos la cantidad inicial A = 80 gramos. ¿qué cantidad quedará después de 3 años? (b) La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en descomponerse la mitad de la misma. Determine la vida media de esta sustancia. en la que A = 80 gramos.
EJERCICIO 5
30
Cuando se estudió por primera vez el crecimiento demográfico de cierta ciudad, esta tenía una población de 22,000 habitantes. Además, se observó que la población P, en función del tiempo (en años), crecía de acuerdo con la función exponencial
P t
22 ,00010
0.0163t
a)¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? b) ¿Cuánto tiempo hará falta para que se triplique la población de la ciudad?
FUNCION SENO Y COSENO Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno Es la función f : R R definida por f(x) = sen x
Características X 1.
Dom(f) = R
2.
Ran(f) = [ – 1, 1]
3.
Período 2
4.
Función impar
Y
Función coseno Es la función f : R R definida por f(x) = cos x
Características X 1.
Dom(f) = R
2.
Ran(f) = [ – 1, 1]
3.
Período 2
4.
Función par
Y
31
EJEMPLO 1 Compare el gráfico de las funciones y
sen(x) con la función y
sen(2x)
Solución: Solo bastará graficar y=sen (2x), tabulamos x 0
sen(2x) 0 1
4
0 2
-1
3 4
0
EJEMPLO 2 Represente gráficamente y=|sen x|
Solución: Tabulamos x 0
|sen x| 0 1
2
3
0 1
2 2
0
EJEMPLO 3 Represente gráficamente la función y
cos(2x)
Solución: Tabulamos. x 0
cos(2x) 1 0
4
-1 2 3
0
4
1
32
EJERCICIO 1 Grafique las funciones definidas por: a) y=sen x
b) y=1+sen x
c) y=sen (x-
4
)
EJERCICIO 2 Desde 0 hasta 2 , determine para qué valores de x, sen(x)<0. ycos(x)<0
EJERCICIO 3 Grafique las funciones definidas por: b) y=cos(3x) c) y=cos(
x 2
b) y=cos(
x 2
)
)
EJERCICIO 4 ¿Existirá algún valor x tal que sen(x)=1,5? ¿Por qué? Justifique su respuesta.
EJERCICIO 5 Determine los valores de x comprendidos entre 0 y 2 igualdad. sen (x)=
de tal manera que verifique la siguiente
1 2
EJERCICIO 6 Determine del gráfico, cuál corresponde a la función definida por y=0,5 sen(x) a) g(x)
b) f(x)
c)h(x)
EJERCICIO 7 Para la ciudad de Montreal, la función que describe su radiación solar en langleys por día es
y(t)
345 255 cos(
2 t 365
) para t días. Determine la máxima radiación solar y la mínima
radiación solar que hubo en esta ciudad.
EJERCICIO 8
33
Para las islas Malvinas, la función que describe su radiación solar en langleys por día es
y(t)
345 255 cos(
2 t 365
) para t días. Determine el día de máxima radiación solar que hubo en
esta ciudad.
EJERCICIO 9 El tiempo t (en segundos) requerido para que un bloque resbale sobre un plano inclinado, con un ángulo de x°, está dado por t(x)
20 g sen x cosx
, donde g=32 pie/s2 es la aceleración de la
gravedad. Determine qué tiempo le toma al bloque resbalar por un plano inclinado cuando x=30
EJERCICIO 10 El área transversal de un canalón, en pulgadas cuadradas, puede ser expresada como A(x) 16sen(x) (cos x 1) , donde x es el ángulo formado por una hoja doblada hacia arriba con la línea horizontal. Calcule el área de dicha sección cuando x=30°, x=45°
EJERCICIO 11 En cierto motor de combustión interna, la distancia d (en metros) del centro de la biela a la cabeza del embolo está dado por d(x)
cos x 16 0, 5cos 2x , donde x es el ángulo entre el brazo de su cigüeñal y la trayectoria de la cabeza del embolo. Calcule la distancia d cuando x=45°
EJERCICIO 12 Para las islas Malvinas, la función que describe su radiación solar en langley por día es
y(t)
345 255 cos(
2 t 365
) para t días. ¿Existirá algún día en que la radiación solar es de 75?
¿Por qué ? ( langley (Ly) es una unidad utilizada para medir la radiación solar.)
En los ejercicios del 13 al 15, según el enunciado, determine el alcance R y la altura máxima H. La trayectoria de un proyectil disparado con una inclinación x respecto a la horizontal y con una velocidad inicial v0 es una parábola (ver la figura). El alcance R del proyectil, es decir, la distancia horizontal viaja, se determina mediante la fórmula
R(x)
v20 sen2x g
, donde g=32.2
pie/s2=9.8m/s 2 , es la aceleración de la gravedad. La altura máxima H que alcanza el proyectil es
H(x)
v02 sen 2 x 2g
.
v velocidad altura H x
alcance R
EJERCICIO 13 34
El proyectil se dispara con un ángulo de 45° respecto a la horizontal y con una velocidad inicial de 100 pies por segundo.
EJERCICIO 14 El proyectil se dispara con un ángulo de 30° respecto a la horizontal y con una velocidad inicial de 150 metros por segundo.
EJERCICIO 15 El proyectil se dispara con un ángulo de 25° respecto a la horizontal y con una velocidad inicial de 500 metros por segundo.
Respuestas: Ejercicio 2.
4. 6. 8. 10.
Respuesta Sen x <0 para x
,2
Cos x <0 para x
,
2
3 2
No a) Primero de enero
12. 14.
Para x=30, A = 4 3
8
Para x=45, A = 8 2 No R=1988,32 m H=286,98 m
8
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Grafique las funciones definidas por: b) y= cos x
d) y= cos (x-
b) y=2+ cos x 4
)
EJERCICIO 2 Determine los valores de x comprendidos entre 0 y 2 igualdad. cos (x)=
de tal manera que verifique la siguiente
1 2
EJERCICIO 3 Determine la gráfica de la función definidas por y=2 sen(2x) a) g(x)
b) f(x)
c)h(x)
35
EJERCICIO 4 Determine los valores de x comprendidos entre 0 y 4π, de tal manera que verifique la siguiente igualdad. sen (x)=-1/2
EJERCICIO 5 Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones definidas por : a) y= cos(x) b) sen(x+π/2)
OPERACIONES CON FUNCIONES 1. Suma de funciones
f
g x
x
f
g x ,
Dom( f g ) Dom f Dom g
g x ,
Dom( f g ) Dom f Dom g
2. Diferencia de funciones
f
g x
f x
3. Multiplicación de funciones
fg x
f x . g x
,
Dom( f . g ) Dom f Dom g
4. División de funciones f x f x g g x
, Dom( f g ) Dom f Dom g x / g ( x) 0
5. Composición de funciones
f
g
f g ( x), Dom( f
g)
x
Dom( g ) g ( x ) Dom( f )
f ( x) g f ( x) , Dom( g
f)
x
Dom ( f ) f ( x ) Dom ( g )
g ( x)
Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las funciones sea distinto de vacío.
EJEMPLO 1 Si f ( x )
1 x
y g ( x) x 2 . Determine ( f g )( x)
Solución: Dom( f ) ] ; 1] y Dom( g ) , entonces: Dom( f g ) ] ; 1] 36
Luego:
f
g (x)
f (x) g( x)
1 x
x 2
EJEMPLO 2 Si f ( x )
1 x
y g ( x) x 2 . Determine (
Solución: Dom f Luego:
g ( x)
f )( x ) g
;1 y Dom( g ) , entonces: Dom(
f
f g
f ( x) 1 x ( x ) g ( x) x2
f (x) g (x)
EJEMPLO 3 Si f ( x) 2 x , x 3,7 y g ( x) x 4 ,
1 x
f ) ] ; 1] {2} g
x 2
f Dom( f )
x ]0;3[ . Determine
g ( x)
Dom( f g ) x Dom( g ) g ( x)
Solución:
x ]0;3[
x 4 3,7 3 x 4 7 1 x 3
Dom ( f g ) ]0;3[
Por lo tanto:
f
1
g ( x) f g ( x) f x 4 2 ( x 4)
2
0
3
x
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Sean las funciones:
EJERCICIO 2 Sean las funciones:
EJERCICIO 3 Sean las funciones:
= {3; 4,−2; 1,2; 0,1; 2} y = {0; 2,2; −2,3; 1,6; 3} , Determine: a) + b) − = {3; 4,−2; 1,2; 0,1; 2} y = {0; 2,2; −2,3; 1,6; 3} , Determine: . f 3, 2 , 1, 5 , 0, 4 , 5, 9 y g 2, 4 , 3, 2 , 5,1 , 8, 6
.
Determine:
EJERCICIO 4 Sean las funciones:
f g
3, 2 , 1, 5 , 0, 4 , 5, 9 y 2 , 4 , 3, 2 , 5 ,1 , 8, 6
/
Determine:
EJERCICIO 5
Sean las funciones: f ( x) x 1 , 2
x 3, 8
y
g ( x) 3 x, x ]5;2] 37
Determine: a)
EJERCICIO 6 Sean las funciones: f ( x) x 4 , Determine: a)
.
/
b)
x 1, 4
+
g ( x)
y
2 x 1,
x ]0;5]
−
b)
EJERCICIO 7
f 2, 2 , 1, 5 , 0, 4 , 3, 2
Sean las funciones:
g
Determine:
M
y
2 , 4 , 3, 2 , 5 ,1 , 0 ,6
f / g (2) 2 f g (0) 4 g f (3)
EJERCICIO 8 Sean las Funciones: y
y
f ( x )
6
g ( x )
8
2
6
4
2
4
x
6
3
5
x
3 4
4 Determine: E
2( f . g .)(5) 4( f g )(0) 3( f g )(6)
EJERCICIO 9 Sean las Funciones: y
y
f ( x )
6
g ( x )
8
2
6
4
2
4
x
6
3
5
x
3 4
4 Determine:
E
3( f g )(15) 2( f g )(8) 5( f g )(20)
EJERCICIO 10
38
x 2 ; x 0 f ( x) x 1 ; x 0 2
Sean las funciones:
x 2 1 ; x 0 g ( x) x 2 ;0 x 6 3 ; 6 x
Determine el valor de ( f g )(2) g (5) f g 3
EJERCICIO 11
x 2 ; x 0 f ( x) x 1 ; x 0 2
Sean las funciones:
x 2 1 ; x 0 g ( x) x 2 ;0 x 6 3 ; 6 x
Determine el valor de ( f g )(3) g (7) f .g )2
EJERCICIO 12 Si f ( x) 2 x , x 3,7 y g ( x) x 4 , x ]0;3[ . Determine g f ( x)
EJERCICIO 13 Dadas las funciones f ( x ) = x 2 + 1, y g( x ) = 3x – 2. Determine: a) (g o f ) ( x ) b) ( f o g ) ( x )
EJERCICIO 14 Dadas las funciones f ( x ) = x 3 + x+2 y g( x ) =
EJERCICIO 15 Dadas las funciones f ( x ) = x 3 + x+2 y g( x ) =
3 + 5, Determine: (g o f ) ( x ) 3 + 5, Determine: b) ( f o g ) ( x )
Respuestas: Ejercicio
Respuesta
. = {2; 0,3; 1}
2. 4. 6. 8. 10.
/ = {5; 9} a) + =3+3 b) − = 5 + = −83 -2
12.
No está definida.
14.
3 + 6 +12 + 3 +12+17
AUTOEVALUACION EJERCICIO 1 Sean las funciones:
= {3; 2,−2; 3,2; −2,1; 0} y
39
