Guía DE Estudio DE LA Asignatura Á L: Grado

Álgebra Lineal I

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2011 2011-- 2012 2012

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Álgebra Lineal Grado de Física

Observación Inicial Conviene que este plan de trabajo se inicie con un Aviso sobre las Dificultades Didácticas Emergentes en Entornos Virtuales. En los últimos cursos hemos detectado algunas dificultades didácticas muy comunes en estudiantes integrados en entornos educativos virtuales. Dichas dificultades suelen entorpecer el aprendizaje que debe ejercer el estudiante, generando pérdida de tiempo de estudio. Por ello conviene destacar que: •

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La formación a distancia, ya sea mediada por la tecnología de la información o no, se basa principalmente en que el estudiante adquiriera una estrategia personal de estudio que optimice el aprendizaje en relación a las condiciones restrictivas propias de la distancia. Si bien el proceso de enseñar es generado por el profesor y el entorno educativo, el estudiante es quien ejecuta el proceso de aprendizaje. Al alumno se le presentan una planificación de la materia y una serie de retos o ejercicios que debe desarrollar, pero con esto no puede asegurar el aprendizaje sin la complicidad del alumno.

Algunas dificultades didácticas al estudio son las siguientes: •

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Dificultad 1, Falta de Atajos: Intentar la búsqueda de caminos más cortos a los indicados en la programación saltando elementos importantes. Esta se caracteriza por repetir únicamente aquellos pasos marcados en la programación correspondiente a los ejercicios que aparecieron en pruebas personales anteriores. Dificultad 2 Esquema Algorítmico: Intentar memorizar los ejercicios resueltos a modo de ejemplo sin llegar a interpretar ni entender la esencia del problema. Esta se caracteriza por una excesiva demanda de problemas idénticos para repetir hasta memorizar los procesos algorítmicos. Dificultad 3 Gran Hermano: Creer que en algún lado de la plataforma constantemente alguien está controlando nuestro proceso y que está disponible instantáneamente ante nuestra demandas. Se caracteriza por generar cuestiones y solicitudes a cualquier hora de las 24 horas del día, 7 días a la semana, 4 semanas al mes y 12 meses al año, y esperar que en unos minutos dicha cuestión o solicitud sea contestada. Dificultad 4 Buen Samaritano: Creer que siempre debe haber alguien que nos ayude a través de la plataforma virtual unas veces el profesor y otras veces otro estudiante. Se caracteriza por emitir mensajes de solicitud de ayuda ante la menor dificultad que se plantea sin darse el tiempo correspondiente para la reflexión.

Aunque podemos citar más dificultades, basta destacar estas para que el lector pueda entender que algunas creencias personales hacen que el alumno pueda perder gran parte de su escaso tiempo de estudio en búsquedas no eficaces en la red o en los entornos virtuales.


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1 y 2.- PLAN DE TRABAJO y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS Las unidades temáticas que componen los contenidos teóricos-prácticos de la asignatura son: Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales. Tema 2: Matrices: Determinantes y diagonalización. Tema 3: Geometría vectorial: Espacio tridimensional. Tema 4: Espacios vectoriales. El caso de R n. Tema 5: Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. Tema 6: Formas cuadráticas. Tema 7: Espacios eulídeos. Estas unidades temáticas deben ser entendidas como un elemento descriptor global de unos conocimientos, por ello, la enumeración de estas unidades no significa que se estudia todo un primer tema y luego todo un segundo, y así sucesivamente. Los contenidos de estos temas no están pensados como conjuntos disjunto, puesto que en realidad son conjuntos que posee que intersección no vacía, y en muchos casos es necesario disponer de los contenidos de otros temas para poder cerrarlo al completo un otro. En esta guía proponemos un plan de trabajo y estudio adaptando a los capítulos de la bibliografía básica recomendada. Sin duda, seguir este plan es una recomendación del equipo docente al alumno neófito en la tarea del estudio a distancia. Es el alumno quien debe decidir si seguir el plan le facilita la adquisición de las competencias que debe alcanzar con esta asignatura. Reiteramos que consideramos cada tema como un elemento global que hay que estudiar, si bien la progresión de estudio de un alumno no debe ceñirse a la numeración temática, por ello se presenta este plan de trabajo ajustado al texto y referenciado en el tiempo disponible. El texto recomendado contiene ejercicios prácticos que son desarrollados con el programa MatLab, y no es necesario realizarlos. También existen numerosas pruebas de autoevaluación, que a juicio del equipo docente conviene realizarlas en aquellas semanas que se dedican al repaso de lo estudiado previamente. Para desarrollar esté plan de estudio se considera un periodo de 15 semanas de trabajo y estudio.


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Tema-1 Sistemas de ecuaciones lineales


Este tema está dedicado al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales desde un punto de vista práctico. Nos centramos en la generalización de la técnica de eliminación de incógnitas, es decir, el método de Gauss. Requisitos necesarios mínimos: La noción de conjunto y algunas nociones básicas sobre números naturales, enteros, reales y complejos. 1ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 1.1-1.5 del capítulo 1 del texto base donde se establecen las nociones básicas de sistema de ecuaciones y sistema de ecuaciones homogéneas. Se concluye con el método de escalonamiento de Gauss-Jordan. Especial atención a: Método de escalonamiento de Gauss-Jordan 1.3 Los sistemas inconsistentes (o incompatibles) y a los consistentes (compatibles). Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 5, 11, 16 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: De este tema queda por estudiar la regla de Cramer que se aplicará una vez estudiado el tema de determinantes 2.5, y el teorema de Rouche.


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Tema-2 Matrices: Determinantes y diagonalización. En esta parte del tema se estudia las matrices, y los distintos conjuntos de matrices donde se pueden definir operaciones con ellas. Requisitos necesarios mínimos: Noción de sistema de ecuaciones lineales y nociones básicas sobre los números naturales, enteros, reales y complejos. 2ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 1.6-1.11. del capítulo 1 del texto base. Especial atención a: Operaciones con matrices 1-5 Producto de matrices 1.6 Matrices inversas 1.8, 1.10 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 23, 25, 41 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: En el capítulo 2 se presenta otra caracterización de las matrices que poseen inversa 2.4.


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Álgebra Lineal Grado de Física Tema-2 Matrices: Determinantes y diagonalización. En esta parte del tema se estudia las matrices que poseen matriz inversa, caracterizándolas por el valor del determinante de la matriz. Requisitos necesarios mínimos: Noción de sistema de ecuaciones lineales, operaciones con matrices y nociones básicas sobre los números naturales, enteros, reales y complejos. 3ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar el capítulo 2 del texto base: Se empezará estudiando el cálculo del determinante de una matriz y el cálculo de la matriz inversa empleando menores. Especial atención a: Propiedades de determinante de una matriz 2.2 Cálculo de la matriz inversa 2.4 Aplicación de la regla de Cramer a sistemas de ecuaciones lineales. 2.5 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 6, 15, 23 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: La regla de Cramer aporta una utilización de los determinantes a la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. 4ª Semana: Refuerzo. Contenidos: Leer y estudiar de nuevo los dos primeros capítulos del texto base. Especial atención a: La conexión entre sistemas, matrices y determinantes. Tareas: Realizar algunas de las pruebas de autoevaluación que hay en el texto. Buscar “Teorema de Rouché para sistemas de ecuaciones lineales” basado en el concepto de rango de una matriz. Realizar un pequeño resumen de los contenidos de cada uno de los dos temas.


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�� Tema 3: Geometría vectorial: Espacio tridimensional. En este tema se introducen los vectores del plano y del espacio tridimensional euclídeo que servirán de referencia en el estudio de los espacios vectoriales. Requisitos necesarios mínimos: Noción de sistema de ecuaciones lineales, operaciones con matrices y nociones básicas sobre los números naturales, enteros, reales y complejos. 5ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 3.1 y 3.3 del capítulo 3 del texto base: Se empieza con el concepto de vector en el plano y el espacio, para después definir la longitud o módulo de un vector empleando el producto escalar de vectores, y presentar las interpretaciones gráficas que este producto tiene. Especial atención a: Producto escalar de vectores. Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 65, 68, 75 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: El entender la forma de operar en estos espacios facilita la operatoria en tema de espacios vectoriales y espacios euclídeos. 6ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 3.4-3.5 del capítulo 3 del texto base: Se empieza con el concepto de producto vectorial de vectores y del producto mixto, así como las interpretaciones gráficas que estos productos poseen. Especial atención a: Producto cruz (producto vectorial) de vectores 3.4 Producto triple de vectores (mixto) 3.4 Posiciones relativas de rectas y planos 3.5 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 82, 91, 102, 103 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: El entender la forma de operar en estos espacios facilita la operatoria en tema de espacios vectoriales y espacios euclídeos.


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Tema 4: Espacios vectoriales. El caso de R . En este tema se presentan y analizan los espacios vectoriales y los subespacios de un espacio vectorial, son en esencia una generalización de los contenidos estudiados en el anterior tema. El énfasis se pone en los espacios vectoriales finitos. Requisitos El único requisito necesario para seguir este tema es conocer los contenidos de los temas anteriores. 7ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 4.1-4.5 del capítulo 4 del texto base donde se presentan las operaciones elementales que definen a un espacio vectorial y los conceptos de base y subespacio vectorial. Especial atención a: El concepto de combinación lineal 4.4 Espacio generado por un conjunto de vectores 4.4 La dependencia e independencia lineal 4.5 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 4, 21, 24 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: Al encontrar dificultades a la hora de tratar un problema en el marco de algún espacio vectorial de dimensión finita, intente ver como se trataría el problema análogo en R 2 o R 3. 8ª Semana: Estudio. Contenidos: Estudiar los epígrafes 4.6-4.8 del capítulo 4 del texto base donde se presentan el concepto de rango de un conjunto de vectores y operaciones elementales que definen un espacio vectorial y los conceptos de base y subespacio vectorial. Especial atención a: Base de un espacio vectorial y coordenadas 4.6 Cambio de base 4.8 Estudio del rango de una matriz 4.7 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 25, 41, 45 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones:


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�� Al encontrar dificultades a la hora de tratar un problema en el marco de algún espacio vectorial de dimensión finita, intente ver como se trataría el problema análogo en R2 o R3. 9ª Semana: Refuerzo. Releer y estudiar de forma rápida todo el capítulo 3 del texto base, realizando algunas de las pruebas de autoevaluación que hay en el texto. Prestar especial atención a: Intentar generalizar algunas de las cuestiones que presentan en R 2 y R 3 en un conjunto cuatro dimensional como es R 4. Contenidos: Leer y estudiar de nuevo lo estudiado de los capítulos 3 y 4 del texto base. Especial atención a: La dimensión y base de un subespacio vectorial. Aplicar técnicas matriciales a la hora de determinar la dependencia o independencia de un conjunto de vectores de un espacio vectorial Tareas: Realizar algunas de las pruebas de autoevaluación que hay en el texto. Practicar el cálculo del de rango de una matriz. Realizar un pequeño resumen de los contenidos de cada uno de los dos temas.


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Álgebra Lineal Grado de Física Tema 7: Espacios eulídeos. Una vez repasados los conceptos de longitud y ángulo de dos vectores, se generalizan estos conceptos y aplicaciones a un espacio vectorial. 10ª Semana Contenidos: Estudiar los epígrafes 4.9 y 4.11 del capítulo 4 del texto base. Especial atención a: Bases ortonormales 4.9 Al resumen del capítulo pp 449-454 Resolver algunos ejemplos (resueltos) que aparecen en estos epígrafes que refuerzan la adquisición de competencias cognitivas. Tareas: Resolver los problemas 48, 51, 54 del apartado Ejercicios de Repaso. Resolver dos problemas que se presentaran en el foro de problemas. Observaciones: Al encontrar dificultades a la hora de tratar un problema en el marco de algún espacio vectorial de dimensión finita, intente ver como se trataría el problema análogo en R2 o R3. 11ª Semana: Refuerzo. Releer y estudiar de forma rápida todo los capítulos 3 y 4 del texto base, realizando algunas de las pruebas de autoevaluación que hay en el texto. Prestar especial atención a: Intentar generalizar algunas de las cuestiones que presentan en R 2 y R 3 en un conjunto n dimensional como es R n. Contenidos: Leer y estudiar de nuevo lo estudiado de los capítulos 3 y 4 del texto base. Especial atención a: La dimensión y base de un subespacio vectorial. Aplicar técnicas matriciales a la hora de determinar el cambio de base de un espacio vectorial Tareas: Realizar algunas de las pruebas de autoevaluación que hay en el texto. Realizar un pequeño resumen conjnto de los contenidos de los dos temas.


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�� Tema 5: Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. En esta unidad se estudian las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales y se clasifican. Requisitos Los únicos requisitos para seguir esta Unidad Didáctica son conocer las técnicas matriciales. 12ª Semana Estudiar el capítulo 5 del texto base: En él se establece qué es una aplicación lineal, la imagen y núcleo de una aplicación lineal. Propiedades de estos subespacios. Resolver los ejercicios: 1, 2, 9, 10, 13 y 14 13ª Semana Continuación del estudio Resolver los ejercicios: 1 al 23


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Álgebra Lineal Grado de Física Tema 2: Matrices: Detemninantes y diagonalización. 14ª Semana Estudiar los epígrafes 6.1-6.4 del capítulo 6 del texto base: Se empezará estudiando los valores característicos (o autovalores) y los vectores característicos (o autovectores). Posteriormente se estudiarán la diagonalización de matrices. Prestar especial atención a: Matrices semejantes 6.3.1 Matrices simétricas 6.4 Resolver los ejercicios: 1, 2, 3, 4 y 5


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�� Tema 6: Formas cuadráticas. 15ª Semana Estudiar los epígrafes 6.5-6.8 del capítulo 6 del texto base donde se presentan las formas cuadráticas. Prestar especial atención a: Forma canónica de Jordan 6.6 Resolver los ejercicios: 1, 2, 3, 4 y 5


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Álgebra Lineal Grado de Física 3.- ORIENTACIONES PARA LA REALIZACIÓN DEL PLAN DE ACTIVIDADES 1.- No se facilitará material complementario en pdf que pueda servir para ampliar los contenidos de la asignatura. 2.- El estudiante podrá comprobar cómo debe redactar un problema, analizando los posibles fichero pdf con problemas, puesto que no sólo consiste en resolver el problema, si no que ha de redactarse adecuadamente. 3.- La redacción de un problema puede alcanzar el 25% del valor del problema, y el resto corresponde a su resolución.

4.- GLOSARIO Según surja la necesidad de un glosario de términos relevantes para esta asignatura se establecerá dicho glosario en la zona virtual. Se recomienda la búsqueda de los términos en el texto base, y después en Wikipedia nunca al revés. .


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Guía DE Estudio DE LA Asignatura Á L: Grado

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