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FORMULACIÓN Y EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN INFRAESTRUCTURA Curso Mayo-Agosto 2006 GUIA DE EJERCICIOS No. 1 - INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO COMPUESTO Ejercicios de capitalización simple (Interés simple) 1. Calcular el interés interés que generan 500.000 500.000 UM durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%. 2. Calcular el capital capital final que tendríamos tendríamos si invertimos 1.000.000 UM durante durante 6 meses al 12%. 3. Recibimos 500.000 500.000 UM dentro de de 6 meses y 800.000 800.000 UM dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular qué importe tendríamos dentro de 1 año. 4. ¿Qué es preferible recibir 500.000 UM dentro de 3 meses, 400.000 UM dentro de 6 meses, o 600.000 UM dentro de 1 año, si estos importes se pueden invertir al 12%? 5. Calcular los tipos anuales anuales equivalentes: equivalentes: a) 4% semestral; semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual. Ejercicios de capitalización capitalización compuesta compuesta (Interés compuesto) compuesto) 1. Calcular el interés interés de un capital de 5.000.000 5.000.000 UM invertidos invertidos durante un año año y medio al 16%, aplicando capitalización capitalización simple y capitalización capitalización compuesta. 2. Hallar el equivalente equivalente del 16% anual en base: base: a) mensual; b) cuatrimestral; cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta. 3. Se recibe un un capital de 1 millón de de UM dentro de 6 meses y otro otro capital de 0,5 millones UM dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. ¿Qué importe se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta? compuesta? 4. ¿ Qué intereses intereses serían mayor, mayor, los de un capital de 600.000 invertidos durante durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de 500.000 UM invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta ? 5. ¿Si un capital de de 1 millón de UM genera genera unos intereses intereses durante 6 meses meses de 150.000 UM, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple?, ¿y la capitalización capitalización compuesta?
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FORMULACIÓN Y EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN INFRAESTRUCTURA Curso Mayo-Agosto 2006 GUIA DE EJERCICIOS No. 2 - SERIES UNIFORMES 1) Hallar el monto y el valor presente de 20 pagos de Bs. 2.000 cada uno. Suponga una tasa del 18%. R: Bs. 293.255,94; Bs. 10.705,49 2) Para la compra de un automóvil que vale 6 millones de bolívares se exige una cuota inicial del 40% y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales, ¿A cuánto ascenderá la cuota, si los intereses son del 3,5% efectivo mensual? R: Bs. 177.422,99 3) Si en el problema anterior se ofrecen dos cuotas extraordinarias: la primera de 350.000 bolívares en el mes 5, y la segunda de 500.000 bolívares en el mes 18, ¿Cuál será el valor de la cuota ordinaria? R: Bs. 149.633,07 4) Una persona va a comprar una máquina que vale 800.000 bolívares, con el objeto de poder disponer de esa cantidad el 15 de diciembre de 1989. Comienzas a hacer depósitos mensuales de Bs. A en un fondo que paga el 2,5% mensual. Si el primer depósito lo hace el 15 de febrero de 1988, hallar el valor del depósito mensual. R: Bs. 26.157,10 5) Un documento estipula pagos trimestrales de 10.000 bolívares iniciando el primer pago el 20 de enero de 1987 y terminando el 20 de julio de 1995. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de Bs. A comenzando el 20 de abril de 1988 y terminando el 20 de julio de 1989. Hallar el valor de la cuota a una tasa del 5% trimestral R: Bs. 41.172,87 6) Una persona se compromete a pagar 60.000 bolívares mensuales, a partir del 8 de julio de 1988 hasta el 8 de diciembre de 1989. Para dar cumplimiento a ese contrato se propone hacer depósitos mensuales de Bs. A en una cuota de ahorros que como mínimo le garantiza el 1,5% efectivo mensual. Si el primer deposito lo efectúa el 8 de marzo de 1986, cual será el valor de Bs. A suponiendo que él ultimo deposito lo hará: A) el 8 de diciembre de 1989 B) el 8 de julio de 1988 C) el 8 de junio de 1988 D) el 8 de abril de 1987 R: a)- Bs. 18.749; b)- Bs. 26.514; c) –Bs. 27.271; d)- Bs. 49.411 7) Una deuda de 800.000 bolívares va a ser cancelada en pagos trimestrales de 78.000 bolívares durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 7.5% trimestral. A) ¿Cuántos pagos de 78.000 bolívares deben hacerse? B) ¿Con qué pago final hecho tres meses después del último pago de 78.000 bolívares cancelara la deuda? R: a) 20; b) - Bs. 22.054,42
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SOLUCIONES (Capitalización simple) Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t Como el tiempo está expresado en meses, tenemos que calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende que es anual) Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual equivalente) Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. Luego, I = 500.000 * 0,0083 * 4 Luego, I = 16.666 ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más intereses) Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t Luego, I = 1.000.000 * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de interés en base anual (12%) y hemos expresado el plazo en años (0,5 años)) Luego, I = 60.000 ptas. Ya podemos calcular el capital final. Luego, Cf = 1.000.000 + 60.000 Luego, Cf = 1.060.000 ptas.
Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses (0,5 años), ya que
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recibimos el capital dentro de 6 meses y lo tenemos invertido hasta dentro de 1 año) Luego, I = 37.500 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 37.500 = 537.500 ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 800.000 * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25 años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se invierte hasta dentro de 1 año) Luego, I = 30.000 ptas. Luego, Cf = 800.000 + 30.000 = 830.000 ptas. Ya podemos sumar los dos importes que tendremos dentro de 1 año Luego, Ct = 537.500 + 830.000 = 1.367.500 ptas.
Ejercicio 4: Entre la 1ª y 2ª opción (recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses o 400.000 dentro de 6 meses), está claro que es preferible la primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que comparar la 1ª con la 3ª (recibir 600.000 dentro de 1 año). Como estos importes están situados en momentos distintos, no se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto). 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75 años)) Luego, I = 56.250 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 56.250 = 556.250 ptas. 3er importe: Cf = 600.000 (no se calculan intereses, ya que el importe ya está situado dentro de 1 año) Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa.
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Ejercicio 5: Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (expresamos por "i(2)" el tipo semestral y por "i" el anual) Luego, 4% = i /2 Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%) b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (expresamos por "i(3)" el tipo cuatrimestral y por "i" el anual) Luego, 3% = i /3 Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%) c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (expresamos por "i(4)" el tipo trimestral y por "i" el anual) Luego, 5% = i /4 Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%) d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (expresamos por "i(12)" el tipo mensual y por "i" el anual) Luego, 1,5% = i / 12 Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%)
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SOLUCIONES (capitalización compuesta) Ejercicio 1: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5 Luego, I = 1.200.000 ptas. b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) Luego, I = 5.000.000 * (1,249 - 1) Luego, I = 1.245.000 ptas. Ejercicio 2: Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual: a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 Luego, 1,0124 = 1 + i12 Luego, i12 = 0,0124 b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3 Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 Luego, 1,0507 = 1 + i3 Luego, i3 = 0,0507 c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2 Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2 Luego, 1,0770 = 1 + i2 Luego, i2 = 0,0770 Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos
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1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 1.000.000 * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual) Luego, I = 58.301 ptas. Luego, Cf = 1.000.000 + 58.301 = 1.058.301 ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 500.000 * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = 14.369 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 14.369 = 514.369 ptas. Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año Luego, Ct = 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670 ptas. Ejercicio 4: a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, I = 600.000 * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = 45..000 ptas. b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 500.000 * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = 500.000 * (1,249 - 1) Luego, I = 51.458 ptas. Luego en la 2ª opción los intereses son mayores. Ejercicio 5: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, 150.000 = 1.000.000 * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, i = 150.000 / 500.000 Luego, i = 0,3 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30% b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, 150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) - 1) Luego, 150.000 = 1.000.000 * ((1 + i) ^ 0,5) - 1.000.000 Luego, 1.150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) Luego, 1.150.000 / 1.000.000 = (1 + i) ^ 0,5 Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5
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Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i Luego, 1,322 = 1 + i Luego, i = 0,322 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2%
