INTERÉS COMPUESTO +ipos de Interés
Simp imple
Calculamos lo los in intereses so sobre el el pr principal
Compuesto Compuesto
Calculamo Calculamoss interes intereses es sobre el principal principal y sobre sobre los intereses intereses ganados ganados
Conceptos relacionados con los tipos de interés: El Principal Interés simple Intrerés La tasa de interés compuesto El número de periodos El periodo de capitalización Por ejemplo: ,Cu*les son los elementos del interés compuesto si el -anco &P. coloca uaan capital de S/ !""""# a una tasa de interés de "#$% anual# capitalizable mensualmente El Principal La tasa de interés El número de periodos El per perio iodo do de de capi capita tali liza zaci ción ón
S/ !"#""" "$% ! &ens &ensua uall
Ejemplo: ,Cu*nto recibir* la empresa 0EPI S '# al cabo de tres a)o si deposita S/ !"""" en el -anco &P.# a un porcentaje anual del 1 2# capitalizable anualmente anualmente Llamaremos S !# S3 y S$ a la cantidad 4ue 0EPI S ' 5a acumulando a)o tras a)o 'l (inal del primer a)o# se tendr*: S! 6 !"""" 7 "#"18!"""" S! 6 !"1"" 'l (inal del segundo a)o# se tendr*: S3 6 !"1"" 7 "#"18!"1"" S! 6 !!%%9 'l (inal del tercer a)o# se tendr*: S$ 6 !!%%9 7 "#"18!!%%9
S3 = 12.597,12 'l (inal del primer a)o# se tendr*:
S! 6 P 7 i8P
S1 = P()1 * #+ onde P es el capital inicial o principal o capital i es la tasa de interés anual S! es la suma acumulada al (inal del primer a)o 'l (inal del segundo a)o# se tendr*: S3 6 S! 7 i8S! S3 6 S!8?! 7 i@ pero S! 6 P8?! 7 i@ reemplazando el 5alor de S! en S3: S3 6 P8?! 7 i@8?! 7 i@
S2 = P()1 * #+2 'l (inal del tercer a)o# se tendr*: S$ 6 S3 7 i8S3 S$ 6 S38?! 7 i@ pero S3 6 P8?! 7 i@ 3 reemplazando el 5alor de S 3 en S$: S$ 6 P8?! 7 i@ 38?! 7 i@
S3 = P()1 * #+3 S% = P()1 * #+% n es el número a)os ;ean -aptiste Say:
¿Cómo sería a !órm"a s# a a$"m"a$#ó% !"era semes&ra' S% = P()1 * #2+2%
=aipén
n son los a)os Se S emestre
S = P()1 * #m+m%
0ojas
n son los a)os >e >eneral
m son las 5eces 4ue se capitaliza en el a)o
S% = P()1 * #m+%
% es e %-mero e /er#oos
S% = P()1 * #2+%
n es el número de semestres
S% = P()1 * #+%
n es el número de trimestres
S% = P()1 * #12+%
n es el número de meses
T0S0 E INTERÉS NOMIN0 T0S0 E INTERÉS E4ECTI0 Si los periodos de capitalización (ueran igual al periodo para el 4ue se dio la tasa de interés# no Babra problema Pero# generalmente# no es as Por el contrario# en la mayora de los casos# se nos indica tasaas de interés anual# pero los periodos de capitalización son menores de un a)o ?semestral# trimestral# bimestral# mensual# etc@ Por ejemplo: Si depositamos S/ !""" durante a)o y la tasa de interés es "#"1 anual# los intereses di(erir*n# si la acumulación es anual o si es trimestral# por ejemplo
S# a a$"m"a$#ó% es a%"a, all (inal del a)o se Babr* acumulado lo siguiente:
S% = P()1 * #+% S1 = 1.666()1 * 6,6+1 S1 =
1,66 I = S 8P
I= # = IP
6 6.6
# %om#%a
S# a a$"m"a$#ó% es &r#mes&ra # al (inal del a)o se Babr* acumulado lo siguiente:
S% = P()1 * #+%
n es el número de periodos ?trimestres@ al escribir i/9 estamos eApresando la tasa trimestral periodos con tasa de acumulación
S1 = 1.666()1 * 6,6+ S1 =
;e%erame%&e<
1,62.3 I = S 8P
# e!e$&#:o # %om#%a
I=
2.3
# = IP
6.62
# e!e$&#:o
0OR PRESENTE
S% = P()1 * #+%
Esta (órmula nos deca cu*l era el monto o suma (utura o 5alor (uturo 4ue deba recibir una empresa 4ue deposita en un banco un capital inicial o principal ?P@# a una tasa de interés anual dada# en un cierto número de a)os o periodos
S = P()1 * #+% ' partir de dicBa (órmula para el 5alor (uturo ?S@# podemos despejar el 5alor de P# obteniendo la siguiente eApresión (ormal:
P=
S )1 + #+ %
En este caso# P se denomina 0OR PRESENTE de una suma (utura S = la tasa de interés se acostumbra a denominar A&asa e es$"e%&oA.
¿Cómo se &ra%s!ormaría a !órm"a /ara e $aso e% >"e S !"era 1' P
=
1 )1 + #+ %
40S
=
1 )1 + #+
%
4a$&or e 0$&"a#?a$#ó% e a Ser#e El 5alorde P cuando el 5alor (uturo es !
P = S(40S Por ejemplo: ,Cu*l es el 5alor presente de S/ !"""" recibidos dentro de D a)os a una tasa de interés de "#"1 anual
P
P
=
=
S )1 + #+ %
16.666 )1 + 6.67+ 5
P=
@65.3
En el ejemplo anterior# estamos suponiendo 4ue el dinero se recibe por
"%a :e? a !#%a e
/er#oo ,ué tal si se 5a recibiendo e% /ar&es e% #!ere%&es mome%&os En ese caso# tenemos 4ue Ballar el 5alor presente de cada una de esas sumas y luego sumarlas Por ejemplo: ,Cu*l es el 5alor presente de los siguientes montos: S/ !"""" recibidos al (inal del segundo a)o# S/ !3%"" recibidos al (inal del tercer a)oH !DF"" recibidos al (inal del cuarto a)o y !1""" recibidos al (inal del 4uinto a)o# si la tasa de descuento es ""1 ')os 3 $ 9 D i6 ""1 &ontos !"""" !3%"" !DF"" !1"""
P3 6 !""""/?! 7 ""1@3 6 P$ 6 !3%""/?! 7 ""1@$ 6 P9 6 !DF""/?! 7 ""1@9 6 PD 6 !1"""/?! 7 ""1@D 6
1DF$$113 !"""331%3 !!D$GG%1F !33D"9GFD
2,3@@.1 ,ué tal si todos montos pagados en di(erentes momentos en el tiempo (ueran iguales S! 6 S3 6 6 Sn En ese caso# los pagos anuales ?o periódicas@ se trans(orman en lo 4ue denomina una Pero# ese ser* tema de la siguiente unidad
0NU0I0
EBERCICIOS PROPUESTOS E INTERES COMPUESTO 1. "#s re$#Ge S. 5.666 e a em/resa o%e aGora )/or s"s :a$a$#o%es e aHo Fra&#!#$a$#o%es e !#es&as /a&r#ass+ >"e &e%r e/os#&ao e% e a%$o N"e:o M"%o, "ra%&e 96 ías a 2 J e #%&erDs a%"a. a. ¿C" es e #%&erDs $om/"es&o e mo%&o a$"m"ao' G. S# "#s e$#e >"e s" $a/#&a eGe es&ar e/os#&ao "ra%&e 16 meses, a a &asa e #%&erDs /a$&aa a%&er#orme%&e ¿C"%&o ser e #%&erDs e mo%&o a$"m"ao' $. 0Kora "#s esea Fa%ar S, 1266. S# a &asa e #%&erDs %o $amG#a ¿C"%&o &#em/o eGer &ra%s$"rr#r /ara oG&e%er esos #%&ereses' . "#s esea >"e e a%$o N"e:o M"%o e /aF"e S. 1266 e #%&ereses /or s" e/ós#&o, e% e a/so e %"e:e meses ¿C" es a &asa e #%&erDs a%"a $om/"es&a >"e eGería so#$#&ar /or s" e/ós#&o' e. S# a %"e:a &asa e #%&erDs es 6,3322 a%"a, e%&o%$es "#s esea oG&e%er os S. 1.266 e #%&ereses /or s" e/ós#&o e% "% /er#oo e 5 meses ¿C" sería e %"e:o $a/#&a >"e %e$es#&aría' 2. a em/resa 0:e%&"ra S0C aGre "%a $"e%&a e aKorros $o% "% e/os#&o #%#$#a e S. 226666.66, Ka$e "% %"e:o e/os#&o @ meses mas &are /or S. 95666.66 o&ro e/os#&o /or S. 125666.66 , 15 meses es/"es. Ma%&#e%e #$Ka $"e%&a "ra%&e 2 aHos me#o, a !#%a e es&e &#em/o re&#ra e &o&a a$"m"ao. S"/o%#e%o >"e e Ga%$o e aGo%a "% #%&eres soGre e sao e 5J me%s"a e /r#mer aHo J me%s"a e a# e% aea%&e, ¿C"%&o re&#ro a em/resa' 3. U%a e"a e S. 16666.66 !"e /a$&aa /ara $a%$earse e% /aFos G#mes&raes /ro/or$#o%aes a 2, , @ . S# se a/#$a "%a &asa %om#%a a%"a e 3@J $o% $a/#&a#?a$#o% me%s"a. a+ Ca$"ar e #m/or&e e $aa /aFo' G+ S# a $a/#&a#?a$#o% !"era G#mes&ra ¿C" ser#a e #m/or&e e $aa /aFo' . Us&e s"s$r#Ge "% /aFare $"o :aor %om#%a es S. 5666.66 , se es$"e%&a a "%a &asa e 3.@J me%s"aL s# esea $a%$ear es&os o$"me%&os !a&a%o @6 #as /ara s" :e%$#m#e%&o. a+ ¿C" es e es$"e%&o Ga%$ar#o $om/"es&o' G+ ¿C" es e #m/or&e #>"#o e a e&ra es/"es e es$"e%&o' $+ S# e es$"e%&o es/erao es S. 66.66 "ra%&e e m#smo &#em/o ¿C" eGera ser a
5. U% Ga%$o $arFa "%a &asa e es$"e%&o $om/"es&a 1.3J me%s"a e% s"s o/era$#o%es. S# a em/resa or#?o%&e S.0. a$e/&a "% /aFare e S. @666.66 a 96 #as< a+ ¿C" es e es$"e%&o a/#$ao a /aFare' G+ "e #m/or&e #>"#o re$#G#ra e Ga%$o' @. Us&e a>"#ere "%a ma>"#%a $"o /re$#o $o%&ao es US6666.66, /ero e :e%eor e o&orFa !a$##aes, /aFara soame%&e e 36J e $"o&a #%#$#a e res&o o /aFara e% $#%$o $"o&as me%s"aes #F"aesL s# a &asa me%s"a $om/"es&a >"e se a/#$a es 2.5J ¿C" es e 7. Us&e re$#Ge e Ga%$o E N"e:o M"%o S. 56666.66 se $om/rome&e a $a%$earo e% /aFos &r#mes&raes #F"aes "%a &asa %om#%a a%"a e 2J $o% $a/#&a#?a$#o% me%s"a. a+ ¿Ca$"ar e #m/or&e e /aFo' G+ S# a $a/#&a#?a$#o% !"era &r#mes&ra ¿C" ser#a e #m/or&e e $aa /aFo' . 0 "% a$reeor eGe% /aFare S. @.666 a $aGo e "% aHo, S. 5.666 a $aGo e os aHos, S. .666 a $aGo e &res aHos, S. 2.666 a $aGo e $"a&ro aHos , !#%ame%&e, S. 1.666 a $aGo e $#%$o aHos. e F"s&aría rees&r"$&"rar e /rDs&amo e% $#%$o /aFos a%"aes #F"aes, >"e se :e%$ería% a !#%a e $aa aHo. S# $o%:#e%e% e% "% #%&erDs $om/"es&o e 6.6@ a%"a< a. ¿C" sería e :aor e $aa "%o e os $#%$o /aFos' G. S# e :aor a$&"a e a e"a a$"m"aa e% :e#%&e aHos es S, 56.666 ¿C" ser e :aor e $aa "%o e os :e#%&e /aFos a%"aes s# &oos os /aFos so% #F"aes'
! Luis recibe S/ D""" de la empresa donde labora ?por sus 5acaciones del a)o y grati(icaciones de (iestas patrias@ 4ue tendr* depositado en el -anco Jue5o &undo# durante G" das al 39 2 de interés anual
a. ¿C" es e #%&erDs $om/"es&o e mo%&o a$"m"ao' P= aHo =
5666 3@6
% )ías+ = S=
96 '
#= I=
6.2 '
S = P()1 * #+% S = 5666()1 * 6,2+963@6 S=
[email protected]
I=S8P I=
[email protected]
G. S# "#s e$#e >"e s" $a/#&a eGe es&ar e/os#&ao "ra%&e 16 meses, a a &asa e #%&erDs /a$&aa a%&er#orme%&e ¿C"%&o ser e #%&erDs e mo%&o a$"m"ao' P6 a)o ?meses@ 6
D""" !3
n ?meses@ 6
!"
i6
"39
S=
'
I=
'
S = P()1 * #+% S = 5666()1 * 6,2+1612 S=
591.@@
I=S8P I=
91.@@
$. 0Kora "#s esea Fa%ar S, 1266. S# a &asa e #%&erDs %o $amG#a ¿C"%&o &#em/o eGer &ra%s$"rr#r /ara oG&e%er esos #%&ereses' P6 a)o ?meses@ 6
D""" !3 S6P7I
S= S = P()1 * #+%
%= S= @266
' '
i6
"39
I=
1266
%3"" 6 D"""8?! 7 "#39@n %3""/D""" 6 ?!7"39@Kn !#39 6 !#39n log ?!#39@ 6 Log?!#39@Kn log ?!#39@ 6 n Log?!#39@
n 6 log?39@/log?39@
%=1 n 6 ! a)o
n 6 !3 meses
. "#s esea >"e e a%$o N"e:o M"%o e /aF"e S. 1266 e #%&ereses /or s" e/ós#&o, e% e a/so e %"e:e meses ¿C" es a &asa e #%&erDs a%"a $om/"es&a >"e eGería so#$#&ar /or s" e/ós#&o' P6 a)o ?meses@ 6
D""" !3
n ?meses@ 6 S6
G %3""
#=
'
I6
!3""
S = P()1 * #+% @266 = 5666()1 * #+912 1,2 = )1 * #+912
)1,2+12 = ))1 * #+912+(12 ))1,2+12+19 = )))1 * #+912+(12+(19
!$$3!FFG%1 6 ! 7 i
?!39@K!3/G 6 ! 7i
# = 6,3322 e. S# a %"e:a &asa e #%&erDs es 6,3322 a%"a, e%&o%$es "#s esea oG&e%er os S. 1.266 e #%&ereses /or s" e/ós#&o e% "% /er#oo e 5 meses ¿C" sería e %"e:o $a/#&a >"e %e$es&aría' P=
'
a)o ?meses@ 6
!3
n ?meses@ 6 S6
I=S8P I = P()1*#+% 8 P I = P()Q1 * # % 8 1+
D S 6 P ?!7i@Kn
1266 =P)Q1*6,332251281+ Q1 * 6,3322512 8 1 = 1266= 6,12@913(P
6.12@913
i6 I6
"$$33 !3""
P=
9,52.@
S =952,@()1 * 6,3322+512 S=
16@52.@793
S=
16,@52.@ I=
1266
3 La empresa '5entura S'C abre una cuenta de aBorros con un deposito inicial de S/ 33" por S/ GD""""" y otro deposito por S/ !3D""""" # !D meses despues &antiene dicBa retira el total acumulado Suponiendo 4ue el banco le abona un interes sobre el saldo del adelante# ,Cu*nto retiro la empresa
P! 6 33""""
P3 6 GD"""
D2 "
D2
P$ 6 !3D"""
D2
$
D2
%
G
P1 P2 P3
92 !3
S1 S2 S3
92 !D
S=
S1 * S2 *
a+ PS! P! 6 33""""
D2 "
D2 $
D2
D2
%
G
!3
P1 P1 = aHo =
226666 12
% )meses+ = PS1 =
92
92 !D
PS1 12 '
#= I=
6.65 '
1 '
#= I=
6.6 '
PS1 = P1()1 * #+% PS1 = 226666()1 * 6,65+12
PS1 = aHo =
PS1 =
3956.39
3956.39 12
% )meses+ = S1 =
S1 = PS1()1 * #+%
S1 = 3956.39()1 * 6,6+1 S1 =
[email protected]
G+ PS3 P3 6 GD"""
D2 "
D2 $
D2
D2
%
G
!3
P1 P2 = aHo =
95666 12
% )meses+ = PS2 =
92
92 !D
PS1 @ '
#= I=
6.65 '
1 '
#= I=
6.6 '
15 '
#= I=
6.6 '
PS2 = P2()1 * #+% PS2 = 95666()1 * 6,65+@
PS1 = aHo =
PS2 =
127369.69
127369.69 12
% )meses+ = S1 =
S2 = PS2()1 * #+% S2 = 127369.69()1 * 6,6+1
$+
P3 = aHo =
S2 =
25796.5
125666 12
% )meses+ = P3 =
S3 = P3()1 * #+% S3 = 125666()1 * 6,6+15 S3 =
225117 9
+
S= S=
S1 * S2 * S3 1,23,399.3
""""# Bace un nue5o deposito % meses mas tarde cuenta durante 3 a)os y medio# al (inal de este tiempo 2 mensual el primer a)o y 92 mensual de alli en
S
92 !1
92 3!
92 39
92 3F
$"
3
S1
92 !1
S1
92 3!
92 39
92 3F
$"
S2
92 !1
S1
92 3!
92 39
92 3F
$"
9 sted suscribe un pagare cuyo 5alor nominal es S/ D""""" # se descuenta a una tasa de $%2 mensualH para su 5encimiento: a@ ,Cu*l es el descuento bancario compuesto b@ ,Cu*l es el importe li4uido de la letra despues del descuento c@ Si el descuento esperado es S/ 9"""" durante el mismo tiempo ,Cu*l debera ser la tasa de descuento
S = 5666 P $%2 %" dias
"
S= aHo = G+
5666 1
% )meses+ = P=
P = S)1 * #+% P = 5666)1 * 6,63@+2 P = @5.55
a+
=S8P = 5666 8 @5.55 =
$+
31.5
= 66 =S8P P=S8 P = 5666 8 66 = @66 P = S)1 * #+%
2 '
#= I=
6.63@ '
@66 = 5666)1 * #+2 )1 * #+2 = 5666@66 = 1.6@95@52 1 * # = 1.6257267 # = 6.6257
si desea cancelar estos documentos (altando %" dias
aplicada
