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GUÍA DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE VI SEMESTRE CAPÍTULO I Los fenómenos de transporte es el estudio sistemático y unificado de la transferencia de momento, energía y materia. El transporte de estas cantidades guardan fuertes analogías tanto tanto física físicass como como matemá matemátic ticas. as. De tal forma forma que el anális análisis is matemá matemátic tico o emplea empleado do es prácticamente el mismo. Los fenómenos de transporte pueden dividirse en dos tipos: transporte molecular y transporte convectivo. Estos a su vez pueden estudiarse en tres niveles distintos: nivel macroscópico, nivel microscópico y nivel molecular. El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte es esencial para la ingeniería contemporánea.
FLUIDO Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de un esfuerzo cortante sin importar la magnitud de este. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.
ESTADO ESTACIONARIO Se entiende por estado estacionario, que las condiciones en cada uno de los puntos de la corriente no varían con el tiempo.
1. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD Consid Considerem eremos os un fluido fluido (líqui (líquido do o gas) gas) conten contenido ido entre entre dos grande grandess lamina laminass planas planas y paralelas, de área A, separadas entre sí por una distancia muy pequeña Y (véase Fig. 1). Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo, pero que al cabo del tiempo t= 0, la lamina inferior se pone en movimiento en la dirección del eje X, con una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y, finalmente se establece el perfil de velocidad en régimen estacionario, que se indica en la Fig. 1. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza viene dada por la siguiente expresión (suponiendo que el flujo es laminar):
Ecuación (1):
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F
v
A
Y
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Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia Y. La constante de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido.
La visco iscosi sida dad d “es “es la op opos osic ició ión n qu quee mu mues estr traa un flui fluido do a las las de defo form rmac acio ione ness tangenciales”, “es la resistencia a fluir”. Figura 1. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario para un fluido contenido entre dos láminas.
Fluido inicialmente en reposo
movimiento
Lámina
inferior
puesta
en
Formación de la velocidad en flujo
no
estacionario
Distribución final de velocidad para
flujo
estacionario
Figura 2. Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial.
Para la posterior utilización de la Ec. 1 es conveniente expresarla en una forma más explícita. El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por el fluido existente en la región donde y es menor, se designa Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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por yx y el componente x del vector de velocidad del fluido, por vx,. Téngase en cuenta que vx no es igual a Əv/Əx. De acuerdo con estos símbolos, la Ec. 1 queda de la siguiente forma: Ecuación (2): yx
dv x dy
Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de la velocidad velocidad local. Ésta es la ley de Newton de la viscosidad, viscosidad, y los fluidos fluidos que la cumplen se denominan denominan fluidos newtonianos newtonianos (en honor a Isaac Isaac Newton, quien lo expresó expresó por primera vez en 1687). Todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se comportan de acuerdo con con la Ec. Ec. 2. Los Los flui fluido doss que que no obed obedec ecen en a esta esta ley ley senc sencililla la (ese (esenc ncia ialm lmen ente te past pastas as,, suspensiones y polímeros de elevado peso molecular) se denominan fluidos no newtonianos. Resulta también conveniente interpretar la Ec. 2 en esta otra forma. En las inmediaciones de la superficie que se mueve, donde Y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento (en la dirección del eje X. Este fluido comunica, a su vez, parte de su cantidad de movimiento a la «capa» adyacente de líquido, dando lugar a que se mantenga en movimiento en la dirección X. Por lo tanto, tiene lugar una transmisión de cantidad de movimiento X a través del fluido en la dirección Y, y por consiguiente, yx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento X en la dirección Y. Esta interpretación está en íntima relación con la naturaleza de los procesos de transporte de cantidad de movimiento, y se corresponde con el tratamiento que se da para el transporte de materia y ener energí gía. a. Por Por otra otra part parte, e, la dens densid idad ad de fluj flujo o de cant cantid idad ad de movi movimi mien ento to resu resultlta a más más conveniente para considerar el signo de τ yx.
En alguna algunass fórmul fórmulas, as, result resulta a conven convenien iente te dispon disponer er de un símbol símbolo o para para repres represent entar ar la viscosidad del fluido dividida por su densidad ρ (masa por unidad de volumen), con este fin vamos a definir que es la denominada viscosidad cinemática. ν
Ecuación (3):
Considerando las unidades de algunas magnitudes definidas, donde el símbolo [ = ] debe leerse “tiene las unidades de”: yx [ = ] dina * cm–2
vx [ = ] cm * s–1
Y [ = ] cm
Puesto que los dos miembros de la ecuación (2) han de corresponderse, tanto en sus unidades como en el valor numérico, se pueden deducir las unidades de μ en el sistema cgs, de la siguiente forma:
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[ = ] (g * cm –1 * s –2) (cm * s –1 * cm –1) –1
dv x yx
1
dy
μ [ = ] g * cm –1 * s –1 [ = ] 10-1 Pa·s
1 Poise (P) = 10-1 Pa·s = [10-1 kg·s-1·m-1]
Análogamente,
[ = ] cm2 * s–1
La unidad g cm–1 seg–1, en el sistema cgs, se denomina poise; la mayor parte de los datos de viscosidad están expresados en esta unidad o en centipoises (1 cp = 0.01poise). La serie análoga de unidades en el sistema internacional es: yx [ = ] Newton * m-2
vx [ = ] m * s–1
Y[=]m
μ [ = ] kg * m–1 * s–1 [ = ] m2 * s–1
La consistencia consistencia de estas unidades unidades viene dada por la Ec. 2. Pero, como habitualmente habitualmente no se utiliza el newton como unidad de fuerza, es preferible expresar la Ec. 2 en esta otra forma: Ecuación (4):
gc
dv x yx
dy
En la que yx [ = ] kgf * m–2
vx [ = ] m * s–1
Y[=]m
μ [ = ] kg * m–1 * s–1 gc [ = ] (kg / kgf) (m * s–2) o Newton / kgf El valor numérico de g (el factor gravitacional de conversión), expresado en estas unidades vale 9.8067. Obsérvese que en la Ec. 4, gc * yx, tiene las unidades de newton m–2, y que al dividir por gc, se obtiene yx expresado en kgf * m–2.
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Ejemplo 1. Cálculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento Teniendo en cuenta la Fig. 1, calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en kgf/m-2, cuando la velocidad V de la lámina inferior, en la dirección positiva del eje X, es 0,3 m/seg, la distancia entre las láminas Y=0.0003 m, y la viscosidad del fluido es μ = 0,7 cp.
μ
0.7 cp
10-4
1.0194
7.14 10-5 kgf s m-2
Como el perfil de velocidad es lineal, dv x
Vx
dy
y
0.3 m / s 0.0003 m
1000 s
1
Sustituyendo en la ecuación 2, queda:
yx
dv x dy
7.14 10
5
1000
2
7.14 10
kgf kg f m
2
Si se utiliza la ecuación 4, se convierte μ de la siguiente forma:
μ
0.7 cp 10-3
7 10-4 kg m-1 s-1
Sustituyendo en la ecuación 4,
yx
dv x g C dy
7 10 4 9.81
1000
7.14 10
2
kgf kg f m
2
Ejemplo 2. Cálculo del esfuerzo cortante en un líquido. Con respecto a la figura 1, la distancia entre las placas es Δy = 0.5 cm, Δv = 10 cm/s y el fluido es alcohol etílico a 273 K, cuya viscosidad es 1.77 cp (0.0177 g/cm . s). a) Calcule el esfuerzo cortante yx y el gradiente de velocidad o velocidad cortante dvx/dy en unidades cgs. b) Repita en Ib fuerza, s y pies (unidades del sistema inglés). Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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c ) Repita esto en unidades SI.
Al sustituir los valores conocidos
yx
V1 V2 Y2 Y1
0.0177
g 10 0 cm / s cm s (0.5 0)cm
g cm / s 2 0.354 354 cm 2
yx
0.35 3544
dina cm 2
Para calcular la velocidad cortante dVX/dy, y puesto que el cambio de velocidad es lineal con respecto a Y,
Velocidad co cor r tan te
dVX dy
VX y
10 0 cm / s (0.5 0)cm
20 s
1
Para el enciso (b) usando lb fuerza como unidades y el respectivo factor de conversión de la viscosidad,
μ 1.77 cp 6.7197
10-4 lbm /(pie * s) / cp 1.19 10
3
lbm /(pie * s)
Convirtiendo ΔVX a pie/s, ΔY a pie y teniendo en cuenta el siguiente factor de conversión, se obtiene:
1 lbf / pie 2
yx
lbm /(pie * s 2 )
7.39 10
4
32.174 174
lbf pie 2
Para el enciso (c) ΔY=0.5/100 = 0.005 m; ΔVX=10/100 = 0.1 m/s y μ = 1.77 X 10-3 kg/(m*s) = 1.77 X 10-3 Pa Pa * s. Al sustituir en la ecuación principal, yx
1.77 10
3
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0.1 / 0.00 0055
0.0354 N / m 2
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REOLOGÍA DE LOS FLUIDOS Reología es la ciencia del flujo y de la deformación que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos. Los fluidos que obedecen la ley de viscosidad de Newton, ecuaciones 1 y 2 se llaman fluidos newtonianos. En los fluidos newtonianos existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante τ yx y el gradiente de velocidad dvx/dy (velocidad cortante). Esto significa que la viscosidad μ es constante e independiente de la velocidad cortante. En fluidos no newtonianos, la relación entre τ yx y dvx/dy no es lineal, es decir, la viscosidad μ no permanece constante sino que está en función de la velocidad cortante. Algunos líquidos no obedecen esta ley simple de Newton, como pastas, lechadas, altos polímeros y emulsiones. La viscosidad de los gases, que son fluidos newtonianos, aumenta con la temperatura y es aproxi aproximad madame amente nte indepe independie ndiente nte de la presió presión n hasta hasta unos unos 1000 1000 kPa. kPa. A presio presiones nes más elevadas, la viscosidad de los gases aumenta al incrementarse la presión. Por ejemplo, la viscosidad del N2 gaseoso a 298 K casi se duplica al subir de 100 kPa a 5 x 104 kPa (R1 en la tabla 1). En los líquidos, la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura. Puesto que los líquidos son esencialmente incompresibles, la presión no afecta su viscosidad. Figura 3. Razón de deformación Vs Esfuerzo cortante para el aire, agua y aceite. GRÁFICO RAZÓN DE DEFORMACIÓN VS ESFUERZO CORTANTE ACEITE
E T N A T R O C O Z R E U F S E
AGUA
AIRE
RAZÓN DE DEFORMACIÓN
Tabla 1. Viscosidades del agua y el aire a una atmósfera de presión
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Tabla 2. Viscosidades de algunos gases y líquidos a 101.32 kPa de presión.
En la tabla anterior se incluyen datos experimentales de algunos fluidos puros típicos a 101.32 kPa. Las viscosidades de los gases son las más bajas y no difieren mucho entre un gas y otro, siendo de más o menos 5 x 10-6 a 3 x 10-5 Pa * s. Las viscosidades de los líquidos son mucho más elevadas. El valor para el agua a 293 K es de 1 x 10-3 y para la glicerina es de 1.069 Pa * s; por consiguiente, existen grandes diferencias entre las viscosidades de los líquidos.
TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS Y EL NÚMERO DE REYNOLDS Cuando Cuando un fluido fluido fluye a través de un canal cerrado, esto es, una tubería o entre dos placas planas, se representan dos tipos de flujo, dependiendo de la velocidad de dicho fluido. A velocidades bajas, el fluido tiende a fluir sin mezclado lateral y las capas adyacentes se resbalan unas sobre las otras como los naipes de una baraja. En este caso no hay corrientes cruzadas perpendiculares a la dirección del flujo, ni tampoco remolinos de fluido. A este régimen o tipo de flujo se le llama flujo laminar.
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Se llama flujo laminar o corriente laminar, al tipo de movimiento de un fluido cuando este es perfec perfectam tament ente e ordena ordenado, do, estrat estratifi ificad cado, o, de manera manera que el fluido fluido se mueve mueve en lámina láminass parale paralelas las,, si la corrie corriente nte tiene tiene lugar lugar entre entre dos planos planos paralel paralelos, os, o en capas capas cilínd cilíndric ricas as coaxiales, como por ejemplo la glicerina en un tubo de sección circular, sin mezclarse entre sí.
(a)
(b)
Figura 4. (a) Flujo laminar de un fluido perfecto en torno al perfil de un objeto. Distribución de velocidades en un tubo con flujo laminar.
(b)
A velocidades más altas se forman remolinos, lo que conduce a un mezclado lateral. Esto se llama flujo turbulento. Por definición se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. El tipo de flujo que se presenta en el desplazamiento de un fluido por un canal es muy importante en los problemas de dinámica de fluidos. Cuando los fluidos se mueven por un canal cerrado de cualquier área de corte transversal, se puede presentar cualquiera de dos tipos diferentes diferentes de flujo, flujo, dependiendo dependiendo de las condiciones condiciones existentes. existentes. Estos dos tipos de flujo pueden verse con frecuencia en un río o en cualquier corriente corriente abierta. Cuando la velocidad velocidad del flujo es baja, su desplazamiento es uniforme y terso. Sin embargo, cuando la velocidad es bastante bastante alta, se observa observa una corriente corriente inestable inestable en la que se forman remolinos remolinos o pequeños pequeños paquetes de partículas de fluido que se mueven en todas direcciones y con gran diversidad de ángulos con respecto a la dirección normal del flujo. El primer tipo de flujo a velocidades bajas, donde las capas de fluido parecen desplazarse unas sobre otras sin remolinos o turbulencias, se llama flujo luminar y obedece la ley de viscosidad de Newton. El segundo tipo de flujo a velocidades más altas, donde se forman remolinos que imparten al fluido una naturaleza fluctuante, se llama flujo turbulento. La existencia de flujo laminar y turbulento puede visualizarse con facilidad por medio de los experimentos de Reynolds, que se muestran en la figura 5. Se hace fluir agua de manera uniforme a través de una tubería transparente, controlando la velocidad por medio de una válvula válvula situada al final del tubo. Se introduce introduce una corriente muy fina y uniforme uniforme de agua con un colorante, a través de una boquilla de inyección, para observar su flujo. Cuando la velocidad de flujo del agua es baja, la coloración es regular y forma una sola línea, esto es, una corriente similar a un cordel, tal como lo muestra la figura (a). En este caso no hay mezclado lateral del fluido y éste se desplaza en una línea recta por el tubo. Al colocar varios inyectores en otros puntos de la tubería se demuestra que no hay mezclado en ninguna parte del mismo y que el fluido fluye en líneas rectas paralelas, A este tipo de flujo se le llama laminar o viscoso.
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Figura Figura 5. Experimento Experimento de Reynolds Reynolds para diferentes diferentes tipos de flujo: a) laminar, laminar, turbulento
b)
Al aumentar la velocidad, se ve que al llegar a cierto límite, la línea de colorante se dispersa y su movimiento se vuelve errático, tal como lo muestra la figura (b). A este tipo de flujo se le llama turbulento. La velocidad a la que se presenta el cambio de tipo de flujo se llama velocidad critica. El número de Reynolds El número de Reynolds Reynolds es un número adimensional adimensional utilizado en mecánica mecánica de fluidos, fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Con diversos estudios se ha podido demostrar que la transición del flujo laminar al turbulento en tuberías no está sólo en una función de la velocidad, sino también de la densidad y viscosidad del fluido y D el diámetro del tubo. Estas variables se combinan en la expresión del numero de Reynolds:
NRe
D
Donde NRe es el número de Reynolds, D es el diámetro en m, ρ es la densidad del fluido en kg/m3, μ es la viscosidad del fluido en Pa * s, y v es la velocidad promedio del fluido en m/s (definiendo la velocidad promedio como la velocidad volumétrica del flujo dividida entre el área de corte transversal de la tubería). Las unidades en el sistema CGS son cm para D; g/cm3 para ρ; g/cm * s para μ y cm/s para v. En el sistema inglés, D se da en pies; ρ en lb,/pie3; μ en lb,/pi lb,/pie e * s y v en pie/s. pie/s. La inestab inestabili ilidad dad del flujo flujo que conduc conduce e a un régimen régimen perturba perturbado do o turbulento está determinada por la relación de las fuerzas de inercia o cinéticas y las fuerzas viscosas de la corriente fluida. Las fuerzas de inercia son proporcionales a ρv2 y las viscosas a μv / D, y la relación ρv2 / μv/D es el número de Reynolds Dvρ/μ. Cuando el número de Reynolds es menor de 2100 para una tubería circular recta, el flujo siempre es laminar. Cuando el valor es superior a 4000, el flujo será turbulento excepto en Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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algunos algunos casos especiales. especiales. Entre estos dos valores, valores, o región de transición transición,, el flujo puede ser viscoso o turbulento, dependiendo de los detalles del sistema, que no se pueden predecir. Ejemplo 1. Número de Reynolds en una tubería Por una tubería con un diámetro interior (DI) de 2,067 pulg fluye agua a 303 K con una velocidad de 10 gal/min. Calcule el número de Reynolds usando unidades del sistema inglés y SI. 7.481 gal = 1 pie3. Velocidad de flujo
10
gal
1 pie 3
1 min
min
7.481 gal
60 sl
0.0223 pie 3 / s
Diámetro de la tubería, D = 2.067 / 12 = 0.172 pie Área de corte Transversal = π*D2 / 4 = π*(0.172)2 / 4 = 0.0233 pie2
Velocidad de la tubería , v
0.0223
pie 3
1
s
0.0233 pie 2
0.957 pie / s
Densidad, ρ = 0.996 g/ml (62.43) lbm /pie3 Viscosidad μ = (0.8007 cp)
6.7197 10
NRe
Dv
4
lbm /(pie s) cp
5.38 10
4
lbm /(pie s)
0.172 172 pie 0.0223 pie / s 0.996 996 62.43 lbm / pie3 5.38 10 4 lbm /(pie s)
NRe = 1.905 x 104 Por tanto, el flujo es turbulento. Al usar unidades en el SI, Densidad, ρ = 0.996 g / ml (1000 kg / m3) = 996 kg / m3 D = (2.067 pulg) (1 pie / 12 pulg) (1 m / 3.2808 pie) = 0.0525 m v = (0.957 pie / s) (1 m / 3.2808 pie) = 0.2917 m / s
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μ = (0.8007 cp)
10
NRe
Dv
3
kg /(m s) 1 cp
8.007 007 10
4
kg /(m s)
0.0525 m 0.29173 m / s 996 kg / m3 8.007 10 4 kg /(m s)
1.9051 104
FLUIDOS NO-NEWTONIANOS De acuerdo con la ley de la viscosida viscosidad d de Newton (.Ec, 2), al representar representar gráficamente gráficamente τ yx frente a –(dvx/dy) para un fluido determinado, debe de obtenerse una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta temperatura y presión. En efecto, la experiencia demuestra que para todos los gases y ciertos líquidos homogéneos no polimerizados yx es directamente proporcional a –(dvx/dy) Sin embargo, existen algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo con la Ec. 2. Se conoce a estas sustancias con el nombre de fluidos no-newtonianos.
Dentro de los principales tipos de fluidos no newtonianos se incluyen los siguientes: Tabla 3. Principales tipos de fluidos no newtonianos Tipo de fluido Comportamiento Características Ejemplos Plásticos La apli apliccació ación n de una deformación no conlleva Plástico perfecto un esfuerzo de Metales dúctiles una vez resis resiste tenc ncia ia en sent sentid ido o superado el límite elástico contrario Relación lineal entre el Barro o lodo, algunos coloides, coloides, esfu esfuer erzo zo cort cortan ante te y el marg margar ariinas, nas, las las gras grasas as,, los los gradiente de jab jabon ones es,, las las susp suspen ensi sion ones es de Plástico de deformación una vez se gran granos os en agua agua,, las las pas pastas tas Bingham ha superado un dentífricas, la pulpa de madera y dete determ rmin inad ado o valo valorr del del los lodos de desecho esfuerzo cortante Yiel Yield d pseu pseudo do-- Fluidos que se plastico comportan como pseudo-plásticos a partir de un determinado determinado valor del esfuerzo cortante
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Tipo de fluido
Comportamiento Características Ejemplos Fluidos que se comportan como Yield dilatante dilatantes a partir de un dete determ rmin inad ado o valo valorr del del esfuerzo cortante Algunos Algunos coloides, coloides, arcilla, arcilla, leche, leche, gelatina, gelatina, sangre, sangre, las soluciones o f u s i o n e s de polímeros, las La viscos viscosida idad d aparent aparente e gras grasas as,, las las susp suspen ensi sion ones es de s e r e d u c e c o n e l Pseudo-plástico almidón, la mayonesa, las gradien gradiente te del esfuer esfuerzo zo suspen suspensio siones nes de deterg detergent entes, es, cortante los los medi medios os de disp disper ersi sión ón de algunos productos farmacéuticos Power-law y las pinturas. fluids Solu Soluci cion ones es conc concen entr trad adas as de azúcar en agua, agua, suspen suspensio siones nes La viscos viscosida idad d aparent aparente e de almidón de maíz o de arroz, se incr increm emen enta ta con con el arena de playa húmeda, silicato Dilatante gradien gradiente te del esfuer esfuerzo zo de pota potasi sio o en agua agua y vari varias as cortante soluciones que contengan conc concen entra traci cion ones es elev elevad adas as de polvos en agua. linear Metales, Materiales compuestos Material de Combinación "serie" de efectos Maxwell elásticos y viscosos Combin Combinaci ación ón linear linear de comp compor orta tami mien ento to como como Fluido Oldroyd-B fluido Newtoniano y como material de Fluidos Maxwel Viscoelásticos linear Betún, Betún, Masa panadera panadera,, nailon, nailon, Material de Combinación "par "paral alel ela" a" de efec efecto toss Plastilina Kelvin elásticos y viscosos Estos materiales siem siempr pre e vuel vuelve ven n a un Anelástico estado de reposo predefinido La viscos viscosida idad d aparent aparente e se incr increm emen enta ta con con la Algunos lubricantes Fluidos cuya Reopéctico durac duració ión n del del esfu esfuer erzo zo viscosidad aplicado depende de l Tixotrópico La viscos viscosida idad d aparent aparente e Alguna Algunass varied variedade adess de mieles, mieles, tiempo decrece con la duración salsa de tomate, algunas de esfuerzo aplicado pinturas antigoteo. Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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El tema del flujo no-newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia más amplia que es la reología, es decir, “la ciencia del flujo y la deformación”, que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substancias asfálticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la reología se extiende, extiende, desde la mecánica mecánica de fluidos fluidos newtonianos newtonianos por una una part parte, e, hast hasta a la elas elastitici cida dad d de Hook Hooke e por por otra otra.. La regi región ón comp compren rendi dida da entr entre e ella ellass corr corres espo pond nde e a la defo deform rmac ació ión n y fluj flujo o de todo todoss los los tipo tiposs de mate materi rial ales es past pastos osos os y suspensiones, El comportamiento reológico, en estado estacionario, de la mayor parte de los flui fluido doss que que se indi indica can n en las las figu figura rass 6 y 7, pued puede e esta establ blec ecer erse se medi median ante te una una form forma a generalizada de la Ec. 2
yx
dv x dy
En la que η puede expresarse a su vez en función de dvx/dy o de
τ
yx indistintamente.
En las regiones en que η disminuye al aumentar el gradiente de velocidad (-dvx/dy), el comp compor orta tami mien ento to se deno denomi mina na pseu pseudo dopl plás ástitico co o adel adelga gaza zant ntes es al cort corte; e; y dila dilata tant nte e o espesantes al corte en las que η aumenta con dicho gradiente. Si η resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se comporta como newtoniano, y entonces η = μ (véase Ec. 2). Figu Figura ra 6. Resu Resume men n de mode modelo loss no-n no-new ewto toni nian anos os en esta estado do esta estaci cion onar ario io (con (con fine finess comparativos se indica también el modelo newtoniano).
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Figu Figura ra 7. Diag Diagra rama ma de esfu esfuer erzo zo cort cortan ante te para para flui fluido doss newt newton onia iano noss y no newt newton onia iano noss independientes del tiempo.
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INFLUENCIA DE LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD Exis Existe ten n nume numero roso soss dato datoss de visc viscos osid idad ad de gase gasess y líqu líquid idos os puros puros rese reseña ñado doss en la bibliografía. Cuando se carece de datos experimentales y no se dispone de tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utilizando otros datos de la sustancia en cuestión. Exis Existe ten n dos dos corr correl elac acio iones nes que que perm permititen en efec efectu tuar ar dich dicha a esti estima maci ción ón,, y que que a su vez vez proporcionan información sobre la variación de la viscosidad de los fluidos ordinarios con la temperatura y la presión. Estas correlaciones se basan en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicación del principio de los estados correspondientes. La Figura 8 es una representación gráfica de la viscosidad reducida μ r = μ / μc, que es la visc viscos osid idad ad a una una dete determ rmin inad ada a temp temper erat atur ura a y pres presió ión, n, divi dividi dida da por por la visc viscos osid idad ad correspondiente al punto crítico. En la figura se ha representado la viscosidad reducida frente a la temperatura Tr = T / Tc y la presión Pr = P / Pc, reducidas. Se observa que la viscosidad de un gas tiende hacia un valor límite definido (el límite de baja densidad en la figura 8), cuando la presión tiende hacia cero a una determinada temperatura; para la mayor parte de los gases este límite se alcanza ya prácticamente a la presión de 1 atm. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye al aumentar ésta. General Generalmen mente te no se dispon dispone e de valore valoress experi experimen mental tales es de μ c pero pueden pueden estima estimarse rse siguiendo uno de estos dos procedimientos: (i) si se conoce el valor de la viscosidad para una cierta temperatura y presión reducidas, a ser posible en las condiciones más próximas a las que se desean, puede calcularse μ c, mediante la expresión μ c = μ / μ r ; (ii) si sólo se conocen los valores críticos de P-V-T, μ c puede estimarse a partir de las ecuaciones:
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O C
61.6 MTC
1 2
~ VC
2
1
3 C
2
7.70M 2PC 3TC
1 6
En las que μ c está expresado en micropoises, Pc en atmósferas, Tc en “K y Vc en cm 3 por gramo-mol. En la figura 9 se da una- representación gráfica de, μ # = μ / μ 0, que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión, dividida por la viscosidad a la misma temperatura y a la presión atmosférica. Esta variable se ha representado también en función de la temperatura y presión reducidas. A partir de las constantes críticas se pueden determinar Pr y Tr y utilizar estos valores valores para obtener en la gráfica gráfica μ / μ 0. El valor así obtenido obtenido se multiplic multiplica a por μ 0, que puede ser un dato experimental o un valor calculado a partir de la teoría de los gases diluidos. Los gráficos de las figuras. 8 y 9 concuerdan satisfactoriamente en el intervalo de Pr y Tr, que es común a ambos.
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Figura 8. Viscosidad reducida μr = μ / μ C, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presión reducida Pr = P / Pc.
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Figura 9. Viscosidad reducida μ # = μ / μ0 en función de la presión reducida P / Pc, y la temperatura reducida Tr = T / Tc
Pr =
Ejemplo 1. Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades criticas. Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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Calcular la viscosidad del N 2 a 50 ºC y 854 atm, atm, siendo M = 28,0 g/ mol, Pc= 33,5 atm y Tc = 126,2 K. μc = 7.70 (28.0) 1/2 (33.5)2/3 (126.2)-1/6 μc = 189 micropoises = 189 X 10 -6 g * cm-1 * seg-1 Los valores de la temperatura y presión reducidas son: Tr = (273.2 + 50) / 126.2 = 2.56 Pr = (854 / 33.5) = 25.5 En la figura 8 se lee μ / μ c = 2.39. Por tanto, el valor estimado de la viscosidad es: μ = μc (μ / μc) = 189 X 10 -6 * 2.39 = 452 X 10 -6 g * cm -1 * seg-1 Donde el dato experimental es 455 X 10 -6 g * cm -1 * seg-1, siendo de alta concordancia con el dato teórico.
Ejemplo 2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases. La viscosidad del CO, a 45,3 atm y 40,3 ºC es 1800 X 10 -7 poise. Estimar el valor de la viscosidad a 214,6 atm y 40,3 ºC. Tr = (273.2 + 40.3) / 304.2 = 1.03 Pr = 45.3 / 72.9 = 0.622 En la figura 9 se encuentra que μ # = 1.12 en estas condiciones; por tanto μ 0 = μ / μ# = 1610 X 10-7 g * cm-1 * seg-1 La presión reducida en las condiciones deseadas es: Pr = 114.6 / 72.9 = 1.57 y T es es la misma misma de antes. antes. En la figura figura 9 se lee lee μ # 3.7; por tanto, el -7 valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 ºC es μ = 3.7 * 1610 X 10 = 6000 X 10 7 g * cm -1 * seg-1. El valor experimental es 5800 X 10 -7 g * cm-1 * seg-1.
CÁLCULO DE LA VISCOSIDAD PARA GASES Y LÍQUIDOS Teoría de la viscosidad de los gases a baja densidad El coef coefic icie ient nte e de visc viscos osid idad ad de un gas gas mono monoat atóm ómic ico o puro puro de peso peso mole molecu cula larr M; a la temperatura T, viene dado en función de los parámetros σ y Є por la siguiente ecuación:
2,6693 X10
8
MT 2
Esta ecuación es válida para gases no polares. Donde μ está en Pa * s; T en K; σ en nanómetros y Ωμ es la integral de colisión. Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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También puede expresarse:
2,6693 X10
MT
5
2
En la que μ [=] g cm -1 seg-1, T [=] K, σ[=] Å, y Ωμ es una función ligeramente decreciente del número adimensiona adimensionall kT/Є, cuyos valores se dan en la Tabla B-2 en el apéndice del libro de Bird. Y donde σ es un diámetro característico de la molécula (el diámetro de colisión) y Є una energía característica de interacción entre las moléculas (la energía de atracción máxima entre entre dos molécu moléculas las). ). La Ecuaci Ecuación ón anteri anterior or result resulta a muy satisf satisfact actori oria a para para numero numerosas sas moléculas no polares. Los valores de σ y Є se conocen para muchas sustancias; en la Tabla B-l del apéndice de Bird, se presenta una relación parcial, pero pueden encontrarse más datos en la bibliografía. Si no se conocen los valores de σ y Є, pueden calcularse a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c), de la temperatura normal de ebullición del líquido (b), o del punto de fusión del sólido (m), mediante las siguientes ecuaciones empíricas: Є / k = 0.77 Tc
σ = 0.841 Vc 1/3
o
Є / k = 1.15 Tb
σ = 1.166 Vb1/3, líq
Є / k = 1.92 Tm
σ = 1.222 Vm 1/3, sol
2.44 (Tc / Pc)1/3
En las que Є / k y T están en K, σ en unidades Ángstrom, V en cm 3 g-mol-1 y Pc en atm. Aunque esta fórmula se ha deducido para los gases monoatómicos, se ha encontrado que resu resultlta a tamb tambié ién n muy muy adec adecua uada da para para los los gase gasess poli poliat atóm ómic icos os.. La vari variac ació ión n de μ con con la temperatura que predice esta ecuación concuerda satisfactoriamente con la línea de baja densidad en la gráfica de viscosidad reducida de la Figura 8. Obsérvese de nuevo que la viscosidad de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, aproximadamente con la potencia 0,6 a 1,0 de dicha variable. Recuérdese también que para el intervalo de baja densidad, la viscosidad es independiente de la presión.
Ejemplo 1. Cálculo de la viscosidad de M gas a baja densidad. Calcular la viscosidad del CO, a 1 atm y 200, 300, y 800 K. Se utiliza la ecuación:
2,6693 X10
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5
MT 2
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De Lennard – Jones para el CO, valen Є / k = 190 K y σ = 3.996 Å. El peso molecular del CO es 44.01. Sustituyendo los factores constantes M y σ en la ecuación anterior, se obtiene:
2,6693 X10
5
En la que En la que μ [=] g cm -1 seg-1 siguiente tabla:
44.01 T 3.996 2 y
1.109X10
5
T
T [=] [=] K. Los Los demá demáss cálcul cálculos os se indica indican n en la
En la última columna se indican los datos experimentales con fines comparativos. Era de esperar la buena concordancia que se aprecia, ya que las constantes de Lennard – Jones de la Tabla B- 1 del apéndice B del libro de Bird, se han deducido a partir de datos de viscosidad.
ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE MOLECULAR PARA TRANSFERENCIA DE MOMENTO LINEAL, CALOR Y MASA En los procesos de transporte molecular, lo que nos ocupa en general es la transferencia o desplazamiento de una propiedad o entidad dada mediante el movimiento molecular a través de un sistema o medio que puede ser un fluido (gas o líquido) o un sólido. Esta propiedad que se transfiere puede ser masa, energía térmica (calor) o momento lineal. Cada molécula de un sistema tiene una cantidad determinada de la masa, energía térmica o momento lineal asociada a ella, Cuando existe una diferencia de concentración de cualquiera de esas propiedades de una región a otra adyacente, ocurre un transporte neto de esa propiedad. En los fluidos diluidos, como los gases, donde las moléculas están relativamente alejadas entre sí, la velocidad de transporte de la propiedad será relativamente alta puesto que hay pocas moléculas presentes para bloquear el transporte o para interactuar. En fluidos densos, como los líquidos, las moléculas están próximas entre sí y el transporte o la difusión se real realiz iza a con con mas mas lent lentititud ud.. En los los sóli sólido dos, s, las las molé molécu cula lass está están n empa empaca cada dass mas mas estrechamente que en los líquidos y la migración molecular es aun más restringida.
Ecuación general de transporte molecular. El transporte molecular es comúnmente estudiado a través del concepto de densidad de flujo (flux). La densidad de flujo (Ψ) es la cantidad de la propiedad que se mueve a través de una unidad de área por unidad de tiempo, sus unidades están dadas en cantidad de propiedad / m2: Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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Ecuación 2.1:
d X
dX
Donde: δ es una constante de proporcionalidad llamada difusividad en m 2/s. dΓ/dX se le conoce genéricamente como fuerza impulsora. X es la distancia dada en m en la dirección del transporte. Si el proces proceso o ocurre ocurre en estad estado o estaci estaciona onario rio,, el flujo flujo Ψx es consta constante nte.. Reorde Reordenan nando do la ecuación (2.1) e integrando, X1 X
X2
X
1
dX
2
1
d
2
X1 X 2
En la figura siguiente siguiente se muestra una gráfica de la concentración concentración Γ en función de Z (para tal efecto tomamos Z = X), y es una línea recta. Como el flujo va en la dirección de 1 a 2 de concentración decreciente, la pendiente dΓ / dX es negativa, y el signo negativo de la ecuación (2.1) da un flujo positivo en la dirección 1 a 2.
Balance general de propiedad para estado estacionario. Preparado por: Ing. Rodrigo R. Cuello Aguachica- Cesar
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Al calcular las velocidades de transporte en un sistema usando la ecuación de transporte molecular (2.1), es necesario tomar en cuenta la cantidad de esta propiedad que se transporta en todo el sistema. Esto se hace escribiendo una ecuación general de balance o conservación para la propiedad (momento lineal, energía térmica o masa) en estado no estacionario. Se empieza por escribir una ecuación sólo para la dirección X, que indica toda la propiedad que entra por transporte molecular, la que sale, la que se genera y la que se acumula en un sistema como el que se muestra en la figura anterior, que es un elemento de volumen ΔX (1) m3 fijo en el espacio.
Ecuación 2.2: Tasa de propiedad que entra
+
Tasa de generación de propiedad
=
Tasa de propiedad que sale
+
Tasa de acumulación de propiedad
Introducción al transporte molecular El transporte molecular molecular o la difusión molecular molecular de una propiedad como el momento momento lineal, el calor, o la masa, se lleva a cabo en un fluido gracias a esos movimientos aleatorios de las moléculas individuales. Cada molécula individual que contiene la propiedad que se transfiere se mueve al azar en todas direcciones, y se producen flujos en todas direcciones.
1. Transporte de momento lineal y la ley de Newton. Cuando un fluido fluye en la dirección X en forma paralela a una superficie sólida, existe un gradiente de velocidad donde la velocidad Vx, en la dirección X disminuye al acercarse a la superficie en la dirección Y. El fluido tiene un momento lineal con dirección X y su concentración es Vx * ρ (momento lineal / m3), donde el momento lineal tiene unidades unidades de (kg * m / s). Así, las unidades de Vx * ρ son (kg * m / s) / m 3. Debido a la difusión aleatoria de las moléculas, existe un intercambio de moléculas en la dirección Y, moviéndose igual número de ellas en cada dirección (direcciones +Y y -Y) entre la capa de moléculas que se mueve más rápido y la capa adyacente más lenta. Por lo tanto, el momento lineal con dirección X se ha transferido en la dirección Y desde la capa que se mueve más rápido hacia la que lo hace más lentamente. lentamente. La ecuación ecuación para este transporte de momento lineal es similar a la ecuación (2.1) y es la ley de Newton de la viscosidad escrita como sigue para una densidad ρ constante: Ecuación 2.3: yx
d(v x * ) dy
Donde τ yx es el flujo de momento lineal con dirección X en la dirección Y (kg*m / s 2) * m2; ٧ es μ * ρ, la difusividad de momento lineal en (m 2 / s); X es la dirección de transporte o difusión en m; ρ es la densidad en (kg / m 3), y μ es la viscosidad en (kg l m * s).
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2. Transporte de calor y ley de Fourier. La ley de Fourier para el transporte molecular de calor o la conducción de calor en un fluido o sólido puede escribirse como sigue para una densidad ρ constante y una capacidad calorífica Cp. Ecuación 2.4:
qX A
d( * CP * T ) dy
Donde qX / A es el flujo de calor en (J / s * m 2), α es la difusividad térmica en (m 2 / s) y ρCpT es la concentración de calor o energía térmica en (J / m 3). Cuando hay un gradiente de temperatura en un fluido, se difunden igual número de moléculas en todas direcciones entre la región caliente y la más fría. De esta manera se transfiere la energía en la dirección X.
3. Transporte de masa y la ley de Fick. La ley de Fick para el transporte molecular de masa en un fluido o en un sólido para una concentración total constante del fluido es: Ecuación 2.5:
J Ax
D AB
dC A dy
Donde JAX, es el flujo de A en (kg mol A / s) * m 2, DAB es la difusividad molecular de la molécula A en B en (m 2/s), y C A es la concentración de A en (kg mol A / m 3). Del mismo modo que que con con el tran transp spor orte te de mome moment nto o line lineal al y de calo calor, r, dond donde e exis existe te un grad gradie ient nte e de concentración en un fluido, se difundirán igual número de moléculas en todas direcciones entre las regiones de alta y de baja concentración, y ocurrirá un flujo neto de masa. Por consiguiente, las ecuaciones (2.3), (2.4) y (2.5) para la transferencia de momento lineal, de calor y de masa son similares entre sí y a la ecuación general de transporte molecular (2.1). Todas estas ecuaciones tienen un flujo en el lado izquierdo, una difusividad en (m 2/s) y la derivada de la concentración con respecto a la distancia. Las tres ecuaciones de transporte molecular son matemáticamente idénticas, por lo que se dice que tienen analogía o similitud entre sí. Pero debe resaltarse que, aunque existe una analogía matemática, los mecanismos físi físico coss reale realess que que ocur ocurre ren n pued pueden en ser ser comp comple leta tame ment nte e dife difere rent ntes es.. Por Por ejem ejempl plo, o, en la tran transf sfer eren enci cia a de masa masa con con frec frecue uenc ncia ia se tran transp sport ortan an dos dos comp compon onen ente tess medi median ante te un movimiento relativo entre uno y otro. En el transporte de calor en un sólido, las moléculas está están n rela relatitiva vame ment nte e esta estaci cion onar aria iass y el tran transp spor orte te es real realiz izad ado o prin princi cipa palm lmen ente te por por los los electrones. El transporte de momento lineal puede ocurrir por varios tipos de mecanismos.
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