Ingeniería Estructural CAPITULO I

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ESTATICA APLICADA

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CAPITULO I ESTÁTICA APLICADA. I.1. Generalidades. En el estudio de la Mecánica racional se estudian conceptos básicos relacionados con el comportamiento estático de los cuerpos rígidos, entendiéndose que estos se representan como como una una forma conform rmada ada por por un elem element entoo o conj conjun unto to de elem element entos os forma resisten resistente te confo relacionados entre sí y dispuestos en una forma tal que permiten soportar de una manera adecuada las cargas o solicitaciones a las cuales se encuentra sometidas sin colapsar, esta definición es lo que conocemos como el concepto de ESTRUCTURA de ESTRUCTURA [1]. En la práctica de la Ingeniería Civil normalmente se presentan situaciones en la cuales se requ requie iere re dise diseñar ñar y cons constr trui uirr estr estruc uctu tura rass diver diversa sass nece necesa sari rias as para para la adecu adecuad adaa funcionalidad y seguridad del proyecto ingenieril. En este contexto podemos clasificar las estructuras de la siguiente forma: geometría: - Planas a) Según su geometría: - Tridimensionales. conexiones: - Articuladas b) Según el tipo de conexiones: Articuladas como las armaduras. - Rígidas como los pórticos. - Mixtas como los marcos. c) Según el tipo de Sistema Constructivo: Constructivo:

- Aporticadas.

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5 - Apantallada (Muro Estructural). - Mampostería Confinada. - Mampostería Armada. - Sistema tipo túnel. - Mixtos.

Para Para la real realiz izaci ación ón de un Proy Proyec ecto to Estr Estruc uctu tura rall se deben deben cump cumpli lirr tres tres etap etapas as fundamentales que son: 1) Definición del Sistema Constructivo a emplear : En esta etapa se definen los ejes estructurales, estimación de las solicitaciones o cargas de diseño (cargas vivas o de uso, cargas muertas o de peso propio, cargas sísmicas, de viento, de empujes latera laterales les,, etc.), etc.), predim predimens ension ionado ado de los elemen elementos tos estruc estructur turale ales, s, chequeo chequeo de ESTABILIDAD y modelaje de la estructura. 2) Análisis Estructural : En esta etapa se determinan las capacidades resistentes y de rigidez de los elementos estructurales para evaluar el comportamiento estructural de toda la estructura y de sus elementos componentes. 3) Detallamiento y Diseño Final : En esta etapa se optimiza el predimensionado en función de las demandas reales que imponen las solicitaciones y se detallan y calculan las conexiones y demás componentes secundarios del sistema estructural.

I.2. ESTABILIDAD. I.2.1. Concepto de Estabilidad. Como Como se evid eviden enci ciaa en el párra párrafo fo anter anterio iorr aseg asegur urar ar la esta estabi bili lidad dad de un sist sistem emaa estr estruc uctu tura rall es un aspe aspect ctoo de suma suma impor importa tanci nciaa en el dise diseño ño inic inicia ial. l. Una Una estr estruc uctu tura ra ESTABLE es ESTABLE es aquella capaz de soportar las cargas actuantes de manera inmediata y en el rango del comportamiento elástico sin colapsar [1], en donde todos los puntos que la conforman permanecen en su posición inicial, es decir, que su posibilidad de movimiento o Grados de Libertad (G.D.L.) como cuerpo rígido deben estar restringidos. En este contexto, el estudio de la estabilidad es un problema que no depende del tipo de solicitaciones que se encuentran actuando sobre la estructura sino que mas bien depende de que se satisfagan algunas condiciones relacionadas con sus características geométricas (cantidad, disposición y ubicación de los elementos estructurales) y de la cantidad y el tipo de vínculos que posea, tanto internos como externos. Para entender estos conceptos es necesario definir lo que se refiere a los vínculos. Se entiende por vínculo en términos estructurales, a todo elemento físico que produzca restricción de uno o más G.D.L. de una estructura [1]. Estos pueden clasificarse en forma general como vínculos internos y vínculos externos. Los vínculos internos están representados por las conexiones entre los elementos que conforman la estructura y suelen llamarse “nodos “nodos o juntas”, juntas”, mientras que los vínculos

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externos representan la interacción de la estructura con el suelo o con otras estructuras existentes y suelen ser llamados “apoyos”. Los vínculos pueden clasificarse también por el grado de restricción que imponga a una estructura [1], así por ejemplo un vinculo que restrinja un Grado de libertad (G.D.L.) se denomina vínculo de 1 ER orden, el que restringe 2 G.D.L. será un vínculo de 2 DO orden y el que restringe 3 G.D.L. será un vínculo de 3 ER orden, como se muestra en la Figura I.1. Vínculos Externos RODILLO (vinculo 1ER orden) BIELA (vinculo 1ER orden)

Vínculos Internos RODILLO (vinculo 1ER orden) biela

ARTICULACIÓN (Vinc. 2DO orden) ARTICULACIÓN FICTICIA (Vinc. 2DO orden)

bielas

bielas

BIELA (vinculo 1ER orden) ARTICULACIÓN (Vinc. 2DO orden)

bielas

ARTICULACIÓN FICTICIA (Vinc. 2DO orden)

EMPOTRAMIENTO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO FICTICIO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO FICTICIO (vínculo de 3ER orden)

bielas

I.2.2. Teoría de Chapas. Figura I.1. Vínculos típicos empleados en estructuras

Un cuerpo rígido o forma resistente cualesquiera puede definirse considerando la “Teoría de Chapas”, en donde se establece que todos los puntos que conforman la estructura se encuentran contenidos en un espacio o plano (en el caso bidimensional) al cual denominaremos “chapa”, siendo sus Grados de Libertad equivalentes a los G.D.L. del cuerpo rígido [1]. En las Figuras I.2a), I.2b) e I.2c) se muestran algunos casos de estructuras consideradas como chapa. CHAPA

a) Viga simplemente apoyada b) Armadura o cercha

c) Pórtico estructural Figura I.2. Estructuras consideradas como chapas Consideremos ahora la chapa mas simple que puede existir en el plano, definida por el triangulo ABC de la Figura I.3a), si asumimos un eje de coordenadas cartesianas xy

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entonces cada punto puede ubicarse a través de un par ordenado ( x, y). Supongamos que imponemos un vínculo para restringir únicamente las coordenadas y de la chapa, luego se observa que el único desplazamiento posible de la chapa es en el sentido de las x lo cual corresponde a una traslación en dicha dirección o G.D.L. en x, ya que el cuerpo es rígido. y

( x , y ) CC C A ( x A, yA)

( x’ C, yC) C’ B A’ ( x B, yB) ( x’ A, yA)

a) Traslación en x y

c) Rotación respecto al punto A

( x C, y’ C) C’ B’ ( x’ B, yB)

A’ B’ ( x B, y’ B) ( x A, y’ A) C ( x C, yC)

y

x A ( x A, yA) ( x C, yC) C’ C ( x’ C, y’ C) A ( x A, yA)

( x B, yB)

B

b) Traslación en y

x

B

( x B, yB) ( x’ B, y’ B) B’

x

Si hacemos la misma suposición restringiendo la coordenada x (Ver Figura I.3b)) Figura I.3. G.D.L. chapa plano si mantenemos fija las entonces tendremos una traslación en y de o una G.D.L. enen y. elAhora coordenadas x e y de un punto, por ejemplo el A (Figura I.3c)), mientras las coordenadas x e y de B y C varían, entonces se obtiene una rotación de la chapa respecto al punto A o G.D.L. de rotación. De lo anterior podemos concluir que “toda chapa o cuerpo rígido en el plano posee un máximo de 3 G.D.L.” [1] dados por dos traslaciones (respecto a x e y) y una rotación respecto a un eje perpendicular al plano de la chapa que pasa por su centro instantáneo de rotación (CIR).

I.2.3. Criterios de Estabilidad para una Chapa. De lo anterior se evidencia que para que una chapa sea ESTABLE deberá poseer una combinación de vínculos externos que genera al menos tres restricciones, lo cual denominaremos el “Criterio de Estabilidad Nº 1 [1]; sin embargo este primer criterio es una condición necesaria pero no suficiente ya que pueden existir “vínculos aparentes”, los cuales se definen como aquellos que se encuentran ubicados en la estructura de tal forma que no restringen todos los G.D.L. de la misma, tal y como se muestra en la Figura I.4. G.D.L. G.D.L.

a) Viga inestable por vínculos aparentes

b) Inestabilidad geométrica

Figura I.4. Estructuras inestables por disposición inedecuada de vinculos externos

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Para garantizar la estabilidad de la chapa, además de cumplir con lo señalado en el párrafo anterior, deben existir al menos tres direcciones de CIR no concurrentes ni paralelos entre si, lo que equivale a decir que la chapa posea un mínimo de tres CIR, lo cual conoceremos como el “Criterio de Estabilidad Nº2” [1]. Debe resaltarse el hecho de que si la chapa no cumple con alguno de los Criterios de Estabilidad entonces será INESTABLE . Para demostrar el segundo Criterio de Estabilidad recordemos de forma breve lo que representa un Centro Instantáneo de Rotación (CIR). Un CIR o polo se define como el punto alrededor del cual todos los demás puntos que conforman la chapa rotan el mismo ángulo θ [1]. Este puede ser propio si se encuentra en un punto geométricamente definido en el plano cartesiano dentro o fuera de la chapa, por ejemplo el punto A de la Figura I.3c), o impropio si se encuentra en el infinito (CIR ⇒∞ ). Para ubicar el CIR de una chapa puede utilizarse el vector de corrimiento vi el cual indica la dirección de posibilidad de movimiento del punto i o G.D.Li de la chapa, luego conocida la dirección de dicho vector vi el CIR se encontrara en algún punto sobre una línea perpendicular a este. Si existe otro punto j con un vector de corrimiento v entonces el CIR se encuentra en la intersección de la perpendicular a v y la perpendicular a vi (Ver Figura I.5). j

j

DIR CIR (vi )

v j

DIR CIR (v j )

CHAPA

j

vi

CIR i

Figura I.5. Ubicación del CIR por los vectores de corrimiento

A tal efecto se puede observar que un vinculo de 1ER orden (un rodillo o una biela) genera una dirección de CIR con dirección perpendicular a la posibilidad de movimiento tal y como se muestra en la Figura I.6a). Por otra parte, un vinculo de 2DO orden (una articulación) es un CIR propio ya que este se puede generar por la combinación de dos vínculos de 1ER orden, es decir, dos direcciones de CIR y uno de 3ER orden (un empotramiento) genera infinitas direcciones de CIR (∞ CIR)

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ya que este puede generarse por infinitas combinaciones de vínculos de 1ER orden y 2DO orden (Ver Figuras I.6b) e I.6c) respectivamente). DIR CIR biela

v jx

viy

viy

DIR CIR vix

CIR

DIR CIR CIR

DIR CIR

a)

b)

c)

Figura I.6. I.6. Direcciones de CIR generadas por vinculos externos Para demostrar demostrar el segundo segundo Criterio Criterio de Estabilid Estabilidad ad analizaremo analizaremoss la Chapa de la Figura I.7 que presenta 2 CIR propios y un CIR impropio. Si analizamos el G.D.L. del punto B B respecto al CIR O1 y otro vector observamos que este presenta un vector de corrimiento vv B1 vv B3 respecto al CIR ⇒ ∞ O3 cuya dirección es distinta a la de vv B1 B. Por lo tanto dado de que el cuerpo es rígido se concluye que el punto B no se puede mover y tal situación ocurre para cualquier punto de la Chapa, entonces se concluye que esta es ESTABLE es ESTABLE . 1

B 3

1

CHAPA DIR CIR 1

CIR

CIR O1 DIR CIR 3 A

O3

v B1

CIR O3

DIR CIR 2 CIR O2 B v

⇒

CIR O2

CIR O1

B 3

DIR CIR 3

CHAPA

DIR CIR 2

DIR CIR 1

Figura I.7. I.7. Estructura estable por la existencia de 3 vinculos y 3 DIR de CIR

I.2. I.2.4. 4. Crit Criter erio ioss de Estab Estabil ilid idad ad pa para ra un unaa Estr Estruc uctur turaa confo conform rmad adaa po porr varias Chapas. Ahora extenderemos los conceptos de Estabilidad para una estructura compuesta de varias chapas. Para ello consideremos la estructura mostrada en la Figura I.8 la cual esta conformada por varios elementos estructurales. B

C

A E

D

F

G

Figura I.8. I.8. Estructura de estudio conformada por varias chapas

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Para poder definir el número máximo de chapas en las cuales puede dividirse una estructura debemos identificar los vínculos internos de 1ER y 2DO orden, ya que estos representan las posibles uniones entre cuerpos rígidos o chapas [1], siendo estos los nodos C, D E y F de la Figura I.8. Luego debe asegurarse que los elementos unidos en estos nodos no se encuentren vinculados entre si en ningún otro punto de tal forma que no conformen estructuras cerradas más complejas que definan una sola chapa. Esta condición puede observarse si analizamos el tramo ABC de la Figura I.8 la cual se encuentra unida u nida al resto de la estructura solamente en el punto articulado C representando por ende una chapa a la cual le asignaremos el Nº 1. Una situación análoga puede describirse para el elemento DG conectado en el punto articulado D, al que denominaremos Chapa Nº 3 (Ver Figura I.9).

Chapa Nº 1

C Chapa Nº 2

B

D Chapa Nº 3

Por ultimo se observa en la Figura I.9 que existen varios elementos unidos a los nodos A encuentran conectados también a los nodos C y D, conformado una articulados E y F que se G E sola forma resistente cerrada, lo cual define la Chapa Nº 2. F Figura el N°numero I.9. I.9. Definición del número de chapas Sabiendo como definir de chapas máximomínimo que conforma una estructura, ahora estableceremos los criterios para garantizar su estabilidad considerando un caso general como el que se muestra en la Figura I.10, en donde se observa una estructura conformada por cinco chapas unidas entre si por vínculos internos de 1ER y 2DO orden.

CHAPA 2 CHAPA 1

CHAPA 3

CHAPA 4 CHAPA 5

Figura I.10. I.10. Estructura de estudio conformada por cinco chapas Para Para establ establece ecerr los Criter Criterios ios de Estabi Estabili lidad dad comenz comenzare aremos mos por defini definirr el número número mínimo de restricciones por vínculos externos (N° de Rest. VEmin) que requiere una estructura que puede subdividirse en un número máximo de “N” chapas, lo que equivale al Criterio Nº 1 desarrollado en el párrafo anterior para una Chapa. Puede demostrarse que cada articulación interna genera 2 x (n - 1) restricciones de los G.D.L. de la estructura, en

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donde “n” el numero de chapas que se encuentran unidas en la articulación considerada, siendo N ≥ n; por otra parte cada rodillo o biela interna genera una sola restricción [1 ]. Los G.D.L. totales de la estructura sin considerar ninguna restricción se obtienen tomando en cuenta los G.D.L. de cada una de las chapas que la conforman, luego (1)

G.D.L. = 3 x N

Entonces para que la estructura sea estable, el número de G.D.L. debe ser restringido tanto por los vínculos internos (Rest. por VI) como por los vínculos externos (Rest. por VE), luego si conocemos las Rest. por VI, el numero mínimo de restricciones debido a los vínculos externos (N° de Rest. VEmin) se obt obtien ienen en restán restándol dolee a (1) las restr restricc iccion iones es impuestas por los vínculos internos existentes como sigue N° de Rest. VEmin = 3 x N – [2 x (n – 1) de cada Art. + Nº de rodillos]

(2)

La expresión (2) indica que “a “a una estructura cualesquiera conformada por varias chapas deberá proporcionársele una combinación de vínculos externos que genere como mínimo un número de restricciones igual al Nº de Rest. VE min ”, lo min para que sea ESTABLE ”, que definiremos como el “Criterio “Criterio de Estabilidad N° 1” 1” [1], el cual es una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad, por lo tanto se dice que si la estructura cumple este criterio es una estructura presumiblemente estable. Para ilustrar este concepto analicemos la estructura de la Figura I.10. El Número de Restricciones por Vínculos Externos mínimo se obtiene aplicando la Ecuación (2) como sigue N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8 Este valor indica que debe proporcionársele a la estructura de la Figura I.10 una combinación de vínculos externos que produzcan al menos ocho restricciones, lo cual puede garantizarse colocando un empotramiento en la chapa 1; otro en la chapa 5 y una articulación en la chapa 3 (Ver Figura I.11). El nume numero ro de Rest Restri ricc ccio ione ness por por Vínc Víncul ulos os Exte Extern rnos os Exis Existe tent ntes es (Res (Rest. t. VEE) VEE) proporcionado a una estructura puede determinarse a partir de la siguiente expresión Rest. VEE = 3 x Nº Empotramientos + 2 x Nº Articulaciones + Nº Rodillos

CHAPA 2

CHAPA 3

CHAPA 4

CHAPA 1

CHAPA 5

Rest VEE = 3 x 2 + 2 x 1 + 0 = 8 Figura I.11. I.11. Restricciones minimas para una estructura formada por “n” chapas.

(3)

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Aplicando la Ecuación (3) a la estructura estudiada se observa que el Número de Restricciones por Vínculos Externos mínimo (N° de Rest. VEmin) es igual al el numero de Restricciones por Vínculos Externos Existentes (Rest. VEE); es decir igual a 8 restricciones. Cabe destacar el hecho de que para la estabilidad de la estructura de la Figura I.11 pudo haberse considerado cualquier otra combinación de vínculos externos que generen un numero de restricciones mayor o igual que el mínimo requerido, sin embargo cualquier combinación propuesta que sea seleccionada solo es una condición necesaria pero no suficiente, ya que adicionalmente debe evaluarse la disposición de estos vínculos en la estructura, es decir, su ubicación para restringir los G.D.L. de la estructura, lo cual al igual que lo establecido para una sola chapa en los párrafos anteriores se satisface incluyendo un criterio de Estabilidad adicional. Para garantizar la estabilidad de la estructura formada por varias chapas deberá cumplirse que “todas las chapas que conforman la estructura deben poseer al menos tres direcciones de CIR no paralelas ni concurrentes entre si” lo que define el “Criterio de Estabilidad N° 2” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas de la estructura no cumple este Criterio de Estabilidad entonces la estructura será INESTABLE . Tomemos como ejemplo la estructura de la Figura I.12. Las chapas 1 y 5 poseen infinitas direcciones de CIR debido a los empotramientos, por lo tanto ambas son ESTABLES. v3

O1’ = O2 CHAPA 2 CHAPA 1

DIR O1

CHAPA 3

O3 DIR O2 = DIR O3

CHAPA 4

O’3 = O4’ v4

O 4 = O 5’ CHAPA 5

DIR O5

Figura I.12. Verificación del Criterio de Estabilidad Nº 2 para una estructura conformada por varias chapas. Luego la unión entre las chapas 1 y 2 es un punto fijo de rotación que se convierte en un en CIR relativos O’1 = O2. De manera análoga la unión entre las chapas 4 y 5 es un CIR relativo O4 = O’5. Por otra parte la chapa 3 posee un CIR propio O 3 debido a la articulación externa, entonces puede observarse que la unión de las chapas 3 y 4 presenta un vector de corrimiento v3 respecto a O3 que tiene una dirección distinta al vector de corrimiento v4 respecto a O4, entonces se concluye que dicha unión se encuentra fija y representa un CIR propio relativo para ambas chapas (O’3 = O’ 4) siendo ambas chapas ESTABLES, entonces el rodillo interno que existe entre las chapas 2 y 3 representa una dirección de CIR común para ambas (DIR CIR O2 = DIR CIR O3) que al no pasar por O 2 le proporciona a la chapa 2

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tres direcciones de CIR no paralelas entre si ni concurrentes por lo cual es ESTABLE, por lo tanto se concluye que la estructura es ESTABLE (Ver Figura I.12).

I.2.5. Criterios de Estabilidad para una Cadena Cinematica. Consideremos ahora el caso particular de la Figura I.13, en donde la estructura esta conformada por varias chapas unidas mediante vínculos internos de 2DO orden (o nodos articulados), a esta forma resistente se le denomina “Cadena Cinemática (C.C.) de orden “n” [1], en donde “n” es el número de chapas que conforma la Cadena Cinemática, las cuales pueden ser Abiertas (C.C.A.) si la primera y ultima chapa de la Cadena Cinemática no se encuentra conectadas (Ver Figuras I.13a) e I.13b))o Cerrada (C.C.C.) en caso contrario (Ver Figura I.13c)). CHAPA 2

CHAPA 2 CHAPA 1

CHAPA 2

CHAPA 1

CHAPA 3

CHAPA 1

CHAPA 3

CHAPA 4

a) C.C.A. de orden 2 (n = 2) b) C.C.A. de orden 3 (n = 3) c) C.C.C. de orden 4 (n = 4) El número mínimoFigura de restricciones por Cinematica vínculos externos requiere I.13. Cadena (C.C.) que de orden “n” la C.C. de orden “n”, lo que equivale al Criterio Nº 1, se obtiene analizando primero el numero de vínculos internos de 2DO orden para una C.C.A, así pues en la Figura I.13a) para n = 2 existe un solo vínculo interno, mientras que para la Figura I.13b) se tiene que n = 3 y el número de vínculos internos es igual a 2. De esto se deriva que para una C.C.A. de orden “n” existirán (n - 1) articulaciones internas. Entonces los G.D.L. de la cadena de orden “n” se obtienen tomando en cuenta los G.D.L. de cada chapa que conforma la C.C.A., luego G.D.L. C.C.A. orden “n” = 3 x n

(4)

Tomando en cuenta de que cada vinculo interno restringe 2 G.D.L., se puede determinar que el numero de restricciones por vínculos externos mínimo (N° de Rest. VEmin) necesarios para la estabilidad de la C.C.A. de orden “n” viene dado por N° de Rest. VEmin = 3 x n – 2 x (n – 1) = n + 2

(5)

La expresión (5) indica que “a una cadena cinemática abierta de orden n deberá proporcionársele un mínimo de n + 2 restricciones por vínculos externos para que sea estable”, lo que definiremos como el “Criterio de Estabilidad N° 1” [1], el cual es una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad, por lo tanto se dice que si la estructura cumple este criterio es una estructura presumiblemente estable.

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Para ilustrar este concepto analicemos las estructuras de la Figura I.13a) e I.13b). Para la primera Cadena Cinemática Abierta de orden “2” (n = 2), el Número de Restricciones por Vínculos Externos mínimo (N° de Rest. VEmin) es igual a 2 + 2 = 4, lo cual puede garantizarse por ejemplo colocando un vinculo externo de 2DO orden a cada chapa (Ver Figura I.14a)). Para la C.C de orden “3” se requieren 3 + 2 = 5 Restricciones por Vínculos Externos mínimo, que puede garantizarse colocando un empotramiento en la chapa 1 y una articulación en la chapa 3 (Ver Figura I.14b)). CHAPA 2 CHAPA 1

CHAPA 2

a) C.C.A. de orden “2”

CHAPA 1

CHAPA 3

b) C.C.A. de orden “3”

Figura I.14. Restricciones minimas para una C.C.A. Obsérvese que para garantizar la estabilidad de las C.C.A. de las Figuras I.14a) e I.14b), al igual que lo estudiado en los casos anteriores, no solo debe considerarse cualquier combinación de vínculos posible que generen un numero de restricciones mayor o igual que el mínimo requerido, sino que adicionalmente debe evaluarse la disposición de estos en la estructura introduciendo un segundo Criterio de Estabilidad. En este contexto, para garantizar la estabilidad de la C.C.A. de orden “n” deberá cumplirse que “todas las chapas que conforman la cadena cinemática de orden “n” deben poseer al menos tres direcciones de CIR no paralelas ni concurrentes entre si” lo que define el “Criterio de Estabilidad N° 2” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas de la C.C.A. no cumple con alguno de los Criterios de Estabilidad entonces la misma será INESTABLE . Para ilustrar la aplicación del Criterio de Estabilidad N° 2 tomemos como ejemplo las estructuras de las Figuras I.14a) e I.14b). Para la C.C.A. de orden “2” las articulaciones externas representan un CIR propio para las chapas 1 y 2 (O1 y O2 respectivamente), luego la unión de las chapas 1 y 2 presenta un vector de corrimiento v1 respecto a O1 que tiene una dirección distinta al vector de corrimiento v2 respecto a O2, entonces se concluye que dicha unión se encuentra fija y representa un CIR propio relativo para ambas chapas (O’1 = O’2), entonces cada chapa posee mas de tres direcciones de CIR no paralelas entre si ni concurrentes por lo cual son ESTABLES, por lo tanto se concluye que la estructura es v3 ESTABLE (Ver Figura I.15a)). CHAPA 2 v1 O1’ = O2’ O2’ = O3’ O1’ = O2’ v2 CHAPA 1 CHAPA 2 v2 CHAPA 1 CHAPA 3 O2 O1 O3 CIR O1 b) C.C.A. de orden “3” a) C.C.A. de orden “2” Figura I.15. Aplicación del Criterio de Estabilidad N° 2 a una C.C.A.

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Para la C.C.A. de orden “3” el empotramiento genera infinitas direcciones de CIR haciendo a la chapa 1 ESTABLE, luego la unión de las chapas 1 y 2 se convierte en un CIR relativo para ambas chapas (O’1 = O’ 2). La articulación externa representan un CIR propio para la chapa 3 (O3) y la unión de las chapas 2 y 3 presenta un vector de corrimiento v2 respecto a O2 que tiene una dirección distinta al vector de corrimiento v3 respecto a O3, entonces se concluye que dicha unión se encuentra fija y representa un CIR propio relativo para ambas chapas (O’2 = O’3), entonces las chapas 2 y 3 poseen mas de tres direcciones de CIR no paralelas entre si ni concurrentes por lo cual son ESTABLES, por lo tanto se concluye que la estructura es ESTABLE (Ver Figura I.15b)). Realizando un análisis similar a una C.C.C. de orden n puede demostrarse que el “Criterio de Estabilidad N° 1” indica que para “una cadena cinemática de orden n deberá proporcionársele un mínimo de n restricciones por vínculos externos para que sea estable” [1]. El “Criterio de Estabilidad N° 2” la C.C.C de orden “n” es el mismo descrito en los párrafos anteriores para una C.C.A. de orden “n” de tal forma de que “no exista compatibilidad de desplazamientos” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas de la C.C.C. no cumple este Criterio de Estabilidad entonces la misma será INESTABLE .

I.2.6. Ejemplo Demostrativo. Para facilitar el análisis y aplicación de los conceptos introducidos en los párrafos anteriores estudiaremos paso a paso la estabilidad del EJEMPLO DEMOSTRATIVO que se muestra en la Figura I.16.

Figura I.16. Estructura para analisis de Estabilidad. Paso 1: Deben identificarse las chapas que conforman la estructura, recordando que los nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas. En este paso se definirá el número máximo de chapas en las cuales se puede subdividir la estructura. Para el caso de estudio los puntos 1, 2, 3 y 4 que se indican en la Figura I.17 son los posibles puntos de unión las chapas que conforman la estructura. 1 2

3

4

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Figura I.17. Posibles puntos de unión entre las chapas de la Estructura en estudio. De lo anterior se evidencia que los puntos 1 y 2 representan uniones entre chapas ya que en estos nodos pueden separase cuerpos rígidos independientes del resto de la estructura, mientras que 3 y 4 representan uniones internas de una misma chapa ya que al separar los elementos allí conectados estos conforman el mismo cuerpo rígido (no son independientes entre si); por lo tanto, existen tres chapas que conforman la estructura (Ver Figura I.18). 3

1

2 Figura I.18. Identificación del máximo numero de chapas de la Estructura en estudio. Paso 2: Ahora procedemos a verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1. En este caso como se trata de una C.C.A. de orden 3, ya que todas las uniones entre chapas son de 2DO orden, tenemos que el Nº de Restricciones por vínculos externos existentes (Nº de Rest. VEE) debe ser mayor o igual a n + 2 N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

.

V E E

3

N º e m p o t r a m i e

n t o s

2

N º a r t i c u l a c i

= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

1

2

1

1

0

5

3

2

3

l a

2

5

e s t r u c t u r a

5

U M P L E (C e s

o n e s

1

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E

Paso 3: Ahora procedemos a verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2. En este caso debe comenzarse a definir los CIR o las Direcciones de CIR (DIR O i) que producen los vínculos externos. Puede comenzarse el análisis por la chapa que posea mayor cantidad de CIR o DIR CIR, tomando en cuenta que cuando se garantiza que una de las chapas que conforman la estructura es ESTABLE, su punto de unión con otras chapas, al ser este un punto fijo, se convierte en un CIR relativo propio (unión articulada) o una DIR CIR (rodillo o biela interna) para todas las chapas allí conectadas (Ver Figura I.19). v2

O’1=O2 O1

v3 O’2=O’3

1

3 O3

2

N º r o d i l l o s

+×

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Figura I.19. Identificación de CIR de la Estructura en estudio. Luego se tiene que la chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones de CIR (∞ O1) por lo tanto es ESTABLE (Ver Figura I.19), luego la unión de esta con la chapa 2 se convierte en un CIR para ambas chapas (O’1=O2). La chapa 3 tiene una articulación que representa un CIR propio (O3). El punto de unión entre las chapas 2 y 3 poseen vectores de corrimiento v2 y v3 respecto a O2 y a O3 (los cuales son perpendiculares a la línea que une dicho punto con cada CIR respectivo) que presentan distintas direcciones y por lo tanto esa unión se encuentra fija y se convierte en un CIR relativo para ambas chapas (O’2=O’3), luego 2 y 3 son ESTABLES (Ver Figura I.19). Entonces la estructura es ESTABLE.

I.2.7. Ejemplos Resueltos. Determinar si las estructuras de las Figuras son estables o inestables. Explique y justifique su respuesta. Problema Nº 1:

Figura I.20 Identificación de las chapas que conforman la estructura, recordando que los nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas. •

1

2

3

ESTATICA APLICADA

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1 para la estructura.

• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

18

V E E

.


3

n t o s

2


= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

1

2

0

1

2

5

3

2

3

l a

2

5

e s t r u c t u r a

5

(C U M P L E e s

o n e s

1

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la estructura. 1 O’ =O =O •

1

2

3

O1 3

2

La Chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones de CIR (∞ O1) por lo tanto es ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa 2 se convierte en un CIR para ambas chapas (O’1 = O2 = O3).DIR LasOchapas 2 y 3 tienen que generan una dirección DIRunOrodillo 2 3 de CIR (DIR O2 y DIR O3 respectivamente) que no pasan por O2 = O3, luego 2 y 3 son ESTABLES. Entonces la estructura es ESTABLE. Problema Nº2:

3

Figura I.21

Identificación de las chapas que conforman la estructura, recordando que los nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas. •

1

2


+×

ESTATICA APLICADA


• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

19

.

V E E

3


n t o s

2


= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

V E E

.

3

1

2

1

1

1

6

3

2

3

l a

2

5

e s t r u c t u r a

6

(C U M P L E e s

o n e s

1


+×

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la estructura. •

DIR CIR O3

3

O’1 = O3 1 O1

O’2 = O’’3

O2

2

La Chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones de CIR (∞ O1) por lo tanto es ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa 3 se convierte en un CIR relativo para ambas chapas (O’1 = O3). La chapa 3 tiene un rodillo que genera una dirección de CIR (DIR O3) que no pasa por O3, luego 3 es ESTABLE y la unión entre las chapas 2 y 3 se

ESTATICA APLICADA

20

convierte en un CIR relativo (O’2 = O’’3) haciendo a la chapa 2 ESTABLE. Entonces la estructura es ESTABLE.

Problema Nº3:

biela

biela biela

biela

biela

biela

Figura I.22


biela

biela

1


• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

2

.

V E E

3


n t o s

2


= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

0

2

0

1

4

4

2

2

2

l a

2

4

e s t r u c t u r a

4

(C U M P L E e s

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E

o n e s

1


+×

ESTATICA APLICADA

21


DIR O’’1

DIR O’’’1 biela

biela

1 O1

2

O’1

O2 DIR O’1 = DIR O2 =O’2

∞

O’’1 La chapa 2 posee un CIR propio (O2) formado por la intersección de las líneas de acción de las bielas externas. Luego la línea de acción de las bielas internas se cruza en el infinito conformando una articulación ficticia impropia que une a las chapas 1 y 2. Entonces el CIR de la chapa 1 debe encontrarse sobre una línea definida trazando por O2 una paralela a la línea de acción de las bielas internas (DIR O’ 1) la cual se corta con la DIR O’’1 y con la DIR O’’’1 formadas por las bielas externas de la chapa 1, definiendo los CIR propios O1 y O’1 que junto con el CIR impropio que forman las bielas externas O’’1 ⇒ ∞ convierten a 1 en una chapa ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa N° 2 se convierte en un CIR impropio para ambas chapas (O’2 ⇒ ∞ ) haciendo a la chapa 2 ESTABLE. Entonces la estructura es ESTABLE. Problema Nº4 :

Figura I.23

ESTATICA APLICADA

22


1

7

2

3 4 6

8

5


• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

.

V E E

3


n t o s

2


o n e s

= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

V E E

.

3

0

2

5

1

1

1 1

8

2

8

l a

2

1 0

e s t r u c t u r a

1 1

(C U M P L E e s

1


+×

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E


O1

1 v2 O’1=O’2=O’3 v1 3 v6 2 4 O =O’ =O’6=O7 v4 3 4 O4=O’’5 O2 6 5 O5

O6

7

v7 v8 O’7=O’8 8 O8

DIR CIR O5 La chapa 5 posee un CIR propio (O5) y tiene un rodillo que genera una dirección de CIR (DIR CIR O5) que no pasa por O5, luego 5 es ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa 4 se convierte en un CIR para ambas chapas (O4=O’’5). La chapa N° 6 posee un CIR propio (O6) y la unión de esta con las chapas 3, 4 y 7 presenta vectores de corrimiento v4 para O4 y v6 para O6 con distintas direcciones, luego 4 y 6 son ESTABLES y la unión se convierte en un CIR para todas las chapas allí conectadas (O’3 = O’4 = O’6 = O7). Lo mismo

ESTATICA APLICADA

23

ocurre para las chapas 1 y 2 que tiene CIR propio (O1 y O2) en donde la unión de estas presentan distintos vectores de corrimiento (v1 y v2) siendo 1 y 2 ESTABLES, luego la unión pasa a ser CIR (O’1 = O’2 = O’3) y 3 también es ESTABLE. Por ultimo se observa que la unión entre las chapas 7 y la 8 presentan vectores de corrimiento distintos respecto a O7 y a O8 (v7 y v8 respectivamente), luego 7 y 8 son ESTABLES. Entonces la estructura es ESTABLE. Problema Nº5:


6 1 4 5

2

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

3


• N º

7

.

V E E

3


n t o s

2


= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

0

2

5

1

0

1 0

7

2

7

l a

2

9

e s t r u c t u r a

1 0

(C U M P L E e s

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E

o n e s

1


+×

ESTATICA APLICADA

24


6

O1

v4

1

O’2=O’3=O4 2

4

v3 v2 3 O3

O

2

v5 O’1= O’4=O’5=O6

v6

v7

O’6=O’7

5

7

O5

O7

Las chapas 2 y 3 poseen un CIR propio (O2 y O3) respectivamente y la unión de esta con las chapas presenta dos vectores de corrimiento distintos para O2 y para O3 (v2 y v3), luego 2 y 3 son ESTABLES y la unión se convierte en un CIR para todas las chapas allí conectadas (O’2 = O’3 = O4). Lo mismo ocurre para las chapas 4 y 5 que tiene CIR propio (O4 y O5) en donde la unión de estas presentan distintos vectores de corrimiento (v4 y v5) siendo 4 y 5 ESTABLES, luego la unión pasa a ser CIR (O’ 1= O’4 = O’5 = O6) y 1 también es ESTABLE. Por ultimo se observa que la unión entre las chapas 6 y la 7 presentan vectores de corrimiento distintos respecto a O6 y a O7 (v6 y v7), luego 6 y 7 son ESTABLES. Entonces la estructura es ESTABLE. Problema Nº 6 : biela biela


biela

4

1

biela

2

3

ESTATICA APLICADA


• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

25

V E E

.


3

n t o s

2


o n e s

= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

0

2

2

1

2

6

4

2

4

l a

2

6

6

(C U M P L E

e s t r u c t u r a

e s

1


+×

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E


O2

O3

DIR O’2=O’3

biela

4

1 O1

biela

2

O4

3

La chapa 1 posee un CIR propio (O1) debido a la articulación externa existente, luego podemos definir un CIR para la chapa 2 (O2) trazando una línea por O1 que pase por la DIR O2 con la dirección de CIR (DIR O ) que se forma por el unión de las chapa 1 y 2 uniéndola 2 DIR O rodillo. De forma análoga, la chapa 4 que posee un CIR propio (O4) debido a la articulación 3 externa existente, permite definir un CIR para la chapa 3 (O3) debido al por el rodillo. Las biela internas forman una articulación ficticia impropia ya que se cortan en el infinito, luego otro CIR O’2 puede definirse para la chapa 2 trazando por O3 una paralela a la dirección de las bielas, que en este caso coincide con el CIR O2 (O2 y O’2 son CIR concurrentes); por lo tanto la chapa 2 posee solo dos direcciones de CIR y es INESTABLE. La misma situación se evidencia si se repite este análisis para la chapa 3 que también es INESTABLE. Entonces la estructura es INESTABLE. Problema Nº7 : biela biela biela biela

ESTATICA APLICADA

26

Figura I.26 • Identificación de las chapas que conforman la estructura, recordando que los nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas. 2 biela biela

1


• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n n

s t r

.

V E E

3


n t o s

2


o n e s

= × + × = × + × + × = ==+=≤ +

L u e g o

s t

.

V E E

3

0

2

2

1

2

6

3

2

2

l a

2

4

e s t r u c t u r a

6

(C U M P L E e s

1

)

p r e s u m i b l e

m e n t e

E S T A B L E


2

O’1=O”2

biela

O’2

biela

1

O2


+×

DIR CIR O’2 DIR CIR O2

O1 La Chapa 2 un CIR propio O2 debido a la articulación externa y otro CIR propio O’2 debido a la intersección de las líneas de acción de las bielas externas que no es concurrente con O2, por lo tanto 2 presenta mas de tres DIR CIR y es ESTABLE. La unión entre 1 y 2 que se forma en la intersección de las líneas de acción de las bielas internas (articulación ficticia) es un CIR propio O’1 = O’2. Por otra parte, la Chapa 1 posee otro CIR O1 debido a la articulación externa el cual no concurre con O’1, luego 1 es ESTABLE. Entonces la estructura es ESTABLE.

ESTATICA APLICADA

27

Problema Nº 8: biela

biela

Figura I.27


biela

1 Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 13 para la estructura. 2

• N º

d e

R e

s t r

N º

d e

R e

s t .

N º

d e

L u e g o

R e l a

s t

4

.

V E E V E E

V E

e s t r u c t u r a

3

3

m i n

N º e m p o t r a m ie

n t o s

2


=× ×+×+×= +× = =×−×−−=≤ 4

e s

0

3

2

2

( 3

2

1

2

1)

o n e s

1

1

7

6

O ( N

C U M P L E

)

I N E S T A B L E


biela

biela

biela



+×

6

ESTATICA APLICADA

28

biela

biela

3

biela

2 1


• N º

d e

R e

s t r

N º

d e

R e

s t .

N º

d e

L u e g o

R e

l a

s t

.

V E E

V E

3

m i n

e s t r u c t u r a

N º e m p o t r a m ie

2

n t o s


= × + × = × + × + × = =×−×−−=≤ 3

V E E

3

e s

0

2

3

1

2

1

( 2

4

1)

p r e s u m i b l e

o n e s

6

1

m e n t e

6

6

(C U M P L E

1

)

E S T A B L E

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la estructura. DIR CIR O2 = DIR O’3 •

DIR CIR O3 biela

v1 = v2

biela

biela

2

3

O3

O1 DIR CIR O’1

1


+×

CIR O2 DIR CIR O’2

DIR CIR O1

La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación externa existente y una dirección de CIR generada por el rodillo la cual no pasa por O3 por lo tanto es estable.

ESTATICA APLICADA

29

Como la chapa 3 es estable, la biela que une a las chapas 2 y 3 genera una dirección de CIR para las chapas 2 y 3 (DIR CIR O2 = DIR CIR O’3) mas la dirección del CIR que genera el rodillo de la chapa 2 forman un CIR impropio para 2 (CIR O2 ⇒∞ ). La chapa 1 posee una dirección de CIR formada por la biela y otra por el rodillo formando en su intersección un CIR O1. Los vectores de corrimientos en el punto de unión de las chapas 1 y 2, formada por la intersección de las líneas de acción de las bielas internas (articulación ficticia), presenta vectores de corrimiento que coinciden respecto a O1 y a O2 ⇒∞; por lo tanto ambas chapas son inestables. Luego la estructura es INESTABLE.

Problema Nº 10: biela biela biela


1

biela biela biela

3

2

• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n

L u e g o

.

.

V E E V E E

d e

R e l a

s t e s t r u c t u r a

V E

3

m i n


n t o s

2


= × + × = × + × + × = =+=+=≤ 3

3

=

N º

s t r s t


n

e s

0

2

2

3

p r e s u m i b l e

3

1

2

3

5

m e n t e

9

9

U M P L E (C

E S T A B L E

)

o n e s

1


+×

ESTATICA APLICADA

30


1

biela

O’1 = O’3

biela biela

O’’1 = O’2 DIR CIR O1

O2

O1

O3

2

3 DIR CIR O3

DIR CIR O’1

La chapa 1 tiene un CIR propio O1 debido a la articulación externa existente y dos direcciones de CIR (DIR CIR O1 y O’1) que no pasan por O1 por lo tanto es estable. El punto de unión de esta chapa con la chapa 2 se convierte en un CIR relativo ( O’1 = O2) haciendo que la chapa 2 sea estable. La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación externa y una dirección de CIR que no pasa por O3 que genera e rodillo, luego es estable, entonces la estructura es ESTABLE.

biela

Problema Nº 11:

biela


biela

2 4 biela

1

3 5

6

ESTATICA APLICADA

• N º

d e

R e

N º

d e

R e

n N º

6 d e

=

L u e g o

R e l a

s t r s t

. .

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1 para la estructura. V E E V E E

s t

V E

e s t r u c t u r a

31

3

3

m i n


n t o s

2


= × + × = × + × + × = =+=+=≤ 0

n

e s

2

2

4

6

p r e s u m i b l e

1

2

3

8

o n e s

1 1

1 1

m e n t e

U M P L E (C

1


+ ×

)

E S T A B L E


O2 = O’4

1

2

biela

4

O’’2 = O’3 biela v2 v3 3

O4 = O’5 = O’’6 6

O3 5 O6 La chapa 6 posee dos CIR propios (O’6 y O6) debido aO5lasO’ articulaciones externas 6 DIR CIR Ode existentes, entonces es ESTABLE, luego la unión esta con las chapas 4 y 5 es un CIR 4 relativo O4, O’5 y O’6, lo cual junto a CIR propio (O 5) debido a la articulación externa existente hacen a la chapa 5 ESTABLE. La chapa 4 tiene una dirección de CIR O4 debido al rodillo externo que no pasa por el CIR O4, por lo tanto la chapa 4 sea ESTABLE, generando un nuevo CIR O2 y O’4 en la articulación ficticia formada por la intersección de las bielas generan una articulación ficticia propia. La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación externa, que presenta un vector de corrimiento en la unión con la chapa 2 con distinta dirección respecto del CIR O 2, entonces se concluye que dicha unión es un CIR propio relativo O’2 = O’3 haciendo a ambas chapas ESTABLES. Por ultimo la chapa 1 posee un CIR propio O1 formado por la intersección de las direcciones de CIR debido a los rodillos externos y un CIR propio relativo O’1 en la unión con la chapa 2, luego la chpa 1 es ESTABLE; por lo tanto se concluye que la estructura es ESTABLE. biela


biela

ESTATICA APLICADA

32


biela

3 2

biela

5

1

d e

R e

s t r

N º

d e

R e

s t .

N º

d e

L u e g o

R e l a

s t

.

V E E V E E

V E

e s t r u c t u r a

6

7


• N º

4

3

3

m i n


n t o s

2


o n e s

1


= × + × + × = × + × + × = =×−×−−×−+×−−=≤ 3

1

2

7

3

( 2

2

e s

1

p r e s u m i b l e

2

1)

1 1

2

( 3

m e n t e

1)

2

( 2

1)

2

1 1

1 1

E S T A B L E

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la estructura. DIR CIR O3 DIR CIR O’3 = biela DIR CIR O’2 3 DIR CIR O2 O •

2

O1 v2

2

biela

v6

1 v O’1 = O2 1

4 CIR O4 _

6

v5 O3’ = O5’ = O6’ 5 O’ = O 7 5 O6 DIR CIR O7

7 O7

U M P L E (C

)

ESTATICA APLICADA

33

La chapa 7 posee un un CIR propio O7 generado por la articulación externa y una DIR CIR O7 debido a la biela externa que no pasa por el CIR O7, entonces la chapa 7 es ESTABLE. La unión entre las chapas 5 y 7 se convierte en un CIR propio relativo para ambas chapas (O’7 = O5). La chapa 6 posee un CIR propio O6 debido a la articulación externa, observándose que la unión de las chapa 3, 5 y 6 presenta vectores de corrimiento distintos respecto a O5 y a O6, convirtiéndose en un CIR propio relativo para todas las chapas allí conectadas (O3 = O’5 = O’6) por lo tanto las chapas 5 y 6 son ESTABLES. La chapa 4 posee un vinculo de tercer orden el cual genera infinitas direcciones de CIR (∞ O4) por lo tanto es ESTABLE, lo cual permite que el vinculo interno de primer orden que une a las chapas 3 y a 4 genere una DIR CIR O3 que no pasa por O3; lo tanto la chapa 3 es ESTABLE. Luego la biela interna que une a las chapas 3 y 2 genera una DIR CIR O’ 3 = DIR CIR O’2 que junto con la DIR CIR O2 debido al rodillo externo que posee la chapa 2, que define el CIR propio O2. La chapa 1 posee un CIR propio O1 generado por la articulación externa, observándose que la unión de esta con la chapa 2 presenta vectores de corrimiento distintos respecto a O1 y a O2, luego ambas chapas son ESTABLES, entonces la estructura es ESTABLE.

I.3. DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN ESTÁTICA. I.3.1. Concepto de Determinación e Indeterminación Estática. En términos generales una estructura será DETERMINADA cuando el número de incógnitas existentes, es igual al número de ecuaciones disponibles. La determinación puede ser estática cuando las incógnitas analizadas son las componentes de fuerzas (internas y externas) y cinemática cuando las incógnitas analizadas son las componentes de desplazamiento [2]. Una estructura es DETERMINADA ESTATICAMENTE O ISOSTATICA cuando el número de componentes fuerza es igual al numero de Ecuaciones suministradas por el estudio de la Estática de cuerpos rígidos (Σ Fx = 0; Σ Fy = 0 y Σ Mo = 0) [2]. La determinación estática puede ser externa cuando se consideren componentes de reacción o interna cuando se estudian las fuerzas internas generadas por la interacción de los cuerpos que conforman una estructura. Si las componentes de reacción generadas por los vínculos externos existentes, es igual al número de restricciones mínimas necesarias para la estabilidad de la estructura se concluye que la estructura es ISOSTÁTICA externamente. De manera análoga, la estructura será ISOSTÁTICA internamente cuando la cantidad de restricciones internas debido a los vínculos internos sea igual al mínimo número de fuerzas internas requeridas

ESTATICA APLICADA

34

para la estabilidad. Entonces si una estructura es determinada puede concluirse que también es “ presumiblemente Estable”; es decir; esto es equivalente al Criterio de Estabilidad Nº 1 discutido en la sección anterior [2]. En el caso de que el número de componentes de reacción o de fuerzas internas sea menor al número de restricciones mínimas entonces la estructura será INESTABLE . Si por el contrario el número de componentes de reacción o de fuerzas internas es mayor al numero de restricciones mínimas requeridas para la estabilidad, entonces la estructura será INDETERMINADA ESTÁTICAMENTE O HIPERESTATICA en un grado que depende del numero fuerzas (internas y externas) que no pueden determinarse por las ecuaciones de la Estática de cuerpos rígidos, lo cual definiremos como el Grado de Indeterminación Estática (GIE) [2 ] que se obtiene en forma general a partir de la siguiente expresión (6)

GIE = Nº total de incógnitas – Nº total de Ecuaciones de Equilibrio

Luego el GIE puede ser interno (GIEI) si consideramos fuerzas internas o externo (GIEE) si consideramos componentes de reacción, en donde la suma de estas es el Grado de Indeterminación Estática Total (GIET) dada por la expresión (7)

GIET = GIEI + GIEE

I.3.2. Ecuaciones de Condición (S n). Cuando se analiza el Grado de Indeterminación Estática (GIE) de una estructura deben considerarse todas las posibles ecuaciones que se generan debido al equilibrio estático, por ejemplo si estudiamos la estructura mostrada en la Figura I.32a) pudiéramos concluir por simple inspección que es indeterminada externamente de primer grado ya que existen cuatro componentes de reacción y solo tres ecuaciones de estática aplicables a toda la estructura. R B x B B R B x B

A

C

R A x

R B y A R Cy

R B y

R C x

C

R Cy

a) Estructura para analisis b) Despiece de la estructura en B Figura I.32. Determinación de Ecuaciones de Condición (S) en estructuras Estables Sin embargo, dado que la estructura esta conformada por dos chapas conectadas en el nodo articulado B, podemos realizar un despiece en este nodo y dibujar los Diagramas de Cuerpo Libre (D.C.L.) de las partes A-B y B-C indicando las fuerzas internas producidas en B y las componentes de reacción en A y en C tal y como se muestra en la Figura I.32b). Si

ESTATICA APLICADA

35

establecemos el equilibrio estático de cada parte se obtiene una ecuación estática adicional que permitirá determinar todas las reacciones en A y en C y las fuerzas internas en B. De lo anterior podemos concluir que cuando se analizan estructuras con uniones articuladas (vínculos de 2DO orden) en estos nodos se producen ecuaciones estáticas adicionales denominadas Ecuaciones de Condición del nodo (S n ) debido a que el momento en dicho punto es nulo (Σ Mnodo = 0). Estas Ecuaciones de Condición junto a las ecuaciones del Equilibrio Estático de toda la estructura reducen el GIE de la estructura [2] y se obtienen aplicando la siguiente expresión para cada nodo Sn = N – 1

(8)

en donde N es el N° de elementos que llegan al nodo articulado considerado. Para la estructura de la Figura Nº 16a las ecuaciones de condición del nodo B (SB) se obtienen a partir de (8) observando que N = 2, luego SB = 2 – 1 = 1, lo cual significa que existe una ecuación de estática adicional que al sumarla a las 3 ecuaciones del equilibrio estático global dan como resultado que la estructura es determinada, situación que concuerda con lo expresado en el párrafo anterior. Las Ecuaciones de Condición pueden dividirse en Ecuaciones de Condición externa (Se) y en Ecuaciones de Condición interna (Si), siendo la suma de estas igual a Sn lo cual se indica en la siguiente expresión (9) Sn = Se + Si Las Ecuaciones de Condición Externa (Se) se determinan para cada nodo articulado, considerando uno a la vez en forma independiente de los demás, mediante la expresión Se = Ne – 1

(10)

en donde Ne es el N° de chapas con vínculos que llegan a tierra (o apoyos) que se encuentran conectadas en el nodo considerado, suponiendo que este se suprime virtualmente mientras que el resto de los nodos permanece en su condición original; es decir, es el numero de cuerpos rígidos (o D.C.L.) que se pueden definir haciendo un despiece en el nodo considerado. Las Ecuaciones de Condición Interna (Si) se determinan para cada nodo articulado, considerando uno a la vez en forma independiente de los demás, mediante la expresión (11) S =N –1 i

i

en donde Ni es el N° de elementos internos que conforman áreas cerradas en las chapas (o cuerpos rígidos) a las cuales estos pertenecen y que se encuentran conectados en el nodo considerado. Para ilustrar estos conceptos analizaremos la estructura estable de la Figura I.33a). Consideremos la estructura estable de la Figura I.33a). Para estudiar los Se la dividimos en chapas tal y como lo hicimos en el análisis de estabilidad de los párrafos anteriores ya que estas ecuaciones de condición externa se producen en las uniones entre chapas.

ESTATICA APLICADA

36

Estudiando el nodo C se observa que cuando este se suprime, el número de chapas conectadas en el nodo que se encuentran apoyadas a tierra son 2 (Ne = 2) ya que el resto de los nodos permanecen conectados (D,E y F), entonces de (10) se tiene que (Se)C = 2 – 1 = 1. F Se = 1 C A

Ne D

Ai

F

Ni

D

Si = 1 C

E

E

Ni

Ne

B

a) Determinación de Se en el nodo C

A

B b) Determinación de Si en el nodo C

Figura I.33. Ejemplos prácticos de Ecuaciones de Condición (S) en estructuras Estables En la Figura I.33b) al estudiar las Si del nodo C, se observa que los elementos que conforman la chapa CDEF forman en dicho nodo un área cerrada (Ai) con dos elementos conectados allí (Ni = 2), entonces de (11) se tiene que (Si)C = 2 – 1 = 1 y de (8) o (9) se tiene que SC = 3 - 1 = 1 + 1 = 2. Ahora para definir el grado de indeterminación estática interna y externa de una estructura debemos establecer en primer lugar quien representa las incógnitas y quien las ecuaciones disponibles para cada caso. Para ello considérese la estructura mostrada en la Figura I.34a). M E F E N V Area (A) M C C D N V A B A b) D.C.L. de la sección a la a) Estructura para analisis de izquierda del corte 1 - 1 Indeterminación Estática Figura I.34. Ejemplo práctico para el analisis del Grado de Indeterminación Estática Para el Grado de Indeterminación Estática Externa (GIEE) el numero total de componentes de reacción (R) generados por los vínculos externos existentes en la estructura representa las incógnitas estáticas, mientras que el número de ecuaciones disponibles viene dado por las tres Ecuaciones del Equilibrio Estático global mas las Se de todos los nodos articulados existentes en la estructura, en donde el GIEE se obtiene según la expresión GIEE = R – (3 + Se)

(12)

ESTATICA APLICADA

37

Para el Grado de Indeterminación Estática Externa (GIEI) debemos considerar las áreas cerradas (A) formadas por los elementos estructurales, ya que en estas se producen las incógnitas internas. Para la Figura I.34b) se observa que al seccionar el área A se genera un total de seis fuerzas internas, que al restarles las tres ecuaciones del equilibrio estático del D.C.L resultante del corte 1 – 1, dado que las reacciones no se consideran por ser fuerzas externas y estamos interesados solo en las fuerzas internas, resulta que existen tres incógnitas internas, lo cual permite concluir que cada área cerrada genera 3 incógnitas internas. Si tomamos en cuenta la existencia de nodos internos articulados, entonces existirán Si en el área A las cuales representan ecuaciones estáticas internas, luego el GIEI puede calcularse como (13) GIEI = 3 x A - Si Nótese que si GIEI ≥ 0 o GIEE ≥ 0 la estructura es Estable interna o externamente mientras si GIEI < 0 o GIEE < 0 la estructura es Inestable. Puede demostrarse que una expresión análoga para determinar el GIEI en armaduras es GIEI = b - 2 x n - 3

(14)

en donde “b” es el numero de barras y “n” el numero de nodos de la armadura

I.3.3. Ejemplo Demostrativo. Para facilitar el análisis y aplicación de los conceptos introducidos en los párrafos anteriores estudiaremos paso a paso el Grado de Indeterminación Estática del EJEMPLO DEMOSTRATIVO de la Figura I.35.

Figura I.35. Estructura para analisis de Indeterminación Estática. Paso 1: Deben identificarse las chapas que conforman la estructura, recordando que en los nodos articulados que representan las uniones de estas chapas se producen las Ecuaciones de Condición Externa Se que se determinan a partir de la expresión (11) para cada nodo (Ver Figura I.36). Las reacciones se obtienen aplicando la expresión (3). R = 3 x 1 + 2 x 1 + 1 x 1 = 6

Se = 2-1 = 1 Se = 2-1 = 1

(3)

ESTATICA APLICADA

38

Figura I.36. Identificación de Chapas y Calculo de las Se. Paso 2: Deben identificarse áreas cerradas conformadas por los elementos estructurales, recordando que en los nodos articulados de dichas áreas se producen las Ecuaciones de Condición Interna Si que se determinan a partir de la expresión (12) para cada nodo articulado (Ver Figura I.37). Área (1) Área (2) Área (3) Si = 2-1 = 1 Si = 3-1 = 2 Figura I.37. Identificación de las Areas Cerradas y Calculo de las Si. Paso 3: Se determinan GIET, GIEE y GIEI aplicando las expresiones (8), (13) y (14). GIEE GIEI

=

R − 3 − S e A − S i

=3×

GIET

=

GIEI

+

=

6 −3 −2

=1

= 3×3 − 3 =

GIEE

=

6

6 +1 = 7

I.3.4. Ejemplos Resueltos. Estructura Estaticame nte

INDETERMIN ADA de grado

7

Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de las estructuras estables indicadas en las Figuras. Problema 1:

Figura I.38 Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se. 2 •

1

Se= 2

Se= 2

4 3

ESTATICA APLICADA

39

Identificar los nodos articulados que representan unión entre elementos de una misma chapa que forman áreas cerradas para determinar los Si. •

Si= 2

Si= 2

(3) (1)

(6) (7) (5) (8)

(4)

Si= 2

Si= 2 Si= 3

Si= 3

Si= 4 Si= 4

(9)

(10) (11) (12)

(2)

Si= 3

(13)

Si= 3

(14) (15)

Si= 3

Si= 3

Si= 2

Si= 1 •

Calculamos la Indeterminación Estática Interna, Externa y Total. GIEE GIEI GIET

= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

+

= 12 − 3 − 4 =

=

3 ×15 − 37

GIEE

5

=8

= 8 + 5 = 13

Estaticame nte INDETERMIN ADA de grado

13

Pr oblema 2: biela

Figura I.39

Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para 5 determinar los Se. •

Se= 1

1

Se= 1

7

Se= 2

2

3

Se= 1 biela 6

Se= 2

4

Se= 1

ESTATICA APLICADA

40


Si= 3 Si= 2 Si= 3 (8) (7) (6) (5) (10) (9)

(11)

Si= 1

Si= 1 Si= 2 Si= 4 Si= 2 S = 2 S = 3 S = 1 i i i Si= 1 (4) (3) (1)

(12)

(2)

Si= 1 •

Si= 3 Si= 2


= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

Problema 3:

+

= 14 − 3 − 8 =

=

3

3 ×12 − 31 = 5

GIEE

=

5 +3

=

8


8

biela

biela

Figura I.40 Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para biela determinar los Se. •

Se= 2

Se= 2 Se= 2

ESTATICA APLICADA

41


Si= 2 Si= 3

Si= 3

biela

(4) (5) (2) (3)

Si= 2

Si= 1 (8)

(6) (7)

Si= 3 Si= 4 Si= 2 Si= 3 (1)

•

(9)

(10)

Si= 1

Si= 1


= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

+

= 12 − 3 − 6 =

=

3 ×10 − 25

GIEE

=

5 +3

=

=

3 5

8


8

Problema 4 : biela biela biela

Figura I.41 Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se. •

Se= 1

biela

Se= 1

biela

1

Se= 1

2

3 4

ESTATICA APLICADA

42


Si= 3 S= 1 Si= 1 biela i (6)

Si= 2 (5)

Si= 3 •

(4)

(3)

Si= 2

(7) (8)

Si= 2

Si=biela 3

Si= 3

(9) (10)

(11) (12)

Si= 5

(13)

Si= 2

Si= 3

(14)

Si= 1

Si= 1

Si= 3

Si= 1

S= 2

(2) i Si= 3 la Indeterminación Calculamos Estática Interna, Externa y Total. (1)

GIEE GIEI GIET

= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

+

=

=

S = 1 =1

7 −3 −3 i

3 ×14 − 42

GIEE

=

0

=1+ 0 =1


Problema 5:

1

biela

biela

biela

Figura I.42 Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se. •

biela

Se= 1 Se= 1

1 Se= 1

2

biela

3

4

ESTATICA APLICADA

43


Si= 2 Si= 1 (1)

biela

(2)

(5) (6) (3)

(4)

Si= 1 S = 3 i

Si= 1

Si= 3

Si= 3 Si= 4

biela

Si= 2 (7)

(9)

(8)

Si= 3 (10)

Si= 2 •


= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

+

= 11 − 3 − 3 =

=

3 ×10 − 25

GIEE

=

5 +5

=

5 5

= 10


10

Problema 6 :

Figura I.43 Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se. 7 1 Se = 2 3 2 Se = 1 4 Se = 3 Se = 1 6 8 5 •

ESTATICA APLICADA

44


Si= 2 Si= 3

(2) (1)

Si= 1

•

(3)

(9)

S= 3 Si= 1 i (6) (7) (4) (5) Si= 2 Si= 3 Si= 4

Si= 1 Si= 3

(8)

Si= 3

Si= 3

(10) (11) (12) (13)

Si= 3

Si= 1

Si= 2

Si= 2 Si= 2


= =

R − 3 − S e

3 × A − S i

=

GIEI

Estructura

+

= 11 − 3 − 7 = 1

=

3 ×13 − 39

GIEE

=

=

0

0 +1 = 0


1

ESTATICA APLICADA

45

I.4. DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA. I.4.1. Concepto de Determinación e Indeterminación Estática. Una estructura será DETERMINADA CINEMATICAMENTE cuando el número de componentes de desplazamiento es igual a cero. Si por el contrario el número de componentes de desplazamiento es diferente de cero entonces la estructura será INDETERMINADA CINEMATICAMENTE en un grado que depende del número de Grados de Libertad (G.D.L.) debido a los desplazamientos elásticos que posea la estructura (GIC) [2]. Consideremos la viga en voladizo empotrada en A que se muestra en la Figura I.44. Si despreciamos las deformaciones axiales (viga axialmente rígida) ya que el punto A se encuentra totalmente restringido el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC) viene dado por los desplazamientos que experimenta el punto B que son una traslación vertical ∆ vB y una rotación θ B de la cuerda elástica debido a los efectos de flexión (Ver Figura I.44a)) . Si tomamos en cuenta la deformación axial entonces existirá también una componente de deflexión horizontal ∆ vB (Ver Figura I.44b)). El proceso anterior se conoce como el “ Análisis Cinemático Directo”. B

A

B

A

hB

vB

GIC = 1

+1

=

B’ B 2 a) Sin considerar deformación axial

vB

GIC = 2

+ 1 = 3

B’ b) Considerando deformación axial

B

Figura I.44. Grado de indeterminación Cinematica (GIC)de un voladizo Para complementar lo antes mencionado, analicemos el pórtico mostrado en la Figura I.45a). Los puntos A y D se encuentran totalmente restringidos por los apoyos empotrados,

ESTATICA APLICADA

46

luego el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC) viene dado por los desplazamientos que experimentan los puntos B y C, tal y como se muestra en las Figuras I.45b) e I.45c). B C GIC = 4 GIC = 1 B

B

6

+ 2 = 3 hB

C

B’

C

A

A

+2

= hC

D

B

C’ a) Portico a estudiar

vB

hB

B

vC

C

B’

A

D

C’ C

D

b) Sin considerar deformación axial c) Considerando deformación axial Al analizar las rotaciones observamos que el nodo B posee una rotación θ B, ya que al ser este un nodo continuo (o rígido) los elementos AB y BC del pórtico deben rotar FiguraesN° I.45. en porticos simultáneamente, decir el Indeterminación nodo rota como Cinematica un cuerpo rígido. Obsérvese que la rotación del nodo B no depende de la posibilidad de desplazamiento en C ya que si suponemos que de alguna forma restringiéramos los desplazamientos en C el nodo B mantiene la capacidad de experimentar una rotación (Ver Figura I.46a)). Una situación análoga ocurre para el nodo continuo C, el cual puede experimentar una rotación θ C la cual es independiente de la rotación θ B, de donde se concluye que existen 2 rotaciones θ  mutuamente independientes (Ver Figura I.46b)). Entonces, se puede concluir que para una estructura existirá una rotación por cada nodo interno continuo que esta posea. θ

θ

B

A

B

C

B

D

a) Deformada elástica para θ

A

C

C

D

b) Deformada elástica para B

θ

C

Figura I.46. Deformada elástica para los desplazamientos de rotación (θ ) Al analizar las traslaciones de la estructura de la Figura I.46b) se observa que la traslación horizontal que lleva a B y C a las posiciones B’ y C’ respectivamente es la misma debido a que el elemento BC no se deforma axialmente, es decir las traslaciones de los nodos B y C son mutuamente dependientes, entonces se concluye que esta representa solo una desplazabilidad ∆ ( o 1 G.D.L. de traslación). Si consideramos que existe deformación axial (Ver Figura I.46c)) entonces existirá también una componente de traslación vertical en los puntos B y C independientes entre si

ESTATICA APLICADA

47

y por otra parte la traslación horizontal del punto B es diferente a la del nodo C y entonces existen cuatro (4) traslaciones independientes; es decir, la desplazabilidad de la estructura es igual a 4∆ , mientras que las rotaciones siguen siendo las mismas. Ahora consideremos que a la estructura de la Figura I.45a) se le introduce un nodo articulado en B y un apoyo articulado en A para formar la estructura de la Figura I.47a). C ’B B’ hB C’ B B C C B

GIC = 1

A

A

D

A

+ 4 = 5

D

Luego existirá un aumento en el número de rotaciones independientes ya que como se a) Estructura a estudiar b) elementos Desplazamientos de la Estructura observa en el nodo B de la Figura I.47b) los dos allí conectados pueden rotar de Figura I.47. Portico con nodos internos y apoyos articulados sin considerar manera independiente respecto a B por ser este articulado. Entonces, por cada nodo interno deformación axial de rotaciones igual al número de articulado que posea la estructura existirán un número elementos conectados en dichos nodos. Por otra parte, se observa que existe una rotación en el apoyo A por ser este articulado, lo que significa que ahora existirán un total de cuatro (4) rotaciones independientes, mientras que las traslaciones permanecen iguales a la que posee la estructura de la Figura I.45b, concluyéndose que la existencia de nodos articulados solo afecta a los G.D.L. de rotación de la estructura.

I.4.2. Método de la Imagen Cinemática para Estructuras Aporticadas. El análisis cinemático es una herramienta que se utiliza para calcular estructuras indeterminadas empleando el Método de las Rotaciones, es por ello que en esta sección se orienta hacia la resolución de pórticos en los cuales se despreciaran las deformaciones axiales. Si bien determinar el N° de rotaciones θ es relativamente sencillo a veces no es tan fácil determinar la desplazabilidad ∆ de una estructura. En tal sentido para las estructuras aporticadas como la que se muestra en la Figura I.48a) existe una metodología que consiste en estudiar una estructura equivalente denominada la “ Imagen Cinemática”, en donde se reemplazan todos los apoyos empotrados y los nodos internos rígidos por articulaciones, permitiéndole a la estructura libertad de movimiento (Ver Figura I.48b)). F F E E C

D

C

D

A

B

A

B

a) Estructura para análisis de desplazabilidad

b) Imagen Cinemática

Figura I.48. Determinación de la desplazabilidad del pórtico

ESTATICA APLICADA

48

La Imagen Cinemática obtenida es una “Cadena Cinemática Inestable” a la cual se le deben restringir los G.D.L. para hacerla “Estable”. Si consideramos la Figura I.48b) se pueden identificar los puntos fijos A y B, los cuales representan CIR de los elementos AC y BD respectivamente. Entonces para determinar el movimiento de nodos que poseen G.D.L. no restringidos debe tenerse en cuenta que estos se producen en dirección perpendicular a la línea que une un CIR con el punto en estudio, lo cual coincide con el vector de corrimiento de dichos puntos discutido en la sección anterior. Para la imagen cinemática que presenta la desplazabilidad indicada en la Figura I.49a) se observa que los puntos C y D pueden desplazarse en dirección perpendicular a las líneas AC y AD respectivamente, por lo tanto debe colocarse un “rodillo ficticio“ que permita restringir esa desplazabilidad de la estructura tal y como se muestra en la Figura I.49b). F E C

A

E’ B’ CIR

F

F’ E

D

D’ CIR B

C CIR

F

F’

CIR

E

E’ CIR

A

D

B

C CIR A

D CIR B

= 2 a) Desplazabilidad del pórtico

b) Posible ubicación del 1ER rodillo ficticio

c) Posible ubicación del 2DO rodillo ficticio

Figura I.49. Desplazabilidad del pórtico y posible ubicación de rodillos ficticios Debe enfatizarse el hecho de que el punto de ubicación de este rodillo ficticio no es único, sin embargo su ubicación deberá ser tal que permitirá restringir un grado de libertad de traslación determinado pudiendo variar, lo que significa que para la Figura I.49b) se produce la restricción del mismo G.D.L. colocando el rodillo ficticio en C o en D. Una vez identificada una desplazabilidad por la colocación de un rodillo ficticio los nuevos puntos restringidos se convertirán en CIR del resto que se encuentre libre (Ver Figura Nº I.49b)), luego se continua el análisis para detectar otras posibles traslaciones, procediendo de forma similar hasta que todos los puntos se encuentren totalmente restringidos (Ver Figura I.49c)). Entonces la desplazabilidad ∆ de la estructura aporticada

ESTATICA APLICADA

49

es igual al numero mínimo de rodillos ficticio que se requiere para restringir todos los posibles G.D.L. de traslación de la Imagen Cinemática de la estructura. Para el ejemplo considerado, una vez restringida la traslación de los puntos C y D debido al rodillo ficticio, estos se convierten en CIR de los puntos E y F respectivamente, luego estos pueden desplazarse en dirección perpendicular a las líneas CE y DF respectivamente, por lo tanto debe colocarse un “rodillo ficticio“ que permita restringir esa nueva desplazabilidad de la estructura tal y como se muestra en la Figura I.49c). Entonces al colocar el rodillo ficticio en F se observa que todos los puntos se encuentran restringidos, por lo que la desplazabilidad de la estructura considerada es igual a 2 (Ver Figura I.49).

I.4.3. Ejemplos Resueltos. Determinar por análisis directo el grado de indeterminación cinemática de las estructuras estables indicadas en las Figuras. Problema 1:

J

M

N

K

L

I

A •

F

E

D

G

Figura I.50

H

B

C

Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura

J

M

N

K

L

= 29

I D

A

G

E

H

F B

C

ESTATICA APLICADA

•

50

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura M

N

J

=7

L

K

GIC = 29

I D

F

E

Pr oblema 2:

G

H

J A

K B

C I

H

D

F

E

G

C

B

A

+7

Figura I.51 •

Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura J

K I

H

D

A •

E

B

F

= 15

G

C

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura

= 36

ESTATICA APLICADA

51 K

J

=4 I

H

Problema 3:

F

E

D

A

M

GIC = 15 + 4 19 G

C

B

=

N L

J

I

K

D

G

H

E

F

A

C

B Figura I.52

•

Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura M

N L

I

J

D

K G

H

E

F

M A •

N

B

= 21

C

L Determinamos 7 I las Jtraslaciones a partir de laK imagen cinemática de la=estructura H

G D A

GIC = 21 + 7 28

F

E

B

C

=

ESTATICA APLICADA

52

Problema 4 :

E

B A

D

F H

C

G

Figura I.53 Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura

•

E

= 12

B A

D

F H

E B A •

C D

G

F

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura

C

G

ESTATICA APLICADA

53

=2 GIC = 12

+2

Problema 5: E

D

G

A A F

H

I

C

B Figura I.54 Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura

•

E

D

G

A A F

H

•

E

C

= 15

B D

I

G

I

A Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura A F C H

B

= 14

ESTATICA APLICADA

54

=2 GIC = 15

+2

= 17

I.5. DIAGRAMAS DE WILLIOT. I.5.1. Concepto y Metodologia para construir los Diagramas de Williot.

Una vez determinada la desplazabilidad de una estructura aporticada a menudo se requiere cuantificar las deflexiones producidas por las deformaciones elásticas de los elementos estructurales y su influencia sobre los esfuerzos internos y componentes de reacción en los apoyos. En este sentido el diagrama de Williot es un método grafico que permite conocer la deformación elástica producida para cada desplazamiento de la estructura [2]. El Método consiste en liberar cada rodillo ficticio obtenido del análisis cinemático de la estructura, suprimiendo uno a la vez mientras los demás se mantienen fijos, permitiendo de esta manera un G.D.L. de traslación que produce una deformación elástica de la estructura, tomando la consideración de que no existe deformación axial en los elementos componentes de la estructura. Para ilustrar la metodología empleada en el análisis consideremos la estructura de la C se obtiene la Imagen Cinemática que se indica C en la Figura I.55b) Figura I.55a), para la cual con una desplazabilidad igual a uno (∆ = 1). B B D D

=1 A

A a) Estructura para análisis de desplazabilidad B

B’ B

C’ C

b) Imagen Cinemática restringida por los rodillos ficticios

C

D

A c) Deformada elástica liberando el rodillo en B Figura I.55 Ejemplo de aplicación para trazar los Diagramas de Williot

ESTATICA APLICADA

55

Luego al liberar el rodillo ficticio empleado para restringir la desplazabilidad existente se obtiene la configuración deformada elástica de la Figura I.55c), en donde las letras con apostrofe (’) corresponden a los puntos desplazados. Para trazar los Diagramas de Williot correspondientes a la desplazabilidad de la estructura se procede a aplicar los pasos siguientes: 1. Se ubica un punto de inicio denominado “el polo” en el cual se encuentran aquellos puntos que no se desplazan para el grado de libertad de traslación considerado. Cabe destacar que este punto corresponde a la ubicación inicial de todos los puntos de la estructura antes de la deformación elástica, siendo la referencia a partir de la cual se miden los desplazamientos. Para la estructura en estudio allí se encuentran los puntos A’ y D’ que son los puntos fijos debido a los apoyos empotrados (Ver Figura I.56a)). 2. Se supone conocido el valor del desplazamiento (∆ ) de un punto cualquiera, el cual suele tomarse en el punto en donde se retiro el rodillo ficticio, trazándolo a partir del polo para ubicar dicho punto en la configuración deformada, denotándolo con un apostrofe (Pto. B’ de la Figura I.56b)). 3. Para conocer el desplazamiento de otro punto cualesquiera, por ejemplo el punto C de la Figura I.55c), deberán conocerse al menos otros dos puntos en el diagrama de Williot que se encuentren vinculados a este por medio de elementos estructurales (puntos B’ y D’ del caso de estudio). Luego se trazan por estos puntos del diagrama (B’ y D’) líneas perpendiculares a los elementos estructurales ( a BC y DC) para definir el punto buscado el cual se encuentra en la intersección dichas rectas (Punto C’ de la Figura I.56d)). = POLO POLO 4. Por ultimo, enA’ función = D’ de la geometría de laA’estructura = D’ Bse aplicaB’las relaciones trigonometricas para expresar el nuevo desplazamiento encontrado (∆ C de la Figura Trazado deltodos desplazamiento I.56d) ena)función de del repitiendo el paso 3 b)para ubicar los demásdepuntos ∆ Polo Definición desplazados que existan para la desplazabilidad considerada.referencia DCrepite para cada rodillo ficticio  obtener la deformada  5. El proceso anterior se hasta C’ elástica que corresponde a cada una de las desplazabilidades de la estructura. C = sen C sen 2 = = POLO POLO A’ = D’ B B’ A’ = D’ B B’ c) a DC por el punto D’ Figura  

d) a BC por B’ para definir C’

ESTATICA APLICADA

56

I.5.2. Ejemplos Resueltos. Trazar los Diagramas de Williot correspondientes a los desplazamientos de cada una de las estructuras estables indicadas en las Figuras. Problema 1:

J

K I

H

D

A •

F

E

G

C Figura I.57

B

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura K J

=3 I

H

E

D

A

B

F

C

G

ESTATICA APLICADA

•

57

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en E J

K FG

I

H

E •

E’

F

F’

G

G

G’ D

=

G

A’=B’=C’=D’ =H’=I’=J’=K’ Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en I

A

B J

GI

G’

=

E F

E’=F’

I

H’



A’=B’=C’=E’ =F’=J’=K’

I’

DH

=

AD I’=H’=D ’

I

G

E

F

G’ GI

G’

D

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en K J

J’

K 

= E

D

B

K’

I

H

A

FG

= tan = I

C

B

•

G

G

D’

A

G

C K

H

D

= sen

F

C

G

A’=B’=C’=D’= E’=F’=G’=H’=I’

J K

= J’=K’

I

H

=

ESTATICA APLICADA

58

F

Pregunta 2:

G E

B C

D

A •

Figura I.58

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura F

G

=2

E

B C

D

A

•

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en B G

F F’ B C A

C’

A’=D’=E’=G’

C

=

cos

B

E 

C

B’ D

CD = FG

=

F

C’= F’ CD = FG

=

B

B’

ESTATICA APLICADA

59

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en D

•

G

F

E

B Problema 3: C  A

C’

D

D

F

=

A’=B’=E’ =F’=G’

G

= sen

B

C’

B

D

D’

D’

CD

B

DE

E

C

A

D

Figura I.59 •

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura F

G

=2 C

B

E

A

D •F

G de Williot liberando el Rodillo A’=D’=E’ Trazamos el Diagrama en C

C

=F’=G’

= BC

G’ G



B’ A

B

C’ E

C

B

B’

BG

G’ FG =

CG

D

CD C’

G

B

=

 C

sen tan C

ESTATICA APLICADA

60

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en D

•

F’

F

G

G’

A’=B’=E’

=

G

C

B

=

E

C’

A

C

CG F

G’=F’ BG D

C’

CD

D’

= C cos = G C tan  D

D

D’

Problema 4 : E

D

G

A A F

H

I

C

B Figura I.60 E G

•

I D Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura A A F C H

B

DE

ESTATICA APLICADA

61

=2

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en H

•

E

D

E’

G

I’ A’=B’=C’= F’

G’

D’

A A

I

F’

F

I

C

H

E’

E

H

I’

D

= H’

H’

D’= G’

B  

I

D

=

=

=

G



sen

/sen sen E= sen /cos  H=

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en F

•

D A A

E

G G’

E’

I

I’

D’ F’

F

H

H’ C

A’=B’=C’

E’ = G’ = H’ = F’ =

E

I’

I

B

D E

= G= H= sen D=  sen G =

D’

ESTATICA APLICADA

62

Problema 5: O

P

K

L

E

F

G

A

B

C

M

N

H

I

J

D

Figura I.61 •

Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura O

K E

A •

E

=3

P

L

M

G

F

B

H

C

I

J

D

P P’ O O’ Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en H A’=B’=C’=D’ E’=F’=G’=I’ L M N K J’=K’=L’=N’ =

M’ F

G

H

B

C

H

=

P

=

J D

O

P’=O’

M

I

 H’ A

N

= P

M’=H = C/tan D’

ESTATICA APLICADA

•

63

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en J P

O

E

F

M

L

K

G F’

N

J’ J’

H H’ I

J

I’

G’

J

F

= F’= G’= H’= I’

A’=B’=C’= D’ = G= E’=K’=L’= M’ = H N’=O’=P’ = I  J = cos 

A

B

C



D





•

Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en N P P’ O K  K ’

E

F

A

B

L L’

G

M

H

N M’ ’ I

E

N’

A’=B’=C’= D’ F’=G’=H’= I’

C

J



J

J’ C

D K

= L= = P= O

= = E

M

=

N

ESTATICA APLICADA

64

I.6. Ejercicios Propuestos. I.6.1. Parte 1: AUTOEVALUACIÓN. 1.- Selección simple: Colocar el número de la definición indicada en la lista (b) en el paréntesis que le corresponda a cada elemento de la lista (a) c/u) Lista (b) Lista (a) Ecuaciones de Condición ( ) 1.- Es el número de desplazamientos debido a deformaciones Grado de Indeterminación Estáticaelásticas de los elementos estructurales que conforman la estructura. Externa ( ) 2.- Es el número de componentes de reacción, generados por Vínculos ( ) los vínculos existentes, por encima del número de Grados de Libertad restricciones mínimas necesarias para la estabilidad. Cinemáticos ( ) 3.- Es el número de ecuaciones adicionales que se producen en las uniones articuladas y rodillos internos, que junto con las ecuaciones de la Estática reducen la indeterminación de la estructura. 4.- Es un elemento físico que produce la restricción de una o más posibilidades de movimiento de una estructura. 2.- Verdadero y falso: Indicar en cada paréntesis si los siguientes postulados son verdaderos (V) o falsos (F) a.- Cuando una estructura no es capaz de soportar las cargas actuando de manera inmediata y en el rango del comportamiento elástico se dice que es ESTABLE ( ). b.- La desplazabilidad ∆ de una estructura aporticada es igual al numero mínimo de rodillos ficticios que se requiere para restringir todos los posibles G.D.L. de la Imagen Cinemática ( ). c.- Cuando el Grado de Indeterminación Estática es menor que cero se dice que la estructura es ESTABLE ( ). d.- El Grado de Indeterminación Cinemática es igual al numero de traslaciones y rotaciones independientes entre si debido a las deformaciones elásticas de la estructura ( ).

ESTATICA APLICADA

65

e.- El polo en el Diagrama de Williot es el punto en el cual se encuentran los puntos que no se desplazan para un G.D.L. de traslación considerado ( ). 3.- Desarrollo: Responda de forma breve las siguientes preguntas a.- Indique para que se utilizan los Diagramas de Williot b.- ¿Cuáles son las diferencias entre el Grado de Indeterminación Estática (GIE) y el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC)? c.- Defina que son las Ecuaciones de Condición d.- ¿Para que se emplea el Método de la Imagen Cinemática? 4.- Estudio de Casos: a.- Para las Cadenas Cinemáticas de las Figuras se pide establecer el mínimo número de vínculos externos (apoyos) requeridos para que sean estables indicando adicionalmente su ubicación. 1) 2

3

1

4

biela

2)

2

biela 1

3

b.- La estructura mostrada en la Figura es INESTABLE. Explique brevemente ¿Porque ? . 1)

E

F

G

H D

A B

biela

biela

C

2)

biela

biela biela biela

ESTATICA APLICADA

66

I.6.2. Parte 2: Estabilidad y Determinación Estática. Determinar si las estructuras mostradas en las Figuras son estables o inestables. Explique y Justifique su respuesta empleando los criterios correspondientes. Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de cada una de ellas. 1) biela biela

2)

biela

biela

3)

biela biela biela

ESTATICA APLICADA

67

biela

4) biela biela

biela

biela

5)

biela

6) biela

biela

biela biela biela

ESTATICA APLICADA

68

7)

biela biela biela

I.6.3. Parte 3: Indeterminación Cinemática y Diagramas de Williot. Determinar la indeterminación cinemática de las estructuras estables indicadas en las Figuras empleando análisis cinemático directo y Trazar los diagramas de Williot correspondientes a los desplazamientos de cada estructura. 1)

C

B

D

A E

F

J

H

I

G 2) H

I

D

E

A

L

M

G

F

B

N C

K 3)

F A

G

H

B C

I D

J E

Ingeniería Estructural CAPITULO I

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