MECÁNICA DE MATERIALES
ING. RICHARD F. QUISPE MEJIA
CAPITULO I INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES
1.1. GENERALIDADES Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de ESTÁTICA, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Estática prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Para entender mejor esto se propone el siguiente ejemplo: Se quiere levantar un cuerpo de 100 kg de peso, y para hacer menor el esfuerzo a realizar, se utiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio ubicado en O , se usara una palanca. Se desea en un principio calcular el esfuerzo esfuer zo P que se desea aplicar en el extremo de la barra. P 100 kg
O
1m
2m
1
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ING. RICHARD F. QUISPE MEJIA Fig. 1.1.a
Suponiendo la barra utilizada como rígida, es la mecánica la que resuelve el problema, así por las ecuaciones de equilibrio:
Pero la barra en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompiese o que se deforme demasiado y por lo tanto no nos sirviese para elevar el peso 100 kg. 100 kg
O
L a bar bar r a se se r ompe
1m
P
2m
Fig. 1.1.b.
100 kg
L a barr a se se def def orma or ma demas demasii ado
P
O
1m
2m
Fig. 1.1.c.
Será precisamente la MECÁNICA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se s e deforme demasiado. Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos provocan en ellos fuerzas interiores o tensiones que se oponen a las exteriores. Ellos es debido porque las fuerzas exteriores alteran las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del
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ING. RICHARD F. QUISPE MEJIA Fig. 1.1.a
Suponiendo la barra utilizada como rígida, es la mecánica la que resuelve el problema, así por las ecuaciones de equilibrio:
Pero la barra en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompiese o que se deforme demasiado y por lo tanto no nos sirviese para elevar el peso 100 kg. 100 kg
O
L a bar bar r a se se r ompe
1m
P
2m
Fig. 1.1.b.
100 kg
L a barr a se se def def orma or ma demas demasii ado
P
O
1m
2m
Fig. 1.1.c.
Será precisamente la MECÁNICA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se s e deforme demasiado. Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos provocan en ellos fuerzas interiores o tensiones que se oponen a las exteriores. Ellos es debido porque las fuerzas exteriores alteran las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del
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cuerpo y se desarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones iníciales de las mismas.
En reposo
Fint
Fext
Fint
Fext
EE Fig. 1.2.
Al aumentar las fuerzas exteriores aumentara el valor de las fuerzas interiores y ello sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite límite y ya no pueden crecer más. A partir partir de aquí solo se romperá. F 1 int F 1 ext
F 2 2 int int > F 1 int F 2 2 ext ext > F 1 ext
F 3 int = F int 2 int int int max > F 2 F 3 ext > F 2 2 ext ext
La barra se rompe
F4 ext > F3 ext
Fig. 1.3.
Se denomina r esi a las fuerzas internas máximas o esi stenci stenci a mec m ecá án i ca de un cuerpo cuer po tensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo. Dependerá de las dimensiones del mismo y del material que este hecho. En el ejemplo grafico anterior, se observa que a medida que va aumentando la fuerza externa, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no se deformen demasiado y dejen de ser útiles.
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De lo expuesto anteriormente denominaremos a la rigidez de un cuerpo “a la r esistencia que ofrece a deformarse”
Podremos entonces tener nuestras primeras conclusiones de lo que nos permitirá calcular la mecánica de materiales: - Las fuerzas internas o tensiones (A través de ellas se controlara que los cuerpos no se rompan) - Las deformaciones (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen demasiado)
1.2.
PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE BASA LA MECÁNICA DE
MATERIALES. 1.2.1. PRINCIPIO DE LOS PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS. Según este principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, los desplazamientos que se originan, son en la mayoría de casos pequeños en relación con la dimensión de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estática la podremos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial. Es decir sin haberse deformado. Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga, se desea
calcular las tensiones en los cables.
β α
O P Fig. 1.4.a.
Al considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberían plantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores 4
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de las cuerdas y por lo tanto la carga P se ha trasladado al punto O . establecido pues, las ecuaciones de equilibrio en el punto Oʼ . F2 F1
β + Δβ
β + Δβ
α + Δα
α + Δα
O x Oʼ
Oʼ
P
P F ig. 1.4.b.
Con estas ecuaciones de equilibrio no se podrá obtener los valores de F 1 y F 2 pues se desconocen las variaciones Δβ y Δα que ha sufrido la inclinación de los cables. Si se supone ahora que la deformación de los cables van a ser pequeñas y aplicamos “El Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplican ahora
a la estructura de cables aun sin deformar (en el punto O ) y se podrá resolver fácilmente el valor de las tensiones en ambos cables. y F2 F1
β
α
β
α
x O P
P 5
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Con estas ecuaciones se pueden obtener los valores de F 1 y F 2.
OBSERVACIONES.
Los valores de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán una aproximación suficiente para considerarlos como valido. A partir de ellos se podrá estudiar la deformación de estructuras. Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidos no serian validos y no se podría aplicar este principio. Este principio se podrá aplicar en la mayor parte de problemas que resuelve la Mecánica de Materiales, ya que generalmente trabajara con pequeñas deformaciones.
1.2.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. Este principio dice que “Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre un
cuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se puede obtener, siempre que las deformaciones producidas sean pequeñas, como suma de los efectos producidos por cada una de las cargas actuando separadamente” P1
P2
P1
P2
=
+ (1)
Tensiones Deformaciones
(2)
=
Tensiones (1)
+
Tensiones (2)
=
Deformaciones (1)
+
Deformaciones (2)
OBSERVACIONES.
Este principio es de gran utilidad y se aplicara también a muchos problemas de la Mecánica de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general de cargas, que puede ser compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separado dichas cargas y así en muchos casos poder utilizar los prontuarios que dan soluciones para dichos casos simples de cargas. Si las deformaciones producidas fuesen grandes este principio no se podría aplicar. Este sería el caso, por ejemplo, de una viga de gran esbeltez (vigas de longitudes grandes y de pequeñas secciones) sometidas a cargas de compresión y otra de flexión
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F
F
P
≠
P
+
(a)
(b)
(c)
P actuando sola → la viga se acorta (b) F actuando sola → la viga se flexiona (c) P y F actuando juntas → F(flexiona la viga) y P(acorta la viga y la flexiona aun mas) (a)
1.2.3. PRINCIPIO DE SAINT VENANT. Este principio dice “Si se sustituye el sistema de fuerzas que esta actuando sobre un cuerpo por otr o equi valente a é l, l os efectos que ambos sistemas producen (tensiones o defor maci ones) ser án sim ilar es en todos los puntos del cuerpo, salvo en aqu ellos que se encuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas”
F2
R = F1 + F2 + F3
F1 F3
(a)
(b)
Según este principio las tensiones y deformaciones producidas en las cargas en (a) son las mismas que aparecerán en (b), salvo en la zona rayada, próxima a donde actúan las cargas, que serán diferentes. En la zona rayada: tensiones y deformaciones (a) serán diferentes a las tensiones y deformaciones de (b). En el resto: tensiones y deformaciones (a) serán iguales a las tensiones y deformaciones de (b).
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Así, se podrá aplicar este principio a problemas de Mecánica de Materiales en donde la superficie que actúa la carga, es pequeña en relaciona las dimensiones de la pieza, pues en este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración. R = Σ F
Sí
(a) R = Σ F
No
(b) Como se observa en la figura (a) la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del sistema de fuerzas por sus resultantes, apenas va a suponer la alteración de dicho estado en la viga. No ocurre lo mismo en el caso (b) donde la zona rayada es grande y por lo tanto la zona donde se van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al sustituir el sistema de fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá hacer dicha sustitución, pues se cometerían errores graves de cálculo.
1.3. REVISIÓN DE ESTÁTICA. 1.3.1. CALCULO DE REACCIONES. Para el cálculo de reacciones primero hay que revisar los conceptos previos al análisis, tal como el cálculo de reacciones, tipos de cargas, etc.
1.3.1.1.Tipos de soportes o apoyos. Hay que notar que sobre las reacciones que normalmente que se aplican en los apoyos, estas son las restricciones que ofrece el piso o la superficie al libre desplazamiento de la barra en el eje Y o eje X.
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a) Articulación. En las articulaciones solo se presentan solo cargas axiales. PASADORES
B
VIGA
RB A
b) Apoyo móvil o rodillo. En los apoyos móviles solo se puede denotar la la acción de una reacción en el sentido del apoyo. A
VIGA
VIGA
A
RODILLO
90°
RA
RODILLOS
c) Apoyo fijo o pasadores. En los apoyos fijos se denota la presencia de dos reacciones cada una de ellas en la dirección de los ejes coordenados en el plano.
A
RAx
VIGA
A
=
PASADOR
RAx
VIGA
APOYO FIJO
RBy
RBy
d) Empotramiento. En el caso de los empotramientos se puede observar que sumado a la presencia de las reacciones presentes existe un momento resistente en el punto de empotramiento. MA RAx
A
VIGA
RAy
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1.3.2. TIPOS DE CARGAS 1. Cargas concentradas o cargas puntuales. P
P
A
B
=
A
B W
W
RAx
RAy
RBy
2. Cargas uniformemente distribuidas. CARGA W(kg/cm²)
= A
B
A
B
RAx RAy
L
OBSERVACI ÓN.
RBy
Para el cálculo de las reacciones en los apoyos, la carga uniformemente distribuida es sustituida por una fuerza concentrada equivalente W igual al area de la figura geométrica de la carga y que pasa por el centroide de la sección.
3. Cargas uniformemente variables. CARGA
W(kg/cm²)
= A
B RAx
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RAy
L
RBy
OBSERVA CI ÓN.
Para el cálculo de las reacciones en los apoyos, la carga uniformemente variable es sustituida por una fuerza concentrada equivalente W igual al área de la figura geométrica de la carga y que pasa por el centroide de la sección.
1.3.3. CLASIFICACIÓN DE VIGAS. 1. Simplemente apoyada. P
W(kg/cm²)
L
L
2. Biempotrada. P
L
3. Empotrada-apoyada. P
L
4. En voladizo. W(kg/cm²)
L 11
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5. En voladizo en sus extremidades. P W(kg/cm²)
L
1.3.4. CÁLCULO DE REACCIONES EN VIGAS. Ecuaciones de equilibrio estático (fuerzas aplicadas en un plano)
Ejemplo. Calcular las reacciones de la viga que se muestra en la figura, despreciar el peso
de la viga. 100 kg
160 kg
200 kg.m
1,5m
1,5m
1,5m
1,5m
Diagrama de cuerpo libre (DCL) 100 kg
A
160 kg
200 kg.m
B
RAx 1,5m
1,5m
1,5m
RAy
1,5m
RBy
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OBSERVA CI ÓN. Ningún momento es transmitido en una junta articulada, apenas las
fuerzas verticales y horizontales están presentes véase la siguiente figura. P
L/2
ARTICULACIÓN
A
B
L
C
a
Diagrama de cuerpo libre: P
L/2
A
P/2
P/2
1.3.5. DIAGRAMA
P/2
L
MC = P/2a
a
P/2
DE FUERZAS CORTANTES, AXIAL Y DE MOMENTO
FLECTOR. Los diagramas de esfuerzos internos son trazados para determinar la evolución de las fuerzas cortantes, axial y de momento flector a lo largo de la viga respectivamente
1.3.5.1. FUERZA CORTANTE EN VIGAS. La fuerza cortante V, es perpendicular al eje de la viga, debe ser introducida en la sección:
A-Apara satisfacer la ecuación de equilibrio
La fuerza cortante es definida positiva cuando hace girar la sección en sentido antihorario. a
a
+V
+V b
b Fig. Fuerza cortante
1.3.5.2. FUERZA AXIAL EN VIGAS (P) La fuerza axial P, paralela al eje de la viga y que pasa por el centroide de la sección, debe ser introducido en la sección A-A para satisfacer la ecuación de equilibrio 13
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La fuerza axial es definida positiva o de tracción cuando sale de dentro hacia afuera de la sección y negativa o de compresión en caso contrario. a
a
+P
+P
b
b Fig. Fuerza axial
1.3.5.3. MOMENTO FLECTOR. (M) El momento flector M, que gira en torno de un eje perpendicular al plano que contiene la viga. Debe ser introducida en la sección
para satisfacer
la ecuación de equilibrio
para esto, los momentos provocados por las fuerzas es normalmente calculada en torno al punto de intersección de V y P.
El momento flector es definido positivo cuando se tracciona la parte interior de la viga y se comprime la parte superior de la viga, y negativo en caso contrario. a
a
+M
+M b
b
1.3.5.4. MÉTODO DE LAS SECCIONES El método de las secciones establece procedimientos para la determinación de los esfuerzos internos a lo largo de la longitud de la viga. El concepto de equilibrio de las partes de un cuerpo es utilizado cuando el cuerpo como un todo está en equilibrio.
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a W1
P1
W2
P2
RAX RAy
P2
RBy
P M V
W1
P1
W2
M P
RAX
V
RAy
RBy
Fig. Esfuerzos internos en vigas, donde P es la fuerza axial, V es la fuerza cortante y M es el momento flector.
PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 01. Trazar los diagramas de fuerzas cortante, fuerza axial y de momento flector para la viga que se muestra en la figura, sujeta a una fuerza inclinada de P = 5 Ton despreciar el peso de la viga. P=5Ton 4
A
B
3
5m
5m
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a. Determinamos las reacciones en los apoyos (Diagrama de cuerpo libre, DCL). 4 Ton
RAx
3 Ton
5m
5m
RAy
RBy
Verificando: b. Determinar las fuerzas cortante y axial y momento flector en secciones entre dos fuerzas concentradas. Sección c-c (0 < x < 5) c
4 Ton 3 Ton
3 Ton 2 Ton
5m
5m
2 Ton
c M
P
3 Ton 2 Ton
x
V
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3 Ton
3 Ton
2 Ton
5m
5m
2 Ton
V
2 Ton
M P
x
c. Trazar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momentos flectores. 4 Ton 3 Ton 3 Ton 2 Ton
2 Ton
4 Ton
3 Ton
10 Ton m
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Ejemplo 02. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga que se muestra en la figura, sujeta a una fuerza distribuida y a un momento concentrado.
A
2m
B
2m
2m
a.-Determinamos las reacciones en los apoyos D.C.L.
A
2m
B
2m
2m
Verificación:
b.- Determinamos las fuerzas cortantes y el momento flector en secciones entre fuerzas y momentos concentrados y a lo largo de la carga distribuida.
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Sección c-c (0 < x < 2)
A
B
M P x
V
Sección d-d (2 < x < 4)
d
A
B d
M P x
3t
V 19
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Sección e-e (4 < x < 6):
e
A
B e
M
x
P
V
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c.- Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
e
A
B e
3t 1t
V
M
Conclusiones importantes Punto de momento concentrado → Discontinuidad en el diagrama de momento flector igual al momento concentrado. Ejemplo 03. Los skis soportan a un hombre de 80 kg. Si la carga de nieve en la superficie inferior del ski es trapezoidal como se muestra en la figura, determine la intensidad w y trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para el ski, considere P = 80 kg 1m A
B
C
D
E
W 0,5m
1m
21
0,5m
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Tramo AB M
x
V
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Tramo BC: 0,5
M
x
V
⁄ ⁄ ( ) 22
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⁄ ⁄ Debido a la simetría se puede obtener: P = 400 N
A
B
C
D
E
W
200 66,67
V
-66,67 -200 77.78 11,11
M
23
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Ejemplo 04. Determine los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga que se muestra en la figura: 4t
1t
0,5 m
2,5 m
A
B C
3m
D
0,5m
E
F
2,5m
G
1,25m
3,75m
Diagrama de cuerpo libre (DCL)
Viga CDE: 4t
1t
0,5m
2,5 m
5t 2,5 t m
C
D
E
=
C
2,5m
D
2,5m
Viga ABC:
6t
A
C 3m
0,5m
24
E
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Viga EFG:
E
1,25m
1t F
G
3,75m
Viga ABC: Tramo AB ( 0 < x <3):
⁄ ⁄
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⁄ ⁄ Momento máximo Tramo BC (0 < x < 0,5):
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Viga CDE Tramo CD (0 < x < 0,5):
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⁄ ⁄ ⁄ ⁄
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Tramo DE ( 0 < x < 2 ):
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Viga EFG
Tramo EF (0 < x < 1,25):
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⁄ ⁄ ⁄ ⁄
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Tramo FG (0 < x < 3,75):
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 28
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Viga ABC:
Viga CDE:
Viga EFG:
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1.3.5.5. MÉTODO DE LAS SUMATORIAS: 1.- Ecuaciones diferenciales de equilibrio. y
w(x)
x x
∆x
w(x)
y
M
A
V
M+∆M
V+∆V ∆x
30
x
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) y de los momentos
Por las condiciones de equilibrio de las fuerzas verticales (
) se puede obtener: 0, ofrecen dos ecuaciones (
Las ecuaciones 2.1 y 2.3 son evaluadas en el límite, cuando ∆x
diferenciales básicas:
∫
∫
y
Ejemplo: Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga que se muestra en la figura usando el método de las sumatorias.
a.- Determinamos las reacciones en los apoyos DCL.
De la ecuación (2,3), sabiendo que w(x) = 0 constante = V. De la ecuación (2.4), como V es constante, la ecuación de momento flector en el tramo es de la forma: M(x) = -Vx + C2.
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b.- trazar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores.
Ejemplo: Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga que se muestra en la figura, aplicando el método de las sumatorias.
a.- Determinamos las reacciones en los apoyos:
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b.- Determinar las funciones de fuerza cortante V(x) y de momento flector M(x) para cada tramo de la viga. Partimos del extremo mas izquierdo, punto C Tramo C-A.
∫
⁄ ⁄ ∫ ( ) ⁄ ⁄ ∫
∫
⁄ 33
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⁄ Fuerza axial P = 0
Tramo A - D
∫
∫ ∫ ⁄ ⁄ Tramo D - B
∫
∫ ∫ ⁄ ⁄ 34
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Tramo B - E
∫
∫ ∫ ⁄ ⁄ Tramo E - F
∫ ∫ ⁄
⁄ ∫ ∫ ⁄ ⁄ 35
