Guía para el Examen a Titulo de Suficiencia Cálculo I de Licenciatura. Responsable del diseño: JOSÉ OSCAR GONZÁLEZ CERVANTES Escriba claramente cada una de sus respuestas y en caso de realizar alguna demostraci´on se le pide que escriba las sentencias sobre las cuales sustente sus afirmaciones. 1. Muestr Muestree que si a < b y c < d entonces ad + bc < ac + bd. 2. Si a, b
∈ R, demostrar que a2 + b2 = 0 si y s´olo olo si a = b = 0.
3. Encon Encontrar trar todos todos los n´ umero umero reales x tales que (a) x2 > 3 x + 4 (b)
1 x
(c) 1 < x2 < 4 (d)
1 x
< x2
(e) x2
≤ 5 − x
(f) 7x + 8 < x2 4. Muestre Muestre que que 41 (a + b)2 si y s´olo olo si a = b .
≤ 21 (a2 + b2) para toda a, b ∈ R. Demostrar que la igualdad ocurre
5. Demuestre Demuestre que que a + b = a + b si y s´olo olo si ab > 0
|
| | | | | 6. Encuentre Encuentre todos los los x ∈ R que cumplen (a) |4x − 5| ≤ 13 (b) |x2 − 1| ≤ 3 (c) |x − 1| > |x + 1 | (d) |2x + 1| + |x − 4| < 3 (e) |3x + 1| − |2x − 7| > 2 7. Si S = = { 1 − 1 | n, m ∈ N}, encontrar infS y y sup S 8. Si S = = { 1 − 1 + 1 | n,m,l ∈ N}, encontrar infS y y sup S 9. Si S = = { 1 − 1 − 1 | n,m,l ∈ N}, encontrar infS y y sup S 10. Sean Sean A, B ⊂ R no vac´ vac´ıos y acotado a cotados. s. Denote Denot e A + B = {a + b | a ∈ A b ∈ B } y dado λ ∈ R denote λA = {λa | a ∈ A }. Demuestre lo siguiente: n
m
n
m
l
n
m
l
(a) sup(A + B ) = sup A + sup B (b) Si λ < 0 , entonces inf(λA) = λ sup A. 11. Sea S =
{ 1 | n ∈ N}. Muestre que inf S S = 0 y que sup S = 1. n
12. Escribir los cinco primeros t´erminos erminos de las siguientes sucesiones definidas inductivamente: (a) y1 := 2, yn+1 :=
1 2
yn +
(b) z1 := 1, z2 := 2, zn+2 :=
2 yn
zn+1 + zn zn+1 zn
−
(c) x1 = 3, x2 = 5 , xn+2 = x n+1 + xn (d) s1 = 2, sn = (2
−
1 sn
)
1
sn
1
13. Use la definici´ on de l´ımite para establecer los siguientes l´ımites: 1 =0 +1 3 n + 1 3 (b) lim = 2n + 5 2 2 n 1 1 (c) lim 2 = 2n + 3 2 (a) lim
n2
−
14. Muestre que las sucesiones (2n ), (( 1)n ), ( 1)n n2 no son convergentes
−
−
15. Muestre directamente a partir de la definici´ on si es que las siguientes sucesiones son o no de Cauchy 1 (a) ( ) n
(b) (( 1)n ) n + 1 (c) ( )
−
n
(d) (n +
( 1)n
−
n
)
16. Encontrar los siguientes l´ımites (a) lim(3 +
1 n2
)2
√ 2n + 1 (b) lim √ 3n − 2 (−1) (c) lim 3n − 2 3n − 1 (d) lim √ n
2n n + 2
17. Demostrar que si zn = (an + bn )n , con 0 < a < b, entonces lim zn = b 18. Sea x1 > 1 y xn = 2 x1 para cada n mon´ otona. Encontrar el l´ımite
− √ = 2 + y n
19. Sea y1 = 1 y yn+1
n.
∈ N.
Demostrar que (xn ) es acotada y que es
Demostrar que (yn ) es convergente y encontrar su l´ımite
20. Establecer la convergencia o divergencia de ( yn ), donde yn =
1 1 + + n + 1 n + 2
··· + 21n ,
para cada n
∈ N
21. Demuestra que si la sucesi´ on (xn ) no es acotada, entonces existe una subsuces´on (xn ) tal que lim xn = 0 k
k
22. Demuestre que si xn > 0 para toda n
∈ N, entonces lim x
n =
0 si y s´olo si lim
1 xn
=+
∞
23. De ejemplos de sucesiones ( xn ) y (yn ) que sean propiamente divergentes con yn = 0 para toda n N tales que
∈
(a) ( xy ) es convergente n
n
2
(b) ( xy ) es propiamente divergente n
n
24. Sea (xn ) propiamente divergente y sea ( yn ) tal que lim( xn yn ) pertenece a R. Demostrar que (yn ) converge a 0. 25. En cada caso mostrar que la serie converge y que la suma es la indicada: ∞
1 1 (a) = (2 − 1)(2 + 1) 2 1 =3 (b) −1 4 2 =3 (c) 3 2 +3 = 3 (d) 6 2 √ + 1 − √ √ + = 1 (e) 1 1 (f) = si ( + )( + + 1) 1 =1 (g) n
n=1
n
∞
n=1
n2
∞
n−1
n=1 ∞
n
n
n
n=1 ∞
n
n
n2
n=1
n
∞
n=1
α
n α
n
α
α > 0
∞
n=1
26. Sea
n(n + 1)(n + 2)
4
ak una serie de n´umeros positivos y sea bn :=
Muestre que
bk siempre diverge.
(a1 +
··· + a
n)
n
para cada n
∈ N.
27. Muestre que si la serie ak es absolutamente convergente y ( bn ) es una sucesi´on acotada ak bk es convergente. entonces la serie
28. Sea (an ) una sucesi´on decreciente de t´erminos positivos. Demostrar que si y s´olo si k=1 2k a2 converge. ∞
k
∞
k=1 ak converge
29. Establecer la convergencia o divergencia de la series cuyos n-´esimos t´erminos son: (a) (n(n + 1)) n! (b) n
−
1 2
n
(c) (n2 (n + 1))
−
(d)
1 2
(−1)n n n+1
30. Muestre que la serie 1 +
1 2
− 31 + 41 + 51 − 61 + 71 + 81 − 91 + ··· es divergente
31. Aplicar criterios de convergencia y convergencia absoluta a las siguientes series: n+1
(a)
(−1)
n=1
∞
n2 + 1
3
n+1
(b)
(−1) + 1 (−1) + 2 (−1) log n
n=1
∞
n+1
(c)
n
n
n=1
∞
n+1
(d)
n
n
n=1
∞
32. Muestre que si las sumas parciales de la serie nt es convergente para cada t > 0. n=1 an e ∞
−
∞
an n=1 an est´
acotadas entonces la serie
33. Sea (an ) una sucesi´on decreciente y acotada y ( bn ) una sucesi´on creciente y acotada. Sea xn := a n + bn para cada n N. Demuestre que xn+1 es convergente n=1 xn ∞
| − | satisfacen | 34. Demostrar que si las sumas parciales de la serie ( ) converge cada ∈ , donde 0 1, entonces la serie 35. Sea 0 ≤ ≤ 1 ∈
∞
S n
n
∞
< r <
N
k=1 ak
1
k=1 n
f (x) =
√ 4 x− x2
x 1 < x
an
S n
r
| ≤ Mn
para
x
≤ 2
(a) Trazar la gr´ afica de f (b) Poner g (x) = f (2x). describir el dominio de g y hacer su gr´afica (c) Poner h(x) = f (x
− 2). describir el dominio de h y hacer su gr´afica (d) Poner p(x) = f (2x) + f (x − 2). describir el dominio de p y hacer su gr´afica 36. Sea f : R → R y sea c ∈ R. Demostrar que lim f (x) = L si y s´olo si lim 0 f (x + c) = L x→c
x→
37. Por medio de la definici´on de l´ımite de una funci´ on (, δ ) y del criterio de sucesiones establesca las siguientes igualdades: (a) lim
x→2
1
1
− x = −1
(x > 1)
x2 (b) lim = 0 (x = 0) x→0 x 1 x (c) lim = (x > 0) x→1 1 + x 2 x2 x + 1 1 (d) lim = (x > 0) x→1 1 + x 2
||
−
38. Muestre que lo siguiente (a) lim
=+
∞ −1 lim √ = −∞ 0 x
x→0
(b)
1
x2
x→
(x > 0) (x > 0)
(c) Muestre que no existen x (x = 0) x→0 x ii. lim ( x + sgn (x) )
i. lim
x→0
||
(x > 0) 4
39. La funi´ on x [ x] se define la funci´on parte entera. (Por ejemplo [8.3] = 8, [π ] = 3, [ π ] = 4,). Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
→
−
−
(a) f (x) = [x] (b) g (x) = x [x] (c) h(x) = [sin x] (d) k(x) = [ x1 ] R continua en c R y sea f (c) > 0. Demostrar que existe una vecindad V δ (c) 40. Sea f : R de c tal que para cualquier x V δ (c) entonces f (x) > 0.
→
∈ ∈
R continua en R y sea S := x 41. Sea f : R (xn ) S y lim xn = x , demostrar que x S .
⊂
{ ∈ R | f (x) = 0} el conjunto cero de f . ∈
→
42. Sea f (x) =
Si
x 2x x + 3 x
∈ Q ∈ I
Hallar los puntos donde f es continua. R continua en I tal que f (x) > 0 para cada x 43. Sea I := [a, b] y sea f : I que existe α > 0 tal que f (x) α para cada x I .
→
≥
∈
∈ I . Muestre
44. Sea f continua en el intervalo [0 , 1] a R y tal que f (0) = f (1). Demostrar que existe c [0 , 12 ] tal que f (c) = f (c + 21 ).
∈
R continua y s´ 45. Sea f : [0, 1] olo tiene valores racionales (o bien, irracionales), la funci´on deber´ıa ser constante o no.
→
5
