Resumen (SISTEMAS DE CONTROL) Los sistemas de control ayudan en todos los aspectos de la sociedad moderna. En nuestros hogares se encuentran en tostadores y sistemas de calefacción y hasta reproductores de videocasetes. Los sistemas de control también tienen amplias aplicaciones en la ciencia y en la industria, para dirigir barcos y aviones y guiar proyectiles y transbordadores
espaciales. Y también existen de manera natural; natural;
nuestros cuerpos contienen numerosos sistemas de control, control, Se han propuesto representaciones representaciones incluso de sistemas económicos y fisiológicos con base en teoría de sistemas de control. Estos sistemas se emplean donde se requiere de ganancia eléctrica, control remoto o conversión de la forma de entrada. Un sistema de control tiene una entrada, un proceso y una salida. Los sistemas de control pueden ser un lazo cerrado o un lazo abierto. Los sistemas en lazo abierto no vigilan ni corrigen perturbaciones en la salida, pero son más sencillos y menos costosos que los sistemas en lazo cerrado. Los sistemas en lazo cerrado vigilan la salida y la comparan con la entrada. Si detectan un error, el sistema corrige la salida y, por lo tanto, corrige los efectos efectos de perturbaciones. perturbaciones.
El análisis y diseño de sistemas de control se co ncentran en tres objetivos principales: 1. Producir la respuesta transitoria deseada. 2. Reducir los errores en estado estable. 3. Alcanzar la estabilidad. Un sistema debe ser estable para producir la respuesta transitoria correcta y en estado estable. Una respuesta transitoria es importante porque afecta la velocidad del sistema e influye sobre la paciencia y comodidad de las personas, sin mencionar los esfuerzos mecánicos. Una respuesta en estado estable determina la precisión del sistema de control; determina cuánto se iguala la salida con la respuesta deseada. El diseño de un sistema de control sigue estos pasos: físico y especificaciones a partir de los los requerimientos. Paso 1 Determinación de un sistema físico Paso 2 Trazo de un diagrama de bloques funcional. Paso 3 Representación del sistema físico mediante un diagrama esquemático. Paso 4 Uso del diagrama esquemático para obtener un modelo matemático como lo es un diagrama de
bloques. Paso 5 Reducción del a de bloques.
especificaciones especiales, Paso 6 Análisis y diseño del sistema para satisfacer los requerimientos y las especificaciones que incluyen estabilidad, respuesta transitoria y desempeño en estado estable.
Preguntas
1. Mencione tres aplicaciones de los sistemas de control ret roalimentados. 2. Mencione tres razones para usar los sistemas de control retroalimentado y por lo menos una razón para no usarlos. 3. Dé tres ejemplos de sistemas en lazo abierto. 4. Funcionalmente, ¿cómo difieren los sistemas en lazo cerrado respecto de aquellos en lazo abierto? 5. Exprese una condición bajo la cual la señal de error de un sistema de control retroalimentado no sería diferencia entre la entrada y la salida. 6. Si la señal de error no es la diferencia entre entrada y salida. ¿con qué nombre genérico podemos describir la señal de error? 7. Mencione dos ventajas de tener una computadora en el lazo. 8. Mencione tres criterios de diseño principales para los sistemas de control. 9. Mencione las dos partes de la respuesta de un sistema. 10. Físicamente, ¿qué ocurre a un sistema que es inestable? 11. ¿A qué parte de la r espuesta total es atribuible la inestabilidad? 12. Los ajustes de la ganancia de trayectoria directa pueden causar cambios en la respuesta transitoria. ¿Cierto o falso?
PROBLEMAS
1. En la figura P1.1 se ilustra un resistor variable o potenciómetro cuya resistencia varía al mover el cursor a lo largo de una resistencia fija. La resistencia de A hasta C es fija, pero la resistencia de B a C varía con la posición del cursor. Si se necesitan 10 vueltas para mover el cursor de A a C, trace un diagrama de bloques del potenciómetro mostrando la variable de entrada, la variable de salida y (dentro del bloque) la ganancia, que es constante y es la cantidad por la cual la entrada se multiplica para obtener la salida.
Figura P1.1. Potenciómetro 2. Un sistema de control de temperatura opera al detectar la diferencia entre el ajuste del termostato y la temperatura real, y luego abrir una válvula de combustible en una cantidad proporcional a esta diferencia. Trace un diagrama de bloques funcional en lazo cerrado semejante al de la figura 1.9(d), identificando los transductores de entrada y salida, el controlador y la planta. Además, identifique las señales de entrada y salida de todos los subsistemas previamente descritos.
Figura 1.9(d). Diagrama de bloques funcional de un sistema de control de posición acimutal de una antena.
3. La altitud de un avión varía con el albeo, cabeceo y guiñada, como se define en la figura P1.2. Trace un diagrama de bloques funcional para un sistema en lazo c errado que estabilice el alabeo como sigue: el sistema mide el angulo real de alabeo con un giro y compara su angulo real con el el angulo deseado. Los alerones responden al error del angulo de alabeo al experimentar una desviación angular. La nave responde a esta deflexión angular, produciendo un porcentaje de ángulo de alabeo. Identifique los transductores de entrada y salida, el controlador y la planta. Además, identifique la naturaleza de cada señal.
Figura P1.2. Definición de comportamiento de aviones. 4. Numerosos procesos operan sobre material laminado que se desplaza de un carrete alimentador a un carrete receptor. Típicamente, estos sistemas, llamados devanadores, controlan el material de manera que se desplace a velocidad constante. Además de la velocidad, los devanadores complejos también controlan la tensión, compensan la inercia de un carrete, mientras aceleran o desaceleran, y regulan la aceleración debida a cambios repentinos. En la figura P1.3 se ilustra un devanador. El transductor de fuerza mide la tensión; el devanador ejerce tracción contra los rodillos de presión, que producen una fuerza opositora; y el freno origina el deslizamiento del material. Para compensar cambios en velocidad, el material se enrolla alrededor de un rodillo flotante. El lazo evita que cambios rápidos causen excesivo juego del material o lo dañen. Si la posición del rodillo flotante es detectada por un potenciómetro u otro aparato, las variaciones de velocidad debido a la acumulación en el carrete alimentador u otras causas se pueden controlar si se compara el voltaje del potenciómetro con la velocidad indicada. El sistema entonces corrige la velocidad y restablece el rodillo flotante a la posición deseada (Ayers, 1988). Trace un diagrama de bloques funcional para el sistema de control de velocidad, mostrando cada componente y su señal.
Figura P1.3. Carrete
5. En una planta nuclear generadora de energía eléctrica, el calor de un reactor se utiliza para generar vapor para las turbinas. La rapidez de reacción de fisión determina la cantidad de calor generado, y esta rapidez es controlada por las varillas insertadas dentro del núcleo radiactivo. Las varillas regulan el flujo de neutrones. Si las varillas se bajan en el núcleo, la rapidez de fisión se reduce; si se elevan, la rapidez de fisión aumenta. Al controlar automáticamente la posición de las varillas, es posible regular la cantidad de calor generado por el reactor. Trace un diagrama de bloques funcional para el sistema de control del reactor nuclear que se ilustra en la figura P1.4. Muestre todos los bloques y señales
Figura P1.4. Control de un reactor nuclear. 6. Una universidad desea establecer un modelo de sistema de control que represente la población estudiantil como salida, con la población estudiantil deseada como entrada. La administración determina el porcentaje de admisiones al comparar la población estudiantil actual y la deseada: La oficina de admisiones utiliza entonces este porcentaje para admitir estudiantes. Trace un diagrama de bloques funcional que muestre la administración y la oficina de admisiones como bloques del sistema. También muestre las siguientes señales: la población estudiantil deseada, la población estudiantil real, el porcentaje real de estudiantes generado por la oficina por la oficina de admisiones, el porcentaje de deserciones y el porcentaje neto de influjo. 7. Es posible construir un sistema de control que en forma automática ajuste el volumen del radio de una motocicleta cuando cambie el ruido generado por la motocicleta. El ruido generado por la motocicleta aumenta con la velocidad. A medida que aumente el ruido, el sistema aumenta el volumen del radio. Supóngase que la cantidad de ruido puede representarse por un voltaje generado por el chicote del velocímetro, y el volumen del radio es controlado por un voltaje de cd (Hogan, 1988). Si el voltaje de cd representa el volumen deseado alterado por el ruido de la motocicleta, dibuje un diagrama de bloques funcional del sistema de control automático de volumen, mostrando el transductor de entrada, el circuito de control de volumen y el transductor de velocidad como bloques. También muestre las siguientes señales: el volumen deseado como entrada, el volumen real como salida y los voltajes que representan la velocidad, el volumen deseado y el volumen real.
8. La tina de baño de la casa del estudiante es un sistema de control que mantiene constante el nivel de agua. Un flujo constante de la válvula produce un nivel constante de agua, porque el gasto que sale por el drenaje aumenta a medida que el nivel de agua aumenta y disminuye cuando disminuye el nivel del agua. Una vez alcanzado el equilibrio, es posible controlar el nivel si se controla el gasto de entrada. Un gasto de entrada bajo produce un nivel más bajo, mientras que un gasto de entrada más alto, produce un nivel más alto. a) Dibuje un sistema de control que utilice este principio para controlar de manera precisa el nivel de líquido en un tanque. Muestre las válvulas de entrada y drenaje, el tanque, cualquier detector(es) y transductor(es), así como la interconexión de todos los componentes. b) Dibuje un diagrama de bloques funcional del sistema, identificando las señales de entrada y salida de cada bloque. 9. Un dinamómetro es un aparato que se emplea para medir un par y velocidad, para hacer variar la carga en aparatos con eje giratorio. El dinamómetro opera como sigue, para controlar la cantidad de par: un actuador hidráulico unido al eje presiona una pequeña llanta contra un volante giratorio. Cuanto mayor es el desplazamiento del actuador, más fuerza se aplica al volante. Un indicador de presión de extensómetro de resistencia eléctrica detecta la fuerza. El desplazamiento del actuador es controlado por una válvula operada eléctricamente cuyo desplazamiento regula el líquido que entra en el actuador (D’Souza, 1988). Trace un diagrama de bloques funcional de un sistema en lazo cerrado que utilice el dinamómetro descrito para regular la fuerza contra la llanta durante la prueba. Muestre todas las señales y sistema. Incluya amplificadores que alimenten la válvula, el accionador y carga, y la llanta.
10. Durante una operación médica, un anestesista controla la profundidad de inconsciencia al controlar la concentración de isoflurano en una mezcla vaporizada con oxígeno y óxido nitroso. La profundidad de anestesia es medida por la presión sanguínea del paciente. El anestesista también regula la ventilación, equilibrio de fluido y la administración de otros medicamentos. Para liberar al anestesista de dedicar más tiempo a estas últimas tareas, y en el interés de la seguridad el paciente, deseamos automatizar la profundidad de anestesia al automatizar el control de la concentración de isoflurano. Dibuje un diagrama de bloques funcional del sistema, mostrando las señales y subsistemas pertinentes (Meier, 1992).
11. La posición vertical, x(t), de la rueda de esmeril que se ilustra en la figura P1.5 es controlada por un sistema de lazo cerrado. La entrada al sistema es la profundidad deseada de esmerilado y la salida, la profundidad real de esmerilado. La diferencia entre la profundidad deseada y la profundidad real mueve al motor, dando por resultado una fuerza aplicada al trabajo. Esta fuerza tiene como consecuencia una velocidad de alimentación para la rueda de esmeril (Jenkins, 1997). Trace un diagrama de bloques funcional de circuito cerrado para el proceso de esmerilado, mostrando la entrada, salida, fuerza y cantidad de alimentación de la rueda de esmeril.
Figura P1.5. Sistema de rueda de esmeril. 12. En la figura P1.6 se ilustra una válvula solenoide proporcional de alta velocidad. Un voltaje proporcional a la posición deseada del carrete se aplica a la bobina. El campo magnético resultante producido por la corriente en la bobina hace que la armadura se mueva. Un perno de empuje conectado a la armadura mueve al carrete. Un transformador diferencial de variación lineal (LVDT), siglas en ingles de linear variable differential transformer), que permite la salida de un voltaje proporcional al desplazamiento y detecta la posición del car rete. Este voltaje se puede emplear en una trayectoria de retroalimentación para poner en práctica la operación en lazo cerrado (Vaughan, 1996). Trace un diagrama de bloques funcional de la válvula, mostrando posiciones de entrada y salida, voltaje de bobina, corriente de bobina y fuerza del carrete.
Figura P1.6. Válvula solenoide proporcional de alta velocidad.
Resumen (RESPUESTA TEMPORAL TRANSITORIA)
Partiendo de los modelos definidos en el dominio del tiempo y/o de la frecuencia, hallamos la respuesta de salida para una entrada dada, por lo general un escalón. La respuesta escalón produce una imagen clara de la respuesta transitoria del sistema. Efectuamos este análisis para dos tipos de sistemas, primer orden y segundo orden, que son representativos de una gran cantidad de sistemas físicos. A continuación formalizamos nuestros hallazgos y llegaremos a numerosas especificaciones que describen las respuestas. Para los sistemas de primer orden que tienen un solo polo sobre el eje real, la especificación de respuesta transitoria que dedujimos fue la constante de tiempo. La constante de tiempo es el recíproco de la ubicación del polo del eje real. Esta especificación nos da una indicación de la velocidad de respuesta transitoria. En particular, la constante de tiempo es el tiempo para que la respuesta escalón llegue al 63% de su valor final. Los sistemas de segundo orden son más complejos. Dependiendo de los valores de componentes de un sistema, un sistema de segundo orden puede tene r cuatro clases de comportamiento: 1. Sobreamortiguado. 2. Subamortiguado. 3. No amortiguado. 4. Críticamente amortiguado. Encontramos que los polos de la entrada generan la respuesta forzada, mientras que los polos del sistema producen la respuesta transitoria. Si los polos del sistema son reales, el sistema tiene un comportamiento sobreamortiguado. Estas respuestas exponenciales poseen constantes de tiempo iguales a los recíprocos de las posiciones de polo. Los polos puramente imaginarios producen oscilaciones senoidales no amortiguadas, cuya frecuencia en radianes es igual a la magnitud del polo imaginario. Los sistemas con polos complejos muestran respuestas subamortiguadas. La parte real del polo complejo dicta la envolvente exponencial del decaimiento, y la parte imaginaria determina la frecuencia senoidal en radianes. La envolvente del decaimiento exponencial tiene una constante de tiempo igual al recíproco de la parte real del polo, y la senoide tiene una frecuencia en radianes igual a la parte imaginaria del polo. Para todos los casos de segundo orden creamos especificaciones llamadas razón de amortiguamiento,
y frecuencia natural no amortiguada, . La razón de amortiguamiento nos da una idea acerca de la naturaleza de la respuesta transitoria, y cuánto sobretiro y oscilaciones experimenta, cualquiera que sea la escala de tiempo. La frecuencia natural no amortiguada da una indicación de la velocidad de respuesta.
Encontramos que el valor de determina la forma de la respuesta libre de segundo orden:
Si , la respuesta es no amortiguada.
Si , la respuesta es subamortiguada.
Si , la respuesta es críticamente amortiguada.
Si , la respuesta es sobreamortiguada.
La frecuencia natural no amortiguada es la frecuencia de oscilación si todo el amortiguamiento se elimina. Actúa como un factor de escala para la respuesta, como se puede ver en la ecuación
, en la
que la variable independiente se puede considerar que es . Para el caso subamortiguada, definimos varias especificaciones de respuesta transitoria, que incluye:
Sobrepaso ó sobretiro en porcentaje, % Mp.
Tiempo pico, Tp.
Tiempo de asentamiento, Ts.
Tiempo de levantamiento, Tr.
El tiempo pico es inversamente proporcional a la parte imaginaria del polo complejo. Así las líneas horizontales sobre el plano s son líneas de tiempo de pico constante. El sobrepaso en porcentaje es una función de sólo la razón de amortiguamiento. En consecuencia, las líneas radiales son líneas de sobrepaso en porcentaje constante. Por último, el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional a la parte real del polo complejo. Por lo tanto, las líneas verticales sobre el plano s son líneas de tiempo de asentamiento constante. Encontramos que el tiempo pico, el sobrepaso en porcentaje y el tiempo de asentamiento están relacionados con la posición del polo. Así, podemos diseñar respuestas transitorias si relacionamos una respuesta deseada con una posición de polo y luego vinculamos esa posición de polo con una función de transferencia y los componentes del sistema.
Preguntas 1. Mencione la especificación de desempeño para los sistemas de primer orden. 2. ¿Qué nos dice la especificación de desempeño para un sistema de primer orden? 3. En un sistema con una entrada y una salida. ¿cuáles polos generan la respuesta en estado estable? 4. En un sistema con una entrada y una salida. ¿cuáles polos generan la respuesta transitoria? 5. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte imaginaria de un polo? 6. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte real de un polo? 7. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia amortiguada o de oscilación? 8. Si un polo se mueve con una parte imaginaria constante. ¿qué tendrán en común las respuestas? 9. Si un polo se mueve con una parte real constante, ¿qué tendrán en común las re spuestas? 10. Si un polo se mueve a lo largo de una línea radial que se prolonga desde el origen, ¿qué tendrán en común las respuestas? 11. Haga una lista de cinco especificaciones para un sistema subamortiguado de segundo orden. 12. Para la pregunta 11, ¿cuántas espec ificaciones determinan por completo la respuesta? 13. ¿Qué posiciones de polo caracterizan 1) el sistema subamortiguado, 2) el sistema sobreamortiguado y 3) el sistema críticamente amortiguado? 14. Mencione dos condiciones bajo las que la respuesta generada por un polo se puede despreciar. 15. ¿Cómo se puede justificar la cancelación de un polo cero? 16. Mencione una ventaja importante de usar técnicas del dominio del tiempo para la solución de la respuesta. 17. Mencione una ventaja importante de usar técnicas del dominio de la frecuencia para la solución de la respuesta.
Problemas 1. Sea un sistema representado por la siguiente función de transferencia: ()
( )( )( )
Determine la respuesta del sistema en e l tiempo, a una entrada 2(t ). 2. Para cada una de las respuestas escalón unitario que se muestran en las figuras, encuentre la función de transferencia del sistema.
3. Para el sistema que se muestra en la figura, encuentre el sobretiro en porcentaje, tiempo de asentamiento y tiempo pico para una entrada escalón si la respuesta del sistema es subamortiguada (¿Está amortiguada?, ¿Por qué?) R(s) (+)
5
C(s)
(-)
4. Para el sistema que se ilustra en la figura, encuentre la salida, c(t), si la entrada, r(t) es un escalón unitario R(s) (+)
5 (
(-)
)
C(s)
5. Para el sistema de la figura, encuentre el valor de K que produzca un sobretiro del 20% para una entrada escalón. R(s) (+)
C(s)
(
)
(-)
6. Para el sistema que se muestra en la figura, encuentre el valor de para obtener un tiempo de asentamiento de 0.2 segundos y un sobretiro de 3 0% R(s) (+)
C(s)
(
)
(-)
7. Para el sistema de la figura, encuentre los valores de K 1 y K2 para obtener un tiempo de pico de 1 segundo, y un tiempo de asentamiento de 2 segundos, para una respuesta escalón en lazo cerrado del sistema. R(s)
(+) 1
(+)
C(s)
(-)
(
(-)
)
2
8. Encuentre lo siguiente para el sistema que se muestra en la figura.
a) El bloque individual equivalente que represente la función de transferencia, T(s) = C(s)/R(s) b) La razón de amortiguamiento, la frecuencia natural no amortiguada, el sobretiro en porcentaje, el tiempo de asentamiento, el tiempo de pico, el tiempo de levantamiento y la frecuencia de oscilación amortiguada. (-) R(s) (+)
(+)
1
(+)
(-)
.
.
9. Para el sistema que se muestra en la figura, encuentre: R(s) (+)
8.9 (
(-)
)
C(s)
C(s)
PREGUNTAS Y PROBLEMAS ( POLOS Y CEROS )
1. Sea el sistema a lazo abierto , cuyo mapa de polos y ceros se presenta a continuación:
Determine: a) la función de transferencia F (s) del sistema b) el orden del sistema c) la clase del sistema d) orden relativo del sistema e) dimensión del espacio de estado del sistema f) la constante de tiempo más grande del sistema g) la constante de tiempo más pequeña del sistema h) tiempo es que se considera desaparece el transitorio del sistema i) la condición de estabilidad del sistema, en sentido absoluto j) la condición de estabilidad del sistema, en sentido BIBO (salida y entrada acotadas) k) el polinomio característico del sistema l) si el sistema es variante en el tiempo m) si el sistema es propio n) el dominio en el que está definido el sistema o) las condiciones iniciales del sistema p) la ecuación diferencial del sistema q) el número de modos de control del sistema r) la salida del sistema a una entrada u(t ) = 0
2. Sea el sistema a lazo abierto, cuyo mapa de polos y ceros se presenta a continuación:
Determine las siguientes características del sistema y en su caso, responda las siguientes preguntas: A lazo abierto a) La función de transferencia del sistema b). El orden del sistema c). El orden relativo del sistema. d). El orden relativo del sistema a lazo c errado e). La clase del sistema. f). Los ceros del sistema g). Los polos del sistema h). La ganancia estática K del sistema i). La ganancia en lazo directo j). La condición de estabilidad del sistema. k). El polinomio característico P(s) del sistema. l). La constante de tiempo más lenta del sistema. m). La constante de tiempo más rápida del sistema. n). El tiempo en que desaparece el estado transitorio del sistema a una entrada impulso. o). La frecuencia de oscilación amortiguada más alta del sistema p). La frecuencia natural
de oscilación no
amortiguada más alta del sistema. q).¿Tiene el sistema una respuesta oscilatoria a una entrada delta de Dirac? u).¿ Se trata de un sistema SISO o de un sistema MIMO? v).¿ Es lineal el sistema F(s)?
A lazo cerrado
3. Para cada una de las funciones de transferencia que se ven a continuación, encuentre la posición de los polos y ceros, grafíquelas sobre el plano s, y luego escriba una expresión para la forma general de la respuesta escalón sin obtener la transformada inversa de Laplace. Exprese la naturaleza de cada respuesta (es decir, sobreamortiguada, subamortiguada, etc.)
)
()
)
()
)
()
)
()
)
()
)
()
5 ( )( ) ( ) ( )( ) 2
2 9 5 ( )2
4. Para el sistema que se muestra en la figura, encuentre los polos de la función de transferencia en lazo cerrado T(s) = C(s)/R(s)
5 R(s) (+)
(+)
C(s)
(-)
(+)
(-)
Resumen: ESTABILIDAD (POLOS Y CEROS; criterio de Routh-Hurwitz ) En este tema exploramos los conceptos de estabilidad de un sistema desde el punto de vista clásico. Encontramos que para los sistemas lineales, la estabilidad está basada en una respuesta libre que decae a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Por otra parte, si la respuesta libre aumenta si límite, la respuesta forzada recibe el máximo de potencia de la respuesta libre, y perdemos el control. Esta condición se conoce como inestabilidad. Existe una tercera posibilidad: la respuesta libre puede no decaer ni crecer sin límite, sino variar: En este caso, se dice que el sistema es marginalmente estable. También empleamos una definición alterna de estabilidad cuando la respuesta libre no está explícitamente disponible. Esta definición está basada en la respuesta total y dice que un sistema es estable si toda la entrada acotada da una salida acotada (BIBO, es decir, entrada acotada, salida acotada) e inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acot ada. Matemáticamente se puede determinar la estabilidad para sistemas lineales e invariantes con el tiempo a partir de la ubicación de los polos en lazo cerrado:
Si los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.
Si los polos están sólo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.
Si los polos están sobre el eje y en el semiplano izquierdo, el sistema es marginalmente estable, mientras los polos sobre el eje sean de multiplicidad unitaria; es inestable si hay cualesquier polos múltiplos de .
Desafortunadamente, aun cuando pueden conocerse los polos en lazo abierto, encontramos que en sistemas de orden superior es difícil hallar los polos en lazo ce rrado, sin un programa de computadora. El criterio de Routh-Hurwitz nos permite hallar cuántos polos hay en cada una de las secciones del plano s sin darnos las coordenadas de los polos. Con sólo saber que existen polos en el semiplano derecho es suficiente para para determinar que un sistema es inestable. Bajo ciertas condiciones acotadas, cuando está presente un polinomio par, se puede usar el arreglo de Routh para factorizar la ecuación característica del sistema.
Preguntas. 1. ¿Qué parte de la respuesta de salida causa la determinación de estabilidad de un sistema lineal? 2. ¿Qué ocurre a la respuesta que se cita en la pregunta 1 que crea inestabilidad? 3. ¿Qué ocurriría a un sistema físico que se torna inestable? 4. ¿Por qué son marginalmente estables los sistemas considerados inestables bajo la definición BIBO de estabilidad? 5. ¿En dónde tiene que estar los polos de un sistema para asegurar que un sistema no es inestable? 6. ¿Qué nos dice el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz? 7. ¿Bajo qué condiciones nos diría fácilmente el criterio de Routh-Hurwitz la ubicación real de los polos en lazo cerrado de un sistema? 8. ¿Qué ocasiona que un cero aparezca sólo en la primera columna del arreglo de Routh? 9. ¿Qué ocasiona que todo un renglón de ce ros aparezca en el arreglo de Routh? 10. ¿Por qué a veces multiplicamos un renglón de un ar reglo de Routh por una constante positiva? 11. ¿Por qué no multiplicamos un renglón de un arreglo de Routh por una constante negativa? 12. Si un arreglo de Routh tiene dos cambios de signo arriba del polinomio par y cinco cambios de signo abajo del polinomio par, ¿cuántos polos del semiplano derecho tiene el sistema? 13. ¿La presencia de todo un renglón de c eros significa siempre que el sistema tiene polos ? 14. Si un sistema de séptimo orden tiene un renglón de ceros en el renglón 3 y dos cambios de signo abajo del renglón 4 , ¿cuántos polos tiene el sistema?
Problemas 1. Utilice MATLAB para determinar las raíces de las siguientes ecuaciones características:
3 2 9 9 8 4 3 2 5 4 .3 8.8 2 9 5 4 3 2 2.
Determinar por medio del criterio de estabilidad de Routh, cuáles de los siguientes sistemas representados por sus ecuaciones características son estables o no.
5 3 2 .84 8.53 5.82 .8 .5 .9 .594 .83 9.5 2 .8 . 5 54 3 2 3. Diga cuántas raíces del siguiente polinomio hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje .
() 4 5 3 2 4. Mediante el uso del arreglo de Routh, diga cuántos polos de la siguiente función hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje .
()
8 4 3 2
5. La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es
()
2 6 4 2
Determine cuántos polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, semiplano izquierdo y sobre el eje .
6. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje para el sistema en lazo abierto de la figura?
R(s) 4
3
2
8 2
C(s)
5
7. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje para el sistema en lazo abierto de la figura?
R(s)
3
C(s)
2
4 3 2
8. Utilice MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 5. 9. Utilice MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh para resolver el problema 2.
10. Determine si el sistema retroalimentado unitariamente de la figura es estable si
()
R(s) (+)
E(s)
( )( )( )( )
C(s)
()
(-)
11. Utilice MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 10.
12. Considere el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
2 (2
)
Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, encuentre la región del plano s donde se hallan los polos del sistema en lazo cerrado. 13. Dado el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( 6 4 3 2 )
Investigue cuántos polos de la función de transferencia en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje . 14. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz y el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
3 2
diga si el sistema en lazo cerrado es o no es estable. 15. Dado el sistema retroalimentado de la figura del problema 10 con
()
8 ( 6 4 3 2 8 )
diga cuántos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje . 16. Repita el problema 15 usando MATLAB.
17. Considere el siguiente arreglo de Routh. Nótese que el renglón estaba originalmente en ceros. Diga cuántas raíces del polinomio original había en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje .
7 6 4 3 2 1
1 1 3 1 7 -15 -9 -21
2 2 4 -1 8 -21 0 0
-1 -1 -1 -3 0 0 0 0
-2 -2 0 0 0 0 0 0
18. Para el sistema de la figura, diga cuántos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje . Nótese que hay retroalimentación positiva. R(s) (+)
E(s) (-)
8
C(s)
4 3 2 8
19. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, investigue cuántos polos en lazo cerrado del sistema que se muestran en la figura se encuentran en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje . R(s)
(+)
5 (-)
4
3 2 9
C(s)
20. Determine si el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( 2 ) ( )( )
puede ser inestable. 21. Para el sistema de retroalimentación unitaria de la figura del problema 10 con
()
( ) ( )( )
determine el margen de K para asegurar estabilidad 22. Determinar el valor de K para que el sistema representado por su función de transferencia de lazo cerrado sea estable C ( s ) R ( s )
K
s s
2
s
s
1
2
K
23. La función de transferencia de un servomecanismo está dada por:
5 () () 3 ()() () () 5 () ( . )2 () ( .5 )( .8 ) ()() Sobre que rango de valores para la constante K t el sistema será estable. 24. Sea un sistema representado por su diagrama de bloques. Aplicando el criterio de Routh, discutir la estabilidad del sistema en función de K. Determinar los valores de K que causan oscilaciones sostenidas de lazo cerrado. R(s)
(+)
( )( )( 2 5) (-)
25. Para el sistema retroalimentado de la figura del problema 10 con
()
( ) ( )( )( )
determine el margen de K para asegurar estabilidad.
C(s)
26. Repita el problema 25 usando MATLAB. 27. Utilice MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh en términos de K para resolver el problema 25.
28. Encuentre el margen de K para estabilidad para el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( )( ) ( 2 )
29. Para el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( ) 4( )
encuentre el margen de K para estabilidad. 30. Encuentre el margen de ganancia, K, para asegurar estabilidad en el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( )( )( 5) ( 2 )
31. Encuentre el margen de ganancia, K, para asegurar estabilidad en el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( ) ( 2 )( )( )
32. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, encuentre el valor de K que producirá oscilaciones para el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 1 0 con
()
( 5)( )( 8)
33. Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para hallar el margen de K para el cual el sistema de la figura es estable R(s) (+)
E(s) (-)
(
2
)
( )( )( 2 5)
( )
C(s)
34. Repita el problema 33 para el sistema de la figura R(s) (+)
E(s)
( (
(-)
C(s)
)
)( )
( )
35. Dado el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( ) ( )( )
encuentre lo siguiente a). El margen de K que mantiene estable el sistema. b). El valor de K que haga oscilar al sistema. c). La frecuencia de oscilación cuando K se ajusta al valor que haga oscilar al sistema. 36. Repita el problema 35 para
()
( )( ) ( )( 2 )
37. Para el sistema que se ilustra en la figura, encuentre el valor de ganancia, K, que haga oscilar al sistema. También, encuentre la frecuencia de oscilación. R(s) (+)
K (-)
(
(+)
C(s)
)( )
(-) s
38. Dado el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( ) ( 2 8 )( )
a)
Encuentre el margen de K para estabilidad
b)
Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable.
39. Repita el problema38 usando MATLAB.
40. Para el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
( )
()
( 2 )( )( )
encuentre el margen de K para el que habrá solo dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho. 41. Para el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( )3 ( )
a) Encuentre el margen de K para estabilidad. b) Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable.
42. Dado el sistema de retroalimentación unitaria de la figura del problema 10 con
()
( )(2 5 )
a) Encuentre el margen de K para estabilidad b) Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable. 43. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz y el sistema retroalimentado unitariamente de la figura del problema 10 con
()
( )( )( 5 )
a) Encuentre el margen de K para estabilidad. b) Encuentre el margen de K para estabilidad marginal. c)
Encuentre la ubicación real de los polos en lazo cerrado cuando el sistema sea marginalmente estable.
44. Encuentre el margen de K para mantener estable el sistema que se muestra en la figura
R(s) (+)
E(s)
(-)
( 2 )
C(s)
45. Encuentre el valor de K en el sistema de la figura( sistema de lazo cerrado con gráfica de polo) que colocará los polos en lazo cerrado como se muestra
R(s)
2
(+)
E(s)
C(s)
2
(-)
(+)
(+)
46. La función de transferencia en lazo ce rrado de un sistema es
()
2 1 2 4 1 3 2 2 5
Determine el margen de 1 para que el sistema sea estable. ¿Cuál es la relación entre 1 2 para estabilidad. 47. Para la función de transferencia siguiente, encuentre las restricciones sobre 1 2 tales que la función tenga sólo polos .
()
1 2 4 1 3 2 2
