GRAFOS Y SIMETRÍA Grafo: terna Grafo: terna G= (V, A, φ) donde V= vértices y A= aristas son conjuntos finitos, y φ es una aplicación de incidencia que hace corresponder a cada elemento A un par de elementos V (2 vértices).
Si [a,b] es una A del grafo, par NO ordenado, los V a y b se llaman adyacentes. El grado de grado de un V es el número de arista que en el inciden. Se dice aislado si si su grado es nulo y pendiente si si su grado es 1. Dos o más aristas se llaman múltiples si tienen por extremos los mismos mi smos vértices. Un lazo es lazo es una A cuyos 2 extremos coinciden en un V. 1. ¿Qué es un grafo euleriano general y euleriano restringido ? ¿Y un grafo Hamiltoniano? Hamiltoniano? Recorrido euleriano restringido y general, dibujo de ambos. Ejemplificar gráficamente Un grafo eureliano es si todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar 2 veces por alguna de ellas. General: todos sus vértices tienen grado par. Restringido: Puede tener hasta 2 vértices impares, y éstos serán los vértices de partida y de llegada.
Euler plantea el problema de los 7 puentes sobre el río Pregel: si era posible un recorrido que, partiendo de una orilla, volviera al lugar de origen pasando por cada puente 1 sola vez. Al plantear el grafo asociado se determina que no es posible dicho recorrido, porque es un grafo con más de 2 vértices de grado impar (B, C y D).
Un grafo hamiltoniano es cuando existe un recorrido que pasa por todos los vértices una sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas. Por ejemplo el dodecaedro regular:
2. ¿Cuándo un grafo se dice que es conexo conexo?¿Y ?¿Y cuándo fuertemente conexo? conexo ?
GRAFO grafo NO orientado vértices aristas CADENA: sucesión de aristas adyacentes CICLO: cadena que empieza y termina en el mismo vértice CONEXO: grafo en que si entre 2 vértices distintos cualesquiera, existe una cadena.
Ej: esquema de comunicaciones en un grupo humano
DIGRAFO grafo orientado vértices arcos CAMINO: sucesión de arcos adyacentes CIRCUITO: camino que empieza y termina en el mismo vértice FUERTEMENTE CONEXO: Grafo en que todos sus vértices son alcanzables desde cualquier otro vértice.
Ej: sistema de tránsito
3. Grafo plano, definición, condición necesaria y suficiente para que lo sea. (grafos k3;3 y el K5) Si de un grafo G existe un grafo isomorfo G' que puede dibujarse en el plano de modo que las aristas sólo se crucen en los vértices.
La condición necesaria y suficiente para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K3,3, ni del tipo K 5.
Para analizar un grafo muy complejo existen algoritmos de búsqueda de grafos K 3,3 -sólo grafos de vértices de grado ≥ 3 son candidatos- y de grafos K 5 -sólo grafos de vértices de grado ≥ 4 son candidatosLa planitud de un grafo de relaciones entre elementos prefijados de un proyecto arquitectónico es fundamental para su realización en planta. Estas relaciones pueden ser de acceso físico (puertas, pasillos, etc), acceso visual (ventanas, mamparas, etc), etc. •
Dar un ejemplo de un grafo que posea siete vértices y no sea plano. Justificar.
Admite subgrafos del tipo K 5. 4. Definir grafo poligonal. ¿Qué es uno regular y uno completamente regular? Enuncie la fórmula de Euler. Nombrar los poliedros, colocarle la cantidad de caras a c/u. Dibujar 3 de ellos. Un grafo poligonal es un grafo plano conexo que es reunión de ciclos, tal que existe un ciclo mínimo y otro máximo. El interior de cada ciclo se llama cara, también cuenta la cara exterior del infinito, que tiene como ciclo limitante el ciclo máximo del grafo o polígono envolvente. Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2 →(válida para cualquier grafo poligonal, y también, cuenta la cara exterior del infinito) Es regular si en cada vértice concurre igual número de aristas. Es completamente regular si, además, cada cara posee el mismo número de aristas limitantes. Los grafos completamente regulares no triviales son los asociados con los 5 poliedros regulares.
POLIEDRO
TETRAEDRO
OCTAEDRO
ICOSAEDRO
CUBO
DODECAEDRO
POLÍGONO QUE FORMA CARAS V
Triángulo 4 6 4 3 3
Triángulo 6 12 8 4 3
Triángulo 12 30 20 5 3
Cuadrado 8 12 6 3 4
Pentágono 20 30 12 3 5
A C Nº DE A EN C/VÉRTICE Nº DE ARISTAS EN C/CARA GRAFO ASOCIADO
5. ¿A qué se le llama grafo dual?¿Qué relación existe entre un grafo poligonal y un grafo dual? ¿Son planos dichos grafos?.
Sea un grafo plano y conexo G, se construye G* tal que en corresponden cia a G por cada cara hay un vértice, por cada vértice hay na cara y por cada arista hay una arista, y l ego el dual de G* sea G**, serán isomorfos G** y G. Aplicación arquitectónica: El ual de un grafo de adyacencias de locales e aproxima a un esquema de planta (el vértice exterior deb rá representarse en el grafo dual por la car del infinito) Dar un ejemplo del mi smo en un grafo de 5 vértices y 4 caras; y d 6 vértices y 3 caras: •
6. Definir mosaico. ¿Qué polígonos regulares permiten generar mosaicos y por qué? Que polígonos regulares son los que permit n recubrimiento saturado del plano? argu entar matemáticamente la razón de por q solamente ell s lo permiten. Explicar cómo recubrir plano on triángulos cuadrados o hexágonos.. la formula n-2/ x 180 Es un tipo especial de recubri miento del plano. Se repite un módulo en 2 irecciones, con condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad. Si se toman polígonos regula res de un mismo tipo como módulo, la condi ción es que los vértices se toquen con otros vértices. Se a el número n de aristas de cada polígono, e l ángulo interior en cada vértice vale: n-2 . 180º n En cada vértice se tendrá el iguiente número de polígonos: 360º = 2n = 2 + 4 . n-2 .180º n 2 n-2 n Como este número debe ser entero, para n>2, n tiene que ser igual a 3, 4 o 6. Ello significa que el plano puede recubrirse total ente con mosaicos triangulares, cuadrados o hexagonales.
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¿Qué movimientos de simetría se utilizan para generar un mosa ico?
Explique el problema de los 4 colores. Dibuje un mosaico de tal forma que pueda ser coloreado por 3 col ores.
Bastan 4 colores para colorear un mapa de modo que regiones ad yacentes tengan distinto color.
7. Número de oro, definición. El número de oro surge de re presentar una sucesión de números tales qu e, cada término corresponde a la suma de los dos término inmediatamente precedentes, es decir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …(sucesión de Fibonacci) donde 55/34= 1. 18… Este número se denomina nú mero de oro ϕ y corresponde a la división d un segmento en media y extrema razón. •
Cómo se divide un se mento en media y extrema razón, representar gráficamente.
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Dar algún ejemplo de su uso en la arquitectura. ¿Qué aplicacione al diseño conoce?
Partenón de Atenas •
¿Cómo se construye n rectángulo áureo a partir de un cuadrado de 6cm de lado? Calcular
