3.2 Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Alberto Conejero y Cristina Jordán Depto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería Informática Universitat Politècnica de València
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo de caminos
http://maps.google.es
Consideremos un mapa con varias ciudades y las distancias entre ellas (en km o min).
¿Cuál es la ruta más corta entre dos ciudades? 3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Grafo ponderado
Sea G un grafo G=(V,E), |V|=n Se dice que G es ponderado, si cada arista (respect. arco) (v i ,v j ) tiene un valor asociado, p(v i ,v j ), al que se llama peso o coste. Los valores de un grafo ponderado habitualmente se presentan en forma de matriz. En general, asignaremos a los pesos cantidades que sean enteros no negativos. Se puede definir una matriz similar a la de adyacencia donde reflejemos el valor de los pesos.
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Matriz de pesos Sea G un grafo G=(V,E), |V|=n Llamamos matriz de pesos o matriz de costes de G a la matriz n xn P=(p i.j ) cuyos elementos vienen definidos como sigue:
p
1,1 p 2,1 . P = . . p n 1,1 p n ,1 −
p 1,2
...
p 1,n 1
p 1,n
p 2,2
...
p 2, n 1
p 2,n
. .
...
.
−
−
.
.
.
.
.
.
p n 1,2 ...
p n 1,n 1
p n 1,n
a n 2
p n ,n 1
p nn
−
...
−
−
−
−
Los elementos de la matriz P se suelen denotar p i.j o p ij. Con p i.j se representa el elemento de la matriz P que se encuentra en la fila i y en la columna j .
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Ejemplo Consideremos el siguiente grafo
v5
3
0
3
v4 7
v1
1 2
4 v3
3
5 v2
∞ 1 ∞ 3
3
∞
∞
∞
0
5
∞
∞
∞
0
4
∞
7
0
∞
1
∞
∞ 3 0
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo de caminos Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Córdoba, Madrid y Valencia. Estas ciudades están conectadas en tren con la siguiente duración en minutos: •Albacete-Madrid 100 •Albacete-Alicante 96 •Albacete-Córdoba 254 •Albacete-Valencia 105 •Alicante-Valencia 110 •Córdoba-Madrid 102 •Madrid-Valencia 98 Las conexiones son en ambos sentidos con igual duración V={Ciudades} E={Pares de ciudades conectadas entre sí} P= Matriz con las duraciones de las conexiones entre pares de ciudades. 3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo de caminos Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Córdoba, Madrid y Valencia. Estas ciudades están conectadas en tren con la siguiente duración en minutos: •Albacete-Madrid 100 •Albacete-Alicante 96 •Albacete-Córdoba 254 •Albacete-Valencia 105 •Alicante-Valencia 110 •Córdoba-Madrid 102 •Madrid-Valencia 98
0
96
254
100 105
96 0 110 ∞ ∞ 254 ∞ 0 102 ∞ 100 102 0 98 ∞ 98 0 105 110 ∞
Las conexiones son en ambos sentidos con igual duración V={Ciudades} E={Pares de ciudades conectadas entre sí} P= Matriz con las duraciones de las conexiones entre pares de ciudades. 3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo de caminos Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Córdoba, Madrid y Valencia. Estas ciudades están conectadas en tren con la siguiente duración en minutos: •Albacete-Madrid 100 •Albacete-Alicante 96 •Albacete-Córdoba 254 •Albacete-Valencia 105 •Alicante-Valencia 110 •Córdoba-Madrid 102 •Madrid-Valencia 98 C ó r d o b a
0
96
254
M a d r i d
100 105
96 0 110 ∞ ∞ 0 102 ∞ ∞ Córdoba 254 100 102 0 98 ∞ Madrid 98 0 105 110 ∞
Las conexiones son en ambos sentidos con igual duración V={Ciudades} E={Pares de ciudades conectadas entre sí} P= Matriz con las duraciones de las conexiones entre pares de ciudades. 3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Peso de un camino Sea G un grafo ponderado G=(V,E), |V|=n con P=(p i.j ) como matriz de pesos. Dado un camino
(v i 1 , v i 2 ,..., v i k )
en G definimos el peso o coste del camino de
G a la matriz n xn P=(p i.j ) cuyos elementos vienen definidos como sigue:
(v i 1 ,v i 2 ) + (v i 2 , v i 3 ) + (v i 3 , v i 4 ) + ... + p (v i k 1 , v i k ) −
Se puede definir una matriz similar a la de adyacencia donde reflejemos el valor de los pesos.
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Ejemplo Consideremos el camino (v 3,v4,v5,v1) en el siguiente grafo:
v5
3
0
3
v4 7
v1
1 2
4 v3
3
5 v2
∞ 1 ∞ 3
3
∞
∞
∞
0
5
∞
∞
∞
0
4
∞
7
0
∞
1
∞
∞ 3 0
p(v3,v4)+p(v4,v5)+p(v5,v1) = 4 + 3 + 3 = 10
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo del peso de un camino Supongamos que realizamos el siguiente viaje: Alicante, Valencia, Madrid, Córdoba.
¿Cuál es mismo?
la
duración
del
0
96
254
100 105
96 0 110 ∞ ∞ 254 ∞ 0 102 ∞ 100 102 0 98 ∞ 98 0 105 110 ∞
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Cálculo del peso de un camino Supongamos que realizamos el siguiente viaje: Alicante, Valencia, Madrid, Córdoba.
¿Cuál es mismo?
la
duración
del
0
96
254
100 105
96 0 110 ∞ ∞ 254 ∞ 0 102 ∞ 100 102 0 98 ∞ 98 0 105 110 ∞ La solución es la longitud del camino que pasa por los vértices asociados a dichas ciudades, es decir el camino que pasa por los vértices 2,5,4 y 3. Por tanto, dicha longitud será: p( Alicante,Valencia) + p( Valencia, Madrid)+ p( Madrid, Córdoba) = p(2,5) + p(5,4) + p(4,3) = 110 + 98 + 102 = 310 min. 3.2. Grafos ponderados
