TALLER FINAL 8. una persona quiere comprar un automóvil, que actualmente cuesta $4 millones; para tal fin, decide establecer un fondo mediante depósitos mensuales crecientes en un 4%. Si el primer deposito es de $60.000, que se hace al final de un mes, ¿Cuánto tiempo le llevara reunir el dinero necesario para la compra, si el automóvil sube cada mes un 1%? Suponga una tasa del 4% efectivo mensual. Valor del auto= 4’000.000 G1= 4% n=? R= 60.000 G2= 1% i= 4% 60.000 n ( 1+ 0,04 )n−1=4' 000.000 (1+ 0,01 )n 400( 1,01)n−6 n ( 1,04 )n−1=0 A continuación damos valores a n hasta que se cumple la ecuación: n= 356,450
se interpola así: n−29 0−12,027 = 29,5−29 −4,818−12,027
n= 308,537
n= 235, 254
n=29+(29,5−29)
n= 128,477
n=29,357
0−12,027 (−4,818−12,027 )
n= 44,110 n= 12,027 n= -4,815
10. con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie: PERIOD O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
VALOR
50 0
300
90 0
700
130 0
1100
100 0
70 0
40 0
100
200
130 110
30
50
100
90
70
70 40 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
11 -
El ejercicio se debe dividir en dos partes: a) Serie creciente del periodo 1 a 6 R= 300 K=200 i=14%
[
] [
(1+i )n−1 K ( 1+i )n V f =R + −n i i i
]
V f =V p (1+i)n
[
] [
(1+0,14)6−1 200 (1+0,14)6 −1 V f 6 =300 + −6 0,14 0,14 0,14
]
V f 6 =6.182,83 Ahora se halla el valor futuro para cuando el valor se encuentre en el periodo 12: 6
V f 12=6.182,83 (1+ 0,14) V f 12=13.571,14∗¿
b) Serie decreciente del periodo 6 a 12: R= 1000 K= -300
-500
i=14% V f 12=1000
[
6
] [
6
(1+ 0,14) −1 300 (1+ 0,14) −1 + −6 0,14 0,14 0,14
]
V f 12=3.102,26∗¿ Si se suma la serie creciente con la serie decreciente nos dará el valor de la serie. V f =V f 6 +V f 12 =13.571,14+3.102,26 V f =16.673,41 12. con interés efectivo del 10% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes PERIOD O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
VALOR
30
45
60
80
90
10 5
120
130
15 0
165
18 0
180 16 15 13 120 105 90 45
30
f
1
2
{[
V p= R
60
3
80
4
5
] [(
1−( 1+i )−n k + i i
6
7
8
)
9
10
1−( 1+i )−n −n (1+i )−n i
11
]}
Y luego aplicamos interés compuesto hasta la fecha focal (1+i)−n
{[
] [(
)
]} { [
] [(
1−( 1+0,1 )−3 15 1−( 1+0,1 )−3 1−( 1+0,1 )−2 10 −3 V p= 30 + −3 ( 1+ 0,1 ) + 80 + 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
)
1−( 1+0,1 )−2 −2 ( 1+0 0,1
V p= {30 [ 2,487 ] +150 [ ( 2,487 ) −3(0,75) ] }+ { 80 [ 1,735 ] +100 [ ( 1,735 )−2 ( 0,83 ) ] } ( 0,75 ) + {105 [ 1,735 ] +150 [ (1,735 )−
V p= {74,81+35,55 } + {138,8+7,5 } ( 0,75 ) + {182,175+11,25 } ( 0,62 )+61,1+63+ { 286,275+11,25 } ( 0,35) V p= {110,36 } + { 146,3 } ( 0,75 ) + { 193,425 } ( 0,62 )+61,1+63+ { 297,525 } (0,35) V p=110,36 +109,725+119,92+61,1+63+104,13 V p=568,23 14. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos, si el primero corresponde a $1000, son crecientes en un 10% y la tasa efectiva es del 8%. R= 1000 y G= 10% N=∞ i= 8% Según el libro de baca si G ≥ i entonces Vp = ∞
16. Para el mantenimiento en buen estado una carretera veredal, los hacendados de la región desean establecer un fondo para proveer las reparaciones futuras. Estas se estiman en un millón de pesos para el próximo año; también, se estima que su costo incrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo un interés del 28% efectivo anual. R= 1’000.000 y G= 18% N=∞ i= 28% V p=
R ; siG
V p=
1' 000.000 ( 0,28−0,18)
V p=10' 000.000
18. hallar el valor presente de un gradiente infinito de pagos mensuales que crecen un 2% y cuyo primer pago es de $8.000 a) suponga una tasa del 3% efectivo mensual. b) suponga una tasa del 1.5% efectivo mensual V p=
R ; siG ≤ i (i−G)
V p=∞; siG ≥i a) R= 8.000 y G= 2% i= 3% E.M Como G ≤ i se aplica la formula V p=
8.000 ( 0,03−0,02)
V p=800.000 b) R= 8.000 y G1.5% i= 1.5% E.M Como G ≥ i es ∞ V p=∞; siG ≥i
20. ¿a qué tasa efectiva se cumplen las condiciones mostradas en el siguiente diagrama? 200 180 16
14 120 100
40
80
60
f 1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
213, 600
[
−n
1−(1+i) V p=R i
] [
−n
L 1−(1+i) −n + −n(1+i) i i
600+213,29 ( 1+ i )−1=40
[ [
]
] [
]
] [
]
1−( 1+i )−9 20 1−( 1+i )−9 + −9 ( 1+i )−9 i i i
1−( 1+i )−9 20 1−( 1+i )−9 600+213,29 ( 1+ i ) −40 + −9 ( 1+i )−9 = 0 i i i −1
Por interpolación: Si i=4% -15,5277
0,04−x −15,5277−0 = 0,04−0,05 −15,5277−34,7053 −15,5277 (−0,01 )−0,04 −50,233
Si i=x 0,00
−x=
Si i=5% 34,7053
x=0,043
= 4,3% E.M
22. un padre desea reunir una cantidad mediante depósitos anuales uniformes, comenzando hoy (primero de enero de 1984) y terminando el primero de enero de 1990, en un fondo que paga el 28% nominal semestral, su objetivo es el de garantizar a su hijo el estudio universitario, que se estima durara unos 6 años y empezara el primero de enero de 1990. Actualmente, la matricula semestral cuesta $30.000, pero aumentara todos los semestres un 8%. Calcular el valor de los depósitos anuales. 12 G= 30000(1+0,08) =
R=?
AÑOS 1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
0
2
4
AÑOS
8
1 0
1 2
SEMESTR ES
i=
j=28% N.S
6
0,28 2
i=0,14 E . S .V
2
(1+0,14) =(1+i 2)
i=(1+ 0,14)2−1 i=0,2996 E . A . V
[
]
(1+ 0,2996 )7−1 V f =R (1+0,29996) 0,2996 V f =22,822594439 R
[
n
n
(1+i) −(1+i 2 ) V p=G i−i 2 V p=75.545,10
[
] 12
12
(1+0,08) −(1+ 0,14) 0,08−0,14
]
V p=601.000,16732 Llevamos el valor futuro hasta el periodo11 del semestre y luego lo igualamos 22,8225944439 R (1+ 0,14)−3=601.000,16732 R(1+0,14)−3=
601.000,16732 22,8225944439
R(1+0,14)−3=26.333,56031442
R=
26.333,56031442 −3 (1+0,14)
R=39.014,3282 24. se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que compraran exactamente 6000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán pagaderos en un solo contado a razón de $500 cada uno, pero su valor total será cancelado al final del año sin intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $200 los cuales deberán ser adquiridos y pagados al principio de cada mes y su valor aumentara cada mes en un 5%. El costo mensual de mano de obra se considera estable en $250000 y además, se requerirá una inversión inicial de 1’000.000 para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cual será el valor de su ganancia; a) en pesos de hoy y b) en pesos futuros. a) valor de los almuerzos = 6000x500x12= 36’000.000 b) valor de los insumos = 6000x200 = 1’200.000 c) mano de obra = 250000 d) inversión inicial = 1’000.000 e) i= 3% E.M V p=
V p=
Vf (1+i )n 36' 000.000 =25' 249.675,686947∗¿ 12 (1+0.03)
f) R=1’200.000 x (1+0,05)= 1’260.000 y G= 5% g) n=11 V p=1' 200.000+
[
11
1' 260.000 (1+0,05) −1 (0,05−0,03) (1+0,03)11
V p=16 ' 041.889,177972∗¿ h) valor presente de la mano de obra
]
[
1−( 1+i )−n V p=R i V p=250000
[
] −12
1−(1+ 0,03) 0,03
]
V p=2' 488.500,99839∗¿ Para sacar el valor de la ganancia se resta los ingresos, los insumos, la mano de obra, y el valor de la inversión. Ganancias p=25 ' 249.675,686947−16 ' 041.889,177972−2' 488.500,99839−1' 000.000 Ganancias presente=5' 719.285,510585 Para halla el valor futuro reemplazamos en esta ecuación: V f =V p (1+i)n V f =5' 719.285,510585(1+0,03)12 V f =8' 154.333,5816981
26. resuelva el problema 24 suponiendo que el valor de los almuerzos sea pagadero al final de cada mes V p=3 ' 000.000
[
1−(1+0,03)−12 0,03
]
V p=29' 862.012∗¿
V p=
R [(1+G)n (1+i)−n−1 ] G−i
1' 200.000 [(1+ 0,05)12 (1+0,03)−12−1 ] V p= 0,05−0,03
'
V p=15 574.649,69∗¿
[
−12
1−(1+ 0,03) V p=250.000 0,03
]
'
V p=2 488.500,998∗¿
Para sacar el valor de la ganancia se resta los ingresos, los insumos, la mano de obra, y el valor de la inversión. '
'
'
'
Ganancias p=29 862.012−15 574.649,69−2 488.500,99839−1 000.000 Ganancias presente=10' 331.622 Para halla el valor futuro reemplazamos en esta ecuación: V f =V p (1+i)n V f =10' 331.622(1+0,03)12 V f =14' 730.422,55 28. una maquina produce una utilidad de un millón de pesos durante el primer año, sin embargo, la utilidad de la maquina disminuye $35000 cada año debido al desgaste. Calcular en pesos de hoy el total de las ganancias suponiendo que la maquina va a trabajar por 10 años. Utilice una tasa del 30% E.A R= 1’000.000 L= -35.000 n= 10 i= 30% E.A V p=R
[
] [
1−( 1+i )−n L 1− (1+i )−n n + − i i i ( 1+ i )n
[
−10
1−(1+0,3) V p=1 000.000 0,3 '
]
[
] −10
−35000 1−(1+ 0,3) + 0,3 0,3
−
10 (1+0,3)10
]
'
V p=2 815.487,73 30. una fábrica debe importar 80 toneladas mensuales de materia prima pagándola al principio de cada mes en dólares de Estados Unidos a razón US$200 la tonelada. Según la experiencia se observa que el peso se devalúa a razón del 2,5% mensual con relación al dólar. Si el cambio actual es de US $1= $400 hallar el valor total de las importaciones de la fábrica en el transcurso de un año a) en pesos de principio de año y b) en pesos de final del año. Suponga que la fábrica trabaja con una tasa del 3% efectivo mensual
R= (80)(200)= 1600 (400)= 6’400.000 G= 2,5% n= 12 i= 3%
6’560.0 6’400.0
0
3
1
6
a) R [(1+G)n (1+i)−n−1 ] V p= G−i V p=
6' 400.000 [(1+0,025)12 (1+ 0,03)−12−1 ] 0,025−0,03 '
V p=72 604.208,1 V f =72' 604.208,1(1+0,03)1 '
V f =74 782.334,34 b)
9
1
1
R [ (1+G)n −(1+i) n ] Vf= G−i 6' 400.000 [ (1+0,025)12−(1+0,03)12 ] Vf= 0,025−0,03 V f =103' 516.240,1 '
1
V f =103 516.240,1(1+0,03) V f =106' 621.727,3
Resuelva el problema suponiendo que el fabricante efectúa las importaciones mediante cartas de crédito las cuales deberá cancelar a los dos meses de su emisión. R= (80)(200)(400)(1,025)^2= 6’724.000 G= 2,5% n= 12 i =3% 6' 724.000 [ ( 1+0,025 )12 ( 1+ 0,03 )−12−1 ] V p= ( 1+0,03 )−1 0,025−0,03 V p=
6' 724.000 [ ( 1+0,025 )12 ( 1+ 0,03 )−12−1 ] ( 1+0,03 )−1 0,025−0,03 '
−1
V p=76 280.347,2 ( 1+0,03 ) '
V p=74 058.054,52
6' 724.000 [ ( 1+0,025 )12−( 1+0,03 )12 ] Vf= (1+ 0,03)−1 0,025−0,03 V f =108' 757.535,5(1+ 0,03)−1 '
V f =105 589.840,3
32) el banco ABC concede un préstamo para adquirir un local comercial por $5 millones el día primero de octubre de 1992, en las siguientes condiciones: plazo 12 años, pagos mensuales crecientes en un 1% y tasa del 36% nominal mensual vencido. El día primero de agosto de 1999 el deudor solicita al banco XYZ la refinanciación? y ¿Cuál sería el valor de la cuota que en esa misma fecha pagaría al banco XYZ en caso de refinanciación? G= 0,01 i=0,36 NMV Vp= 5’000.000 Para hallar el valor de la cuota del Banco ABC Rn=R 1(1+G)n−1 Vp
(1+G)n ( 1+i )−n−1 ] [ =R G−i
(1+0,01)144 −( 1+ 0,03 )−144 −1 ] [ 5 000.000=R '
0,01−0,03
Valor de la primera cuota ABC '
5 000.000
[
[ (1+0,01)144 ( 1+ 0,03 )−144−1 ] 0,01−0,03
]
=R
106.314,05=R 82
R83=106.315,05(1+0,01) R83=106.315,05 ( 2,261 ) R83=240.404,90
Para hallar el valor de la cuota para el Banco XYZ V p=R
[(1+G)n ( 1+i )−n−1 ] G−i
Vp
(1+0,01)62 ( 1+0,03 )−62−1 ] [ =240.404,90 0,01−0,03
V p=240.404,90(35,1752) V p=8 ' 456.290,438 Hallamos el valor de la primera cuota al banco XYZ (1+0,012)180 ( 1+0,025 )−180 −1 ] [ 8 456.290,438=R '
0,012−0,025
'
8 456.290,438 =R [(1+ 0,012)180 ( 1+0,025 )−180−1 ] 0,012−0,025 122.215,46=R
