Universidad Estatal de Milagro UNIDAD ACADEMICA CIENCIA DE LA INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: CALCULO DE VARIAS VARIABLES
DOCENTE: ING. FABIANI LEONARDO.
TEMA: DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE
INTEGRANTES: • • •
DARIO MEJIA TUCUNANGO. LEONARDO CUADRADO. RICARDO CHILIQUINGA CRESPO.
MILAGRO - ECUADOR
20!
Contenido INTRODUCCION.............................................................................................. 3 ANTECEDENTES.............................................................................................. 4 BREVES ACONTECIMIENTO DE LA DERIVADAS............................................4 BASE TEORICA................................................................................................6 DERIVADAS PARCIALES Y VECTOR GRADIENTE............................................6 DERIVADA DIRECCIONAL.......................................................................... 6 DEFINICIÓN DE DERIVADAS DIRECCIONALES...........................................8 VECTOR GRADIENTE....................................................................................8 PROPIEDADES DE LOS GRADIENTES.........................................................9 METODOLOGIA............................................................................................. 10 APLICACIÓN PROFESIONAL........................................................................... 12 CONCLUSIONES............................................................................................ 13 RECOMENDACIONES.....................................................................................13 BIBLIOGRAFIA...............................................................................................14
2
INTRODUCCION
El mundo en el que vivimos todo fenómeno, objeto o elemento está sujeto al estudio en tres dimensiones, por ello es importante entender apli!ar los !riterios ve!toriales de tal manera que lo"remos desarrollar las solu!iones
a las diferentes fun!iones que en
nuestro diario trabajo podamos en!ontrar#
La palabra derivada en nuestro entorno es al"o que !ausa miedo a mu!$as personas por el $e!$o que son !ál!ulos al"o !omplejos pero que !omo todas opera!iones tiene sus re"las manera de resolverlos, pero primero anali%ando el enun!iado para poder e&traer una idea que d' !on la resolu!ión de di!$o problema#
Es por esta ra%ón que !on mis !ompa(eros queremos !ompartir nuestro !ono!imiento en resolu!ión de ejer!i!io que !onten"a derivadas dire!!ional ve!tor "radiente e&pli!arlo de una manera fá!il de entender, !omo nos $emos !ara!teri%ados resolvi'ndolo paso a paso sin dejar es!apar ni un detalle#
Además este proe!to !ontiene !on!eptos, $istoria, apli!a!iones profesionales nuestras !on!lusiones de este tema, esperando que sea de su a"rado que lo tome !omo un instrumento )til, de esta manera nosotros nos vamos a sentir or"ulloso de $aber reali%ado este proe!to#
3
ANTECEDENTES BREVES ACONTECIMIENTO DE LA DERIVADAS.
En la anti"ua Gre!ia *si"lo III a#+ empe%aron a tener !ompli!a!iones !on la resolu!ión de al"unos problemas de !ál!ulo infinitesimal que, no en!ontrando un sistema de m'todo para la resolu!ión de aquellos problemas# Las derivadas fue unos de los problemas que tuvieron por más de -. si"los, a que !uando se to!aban !on problemas donde ten/an que resolver diferentes tipos de derivadas, no lo"raban poder desarrollarla, fue enton!es
que en el a(o 01-2 el
matemáti!o Fran!'s Au"ustin3 Louis +au!$ definió estos !lases de ejer!i!ios en nombre de 4erivadas esta a su ve% desarrollo t'!ni!as para poder resolver estos problemas#
El aporte de otros matemáti!os de la 'po!a !omo el 5atemáti!o Grie"o +onstantin +arat$'odor !on su trabajo 67eoria de fun!iones de variables !omplejas en, 089:;
4
El matemáti!o Fran!'s 5auri!e Fr'!$et !on su trabajo 64iferen!ial 7otal, en 08<2; El matemáti!o Fran!'s Rene G=teau& !on su trabajo 6derivada dire!!ional en, 08-9;
Fueron estos trabajos que le dio un repunte mu alto a las derivadas a que la "ente de
la 'po!a des!ono!/a su utili%a!ión resolu!ión# Las derivadas están !entradas en el pensamiento evolu!ionado de !ál!ulo diferen!ial, aspe!to que no es de a"rado para los estudiantes de in"enier/a por su alto "rado de !omplejidad que tienen su resolu!ión, es por eso que e&isten diferentes t'!ni!as para una maor !omprensión de la misma#
BASE TEORICA
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DERIVADAS PARCIALES Y VECTOR GRADIENTE
DERIVADA DIRECCIONAL
>upon"a que deseamos !al!ular la tasa de !ambio de dire!!ión de un ve!tor unitario arbitrario superfi!ie
!on e!ua!ión
está sobre
en la dire!!ión del ve!tor
pendiente de la re!ta tan"ente en la dire!!ión de
en la
# ?ara esto !onsideramos la *la "ráfi!a de
Enton!es el punto punto
en el punto
sea
# El plano verti!al que pasa por el
interse!a a la superfi!ie
a la !urva
#
6
#
en el punto
en la !urva
# La
es la tasa de !ambio de
>i
es otro punto sobre la !urva
sobre el plano ve!tor
de los ve!tores
@, enton!es el ve!tor
, por !onsi"uiente
?ara al")n es!alar
, si
# As/ pues,
la ra%ón de !ambio está dada por
son las proe!!iones
es paralelo al
al tomar el l/mite !unado
obtenemos la tasa de !ambio instantánea de
respe!to a la distan!ia en la dire!!ión de en la dire!!ión de
*!on
, la !ual se llama derivada dire!!ional de F
#
DEFINICIÓN DE DERIVADAS DIRECCIONALES.
S!"
#$" %#$&'($ !)&"*"+ , )!"$
,
#$ -!&/+ #$'"+'/ !$/$&!) *" !+'-"" '+!&&'/$"* ! !$
!$ *" '+!&&'($ !* -!&/+
!) "" /+
Observación: al !omparar la defini!ión de derivada par!ial !on la de derivada
dire!!ional, podemos notar que si enton!es
si, es de!ir, las derivadas par!iales son
derivadas dire!!ionales en la dire!!ión de los ve!tores !anóni!os#
VECTOR GRADIENTE
El "radiente se define !omo el !ampo ve!torial !uas fun!iones !oordenadas son las derivadas par!iales del !ampo es!alar, esto es
8
Esta defini!ión se basa en que el "radiente permite !al!ular fá!ilmente las derivadas dire!!ionales# 4efiniendo en primer lu"ar la derivada dire!!ional se")n un ve!tor
Cna forma equivalente de definir el "radiente es !omo el )ni!o ve!tor que, multipli!ado por el ve!tor unitario, da la derivada dire!!ional del !ampo es!alar
+on la defini!ión anterior, el "radiente está !ara!teri%ado de forma un/vo!a# El "radiente se e&presa alternativamente mediante el uso del operador nabla
PROPIEDADES DE LOS GRADIENTES
El "radiente verifi!a que Es orto"onal a las superfi!ies equies!alares, definidas por
D!te#
Apunta en la dire!!ión en que la derivada dire!!ional es má&ima# >u norma es i"ual a esta derivada dire!!ional má&ima# >e anula en los puntos esta!ionarios *má&imos, m/nimos puntos de silla# El !ampo formado por el "radiente en !ada punto es siempre ir rota!ional, esto es ,
9
METODOLOGIA ?ara resolver ejer!i!ios de derivadas dire!!ionales ve!tor "radiente, se lo reali%a de la si"uiente manera para ello tomaremos un ejemplo que pro!ederemos a resolver a !ontinua!ión donde lo e&pli!aremos paso a paso Ejemplo:
>ea F *&,
√ x2 + y 2
a En!ontrar el ve!tor Gradiente de F en el punto ? *:,32 b +al!ular la derivada dire!!ional de F en la dire!!ión del ve!tor del punto ? *:,32 en el punto Q *0,.#
Empe%amos por resolver lo que $a dentro de la ra/%, en este !aso quitamos la ra/% !uadrada !olo!amos el e&ponente # 2 2 + x y √ D *&- -0 F *&,
A !ontinua!ión determinamos las derivadas par!iales derivamos por medio de la re"la de la !adena simplifi!amos# F &D
∂ F ∂x
1
D
2
*&- -30- H *-& D
a simplifi!ado queda de la si"uiente manera x
D √ x 2 + y 2 Evaluamos la derivada par!ial $a!ia el punto P *:, 32, enton!es 4
F & * P D
4
√ 4 +(−3 ) D √ 25 D 2
2
4 5
10
4
F & * P D
F D
5
∂ F ∂y
y
1
D
2
-
- 30-
*&
−3 F * P D √ 42 +(−3 )2 D
H *- D
−
3
√ 25 D
√ x 2 + y 2
−3 5
−3 F * P D
5
Apli!amos el e!tor Gradiente
⟨ Fx ( P ) , Fy ( P )⟩
´ J F * P D
D
⟨
4 5
,−
3 5
⟩ D
4 5
i^
3
3
5
j^
R// (a)
A$ora pasamos a resolver el enun!iado *b ´ ? Q D Q *0,. K P *:,32
´ ? Q D ⟨−3, 3 ⟩
>e !al!ula la norma, ma"nitud o módulo
‖ P ´Q‖ D √ (−3 ) + 3 D √ 18 D √ 2∗9 D 2 √ 2 2
2
´ 4eterminamos el ve!tor unitario en dire!!ión del ve!tor ? Q
´ U
P ´ Q
⟨−3,3 ⟩ D ‖ P ´Q‖ D 3 √ 2
11
⟨ √
− 3
´ U
D
3
3
,
√ 2
2 3
⟩
>implifi!amos
⟨ √ √ ⟩ −
´ U
D
1
2
,
1
2
4erivadas dire!!ional de la fun!ión F en dire!!ión del ve!tor PQ
´ ´ Du F= J F *? H U
Reempla%amos
D
⟨
D
( ) ( √ ) ( ) ( √ )
4 5
,−
3 5
⟩ ⟨ √ √ ⟩ −1
H
4
−1
5
2
2
,
1
2
−3
1
5
2
Enton!es
−4 Du F D
5
√ 2 3
3 5
√ 2 D
−7 5
√ 2
Ra!ionali%amos
√ 2 5 √ 2 H √ 2 D −
7
−
Du F D
7 √ 2 10
−
7 √ 2 10
R del enun!iado *b
12
APLICACIÓN PROFESIONAL Las derivadas de fun!iones ve!toriales son apli!adas para los si"uientes !ampos que detallaremos a !ontinua!ión •
apli!a!ión en la termodinámi!a en el análisis de tensiones de fi"uras de tres dimensiones
•
En la medi!ión de las es!alas de impa!to del movimiento de las pla!as te!tóni!as es de!ir de los temblores#
•
Identifi!ar donde se lo!ali%a el epi!entro de los temblores#
•
5edir las orbitas "ravita!iones del planeta#
•
En la fuer%a de ro%amiento !uando se quiere saber la rapide%, lon"itud ar!o de las part/!ulas#
•
>e la apli!a tambi'n en la tensión de los materiales sometida a una !ar"a apli!ada#
CONCLUSIONES Este tipo de ejer!i!ios poseen una "ran fun!ionalidad a que se ve la destre%a del estudiante, solo es de anali%arlo resolverlo paso a paso para no equivo!arse, !laro está que si a tiene una t'!ni!a para resolver de una manera más rápida se la puede apli!ar ,sin ni un problema# Las derivadas dire!!ionales ve!tor "radiente se las utili%an en la vida diaria !omo a!abamos de leer anteriormente en la apli!a!iones profesionales es por esta ra%ón que $emos !on!luidos que es ne!esario aprenderlas porque siempre las vamos a utili%ar# Es de "ran ne!esidad para nosotros que somos estudiante de in"enier/a saberlas resolver, de la manera sen!illa que la $emos e&pli!ado será de fa!tible !omprensión para todos lo que $an le/do este proe!to#
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RECOMENDACIONES >e re!omienda a los estudiantes reali%ar los si"uientes pasos que detallaremos a !ontinua!ión para poder resolver de una manera anal/ti!a de fá!il !omprensión# 0# ?rimero una base sólida en tri"onometr/a -# >aber derivar por los diferentes m'todos 2# Leer bien el enun!iado m/nimo - ve!es antes de resolverlo# :# Resolver el ejer!i!io paso a paso, esto $ará que no !ometas errores al resolver el problema en !aso de que ten"as un error te darás !uenta rápidamente# 9# ?ara finali%ar una ve% !on!luido el ejer!i!io, volver a revisarlo para !omprobar que está bien resuelto#
BIBLIOGRAFIA +al!ulo de arias ariables, 7ras!endentes 7empranas 3 ames >teMart#pdf# ?á"# 1-:3 1:.
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