FISIKA TERAPAN
By
Getaran Paksa Teredam
Getaran disini mengalami gaya redaman yang menghambat gerakan, dan gaya paksa dari luar yang memaksa benda untuk terus bergetar.
Mobil ini sedang bergerak maju mundur!
Fp
Fp = Gaya Paksa = F max sin w’’t Fb
F = Gaya Aksi = m.a = m.d2x/dt2
m
Fr
Fr = Gaya Redaman = - b.dx/dt
F
Fb = Gaya Balik (Reaksi) = - k.x
Persamaan Gaya pada Getaran Paksa Teredam dapat dituliskan sebagai: m.d2x/dt2 = - k.x - b.dx/dt + Fmax sin w’’t d2x/dt2 = - k.x/m – b(dx/dt)/m + Fmax sin w’’t/m d2x/dt2 + b(dx/dt)/m + k.x/m = Fmax sin w’’t/m Ambil : k/m = w2 ; b/m = 2r ; Fmax /m = f max ( Ingat , f max disini adalah gaya per massa, bukan frekwensi! ) Maka persamaan menjadi :
d2x/dt2 + 2r(dx/dt) +
2x
= f max sin w’’t ……..(1)
Bentuk penyelesaian dari persamaan diferensial ini adalah : x = A sin (w’’.t - ) ….…(2) A dan w’’ = konstan Apabila persamaan (2) ini didiferensialkan ke t diperoleh :
dx/dt = w’’Acos (w’’.t - ) …(3) ; d2x/dt2 = -w’’2A sin (w’’.t - ) …(4) Masukkan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (1), maka diperoleh: 2 2
-w’’ A sin (w’’.t - ) + 2r w’’Acos (w’’.t - ) +
A sin (w’’.t - ) = f max sin w’’t
f max sin w’’t = f max sin {(w’’t -w’’2A sin (w’’.t - ) + 2r w’’Acos (w’’.t - ) + f max sin (w’’t -
’’
2-w 2)sin
2A
sin (w’’.t - ) =
cos
f max cos(w’’t -
sin
(w’’.t - )+ 2r w’’Acos (w’’.t - ) = f max sin (w’’t -
cos
f max cos(w’’t -
sin
Untuk semua nilai t yang memenuhi persamaan ini maka : harga koefisien dari tiap suku dikedua sisi haruslah sama, sehingga : koefisien fungsi sinus di sisi kiri sama dengan di sisi kanan, demikian pula koefisien fungsi cosinus di sisi kiri sama dengan koefisien di sisi 2-w’’2) = f kanan, max cos ......(5) dan 2r w’’A = f max sin
(6)
Jika persamaan (5) dan (6)
masing-masing
dikuadratkan kemudian
dijumlahkan, maka diperoleh:
’’
+ (2r w’’A)2= f max2 cos2
’’
+ (2r w’’ 2} = f max2
2-w 2)}2
{ 2
2-w 2)2
f max2 sin2 = f max2 (cos2
sin2
Jadi besar: A = f max /√
2-
w’’2)2 + (2rw’’
2
(7)
Dengan memasukkan harga A pada persamaan (7) ke persamaan (2) maka diperoleh: Persamaan Simpangan Getaran Paksa Teredam :
x = f max sin(w’’t (Ingat,
/√
’’
2-w 2)2
+ (2r w’’
2
f max adalah = Fmax /m = Gaya Paksa Maksimum per
massa benda yang bergetar!) Amplitudo getarannya adalah
A = f max /√ yang konstan.
’’
2-w 2)2
+ (2r w’’
2 , dan merupakan besaran
(8)
Besar kecepatan benda yang bergetar dapat ditentukan dengan menurunkan (mendiferensialkan) simpangan x ke waktu t, diperoleh : v =dx/dt=d{f max sin(w’’t- /√
’’
2-w 2)2
+(2r w’’ 2 }/dt = w’’ f max cos(w’’t -
/√
’’
2-w 2)2
+ (2r w’’
Jadi kecepatan getaran pada saat t :
v = w’’ f max cos(w’’t - /√
’’
2-w 2)2
+ (2r w’’
2
(8)
Untuk menentukan besar sudut q dapat dilakukan dengan cara membagi persamaan (6) dengan persamaan (5) : (2rw’’A = f max sin )
2-
w’’2) = f max cos
diperoleh : sin
cos
2rw’’A
’’
2-w 2)
Maka:
tg
2r w’’
’’ ……….......(9)
2-w 2)
2
Resonansi Amplitudo: Persamaan amplitudo A menunjukkan bahwa getaran paksa tergantung kepada harga :
2
-
’’2),
yakni tergantung kepada besar harga frekwensi sudut alami ’’
dan frekwensi sudut paksa
dari getaran. Jika beda harga antara keduanya
semakin kecil maka harga amplitudo semakin besar (Keterangan : f = frekwensi getaran alami, sedang w’’
f’’,dimana
=
f , dimana
f’’= frekwensi getaran
paksa!).Ada frekwensi getaran paksa tertentu yang membuat besar amplitudo getaran menjadi maksimum, yang dinamakan Frekwensi Resonansi, dan fenomena dimana amplitudo menjadi maksimum ini diberi nama : Resonansi Amplitudo. Amplitudo getaran akan menjadi maksimum jika harga denominator
dari √
2-
w’’2)2 + (2rw’’ 2 adalah minimum. Hal ini terjadi jika koefisien dari
diferensial (turunan) pertamanya 0, jadi :
d{
2-
2
2-
2)2
’’
+ (2r
2)(-2
’’
’’
’’
2
}/d
+ 4r 2(2
Dengan demikian :
’’
’’ ’’
√
0 0 2-2r2
2-
’’2
=2r2
Karena frekwensi getaran paksa adalah : f ’’ w’’ 2
(Ingat, w’’ = 2p f '')
maka : Besar Frekwensi Resonansi (yang membuat amplitudo getaran menjadi maksimum) : f ’’
√
2-2r 2
2
….……………(10)
Jika redamannya kecil ( r kecil), maka frekwensi resonansi f’’ sangat mendekati frekwensi alami f = w/2p , sehingga jika r=0 maka w’’= w Efek redaman pada respons terhadap resonansi : Ketika kondisi
amplitudo adalah maksimum, 2r √(r 2+w’’2)
f maks
’’
√
2-2r 2
, maka Amaks = f maks /
= Fmax/m
Ini menunjukkan bahwa amplitudo maksimum tergantung kepada redaman ”r”, semakin kecil redaman, semakin besar harga amplitudo maksimumnya.
Efek Redaman pada Ketajaman Resonansi : Amplitudo getaran paksa adalah maksimum untuk suatu nilai tertentu dari frekwensi paksa. Untuk redaman kecil, nilai frekwensi paksa nyaris sama dengan frekwensi alami. Dibawah kondisi ini maka terjadi resonansi. Telah diketahui bahwa amplitudo dari getaran paksa adalah : A = f max /√
’’
2- w 2)2 +
(2r w’’
2
dimana adalah frekwensi sudut
alami, frekwensi sudut paksa dan r adalah konstanta redaman. Ini menunjukkan bahwa amplitudo getaran paksa tergantung kepada besar relatif dari frekwensi paksa w’’ dan frekwensi alami w, serta konstanta redaman ”r”.
Di bawah ini digambarkan hubungan antara amplitudo getaran paksa A dengan perbandingan w/ w” untuk sejumlah redaman yang bervariasi :
(a)
A
r=0
(b) r = kecil
(c) (d ) 0
0,5
r = medium r = besar 1
1,5
2
Keterangan : Untuk frekwensi sudut paksa w’’sangat kecil, amplitudo adalah nyaris sama untuk semua harga redaman. Ketika w’’ bertambah maka amplitudo juga bertambah dan menjadi maksimum pada harga w’’ tertentu yang mana tergantung pada redaman. Kurva (a) menunjukkan amplitudo ketika r = 0, yakni ketika nggak ada redaman. Dalam keadaan ini amplitudo menjadi tak terhingga pada saat w ’’ = w . Kurva (b), (c), dan (d) menunjukkan bahwa pada saat r bertambah maka puncak kurva bergerak kearah kiri yakni harga w’’ untuk mana amplitudo maksimumnya berkurang. Lebih lanjut, ketika
redaman ”r” bertambah, puncak bergerak kearah bawah, yakni amplitudo maksimum dari getaran paksa semakin menurun. Pada saat w’’ bertambah,
amplitudo cenderung kearah nol. Dapat dilihat bahwa kurva untuk harga ”r” yang kecil akan jatuh dengan cepat dibanding ”r” yang lebih besar. Ini berarti bahwa untuk permulaan yang sama dari kondisi resonansi, amplitudo getaran akan jatuh dengan cepat ketika redaman adalah kecil, dan jatuh pelan-pelan ketika redamannya besar. Dapat disimpulkan bahwa : semakin kecil redaman, maka resonansi semakin tajam.
