2/3/2016
KL3201,, Kelas KL3201 Kelas 02 Semester II 2015/2016
Pers Persam amaa aan n gera gerak k geta getara ran n paks paksa a me meru rupa paka kan n ersa ersama maan an dife difere rens nsia iall nonnon-ho homo mo en: en:
&& + cu& + ku = F ( t ) mu
Solu Solusi si dari dari pers persam amaa aan n di atas atas be beru rupa pa gabu gabung ngan an antara antara solusi solusi pers. pers. difere diferensi nsial al homoge homogen n (getar (getaran an bebas) dengan solusi particular solusi particular..
u ( t ) = uh ( t ) + u p ( t )
2
1
2/3/2016
Beban Beban konsta konstan: n: F (t ) = F = F
=
&&
Solusi particular Solusi particular:: u p =
F k
Resp Respon onss tak tak tere tereda dam m akib akibat at be beba ban n kons konsta tan: n: F u = cos ω t + s n ω t + k Untu Untuk k kond kondis isii awal awal diam diam:: F u = (1 − cos ω t ) k 3
4 h c n 3 i , n a h a d 2 n i p r e P
0
0
2
4 6 Waktu, detik
8
10 F =2 F =2 lb k = 1 lb/in. T = T = 4 detik
4
2
2/3/2016
Simpangan maksimum untuk kasus ini mencapai 2 kali sim an an statik. Respons dinamik mencerminkan efek tumbukan (impact ) , di mana gaya tiba-tiba bekerja pada struktur saat t = 0.
5
Persamaan gerak: mu && + cu& + ku
Solusi particular:
u p =
= F
k
Respons teredam akibat beban konstan: F − ζω t u=e ( A cos ω D t + B sin ω D t ) + Untuk kondisi awal diam:
⎛ ⎞⎤ F ⎡ ζ −ζω t u = ⎢1 − e sin ω Dt ⎟ ⎥ ⎜ cos ω Dt + 2 ⎜ ⎟⎥ k ⎢ 1 − ζ ⎝ ⎠⎦ ⎣
6
3
2/3/2016
2
ζ = 2% ζ = 5%
1.8
=
1.6
ζ = 20% 1.4 1.2 t s
x / x
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t/T 7
F (t ) [kN]
Suatu sistem SDOF tanpa redaman diketahui memiliki massa 150 kg dan kekakuan 20 kN/m. Sistem tersebut dikenai beban konstan 5 kN selama 0.5 detik seperti tergambar. Sebelum dikenai beban, struktur era a a am on s am.
5
0.5
t [detik]
Tentukan simpangan struktur pada saat t = 0.2 detik dan pada saat t = 0.7 detik. 8
4
2/3/2016
ω =
Frekuensi alami:
Simpangan statik: ust =
k m F
20000
=
=
150 5
= 11.55 rad/detik
= 0.25 m
Saat 0 ≤ t ≤ 0.5 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan: u = 0.25 (1 − cos (11.55t ) )
Saat t = 0.2 detik: u ( 0.2 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.2 ) ) = 0.418 m
(
)
9
Pada t ≥ 0.5 detik, struktur mengalami getaran bebas dengan kondisi awal saat t = 0.5: u = u ( 0.5 ) cos (ω ( t − 0.5 ) ) +
u& ( 0.5 )
ω
(ω ( t − 0.5 ) )
Nilai perpindahan dan kecepatan saat t = 0.5 detik diperoleh dari respons sebelumnya:
(
)
u ( 0.5 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.5 ) ) = 0.0318 m
(
)
u& ( 0.5 ) = ( 0.25 )(11.55 ) s in ( (1 1.55 )( 0.5 ) ) = −1.408 m/detik
Saat t = 0.7 detik: u 0.7 = 0.0318cos 11.85 0.7 − 0.5 ( ) )( )) (( ⎛ −1.408 ⎞ +⎜ ⎟ sin ( (11.85 )( 0.7 − 0.5 ) ) ⎝ 11.85 ⎠ = −0.1116 m 10
5
2/3/2016
0.5
0.4
] m [
.
n 0.2 a h a d n 0.1 i p r e P 0
-0.1
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Waktu [detik] 11
0.5
ζ = 5% ζ = 0
0.4
] m [
.
n 0.2 a h a d n 0.1 i p r e P 0
-0.1
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Waktu [detik] 12
6
2/3/2016
F ( t ) = F
t
Beban:
Respons tak teredam akibat beban konstan:
t r
u = A cos ωt + B sin ω t +
u=
F ⎛ t
⎜
k ⎝ tr
F t k t r
−
1
ω t r
⎞
sin ω t ⎟
⎠ 13
2
h c n i , n a h a d n i p r e
1.5
1
.
0
0
2
4 6 Waktu, detik
8
F =2 lb t r = 10 detik 10 k = 1 lb/in. T = 4 detik 14
7
2/3/2016
Gambarkan respons dari struktur tanpa redaman den an arameter dinamik berikut: ◦
◦
koefisien kekakuan k = 1 lb/in. perioda alami T = 4 detik
akibat beban yang meningkat linier dari 0 hingga 2 lb selama 10 detik, kemudian bernilai konstan sebesar 2 lb. Kondisi awal diam. F t lb
2
10
ω =
Frekuensi alami:
Simpangan statik: ust =
2π
T
F k
=
2π 4
t [detik] 15
= 1.57 rad/detik
= 2 in.
Saat 0 ≤ t ≤ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban meningkat linier: ⎛ t
u = 2⎜
⎝ 10
−
1
(1.57 )(10 )
⎞
sin (1.57t ) ⎟ = 0.2t − 0.0636sin (1.57 t )
⎠
u (10 ) = ( 0.2 )(10 ) − 0.0636 sin (15.7 ) = 2 in. u& (10 ) = 0.2 − 0.1cos (15.7 ) = 0.3 in./detik
16
8
2/3/2016
Untuk t ≥ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan, dengan kondisi awal dari persamaan sebelumnya: u = A cos (1.57t ) + B sin (1.57t ) + 2 u (10 ) = 2 ⇒ u& (10 ) = 0.3 ⇒
A=0 B=−
0.3 1.57
= −0.191
u = −0.191sin 1.57t + 2
17
2.5 2 h c n i , 1.5 n a h a d n 1 i p r e P
0.5 0
0
5
10 Waktu, detik
15
20 18
9
2/3/2016
Beban: F (t ) = F sin Ωt u = A cos ωt + B sin ω t +
F
1
k 1 − β 2
sin Ωt
di mana: β = Ω
ω
u=
F
1
k 1 − β 2
( sin Ωt − β sin ω t ) 19
F (t )
T = 2π /Ω
F (t ) = F sin Ωt Ω/ω = 0.2 x 0 = 0 v0 = ω F /k.
20
10
2/3/2016
Respons terdiri atas 2 komponen getaran yang frekuensin a berbeda: ◦
◦
Getaran transient , dengan frekuensi ω (frekuensi alami struktur). Getaran steady-state, dengan frekuensi Ω (frekuensi beban).
Getaran steady-state disebabkan oleh beban , tergantung pada kondisi awal. Getaran transient tetap ada meskipun kondisi awal struktur diam.
21
Suatu struktur SDOF tanpa redaman diketahui memiliki massa 1 0 k dan kekakuan 20 kN m. Dalam kondisi awal diam, struktur tersebut dikenai beban harmonik F = 5 sin 6t kN. Tentukan respons perpindahan struktur tersebut dan gambarkan riwayat waktunya.
22
11
2/3/2016
k
20000
Frekuensi alami:
ω =
Frekuensi beban:
Ω = 6 rad/detik
Rasio frekuensi:
β =
m
=
ω
=
150
11.55
= 11.55 rad/detik
= 0.52
Respons tak teredam akibat beban harmonik, kondisi awal diam: u=
F
=
5
1
−
2
( sin Ωt − β sin ω t )
1
20 1 − ( 0.52)
2
( sin 6t − 0.52sin11.55t )
= 0.34sin 6t − 0.18sin11.55t 23
0.6
0.4
0.2
m 0 , n a g n a p m i -0.2 S
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Waktu, detik
3
3.5
4
4.5
5
24
12
2/3/2016
0.6 steady state transient total
0.4
0.2
m 0 , n a g n a p m i -0.2 S
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Waktu, detik
3
3.5
4
4.5
5
25
Beban: F (t ) = F sin ω t 0
u = u0 cos ωt +
v0
ω
sin ω t +
0
F 2mω
t cos ω t
Amplitudo respons meningkat dengan bertambahnya waktu getaran. Kondisi ini disebut resonansi.
26
13
2/3/2016
F 2mω
–F mω
27
Solusi umum: u=e
−ζω t
A cos ω t + B sin ω t + C cos Ωt + D sin Ωt transient
di mana C = −
D =
F
steady-state
2ζβ 2
k (1 − β 2 ) + ( 2ζβ ) 2
F
1 − β
2
2
k (1 − β 2 ) + ( 2ζβ ) 2
28
14
2/3/2016
Respons steady-state untuk kasus ini dapat dituliskan dalam bentuk: u=
F
1
k
2
(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2
di mana −1
2
( sin Ωt − φ )
⎛ 2ζβ ⎞ 2 ⎝ 1 − β ⎠
29
Terdapat 3 komponen pada respons steady-state akibat beban harmonik ini: ◦
◦
◦
simpangan statik, ust = F /k suatu faktor yang merupakan fungsi dari ζ dan β komponen sinusoidal yang bernilai antara nilai –1 dan 1
Faktor tersebut dinamakan dynamic amplification factor: 1 D = 2 2 (1 − β 2 ) + ( 2ζβ ) 30
15
2/3/2016
31
Jika hanya respons steady-state yang di erhitun kan: umax =
F
1
k
2
(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2
2
= ust D
32
16
2/3/2016
Ulangi problem pada Contoh 3 jika struktur dian a memiliki rasio redaman %. Tentukan simpangan maksimum untuk masingmasing getaran transient, steady-state, dan total.
33
Parameter dinamik yang telah dihitung pada Contoh 3: ω = 11.55 rad/detik, Ω = 6 rad/detik, β = 0.52 ust =
k
= 0.25 m
re uens g e aran ere am: ω D = ω −
2
=
.
ra
e
Respons akibat beban harmonik: u=e
F
−ζω t
( A cos ω D t + B sin ω D t ) + C cos Ωt + D sin Ω t
Kondisi awal diam:
u0 = 0 → A = −C v0 = 0 → −ζω A + ω D B + ΩD = 0 B =
ζω A − ΩD ω D
34
17
2/3/2016
0.5 transient steady state total
0.4
0.3
0.2
0.1
utr-max = 0.16 m uss-max = 0.34 m umax = 0.42 m
m , n a h a 0 d n i p r e P -0.1
-0.2
-0.3
- .
-0.5
0
1
2
3
4
5 Waktu, detik
6
7
8
9
10
Setelah 3 detik:
uss-max = 0.34 m umax = 0.36 m
35
Respons maksimum steady-state: umax =
F
1
k
(1 − β ) + ( 2ζβ )
= ( 0.25)
2
(
2
1 − 0.52
2
2
2
= ust D
) + ( 2 ( 0.05)( 0.52) )
2
= ( 0.25)(1.37 ) = 0.34 m
36
18
2/3/2016
Impuls satuan (fungsi Dirac delta): ⎧ 0 untuk t ≠ τ ⎩∞ untuk t = τ
δ ( t − τ ) = ⎨ ∞
∫ δ (t ) dt = 1
−∞ ∞
∫ f ( t ) δ ( t − τ ) dt = f (τ )
−∞
37
Solusi persamaan gerak:
&&
&
=
adalah sama dengan respons getaran bebas akibat simpangan awal nol dan kecepatan awal 1/m. u (t ) =
1
mω D
e −ζω sin ω D t t
= h(t )
Respons ini disebut fungsi respons impuls (impulse response function).
38
19
2/3/2016
Jika impuls bekerja pada waktu t = τ : = u (t ) =
− 1
mω D
e
−ζω ( t −τ )
sin ⎡⎣ω D ( t − τ ) ⎤⎦
t ≥ τ
39
Memanfaatkan hasil respons akibat beban impuls satuan res ons akibat beban F t sembaran dengan kondisi awal diam dapat dituliskan sebagai berikut: u (t ) =
1
mω D
t
∫
F (τ ) e
− ζω ( t −τ )
sin ⎡⎣ω D ( t − τ ) ⎤⎦dτ
0
Bentuk di atas disebut juga “integral Duhamel”.
40
20
2/3/2016
Integral Duhamel yang diturunkan dari fungsi res ons im uls men ambil asumsi kondisi awal diam. Untuk kondisi awal yang lebih umum dapat ditambahkan respons getaran bebas pada integral Duhamel tersebut: t
u t =
mω D
F τ e
−
−τ
sin ⎣ω D t − τ ⎦dτ
0
⎛ ⎞ v + ζω u0 + e−ζω t ⎜ u0 cos ω Dt + 0 sin ω Dt ⎟ ω D ⎝ ⎠
41
Model mekanik sistem dinamik yang dikenai erakan tanah misaln a akibat em a : u
k
m
u&&g = percepatan tanah
u&&g
c
&& u , u&, u
Free-bod dia ram: f S = ku f D = cu&
&& + u&&g ) f I = m ( u 42
21
2/3/2016
Persamaan gerak: atau
&& + u&&g ) + cu& + ku = 0 m (u
&& + cu& + ku = −mu&&g mu
Gaya efektif akibat percepatan tanah: Feff = − mu&&g
43
k
Jika perpindahan u dianggap absolut:
m c ug
Free-body diagram:
f S = k ( u − u g )
D
Persamaan gerak:
u
=
& − &g
&& f I = mu
&& + cu& + ku = cu& g + ku g mu 44
22
2/3/2016
Gaya yang ditransmisikan ke pondasi adalah gaya e as dan redaman: fT = f S + f D = ku + cu&
Untuk kondisi steady-state akibat beban harmonik: T
=
F k
D
sn
t − φ + c cos
t − φ
45
Definisi: rasio antara gaya maksimum yang ditransmisikan ke ondasi terhada am litudo beban harmonik. Tr =
f T max F
= D 1 + ( 2ζβ )
2
⎛ ⎞ ⎟ =⎜ 2 2 ⎜ (1 − β 2 ) + ( 2ζβ ) ⎟ ⎝ ⎠ 2
1
2
46
23
2/3/2016
Sebuah mesin dengan massa 1750 kg terletak di tengah bentang balok sederhana seperti tergambar. Sebuah piston yang bergerak bolak-balik di dalam mesin tersebut menghasilkan gaya vertikal harmonik dengan amplitudo 30 kN dan frekuensi 60 rad/detik. Abaikan massa balok, anggap rasio redaman sebesar 10%, dan tinjau hanya respons steady-state. Tentukan am litudo sim an an an dialami mesin tersebut, serta besarnya gaya yang ditransmisikan ke tumpuan.
E = 200 GPa I = 50 × 106 mm4 3m 47
Kekakuan, frekuensi alami, dan rasio frekuensi: −6 6 48 EI 48 ( 200 ×1 0 )( 50 ×1 0 ) k = = = 17778 kN/m 3 3
( 3)
L
ω=
m
=
17778 .
= 100.8 rad/detik, β =
60
= 0.595
.
Amplitudo simpangan: umax
k
⎛ F 1 ⎛ 30 ⎞ ⎜ = D=⎜ ⎜ ⎟ 2 2 k 2 ⎝ 17778 ⎠ ⎜ − 1 0.595 ( ) + ( ( 2 )( 0.1) ( 0.595 ) ) ⎜ ⎝ = . = . . m = . mm
Gaya di tumpuan:
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
2
T r = 1 + ( ( 2 )( 0.1)( 0.595) ) (1.523) = 1.534 f T max = ( 30)(1.534 ) = 46.02 kN 48
24
2/3/2016
Akibat gerakan tanah harmonik: u g = U sin Ωt ersamaan erak men adi: mu&& + cu& + ku = cU Ω cos Ωt + kU sin Ωt 2
= Uk 1 + ( 2ζβ ) sin ( Ωt + α )
Respons steady-state: 2
u = U 1 + ( 2ζβ ) D sin ( Ωt + α − φ )
Transmisibilitas:
2 ⎛ ⎞ 1 + ( 2ζβ ) umax ⎜ ⎟ = T r = 2 2 2 ⎜ (1 − β ) + ( 2ζβ ) ⎟ U ⎝ ⎠
1
2
49
25
