TALLER DE PROGRAMACIÓN ENTERA, ENTERA - MIXTA, MIXTA, BINARIA Y PROGRAMACIÓN NO LINEAL EJERCICIO 1 Considere el siguiente problema de programación entera 0-1: Maximizar 50 X 1 1 + 45 X 2 + 48 X 3 3
Sujeto a 19 X 1+ 27 X 2+ 34 X 3 3 ≤ 80 22 X 1 + 13 X 2 2 + 12 X 3 ≤ 40
1, X 2, X 3 deben X 1, deben ser ser 0 o 1
Ahora se reformula este problema con restricciones adicionales, de manera m anera que no más de dos de las tres ariables puedan tomar un alor igual a 1 en la solución! 2 =1 ! Además, aseg"rese de que si X 1=1 , entonces, tambi#n X 2 $espu#s, resuela el nueo problema con %&cel!
S'()C*+: 1A
%./%SA a&imiar 2ariables 2alores 7ene8cios
&1
&3 1
unción 'bjeti 56
&4 0
1
90
9
6
15 33 33
3; 14
4 13
/estriccione s
1 + 45 X 2 + 48 X 3 3 Maximizar Maximizar 50 X 1
Sujeto a 19 X 1+ 27 X 2+ 34 X 3 3 ≤ 80 22 X 1 + 13 X 2 2 + 12 X 3 ≤ 40 1 + X 2 + X 3 ≤ 2 X 1
1, X 2, X 3 deben X 1, deben ser ser 0 o 1
< <
60 0
94 4
17
%./%SA a&imiar 2ariables 2alores 7ene8cios
&1
&3
unción 'bjetio 56
&4
1
0
1
90
9
6
15 33 33 1
3; 14 1
4 13 1
/estricci cciones
< < <
60 0 3
94 4 3
Maximizar 50 X 1 1 + 45 X 2 + 48 X 3 3
Sujeto a 19 X 1+ 27 X 2+ 34 X 3 3 ≤ 80 22 X 1 + 13 X 2 2 + 12 X 3 ≤ 40
1 + X 2 + X 3 ≤ 2 X 1 1 = X 2 X 1
1, X 2, X 3 deben X 1, deben ser ser 0 o 1
1C
%./%SA a&imiar 2ariables 2alores 7ene8cios
&1
&3 1
unción 'bjetio 59
&4 1
0
90
9
6
15 33 33 1 1
3; 14 1 -1
4 13 1
/estriccio n es
< < < >
60 0 3 0
= 49 3 0
EJERCICIO 2 %liabeth 7aile? es la propietaria ? gerente general de .rincess 7rides, que ofrece sericios de planeación de bodas en el suroeste de (ouisiana! )tilia
publicidad en radio para promoer su negocio! %stán disponibles dos tipos de anuncios: aquellos que se difunden durante las horas de ma?or audiencia ? los que se transmiten en otras horas! Cada anuncio durante el tiempo de audiencia má&ima cuesta @450 ? llega a 6,300 personas mientras que los anuncios en las horas de menor audiencia cuestan @30 cada uno ? llegan a 9,100 personas! 7aile? ha presupuestado @1,600 semanal para publicidad! 7asada en comentarios de sus clientes, desea tener por lo menos dos anuncios en horas de má&ima audiencia ? no más de = en horas no pico! aB ormule el problema como uno de programación lineal! bB %ncuentre una buena solución u óptima de enteros del inciso aB redondeando o suponiendo la respuesta! cB /esuela el problema como un problema de programación entera utiliando computadora! S'()C*+: '$%(' A%D*C': A%D*C': VARIABLES: E> F de Spot .ublicitario en hora pico G> F $% Spot .ublicitario en horas regulares FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar=8.200 X +5.100 Y
RESTRICCIONES: 390 X + 240 Y
≤ 1.800
X ≥ 2 Y ≤6
SOLUCIÓN: aB ormule el problema como uno de programación lineal! 3
%./%SA ./*C%SS 7/*$%S a&imiar de Audiencia por publicidad de radio 2ariables 2alores 7ene8cios
&1
&3 3
6300
,39 9100
unción 'bjetio 460;9
/estriccio n es 450 1
30 1
< H <
1600 3 =
1600 3 ,39
ANÁLISIS: edi edian ante te la solu soluci ción ón se co cons nsigu igue e una una audi audien enci cia a de 46!0 46!0;9 ;9 indi indii idu duos os medi me dian ante te 3 spot spot publ public icit itar ario ioss se sema mana nale less en hora horass pico pico ? ,39 ,39 spot spot publ public icita itari rios os en horas horas no pico pico habi habi#n #ndo dose se co cons nsum umid ido o la tota totalid lidad ad del del pres presup upu ues esto to de pub public licida idad I@1!6 @1!600 00 sem eman anal ales esBB ? cumpl umplie ien ndo las las restricciones o recomendaciones de publicidad para horas pico ? no pico! Sin embargo, el resultado de los spot publicitarios no resulta práctico por que no se puede pasar o emitir un cuarto de spot publicitario! bB %ncuentre una buena solución u óptima de enteros del inciso aB redondeando o suponiendo la respuesta! 3
%./%SA ./*C%SS 7/*$%S a&imiar de Audiencia por publicidad de radio uncion 'bjetio 2ariables &1 &3 4;500 2alores 1 7ene8cios 6300 9100 /estriccio n es 450 1
30 1
< H <
1600 3 =
1600 1
ANÁLISIS: edi edian ante te la solu soluci ción ón se co cons nsigu igue e una una audi audien enci cia a de 4=!6 4=!600 00 indi indii idu duos os mediante 3 spot publicitarios semanales en horas pico ? spot publicitarios en horas no pico habi#ndose no consumido la totalidad totalidad del presupuesto presupuesto de pub public licidad idad I@1! @1!;0 ;0 sem eman anal ales esBB ? cump cumpli lien endo do las las res estr tric icccione ioness o recomendaciones de publicidad para horas pico ? no pico! Sin embargo, el resultado de los spot publicitarios no resulta práctico porque no en ista del literal a se ha tomado de una apro&imación entera que estarJa dentro del conj co njun unto to solu soluci ción ón pero pero que que no nos nos esta estarJa rJa prop propor orci cion onad ado o la má má&im &ima a audiencia ? no se cB /esuela el problema como un problema de programación entera utiliando computadora!
3
%./%SA ./*C%SS 7/*$%S a&imiar de Audiencia por publicidad de radio unción 'bjetio 2ariables &1 &3 4=600 2alores 3 7ene8cios 6300 9100 /estriccio n es 450 1
30
ANÁLISIS:
1
< H <
1600 3 =
1;0 3
edi edian ante te la solu soluci ción ón se co cons nsigu igue e una una audi audien enci cia a de 4;!5 4;!500 00 indi indii idu duos os mediante spot publicitarios semanales en horas pico ? 1 spot publicitarios en horas no pico habi#ndose consumido la totalidad del presupuesto de pub public licidad idad I@1! @1!600 600 sem eman anal ales esBB ? cump cumpli lien endo do las las res estr tric icccione ioness o recomendaciones de publicidad para horas pico ? no pico! AquJ se aplicó como restricción que los alores de la ariable debe ser entera porque la ariable debe tomar alores enteros! EJERCICIO 3 )n grupo de estudiantes uniersitarios planea un iaje de campamento durante las siguientes acaciones! %l grupo debe caminar arias millas por el bosque para llegar al sitio del campamento además, todo lo que se requiere en este iaje debe ser empacado en una mochila ? transportado al sitio! )na estudiante, ina ShaKl, identi8có ocho artJculos que le gustarJa llea llearr en el iaje, iaje, pero pero el peso peso co comb mbina inado do es demas demasia iado do gran grande de para para llearlos todos! $ecidió alorar la utilidad de cada artJculo en una escala de 1 a 100, con 100 como el más "til! (os pesos de los artJculos en libras ? sus alores de utilidad se dan a continuación! /econociendo que la caminata al sitio del campamento es larga, se estableció un lJmite de 49 libras como el peso total má&imo de los artJculos que se pueden transportar! a! ormule ormule este este problema problema como un un problema problema de programac programación ión 0-1 para para ma&imiar la utilidad total de los artJculos transportados! /esuela este problema de mochila con una computadora!
2ariables 2alores 2alores .ropios
E1
E3
%S)$*A%S )*2%/S*A/*'S AE**LA/ E4 E E9 E= E; E6
1
1
0
1
1
1
1
0
unción 'bjetio
60
30
90
99
90
;9
40
;0
410
6
1
;
=
4
13
=
1
/estricciones <
49
49
b! Supong Suponga a que el artJculo artJculo n"mero n"mero 4 es un paquete paquete e&tra e&tra de baterJas baterJas,, que se podrJan utiliar con arios de los otros artJculos! ina decidió que "nicamente lleará el artJculo n"mero 9, un reproductor de C$, si tambi#n llea el n"mero 4! .or otro lado, si llea el artJculo n"mero 4, quiá llee o no el n"mero 9! odi8que el problema para reMejar estos cambios ? resuela el nueo problema!
2ariables
E1
2alores 2alores .ropios
E3
%S)$*A%S )*2%/S*A/*'S AE**LA/ E4 E E9 E= E; E6
1
0
1
0
1
1
1
0
unción 'bjetio
60
30
90
99
90
;9
40
;0
369
6
1
;
=
4
13
9
1
/estricciones <
49 0
49
EJERCICIO 4 $urante la estación más ocupada del aNo, Oreen-Oro ertilier elabora dos tipos de fertiliantes! %l tipo estándar IEB es tan solo fertiliante ? el otro tipo IGB es una combinación de des?erbador ? fertiliante especial! Se desarrolló el siguiente modelo para determinar cuánto de cada tipo se deberJa elaborar para ma&imiar la utilidad sujeta a una restricción de mano de obra: 2
Maximizar Maximizar utilidad utilidad =12 X −0.04 X
+ 15
Y − 0.06 Y
2
Sujeto a: 2 X + 4 Y
≤ 160 horas
X , Y ≥ 0
%ncuentre la solución óptima de este problema!
2ariables 2alores #rminos #rminos
/estricciones
O/%%- O/' %/*(*L%/ AE**LA/ E1 E3 =3,;4 E =3,;3; 4 13
=,6 EP 454,;1 -0,0
G
GP ;,96= 6,=4= 6 1= -0,0=
unción 'bjetio ;30,1
0
3 1
1
< H
1=0 0
1=0 ;1,4=
EJERCICIO .at cCormacQ, asesor 8nanciero de *nestors / )s, está ealuando dos acciones de cierta industria! $esea minimiar la ariación de una cartera compuesta por estas dos acciones, pero tambi#n quiere obtener un rendimiento esperado de al menos 5R! $espu#s de obtener datos históricos sobre la ariación ? los l os rendimientos, desarrolla el siguiente programa no lineal: inimiar la ariación de la cartera > 0!1=E3 0!3EG 0!05G3T Sujeta a X + Y =1 0.11 X + 0.08 Y
todos los fondos deben ser inertidos ≥ 0.09
rendimientos sobre la inersión x , y ≥ 0
$onde: E > proporción de dinero inertido en la acción 1 G > proporción de dinero inertido en la acción 3 /esuela el problema con %&cel ? determine cuánto inertir en cada una de las dos acciones! UCuál es el rendimiento de esta carteraV UCuál es la ariación de esta carteraV
2ariables 2alores #rminos #rminos
E1
.A CC'/ACW AE**LA/ E3 unción 'bjetio 0,1=
1 1 E3 1 0,1=
0 1 EG 0 0,3
G3 0 0,05
1 0 0,,11 1
1 0,06 1
> H H
/estriccio nes
1 0,05 0
1 0,11 1
