Geometría Vectorial A continuación se darán los conceptos y resultados mas utilizados en Geometría Vectorial. Estan dados , en general ,para el trabajo en 3 , pero note que todo es similar en el espacio 2
Longitud de un vector Sea u a, b, c la longitud del vector u sera denotada por u
a2 b2 c2
Vector unitario
Sea u un vector, se define el vector unitario en la direccion de u,al vector u . Note que este u
vector tiene longitud 1 .
Producto interior Sea u a 1 , b 1 , c 1 y v a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto interior entre u y v por u v a1 a 2 b 1 b 2 c1 c2
Proyección Ortogonal Sean u, v vectores. La proyección ortogonal de u en v es el vector
v proy v u u v2 v
Ángulo entre vectores Sea u y v vectores, sera denotado por u, v Queda determinado pues sabemos que cos u v . u v
(Como cos2 cos , para que no haya ambigüedad se considera como el menor ángulo formado por los vectores u y v)
Paralelismo y perpendicularidad entre vectores u v 0 / u v uv u v 0
Producto vectorial Sea u a 1 , b 1 , c 1 y v a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto vectorial entre u y v por u v b 1 c 2 c 1 b 2 , a 2 c 1 a 1 c 2 , a 1 b 2 a 2 b 1 (Observación: u v es un vector ortogonal a u y a v u v es el área del paralelogramo cuyo lados estan formados por los vectores uy Aplicación: v
u v u v sin , donde
u, v
Producto mixto vectores , el producto mixto es cos , u v w u v w u v, w Sea u, v, w | es el volúmen del paralelepipedo cuyos lados estan formados por los Aplicación : | u v w vectores u, v, w
Cosenos directores de un vector Sea v a 1 , b 1 , c 1 , , son los respectivos ángulos formados por el vector v con los ejes cartesianos , como muestra la figura:
cos a 1 ,cos b 1 ,cos c 1 v
v
v
Ecuación de la Recta Para calcular ecuación de la recta que pasa por los puntos Pa 1 , b 1 , c 1 y Qa 2 , b 2 , c 2 , primero X x, y, z va a representar un punto arbitrario que esta en la recta , luego PX PQ , X P Q P X Q P P x, y, z a 2 , b 2 , c 2 a 1 , b 1 , c 1 a 1 , b 1 , c 1 x, y, z a 2 a 1 a 1 , b 2 b 1 b 1 , c 2 c 1 c 1 Ecuación paramétrica . x a 2 a 1 a 1 , y b 2 b 1 b 1 , z c 2 c 1 c 1 ,
Ecuación Cartesiana y b1 x a 1 z c1 a 2 a1 b2 b1 c2 c1
(Note que es lo mismo para P, Q
2
)
director de la recta que pasa por los puntos P y Q es el vector PQ El vector director
Ecuación del Plano Para calcular la ecuación del plano que definen los puntos Pa 1 , b 1 , c 2 , Qa 2 , b 2 , c 2 y Ra 3 , b 3 , c 3 no colineales : Primero consideremos los vectores PQ y PR, estos claramente estan en el plano que pasa por los puntos P, Q, R . Llamaremos n PQ PR , el vector normal del plano. Recuerde que n es perpendicular a PQ y PR. Sea X x, y, z un punto arbitrario en el plano., luego el vector PX esta en el plano , y como n es perpendicular a PQ y PR., se debe tener tener que n es perpendicular a PX , por lo tanto PX n 0 ,(con n n 1 , n 2 , n 3 ) x a 1 , y b 1 , z c 1 n 1 , n 2 , n 3 0 n 1 x n 2 y n 3 z n 1 a 1 n 2 b 1 n 3 c 1 0 Asi el plano que pasa por los P, Q y R es : n 1 x n 2 y n 3 z n 1 a 1 n 2 b 1 n 3 c 1 0 donde n n 1 , n 2 , n 3 vector normal del plano . Los vectores directores del plano son PQ y PR
Angulos entre rectas, planos y rectas y planos . Sean L y L dos rectas con vectores directores u y u respectivamente, ademas sea y dos planos con vectores normales n y n respectivamente, entonces se tiene u, u 1. L, L n, n 2. ,
u, n 3. L,
Paralelismo y Perpendicularidad Sean L y L dos rectas con vectores directores u y u respectivamente, ademas sea y dos planos con vectores normales n y n respectivamente, entonces se tiene u u 1. L L n n 2. 3. L L u u
n n 4. u n 5. L u n 6. L
Distancias Distancia entre puntos: sean P, Q dos puntos , la distancia entre P y Q es d P, Q
PQ
u, sea Q un punto tal que Distancia de un punto a una recta: sea L recta con vector director Q L, y sea sea P un punto arbitrario que pertenece a la recta L. La distancia del punto Q a la recta L
es
d Q, L
u PQ u
n, sea Q un punto tal que Distancia de un punto a un plano: sea plano con vector normal Q , y sea sea P un punto arbitrario que pertenece al plano . La distancia del punto Q al plano
es:
d Q,
n PQ n
Distancia de un plano a un plano: sean 1 , 2 dos planos en 3 , se tienen dos posibilidades 1 2 o 1 2 . Si 1 2 esto equivale a que 1 2 , y asi d 1 , 2 d 1 , P con P 2 (P punto arbitrario que pertenece al plano 2 ) Si 1 2 , se tiene que d 1 , 2 0 Distancia de una recta a un plano: sea L una recta y un plano en
posibilidades
3
, se tienen dos
L o L . Si L esto equivale a que L , y asi d L, d L, P con P (P punto arbitrario
que pertenece al plano 2 ) Si L , se tiene que d L, 0
