TEMARIO DESARROLLADO DE LA UNSAAC GEOMETRIADescripción completa
Descripción completa
DocDescripción completa
Descripción: Libro 5 preicfes y preuniversitario
Autore: Casali, Grasselli, Gagliardi
este documento enseña sobre e tema de la geometriaDescripción completa
EJERCICIOSDescripción completa
Descripción: geometria del inee
Geometria
Descripción completa
Descripción: geometria
Descripción completa
I
%
»t,
O
«*®V
"k**-
l i . íU
■ "'
V
t
M A T IA IA T K A M ODERNA G
e o m
e t r í a
E D W IN E. M O IS E H arva rd U n iv e rs ity F L O Y D L . D O W N S , JR . H illsd a le H igh S chool San M a te o , C a lifo rn ia
#
i
EDUCATIVO IN TE R A M E R IC A N O S.A.
*%: &
Dtá —Böerfos A ire s -C a ra c a s - M é x ic o — Panana — San Juan - San José — S antiago - Sao Pau'
v
* ÍV H
■
EDITO RIAL NORMA C a li, C o lo m b ia
T-"*. •
Edición distribuida por EDITORIAL NORMA en Colombia, Ecuador, Perú, Costa Rica, El Salvador, Guatemala, Honduras Nicaragua y Panamá y por FONDO EDUCATIVO INTE RAM ERICANO en todos los demás países.
Nueva adaptación en español, autorizada, de la obra en inglés GEOMETRY por Edwin E. Moise y Floyd L. Downs, Jr„ publicada por Addison-Wesley Publishing Company de Reading, Massachusetts, EE. UU. La primera edición en español fue publicada por Addison Wesley. La segunda fue publicada por Fondo Educativo Interamericano, S.A.
Prefacio El objetivo de M a tem á tica I V , G eom etría, de la S erie M a tem á tica M oderna, es sup erar la enseñanza trad icio n al de la geom etría en el nivel secundario, tenien do en cuenta las evaluaciones y los estudios llevados a efecto por diversas C om i siones de M atem áticas. D urante v ario s años de trab ajo , reflexión y experiencia, se pudieron crear num ero sas innovaciones en los m étodos de enseñanza y se llegó a consolidar el plan general de esta o b ra cuyas características principales son las siguientes: (1) Los conceptos de la geom etría del espacio se introducen pronto, en la U n i dad 3, y se utilizan de a h í en adelante. A parecen no solam ente en las unidades posteriores que tratan acerca de la g eom etría del espacio, sino tam bién en los problem as de las unidades de la geom etría del plano. P o r consiguiente, el e stu d ian te ya h a tenido una experiencia in tu itiv a prolongada y v ariad a con la geo m etría del espacio, cuando volvem os a su estudio sistem ático en la U nidad 8 . (2) Los sistem as de coorden ad as en una recta se introducen en la U nidad 2 y el álgebra se utiliza librem ente de a h í en adelante. Las d istancias y los ángulos se m iden con n úm eros y p ara tra b a ja r con ellos se utilizan los m étodos algebraicos. Esto facilita el in tro d u cir las coorden ad as en el plano, en la U nidad 13, tan pronto com o el estu d ian te conoce el teorem a de P itág o ras y sabe algo acerca del con cepto de sem ejanza. (3) La teo ría sobre áreas se enseña corrientem ente al final de un curso de geom etría. A quí presentam os este tem a apro x im adam ente a m itad del curso, en la U nid ad I I . H ay dos razones p ara ello. En p rim er lugar, el concepto de área debe tra ta rse lo an te s posible, porque es fácil de entender, excepto por la exigencia del em pleo de las técnicas algebraicas. (E stas técnicas deben practicarse, de todos m odos.) En segundo lugar, el concepto es útil en el resto del estudio: da una de m ostración sencilla del teorem a de P itág o ras (p á g in a 306) y una dem ostración sencilla del teorem a fundam ental de la proporcionalidad (página 330), del cual depende la teo ría de la sem ejanza. (4) En casi todos los casos, los conceptos se explican de m anera intuitiva m e diante an álisis inform al y generalm ente m ediante figuras, antes de definirlos form alm ente. Véase, p o r ejem plo, la definición de conjunto convexo en la pá gina 63. (5) Las figuras se utilizan am p liam en te en la exposición y se m arcan para que indiquen ta n ta inform ación com o sea posible. Véase la página 114, donde se explica el em pleo de m arcas p a ra in d icar congruencias. Véase, tam bién, la pági na 128, donde está explicado el em pleo de los signos de exclam ación en las figuras. Estos se utilizan p ara d e n o ta r conclusiones. A sí, la figura de la página 134 indica el contenido com pleto del teorem a del trián g u lo isósceles. Al final de la página 135 hay una figura que expresa, de la m ism a m anera, el recíproco del teorem a. La figura central de la página 4 4 5 nos indica que un ángulo inscrito en una sem i circunferencia es un ángulo recto.
208039
vi
se se e P,
Prefacio
hL í S f A f nomb/ es a un g fan nüm ero de teorem as, para que haga m as fácil recordarlos y referirse a ellos. Véase, por ejem plo, el teorem a la charnela, en la pagm a 203, y el postulado de la regla, en la página 34 IL Ü T *1 propósitos fundam entales, ap a rte del de enseñar G eom etría
E sta no es m atem ática > ’ tam bié"- a escrib ir sobre ella! d t L m a te m á .S ' estudiantes han de aprender a u tilizar el lenguaje Írm k a n Í ^ r co,nviene. ProP ° r a onarles los térm inos y las notaciones que S " ' significación rapida y precisa. N o se acostum bra hacer esto P or ejem plo, en v a n o s libros, el m ism o sím bolo A B se utiliza para d e n o ta r (a) la recta y e contiene a A y a 5 , (b) el segm ento desde ^ hasta B . (c) d íay o qoe Sue en un lib ro ^ P Y (d) 13 dÍ,Stancia entre A >' B T am bién, es frecuente r r r e PrJ m er° í distinción cntre ™ segmento y una recta i« « ^ d CaS° ° miS0 CSa d lslinción- C uando se utiliza el lenguaje tan descuidadam ente, es p robable que el alum no concluya que el texto no me rice siendo ó° ST ° ; H eT ° S tra ta d ° de g a n a r la aten c'ó n cuidadosa del estudiante hiendo consistentes, claros y precisos. el
eSí f lraducción se ha Procurado unificar la term inología y
D r M ^ rifn n r m ,CH í n ° C° rrÍente en A m érica L atina y el traductor! d efo rm é n h™ / ü n iv e rs>dad de Puerto Rico, ha tratad o de superar las o r íginales i r i n a t e ddel ne T idiom i d ! o a. m fATsi, ' PÍ p o r ejem ■ plo, es frecuente h aS ta lo m á sunión Po sib le s no™ as decir de laconjuntos
nifirarf
l ? VI“ lm cnte la frase en in 8 lés’ olvidando que el verbo unir tiene un sig-
a d ecir amueaStr e e n e '° máS C° rrCCt° es de“ r reunión, l.o m ism o sucede a d ecir que tres o m as puntos son copianares. Lo correcto es decir que son coplanarios (com o se form a te rn a rio , cu aternario, etc.) Se han u tilizado sim ultáneam ente el sistem a m étrico decim al y el sistem a andusT am en^m n n T '° S estudiantes de habla esPañ o la fam iliarizados exL a m ism a L a l L n “ ° s',stem a; Puedan ■valerse de esta o b ra con provecho. u tiIi^ Z % n í r rS,8Ue , que la m ay° ría de los Problem as incluidos sean S e n d r J ^H m a l an g ÍCan0 y m élrÍC 0 decim al’ in d istin tam en te.n P rtl h la tradición h ispanoam ericana, se em plea la com a para separar la de la p arte e n í r a 1!" nUmera' ’ y * PUnt°
de trCS en £res los díSit0S
Finalm ente, conviene a c la ra r que en el texto, un asterisco (*) frente a un ejercicio identifica un problem a de dificultad m oderada y una cruz ( + ) corres ponde a un problem a suplem entario.
i
P r e fa c io de lo s e d ito r e s
Al igual que en los demás libros de la Serie Matemática Moderna, hemos utilizado para esta nueva versión española la terminología y el lenguaje matemáticos de uso más corriente en América Latina; tratando siempre de emplear las formas y los términos más correctos. Hemos usado simultáneamente el sistema métrico decimal y el sistema angloamericano, a fin de que los estudiantes de habla española familiarizados exclusivamente con uno u otro sistema, puedan valerse de esta obra con provecho. La misma finalidad persigue el que la mayoría de los problemas incluidos sean utilizados en los sistemas angloamericano y métrico decimal, indistintamente, mientras que la mínima parte de ellos contienen datos que pueden ser aplicados en uno solo de dichos sistemas. Para el algoritmo de la división hemos presentado simultáneamente las dos. formas en que suele desarrollarse, para que el estudiante utilice la que le sea más familiar y, si lo cree conveniente, aprenda a trabajar con ambas. Siguiendo la tradición hispanoamericana, hemos utilizado la coma para separar la parte decimal de un numeral, y el punto para agrupar de tres en tres los dígitos de la parte entera. LOS EDITORES
IL U S T R A C IO N E S
14
Fotografía por Ewing Galloway
54
Cortesía de la Universidad de Harvard
70
Cortesía del Museo Británico, Londres
74
Cortesía de R. Buckminster Fuller
182
Cortesía del Laboratorio Lincoln del Instituto Tecnológico de Massachusetts
212
Cortesía de Cenco Educational Films,
228
Fotografía por A. Devaney
268
Cortesía de la General Motors, Inc.
290
Cortesía de Shin Koyama
320
Fotografía por Harold Lambert
420
Reproducida con el permiso de los autores del libro The Feynman Lectures in Physics, por R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands. Reading, M ass.: Addison-Wesley Publishing Company
512
Cortesía del Museo Británico, Londres
556
Colección Smith, Biblioteca de la Universidad de Columbia, Nueva York
Chicago
Indice de materias
1
E L SENTIDO COMÜN Y E L RAZONAM IENTO EXACTO 1-1 1-2
2
1 8
CONJUNTOS, NÚMEROS R EA LES Y RECTAS 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
2-7
3
Dos clases de p r o b l e m a s ............................................................................. U n desarrollo lógico sistemático de la g e o m e t r í a ................................... E u c l i d e s ..................................................... ............................................... 11
C o n j u n t o s .....................................................................................................15 Orden en la recta n u m é r i c a ....................................................................... 21 Valor a b s o lu to ............................. ................................................................. 26 Reglas y unidades de d i s t a n c i a ............................. ...................................28 Postulado 1. Postulado de la d i s t a n c i a ....................................‘ . 31 U na regla i n f i n i t a .........................................................................................33 Postulado 2. Postulado de la re g la ............................................................34 El postulado de colocación de la regla, interposición, segmentos y rayos 38 Postulado 3. Postulado de colocación de la r e g l a .............................. 38 Postulado 4. Postulado de la re c ta ............................................................41 Cambios en la unidad de d i s t a n c i a ...........................................................46
/ RECTAS, PLANOS Y SEPARACIÓN 3-1 I n t r o d u c c i ó n ................................................................................................ 55 3-2 Rectas, planos y representaciones.................................................................. 56 Postulado 5 ............................................................................................... 57 3-3 Rectas, planos y representaciones (c o n tin u a c ió n ).................................... 59 Postulado 6 ............................................................................................... 59 Postulado 7. Postulado del p l a n o ............................................................60 Postulado 8 ............................................................................................... 60 3-4 Conjuntos c o n v e x o s ....................................................................................63 Postulado 9. Postulado de separación delplano . ........................ 64 Postulado 10. Postulado de separación del e s p a c io ..............................65 3-5 Los siete puentes de K ö n ig sb e rg ..................................................................68 Leonhard E u l e r ......................................................................................... HO'
x
ín d ic e de m aterias
4 /
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS 4-1 4-2 4-3
4-4 4-5 4-6
Definiciones f u n d a m e n ta le s ...................................................... Algunas observaciones acerca de los ángulos Medida a n g u la r.................................... Postulado 11. Postulado de la medida de ángulos Postulado 12. Postulado de la construcción del ángulo Postulado 13. Postulado de la adición de ángulos Postulado 14. Postulado del suplemento . . . . Ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes George David B irkh ofF ................................................ Teoremas enunciados a base de hipótesis y conclusión Redacción de demostraciones sencillas
75
80 81 82 82 82 83 87 93 95 97
CONGRUENCIAS 5-1 5-2 5-3
El concepto de c o n g r u e n c ia .................................... Congruencia de triángulos................................................ Los postulados de congruencia para triángulos.................................... Postulado 15. Postulado L A L .............................. Postulado 16. Postulado A L A .......................................... ' Postulado 17. Postulado L L L .............................. 5-4 Redacción de dem ostraciones.......................................... 5-5 Bisectriz de un á n g u lo ..................................................... 5-6 Triángulos isósceles y equiláteros................................................ 5-7 Triángulos parcialmente superpuestos. Empleo de la figura para obtene inform ación................................................ 5-8 Cuadriláteros, cuadrados y re ctán g u lo s..........................................
6
105 112
119 119 120 120 122 132 134 138 143
UN EXAM EN MÁS PRECISO D E L A DEMOSTRACIÓN 6-1
6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
6-7 6-8
Cómo funciona un sistema deductivo...................................................... Demostraciones indirectas . Teoremas sobre rectas y planos Perpendiculares........................ Introducción del empleo de conjuntos auxiliares en las demostraciones El empleo de la palabra “sea” Cómo prescindir del postulado ALA Cómo prescindir del postulado LLL Interposición y separación .
153
153 157 161 169 174 175 177
D ESIG U A LD A D ES GEOM ÉTRICAS 7-1 7-2 7-3
Formulación de conjeturas plausibles................................................ Desigualdades para números, segmentos y ángulos........................! El teorema del ángulo externo.............................. 187
¡83
'
185
Vvi\ ín d ic e d e m ate ria s
0
7-5
7-8 7-9
8
191 195 198 200
203 206
RECTAS Y PLANOS PER PE N D IC U L A R E S EN E L ESPACIO '8 - 1 8-2 ly§-3 8-4 8-5
9
Teoremas sobre congruencia basados en el teorema del ángulo externo Desigualdades en un mismo t r i á n g u l o ................................................ R e c íp r o c o s ............................................................................................... La distancia entre una recta y. un punto. La desigualdad del triángulo El teorema de la charnela y su r e c í p r o c o .......................................... Alturas de triángulos .................................................................. ..... •
La definición de perpendicularidad para rectas y p l a n o s ....................... 213 U n l e m a ........................................................................................................... 215 El teorema fundamental sobre perpendiculares......................................... 216 Existencia y u n i c i d a d ...................................................................................218 Rectas y planos perpendiculares: r e s u m e n ............................................... 222
RECTAS PA R A LELA S EN UN PLANO \ ¡ 9-1 •y9-2 p-9-3
Condiciones que garantizan el p a ra le lism o ............................................... 229 Ángulos correspondientes.............................................................. 236 El postulado de las p a r a le la s ....................... ................................... 238 Postulado 18. Postulado de las p a r a le la s ................................................ 233 y 9-4 T r i á n g u lo s .......................................................................... 242 9-5 Cuadriláteros en un plano .............................................................. 245 ^ 9 -6 Rombo, rectángulo y c u a d r a d o .......................... ............................. 251 9-7 Algunos teoremas relacionados con triángulos rectángulos . . . . 254 9-8 Secantes a varias rectas p a ra le la s........................................................ 256 9-9 Cómo Eratóstenes midió la T i e r r a ............................. ..... 261 E r a t ó s t e n e s ......... ......................................................................................262
10
RECTAS Y PLANOS^ PARA LELO S 10-1Propiedades fundamentales de los planos paralelos .................................. 269 10-2 Ángulos diedros, planos p e rp e n d ic u la re s................................................ 275 10-3 P r o y e c c io n e s ................................................ ..... 281 Nikolai Ivanovitch L obachevsky............................................................289
11
REGIONES POLIGONALES Y SUS Á REA S 11-1
Regiones p o lig o n ales............................................................................. 291 Postulado 19. Postulado del á r e a .......................................................... 293 Postulado 20. Postulado de la co n g ru e n c ia ........................................293 Postulado 21. Postulado de adición de á r e a s ..................................294 Postulado 22. Postulado de la unidad ...... ....................................... 294 [
ín d ic e de m ate ria s
11-2 11-3 11-4
12
298
312
SEM EJA N ZA 12-1 12-2
12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-9
13
Áreas de triángulos y cu a d riláte ro s.............................. .............................. El teorema de Pitágoras . . p itág o ras................................................ ' í ? Triángulos esp eciales..........................................
El concepto de semejanza. Proporcionalidad . . 32, Semejanza de triá n g u lo s .......................................... ....................................326 El teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco . 330 Los teoremas fundamentales de la s e m e ja n z a .....................................’ 336 Semejanzas en los triángulos rectángulos . . . . 345 Areas de triángulos semejantes 349 Las razones trigonométricas 353 Trigonometría numérica. Empleo de las tablas 357 Relaciones entre las razones trigonométricas 363
G EO M ETRÍA CARTESIANA E N E L PLANO 13-1 13-2 ] 13-4 13-5 13-6 13-7
„
Introducción .............................. Sistemas de coordenadas en un plano René D e sc a rte s.......................................... ^P resen tació n de un sistema de coordenadas en papel cuadriculado La pendiente de una recta no vertical Rectas paralelas y perpendiculares La fórmula de la d i s t a n c i a ........................ La formula del punto medio. El punto que divide a un segmento en una razón d a d a ..........................................
371 371 377 378 383 389 392
396 El empleo de sistemas de coordenadas en la demostración de teoremas g e o m é t r i c o s .............................. ..................................................................402 13-9 La gráfica de una condición 13-10 La representación de una recta mediante¡ una i e c u a c i ó n ........................ 410 13-8
14
CIRCUNFERENCIAS Y SU PE R FIC IE S ESFÉRICAS 14-1 Definiciones básicas . 14-2 Rectas tangentes a las circunferencias . . . i . . ' . ’ U 4-3 Planos tangentes a las superficies esféricas . . . . . . VÍ4-4 Arcos de circunferencias.......................................... ’ H 4 - 5 Ángulos inscritos y arcos interceptados i-i4-6 Arcos congruentes.................................................. ........................ ^ ^ 7 Segmentos secantes y tangentes. La potencia de un’punto con respecto a una circunferencia................................................... 14-8 Circunferencias en un plano coordenado . . . . . . ’ ’
425 434
442
453
46,
Indice d e m ateria«
15
xiii
CARACTERIZACIONES Y CONSTRUCCIONES 15-1 IS-2 A 5-3 . / 1 5-4 15-5
C aracterizaciones..........................................................................................475 El empleo de caracterizaciones en la geometría cartesiana . . . . 479 Teoremas de c o n c u r r e n c i a .......................................................................481 Las bisectrices de los ángulos de un triá n g u lo ......................................... M& k El teorema de concurrencia de las m e d i a n a s ......................................... 489 Construcciones con regla y c o m p á s ............................................................491 15-7 Construcciones e le m e n ta le s ....................................................................... 493 15-8 Construcciones elementales (continuación) . . ' .......................................497 15-9 Circunferencias inscrita y c irc u n s c rita .....................................................502 15-10 Los problemas de construcciones imposibles de la antigüedad . . . 504
16
Á REA S D E CÍRCULOS Y SECTORES 16-1 P o líg o n o s .................................................................................................... 513 16-2 Polígonos r e g u l a r e s ...................................................................................517 16—3 La longitud de una circunferencia. El número n ....................................521 16-4 El área de un c ír c u lo ........................................................................ ..... . 524 16-5 Longitudes de arcos y áreas de sectores.....................................................528
17
LOS CUERPOS SÓLIDOS Y SUS VOLÚMENES 17-1 17-2 17-3
17-4 17-5
P rism a s.......................................................................................................... 537 P ir á m id e s .................................................................................................... 543 Volúmenes de prismas y pirámides. El principio de Cavalieri . . 548 Postulado 23. Postulado de la u n i d a d ................................................ 549 Postulado 24. Principio de C a v a lie ri......................................................550 A rq u ím ed es................................................................................................556 Cilindros y conos ........................................................................................ 557 El volumen y el área de la superficie de una esfera..................................562
Í N D I C E ^ L F A B É T I C O .............................. ..................................................... 571
LISTA D E S Í M B O L O S .................................................................................... 577
1 | El sentido común y el razonamiento exacto
I I
•
'
r
Mftrinm ti T t o l m e u s
1 Geometría
THE ELEMENTS oF
G E O M B T R I B
o f the moft auncienc Philofopher E r C L Ifr E
Ar/ffii
Aitroncmia
1 -1 .
DOS CLASES D E PROBLEM AS
Considérense los siguientes problem as: (1) U n rectángulo m ide 6 centím etros por 8 centím etros. El área de su interior se des6 cm. com pone en dos partes, m ediante u n segm ento rectilíneo. Si el área de una p a rte es 20 centím etros cuadrados, ¿cu ál es el á rea de la o tra parte? (2) E n un cierto rectángulo, la sum a de su largo y ancho es 14 unidades. U n segundo rectángulo tiene de largo cinco vecesel largo del prim ero y de ancho tres veces el del prim ero. El perím etro del segundo rectángulo es 91. ¿C uáles son las dim ensiones del p rim er rectángulo?
La respuesta al problem a 1 puede obtenerse sin m ucho esfuerzo. La respuesta es 28 centím etros cuadrados, p orque 6 ■8 = 48 y 48 — 20 = 28. D esde luego, podría m os resolver este problem a algebraicam ente, si quisiéram os, form ulando la ecuación 20 + x = 6 • 8 y, luego, resolviéndola, p a ra obtener x = 28. P ero esto parece u n poco trivial, por ser innecesario. Es probable que el lector haya resuelto problem as m ás difíciles que éste, m ediante la aritm ética, antes de estudiar el álgebra. Y si to d as las ecuaciones algebraicas fueran ta n superfluas com o la que hem os form ulado, ninguna persona seria se preocuparía p o r ellas. El problem a 2, sin em bargo, es o tra cosa. Si designam os con x y y el largo y el ancho del prim er rectángulo, entonces el largo y el ancho del segundo rectángulo serían 5x y 3y. P or tanto, 5x + 3y =
porque la sum a del largo y del ancho es la m itad del perím etro. Sabem os, tam bién, que » x + y ,= 14.
Esto nos d a u n sistem a de dos ecuaciones con dos incógnitas. P a ra resolverlo, m ulti plicam os cada térm ino de la segunda ecuación p o r 3, obteniendo 3 x + 3j = 42,
+
2
E l sentido com ún y el razo n am ien to exacto
y. luego, restam os térm ino a térm ino esta ecuación de la prim era. Esto nos da 2 x = 45* - 42 = 3 i = i , es decir, x = i = 11 En consecuencia, y = 14 - 1 | = 12*. Es fácil, ahora, co m probar que nuestra respuesta satisface las condiciones del pro blema. En cierto m odo, estos dos problem as parecen análogos, pero, en un sentido muy im portante, son b astante diferentes. El prim ero es lo que llam aríam os un problem a de sentido com ún. Es fácil an ticipar cuál debe ser la respuesta y, adem ás, es fácil co m probar que la contestación prevista es tam bién la correcta. P or o tro lado, adivinar la respuesta al segundo problem a es prácticam ente imposible. Para resol verlo, necesitamos saber algo acerca de los m étodos matem áticos. H ay casos parecidos en la geom etría. C onsidérense los siguientes enunciados: (1) Si un triángulo tiene lados de longitudes 3, 4 y 5, entonces es un triángulo rectángulo y tie n e .u n ángulo recto opuesto al lado m ayor. (2) Se da un trián g u lo con lados a, b y c. Si
el triángulo es rectángulo y tiene un ángulo recto opuesto al lado mayor.
El prim ero de estos enunciados era conocido de los antiguos egipcios. Lo com pro b aro n m ediante la experim entación. El lector puede verificarlo, dibujando un triángulo de lados 3-4-5 ta n exactam ente com o le sea posible y, luego, m idiendo con un tran sp o rtad o r el ángulo opuesto al lado m ayor. D eberá tenerse en cuenta, sin em bargo, que esta clase de com probación es aproxim ada. Supongam os, p o r ejemplo, q u eel ángulo es realm ente 89° 59' S9\" (es decir, 89 grados, 59 m inutos y 59 j segundos), en vez de exactam ente 90° 0' 0". En este caso, difícilm ente podría notarse la diferencia
Dos clases de problem as
3
con un transportador, p o r muy afilado que esté nuestro lápiz y por cuidadosa que sea nuestra figura. Sin em bargo, el "m éto d o egipcio" es un m étodo de sano sentido com ún p ara com probar un hecho experimental. Los egipcios tenían gran destreza para m edir objetos físicos. Las aristas de la base de la G ran Pirám ide de G izeh tienen cerca de 230 m etros de largo y las longitudes de estas cuatro aristas coinciden, salvo un erro r de unos dos centím etros. Nadie parece saber, hoy día, cóm o los constructores lograron tal grado de exactitud. (M ientras m ás piense el lector sobre este problem a, más difícil le parecerá, probablem ente.) El segundo de los enunciados anteriores era desconocido para los egipcios; fue descubierto m ucho m ás tarde, por los griegos. Es imposible com probar este enun ciado m ediante la experim entación, por la sencilla razón de que habría que considerar una infinidad de casos. Por ejem plo, habría que construir triángulos y to m ar m edidas con un transportador, para todos los casos siguientes:
y asi sucesivamente, sin acabar nunca. Así, sería inútil la verificación de nuestro enunciado general m ediante experim entos, ni siquiera en torm a aproxim ada. Por eso, una persona razonable no qued ará convencida de que el segundo enunciado es cierto en todos los casos, hasta que vea alguna razón lógica que im plique su certeza en to d o s los casos. En realidad, por eso fueron los griegos, y no los egipcios, quienes descubrieron que nuestro segundo enunciado es cierto. Los egipcios eran muy buenos en to d o lo concerniente a m edidas e hicieron unas conjeturas m uy ingeniosas, que m ás ta rd e se verificaron com o ciertas. Pero los griegos descubrieron un nuevo m étodo m ucho más p oderoso: el del correcto razonam iento geom étrico. M ediante este m étodo, convirtieron conjeturas plausibles en conocim iento firme y aprendieron algunas cosas asom brosas que nadie hubiera creído sin ver su dem ostración. D e esta m anera, los griegos sentaron las bases de la m atem ática m oderna y,.por consiguiente, de la ciencia m oderna en general.
4
El « e a t^ o
t
el razo n am ien to exacto
C onjunto de problem as 1 -1 I. Ensáyese el siguiente experimento: Tómese un trozo de cordel, como de 2 metros de largo, y coloqúese en el suelo, formando un lazo con sus extremos sueltos: Luego, tírese de los extremos del cordel, estrechando el lazo hasta que parezca ser del tamaño de la cintura. Márquese el cordel donde se cruza consigo mismo y compruébese el calculo, midiendo la cintura con el cordel. Después de hacer esto, léanse las observa ciones sobre el problema 1, al final de este conjunto de problemas.
2. Una pagina de papel de periódico no es muy gruesa, sólo tiene 0.003 centímetros de es pesor. Con frecuencia, vemos montones de periódicos. Supóngase que colocamos un pliego de papel de periódico en el suelo. Luego, colocamos otro pliego sobre el primero; despues, dos pliegos más: luego, cuatro; y así sucesivamente, formando un montón de periódicos. Cada vez, se añaden al montón tantos pliegos como ya hay. Después de la décima vez, el montón tendrá, aproximadamente, 3 centímetros de espesor. Si continuá semos hasta añadir pliegos por quincuagésima vez, ¿cuál sería la altura delmontón? Una de las respuestas de la (a) a la (d), a continuación, es la correcta; todo lo que hay que hacer es elegir o calcular cuál es ésta: (a) Aproximadamente, la altura de un salón de clases. (b) Aproximadamente, la altura de un edificio de cuatro pisos. (c) Aproximadamente, la altura de un edificio de cien pisos. (d) Más de dos veces la altura de un edificio de cien pisos. Después de elegir, léanse las observaciones sobre el problema 2, al final de este conjunto de problemas.
3. La primera pregunta, a continuación, puedecontestarse por “sentido común” . Dése solamente la respuesta. La segunda requiere algúnproceso aritmético o algebraico para su resolución. Muéstrese toda la labor necesaria para encontrarla. (a) ¿Cuánto es un sexto de 12? (b) ¿Cuánto es un sexto de 5.255.622?
4. Síganse las mismas instrucciones que para el problema 3: (a) Un tercio de la distancia entre dos ciudades es 10 kilómetros. ¿Cuál es la distancia entre ellas? (b) La distancia entre dos ciudades es 10 kilómetros más que un tercio de la distancia entre ellas. ¿Cuál es esa distancia?
D os clases d e p roblem as
*
5
5. Síganse las mismas instrucciones que para el problema 3: (a) Si un trozo de alambre de 5 centímetros se corta en dos partes, de manera que el largo de una parte sea cuatro veces el de la otra, ¿cuál es la longitud de la parte más larga? (b) Si un trozo de alambre de 5 centímetros se corta en dos partes, tales que el cuadrado formado doblando una parte tiene cuatro veces el área del cuadrado que se forma doblando la otra, ¿cuál es la longitud de la parte más larga? 6. Si, independientemente uno de otro, dos alumnos miden con cuidado el ancho de un salón, mediante reglas, y uno mide de izquierda a derecha y el otro de derecha a izquierda, es probable que obtengan distintos resultados, i Ensáyese esto! ¿Cuál o cuáles de las siguientes son explicaciones plausibles de la discrepancia? (a) Las reglas tienen longitudes diferentes. (b) Los objetos son más largos (o más cortos) de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. (c) Los errores resultantes del cambio de posición de la regla se acumulan y la suma de esos pequeños errores representa una diferencia discernible. (d) Un alumno puede haber perdido la cuenta. 7. Muéstrese que n2 - 2n + 2 = n es cierto si n — 1. ¿Será cierta la ecuación cuando n = 2? ¿Será siempre cierta, es decir, será cierta' para cualquier número natural n i 8. Una parte importante del aprendizaje de las matemáticas consiste en reconocer leyes generales que sugieren propiedades válidas. Por ejemplo, una ojeada a los enunciados 3 + 5 = 8,
9 + 5 = 14,
11 + 17 = 28,
puede hacernos pensar que la suma de dos números impares es un número par. ¿Puede el lector pensar en dos números impares cuya suma sea un número impar? ¿Demuestra la respuesta que dos números tales no existen? 9. Considérense los siguientes enunciados: 12 = 1,
32 = 9,
52 = 25,
72 = 4 9 .
(a) Trátese de conseguir una ley acerca de números impares y redáctese uñ enunciado general a base de esa observación. (b) Justifiqúese la validez de ese enunciado general. 10. Divídanse 32, 52 y V por 4. (a) ¿Cuál es el resto en cada caso ? (b) ¿Qué ley general es evidente aquí? (c) ¿Cuántos enteros impares habría que elevar al cuadrado y dividir por 4 para garanti zar que las divisiones den siempre el mismo resto?
6
E l sentido com ún y e l ra zo n a m ie n to exacto
11. Considérense las siguientes figuras y la ley sugerida:
(a) En el lugar del signo de interrogación debajo del 6, póngase el número que se crea correcto. (b) Trácese una circunferencia y únanse seis puntos cualesquiera en ella de todas las maneras posibles. ¿Cuántas regiones se forman? ¿Concuerda la respuesta con la contestación a la parte (a)? (c) ¿Que nos indica este problema sobre la demostración de que una generalización sea cierta o falsa ? 12. Las siguientes ilusiones ópticas demuestran que n.o siempre podemos juzgar por las
apariencias: (a) ¿Será CD una continuación de AB1 Compruébese la respuesta, mediante una regla. (b) ¿Tienen los segmentos X Y y YZ la misma longitud? Compárense las longitudes, mediante regla o compás.
(c) ¿Son M N y PQ segmentos recti líneos?
(d) ¿Qué recta a la derecha del rectángulo es la continuación de la recta a la izquierda ?
(e) ¿Cuál es más largo, el segmento A B o el segmento C D I A
D
B
D os clases d e problem as
7
13. Considérese la expresión n2 — n + 11. Si hacemos n — 1, la expresión es igual a II. Para n = 2, la expresión es igual a 13. Para n — 3, la expresión da el valor 17. Los números 11, 13 y 17 son todos números primos. (Un número primo es un número natural mayor que uno que sólo es divisible por 1 y por sí mismo.) ¿Se obtendrá siempre un número primo al sustituir n por números naturales en la expresión ? 14. (a) Muéstrese que la expresión n2 - n + k se comporta como ii 1 — n
+ 11
(véase el problema 13) cuando k es 3 ó 5. (b) ¿Qué regla general sugiere (a) ? ¿Es cierta o falsa ? (c) ¿Cuál es el próximo número natural k mayor que 11 que podríamos considerar? ¿Qué sucede cuando k = 41 ? 15. El piloto de un avión de retropropulsión desea hacer un viaje de 1000 kilómetros a una velocidad media de 1000 kilómetros por hora. Si los primeros 800 kilómetros se re corren a 800 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad deberá recorrerse la distancia restante? 4
5
.' V 16. Utilícese una regla para comprobar la exactitud de las medidas de la figura. Si las medidas son correctas, demuéstrese mediante cálculos que la suma de las áreas de las cuatro partes del rectángulo es mayor que el área del rectángulo, i Extraño!, ¿no es así? ¿Puede explicarse esto? O b s e r v a c i o n e s s o b r e e l P r o b l e m a 1. Casi todo el mundo escoge un lazo cerca del doble de lo que debiera ser. Se podrán obtener resultados muy satisfactorios, si se razona de la manera siguiente: La longitud de una circunferencia es w veces el diámetro y n es, aproxima damente, igual a 3. Por tanto, el diámetro es como un tercio de la longitud de la circun ferencia. Por ejemplo, si el tamaño de cintura es 60 centímetros, el diámetro del lazo deberá ser de unos 20 centímetros. Esto podrá parecer increíblemente pequeño, mas, si hemos ana lizado el problema matemáticamente, sabremos que nuestro razonamiento es confiable.
Este es uno de los muchos casos corrientes en que es preferible tratar el problema en forma matemática, no importa lo tosca que ésta sea, a dar palos ciegamente.
8
El sentido com ún y el razo n am ien to exacto
O b s ír v a c i o n e s s o b r e e l P ro blem a 2. É ste e s, ta m b ié n , u n o d e los m u c h o s c a s o s c o rrie n tes en que un análisis m a te m á tic o n o s a y u d a a d e s c u b rir c ie rta s p r o p ie d a d e s q u e d ifíc ilm e n te averiguaríamos d e o tr a m a n e ra . El a s p e c to d e d e s c u b rim ie n to e n la m a te m á tic a es ta n predominante y ta n im p o r ta n te c o m o s u u s o e n la re s o lu c ió n d e p ro b le m a s.
Puesto que cada vez que añadimos al montón, doblamos el número de pliegos, después de 50 veces, tendríamos 2S0 pliegos. Una tabla de potencias de 2, o la aritmética corriente, nos indicará que tendríamos 1.125.899.906.842.624 pliegos. Un poco más de aritmética nos dirá que el montón tendría más de 85 millones de kilómetros de altura; esto es, más de la mitad de la distancia entre la Tierra y el Sol. A u n c u a n d o u n a p e rs o n a r a z o n a r a q u e (d ) e s la re s p u e s ta c o rre c ta , e s p r o b a b le q u e n o se d ie ra c u e n ta d e q u e la a lt u r a e s m u c h o m a y o r d e lo q u e p a re c e in d ic a r (d).
1 -2 .
UN DESARROLLO LÓGICO SISTEMÁTICO D E LA GEOM ETRÍA
Si nos detenem os a pensar, nos darem os cuenta de que ya poseem os m uchos co n o cim ientos geom étricos. P or ejemplo, sabem os cóm o determ inar las áreas de varias figuras simples y conocem os la relación pitagórica para los triángulos rectángulos. A lgunas de nuestras nociones son ta n evidentes que nunca se nos hubiera ocurrido expresarlas con palabras y, menos, considerar por qué son ciertas. La siguiente es u na de ellas: Dos rectas no pueden corlarse en más ele un punto.
Pero otras, com o la relación pitagórica, no son evidentes en absoluto. En esté libro, organizarem os ordenadam ente nuestro conocim iento de la geom etría, de m anera que los enunciados m ás com plicados puedan deducirse de los más sencillos. Veremos que la geom etría está basada en unos pocos enunciados sencillos y evidentes. Esto nos sugiere la posibilidad de hacer una lista de lo que sabem os de geom etría, en un orden tal que cada enunciado en la lista pueda deducirse de los anteriores m ediante razonam iento lógico. L a verdad es que llevaremos a cabo el siguiente program a: Enunciarem os defini ciones p ara las ideas geom étricas, ta n clara y exactam ente com o podam os, y dedu cirem os los principios de la geom etría m ediante dem ostraciones lógicas. Llam arem os teoremas a los enunciados que dem ostrem os. A unque dem ostrarem os casi todas las afirm aciones que hagam os sobre la geo m etría, h ab rá algunas excepciones. Los enunciados m ás sencillos y más fundam entales
U n desarrollo lógico sistem ático d e la ge o m e tría
9
se ofrecerán sin dem ostración. A éstos los llam arem os postulados. A nálogam ente, em plearem os los térm inos m ás sencillos y m ás fundam entales de la geom etría, sin in tentar definirlos. A éstos los llam arem os términos no definidos. A prim era vista, parecería m ejor definir todos los térm inos que em pleem os y dem ostrar to d a afirm ación que hagam os. Pero es bastante fácil ver que eso es imposible. C onsiderem os, prim ero, la cuestión de los teorem as. G eneralm ente, cuando dem os tram os un teorem a, lo hacemos señalando que se deduce lógicam ente de otros ya dem ostrados. Pero no siem pre pueden hacerse las dem ostraciones de esa m anera. En particular, no es posible hacer así la prim era dem ostración, porque, en este caso, no hay teorem as dem ostrados previam ente. Pero tenem os que em pezar en algún punto. Esto significa que debem os aceptar algunas afirm aciones sin dem ostrarlas. E stas afirm aciones no dem ostradas son los postulados. El m ism o principio se aplica a las definiciones. La m ayoría de las veces, al ofrecer u n a definición de un nuevo térm ino, lo hacem os em pleando otros térm inos ya defi nidos. Pero las definiciones no pueden siem pre form ularse de esa m anera. En particular, la primera definición no puede enunciarse así, porque, en este caso, no hay térm inos definidos con anterioridad. Esto significa que debem os introducir algunos térm inos geom étricos sin definirlos. P o r consiguiente, em plearem os los más sencillos y fundam entales sin in te n ta r definirlos. Estos térm inos no definidos serán punto, recta y plano. Los postulados, desde luego, n o se fabrican a capricho. (Si así fuera, ninguna persona sensata les prestaría im portancia.) Los postulados describen propiedades fundam entales del espacio. A nálogam ente, las ideas punto, recta y plano están sugeridas p o r objetos reales. Si se hace una m arca en una hoja de papel con la punta de un lápiz, se obtendrá una representación bastante fiel de un p unto. La representa ción será m ejor, cu an to m ás afilado sea el lápiz. El dibujo siempre será aproxim ado, pues la m arca ten d rá algún área, m ientras que un punto carece de área. Pero si se piensa en m arcas más y más pequeñas, hechas p o r lápices cada vez más afilados, se obtendrá una buena idea del térm ino punto en la geometría. C uando em pleam os la palab ra recta, tenem os siempre en la mente la ¡dea de una linea recta. U na recta se extiende indefinidam ente en am bos sentidos. Por lo regular, indicarem os esto en las ilustraciones, m arcando flechas en los extrem os de las porciones de rectas que dibujem os, así:
Las puntas de flecha servirán p a ra recordarnos que la recta no term ina en los puntos donde finaliza el dibujo.
10
E l sentido c o m ú n y el ra zo n a m ie n to exacto
Em plearem os la palab ra segmento p ara u n a figura com o é sta :
U n cordel fino bien estirado es una buena aproxim ación a un segmento. U na cuerda delgada de piano, tirante, m ediante u n a Fuerte tensión, es una aproxim ación aún m ejor; y así sucesivamente. Si se piensa en una superficie perfectam ente lisa que se extiende indefinidam ente en todas las direcciones, se ten d rá una buena idea de lo que se supone sea un plano. D ebem os tener presente que ninguno de los enunciados anteriores es una definición. Son sencillamente explicaciones de las ideas que la gente se im aginaba, cuando se redactaron los postulados. Al com enzar a dem ostrar teorem as, la inform ación ofrecida en los postulados será la única que tendrem os en la m ente acerca de los puntos, las rectas y los planos. Finalm ente, hacem os dos advertencias.
En prim er térm ino, hay ciertos límites de lo que la lógica puede hacer por nosotros. La lógica nos perm ite co m probar nuestras conjeturas, pero no nos ayuda m ucho a hacerlas. En el estudio de las m atem áticas, nunca se llega á la etapa de prescindir de la ingeniosidad o de la intuición.
En segundo lugar, los prim eros teorem as que dem ostrarem os no van a impresio narnos m ucho; podría pensarse en p o r que no los llam am os postulados, y seguimos adelante. E sta prim era parle, en cualquier caso, será fácil; el alum no debe estudiar el texto lo necesario y, luego, hacer los problem as.
Al com ienzo del próxim o capítulo, presentam os una corta explicación de la idea de conjunto y repasam os brevem ente el álgebra de los núm eros reales. D u ran te el curso, utilizarem os los conjuntos y el álgebra. Éstos no constituirán parte integrante de nuestro sistem a de postulados y teorem as sino que pensarem os en ellos como cosas con las cuales trabajam os y no sobre las cuales trabajam os. Suponem os que contam os con ellos desde el principio; algunos de nuestros postulados com prenderán núm eros reales y, tam bién, utilizarem os el álgebra en algunas dem ostraciones. De hecho, la geom etría y el álgebra están estrecham ente relacionadas y será más fácil aprender las dos si señalam os sus relaciones lo antes posible.
U n desarrollo lògico sistem ático d e la geom etría
11
E u c l id e s (S ig l o n i A . d e J . C .)
Euclídes es, probablemente, el escritor científico de más éxito que jamás vivió. Su famoso libro, los Elementos, era un tratado de geometría y de teoría de los números. Durante más de dos mil años, todo estudiante que aprendía geometría, lo hacía siguiendo el libro de Euclides. Y durante todo ese tiempo, los Elementos sirvieron de modelo para el razonamiento lógico. Nadie sabe, hoy día, cuánta de la geometría en los Elementos fue desarrollada originaria mente por Euclides. Una parte puede haberse basado en libros anteriores, y se supone que algunas de las ideas más importantes de la obra se deben a Eudoxio, quien vivió más o menos en la misma época. En todo caso, de los libros que lian llegado hasta nosotros, los Elementos es el primero que presenta la geometría de una manera organizada y lógica, comenzando con algunas suposiciones simples y desarrollando los teoremas mediante el razona miento deductivo. Éste ha sido el método fundamental de la matemática desde entonces. Es verdaderamente extraordinario que fuera descubierto tan temprano y utilizado tan bien. La lógica juega el mismo papel en las matemáticas que los experimentos en la física. En la matemática y la física, puede ocurrírsenos una idea que creemos es correcta. En la física, vamos al laboratorio a ensayarla; en la matemática, pensamos un poco más e intentamos obtener una demos tración. Aunque el método de Euclides perdurará, sus postulados y la teoría basada en ellos ya no se utilizan en forma corriente. Con el desarrollo del álgebra, el empleo de los números para medir cosas ha adquirido una importancia fundamental. Este método no aparece en los Elementos, ya que en la época de Euciides, el álgebra era prácticamente desconocida.
El sentido com ún y e l razo n am ien to exacto
C onjunto de problem as 1 -2 1. Un alumno, a quien interesaba conocer el significado de la palabra dimensión, la buscó en un diccionario. Éste ofrecía como sinónimo la palabra medida, cuya definición el estudiante inmediatamente buscó. Hizo el siguiente esquema: tamaño o largo-dimensión mayor dimensión—medida dimensión
medida (a) Señálese en el esquema una lista circular de tres palabras, cada una de las cuales tiene a la siguiente como sinónima. (En una lista circular, el primer término sigue al último.) (b) Hágase una lista circular que contenga cuatro palabras con esa propiedad. 2 . Preparar un esquema parecido al del problema 1, comenzando con cualquier palabra del
diccionario.
3. ¿Qué está mal en las siguientes “definiciones” defectuosas? (a) Un cuadrado es algo que no es redondo. (b) Una circunferencia es algo que es redondo. (c) Un triángulo rectángulo es un triángulo cuyos ángulos son ángulos rectos. (d) Un triángulo equilátero es cuando un triángulo tiene tres lados del mismo largo. (e) Un diámetro de una circunferencia es una recta que pasa por el centro de la cir cunferencia. 4. Contestar como en el problema 3 :
(a) El perímetro de un rectángulo es donde se toma la suma de los largos de sus lados. (b) La longitud de una circunferencia es cuando se multiplica el diámetro por ir. (c) Una figura plana con cuatro lados es un rectángulo, si sus lados opuestos tienen igual longitud. (d) Un triángulo equilátero es un triángulo con tres lados y tres ángulos y cuyos lados tienen todos el mismo largo y cuyos ángulos tienen todos la misma medida. (e) Un triángulo es cuando tres rectas se intersecan entre sí.
U n d esarrollo lógico sistem ático de la g eom etría
13
5. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso: (a) Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos más sencillos. (b) Los teoremas se demuestran solamente a base de definiciones y términos no definidos. (c) El razonamiento geométrico preciso conduce a verdades geométricas que, no pueden deducirse de la medición. (d) La rrtejor manera de aprender a demostrar teoremas es observar a otras personas demostrarlos. (e) Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de postulados y términos no definidos, sin hacer referencia a otros teoremas. (f) Todo enunciado que parece ser cierto debe tomarse como postulado. 6. Supongamos que sea posible ajustar perfectamente una banda de hierro alrededor de una esfera, digamos la Tierra en su ecuador. La circunferencia de la banda sería de, aproximadamente, 40.000 kilómetros. Supongamos que se intercala en la banda una lámina adicional de hierro de 180 centímetros de largo, de manera que la banda no se ajuste ahora a la esfera. La bafida ampliada sobresaldría de la esfera y tendría un radio ligeramente mayor que el radio de la banda original. Aproximadamente, ¿cuánto mayor será el nuevo radio? [Si es necesario, puede suponerse que el radio de la Tierra es de 6400 kilómetros.]
2 | Conjuntos, números reales y rectas
2-1.
CONJUNTOS
Quizás, el alum no nunca haya visto la p alab ra conjunto em pleada en las m ate-, m áticas, pero la idea es m uy conocida. La fam ilia del alum no es u n conjunto de personas que consiste en el alum no, sus padres y sus herm anas y herm anos (si los tiene). Estas p ersonas constituyen los miembros del conjunto. La clase de geom etría es un conjunto de personas. Se dice que un m iem bro de un conjunto pertenece al conjunto. P o r ejem plo, el alum no pertenece a su fam ilia y a su clase de geometría. C on frecuencia, llam am os a los m iem bros de un conjunto sus elementos; en la m ate m ática, los dos térm inos significan lo mism o. Se dice que un conjunto contiene a sus m iem bros. P or ejem plo, am bas, la: fam ilia y la clase de geom etría, contienen al alum no. Si un conjunto contiene todos los elem entos de otro conjunto, entonces decim os que el segundo conjunto es un subconjunto del prim ero. P or ejem plo, la clase de geom etría es u n subconjunto del alum nado de la escuela, y el alum nado contiene la clase de geom etría. Decim os que un subconjunto está contenido en el conjunto que lo contiene. Obsérvese que al definir un subconjunto, perm itim os la posibilidad de que éste y el conjunto que lo contiene sean idénticos. Así, to d o conjunto es un subconjunto de sí mismo. C uando decim os que dos conjuntos son iguales, o cuando escribimos la igualdad A = B entre dos conjuntos A y B, entendem os sim plem ente que los dos conjuntos contienen exactam ente los m ism os elem entos. P or ejemplo, supongam os que A es el conjunto de todos los núm eros naturales en tre 9]~ y 14yo, y B el conjunto de todos los núm eros naturales entre 9po y 14-]- Entonces, A = B , porque cada uno de los conjuntos A y B contiene precisam ente los núm eros 10, 11, 12, 13 y 14. En efecto, ocurre casi siem pre que el m ism o conjunto puede describirse de dos m aneras dife rentes. P o r ta n to , si las descripciones parecen diferentes, esto no significa que los conjuntos sean distintos. Algo parecido sucede e n el álgebra. Las expresiones 3 • 17 y 39 + 12 parecen diferentes, pero representan el mismo núm ero; y esto es lo que significa el enunciado 3 • 17 = 39 + 12. D os conjuntos se intersecan si hay uno o m ás elem entos que pertenecen a am bos. Por ejem plo, el conjunto de la fam ilia del alum no y el conjunto de su ciase de geo m etría se intersecan, porque el alum no pertenece a los dos. (C on to d a probabilidad, el alum no es la única persona que pertenece a am bos conjuntos.) L a intersección de dos conjuntos es el conjunto de to d o s los objetos que pertenecen a am bos conjuntos. Pasando a tem as m atem áticos, vemos que el conjunto de to dos los núm eros positivos pares es el conjunto cuyos elem entos son 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 1 8 , . . . El conjunto de to d o s los m últiplos positivos de 3 es el conjunto cuyos elem entos son 3, 6, 9, 12, 15, 18,. 15
16
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
L a intersección de estos dos conjuntos es el conjunto cuyos elem entos son 6, 12, 18. . . . (Éste es el conjunto de los m últiplos positivos de 6.) En la figura de la derecha, cada u n o de los rectángulos es un conjunto de puntos y su intersección es un conjunto que contiene exactam ente dos puntos. A nálogam ente, cada u n a de las regiones rectangulares es un con ju n to de p un to s y su intersección es la pequeña región rectangular en el m edio de la figura. En la figura siguiente, cada una de las dos rectas es u n conjunto de puntos y su inter sección contiene exactam ente un p unto:
En to d o este libro, considerarem os que las rectas y los planos son con ju n to s de puntos. (Si se quiere, puede considerarse esta afirm ación com o nuestro prim er postulado.) D e hecho, todas las figuras geom étricas se con siderarán com o conjuntos de puntos. En la figura de la derecha, vem os dos conjuntos de puntos, ca d a uno de los cuales es u n a región rectangular con ten id a en u n plano. Su intersección es un segm ento, contenido en una recta. L a reunión de d os conjuntos es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a uno de los conjuntos o a los dos.
R
P or ejem plo, en la figura anterior, vemos u n a región rectangular grande R que es la reunión de d os regiones rectangulares m ás pequeñas, A y B. El segm ento vertical cerca del m edio de la figura es la intersección de A y B. Los puntos de este segmento pertenecen a la reunión p o r dos razones.
Conjuntos
17
Para tres o m ás conjuntos, la intersección y la reunión se definen de m anera análoga. Asi, un triángulo es la reunión de tres conjuntos, cada uno de los cuales es u n segmento. U n rectángulo es la reunión de cuatro conjuntos, cada uno de los cuales es un segmento.
A veces, es conveniente utilizar la idea del conjunto vacio o nulo. El conjunto vacio es el conjunto que n o contiene m iem bro alguno. Esta idea puede parecer algo extraña al principio, pero, en realidad, es m uy parecida a la idea del núm ero cero. Así, las siguientes tres afirm aciones significan exactam ente lo m ism o: (1) N o hay elefantes blancos en San Juan. (2) El núm ero de elefantes blancos en San Ju a n es cero. (3) El conjunto de los elefantes blancos en San Juan es el conjunto vacío. U na vez introducida la idea del conjunto vacío, podem os hablar de la intersección de dos conjuntos cualesquiera, teniendo en cuenta que la intersección puede ser el conjunto vacío. Por ejem plo, la intersección del conjunto de todos los núm eros impares y el conjunto de todos los núm eros pares es el conjunto vacío. En la figura anterior, la intersección del triángulo y el rectángulo es el conjunto vacío. El conjunto vacío se denota p o r el sím bolo 0. Una advertencia: Si com param os las definiciones de los térm inos intersecar e intersección, vemos que podría surgir confusión en el em pleo de los mismos. C uando . hablam os de la intersección de d os conjuntos, adm itim os la posibilidad de que ésta sea nula, pero cu an d o decim os que d os conjuntos se intersecan, siempre entendem os í . que contienen un elem ento com ún, p o r lo menos. Otra advertencia: L a idea del cero y la del conjunto vacío están estrecham ente rela cionadas, pero no son la m ism a cosa. P or ejemplo, la ecuación x + 3= 3 tiene a cero com o solución única y, p o r tan to , el conjunto de las soluciones n o es vacío; el to n ju n to de las soluciones tiene exactam ente un elem ento, a saber, 0. Por o tra parte, la ecuación A' + i = x + 2 no tiené soluciones. E n consecuencia, el conjunto de las soluciones es 0.
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
18
C onjunto do problem as 2 -1 1. En cada uno de los siguientes ejercicios, determinar si el conjunto A es igual al con junto B : (a) A es el conjunto de los números naturales entre f y -j5-. B es el conjunto cuyos ele mentos son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (b) A es el conjunto de todos los nombres de mujer que empiezan con la letra J. B es el conjunto que consta de los nombres Juana, Josefa, Julia, Juliana, Joaquina, Jovita. (c) A es el conjunto de todos los países de Centro América cuyos nombres empiezan con la letra P. B es el conjunto de todos los países de Centro América que pueden cru zarse pasando por un canal. (d) A es el conjunto de todos los estudiantes de la clase de geometría que tienen menos de 10 años de edad. B es el conjunto de los meses del año cuyos nombres empiezan con la letra R. (e) A es el conjunto de todos los números que satisfacen a la ecuación x + 7 = 12. B es el conjunto de todos los números que satisfacen a la ecuación x 2 = 25. (f) A es el conjunto de todos los números que satisfacen a 5x -I- 8 = 8. B es el conjunto de todos los números que satisfacen a l( x 2 + 2) — 5 — 9.
2. Sea P = {2, 5 ,7 ,1 0 ,1 4 , 17,19}. [Nora: Se lee “Sea P el conjunto cuyos miembros son 2, 5, 7, 10, 14, 17 y 19” .] Sea Q = {2,4, 6, 8, 10,12}. ¿Cuál es la intersección de los conjuntos P y Q? ¿Cuál es la reunión de los conjuntos p
y fi?
3. Considérense los siguientes conjuntos: S, es el conjunto de todos los alumnos de una escuela. .S2 es el conjunto de todos los varones en
el alumnado de
la escuela.
S i es el conjunto de todas las niñas en el
alumnado de la
escuela.
es el conjunto de todos los miembros del profesorado de la escuela. S5 es el conjunto cuyo único miembro es un alumno de la escuela. (a) ¿Qué p a r « de conjuntos se intersecan? (b) ¿Qué conjunto es la reunión de
y S3?
(c) ¿Qué conjunto es la reunión de S t y S j? (d) Describir la reunión de S , y S4. (e) ¿Cuáles de los conjuntos son subconjuntos de S¡ ?
Conjuntos
19
4. En las siguientes figuras, considérense la recta y la circunferencia como dos conjuntos de puntos. En cada caso, indicar cuál es su intersección.
5. En la siguiente figura, ¿cuál es la intersección del triángulo A B C y el segmento AC1 ¿Cuál es la reunión? c
A
B
6. Considérense el conjunto P de todos los números naturales pares y el conjunto I de todos los números naturales impares. (a) Describir la reunión de P e I. (b) Describir la intersección de P e í . 7. Considérese un conjunto de tres niños {A, B, C}. Cualquier subconjunto de este con• junto se llamará un comité. (a) Hacer una lista de los subconjuntos de {A, B, C }. (b) ¿Cuántos comités de dos miembros pueden formarse del grupo de los tres niños? (c) M ostrar que dos comités cualesquiera nombrados en la respuesta al ejercicio (b) se intersecan. (d) ¿Qué significa la palabra “intersecar” ? 8. Sea A el conjunto de los pares de números (x, y) que satisfacen a la ecuación 3x -f- y = 15. Sea B el conjunto de los pares de números (x , y) que satisfacen a la ecuación 2x + y = 11. ¿Cuál es la intersección de los conjuntos A y B? 9. Sea
A = {(1,12), (2,9), (3, 6), (4, 3), (5,0)}.
Sea
B = {(1, 9), (2, 7), (3, 5), (4, 3), (5, 1)}.
Obsérvese que los elementos de los conjuntos A y B son pares de números. ¿Cuál es la intersección de A y B'í
<
20
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
10. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 5r + s = 11. Sea B el conjunto de todas las soluciones de 3r — s — 5. ¿Cuál es la intersección de A y B? 11. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 7x — y = 28. Sea B el conjunto de todas las soluciones de 3x 4- 2y = 12. ¿Cuál es la intersección de A y B t 12. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 2m + n = 8. Sea B el conjunto de todas las soluciones de 4m + 2n = 12. ¿Cuál es la intersección de A y A? 13. Considérese el conjunto de todos los números naturales divisibles por 2. Considérese el conjunto de todos los números naturales divisibles por 3. (a) Describir la intersección de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros cuatro miembros. (b) Escribir una expresión algebraica para representar la intersección. (c) Describir la reunión de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros seis miembros. 14. Imaginemos un punto A, en la pizarra o en una hoja de papel. ¿Cuántas rectas del plano de la pizarra o del papel contienen el punto A ? Las rectas que contienen el punto A forman un conjunto. Cada recta es un elemento del conjunto. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto? 15. (a) Dados dos puntos diferentes A y B, ¿cuántos elementos hay en el conjunto de todas las rectas que contienen a A y a B1 Con frecuencia, expresamos esta pregunta de manera diferente, así: ¿Cuántas rectas pueden trazarse por dos puntos A y fl? (b) Dados tres puntos, A , B y C, que no están en una recta, ¿cuántas rectas hay que contienen pares de esos tres puntos? (c) Dados cuatro puntos, A , B, C y D, tales que cada tres de ellos no están en una recta, ¿cuántas rectas hay que contengan pares de esos puntos? Si se da un quinto punto que cumple las mismas condiciones, ¿cuántas rectas habrá que contengan pares de los cinco puntos ? * (d) En las partes (a), (b) y (c), se hace la misma pregunta con respecto a diferentes números de puntos. Contestar la pregunta, si se dan n puntos. 16. Al hacer una lista de los subconjuntos de un conjunto dado, se incluyen el conjunto mismo y el conjunto vacio como subconjuntos del conjunto dado. Así, el conjunto la, b} tiene los siguientes subconjuntos: {a,b},
{a},
{b},
0.
Es decir, un conjunto con dos elementos tiene cuatro subconjuntos. (a) Hacer una lista de los subconjuntos de {a, b, c}. (b) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cuatro elementos? (c) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cinco elementos? (d) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de ti elementos?
O rden e n la re c ta n u m érica
2 -2 .
21
O RD EN E N LA R EC TA NUM ÉRICA
L os prim eros núm eros que conocim os son los “ núm eros naturales” , 1,2, 3, 4, 5 , . . . L os núm eros naturales nunca se acaban, p orque d ad o cualquiera de ellos, siempre podem os añadirle 1 p a ra o btener o tro . N os im aginam os los núm eros naturales com o dispuestos en u n a recta, de izquierda a derecha, en esta fo rm a :
1
2
3
4
5
•••
1
2
3
4
5 •••
A la izquierda del 1, colocam os el núm ero 0:
0
Entonces, colocam os los núm eros enteros negativos, de derecha a izquierda:
• ■ ■ —5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
L os núm eros que tenem os h a sta a h o ra son los núm eros enteros (positivos, nega tivos y cero). L os núm eros naturales son, desde luego, los enteros positivos y, con frecuencia, nos referim os a ellos m ediante ese nom bre. Obsérvese que hay m uchos p u n to s de la recta que todavía n o están asociados con núm eros. N ecesitam os, p o r lo m enos, colocar las fracciones -J f , —y , —§•, y así sucesivamente. Entre dos núm eros enteros cualesquiera, hay u n a infinidad de fracciones. P o r tan to , en u n a figura, to d o lo que podem os hacer es representar algunas de ellas, com o p o r ejem plo: - 5 2
— ------- 5
-5 3
_? 3
I------- 1-------- H — H— II -4
-3
-2
-1
I 2
1 0
3 2
7 3
I I 1 1
II 2
1-------- 1------- b — 3
4
5
L os núm eros que hem os m encionado hasta a h o ra son los núm eros de la form a plq, dond e p y q son núm eros enteros y q n o es cero. Éstos se llam an los números racionales. (Este térm ino n o pretende sugerir que los dem ás núm eros no son razona bles. Simplem ente, se refiere a que los núm eros racionales son razones de núm eros enteros.) Es evidente que los núm eros racionales n o llenan totalm ente la recta num érica. H ay m uchos núm eros q u e n o pueden expresarse com o razones de enteros. P or ejem plo, J ' l n o es un núm ero racional. Lo m ism o ocurre con y/3 y y/5 y, tam bién, con núm eros tan “especiales” com o n.
22
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
Si colocam os to d o s estos núm eros de m anera que a cada p u n to de la recta se le haya asignado un núm ero, entonces tendrem os el conjunto com pleto de los números r e a le s :
------5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-
El alum no debe fijarse en que estos núm eros aparezcan en la figura aproxim ada m ente en los sitios que les corresponden. L os núm eros reales se utilizarán am pliam ente en lá geom etría. D e ah o ra en adelante, convendrá que pensem os en ellos com o dispuestos en u n a recta. U n núm ero x es menor que u n núm ero y , si x está a la izquierda de y en la recta num érica, com o se m uestra a co n tin u ació n :
X
.. _ 3
_2
-1
y
o
2
3
Esto se indica escribiendo x < y . Evidentem ente, todo núm ero negativo está a la izquierda de to d o núm ero positivo. P o r consiguiente, todo núm ero negativo es m enor que cualquier núm ero positivo. P o r ejemplo. -1 .0 0 0 .0 0 0 < iV, aunque el núm ero —1.000.000 puede, en cierto m odo, parecer m ás grande. L as expresiones en las cuales se em plea el signo < se llam an desigualdades. C ual quier desigualdad puede escribirse al revés: y > x significa lo m ism o que x < y . A sí, pues, y > x , si y está a la derecha de x en la recta num érica. L a expresión x < y significa que x < y o x = y . Así, —2 < 1, porque —2 < 1; y 2 < 2, p orque 2 = 2. E n sus estudios de álgebra, ya el alum no h a aprendido m ucho acerca de cóm o se com p o rtan los núm eros reales respecto de la adición y de la m ultiplicación. E n reali d ad, el álgebra puede estudiarse de la m ism a m anera que estudiarem os la geom etría en este curso. E s decir, to d a el álgebra q u e el alum no sabe puede deducirse de unos pocos enunciados simples. Sin em bargo, es probable que n o haya estudiado el álgebra de esta m anera, p ero no tenem os tiem po ahora de volver a estudiar el álgebra nuevam ente. P o r tan to , en este curso, utilizarem os casi to d a el álgebra que el alum no conoce, sin com entarios especiales.
Orden en la recta numérica
23
N o obstante, debem os ser cuidadosos con respecto a las desigualdades y las raíces cuadradas, pues, con frecuencia, hay confusión en cuanto a su em pleo. La relación < se llam a una relación de ordenación. Sus propiedades fundam entales son las siguientes:
0 -1 .
Tricotomía P a ra to d o p a r de núm eros x , y , u n a y solam ente u n a de las siguientes condiciones se cum ple: x < y , x = y , x > y .
0 -2 .
Transitividad Si x < y y y < z , entonces x < z .
0 -3 .
Propiedad aditiva Si a < b y x < y , entonces a + x < b + y .
0 -4 .
Propiedad multiplicativa Si x < y y a > O, entonces a x < ay.
T odas las propiedades corrientes de las desigualdades se deducen de las cuatro propiedades anteriores. Finalm ente, necesitarem os la siguiente propiedad de ios núm eros reales: R -l.
Existencia de raíces cuadradas T o d o núm ero positivo tiene p o r lo m enos una raíz cuadrada positiva.
H ay u n detalle u n poco engañoso en relación con las raíces cuadradas. C uando decim os con palabras que x es una raíz cuadrada de a, sencillam ente entendem os que x 2 — a. P o r ejemplo, 2 es una raíz cuad rad a de 4, po rq u e 22 = 4. —2 es, tam bién, u n a raíz cuad rad a de 4, p o rq u e ( —2)2 = 4. Pero, cuando escribimos con sím bolos que x = J a , esto significa que x es la raíz cuadrada no negativa de a. En consecuencia, las siguientes afirm aciones son ciertas o falsas, según se indica: C ierta: F alsa:
—2 es una raíz cu ad rad a de 4. —2 = J A .
El po rq u é de este convenio es sencillo. Si J a p udiera den o tar lo m ism o la raíz no negativa que la n o positiva, entonces, n o tendríam os un sím bolo para representar la raíz n o negativa de 7. E l colocar u n signo m ás antes de la expresión a nada nos conduce, p o rq u e u n signo m ás n u n ca altera el valor de u n a expresión. Si ~Jl
24
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
fuera negativa, entonces + tam bién lo seria. P o r esta razón, convenim os en que N a d en o ta siempre la raíz no negativa de a. La raíz n o positiva de a es — ~Ja\ y N 0 = 0. Q uizás, sea conveniente referirse a las siguientes propiedades al exponer las razones p ara algunas afirm aciones que se hagan en razonam ientos algebraicos: Propiedad aditiva de la igualdad Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. Propiedad de la igualdad con respecto a la sustracción Si a = b y c = d, entonces a — c = b — d. Propiedad multiplicativa de la igualdad Si a = b y c = d, entonces ac = bd.
C o n ju n to de p roblem as 2 -2 1. Construir una tabla cuyas columnas tengan los siguientes titulares: “Números reales”, “ Números racionales”, “Enteros” , “ Números irracionales” . Debajo del titular “N ú meros reales”, escríbanse los siguientes números: 7, i , V 2
T *
V T Í, 0,02,
V 4,
¡3
lí,
14.003,
-3 ,
19
" V i ’ ° ’ ! ’414’ “ V i s *
w-
Complétese la tabla, colocando cada número debajo del nombre de cada subconjunto de los números reales a que pertenece. 2. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso: (a) Los números negativos son números reales. (b) La recta de los números reales tiene al menos un extremo. (c) —a: es un número negativo para todo x. (d) El punto que corresponde a g en la recta de los números reales está entre los puntos correspondientes a f y f . (e) Existe un punto en la recta de los números reales que corresponde a V i , el cual es diferente del punto que corresponde a 1,414. (f) Si x es un número negativo, entonces —x es un número positivo. (g) Si x > y , entonces x — y > 0.
Orden en la recta numérica
25
3. Indicar el orden en que dispondríamos sobre una recta numérica en la cual los números positivos están a la derecha del cero, los puntos correspondientes a los números de los siguientes conjuntos: i (a) i Ü , l f . (c) -1 ,3 , - 0 ,7 , -2 ,1 4 .
(b) 4,1, 4,06, 4,012. (d) | , - l f , - l i
4. Escribir los siguientes enunciados, utilizando los símbolos de ordenación (es decir, < , > , etc.): (a) x es un número mayor que 0. (b) y es un número entre —1 y 2. (c) w es un número entre —1 y 2, inclusive. (d) k es un número positivo. (e) m es un número negativo. ( 0 n es un número no negativo. 5. Escribir con palabras cada uno de los siguientes enunciados: (a) A B > CD. (b) m < n . (c) —11 < 5 < 8. (d) —2 < ,k < 2 .
(e )x < 0 .
(f) >>>0.
6. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos ? (a) V Í6 = 4. (b) V25 = —5. (c) - V 64 = - 8.
(d) - VÓ.36 = - 0 ,6 .
(e) - V0,04 = 0,2.
7. ¿Para cuáles de los siguientes enunciados será cierto que V x 2 ■ x l (a) x = 3. (b) x = —3. (c) x = 0. (d) x = 1.
(e) x = - l .
(g) x > 0 .
(h )^ > 0 .
(f)je < 0 .
8. Sobre una recta numérica, marcar intervalos unidad de I centímetro y colocar correcta mente los siguientes números: 0, 9.
1,
V4,
-V 4 ,
V9,
—V9,
V 16,
—V25.
Si r y í son números reales distintos de 0 y r > ,v, indicar si los siguientes enunciados son ciertos para todo r y todo í (C), son ciertos para algunos r y s solamente (A), o nunca son ciertos (N ): (a) s > r.
(b) r - s > 0.
(c) - > 1. s
(d) í 2 < r 2.
* 10. Seguir las instrucciones del problema anterior en los siguientes ejercicios: (a) - > - /• s
(b) r 3 > f 3.
(c) —r < —s.
(d) r — 2 < í — 2.
:
''
•'
.
¡Á
26
2 -3 .
C onjuntos, núm eros reales y rectas
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un núm ero x se denota por |x |. El significado del sím bolo |x| se com prende rápidam ente, si se exam inan algunos ejem plos:
121=2, - 2 | = 2, m =
1,
II oo
|- 8 1 = 8 , OO
101=0,
1-951=95, |- V I 3 | = VI3,
y así sucesivamente. E n los ejemplos anteriores, utilizam os las siguientes reglas: (1) Si X > 0, entonces |x | = x. (2) Si x < 0, entonces \x\ es el núm ero positivo correspondiente. Si un núm ero determ inado se escribe aritm éticam ente, es fácil ver cóm o se escribe su valor absoluto. Si no hay u n signo menos antes del núm ero, n o hacem os cam bio alguno. Si hay u n signo m enos antes del núm ero, om itim os dicho sím bolo para obtener el valor absoluto. P ero cuando trabajam os algebraicam ente con expresiones com o |x |, \a — b\, etc., es conveniente tener u n a form a algebraica de la condición (2) anterior. Así, dad o u n núm ero negativo x , nos interesa tener u n a m anera algebraica de describir el núm ero positivo correspondiente. Si el núm ero negativo se denota p o r x , entonces n o pode mos “ om itir el signo m enos”, p o rq u e n o hay tal signo menos que om itir. Podem os resolver esta dificultad m ediante u n sencillo artificio: si x < 0, entonces el número positivo que le corresponde es - x . H e aq u í algunos ejem plos: x = —2,
—x =
—( —2) = 2,
x — -3 ,
-x =
- ( - 3 ) = 3,
y así sucesivamente. A h o ra, podem os d a r una segunda descripción de |x |, com o sigue: (1) Si x > 0, entonces |x | = x. (2) Si x < 0, entonces |x| = —x. E sta segunda form a es m ás difícil de com prender al principio, pero es m ás fácil de em plear m ás tard e. El alum no debe tra ta r de aplicarla a varios núm eros hasta que se convenza de que realm ente dice lo que pretendem os.
1
Valor absoluto
27
C o njun to de p roblem as 2 -3 1. Evaluar cada uno de los siguientes: (a) |5|.
(b) 1—61.
( c ) - M |.
( d ) |2 | + ( - 2 ) .
( e ) |2 | + | - 2 | .
( 0 |8 — 5|.
( g ) |5 - 8 |.
( h ) |5 |- |8 |.
(i) | - 8 - 5 | .
2. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son siempre ciertos: (a) I —3| = 3 .
(b) |3| = —3.
(c) |7 — 9| = |9 —'7|. (d) | 0 - 4 | = | 4 - 0 | . (e) |A:| = k para todo número real k. 3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos para todos los valores de las variables? (a) | —«| = —n. (c) | x - 3 | = | 3 - x | .
(b) |a'2| = n 2. (d) \ a - b \ = | 6 - a | .
(e) \d + l|- = \d\ + 1 . 4. Completar cada uno de los siguientes enunciados: (a) Si k > 0, entonces \k\ = ---------------(b) Si k < 0, entonces \k\ = ---------------(c) Si k = 0, entonces |A:| = ___í----------5. Cada una de las figuras siguientes es la gráfica en la recta numérica del enunciado alge braico escrito a su izquierda:
x < 2 ->
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
!x| = 2 ^ 1*1<2 !>2
Construir gráficas para los siguientes enunciados:
6.
(a) x = 1.
(b) x es un número negativo.
(c) x > \ .
(d) * > 0 .
(e) |*| = 1.
(f) N < 1 -
(g) \x\ > 1.
( h ) |* |> 0.
(a) ¿En qué se diferencia la gráfica de .x < 0 de la gráfica de x < 0 ? (b) ¿En qué se diferencia la gráfica de |->r| = 1 de la gráfica de jx| < 1 ? (c) ¿En qué se diferencia la gráfica de —1 < x < 1 de la gráfica de |x| < 1 ?
28
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
7. Si consideramos enunciados algebraicos con dos variables x y y, donde x y y son números reales, podemos construir gráficas de dichos enunciados en el plano xy. Por los estudios anteriores de matemáticas, se recordará que representamos gráficamente el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que hacen cierto el enunciado algebraico. Asi, la gráfica de x — y = 1 se muestra a la izquierda y la gráfica de x — y < 1 se muestra a la derecha. y
y
(a) Trazar la gráfica de y = |x|.
(b) Trazar la gráfica de y > |*|.
8. Utilizar el ejercicio anterior como una introducción para este problema: (a) Construir la gráfica de |x| + \y\ = 1. (b) Construir la gráfica de |x| + |j>| < 1.
2 -4 .
REG LA S Y U N ID A D ES D E DISTANCIA
Si la distancia entre dos p u n to s P y Q no es m ayor que un pie, podem os m edir dicha distancia m ediante u n a regla ordinaria:
p i
\
;i
i 2
i ■i
i 4
i 5
i 6
o T 7
i 8
i 9
i 10
i 11
12
.
En la figura, la distancia es de 7 pulgadas. Desde luego, n o necesitábam os colocar el p u n to cero de la regla en P. L o m ism o podíam os haber colocado la regla así:
o r 4
-T6
7
10
11
12
E n este caso, hallam os que la distancia entre P y Q, m edida en pulgadas, es 9 - 2 = 7, igual que antes.
R eglas y unidades d e d istan c ia
29
Q
I 10
Z\ 11 ' __ L
01
8
I
12
T
14
16
“I
1
I
1
T
20
22
24
26
28
/ I
30
l
M uchas reglas tienen u n bord e m arcado en centím etros. U tilizando la escala de centím etros, podríam os h ab er colocado la regla com o se indica en la figura anterior. Esto nos d aría una distancia aproxim ada de 18 cm ., donde cm. significa centím etros. Desde luego, un pie es equivalente a 12 pulgadas, y u n a yarda es equivalente a 36 pulgadas. U n m etro (m .) equivale a cien centím etros. U n m ilím etro (m m .) es u n a milésim a de u n m etro. P o r consiguiente, podem os m edir la distancia entre P y Q al m enos de estas seis m aneras: 180 m m ., 18 cm ., 0,18 m ., 7 pulgadas, t t pie, Te yarda. Así, el número que obtenem os com o u n a m edida de la distancia depende de la unidad de medida.
C onjunto de p roblem as 2—4A 1. La distancia del punto H al punto K, medida en metros, es 4. Si elegimos el centímetro como unidad, ¿qué número representará la medida de la distancia entre H y K l 2. La distancia entre K y M , medida en pulgadas, es 9. ¿Qué número da la medida en pies de la distancia entre K y M I P
O
R
T
(a) Se utilizaron reglas marcadas con varias escalas para medir las distancias PQ , PR, PT y QT, y se tabularon los resultados. Completar la tab la:
Unidad de medida Pulgada Pie Yarda Centímetro
PQ
PR
PT
2
i 18
i
i
9
5,08 50,8
Milímetro 0,0762
Metro
0,364
Cuarta Palma
QT
0,54
(b) ¿Cuál es-la razón de PQ a P R 1 ¿Y de PQ a P T t (c) ¿Cambia la razón de PQ a P T cuando se utilizan diferentes unidades? (d) ¿Cuánto mide QR en pulgadas?; ¿en centímetros?; ¿y en cuartas?
30
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
4. Comentar acerca de las siguientes preguntas: (a) ¿Por qué tenemos tantas unidades diferentes para medir distancias? (b) Supongamos que pudiéramos establecer una sola unidad universal para medir distancias. ¿Qué ventajas ganaríamos? ¿Qué desventajas resultarían? 5. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los números apropiados: (a) 6 pulgadas = ______ pies = _______ yardas. (b ) _____________________ pulgadas = 7¿ pies = ____yardas. (c) ______ pulgadas = _______ pies = I yardas. 6. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los números apropiados: (a) 2 m. = ______ cm. = _______ mm. (b) ____________ m. = 50 cm. = _mm. (c) ______ m. = _______ cm. = 1 mm. A
A, B y C son tres puntos de una recta dispuestos como se muestca en la figura. Calcular AC, si se da que: (a) A B = 6 cm. y B C = 12 cm. (b) A B = 6 metros y BC = 1 2 metros. (c) A B = 6 Km. y B C = 12 Km.
9
_
8. A, B y C son tres puntos de una recta dispuestos en el orden que se indica en la figura para el problema anterior. Determinar AC, si se da que: (a) A B = 6 pies y BC = 12 pulgadas. (b) A B = 6 pulgadas y BC = 12 pies. (c) A B = 6 yardas y BC = 12 pulgadas. 9. Obsérvese que en los problemas 7 y 8 aparecen solamente los números 6 y 12. Explicar por qué en el problema 7 las respuestas a las tres partes son el mismo número, aunque las unidades son distintas, mientras que en el problema 8 todas las respuestas son diferentes. Lógicam ente hablando, u n a unidad es tan buena com o otra. Sin em bargo, utilizar varias unidades en un m ism o problem a podría causar dificultades innecesarias. Elijamos, pues, u n a unidad y convengam os en utilizar esa unidad en todos nuestros teorem as. (N o im p o rta qué unidad elijamos. Si se prefieren pulgadas, codos o leguas, estam os en libertad de considerar que son ésas las unidades que em plearem os. Todos nuestros teoremas serán ciertos para cualesquiera unidades.)
R eglas y unidades de d istan c ia
31
Asi, u n a vez elijam os una unidad, p a ra cualquier par de puntos P , Q, h a b rá un núm ero que nos diga cu án to dista P de Q. A este núm ero le llam am os la distancia entre P y Q. Expondrem os esto en fo rm a m ás precisa, enunciando un postulado y u n a defini ción.
PO STULADO 1.
Postulado de la distancia
A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.
D e fin ic ió n
L a distancia en tre dos p u n to s es el núm ero obtenido m ediante el postulado de la distancia. Si los p u n to s son P y Q, entonces indicam os la distancia p o r PQ . A dm itim os la posibilidad de que P = Q, es decir, de que P y Q sean el m ism o punto. E n este caso, P Q = 0. L a distancia se define sim plem ente con relación a u n p a r de puntos y n o depende del o rden en que se consideren los puntos. E n consecuencia, siempre tenem os que P Q = QP. E n algunos de los problem as presentados en el texto, se utilizan varias unidades, tales com o centím etros, pies, kilóm etros, etc. Según indicam os anteriorm ente, todos nuestros teorem as serán aplicables a cualquiera de estas unidades, siem pre que consistentemente se utilice sólo una unidad cada vez que se aplique un teorema. E n otras palabras, puede hacerse la elección que se prefiera, siem pre q u e se m antenga, pero no podem os cam biar las unidades e n m edio de un teorem a.
C onjunto de p roblem as 2 -4 B 1. Alberto, Braulio y Carlos midierón, en centímetros, la distancia entre dos puntos, P y Q, marcados en la pizarra. Alberto dijo que PQ = 27, Braulio dijo que PQ = 27,5 y Carlos dijo que PQ = 26,75. ¿Cuántos de los niños pueden estar en lo cierto? ¿Por qué? ¿Tenía que ser necesariamente correcta alguna de las respuestas? Justifiqúese esto. 2. Si la distancia PQ es 135 cm., ¿cuánto es PQ medida en metros? ¿Y medida en kiló metros? 3. Si la distancia R S e s 15 pies, ¿cuánto es R S medida en pulgadas? ¿Y medida en yardas?
32
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
4. Eduardo y Francisco calculaban las distancias entre los mismos puntos A, B y C.
Eduardo dijo: “Si AB 1, entonces BC =2.1”. Francisco dijo: “Si A B = 12, entonces BC = 30”. Si ambos niños estaban en lo cierto, explicar cómo pudieron obtener dife rentes números para las mismas distancias. ¿Está esto de acuerdo con el postulado de la distancia? 5. Si la distancia R S es jr pies, ¿cuál es RS medida en pulgadas? ¿Y medida en yardas? 6. La distancia AB medida en centímetros es 150 unidades mayor que 25 veces la misma distancia medida en metros. ¿Cuál es la distañcia AB en metros ? . 7. El perímetro de un triángulo medido en pulgadas es 10 más que 10 veces su perímetro medido en pies. ¿Cuál es el perímetro en pies? 8. Si la longitud de cada lado de un cuadrado es de 4 metros, entonces su perímetro es de 16 metros y su área de 16 metros cuadrados. Puesto que 16 = 16, el enunciado, “ El área de un cuadrado es igual a su perímetro”, es cierto para este cuadrado. (a) ¿Será cierto el enunciado, si los lados de este cuadrado se miden en centímetros? ¿Y si se miden en kilómetros? (b) Describir otros dos cuadrados para los cuales el enunciado es cierto. (c) ¿Qué tienen en común los tres cuadrados para los cuales es cierto el enunciado ? 9. Si un rectángulo mide 6 pies de largo y 4 pies de ancho, el enunciado, “El perímetro del rectángulo es la suma del doble de la medida de la longitud y el doble de la medida del ancho”, es cierto para este rectángulo. (a) ¿Será cierto el enunciado si la longitud y el ancho se miden en pulgadas? ¿Y si se miden en yardas? (b) ¿Depende la veracidad de este enunciado de una elección especial de los números? ¿Y de una elección especial de las unidades ? 10. El radio de una circunferencia es de 2 metros, la longitud de la circunferencia (C -- 2-nr)
es de 477 metros y el área del círculo asociado (A nr2) es de 4tt metros cuadrados. Entonces, el enunciado, “El área del círculo es igual a la longitud de la circunferencia asociada”, es cierto en este caso. (a) ¿Será cierto el enunciado si el radio se mide en centímetros? (b) Describir otras dos circunferencias para las cuales el enunciado es cierto. (c) ¿Depende la veracidad del enunciado de una elección especial de los números? ¿Y de una elección especial de las unidades ? 11. En los problemas 8, 9 y 10, se observaría que algunos enunciados geométricos son ciertos
para un cierto número solamente, no importa qué unidad se utilice. Otros enunciados son ciertos, no importa qué números o qué unidades se utilicen.
U na re g ia infinita
33
Verificar que cada uno de los siguientes enunciados es cierto. Luego, indíquese si cada uno sigue siendo válido al medirse las longitudes en una unidad diferente. Indíquese, además, qué enunciados siguen siendo válidos únicamente si se utiliza el mismo número, o el mismo conjunto de números, para todas las unidades: (a) El perímetro de un rectángulo de 3 metros de ancho y 4 metros de largo, es 14 metros. (b) El perímetro de un cuadrado cada uno de cuyos lados mide 2 pies, es el doble del área del cuadrado. (c) El perímetro de un triángulo cada uno de cuyos lados mide 12 centímetros, es 36 centímetros. (d) U n triángulo cuyos lados miden 3 metros, 4 metros y 5 metros, respectivamente, es un triángulo rectángulo. (Utilícese la relación pitagórica.) (e) U n triángulo cuyos lados miden 9 pulgadas, 12 pulgadas y 15 pulgadas, respectiva mente, es un triángulo rectángulo. (f) El área de un círculo cuyo radio mide 4 pies es igual al doble de la longitud de la circunferencia asociada.
2 -5 .
UNA R E G L A IN FIN ITA
Al com enzar la unidad, m arcam os u n a escala n um érica sobre una recta de la m anera siguiente: - v 's V2 v - ----------- t------- 1------- 14— 1------- 1---------1—I— I------U-------1------------4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 D esde luego, pudim os hab er utilizado u n a escala m ás g ran d e: -V 3 -
2
Vi -
1
0
1
2
o u n a escala m ás pequeña: “ V3 ---------------»------ 1— I......H - -I-4
-3
-2
-1
!■
V2 I II
0
1
2
r II
I---------------------- --
3
4
Pero, convengam os en que, de a h o ra en adelante, cada vez que m arquem os una escala num érica sobre u n a recta, utilizarem os la escala d ad a por el postulado de la distancia.
34
nú m ero s reales y re c ta s
Es decir, ei p unto m arcado 1 deberá estar a una distancia 1 del punto m arcado 0 ; el p u n to m arcado —2 deberá estar a una distancia 2 del p u n to m arcado 0; y así sucesiva mente. En la figura, podem os leer directam ente las distancias
QR= 1, Q S = 2. Q T = 3. R estando, obtenem os R S = 2 - 1 = 1, RT= 3 - 1 = 2 , P R = 1 - ( - 2 ) = 3. E n efecto, parece que siem pre podem os obtener las distancias, calculando la dife rencia entre los núm eros correspondientes. E sta afirm ación n o es totalm ente correcta. Si tom am os los p u n to s P y R en el o rden inverso, obtenem os la respuesta errónea RP= - 2 - 1 = -3 , q ue es el negativo de la respuesta correcta. E n efecto, la resta d a u n a respuesta nega tiva aproxim adam ente en la m itad de los casos. Sin em bargo, es fácil elim inar esta dificultad: tom am os el valor absoluto d e la diferencia de los núm eros correspondientes. C uando hacem os esto, todas nuestras respuestas correctas siguen siendo correctas y to d as nuestras respuestas erróneas se convierten en correctas. P o r ejemplo, P f l = | l - ( - 2 ) 1 = 131 = 3,
y R P = | - 2 - ,1| = | - 3 | = 3, com o debe ser. Vemos, pues, que la distancia entre dos puntos es el valor absoluto d e la diferencia de los núm eros correspondientes. El razonam iento an terio r se hace más form al resum iéndolo en form a de postulado. P O S T U L A D O 2.
Postulado de la regla
Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de uña recta y los números reales de manera que (1) a cada punto de la recta corresponde exactamente un número real; (2 ) a cada número real corresponde exactam ente un punto de la recta; >' (3) la distancia entre dos puntos cualesquiera es e l valor absoluto de la diferencia de los números correspondientes.
U n a re g ia infinita
35
L lam am os a éste el p ostulado de la regla, porque, en efecto, nos proporciona una regla infinita que puede colocarse sobre cualquier recta y, m ediante ella, podem os m edir la distancia en tre dos p u n to s cualesquiera.
D e fin ic io n e s
U n a correspondencia com o la descrita en el postulado de la regla se llam a un sistem a de coordenadas. El núm ero correspondiente a un p u n to dad o se llam a la coordenada del punto. p Q r s T « ------------------- 1------- 1------- 1------- 1------- h-------1------- 1------------------- -- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
P o r ejem plo, en la figura anterior, la co o rdenada de P es —2, la co ordenada de Q es 0, la coordenada de R es 1, y así sucesivamente, p
-----t------- 1 Si la coo rdenada de P es x y la co o rdenada de Q es y , entonces el postulado de la regla nos dice que P Q = \ y - x\.
En la figura anterior, se marcó un sistema de coordenadas en una recta, con el punto 0 en A y el punto 1 en C. Para hacer más fácil la lectura, se marcaron las coordenadas que corresponden a números no enteros un poco más abajo que las correspondientes a enteros. Determinar las distancias siguientes: (a) A C (b) A D (c) E l (d) PR (e) R I
(f) A N
(g) B H
(h) QM
(i) A F
ü)
(k) N D
(1) PF
2. Simplificar: (a) |6 —2|
DJ
(b) |2 — 6|
(c)
(d) |0 — 5|
(e) |0 — (—5)|
(f) | 4 - ( - 4 ) |
|5 —0|
(g) 14
(h) \x —0|
(i) | * - ( - x ) |
36
C onjuntos- n ú m ero s reales y rectas
1
S
E
S
E
E
"
™ °_y * , s \
y
re8 ,i " "
-
(b)8*° 7
n
(j) O y *
( e) ~ i y i
(f)
5
(0 0 y - 8 V 2 y V5
(i ) 2í7 y
una hoja de Expliqúese.
P ~ de P m ,os con las
-o
el c e r o S ta * " '" ! ^ PUní° S marcados en c la reS|a en uno de los puntos?
f e . 'í f é K S í - ' (a) Q corresponda a un número positivo,
(b) Q corresponda a un número negativo.
6
Escalo A - 4 Escala B
0
-2 1
2
R
3
4
5
q
P
6
los S U S S f c i S t S ^ . A y B Se UtÍ" ZÓ ,a “ ib!
s —
(c) ¿Cuál es la distancia P 0 en la escala A ?
7'
« * * . pero se marcaron ■ a?
la escala B ? '
supon8artos1que * ie v*ene a ser el nuevo número
asignado a cada punto. (a) Si la coordenada original de P p ra s nada * ff „ - 2 ,. ¿c„á, será J W IrS n a T a S
'* * * a,a A‘
*** “
“
* "* M B
(c)s s i l afc*
l | |w
»
»• « u á le s » á „ su5 nu„ as
aunn“v°
(d) Demostrar que la fórmula
'
[(Nuevo número, asignado , „ „ punto) _ m „e ío número
En la figura anterior, utilizamos la misma unidad en las escalas A y B, pero se marcaron los números de manera diferente. (a) ¿Cuál es la coordenada de K en la escala A? (b) ¿Cuáles son las coordenadas de M y N en la escala B? (c) Si x
—6, ¿cuál es la coordenada de M en la escala B?
(d) Si la coordenada de N en la escala B es 91, ¿cuál será el valor de y l (e) ¿Cuál es la distancia KM 1 ¿Y la distancia MN1
9. ¿Cuántos números reales hay? ¿Cómo lo sabemos? ¿Dice esto algo acerca del número de puntos de una recta? ¿Cuántos puntos contiene una recta? ¿Qué papel juega el postulado de la regla en nuestro razonamiento ?
10. En un cierto país, los pueblos Arroyo, Bonanza y Colinas están en línea recta, aunque no necesariamente en ese orden. La distancia de Arroyo a Bonanza es 8 kilómetros, y la distancia de Bonanza a Colinas es 14 kilómetros. (a) ¿Será posible decir qué pueblo está entre los otros dos? ¿Qué pueblo no está entre los otros dos? (b) Utilizar un dibujo para determinar la distancia de Arroyo a Colinas. ¿Habrá más de una posibilidad? (c) Si sabemos, además, que la distancia de Arroyo a Colinas es 6 kilómetros, ¿qué pueblo estará, entonces, entre los otros dos? (d) Si la distancia entre Arroyo y Bonanza fuera k kilómetros, la distancia entre Arroyo y Colinas m kilómetros, y la distancia entre Bonanza y Colinas k + m kilómetros, ¿qué pueblo estaría entre los otros dos ?
11. E, H, K son tres puntos de una recta. E y H están a 3 centímetros de distancia y H y K están a 5 centímetros de distancia. ¿De cuántas maneras será posible disponer los tres puntos? Explicar mediante un dibujo.
12. Se asignan tres sistemas distintos de coordenadas a la misma recta. A tres puntos fijos A, B, C de la recta se le asignan las siguientes coordenadas: En el sistema I, la coordenada de A es —6 y la de B es —2. En el sistema II, las coordenadas de A y C son —4 y
3, respectivamente.
En el sistema 111, las coordenadas de C y B son 7 y 4, respectivamente. (a) ¿Qué punto está entre los otros dos? (b) Evaluar AB + A C + B C .
rr 38
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
2 -6 .
E L POSTULADO D E COLOCACIÓN D E L A REG LA , INTERPOSICIÓN, SEGMENTOS Y RAYOS
El postulado de la regla nos dice que podem os, sobre cualquier recta, fijar un sistema de coordenadas m arcando una escala num érica. Evidentem ente, esto puede hacerse de m uchas m aneras diferentes. Por ejem plo, dad o un punto cualquiera P de la recta, podem os colocar el cero en P y seguir m arcando el resto de la escala en cualquiera de los dos sentidos, com o sigue: p
-4
-3
—2
-1
0
1
2
3
4
P
4
3
2
1
o
-1
-2
-3
-4
P or tan to , si Q es o tro p u n to cualquiera de la recta, podem os m arcar la escala de m anera que la coordenada de Q sea positiva, según se indica a con tin u ació n :
-4
-—
-3
-2
-1
0
1
2 x 3
4
H---------1— - M ------------------------------------ 1------ f ---------- 1----------- 1----------- 1-----4 3 x 2 1 0 -1 -2 -3 -4
E n cada caso, se m arcó la escala de m anera que x > 0. H acem os esta observación m ás form al, enunciándola com o un postulado.
PO STULADO 3.
El p o stu la d o d e colocación d e la regla
Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger e l sistema de coordenadas de manera que la coordenada de P sea cero y la coordenada de Q sea p o s i t i v \ \
T odos sabem os lo que significa decir que u n p u n to B está entre dos puntos A y C. Significa que los tres p u n to s están en u n a recta y que están colocados de esta m anera:
8 o de esta o tr a :
c
Colocación d e la re g la , interposición, segm entos y rayos
39
H asta ah o ra, to d o va bien. N o creem os que nadie tenga dificultad alguna en com prender el significado de la palabra entre, una vez se hayan presentado varios dibujos. Pero, en el C apítulo 1, prom etim os que definiríam os todos nuestros térm inos ' geométricos, con la excepción de punto, recta y plano. Así, pues, debem os cumplir nuestra prom esa, d a n d o una definición m atem ática de entre que conlleve la idea que tenem os en m ente. E sto se hace con facilidad.
D e fin ic ió n
B está entre A y C, si (1) A , B y C son p u n to s distintos de una m ism a recta, y (2) A B + B C = A C . Es fácil co m p ro b ar que esta definición, en efecto, describe la idea que se trata de describir. Sin em bargo, hay un detalle u n ta n to sutil en la m anera de enunciar la definición. C onsiste en el em pleo de la palabra si. C uando en una definición se enlazan dos cláusulas m ediante la p alab ra si, las dos cláusulas deben considerarse com pletam ente equivalentes. A sí, si sabem os que B está en tre A y C, podem os concluir que las con diciones (1) y (2) se cum plen; y si sabem os que (1) y (2) se cum plen, podem os concluir que B está entre A y C. Este em pleo de la palab ra si es especial, porque es diferente del em pleo que se le d a en el lenguaje corriente. T am poco se em plea de ese m odo en los postulados y teorem as. Solam ente en definiciones la p alab ra s i significa es equiva lente a.
Conjunto de p roblem as 2 -6 A 1 . C o n s id é re s e u n s iste m a d e c o o r d e n a d a s e n u n a re c ta . L o s p u n to s R y S tie n e n c o o rd e n a d a s x y y, re sp e c tiv a m e n te . S e a p lic a el p o s tu la d o d e c o lo c a c ió n d e la re g la , e s d e c ir, se ■ a lte ra la e sc a la , d e m a n e r a q u e la c o o r d e n a d a d e R se a 0 y la c o o r d e n a d a d e 5 se a u n n ú m e r o p o s itiv o . I n d ic a r c u á l s e r á e se n ú m e r o p o sitiv o , si lo s v a lo re s d e x y y so n los s ig u ie n te s : <
(a) x = —3, y = 4 . (c)
x = 8, y = —2.
(e )x
= 5,2, y = 6,1.
(b)x=-4, '
(d ) x
y = - 10.
= f , y = -4 .
(f) x = a, y = b.
2. A , B y C son tres puntos de una recta. A C = BC = 5. La coordenada de C es 8 y la coordenada de A es mayor que la coordenada de B. ¿Cuáles son las coordenadas de A y B1
40
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
3. A, B y C son tres puntos de una recta. AC = BC = 10. La coordenada de C es 8 y la coordenada de A es mayor que la coordenada de B. ¿Cuáles son las coordenadas de A y B? (4) M , N y P son tres puntos de una recta. M N = 7, NP - 9 y MP M es 3. Indicar cuáles son las coordenadas de N y P, si: (a) la coordenada de M es menor que la de /V, (b) la coordenada de M es mayor que la de N.
2. La coordenada de
5. Supongamos que R, S y T son tres puntos de una recta. ¿Qué relación debe existir entre RS, S T y RT, si R está entre S y T I 6. P, Q y R son tres puntos de una recta. Si PQ = 12, PR = 7 y QR = 5, ¿qué punto está entre los otros dos? ¿Qué postulado o definición sirve de fundamento a la respuesta? 7. G, H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H son 4 y —3, respec tivamente. Si H e stá entre G y K, y GK = 13, ¿cuál esla coordenada de K t 8. A, E y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de A y K son respectivamente. Si A E = EK, ¿cuál es la coordenada de E r!
V 2 y —V 18,
9. A, B y C son tres puntos de una recta y sus coordenadas son a, b y c, respectivamente. Si \a —c| + |c - b\ = \a — b\, ¿qué punto está entre los otros dos? Justifiqúese la res puesta. * 10. ¿Es el siguiente enunciado una definición de interposición para ios puntos de una recta?
F, G y H son puntos distintos de la misma recta y FG + GH —FH, si G está entre F y H. ¿En qué difiere este enunciado de la definición presentada en el texto ?
11. Si A, B y C son tres puntos de una circunferencia, ¿puede
decirse qué punto está entre los otros dos? Comentar esto.
Las dos siguientes afirm aciones son evidentes: (1) Sean A , B y C tres p u n to s de u n a recta, con coordenadas x, y y z: A
8
C*
x
y
Z
Si x < y < z , entonces B está entre A y C.
Colocación de la regla, interposición, segm entos y rayos
41
(2) Si A , B y C son tres puntos distintos de la m ism a recta, entonces exactam ente uno de ellos está entre los otros dos. A
c
b
B
A
C
B
C
A
En efecto, las dos afirm aciones anteriores pueden dem ostrarse m ediante el postu lado de la regla. Sin esta dem ostración, pueden considerarse las dos afirm aciones com o postulados. A hora, hemos llegado a una etap a en la cual necesitam os el siguiente postulado:
P O S T U L A D O 4.
P ostulado d e la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene. A
B
La recta que contiene los puntos A y B se denota p o r A B . A quí, la raya con dos p u ntas de fincha sobre las letras A y B se supone que nos recuerde la figura que utilizam os para representar rectas. La notación sugiere que la recta se determ ina al nom brar los puntos A y B, y esto es exactam ente lo que nos acaba de decir el postu lado de la recta. D esde luego, algunas veces, es m ás sencillo den o tar la recta por una letra com o L , W , u o tra cualquiera. U n segm ento de recta se representa así : a______________________
g
U n a descripción m ás precisa se d a m ediante las siguientes definiciones:
D e fin ic io n e s
P ara d os p u n to s cualesquiera A y B, el segmento A B es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que están en tre A y B. Los puntos A y B se llaman los extrem os de A B. En el sím bolo A B , la raya horizontal sobre las letras se supone que nos recuerde la figura que utilizam os p ara representar un segm ento. Obsérvese que hay una gran diferencia entre el segm ento A B y la distancia A B . En efecto, -son conceptos com pletam ente diferentes: A B es una figura geom étrica, es decir, un conjunto de
42
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
puntos, m ientras que A B es un núm ero que da la m edida de la distancia entre los extremos.
D e fin ic ió n El núm ero A B se llam a la longitud del segm ento AB. U n rayo es una figura que se representa así: A
B
M ediante la figura, se indica que el ray o em pieza en A , pasa por B en linea recta, y sigue indefinidamente en el m ism o sentido. En el sím bolo para representar un rayo, la flecha siem pre se dibuja a p u n tan d o h acia la derecha, no im porta cuál sea el sentido del rayo. P or ejem plo, todos los rayos representados a continuación se d en o tan por ÁB:
H abiendo explicado intuitivam ente lo que es un rayo, procedem os a dar una definición m atem ática.
D e fin ic io n e s
Sean A y B d os puntos de una recta L. El rayo A B es el conjunto de puntos que es la reunión de (1) el segm ento A B y (2) el conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B está entre A y C. El punto A se llam a el extrem o de AB. Las dos partes del ray o se representan así: (i) A
(2) B
C
Si A está en tre B y C en L , entonces los dos rayos A B y A C “ ten d rán sentidos opuestos” :
Colocación d e la re g la , interposición, segm entos y rayos
43
D e fin ic ió n
Si A está entre B y C, entonces A B y A C se llam an rayos opuestos. Obsérvese que un p ar de puntos A y B determ ina, por lo m enos, seis figuras geo métricas y un núm ero. Las seis figuras geom étricas son: ti; L a recta A B
a
b
•
El
s e g m e n to
AB
El
rav o
El
r a y o o p u e s to a
•
í
AB
f
a
b
•
AB
*
¿
El rayo BA
*
El rayo opuesto a B A
a
B
2 b
Desde luego, el núm ero determ inado p o r A y B es la distancia A B.
Conjunto de problemas 2 -6 B y;
A . A, B y C son tres puntos de una recta con coordenadas 7, 3 y 12, respectivamente. ¿Qué punto está entre los otros dos?
/
2. P. Q y R son tres puntos de una recta con coordenadas —5, —V 4 y —V i 2, respectivamente. ¿Qué punto está entre los otros dos?
3. G. H y K son tres puntos de una recta. ¿Cuáles delos siguientes enunciados pueden ser | /\ciertos? (a) K está entre G y H, y H está entre G y K. -(b) H está entre K y G, y H está entre G y K. (c) G está entre H y K, y K está entre G y H. (d) K está entre H y G, y G está entre K y H. (e) G está entre K y //, y G está entre H y K. / \ , y 4. Si tres puntos están en una recta, ¿cuántos de ellos no están entre los otros dos? ^
5. Tres puntos de una recta, R, S, T, tienen coordenadas a, b y a + b, respectivamente; a > 0 y a > b. Indicar qué punto está entre los otros dos, s i: (a) b > 0.
(b) b < 0.
(c) b = 0.
C o n ju n to s n ú m ero s reales y rectas
44 1/
6. D. E ;. /"so n tres puntos que no están en una recta. ¿Cuántas rectas determinan? .Cuáles son? 7. D. E. F y G son cuatro puntos tales que tres cualesquiera de ellos no están en una recta.
¿Cuántas rectas determinan? ¿Cuáles son? 1 ^ 8 . P. Q y R son tres puntos. ¿Cuántos segmentos determinan? ¿Cuáles son? ¿Cuántas rectas determinan? 9. (a)
(b)
¡y Y
(c) 10. ¿Es ¿Es AB «o.
AB? ¿P orqué? ¿Qué es/ I B?
t / 1 * . (a) '
, \ S
si lo hay: X Z contiene los puntos Y y V, pero X Z no contiene ni a Y ni a V. V pertenece a XZ, pero no así Y. Y Z + Z V = YV.
. '
(b) Hacer un dibujo que muestre la posición relativa de los cuatro puntos nombrados en la parte (a).
1 /f/ -* -* * 12. Si R S es opuesto a RT, ¿cuál de los puntos R, S. T está entre los otros dos? 13. ¿Cuál es la intersección de CD y DC? ¿Y la de CD y DC? m
*
14.
Si A, B y C son tres puntos de una recta tales que AC + BC de CB y BA ? ¿De^4CyAf i ? ¿Y la de C4 y CB?
-AB,
¿cuál es la intersecció
*-15. ¿Es el siguiente enunciado una definición correcta del rayo AB? El rayo A B es el conjunto de todos los puntos D de A B para los cuales no es cierto el enunciado "A está entre D y B”. El siguiente teorem a es una consecuencia del postulado de colocación de la regla:
T e o re m a 2 - 1 .
El teorem a d e localización d e p u n to s
Sea A B un rayo y sea .y un núm ero positivo. Entonces, existe exactam ente un pun to P de A B tal que A P = x. Demostración. P o r el postulado de colocación de la regla, podem os elegir un sistema de coordenadas en la recta A B , de m anera que la coordenada de A sea igual a 0 y la coordenada de B sea u n núm ero positivo r.
Colocación de la re g la , interposición, segm entos y rayos
45
Sea P el p u n to cuya co o rdenada es el núm ero d ad o x. Entonces, P está en A B , porque x > 0; y A P = |x - 0| = |x| = x . (P or definición de valor absoluto, |x| = x cuando x > 0.) C om o solam ente un p u n to del rayo tiene coordenada x , sólo un pu n to del ray o estará a una distancia x de A. (Obsérvese que esta dem ostración es análoga al procedim iento que utilizaríam os si dibujáram os el ray o en una hoja de papel y localizáram os el punto P con una regla. Colocaríam os el p u n to cero de la regla en A y entonces m arcaríam os el punto corres pondiente al núm ero x en la escala.)
D e fin ic ió n
U n p u n to B se llam a punto medio de un segm ento A C , sí B está entre A y C y A B = BC.
T e o re m a 2 - 2
T o d o segm ento tiene exactam ente u n p u n to m edio. Demostración. diciones:
N os interesa obtener un p u n to que satisfaga las siguientes con A B + B C = A C , A B = BC.
L as dos ecuaciones n os dicen que AB =
AC
P o r el teorem a anterior, hay exactam ente un p u n to B del rayo A C que está a la distancia A C /2 de A . P or consiguiente, A C tiene exactam ente un p u n to medio.
D e fin ic ió n
Decim os que el p unto m edio de u n segm ento biseca al segmento.
Conjunto de problemas 2-6C
1.
i_______
r v
En ST, S, T y V son puntos distintos. ¿Será posible que S T = S V ? ¿Por qué?
16
Conjunto«, núm eros reales y recta«
2. P es un punto de una recta y n es un número positivo. ¿Cuántos puntos de la recta están a una distancia n de P1 ¿Qué definiciones o teoremas sirven de fundamento a la res. puesta? - 3. A. B y C son tres puntos de una recta. La coordenada de A es 0 y la coordenada de C es 6. Si B es el punto medio de AC, ¿cuál es la coordenada de fl? - 4 . A, B y C son tres puntos de una recta. Las coordenadas de A y B son —2 y 8, respectiva mente. Si C biseca a AB, ¿cuál es la coordenada de C? 5. La coordenada de B, el punto medio de AC, es 5. Si la coordenada de A es mayor que la coordenada de C, y si BC — 9, ¿cuáles son las coordenadas de A y C? - 6 . ¿Puede definirse el punto medio de una recta? 7. (a) Si las coordenadas de P y Q son 4 y 10, respectivamente, y M biseca a PQ, ¿cuál es la coordenada de M I (b) ¿Qué palabra (o palabras) completa el siguiente enunciado? Si M es el punto medio de PQ, entonces la coordenada de M es la __________ de las coordenadas de i5 y Q. 8. ¿Por qué no constituye el siguiente enunciado una definición del punto medio de un segmento ? Un punto B se llama el punto medio de un segmento AC, si AB = BC. 9. (a) Si A, B y C son tres puntos distintos y A B + BC — AC, ¿cuál es la relación entre los tres puntos? (b) Si A, B y C son tres puntos distintos, ¿podrá ser cierto que A B + B C > AC? Si no puede ser cierto, explicar por qué. Si es cierto, ¿cuál es la relación entre A, B y C?
2 -7 .
CAMBIOS EN LA UNID A i) D E DISTANCIA
En la sección 2-4, explicam os que al tra ta r problem as de geom etría podem os elegir una unidad cualquiera de distancia, siempre que en un problem a particular utilicemos consistentem ente la unidad elegida. P or o tra parte, estam os en libertad de em pezar de nuevo, utilizando una nueva unidad en cualquier m om ento. Por ejemplo, supongam os que la distancia dada p o r el postulado de la distancia viene medida en yardas, de m anera que para dos puntos cualesquiera, P y Q, el núm ero PQ es el núm ero de yardas entre P y Q. Si decidimos que es m ejor utilizar
Cam bios e n la unidad d e distancia
47
pies, debem os m ultiplicar to d as las distancias p o r 3. Es decir, si (P Q )' [se pronuncia “PQ p rim a” ] es la nueva distancia entre P y Q, entonces (P Q )' = 3 PQ . La nueva distancia es ta n correcta com o la o tra. El postulado de la regla aú n es válido p a ra la nueva distancia, com o lo e ra p a ra la otra.
-9
-6
-3
0
x'
3
6
y'
9
E n cada recta L , hay un sistem a de coordenadas e n el cual PQ = \y -x \. Para obtener un sistem a de coordenadas que sea ap ropiado para la nueva distancia, lo único que hacem os es m ultiplicar p o r 3 cada u n a de las coordenadas originales. Así, en la figura, x ' = 3x y / = 3y . P o r tanto, |y ' - x'\ = |3.y - 3x| = 3 b > -x | = 3P Q
=
(PQ)',
tal com o debe ser. De hecho, em pezando con dos puntos A y B cualesquiera, podem os elegir una nueva distancia de m anera que (A B )' = 1 . Lo que hacem os es dividir p o r A B todas las distancias originales, es decir. (PQ )' = — . v AB Entonces, ( A B )' = — = 1, AB que es lo que deseábam os. P ara obtener u n sistem a de coordenadas en u n a recta,
48
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
que sea apropiado p a ra la nueva distancia (PQ )', dividim os por A B to d as las coor denadas originales. E s decir,
En la figura, si A B = 3 y A B = BC = CD = D E = EF, entonces A F = 15. Si (A B )' es la nueva1distancia entre A y B para la cual se empleó A B como unidad, ¿cuál será la distancia (AF)'? 2. En el problema I, si (AC)' es la distancia entre A y C para la cual se emplea AC como unidad, ¿cuál será la distancia (AE)'?; ¿la distancia (AF)'?; ¿y la distancia (AB)'? 3. Considerar los siguientes dos enunciados y, para cada uno, decidir si la validez del enunciado depende de una elección especial de la unidad de distancia: (a) Si A , B, C, D, E y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD = D E = EF, entonces A C = BD = CE = DF. (b) Si A, B, C, D, E y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD = D E = EF, entonces A F es exactamente divisible por 5. (Es decir, AF/5 es un entero.) ¿Cuál de los enunciados podría considerarse más “utilizable” ?
4.
0
0,1
0,2
0,3
0 ,4
0,5
0,6
0,7
0 ,8
0 ,9
1
1,1
1,2
M ■___ i___ i___ i___ i_____________________________________ i__i_______ i ____ El sistema de coordenadas indicado en la figura funciona cuando la distancia se mide en metros.Copiar la figura en una hoja de papel y, colocando numerales debajo de la recta, indicar un sistema de coordenadas que funcione cuando la distancia se mide en decí metros. Hacer lo mismo si la distancia se mide en centímetros y en medios centímetros.
Cam bios en la a n id a d de distancia 5.
49
A ----------------- B M ----------------------- — N 0
En la figura, la recta está marcada con dos escalas. En la escala superior, se utiliza la longitud de A B como unidad; en la escala inferior, se utiliza la longitud de M Ñ como unidad. Obsérvese que 6A B = 4M N. (a) ¿Cuál es la razón de A B a M N ? (b) ¿Cuál es la razón de M N a AB? (c) ¿Cuántas veces A B es igual a 3M N? (d) ¿Cuántas veces M N es igual a 4AB? (e) Completar la siguiente tabla: \A B =
MN
1M N —
A fí
2A B =
MN.
2M N
AR
3AB =
MN.
3M N —
AB
4AB =
MN.
4M N =
AR
5A B =
...
MN.
xM N =
AB.
6A B =
MN.
xA B =
MN.
6. Al excavar en las ruinas de una antigua civilización, un grupo de arqueólogos encontró trozos de dos reglas viejas marcadas con símbolos numéricos, pero en cada una se utili zaba una unidad de medida diferente. Los arqueólogos llamaron una de las escalas la “escala Zeta”, porque en la regla aparecía tallado un símbolo parecido a una “Z” . Después de experimentar con las dos reglas, determinaron que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 zeta era la unidad de medida de la otra escala. Así, pues, llamaron esta escala la “escala Diag”. Entonces, utilizando la relación de Pitágoras para un triángulo rectángulo, supieron que 1 d ia g = V i zetas. A continuación, se presenta un diagrama de las dos escalas: ■j— ------1------ —*-------- 1---------- 1---------1_____ ■ 0 Z etas 1
2
3
4
5
ó
7
■+---------------- 1---------------- 1---------------- i---------------- L__________ ' o D iag s
1
2
3
4
5
(a) ¿Cuál es la medida en zetas de un segmento cuya medida en diags es 1 ?; ¿2?; ¿5 ?■ ¿n? (b) Hacer una tabla para pasar de diags a zetas, que llegue hasta 10 diags. (c) ¿Cuál es la medida en diags de un segmento cuya medida en zetas es 1 ?; ¿4?; ¿5?; ¿8 ?; ¿ni
50
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
(d) Completar la siguiente tabla para pasar de zetas a diags, hasta 10 zetas. Número de zetas
Número de diags
Aproximación decimal
1
W2 V2
0,707
2
1,414
ÍV 2
3 4
Repaso de la unidad 1. Sea A el conjunto de todos los meses del año cuyos nombres empiezan con la letra J. Sea B el conjunto de todos los meses del año que tienen exactamente 30 días. Sea C el conjunto de todos los meses del año cuyos nombres empiezan con la letra F. (a) ¿Cuál es la intersección de A y B? (b) ¿Cuál es la reunión de A y C? (c) ¿Cuál es la intersección de B y C? (d) ¿Es C un subconjunto del conjunto A l ¿Del conjunto B? ¿Y del conjunto C?
2. (a) ¿Cuál es la intersección de FD y BE? (b) ¿Cuál es la intersección de A E y el triángulo FGE? (c) ¿Cuál es la reunión de ED y DC? (d) ¿Cuál es la reunión de BG y BE? ■
f <——
3. (a) ¿Cuántos cuadrados tiene un número positivo dado ? (b) ¿Cuál es el cuadrado de 4? (c) ¿Cuántas raíces cuadradas tiene un número positivo dado? (d) ¿Es V4 negativo? 4. Expresar los siguientes números sin el símbolo de valor absoluto:
(a) | —6|
(b) |5 — 7|
( c ) |5 |- |7 |
(d) | —5|
(e) |n|
(f) | —«I
(g) !« + (-« )!
( h ) H + l-» l
(b)Si a = b, entonces a — b es (c) Si a > b, entonces a — b e s
^
/ ______ ——^ c b
(e) ¿Cuál es la intersección de AB y EG?
5. (a)Si a < b,‘entoncesa — b es
^
A
Repaso de la unidad
51
6. (a) ¿Qué ecuación define las posiciones rela tivas de los puntos P, M y Q1 (b) ¿En qué condiciones sería M el punto medio de R S1 7. Cuatro puntos A , B, C y D se disponen a lo largo de una recta de manera que A C > AB y BD
conjunto de todos los pares de números enteros x y y cuya diferencia es 5. (a) ¿Pertenece a G el par 15 y 6? (b) ¿Pertenece a H el par 9 y 4? (c) ¿Cuál es la intersección de G y H1 P
(a) ¿Cuál es'la coordenada de W1 ¿Y la de 5? (b) ¿Cuál es el nombre del punto cuya coordenada es ¿y cuya coordenada es 5 ? (c)
0?; ¿cuya coordenada es —3?;
Evaluar RT, VZ, TÍV,TQ, RW , PZ, X S, YQ.
10. Se da un sistema de coordenadas en una recta. La coordenada de A es 6 , la de B es —2, la de C es 1, la de D es x , y la de E es y. (a) ¿Qué punto tiene que estar entre otros dos puntos, y (b) Evaluar AB, BC, A D, CE, B E y DE.
cuáles son
éstos?
(c) Si x — 6 > 0 y y —(—2) < 0, ¿en qué orden están dispuestos los cinco puntos en la recta? 11. Se da un sistema de coordenadas en una recta. La coordenada de P es 7 y la coordenada
de Q es —12. ¿Cuál es la coordenada de M, si M P = M Q ? 12. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
(a) - 5 es un entero.
(b) f es un número real.
(c) 0 es un número racional.
(d) V 8 es un número racional.
(e) V 9 es un entero.
31 (f) — —es un número racional. 6
V2 (g) - 7 - es un número racional. 4 ... W
_
4
es un número racional.
(h) —x es un número negativo para todo número real x. (j) |x[ = x.
13. Si la distancia de A a B, medida en centímetros, es k , ¿cuál será la distancia A B medida en metros?
52
C onjuntos, n ú m ero s re a le s y rectas
14. Si la distancia de P a M , medida en yardas, es t, ¿cuánto es PM, en pulgadas? 15. Los pares de letras en el siguiente párrafo representan o bien números, o rectas, o seg mentos de recta o rayos. Copiar el párrafo, colocando los símbolos apropiados. A B + BC --=AC. DB contiene los puntos A y C, pero DB no contiene ni el punto A ni el punto C. A pertenece a DB, pero C no. Hacer un dibujo que muestre las posiciones relativas de los cuatro puntos. «—>
<—>
16. Si A, B, C y D son puntos distintos tales que A C contiene a f i y BD contiene a C, ¿cuáles de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos ? <— > (a) B está entre A y C. (b) BC contiene a A. (c) A C — BD.
(d) A C y BD se intersecan en B y C solamente.
(e) AD y BC no se intersecan.
(f) A C es opuesto a DB.
17. Se da un sistema de coordenadas en A B tal que A B es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x satisfacen la condición - 5 < x < 7. La coordenada de A es menor que la coordenada de B. (a) ¿Cuál es la coordenada del extremo de A B ? ¿Del extremo de BA ? ¿Y del extremo del rayo opuesto a BA?
t
(b) ¿Cuál es la coordenada del punto medio de AB? 18. (a) Dibujar dos segmentos A B y C D para los cuales la intersección de A B y CD es el conjunto vacio, pero la intersección de AB y CD es exactamente un punto. (b) Dibujar dos segmentos TQ y 1RS para los cuales la intersección de PQ y R S es el conjunto vacío, pero PQ = RS. 19. La primera numeración de los puntos de la recta siguiente representa un sistema de coordenadas. Basándose en el postulado de la regla y en el postulado de colocación de la regla, determinar cuáles de las numeraciones dadas en (a) a (e) no representan sistemas de coordenadas. —4
-3
-2
(a)
-4
3
2
(b)
-6
(c)
0
(d) - 1 0 (e)
-5 1
1 -9
5 ■ 4
-4 2 -8 3
-1 1 -3 3 -7 2
0
1
2
3 -3
4 -4
5 -5
6 -6
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
3
4
6
7
8
9
0
4 -6 1
5 -5 0
-4 1
-3 2
-2 3
-1 4
0 5
R ep a so d e la u n id a d
53
20. Para cada uno de los siguientes enunciados, considerar el conjunto de puntos de una recta cuyas coordenadas x satisfacen la condición dada: (a) * < 3 .
(b) x = 1.
(c) 5 > x > 0.
(d) x ;> 1.
(e) x = —4.
(f) x < - 2 o x > 2 .
(g) |x| < 2 .
(h) |x| > 0 .
¿Cuáles de los conjuntos es un rayo?; ¿un punto?; ¿una recta?; ¿y un segmento? Hacer un dibujo de cada una de las figuras.
3 Rectas, planos y separación
5 -1 .
INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, hablábam os sólo acerca de rectas y la m edida de distancias. D e hecho, hablábam os acerca de las rectas individualm ente, sin estudiar ninguna relación entre ellas. Em pezarem os a h o ra el estudio de las rectas y los planos en el espacio. Recordem os que nuestros térm inos fundam entales no definidos son punto, recta y plano-, las rectas y los planos son conjuntos de puntos.
D e fin ic ió n
El conjunto de to d o s los p u n to s se llam a espacio. E n la siguiente sección, explicarem os algunos de los térm inos que habrem os de utilizar en el estudio de las rectas y los planos y enunciarem os algunos principios fundam entales referentes a ellos. L a m ayor p arte de estos principios se enunciarán com o postulados; o tros com o teorem as. En un capítulo posterior, verem os que todos los teorem as de este capítulo pueden dem ostrarse a base de los postulados. Pero, aquí, no nos ocuparem os de las dem ostraciones, excepto en un caso muy fácil. T odo lo que nos proponem os p o r el m om ento es puntualizar algunos principios fundam entales y aprender a d ib u jar representaciones de figuras en el espacio.
Conjunto de problemas 3 -1 [Nota: Cuando se estudian relaciones entre puntos, rectas y planos en el espacio tridi mensional, a menudo, es conveniente utilizar hojas de cartulina para representar planos, y un lápiz para representar una recta.] 1. Manténgase un brazo extendido hacia el frente. Considérense un punto A en la punta del dedo índice, y un punto B en la esquina superior derecha del frente del salón. ¿Cuán tas rectas contienen a los puntos A y B1 ¿Qué postulado justifica la respuesta? 2. Tómese un libro o una lámina de cartón duro. ¿Sepodrá mantenerel libroen una posición fija, si se coloca sobre las puntas de dos lápices? ¿Cuál es el número mínimo de lápices necesario para sostenerlo en esa forma? 3. ¿Pueden estar tres puntos en una sola recta? ¿Tendrán tres puntos que estar en una sola recta? 4. Sea la esquina de un escritorio, representación de un punto P, el conmutador de la luz
en la pared, representación de un punto Q y una esquina del salón, representación de un punto R. ¿Habrá un plano que contenga los puntos P, Q y R7 5. ¿Cuál es el número mínimo de puntos necesario para determinar un plano? ¿Será cierto que tres puntos siempre determinan un plano? 55
56
R ectas, p lanos y separación
6. En el esquema de una tienda de campaña, ¿qué segmentos de recta hay que imaginar a fin de completar el dibujo? ¿Cuál es la intersección de los planos que contienen los dos lados de la tienda?
7. L a tienda representada por el esquema de la derecha tiene piso cuadrado. ¿Qué seg mentos de recta completarán el dibujo de la tienda?
8. Manténganse dos lápices juntos por sus puntas afiladas entre los dedos pulgar e índice. Si los lápices representan dos rectas que se intersecan, ¿cuántos planos contienen estas dos rectas? 9. ¿Cuál de los dos siguientes dibujos constituye una mejor representación de un libro? ¿Cómo habría que sostener un libro para que se viera como en el esquema (a)?; ¿y como en el esquema (b) ?
(a) | ceoMETaift m|
(b)
10. Se hizo una marca en el medio de una tabla de 4 metros de largo, es decir, se hizo la marca a 2 metros de cualquiera de los extremos de la tabla. Una persona aserró la tabla exactamente por la marca; no obstante, ninguno de los dos trozos resultantes midió 2 metros de largo. Aún más, la suma de las longitudes de los dos trozos no resultó igu que la longitud original de la tabla completa. ¿Cómo puede explicarse esto?
3 -2 .
RECTA S, PLANOS Y REPRESENTACIONES
El dibujo de la izquierda en la página 57 es una representación de u n a pirám ide triangular. Los segm entos A B , AC , A D , B C , BD y CD se llam an las aristas. O bsér vese que la arista 1ÍD se representó m ediante una recta de trazos; esto se debe a que la arista q uedaría oculta si la pirám ide fuera sólida. Si la figura se dibujara com o se m uestra a la derecha, parecería un conjunto de puntos en un m ism o plano. Los puntos A , E, B , C y F están to d os en un m ism o plano, a saber, el plano que contiene la cara superior delantera de la pirám ide. Los puntos de un conjunto ta l se dicen coplanarios. D esde luego, los puntos A , B, C y D no son coplanarios.^ Los puntos A . E y B están todos en una misma recta, a saber, la recta AB. Tales puntos se dice que son colineales o que están alineados. Desde luego, los puntos A , B
R ectas, p ianos y representaciones
57
y C no están alineados. A nálogam ente, A , F y C están alineados, pero, A , F y G no lo están. A hora, presentarem os estas ideas m ás form alm ente.
D e fin ic ió n
Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene a todos.
D e fin ic ió n
t
®
Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene a todos. [Pregunta: E n la figura anterior de la izquierda, los puntos E, F y G no están en una sola c ara de la pirám ide. ¿Podría deducirse que E. F y G no son coplanarios?] Para em plear la geom etría a base del esquem a descrito en l;t l 'nielad 1, necesitamos postulados que expresen el significado real de nuestros térm inos no definidos: punto, recta y plano. Para las rectas, ya lo hemos hccho. El postulado de la regla constituye una buena descripción de cóm o se ven las rectas cuando se las m ira uña por una. Tam bién, en el enunciado del postulado 4 en la página 41, hem os dicho que dos puntos cualesquiera determ inan u n a recta. P O S T U L A D O 4.
El postulado de la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactam ente una recta que los contiene. A hora, querem os enunciar postulados que describan los planos y el espacio. El prim er paso consiste en un postulado que garantiza la existencia en nuestra geom etría de figuras del tipo representado al com ienzo de esta sección. PO STULADO 5
( a ) Todo plano contiene a l menos tres puntos que no están alineados. ( b ) E l espacio contiene d i menos cuatro puntos que no están en un plano.
58
R ectas, planos y separación
Esto es sim plem ente o tra m anera de decir que los planos son am plios y que el espacio n o es llano. Finalm ente, observam os que el postulado de la recta da alguna inform ación acerca de la intersección de rectas.
T e o re m a 3-1
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto sola mente. Demostración. Si dos rectas diferentes se intersecaran en dos puntos diferentes P y Q, entonces h abría dos rectas que contienen a los puntos P y Q. Pero, el postu lado de la recta nos dice que esto no puede suceder. De ah o ra en adelante, siempre que hablem os de dos rectas, o dos planos, entendere mos que las rectas o los planos son distintos. Es decir, cuando hablam os de dos cosas, entenderem os siem pre que son, en realidad, dos cosas distintas. Pero, si deci m os simplemente que P y Q son puntos, se adm ite la posibilidad de que P = Q. • Conjunto de problemas 3—2 1. Mediante la inspección del siguiente dibujo de una figura tridimensional, decidir si los puntos de los conjuntos indicados a . continuación (1) están alineados, (2) no están alineados, pero son coplanarios, o (3) no son coplanarios: (a) {A, B, C, D ). (b) {A, D ,B ). (c) [P, D, Q). (d) {P, B, C). (e) { A ,B ,C ,Q } . 2 .
O ¿Cuántas rectas pueden contener un punto dado?; ¿dos puntos dados?; ¿y tres puntos dados cualesquiera?
3. Datos: P y Q son puntos distintos. La recta L¡ contiene a P y a Q. La recta L 2 contiene a P y a Q. ¿Qué podemos asegurar acerca de L , y ¿ ¡ ? ¿Qué postulado o teorema justifica la con clusión ? 4. Datos: L , y L 2 son rectas distintas. El punto P está en L , y en L¡. El punto Q esta en L , y en ¿Qué podemos asegurar acerca de P y {?? ¿Qué postulado o teorema justifica la conclu sión ?
R ectas, p lanos y representaciones (c o n tin u ac ió n )
59
5. Enunciar una definición precisa de un conjunto de puntos no alineados. 6. Indicar cuántas rectas pueden dibujarse pasando por pares de los puntos distintos A, B, C y D , si: (a) A , B y C están alineados; (b) cada tres puntos no están alineados; (c) los puntos no son coplanarios. / * 7. Dada una recta L, ¿cuántos planos en el espacio pueden contenerla? 8. Construir un modelo de la figura en ei problema 1, utilizando palillos y cola.
3 -3 .
RECTAS, PLANOS Y REPRESENTACIONES [CONTINUACIÓN]
El siguiente postulado describe la condición de "llaneza" de los planos: PO STULADO 6
S i dos punios de una recta están en un plano, entonces la recta está en e l mismo plano. El siguiente teorem a describe la intersección de las rectas y los planos:
T e o re m a 3 - 2
Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto. (M ás adelante, verem os que el teorem a 3 -2 no ofrece inform ación nueva, pues se deduce del postulado 6 de la m ism a m anera que el teorem a 3-1 se deduce del pos tulado 4.)
En la figura, vemos una recta L que interseca a un plano E de la m anera que indica el teorem a 3-2. Veremos varias figuras com o é sta ; tales figuras deben exam inarse cuidadosam ente a fin de aprender a dibujarlas. D esde luego, para representar una recta, dibujamos, prim ero un segm ento de la recta y, luego, dibujam os puntas de
60
R ecias, planos y separación
flechas en los extrem os del m ism o para indicar que la recta continúa indefinidamente. P or lo regular, se indica un p lan o m ediante un rectángulo dibujado en el plano. C uando m iram os u n rectángulo oblicuam ente, com o se supone que lo hagam os en la figura anterior, el rectángulo parece un paralelogram o. A nálogam ente, una circun ferencia, vista en perspectiva, parece una elipse, com o se indica a continuación, en la figura de la izquierda. Si nuestros ojos estuvieran en el plano del rectángulo, éste se vería simplemente com o un segm ento, según indica la figura de la derecha, y el dibujo sería correcto desde el p unto de vista de la lógica, pero no sería instructivo.
El postulado 4 nos dijo que dos puntos determ inan una recta. P a ra determ inar un plano, se necesitan tres p u n to s n o alineados. P O S T U L A D O 7.
El p o stu lad o del plano
Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos dualesquiera no alineados están exactamente en un plano. M ás brevem ente, tres puntos cualesquiera son coplanarios, y tres puntos cualesquiera no alineados determinan un plano.
T e o re m a 3 - 3
D ad a u n a recta y un p u n to fuera de ella, hay exactam ente un p lan o que contiene a am bos.
T e o re m a 3 - 4
D adas d os rectas que se inter secan, hay exactam ente u n plano que las contiene. Finalm ente, enunciam os el siguiente p ostulado: PO STULADO 8
S i dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta.
R ecias, planos y representaciones (c o n tin u ac ió n )
61
Quizás, parezca que habrem os de co n tin u ar enunciando postulados indefinida m ente, p ara describir nuestras ideas intuitivas acerca del espacio. Sin em bargo, resultará que no es necesario hacer esto. En este libro, estudiarem os la geom etría del espacio basándonos en sólo veinticuatro enunciados fundam entales. T odo lo demás puede deducirse de estos enunciados y, en este texto, aprenderem os cóm o hacerlo. N o debem os considerar veinticuatro enunciados com o un núm ero grande de datos fundam entales. E n realidad, es ta n pequeño que hace la geom etría com pleta m ente distinta de una ciencia com o, p o r ejem plo, la biología. En la biología, veinti cuatro d ato s no nos llevarían a ninguna p a rte ; p ara obtener los miles de otros datos que se necesitan saber, tenem os que tra b a ja r en el laboratorio, exam inando plantas y anim ales reales. En vez de un labo rato rio , la geom etría em plea el razonam iento lógico, com enzando con un núm ero m uy pequeño de datos fundam entales.
C onjunto de problem as 3 -3 1. ¿Cuántos planos pueden contener un punto dado?; ¿dos puntos dados?; ¿y tres puntos dados? 2. En un piso liso, a veces cojeará una mesa de cuatro patas, mientras que una de tres patas siempre estará firme. Expliqúese. 3. ¿Qué postulado ilustra la figura de la derech;
4. Completar el enunciado: Dos rectas diferent dos planos diferentes pueden intersecarse en__
y
5. D ato: El plano E contiene los puntos R y T. ¿Qué puede concluirse acerca de RT? ¿Qué postulado o teorema justifica la respuesta? Dibújese una figura para ilustrar este ejercicio. 6. Dibújese un plano E, utilizando un paralelogramo para indicar el mismo. Dibújese un segmento de recta que esté en el plano E. Dibújese un segmento de recta que interseque al plano E en un solo punto, pero que no interseque al otro segmento. 7. Si Á B y el plano F tienen los puntos comunes K y M , ¿qué puede concluirse acerca de A B y F? ¿Por qué? 8. Una recta puede denotarse mediante dos de sus puntos. ¿Cuántos puntos de un plano tienen que emplearse para denotar el plano ? 9. Se da que los puntos A, B y C están en el plano E y que los puntos A, B y C están en el plano F. ¿Se podrá concluir que E y F son un mismo plano? Expliqúese.
* 62
R ectas, planos y separación
10. Datos: L , y L¿ son dos rectas distintas. L¡ está en el plano E. L 2 está en el plano F. L , y L 2 se intersecan en el punto P. El punto Q, distinto de P, está en L , y en F. El punto R, distinto de P, está en L 2 y en E. ¿Qué puede concluirse acerca del plano E y del plano F1 ¿Qué postulados o teoremas justifican la respuesta? 11. Examínese la figura de la derecha, de un sólido rectangular, hasta darse cuenta de cómo se dibujó para que se viera como una figura tridimensional. Entonces, ciérrese el libro y dibújese de memoria una figura como ésta. Practíquese hasta obtener resul tados satisfactorios. 12. Después de completar el problema 11, dibújese una figura de un cubo. + 13. La figura que es la reunión de todos los seg mentos cuyos extremos son cuatro puntos no coplanarios, se llama pirámide triangular, o tetraedro. Los cuatro puntos son los vértices del tetraedro. _ (a) Redactar una definición de una arista de un tetraedro. (b) ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro? ¿Cuáles son? (c) ¿Habrá algunos pares de aristas que no se intersequen ? (d) Una cara es una región triangular determinada por tres vértices cualesquiera. Nómbrense las cuatro caras. ¿Habrá algunos pares de caras que no se intersequen? + 14. La figura de la derecha representa una pirámide cuadrada cuya base, un cuadrado, se supone que esté más cercana al lector. N ombrar los planos que determinan sus vértices. (Deberán indicarse siete planos.) * * 15. Considérense las siguientes definiciones: El espacio M es un conjunto cuyos únicos elementos son cuatro puntos no copla narios A, B, C y D. Una recta es un par de puntos cualesquiera que pertenecen al espacio M. Un plano es una terna de puntos cualesquiera pertenecientes al espacio M. Mediante un examen cuidadoso de todos los pares y las ternas de puntos, muéstrese que el espacio M satisface a los postulados 4, 5, 6. 7 y 8, y a los teoremas 3-1, 3-2, 3-3 y 3-4. Un sistema tal se llama una geometría de cuatro puntos. ¿Qué postulado se incluyó en el texto, que nos asegura que el espacio corriente contiene una infinidad de puntos ?
C onjuntos convexos
3 -4 .
63
CONJUNTOS CONVEXOS
Un conjunto de puntos se llam a convexo, si nunca hay que salir del conjunto para tom ar u n atajo. P or ejemplo, los conjuntos indicados a continuación son convexos:
C ada uno de estos conjuntos es u n a región com pleta del plano, no sim plem ente la frontera. En cada u n o de ellos, siem pre se puede pasar de un punto P cualquiera a o tro pun to Q cualquiera, m oviéndose a lo largo de una recta, sin salir del conjunto. Exam ínense los ejem plos presentados anteriorm ente. P o r o tra parte, ninguno de los siguientes conjuntos es convexo:
Hemos indicado p o r qué no lo son, d an d o ejemplos de pares de puntos P y Q, que no pueden unirse m ediante segm entos que estén totalm ente en ei conjunto. Enunciam os to d o esto en u n a form a m atem ática m ejor, m ediante la siguiente definición: D e fin ic ió n U n conjunto A se Jla m a convexo, si p ara cada dos puntos P y Q del conjunto, to d o el segm ento P Q está en A . L os conjuntos acerca de los cuales hemos estado h ablando h a sta a h o ra son “ pequeños” , pero u n conjunto convexo puede ser m uy extenso. P o r ejemplo, to d o p lan o es un con ju n to convexo; y una recta de n n p lan o divide al plano en dos .conjuntos, cada u n o de los cuales es convexo y se extiende indefinida m ente. Estos d os conjuntos, / / , y H 2, se llam an semiplanos o lados de la recta L , y L se llam a la arista o el borde de cada uno de ellos.
64
R ectas, planos y separación
Los sem iplanos son convexos, p orque si dos puntos están al m ism o lado de la recta, el segm ento que los une nunca cruza la recta.
P or o tra parte, si T y U son p u n to s en lados opuestos de la recta, el segm ento T U siempre interseca a la recta. A hora, resum im os las observaciones anteriores en un postulado y algunas defini ciones.
P O S T U L A D O 9.
El postulado de separación del plano
S e da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta fo rm a n dos conjuntos tales que ( 1 ) cada uno de los conjuntos es convexo, y ( 2 ) si P está en uno de los conjuntos y Q en e l otro, entonces e l segmento P Q interseca a la recta.
D e fin ic io n e s
D a d a u n a recta L y un p lan o E q ue la contiene, los dos conjuntos determ inados p o r el postulado de separación del plano se llam an semiplanos o lados de L , y L se llam a la arista o el borde de cada uno de ellos. Si P está en uno de los semi planos y Q está en el o tro , entonces decim os que P y Q están a lados opuestos de L. El p ostulado nos dice dos cosas acerca del m odo que u n a recta separa al plano en d os sem iplanos: (1) Si d os p u n to s están en el m ism o sem iplano, entonces el segm ento que los une está en el m ism o sem iplano y, p o r tan to , nunja interseca a la recta. (2) Si dos puntos están en sem iplanos opuestos, entonces el segm ento que une los d os p u n to s siempre interseca a la recta. M ientras que una recta tiene solam ente dos lados en un plano dado, to d a recta tiene una infinidad de lados en el espacio. En la siguiente figura, áe presentan cinco
C onjunto» convexos
65
de la infinidad de sem iplanos en el espacio que tienen la recta L com o arista. [Pregunta: ¿H ab rá alguna diferen cia entre los siguientes dos enuncia dos? (•) P y Q están en lados distintos de L. (2) P y Q están en lados opuestos de L.] Un plano separa al espacio exactam ente del m ism o m odo que una recta separa a un plano. p
Los dos conjuntos en que un plano separa al espacio se llam an semiespacios, o lados del plano. En la figura anterior, estos lados son //, (encima del plano) y H 2 (debajo del plano). C ada uno de los dos semiespacios es convexo. Si R está en uno de ellos y S está en el o tro , el segm ento R S siempre interseca al plano. N uevam ente, resum im os lo que hemos dicho, m ediante un postulado y algunas definiciones. P O S T U L A D O 1 0.
El postulado de separación del espacio
L o s puntos d e l espacio que no están en un plano dado form an dos conjuntos tales que ( 1 ) cada uno de los conjuntos es convexo, j ( 2 ) si P está en uno de los conjuntos y O está en e l otro, entonces e l segmento P Q interseca a l plano. D e fin ic io n e s
L os dos conjuntos determ inados p o r el postulado de separación del espacio se llam an semiespacios, y el p lan o d ad o se llam a la cara de cad a u n o de ellos. Obsérvese que m ientras to d a recta en el espacio es la arista de una infinidad de sem iplanos, to d o p lan o en el espacio es c ara de solam ente dos semiespacios.
66
R ectas, planos y separación
C o n ju n to de problem as 3 - 4 [Nota: Al resolver los problemas de este conjunto, utilícese el conocimiento intuitivo en los casos en que no se aplica nuestra estructura axiomática.] 1. El alumno deberá estar preparado para analizar las siguientes preguntas oralmente: (a) ¿Es una recta un conjunto convexo? Expliqúese. (b) ¿Es convexo un conjunto que consiste solamente en dos puntos? ¿Por qué? (c) Si le quitamos un punto a una recta, ¿formarán los puntos restantes un conjunto convexo? (d) ¿Es una circunferencia un conjunto convexo? (e) ¿Es el interior de una circunferencia un conjunto convexo? ( f ) ¿Es una superficie esférica un conjunto convexo? (g) ¿Es convexo el espacio encerrado por una superficie esférica? (h) ¿Separa un punto a un plano?; ¿al espacio?; ¿y a una recta? (i) ¿Separa un rayo a un plano? Y una recta, ¿lo separa? ¿Y un segmento? (j) ¿Pueden dos rectas en un plano separarlo en dos regiones?; ¿en tres regiones?; ¿en cuatro regiones?; ¿y en cinco regiones?
2. Todo punto de A B está contenido en el con junto K. ¿Quiere decir eso que K es un con junto convexo? Expliqúese.
3.
¿E s
todo plano un conjunto convexo? Expliqúese.
¿ Q u é
postulado es indispensable én
la explicación?
4. ¿Cuáles de las regiones marcadas con le tras mayúsculas son conjuntos convexos ?
5. Si le quitamos un punto a un plano, ¿será convexo el conjunto resultante?
6. Los interiores, C y D, de las dos circunferencias son cada uno un conjunto convexo. (a) ¿Será su intersección un conjunto convexo? (b) ¿Será su reunión un conjunto convexo ?
7. Si L es una recta en el plano E, ¿será convexo el conjunto de todos los puntos de E que están a un lado de L1
C onjuntos convexos
67
8. Dibujar un cuadrilátero (una figura con cuatro lados) plano cuyo interior sea convexo. Dibujar uno cuyo interior no sea convexo. 9. ¿Será convexo el conjunto que consiste en todos los puntos de lina superficie esférica y todos los puntos en el interior de la superficie esférica? 10. ¿Es un toro (una figura que tiene la forma de una rosquilla) un conjunto convexo ? 11. Dibujar dos semiplanos que tengan una arista común y que sean coplanarios. Dibujar dos que tengan una arista común, pero que no sean coplanarios. 12. Dibujar dos semiplanos que sean coplanarios, pero que no tengan una arista común. 13. H , y H z son dos semiplanosque están contenidos en un plano. Indicar si la reunión de H i y t i 2 es todo el plano cuando (a) H , y H , tienen la misma arista. Expliqúese. (b) la arista de H , interseca a la arista de H , exactamente en un punto. Expliqúese. 14. (a) ¿En cuántos conjuntos separa a una recta, un punto de ella ? ¿Qué nombre podría dársele a cada uno de estos conjuntos? (b) Utilizando la terminología desarrollada en la parte (a), redáctese un enunciado de separación de la recta parecido a los postulados 9 y 10. 15. ¿En qué difiere un rayo de una semirrecta? 16. ¿Podrán tres rectas en un plano separarlo en tres regiones?; ¿en cuatro regiones?; ¿en cinco regiones?; ¿en seis regiones?; ¿y en siete regiones? 17. ¿En cuántos conjuntos separan al espacio dos planos que se intersecan ? ¿Y dos planos paralelos ? 18. ¿Cuál es el número mayor de conjuntos en que tres planos distintos pueden separar al espacio? ¿Y el número menor? 19. ¿Es el siguiente enunciado cierto o falso ? La reunión de dos conjuntos convexos cuales quiera, que tienen al menos dos puntos comunes, es un conjunto convexo. Justifiqúese la respuesta. 20. Redactar una explicación rigurosa de por qué es cierto el siguiente enunciado: La intersección de dos conjuntos convexos cualesquiera, que tienen al menos dos puntos comunes, es un conjunto convexo. [Sugerencia: Sean P y Q dos puntos comunes cualesquiera. ¿Qué conjuntos deben contener a PQ ?] 21. Dibujar cualquier cuerpo geométrico limitado por superficies planas, tal que el conjunto de puntos del interior de la figura no sea convexo.
a - i ;JLOS SIETE PU EN TES D E KÖNIGSBERG
Q uizás. el alum no piense que no hay nada com plicado en relación con la idea de crH zar calles, puentes, e tc .; pero, en efecto, hay un problem a fam oso en m atem áticas q ue tra ta acerca de la idea de cruzar y apenas contiene alguna o tra idea. La ciudad de K önigsberg está en la costa del m ar Báltico, en la desem bocadura del rio Pregel. En el río, hay d os islas com unicadas entre sí y con las m árgenes del río m ediante siete puentes, com o se ilustra a continuación:
Las personas que paseaban alrededor de las islas descubrieron que si p artían de la m argen sur del río, no podían proyectar su paseo de m anera que se cruzara cada uno de los puentes exactam ente una vez. Parecía que tenía que dejar de cruzarse un puente, p o r lo m enos:
o cruzarse alguno de los puentes dos veces:
L a gente estaba convencida de que no podía cruzarse cada puente exactam ente una vez, pero nadie estaba seguro de ello. Finalm ente, en el año 1735, alguien propuso el problem a al gran m atem ático suizo, L eonhard Euler. Euler descubrió que los paseantes harían bien en ab an d o n ar su em presa y presentó el siguiente análisis del p ro b lem a:
Log siete puentes de K önigsberg
69
Prim ero, considérese la isla del este: / 1
H ay tres puentes que conducen a ella. Puesto que se p artió de la orilla sur, com o requiere el problem a, debió haberse p artid o de un p u n to fu e ra de la isla del este. C om o se hace cada u n o de los tres cruces exactam ente u n a vez, se term ina en la isla del este. (A nálogam ente, si las luces están apagadas y se le da al conm utador tres veces, las luces estarán encendidas.) A hora, considerem os la isla del oeste:
H ay cinco puentes que conducen a ella, y cinco es u n núm ero im par. P o r tan to , com o se p a rtió de u n lugar fu era de iä isla del oeste, deberá term inarse en la isla del oeste. (E sto es análogo a darle al conm utador de la luz cinco veces: si la luz estaba apagada al com ienzo, estará encendida al final.) Pero esto significa que el “ Paseo de K önigsberg” es imposible, porque no se puede term inar en dos lugares al m ism o tiem po. La solución de Euler a este problem a fue u n suceso m uy im portante e n la historia de la rnatem ática, p orque constituyó la prim era vez que alguien resolvía este tipo de problem a. Obsérvese que si se d ibujara el m apa de las islas en una hoja de caucho, po d ría estirarse el caucho de cualquier m an era que se quisiera, sin que se altere el problem a.
P artiendo del análisis de Euler del “ Paseo de K önigsberg” , se desarrolló una ram a com pleta de la m atem ática, llam ada topología combinatórica, que se ocupa de p ro blem as de esta clase. Incidentalm ente, si se quiere encontrar la ciudad de K önigsberg en el m apa, h ab rá que buscarla e n ,u n m a p a antiguo. L a ciudad está e n la U nión Soviética y se ha cam biado el nom bre p o r el de K aliningrado. N adie se h a ocupado de cam biarle el nom bre al problem a.
R ectas, planos y separación
L e o n h a r d E u l e r (1 7 0 7 -1 7 8 3 )
La solucion de Euler al problema de los siete puentes de Königsberg era típica de su saber e ingenio. Antes de su época, a nadie se le había ocurrido que este tipo de problema pertenecía a la matematica. Desde entonces, la matemática ha crecido rápidamente y en muchas direc ciones insospechadas. El análisis de Euler al problema de los puentes de Königsberg fue d p ? n n T Pa$? f nUCVa r3ma de 13 matemática 0ue ahora se conoce con el nombre de topología, la cual ha llegado a su mayor desarrollo en el siglo veinte y aún sigue creciendo tu te r no solo era muy inteligente, sino también muy perseverante; produjo trabajos ongmales en la matematica en tal cantidad que muy difícilmente se ha igualado. La colección f v f h S "i3* d£ SCSenta vo,úmenes Brandes. A la edad de veintiocho años, perdió la vista de un ojo y, a los cincuenta, quedó casi totalmente ciego. Pero su memoria eraasomS S S * mT ° rÍa t0da la Endda de Virgili0 y siempre había P°did0 efectuar cálculos deTu v 3 f ° S menta nte' Asi- pudo seguir trabajando de la misma manera durante el resto
R ep a so d e la u n id a d
71
R epaso de la unidad
1. (a) Los puntos de un conjunto están alineados, s i ________________________________ (b) Los puntos de un conjunto son coplanarios, s i ________ ;________:______________ (c) ¿Pueden estar alineados 4 puntos? (d) ¿Tendrán que estar alineados 2 puntos? (e) ¿Tendrán que estar alineados 4 puntos? ( f ) ¿Pueden estar alineados n puntos? (g) ¿Tendrán que ser coplanarios 4 puntos? (h) ¿Pueden ser coplanarios n puntos? 2. Indicar si es cierto cada uno de los siguientes enunciados. Expliqúese:
(a) Si 3 puntos están alineados, entonces son coplanarios. (b) Si 3 puntos son coplanarios, entonces están alineados. 3. Comentar el siguiente enunciado: “El tablero de la mesa es un plano”. 4. Estúdiese la figura tridimensional (en la cual A, B, C y D son coplanarios), y contéstense las siguientes preguntas: E (a) ¿Están E, D y F alineados' (b) ¿Son E , C, B y Fcoplanari (c) ¿Se intersecan A C y ~BD1
C
(d) ¿Se intersecan A C y ~DF1 (e) ¿Son E, B y P coplanarios' ( f ) ¿Son F, B, G y D coplanar F 5. Hacer una lista de todas las condiciones que hemos estudiado, que determinan un plano. Por ejemplo, “ Una recta y un punto fuera de la recta determinan un plano” (Teorema 3-3). 6. ¿Cuántos planos contendrán tres puntos dados, si no todos están en la misma recta? 7. La recta L¡ interseca al plano E en P, pero, no está en E. La recta L 2 está en el plano E, pero no contiene al punto P. ¿Será posible que L , interseque a i ¡ ? Expliqúese. 8. Dos planos E y F se intersecan en AB. Cada uno de los puntos P y Q está en los planos E y F. ¿Tendrán que estar en A B los puntos P y g ? Expliqúese.