Capítulo 3
GEOMETRIA DE MASSAS
3.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo será feito o estudo de várias propriedades e características geométrico-mecânicas de linhas, superfícies e volumes, volumes, as quais constituirão uma ferramenta para a caracterização da massa, peso, distribuição da massa, inércia, etc., de sistemas de partículas discretos ou contínuos, cujo movimento será estudado nos
Geometria de massas
GCM − O =
1 M
⋅ ∫ R ( x, y, z ) dm( x, y, z ) r
; M = ∫ dm
M
(3.2)
M
Note-se que o integral
∫ dm será simples, M
duplo ou triplo, consoante o sistema de partículas
seja
unidimensional
(1D),
bidimensional (2D) ou tridimensional (3D), respectivamente. Figura 3.1 – Centro de massa.
Se o sistema de partículas estiver sujeito a um campo gravítico, terrestre ou não, ele estará sujeito a forças de atracção gravítica (ou pesos) pontualmente localizadas (sistema de partículas discreto) ou distribuídas (sistema de partículas contínuo). Designa-se centro de gravidade ou baricentro do baricentro do sistema de partículas ao centróide da centróide da distribuição, discreta ou contínua, de pesos de pesos do do sistemas de partículas.
Capítulo 3
NOTAS: 1. Se o sistema de partículas for homogéneo (isto é, de massa específica constante) e se o campo gravítico for uniforme (ou seja, a mesma aceleração gravítica para todos os pontos do sistema), então o centro de massa e o centro de gravidade localizam-se no mesmo ponto. 2. Se o sistema de partículas for homogéneo, então o centro de massa é coincidente com o centro geométrico. Se, além disso, o campo gravítico é uniforme, então o centro geométrico corresponde simultaneamente ao centro de massa e ao centro de gravidade. Considerando o caso de um sistema de partículas contínuo, o centro geométrico, GCG, é dado por: GCG − O =
1 V
⋅ ∫ R dV ; V = ∫ dV r
V
V
(3.5)
Geometria de massas
representa o peso específico do sistema que, também, pode ser constante ou variável no interior do sistema. Se o peso específico do sistema for constante (γ = ρ · g = constante) então o centro de gravidade pode ser também definido por: G −O =
1
∫ dV
γ
⋅ γ ⋅ ∫ R dV = r
V
1 V
⋅ ∫ R dV = GCG − O r
(3.10)
V
V
ou seja, quando
γ
= constante o centro de gravidade coincide com o centro
geométrico.
3.3 MOMENTOS ESTÁTICOS OU DE 1ª ORDEM Considere-se uma superfície plana homogénea num campo gravítico uniforme. Nestas condições, o centro geométrico da superfície coincide com o centro de massa e com o centro de gravidade e é dado por:
Capítulo 3
S x = ∫ y da = A ⋅ yG
(3.13)
A
Figura 3.5 – Momento estático em relação a OX .
Por intermédio do conceito de momento estático é possível referir algumas características e propriedades de secções planas: 1ª) Se um dos eixos, OX ou OY , for baricentrico, isto é, se contiver o centro de gravidade, G, o respectivo momento estático relativamente a esse eixo é nulo. Exemplo: Se OY é baricentrico, então:
Geometria de massas
S ∆ = A ⋅ (d G )∆ = 0
⇒
(d G )∆ = 0
(3.16)
4ª) Se uma superfície tiver duas linhas de simetria, o centro de gravidade está no ponto de intersecção dessas linhas:
Figura 3.9 – Superfície com duas linhas de simetria.
3.4 TEOREMA DE PAPPUS-GULDING O teorema de Pappus-Gulding permite determinar centróides de linhas e superfícies planas e ainda as suas correspondentes linhas e superfícies massificadas
Capítulo 3
3.4.2 Teorema de Pappus-Gulding – versão volumes O volume do sólido gerado pela revolução de uma secção plana em torno de um eixo do seu plano, e que não a intersecte, é dado pelo produto da área da superfície plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade G durante a sua revolução: V sólido = (2 π d G ) ⋅ A Figura 3.11 – Determinação do centróide
(3.18)
perímetro percorrido pelo centro de gravidade
de uma superfície.
Também neste teorema se pode desenvolver um corolário para volumes massificados ou pesados.
Geometria de massas
3.5 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SECÇÕES PLANAS 3.5.1 Momentos de inércia de área e de massa Considere-se uma secção plana e um eixo ∆, que tem área A e massa M . Designa-se momento de inércia ou de 2ª ordem, da área A em relação ao eixo ∆, à quantidade:
( I ∆ )área = ∫ r 2 da
(3.19)
A
Figura 3.12 – Momento de inércia em relação a um eixo ∆ qualquer.
Designa-se momento de inércia, ou de 2ª ordem, da massa M (com superfície
Capítulo 3
As dimensões dos momentos de inércia de área e de massa são as seguintes:
[( I ∆ ) ] = m
4
área
[( I ∆ )
massa
] = kg ⋅ m
2
(3.24)
Note-se que enquanto os momentos de 1ª ordem podem ser positivos, ou negativos, ou nulos, consoante o valor da distância do centro ao eixo ∆, os momentos de inércia são sempre positivos porque correspondem à soma (ou ao integral) de produtos de áreas por distâncias quadráticas.
Exercícios de aplicação
Geometria de massas
Considere-se uma superfície A e os eixos ∆ e ∆' paralelos. Os momentos de inércia da superfície A relativamente a esses eixos estão relacionados por: I ∆ = ∫ l 2 da
(3.26)
A
como l ' = l + d , então: I ∆ = ∫ (l '+ d ) 2 da
⇒
(3.27a)
A
Figura 3.14 – Teorema dos eixos paralelos.
I ∆ = ∫ l ' da + ∫ d 2 da + 2 ⋅ ∫ l '⋅d da A
A
A
(3.27b)
Capítulo 3
Exemplo:
3.5.3 Momento de inércia polar Trata-se também de um momento de 2ª ordem relativamente a um eixo perpendicular ao plano da secção num ponto fixado, sendo defin ido por:
Geometria de massas
Exemplo:
Capítulo 3
Num sistema de eixos OXY , os raios de giração são obtidos por: r x =
r y =
I x A I y A
(3.34)
(3.35)
3.5.5 Produto de inércia O produto de inércia é um momento de 2ª ordem, correspondendo ao produto da área da secção S (ou da massa M ) relativamente ao par de eixos ortogonais OX e OY e é dado por:
( I )
xy área
= ∫ x ⋅ y da A
(3.36)
Geometria de massas
Aplicação dos teoremas dos eixos paralelos e de Steiner para produtos de inércia Conhecido o produto de inércia em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY , é possível, pela aplicação do teorema dos eixos paralelos, obter o produto de inércia em relação a um sistema de eixos O'X'Y' paralelo ao anterior:
I x ' y ' = ∫ x'⋅ y ' d a A
= ∫ ( x + b) ⋅ ( y + a) d a ⇒ A
⇒ I x ' y ' = ∫ x ⋅ y d a + ∫ a ⋅ b d a + A
A
= ∫ b ⋅ y d a + ∫ a ⋅ x d a A
Figura 3.19 – Aplicação do teorema dos
A
(3.39)
Capítulo 3
3.5.6 Variação dos momentos de 2ª ordem I x , I y e I xy resultante da rotação dos eixos de referência i1 = (cos α , senα )
(3.43)
j1 = (−senα , cos α )
(3.44)
r
r
x ' = i1 ⋅ OM = (cos α , senα ) ⋅ ( x, y ) = r
= x ⋅ cos α + y ⋅ senα
(3.45)
y ' = j1 ⋅ OM = (−senα , cos α ) ⋅ ( x, y ) = r
= − x ⋅ senα + y ⋅ cos α
(3.46)
Figura 3.20 – Rotação dos eixos de referência.
O momento de inércia em relação ao eixo O'X' , I x' , pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal
Geometria de massas
I x ' y ' = ∫ x'⋅ y ' da = ∫ ( x ⋅ cos α + y ⋅ senα ) ⋅ (− x ⋅ senα + y ⋅ cos α ) da = A
A
= − ∫ x 2 d a ⋅ senα ⋅ cos α + ∫ y 2 da ⋅ senα ⋅ cos α + A
(3.49a)
A
+ ∫ x ⋅ y da ⋅ (cos 2 α − sen 2 α ) ⇒ A
I x ' y ' = ( I x − I y ) ⋅ senα ⋅ cos α + I xy ⋅ (cos 2 α − sen 2 α )
(3.49b)
Atendendo às seguintes relações trigonométricas: cos 2 α − sen 2α = cos 2α cos 2 α =
sen 2α =
1 + cos 2α 2 1 − cos 2α 2
(3.50a)
(3.50b)
(3.50c)
Capítulo 3
Exemplo:
Geometria de massas
Como I x + I y = I x1 + I y2, então se I x1 é máximo então I y1 é mínimo e vice-versa. Para determinar os extremos, determina-se o zero da derivada de I x1 ou I y1: dI x
1
d α
=
dI y
1
d α
=
I x − I y 2
⇒
⋅ ( −2 ⋅ sen 2α ) − 2 ⋅ I xy ⋅ cos 2α = 0 ⇒ 2 ⋅ I xy tg 2α = − I x − I y
(3.54)
Como a função tangente é periódica, com período π, a expressão anterior resulta em dois valores distintos de
α que
anulam a derivada dI x d α : um torna
I x1(α ) máximo e outro I y1(α +π/2) mínimo, ou vice-versa.
1
Conhecendo as seguintes relações trigonométricas: sen 2α = ±
tg 2α 1 + tg 2α 2
(3.55)
Capítulo 3
3.5.8 Determinação dos eixos principais de inércia por métodos gráficos 3.5.8.1 Círculo de inércia de Land
A partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem ( I x, I y e I xy) é possível construir o círculo de Land e definir os momentos de 2ª ordem em relação a outro qualquer sistema de eixos e, inclusive, determinar os eixos que conduzem aos momentos principais de inércia.
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Figura 3.23 – Determinação dos eixos principais de inércia pelo círculo de Land.
3.5.8.2 Círculo de inércia de Mohr
Capítulo 3
4º) O segmento de recta que une os pontos X a Y corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr, sendo o seu centro, C , definido pela intersecção do segmento XY com o eixo das abcissas. 5º) Depois de se efectuar o traçado da circunferência, define-se o pólo P (que está associado ao ponto que define a origem dos eixos de inércia representados no círculo de Mohr) fazendo o seguinte: traça-se uma linha paralela ao eixo OX (geralmente horizontal) que passe no ponto X , o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência; ou, em alternativa, traça-se uma linha paralela ao eixo OY (geralmente vertical) que passe no ponto Y , o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência.
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3.6 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE ELEMENTOS DE CONSTRUÇÃO METÁLICA A determinação da resistência e da deformabilidade de elementos estruturais, vulgarmente utilizados na construção civil, exige o conhecimento das suas características mecânicas associadas à geometria de massas. Dado que as secções correntemente utilizadas em elementos estruturais de construção metálica não apresentam geometrias elementares, é vulgar a utilização de tabelas que indicam os valores associados às diferentes grandezas abordadas neste capítulo. Assim, nesta secção apresenta-se a nomenclatura e as convenções que são utilizadas nas tabelas correntes de perfis (secções) usados na construção metálica e a sua utilização de forma a extrair a informação necessária para as caracterizar mecanicamente. Os elementos de construção metálica (figura 3.25) consistem em perfis em aço laminado a quente. Os perfis correntemente utilizadas têm a forma de I, L, U, T e Z,
Capítulo 3
a) Secção circular
b) Secção quadrada
c) Secção rectangular
Figura 3.27 – Perfis tubulares de elementos metálicos.
As características geométricas destes tipos de perfis encontram-se tabeladas (ver figura 3.28 e anexo 1). O sistema de eixos de referência utilizado nessas tabelas é definido de acordo com as normas europeias de projecto de estruturas, nomeadamente, o Eurocódigo 3 (Projecto de estruturas de aço) e o Eurocódigo 4 (Projecto de estruturas mistas aço-betão). Assim, o sistema de eixos de referência é definido de forma que (ver figura 3.25):
1 0 8
G e o m e t r i a d e m a s s a s
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.
Figura 3.28 – Características geométricas de perfis metálicos do tipo IPE (NP-2116 e DIN-1025).
