TRABAJO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (SUPERFICIES)
1. Hallar la ecuac!" #e la e$%era #e #e #&'er #&'er el $e*'e" $e*'e" #eer'"a# +r l$ +u"$ (,--/0) (/2-3-4). ((6 - 4)/2, (2 + 0)/2, (-5 + 7)/2) ((2)/2, (2)/2, (2)/2) (1, 1, 1) √((6 - 1)² + (2 - 1)² + (-5 - 1)²) √((5)² + (1)² + (-6)²) √(25 + 1 + 36) √(62) (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 62
. Hallar la ecuac!" #e la e$%era #e #e ce"r el +u" (-/5-) (-/5-) a"*e"e al +la" ,6/578/9:3. "Encontrar la ecac!on eneral #e la e$%era &e e$ tanente al 'lano 2x + 3y - 4z = 12 , y el centro #e la e$%era e$ el 'nto (4,3,2)" t!ene$ &e encontrar la #!$tanc!a #el 'nto (4,3,2) al 'lano, e$a #!$tanc!a $er la *e#!#a #el ra#!o #e la e$%era eo la ecac!.n #e la e$%era $er (x-4)2+(y-3)2+(z-2)2=2 $! n 'lano ! e$t #en!#o *e#!ante x+y+z+=0 la #!$tanc!a #e n 'nto ('1,'2,'3) al 'lano $er #(('1,'2,'3),!)= ('1+'2+'3+)/a!z(2+2+2)=
$! $aca$ la$ centa$ oten#r$ =3/√2 y t e$%era (x-4)2+(y-3)2+(z-2)2=/2 En canto a t 8lt!*o co*entar!o, cal&!er 'nto &e $at!$%aa la ecac!.n #el 'lano, e$tar #entro #e el ya &e 'or #en!c!.n n 'lano e$ el lar eo*9tr!co #e lo$ 'nto$ &e $at!$%acen x+y+z+=0 co*o e:e*'lo $! t!ene$ 2x + 3y - 4z = 12 $! ;ace$ x=0 , y=0 te &e#a z=-3 leo (0,0,-3) e$ n 'nto #e e$e 'lano
5. Hallar la ecuac!" #e la e$%era #e #e ce"r el +u" +u" (/2-/-5) (/2-/-5) a"*e"e al +la" 8. ;Ecuac!" #e la $u+er
1) e$ na ? 2) y &e cont!ene lo$ 'nto$ (3,-4,2) y (6,2,-1) 3)
a #!$tanc!a #e n 'nto (', &, r) a n 'lano #e ecac!.n ax + y + cz = # $e calcla a$B !) Ae to*a n 'nto C('D, &D, rD) ar!trar!o en el 'lano, e$ #ec!r no cya$ coor#ena#a$ $at!$%aan la ecac!.n #el *!$*o !!) Ae con$trye el ector = - C = (' - 'D, & - &D, r - rD), re$tan#o la$ coor#ena#a$ #e C a la$ coor#ena#a$ #e !!!) Ae calcla el 'ro#cto e$calar entre entre el ecor y el ector nor*al al 'lano n = (a, , c), #eter*!na#o 'or lo$ coec!ente$ #e la ecac!.n #el 'lano Ae $ae &e n = FF FF FF n FF o$(al%a), en #on#e al%a e$ el nlo %or*a#o 'or y n n = a(' - 'D) + (& - &D) + c(r - rD) e$lta e$lt a #, la #!$tanc!a #el 'nto al 'lano, !al a ( n)/FF n FF = FF n FF o$(al%a), con n #!:o $e ent!en#e e$to a la 'er%ecc!.n, l$t!*a &e no 'o#a*o$ ;acer no a&B a #!$tanc!a #e al 'lano e$ entonce$ ( n)/FF n FF = Ga(' - 'D) + (& - &D) + c(r - rD)H/aBz ca#ra#a ca#ra#a #e G(a² + ² + c²)H Ia*o$ a recon$tr!r e$to con lo$ #ato$ #el 'role*a nto #e$#e #on#e calclar la #!$tanc!a al 'lano (3, 2, -2) nto #el 'lano C(4, 1, 0), o$erar &e $at!$%ace la ecac!.n #el 'lano Iector = - C = (-1, 1, -2) Iector nor*al al 'lano n = (3, -1, 0) Jor*a #el ector n a!z ca#r#a#a #e 10 ro#cto ro# cto e$calar n n = -3 - 1 = -4 !$tanc!a #el 'nto al 'lano r = ( n)/FF n FF = -4/(a!z ca#r#a#a #e 10) ($e 'e#e rac!onal!zar $! $e #e$ea) o*o #!:!*o$ ante$, el ra#!o #e la e$%era e$ r y $ centro e$ (3, 2, -2), #e #on#e $ ecac!.n e$ (x - 3)² + (y - 2)² + (z + 2)² = r² = 16/10 = K/5 Ae #eter*!na la *e#!atr!z #el $e*ento cyo$ extre*o$ $on (3,-4,2) y (6,2,-1), con e$te n $e #eter*!na el 'nto *e#!o #el $e*ento, cya$ coor#ena#a$ $on la $e*!$*a #e la$ coor#ena#a$ #e lo$ 'nto$ #a#o$ eo $e calcla la 'en#!ente #e la recta &e 'a$a 'or (3,-4,2) y (6,2,-1), #!a*o$ &e e$ !al a *, y, nal*ente, $e
#eter*!na la recta &e 'a$a 'or el 'nto *e#!o y t!ene 'en#!ente -1/*, 9$a e$ la *e#!atr!z #e (3,-4,2) y (6,2,-1) Ae !nter$ecta la *e#!atr!z rec!9n calcla#a con el e:e x, oten!9n#o$e a$B el 'nto L( ', &, r), 9$te $er el centro #e la e$%era, 'e$ e$ n 'nto &e e$t a !al #!$tanc!a #e (3,-4,2) y (6,2,-1) y e$ta en el e:e x Ae calcla la #!$tanc!a r #e L a (3,-4,2) (o a (6,2,-1), #a !al) a ecac!.n $ca#a e$ (x - ')² + (y - &)² + (z - r)² = r² a tercera Ae 'roce#e co*o $e ;!zo en la 'r!*era, $.lo &e a;ora e$ *$ %c!l la #!$tanc!a #el 'nto L(-4,-2,3) al 'lano @? e$ !al a 4, a$ta ;acer n #!:o 'ara conencer$e y tener $!e*'re en *ente &e el 'lano @? e$ "la 'are#" @? #el $!$te*a carte$!ano >@? or lo tanto la ecac!.n $ca#a e$ (x + 4)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 16
1. Cual e$ la ecuac" #e la e$%era c" ce"r e" el +u" C(0- /2- 5) a"*e"e al +la" cr#e"a# ?@ > 2 o*o encontrar la$ ecac!one$ 'ara*etr!ca$#e la recta &e 'a$a 'or el centro #e la e$%era #el LEM 1 y e$ 'er'en#!clar al 'lano 3x + 2y - 4z = K N 3 al e$ la ecac!on #el c!l!n#ro cya #!rectr!z e$ la !nter$ecc!on #e la e$%era #el LEM 1 con el 'lano coor#ena#o >? N LEM 1) al e$ la ecac!.n #e la e$%era con centro en el 'nto (5, -4, 3) tanente al 'lano coor#ena#o >? N a ecac!.n &e re're$enta a na e$%era con centro en = (x0, y0, z0) y ra#!o , e$ #el t!'o (x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = ² or lo cal, en el e:erc!c!o ten#re*o$ entro = (5, -4, 3) a#!o Ae #eter*!na *e#!ante la #!$tanc!a #el centro al 'lano >? y =0 #(, O) = F-4F / √1 = 4
Entonce$, la ecac!.n #e la e$%era e$ --------------------------------------P (x - 5)² + (y + 4)² + (z - 3)² = 16 --------------------------------------P
PROBLEMA ) o*o encontrar la$ ecac!one$ 'ara*etr!ca$ #e la recta &e 'a$a 'or el centro #e la e$%era #el LEM 1 y e$ 'er'en#!clar al 'lano 3x + 2y - 4z = KN En e$te ca$o, nece$!ta*o$ otener n "ector #!rector" #e la recta &e $ea 'er'en#!clar al 'lano O 3x + 2y - 4z = K ara &e e$to $e c*'la, $e 'e#e to*ar co*o ector #!rector #e la recta, el ector nor*al #el 'lano, e$ #ec!r, el ector J = (3, 2, -4) a ecac!.n ector!al #e la recta &e 'a$a 'or el 'nto y t!ene ector #!rector J e$ > = + QJ on#e > = (x, y, z) = (5, -4, 3) J = (3, 2, -4) Q = 'ar*etro (n*ero real) Entonce$ (x, y, z) = (5, -4, 3) + Q(3, 2, -4) A*an#o (x, y, z) = (5+3Q, -4+2Q, 3-4Q) Ralan#o co*'onente a co*'onente otene*o$ la$ "ecac!one$ 'ara*etr!ca$ #e la recta", e$ #ec!r --------------------------------------P Ecac!one$ 'ara*etr!ca$ #e la recta x = 5 + 3Q y = -4 + 2Q z = 3 - 4Q --------------------------------------P
PROBLEMA 5) al e$ la ecac!on #el c!l!n#ro cya #!rectr!z e$ la !nter$ecc!on #e la e$%era #el LEM 1 con el 'lano coor#ena#o >?N A! real!za*o$ la #e la e$%era con el 'lano >? (x - 5)² + (y + 4)² + (z - 3)² = 16 y=0
Entonce$ ree*'lazan#o la $en#a ecac!on en la 'r!*era (x - 5)² + (4)² + (z - 3)² = 16 (x - 5)² + 16 + (z - 3)² = 16 (x - 5)² + (z - 3)² = 16 - 16 (x - 5)² + (z - 3)² = 0 Jota o#e*o$ o#e*o$ er &e la !nter$ecc!.n #e la e$%era y el 'lano #a co*o $olc!.n n 'nto = (5, 0, 3), ya &e en el LEM 1 'lantea*o$ &e la e$%era $ea tanente a #!c;o 'lano, 'or lo cal $e !nter$ectan en 1 'nto En con$ecenc!a, no ex!$te #!rectr!z 'ara el c!l!n#ro-
;ecuac" e$a"#ar #e u"a e$%era>
#eo ;allar la ecc!ona & t!ene co*o centro el 'nto (-3,2,4) y e$ tanente al 'lano yz oS entonce$ t!ene$ &e la ecac!.n eneral #e la e$%era con centro en (;,S,l) y ra#!o r e$ (x-;)² + (y-S)² + (z-l)² = r², conoce$ (;,S,l) = (-3,2,4) entonce$ $.lo nece$!ta$ el ra#!o 'ara #eter*!nar la ecac!.n eneral, eno 'e$ 'ara e$o te $!re &e $ea tanente al 'lano yz, $! e$ tanente al 'lano yz, $!n!ca &e $.lo en n 'nto toca a e$e 'lano eno a#e*$ r e$ la #!$tanc!a #e cal&!er 'nto #e la e$%era al centro #e la *!$*a, entonc$ en 'art!clar no$ :a*o$ en el 'nto #on#e toca al 'lano yz lo$ 'nto$ #el 'lano yz $on a&ello$ #on#e x=0, entonce$ $er #e la %or*a (0,y,z) 'ero ta*!9n e$t en la e$%era entonce$ #ee c*'l!r &e(x-;)² + (y-S)² + (z-l)² = r², ('ero co*o x=0 =T entonce$ lo$ 'nto$ &e no$ !ntere$an $on #e la %or*a ;² + (y-S)² + (z-l)² = r²con ;,S,l :a$ ((;,S,l) = (-3,2,4)) e$to$ 'nto$ '!ntan n cBrclo, con centro en el 'nto (0,S,l) y ra#!o r²-;² 'ero ya ;aBa*o$ &e#a#o &e $.lo era n 'nto (ya &e e$ tanente) entonce$ el ra#!o (r² - ;²) = 0 #e #on#e r = F;F, entonce$ ya tene*o$ centro (-3,2,4) y ra#!o #e la e$%era (3) entonce$ la ecac!.n eneral &e#ar (x+3)² + (y-2)² + (z-4)² =
2. E"c"rar la ecuac!" #e la e$%era ue +a$a +a$a +r l$ +u"$ (-1-5)- (5-/-1)- (/2-1-1) (1-1-/5).
a %or*a ral #e la ecac!.n #e la e$%era $ca#a e$ (x - )² + (y - )² + (z - U)² = ² $!en#o (, , U) la$ coor#ena#a$ #el centro #e la e$%era El ra#!o #e la e$%era VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVV A! (2,1,3) 'ertenece a la e$%era entonce$ $e c*'le (2 - )² + (1 - )² + (3 - U)² = ² A! (3,-2,1) 'ertenece a la e$%era entonce$ $e c*'le (3 - )² + (-2 - )² + (1 - U)² = ² A! (-4,1,1) 'ertenece a la e$%era entonce$ $e c*'le (-4 - )² + (1 - )² + (1 - U)² = ² A! (1,1,-3) 'ertenece a la e$%era entonce$ $e c*'le (1 - )² + (1 - )² + (-3 - U)² = ² W!ene$ 4 ecac!one$ ecac!one$ 'ara 4 !nc.n!ta$ te &e#ar 'lantea#o n $enc!llo $!$te*a #e 3 ecac!one$ l!neale$ 'ara la$ !nc.n!ta$ "", "" y "U" eo #e re$olerlo, 'one$ el alor ;alla#o en cal&!era #e la$ anter!ore$ y oten#r$ ""
DATO a ecac!.n #e na e$%era #e ra#!o r centra#a en el 'nto (a,,c) e$ (x-a)2 + (y-)2 + (z-c)2 = r2 A! t!ene$ 4 'nto$, $$t!t8yelo$ en la ecac!.n anter!or Wen#r$ n $!$te*a no l!neal con 4 !nc.n!ta$ (a,,c, y r) &e #ee re$oler$e
C!' re$ler
Aean lo$ catro 'nto$ ,, y r!*ero r!*er o #een e$coer$e tre$ $e*ento$ #on#e !nterenan lo$ catro 'nto$, $!ran #e e:e*'lo , , y cont!nac!.n $e ;alla el 'nto *e#!o #e lo$ tre$ 'nto$ E$to $e lora $*an#o la$ co*'onente$ #e lo$ 'nto$ lB*!te$ y #!!#en#o 'or #o$ $!*!$*o $e #een ;allar lo$ ectore$ n!tar!o$ caracterB$t!co$ #e ca#a $e*ento E$to $e ;ace re$tan#o lo$ 'nto$ lB*!te #e ca#a $e*ento *!e*ro a *!e*ro, #!!#!en#o leo ca#a co*'onente a$B ;alla#a 'or la nor*a #el ector oten!#o, la cal $e ;alla elean#o al ca#ra#o la$ tre$ co*'onente$, $*n#ola$ 'ara leo otener la ra!z ca#ra#a #e #!c;a $*a on e$to$ tre$ 'nto$ y tre$ ectore$ n!tar!o$ otene*o$ tre$ 'lano$ 'er'en#!clare$ a ca#a $e*ento y &e lo crzan 'or $ 'nto *e#!o o$ 'lano$ $e ot!enen $*an#o el 'ro#cto #e ca#a co*'onente 'or la #!%erenc!a entre el e:e ortoonal corre$'on#!ente corr e$'on#!ente y la co*'onente #e ca#a 'nto *e#!o Ier! rat!a $ean la$ co*'onente$ #el 'nto *e#!o (,,) y la$ co*'onente$ #el ector (a,,c), entonce$ el 'lano e$ a(x-)+(y-)+c(z-) A!a*o$ on e$te *9to#o otene*o$ tre$ 'lano$ Xt!l!zan#o la rela #e ra*er (la cal no e$cr!o a&B 'or $er n 'roce$a#or #e texto !n$c!ente), otene*o$ el 'nto #e !nter$ecc!.n #e lo$ tre$ 'lano$, e$e 'nto e$ el centro #e la e$%era a lon!t# #el ra#!o la ot!ene $acan#o la nor*a entre el centro y n 'nto cal&!era #e lo$ #a#o$ 'or el ennc!a#o eo a'l!can#o la %.r*la #e la e$%era $e ot!ene #e *anera ato*t!ca $ $'erc!e E:e*'lo el centro oten!#o #e la e$%era e$ (',$,t) y el ra#!o (nor*a entre el centro y n 'nto #a#o)e$ r a %.r*la #e la e$%era con la &e traa:a*o$ e$ (x-')2+(y-$)2+(z-t)2=r2
0. E"c E"c" "ra rarr la$ la$ cr cr#e #e"a "a#a #a$ $ #el #el ce" ce"r r el ra# ra# #e la e$%era 3x 2 + 5 7 58 / 8x + 12y / 1O8 7 13 : 3 E"c"rar el ce"r ra# #e u"a e$%era> $! la ecac!on e$ e$ta x2 + y2 +z2 +4x -6y + 2z + 6 = 0
x² + y² + z² + 4x - 6y + 2z + 6 = 0 r'a*o$ x² + 4x + y² - 6y + + z² + 2z + + 6 = 0 o*'leta*o$ ca#ra#o$ 'er%ecto$ G a² Y 2a + ² = (a Y )² H L$ea &e le $*a*o$ &e le ;ace %alta 'ara %or*ar lo$ ca#ra#o$ 'er%ecto$ y leo re$tar lo &e ;e*o$ $*a#o anter!or*ente e e$te %or*a la ecac!on no ca*!ara con na#a x² + 4x + 2² + y² - 6y + 3² + z² + 2z + 1² + 6 - 2² - 3² - 1² = 0 (x + 2)² + (y - 3)² + (z + 1)² + 6 - 4 - - 1 = 0 (x - (-2) )² + (y - 3 )² + (z - (-1) )² = K (x - (-2) )² + (y - 3 )² + (z - (-1) )² = (2√2)² Aae*o$ &e la ecac!on #e la e$%era con el entro en (a , , c) y ra#!o e$ (x - a )² + (y - )² + (z - c )² = ² e$lta en ne$tro ca$o ====T a = - 2 = 3 c = - 1 e$lta = 2√2 EAXEAW ====================== entro ------T ( - 2 , 3 , - 1) a#!o = 2√2 =======================
,. Hallar el lu*ar lu*ar *e'=rc *e'=rc #e l$ l$ +u"$ cua relac!" #e #$a"ca$ a l$ +u"$ <$ (1-1-/) (/-5-) e$ *ual a 52. √ G( x -1)2 + (y-1)2 + (z+2)2 H / √ G( x + 2)2 + (y -3)2 + (z-2)2 H = 3/4 16 G( x -1)2 + (y -1)2 + (z+2)2 H = G( x + 2)2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 H
16 ( x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + 4z + 1+ 1 + 4) = ( x2 + y2 + z2 + 4x - 6y - 4z + 4 + + 4) 16 ( x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + 4z + 6) = ( x2 + y2 + z2 + 4x - 6y - 4z + 17)
7 (x2 + y2 + z2 ) - 6K x + 22 y + 100 z - 57 = 0 x2 + y2 + z2 - 6K/7 x + 22/7 y + 100/7 z - 57/7 = 0 tene*o$ na e$%era
;Hallar el lu*ar *e'=rc #e l$ +u"$ P (6- ) cua relac!" #e #$a"ca a l$ +u"$ <$> Hallar el lu*ar *e'=rc #e l$ +u"$ cua relac!" #e #$a"ca #e l$ +u"$ A(-/1) B(/5-2) $ea *ual a 5. S e$ u"a crcu"%ere"ca #eer'"ar el ce"r el ra#. A! (x,y) c*'la la con#!c!.n entonce$ #(,)/#(,) = 2/3 o $ea 3Z#((,) = 2Z#(,) entonce$ 3Za!z( (x-2)2 + (y+1)2) = 2Za!z( (x+3)2 + (y4)2 ) elean#o al ca#ra#o el!*!na*o$ la$ ra!ce$ y #e$arrollan#o lo$ ca#ra#o$ !nterno$ G x2-4x+4 +y2+2y+1H = 4G x2+6x++y2-Ky+16H e%ectan#o la$ *lt!'l!cac!one$ y ar'an#o t9r*!no$ $e*e:ante$ 5x2 - 60x + 5y2 + 50y - 55 = 0 !!#!en#o entre 5 x2 - 12x + y2 + 10y - 11 = 0 A.lo te ex'l!co 'ara la x lo &e !ene L$era &e tene*o$ x2 -12x $erBa*o$ %el!ce$ $! t!9ra*o$ x2 -12x +36 'or&e $erBa (x-6)2 ya &e x2 e$ el ca#ra#o #el 1er t9r*!no y -12x e$ el #ole #el 1[ 'or el 2[ $.lo %alta el ca#ra#o #el 2[ or e$o 'ara &e $e ea con clar!#a# &e 6 e$ el 2[ t9r*!no, e$cr!!*o$ -12x co*o -2xZ6 ;ora co*'leta*o$ lo$ ca#ra#o$ x2 - 2xZ6 + 36 + y2 +2yZ5 +25 -11 - 36 - 25 = 0 \B:ate &e le $*9 36 'ero lo 'ao con n -36 o *!$*o ;ao con la$ y, $*o 25 y #e$'9$ lo 'ao con n -25 ;ora %actor!za*o$ (x-6)2 +(y+5)2 = 72
Wene*o$ na c!rcn%erenc!a Wene*o$ c!rcn%erenc!a con entro(6, entro(6, -5) y ra#!o = a!za#ra#ae(72) = 6Za!za#e(2)
4. E$u#ar ra8ar la $*ue"e$ $*ue"e$ $u+er
ree*'lazan#o ((12-#2)2 - #22) = 122 - 2Z12Z#2 + #2 - #22 = 144 24#2 20y -40 = 144 - 24#2 20y = 144 - 24Z#2 + 40 = 104 - 24#2 y = 104/20 - 24/20Z#2 = 26/5 - 6/5Z#2 El lar eo*9tr!co e$ta #en!#o 'or y 26/5 - 6/5Z#2 #on#e #2 'e#e $er cal&!er n*ero real
11. 11. Halla Hallarr el el lu*a lu*arr *e' *e'=r =rc c #e l$ +u +u" "$ $ cua cua$ $ #$a"ca$ al +la" 8 $" el #le #e la$ crre$+"#e"e$ crre$+"#e"e$ al +u" (1-/-). 1. 1. Halla Hallarr el lu*a lu*arr *e' *e'=r =rc c #e l$ l$ +u" +u"$ $ cua cua #$ #$a"c a"ca a al ee 6 $ea el r+le #e la crre$+"#e"e crre$+"#e"e al +u" < (-5-/5). 15. Hallar e #e"
3. Halla Hallarr el el lu*a lu*arr *e' *e'=r =rc c #e l$ +u +u" "$ $ cua cua #%ere"ca #e #$a"ca$ a $ +u"$ <$ (-/5-2) (-5-2) e$ *ual a 0. 1. Halla Hallarr la ecua ecuac! c!" " #el #el +ara +aral l#e #e #e =r =rce ce el el +u" +u" (3-3-3) ue e"e el ee @ c' ee ue +a$a +r l$ +u"$ (1-1-1) (5- 41-1). . Halla Hallarr el lu*a lu*arr *e' *e'=r =rc c #e l$ l$ +u" +u"$ $ cu cu cua#r cua#ra# a# #e la #$a"ca al ee @ e$ el #le #e la crre$+"#e"e al +la" ?. 5. 5. Halla llar el =r =rce ce #el +aral#e $*ue"e a) 6 7 28 2 8 //26/28//l/5, : 3 2. Halla Hallarr la "aura "aurale8 le8a a la ecua ecuac! c!" " #e #e la $u+er< $u+er
