DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA CIENCIAS E E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y INGENIERÍA TELECOMUNICACIONES MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
ÁREA: MATEMÁTICA TEMA: SUPERFICIES CUÁDRICAS TURNO: NOCHE
SEMANA: 02
PABELLÓN: B
AULA: 503 B
SEMESTETRE: 2017 - II
SUPERFICIES SUPERF ICIES CUÁDRICAS
INTRODUCCIÓN
(,) =
Analíticamente la ecuación , nos representa un lugar geométrico en el plano , a la ecuación , extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres variables representadas por:
(, (,)) =
es una superficie cuádrica, si describe un lugar geométrico real. Por ejemplo Ejm.
+ + = 1 9 16 25 Al hacer un estudio de esta superficie superficie se tiene que:
También se conoce que todo se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la forma
I. Intersección con los ejes:
= 9 ⇒ = ±3 ⇒ ⇒ (3, 0, 0)0) (−3, (−3,0,0,0)0) = 16 ⇒ = ±4 ⇒ ⇒ (0, 4, 0)0) (0, (0, − 4,4, 0)
: + + + =
a. Eje x:
De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura geométrica, la cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única ecuación rectangular de la forma:
b. Eje y:
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación.
II. Trazas sobre los ejes:
son puntos de la superficie.
(,, (, ,)) =
+ + =
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado.
Cuando A, B, y C no son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma
+ + + + + + = Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
c. Eje z:
= 25 ⇒ = ±5 ⇒ ⇒ (0, 0, 5)5) (0, (0, 0,−5 0, −5))
son puntos de la superficie.
= 0 ⟹ + = 1, . = 0 ⟹ + = 1, . = 0 ⟹ + = 1, . a. plano yz:
b. plano xz:
SUPERFICIES CUÁDRICAS
+ + + + + + =
son puntos de la superficie.
c. plano xy:
III. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen Relaciones F(-x, y, z)=F(x, y, z)
Simetría Plano yz
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ÁREA: MATEMÁTICA F(x, -y, z)=F(x, y ,z) F(x, y, -z)=F(x, y, z) F(-x, -y, z)=F(x, y, z) F(-x, y ,-z)=F(x, y, z) F(x, -y, -z)=F(x, y, z) F(-x, -y, -z)=F(x, y, z)
Plano xz Plano xy Eje z Eje y Eje x Origen
=
Los planos paralelos al plano tienen ecuación . La curva intersección entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo elipsoide, resultando Si
1− > 0, = .
es decir
x 2
z2
z2
> , > 0 > 0
1
y02
a2 c2 b2 Representa una familia de elipses (o circunferencia si ) paralelas al plano que se forman cortando la superficie mediante planos . Eligiendo, cada uno a su vez, , , encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos , respectivamente.
=
coordenados
y2
1 , donde a2 b2 c 2 Es un elipsoide. Para y0 b , la ecuación
IV. Secciones por planos paralelos a los planos
= + = 1 − || < 5,
x 2
en la ecuación
= = =
.
la curva es una elipse
en el plano
+ + = 1 se de donde + ≤ 1 tiene = |5|√ 1 − − V. Extensión de la superficie de
Plano coordenado
VI. Gráfico de la superficie
traza
( = 0)
Elipse:
( = 0)
Elipse:
( = 0)
Elipse:
(a)
El cilindro elíptico: x
2
4
y
+ = 1 + = 1 + = 1
2
9
1
Como el cilíndrico parabólico z
y
2
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas adicionales y bien definidas. ELIPSOIDE. - Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
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ÁREA: MATEMÁTICA HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA La grafica de una ecuación de la forma x 2
y2
z2
> 0, > 0 > 0
1 , donde a 2 b2 c 2 Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano , paralelo al plano , corta la superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si . Las ecuaciones de estas elipses son
= = 0) x 2
z2
y02
> 0, > 0 > 0 La elipse más pequeña, = 0 , corresponde a las trazas en el plano . a2
b2
1
c2
, donde
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Como se ve en la figura, una gráfica de x 2 y 2 z 2 1 , donde a 2 b2 c 2 Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Para y0 b la ecuación
> 0, > 0 > 0
x 2
z2
y02
1
a2 c2 b2 Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano
=
Plano coordenado
( = 0)
traza Elipse:
+ = 1 ( = 0) hipérbola: − = 1 ( = 0) hipérbola: − = 1 (a)
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ÁREA: MATEMÁTICA Plano coordenado
( = 0)
( = 0) ( = 0)
traza
Plano coordenado
− + = 1
( = 0) ( = 0)
− = 1
( = 0)
hipérbola:
ninguna hipérbola:
traza punto: (0; 0) parábola:
parábola:
(a)
= =
(a)
PARABOLOIDE La grafica de una ecuación de la forma x 2 y 2 cz a 2 b2 Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para , los planos , paralelos al plano, cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son x 2 y 2 cz 0 a2 b2
>0
= > 0
CONO Las gráficas de una ecuación de la forma x 2
y2
z2
> 0, > 0 > 0
, a2 b2 c 2 Son llamados conos elípticos (o circular, si arbitrario, los planos paralelos al plano superficie en elipses cuyas ecuaciones son
x 2
y2
= ). Para cortan la
z02
a2 b2 c 2 En la siguiente figura se muestra una gráfica característica
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ÁREA: MATEMÁTICA
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de toda ecuación de la forma y 2 x 2 cz , a 2 b2
> 0, > 0 Observe que para > 0 los planos, = , paralelo al plano , cortan la superficie en hipérbolas cuyas ecuaciones son y 2 x 2 cz0 a 2 b2
En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico. Plano coordenado
( = 0) ( = 0) ( = 0)
traza punto: (0; 0) rectas: rectas:
= ∓ = ∓
(a)
Plano coordenado
( = 0) ( = 0)
traza rectas:
= ∓ parábola: − = ( = 0) parábola: = (a)
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ÁREA: MATEMÁTICA
5.
36 y
6. x2
2
z
2
x
2
36 z
9 (paraboloide
elíptico)
5 y (paraboloide hiperbólico)
7. x 2 4 y 2 4 z 2 6 x 16 y 16 z 5 0 (Hiperboloide de una hoja) 2
8.
y
9.
z
10.
z 2 4
z
2
3x
2x
2
y2
14.
x
2
16. x 17.
x
2
9
12. x 2 z 2 4y
4
2y
2
x2 9
0 (paraboloide circular recto) 11
1
(paraboloide)
(hiperboloide de dos hojas)
1
13.
2
1
15.
y
4z
2
x
2
z 1
4 x
2
y
2
36
2
16
(cilindros)
Bibliografías Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
EJERCICIOS PROPUESTOS Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gráfico aproximado. 1.
4 x
2
y
2
z
2
8x
2y
2z 3
0
(Hiperboloide de una hoja con centro en
= (1,1, −1)) 2. 3.
x x
2
2
y
2
2y
2
z
2
8 8 y 6 z 24
4z
2
8
0 (esfera)
(cono elíptico de 2 hojas)
4. x 2 y 2 z 2 10z 25 0 (cono circular) Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967. Referencias
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6superficiescuadraticas/ http://utecmat.blogspot.pe/2014/07/superficiescuadricas.html http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes /historia.pdf http://migueltarazonagiraldo.com/ E_MAIL.
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http://www.monografias.com/trabajos pdf5/superficies-cuadraticas/superficiescuadraticas.shtml http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cu adricas/marco_cuadricas.htm https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Las+6+Su perficies-Cuadricas.pdf http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/12852466 26_1262616935.pdf
http://orientacionuniversitaria.weebly.com/uploads/4/0 /0/1/40018067/resumen_superficiescuadricas_parcial1 _ingridrovelo_calculo2.pdf dipositive
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