(0) =< d® (0) ; ~º (p) >=< ®0 (0) ; º(p) >= 0 dt dt dt ¡¡ ¡! 2 0 Pr op. 3.1(2) d2 (hp ±®) d2
> (0) = (0) =< ddt®2 (0) ; ~º (p) >=< D® (0) ; º(p) > = > dt2 dt2 dt > > (39) : D(º±®) 0 0 = ¡ < ® (0); (0) > = ¡ < ® (0);D 0 º >=: H (»; ») dt
® (0)
p
Lo anterior nos permite concluir que, efectivamente, H p controla (hasta el ”segundo orden”) el comportamiento de ® en las proximidades de p: Si, por ejemplo, fuera H p(»; ») 6= 0, entonces hp ± ® presentaría un extremo local estricto en 0 2 I y ello nos permitiría concluir que, para I pequeño, ®(I ) estaría situada a un solo lado del plano afín tangente a M en p
De esta interpretación pueden sacarse interesantes propiedades geométricas sobre cómo es la super…cie. Por ejemplo, si la segunda forma fundamental es de…nida en el punto p, la super…cie debe estar, en un entorno de dicho punto, a un solo lado del correspondiente espacio afín tangente; y si es no-degenerada y no de…nida en p, entonces deben existir dos rectas en el correspondiente espacio afín tangente que dividen a éste en cuatro sectores, estando la super…cie por encima o por debajo de ellos alternativamente (ver más detalles en 3.3.4).
3.3 3.3.1
APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN Aplicación de Weingarten
Sea E un espacio vectorial euclídeo y denotemos por <; > su producto escalar. Dada una aplicación lineal L : E ! E , se de…ne la forma bilineal B asociada a L por B(v; w) :=< Lv; w > ; 8v; w 2 E: Se dice que L es autoadjunta si < Lv; w >=< v; Lw>, para todo v; w 2 E. Se sigue que B es simétrica si y sólo si L es autoadjunta. La siguiente proposición contiene resultados conocidos del álgebra lineal euclídea:
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
81
Proposición 3.17 Sea L : E ! E una aplicación lineal en un espacio vectorial euclídeo E (de dimensión n) y sea B su forma bilineal asociada. 1. L es autoadjunta si y sólo si tiene, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, una matriz representativa simétrica. 2. L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base b de E, las matrices Lb , <; >b y Bb , representativas de L , <; > y B en dicha base, respectivamente, veri…can Lb =<; > ¡1 b Bb. En particular, L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, las matrices de L y de su forma bilineal asociada B coinciden. 3. L es autoadjunta si y sólo si existe una base ortonormal formada por autovectores de L (las direcciones de esta base son únicas si y sólo si los autovalores son todos distintos). Esto signi…ca que, respecto de dicha base, la representación matricial de L (y de B) es una matriz diagonal: 0 1 ¸1 B C . .. @ A: ¸n
4. Por otra parte, si B : E £ E ! R es una forma bilineal simétrica, existe una única aplicación lineal autoadjunta L : E ! E que tiene a B por forma bilineal asociada Demostración: Ver Apéndice 5.3.2 Sea M una super…cie de E3 . La primera forma fundamental de…ne, en cada espacio tangente Tp M, una forma bilineal simétrica; la aplicación lineal autoadjunta asociada (Proposición 3.17(4)) es la aplicación identidad. Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. La segunda forma fundamental de…ne, en cada espacio tangente TpM , una forma bilineal simétrica, a la que corresponde (Proposición 3.17(4)) una aplicación lineal autoadjunta Lp : TpM !Tp M, llamada aplicación de Weingarten de (M; º) en el punto p, que viene dada por Lp» : = ¡D»º ; 8 » 2 TpM ;
(51)
y que obviamente veri…ca: (48)
< Lp»; ´ > = Hp (»; ´) ; 8 »; ´ 2 TpM : Hay que comprobar que, en efecto, D» º 2TpM . Pero ello es inmediato ya que se tiene:
Pr op. 3.1(1)
< D»º ; º (p) >
=
1 » < º ; º >= 0 2
(52)
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
82
Se llama aplicación de Weingarten de (M; º) a la correspondencia L que asocia, a cada punto p 2 M , la aplicación de Weingarten Lp en dicho punto. Para cada abierto U de M , la aplicación de Weingarten L induce una aplicación (denotada por la misma letra) L : X(U ) 3 V 7! ¡ DV º 2 X(U), que es F(U )-lineal. Si (U; ' ¡1 = (u; v)) es una carta de M y consideramos la base (@=@u; @=@v) del F(U )-módulo X(U ), necesariamente existirán funciones diferenciables lij 2 F(U) (i; j = 1; 2), llamadas coe…cientes de la aplicación de Weingarten de (M; º) en la carta (U ; '¡1), que veri…carán ½ @ @ @ L( @u ) = l11 @u + l21 @v (53) @ @ @ L( @v ) = l12 @u + l22 @v Es fácil ver que los coe…cientes lij se obtienen a partir de los coe…cientes gij y hij de las dos formas fundamentales; en efecto, se veri…ca la siguiente importante igualdad entre matrices de funciones (de…nidas en U): (lij )
P rop: 3:17(2)
=
(gij )¡1(hij ) ;
(54)
o de forma más explícita: µ ¶ µ ¶µ ¶ 1 l11 l12 G ¡F e f = l21 l22 f g EG ¡ F 2 ¡F E 3.3.2
Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas
Fijado un punto p de una super…cie orientada (M; º ) de E3 , los invariantes geométricos (traza, determinante, autovalores, etc.) de la aplicación de Weingarten Lp determinan invariantes geométricos de la super…cie, que a su vez nos permiten determinar el aspecto geométrico de ésta en las proximidades del punto p. Se llaman: (1) Curvaturas principales k1(p); k2(p) de (M; º ) en p a los autovalores de Lp: (2) Curvatura de Gauss K (p) de (M; º) en p al determinante de Lp. (3) Curvatura media H(p) de (M; º) en p a la mitad de la traza de Lp . Obsérvese que la curvatura de Gauss no depende de la orientación (local o global) de la super…cie, ya que det(Lp) = det(¡Lp ). Aplicando la Proposición 3.17(3), se concluye que existe una base ortonormal (» 1; » 2) de TpM , positiva respecto de º (p) y formada por autovectores de Lp. Según la de…nición anterior, se tiene:
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
Lp »1 = k 1(p) » 1 ;
83
Lp» 2 = k2(p) »2 ;
k1(p) + k 2(p) ; 2 cualquier base (»1 ; »2 ) como la que acabamos de construir se llama base adaptada a (M; º ) en p. En el dominio U de una carta se tiene la siguiente fórmula local, que pone de mani…esto que la curvatura de Gauss K : M ! R de una super…cie de E3 es una función diferenciable (recordar que EG ¡ F 2 > 0): K (p) = k1(p)k2(p) ; H(p) =
(54)
K j U := det L jU =
eg ¡ f 2 2 F(U ) ; EG ¡ F 2
en cuanto a la diferenciabilidad de las curvaturas principales k1; k2 : M ! R (cuando hablamos de las funciones, elegimos la notación de forma que sea k1 ¸ k 2), ver el Ejercicio 6.3.8. Ejemplo 3.18 El cálculo de las curvaturas principales de planos y esferas no requiere coordenadas. Todo plano M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f : E3 3 x 7!< x ¡ q; ~´ >2 R, con q; ~´ 2 E3. ³Eligiendo como normal unitaria º a M la dada P3 ´ i @ ´ ´p ~ por º(p) := j~´j = i=1 j~´j @xi , se tiene (para todo ~» p 2 TpM ): Lp~»p: = p
(37)
¡D~» p º = 0. Con lo que k1 = k2 = 0 y K = 0. Por otra parte, toda esfera M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f : E3 3 x 7!< x ¡ q; x ¡ q > ¡r2 2 R, con q 2 E3 ; r > 0. Eligiendo como P3 pi¡qi ³ @ ´ (p¡q)p normal unitaria º a M la dada por º (p) := r = i=1 r , se @xi p ³ ´ P3 ~ (37) @ tiene (para todo ~» p 2 TpM ): Lp~» p: = ¡D~»p º = ¡1 = i=1 » p(xi) @xi r p ³ ´ P 3 ~ ¡1 @ ~» . Con lo que k1 = k2 = ¡1 y K = 12 . = ¡1 i=1 » i @xi r r p r r p
Ejemplo 3.19 Sea una carta (U ; '¡1) de una super…cie orientada (M; º). Una vez calculados los coe…cientes gij y hij de las dos formas fundamentales en dicha carta, resulta inmediato calcular las curvaturas prinicipales, media y de Gauss en U utilizando la expresión (54). Así, en la esfera de radio r y en la carta polar del Ejemplo 2.15, puede aplicarse obtenido µ lo ¶ en los Ejemplos 3.8 y 3.15 para llegar a la expresión ¡1 0 r (lij ) = ; de donde se concluye lo que ya sabíamos, esto es, que 0 ¡1 r las curvaturas principales son k1 = k2 = ¡1 y la curvatura de Gauss es r 1 K = r2 .
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
84
Análogamente, en la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, la matriz de la aplicación de Weingarten resulta en ¶cuenta los resultados de los Ejemplos 3.9 y 3.16): (lij ) = µ (teniendo · cos v 0 1¡·r cos v (¿cómo es que no sale simétrica?); de donde se concluye ¡1 ¤ r · cos v ¡1 (!) que las curvaturas principales son k1 jU = 1¡·r cos v y k2 jU = r y la ¡· cos v curvatura de Gauss es K j U = r(1¡·r : cos v) 3.3.3
Aplicación de Gauss
Sea (M; º) una super…cie orientada de E3. Se denomina aplicación de Gauss de (M; º ) a la aplicación ~º : M ! S2 (donde S2 es la esfera unitaria de E3 centrada en el origen) que asocia, a cada punto de M , la parte vectorial de la normal unitaria en dicho punto. Nótese que, por ser las componentes º i (i = 1; 2; 3) funciones diferenciables (recordar que esto implica que admiten extensiones locales ~ºi diferenciables en torno a cada punto de M ½ E3 ), la aplicación de Gauss es una aplicación diferenciable entre super…cies. Por otra parte, para cada p 2 M , y puesto que los espacios tangentes a M en p y a S2 en ~º (p) veri…can Tp M = ~ ~º (p) 2 T~º(p)R3 j< ~»; ~º (p) >= 0g, f~»p 2 TpR3 j< ~»; ~º (p) >= 0g³y T~º´(p)S2 = ³ f»´ la correspondencia canónica
@ @xi
p
$
@ @x i
º(p) ~
identi…ca TpM con T~º (p)S2
(ambos espacios tangentes tienen la misma ”parte vectorial”). La siguiente proposición identi…ca (salvo el signo) la aplicación de Weingarten en el punto p con la diferencial en p de la aplicación de Gauss y proporciona una interesante interpretación geométrica (del valor absoluto) de la curvatura de Gauss jK(p)j: Proposición 3.20 1. Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea 2 ~º : M ! S la aplicación de Gauss. Sea p 2 M. Utilizando la identi…identif: cación T pM ´ T~º (p)S2 anterior, se tiene: ¡Lp = d~º jp 2. Sea (U; ' ¡1 ) una carta de M . Sea R(½ U) un subconjunto medible de M y sea p 2 R. Entonces, se tiene: A(~º (R)) = jK(p)j ; R!fpg A(R) lim
donde A(R) y A(~º(R)) son las áreas de los subconjuntos R de M y ~º (R) de S2 , respectivamente.
85
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Demostración: Probemos 1. Se veri…ca (8~» p 2 T pM ): µ
3 X
~»p(ºj ) @ ¡Lp~»p := D~»p º = @xj j=1 (37)
3 X
@ º~j ´ »i (p) @x i i;j=1
µ
@ @xj
¶
(18)
=
º(p) ~
¶
3 X i=1
p
3 X
@ º~j = »i (p) @xi i;j=1
» i d~º jp
µ
@ @xi
¶
p
µ
@ @xj
¶
identif: p
´
= d~º jp ~» p :
Y probemos 2 (ver [5], 3.3, Proposición 2): El área del recinto R ½ M es (45)
A(R) : =
Z
' ¡1 (R )
¯ ¯ Z ¯ @ ¯ @ (30) ( ¯¯ £ ¯ ± ') = @u @v ¯ '¡1(R )
¯ ¯ ¯ @' @' ¯ ¯ ¯ ¯ @ u £ @v ¯ ;
y análogamente, el área del recinto ~º(R) ½ S2 vendrá dada por
¯ ¯ ¯ @(~º ± ') @(~º ± ') ¯ ¯ ¯ : A(~º (R)) = ¯ @u £ @v ¯ '¡1(R) ³ ´ P @ De la expresión º = 3j=1 º j @x j U se deduce: j Z
¶ µ ¶ µ ¶ 3 µ 3 X @ @ (36) X @(º j ± ') @ ¡1 D@ º = (º j ) j = ( ±' ) j ; ) @ui @ui @xj U @ui @xj U j =1 j=1 (40)
¯ ¯ ¯¯ @(~º ± ') @(~º ± ') ¯¯ ¯ ¯ ¯ ± '¡1 ) ¯D @ º £D @ º ¯ = ¯¯ £ @u @v @u @v ¯
(¤) ;
y por otra parte, se tiene:
µ ¶ @ @ @ @ l11 l12 (D @ º ; D @ º ) = : (¡L ; ¡L ) = ( ; ) ; ) @u @v l21 l22 @u @v @u @v ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (4) ¯ @ ¯ @' @' ¯ ¡1 @ ¯¯ (30) ¯ ¯ ¤¤ ¯ ¯ ¯ ) ¯D @u @ º£D @ º ¯ = jKj ¯ @u £ @v ¯ = jK j (¯ @u £ @v ¯±' ) ( ) : @v (51)
Se sigue de (¤) y (¤¤) que:
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ @(~º ± ') @ (~º ± ') ¯ ¯ @' @' ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; £ = (jK j ± ') ¯ £ ¯ @u @v ¯ @u @v ¯
y …nalmente se concluye:
A(~º (R)) lim = lim R!fpg A(R) R!p
R
¯ (jK j ± ') ¯ @' £ ¯ @' @u@' ¯ R ¯ £ ¯ ¡1
' ¡1 (R) '
(R)
@u
@v
¯
@' ¯ @v
= jK(p)j
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
86
El resultado de la Proposición 3.20(2) representa el análogo en super…cies de la expresión para curvas planas (Observación 1.25(3)): ~ jI ) L(N = j ·(t) j : I!ftg L(® jI ) lim
Esta es la de…nición original de curvatura dada por Gauss. Es quizá la más natural de todas. Hace evidente, por ejemplo, que un plano o un cilindro tienen curvatura K = 0, mientras que una esfera de radio r tiene curvatura constante K = 1=r2 . 3.3.4
Expresión local de super…cies como grá…cas de funciones
Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3, sea p un punto de M y sea (» 1; »2 ) una base de TpM adaptada a (M; º) en p (esto es, ortonormal, positiva respecto de º(p) y formada por autovectores de Lp; ver 3.3.2). Elijamos como coordenadas (x; y; z) en E3 las dadas por la referencia cartesiana con origen p = (0; 0; 0) y con base ortonormal (~» 1; ~»2 ; ~º(p)); es decir, para todo q 2 E3 , se tiene: 8 ! pq; ~» 1 > < x(q) :=< ¡ ¡ !; ~» > pq 2 : y(q) :=< ¡ ! ~º (p) >´ h (q) z(q) :=< pq; p (la aplicación hp 2 F(E3 ), altura sobre p, fue introducida en 3.2.4).
Obsérvese que la proyección ortogonal (respecto de ~º (p)) de M sobre el plano afín euclídeo fz = 0g ½ E3 es la aplicación: M 3 q 7! p + x(q)~» 1 + y(q)~» 2 2 fz = 0g Es inmediato comprobar que se obtiene así, en torno a p, una carta (U; ' ¡1 = (x; y)) de M , que llamaremos carta (en torno a p) adaptada a (» 1; » 2; º(p)). En efecto: el que la aplicación ¼12 j M : M ! fz = 0g induce de hecho un difeomor…smo entre un cierto entorno (abierto) U de p ´ (0; 0; 0) 2 M y un entorno U de (0; 0; 0) 2 fz = 0g es inmediata consecuencia de que d¼ 12 jp : T(0;0;0) fz = 0g ´ T(0;0;0) M ! T(0;0;0)fz = 0g es la aplicación identidad y del Teorema de la función inversa para super…cies (Teorema 2.28).
Resulta así obvio que la parametrización asociada ' : U ! U tiene por ecuaciones: '(x; y) = (x; y; z = (hp± (¼12 jU )¡1)(x; y)) ; | {z } '
87
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
ello concreta lo que a…rmaba en general el Teorema 2.13, a saber, que toda 2 super…cie es localmente la grá…ca de una función diferenciable & : (R ³ ´¾)U ! ¡@¢ @ R (aquí, & = hp ± '). Por otra parte, y puesto que @x p = »1 ; @y = » 2 y » 1 £ » 2 = º (p), resulta claro que º jU = º ' := j necesariamente debía ser º jU = §º ').
@ @ @x £ @y @ £ @ @x @y
p
j (piénsese que
Introduzcamos las siguientes notaciones (que son clásicas en la bibliografía): ( p ±') p ±') p ´ @(h@x ± '¡1 ; q ´ @(h@y ± '¡1 ; 2 2 2 ; (hp ±') p ±') p ±') r ´ @ (h ± '¡1 ; s ´ @ @x@y ± '¡1 ; t ´ @ (h ± '¡1 @x2 @y2 (obsérvese que p(p) = 0 = q(p), puesto que la función hp j M posee un extremo en p). Con ellas, los coe…cientes (43) y (50) de las dos formas fundamentales de M en la carta (U; '¡1 ) vienen dados por: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 E F 1 + p2 pq e f r s = ; =p ; F G pq 1 + q2 f g 1 + p2 + q2 s t p p tener en cuenta que EG ¡ F 2 = 1 + p2 + q2 . Atención: (U ; '¡1) no es, en general, una carta ortogonal. En el punto p, se obtiene: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ E F 1 0 e f r(p) s(p) k1 (p) 0 (p) = ; (p) = = ; F G 0 1 f g s(p) t(p) 0 k2(p) tener en cuenta que (gij )¡1(hij ) = (lij ) y que (lij)(p) debe ser diagonal, por ser (» 1; » 2) base tangente adaptada a (M; º ) en p. 3.3.5
Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direcciones principales
Sea M una super…cie de E3 y sea p un punto de M . Sea K la curvatura de Gauss de M y sean k1(p) y k2(p) las curvaturas principales (3.3.2) de M en p (respecto de alguna normal unitaria de…nida en torno a p). Se dice que p es (la adscripción de p a alguno o algunos de los siguientes casos constituye su carácter): (1) hiperbólico si K(p) < 0. (2) parabólico si K(p) = 0 y k1(p); k2(p) no son ambas nulas. (3) elíptico si K(p) > 0.
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
88
(4) plano si k1(p) = k2(p) = 0. (5) umbílico si k1(p) = k2(p). Puesto que estas de…niciones involucran la curvatura de Gauss y/o la anulación de (alguna de) las curvaturas principales, la clasi…cación de los puntos de una super…cie por su carácter es independiente de la orientación (local o global) elegida en ésta. La clasi…cación de los puntos de una super…cie en: hiperbólicos, parabólicos, elípticos y planos, es exhaustiva y excluyente. Umbílicos son todos los puntos planos y (eventualmente) algunos de los elípticos. Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente (no nulo) » 2 TpM de…ne una dirección principal si » es autovector de Lp. Al igual que en el apartado anterior, la noción de dirección principal es independiente de la orientación (local o global) elegida en la super…cie. El punto p resulta ser: (1) no umbílico si y sólo si TpM posee exactamente dos direcciones principales distintas; en tal caso, éstas son mutuamente ortogonales y están de…nidas por los vectores »1 y » 2 de una base adaptada. (2) umbílico si y sólo si todas las direcciones en Tp M son principales. En efecto: el que Lp posea sólo dos direcciones principales está ligado al hecho de que los dos autovalores de Lp sean distintos (recordar la Proposición 3.17(3))
3.3.6
Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas
Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sea (»1 ; »2 ) una base de Tp M adaptada a (M; º) en p (esto es, ortonormal, positiva respecto de º(p) y formada por autovectores de Lp; ver 3.3.2) y sean k1 (p) y k 2(p) las curvaturas principales en p, esto es, Lp(» i) = ki (p)»i (i = 1; 2). Elegimos la notación de forma que se tenga: k 1(p) ¸ k2 (p). Un vector genérico » 2 Tp M se puede escribir: » =j » j (cos µ » 1 + sen µ » 2) ; para cierto µ 2 [0; 2¼). Entonces la curvatura normal (3.2.2) de (M; º) en la dirección de » veri…ca: (47)
·º (») :=
¡1 1 < D» º; » > =: < Lp »; » >= k1(p) cos2 µ + k2 (p) sen2 µ: 2 j»j j » j2 (55)
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
89
La fórmula que acabamos de obtener (llamada fórmula de Euler) muestra que los valores de la curvatura normal de (M; º) en p son una combinación afín y ”convexa” (ya que cos2 µ ¸ 0 ; sen2 µ ¸ 0 y su suma es uno) de las curvaturas principales k1(p) y k2(p) en p. Al variar µ entre 0 y 2¼, obtenemos todos los valores del intervalo [k2(p); k1 (p)]; en particular k1 (p) para µ = 0 (y ¼) y k2(p) para µ = ¼=2 (y 3¼=2). De esta forma concluimos que las curvaturas principales k1(p) y k 2(p) son los valores máximo y mínimo, respectivamente, de la curvatura normal de (M; º) en p. La curvatura de Gauss K(p) = k 1(p)k2(p) resulta ser (salvo quizás el signo) el cuadrado de la media geométrica de los (módulos de los) dos valores extremos, mientras que la curvatura media H(p) es la media aritmética de estos extremos. Es decir, otra forma de interpretar la curvaturas de Gauss y media en un punto es como las medias geométrica y aritmética de los valores extremos de la curvatura normal en dicho punto. Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente (no nulo) » 2 TpM de…ne una dirección asintótica si < Lp »; » >= 0, lo que equivale a decir que la curvatura normal ·º (») de (M; º) en la dirección de » es nula. Entonces el punto p es: (1) hiperbólico si y sólo si Tp M posee exactamente dos direcciones asintóticas distintas. (2) parabólico si y sólo si TpM posee una única dirección asintótica. (3) elíptico si y sólo si T pM no posee direcciones asintóticas. (4) plano si y sólo si todas las direcciones de TpM son asintóticas. En efecto: si º es una orientación (local) de M en torno a p y (»1 ; »2 ) es una base adaptada a (M; º) en p, sabemos (55) que ·º (») = k1(p) cos2 µ + k2(p) sen 2 µ ; siendo » ´j » j (cos µ » 1 + sen µ » 2) , para cierto µ 2 [0; 2¼). El número de direcciones asintóticas (dos, una, ninguna o in…nitas) de TpM está pues ligado a que los dos autovalores de Lp sean distintos o no y a su signo. En el caso de que k1 (p) > 0 > k2(p) , las dos direcciones asintóticas corresponden a los valores µ0 y 2¼ ¡µ 0 , donde
µ 0 = arctg
p
¡k1(p)=k2 (p) ;
en el caso de que k1 (p) > 0 = k2 (p) , la dirección asintótica corresponde al valor µ 0 = ¼2
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
90
Ejemplo 3.21 Se sigue del Ejemplo 3.18 que cualquier punto de un plano es plano y cualquier punto de una esfera es elíptico y umbílico. Cualquier dirección tangente a un plano es principal y asintótica. Cualquier dirección tangente a una esfera es principal y ninguna es asintótica. En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta el resultado del Ejemplo 3.19) que los puntos de U son hiperbólicos, parabólicos o elípticos según que su coordenada v veri…que cos v > 0; cos v = 0 ó cos v < 0 (esto es, v 2 (¡ ¼2 ; ¼2 ); v = § ¼2 ó v 2 ( ¼2 ; 3 ¼2 ), módulo 2¼), respectivamente. Una construcción interesante, que codi…ca el carácter de un punto de una super…cie, es la indicatriz de Dupin, que se describe en el Apéndice 5.3.3*. 3.3.7
Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas
Sea M una super…cie de E3 : Se dice que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea de curvatura de M (respectivamente, una línea asintótica de M ) si, para cada t 2 I, el vector ®0(t) de…ne una dirección principal (respectivamente, una dirección asintótica) de TpM . Es importante observar que en ambos casos se trata de propiedades de las trayectorias (”líneas”) de las curvas y no de las curvas (regulares) mismas. Una consecuencia inmediata (recordar (38)) de la de…nición algebraica que hemos dado de dirección principal es que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea de curvatura si y sólo si, para cualquier elección (no necesariamente global) de normal unitaria º , se veri…ca el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de 1er. orden en las componentes de la velocidad de ®: d (~º ± ®) d® = ¡k ; dt dt donde la función k : I ! R da lugar, en cada t 2 I, a un autovalor (curvatura principal) de L®(t) . Este resultado se conoce como teorema de OlindeRodrigues (ver [5], 3.2, Proposición 3). Similarmente, es inmediato ver (recordar (38)) que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea asintótica si y sólo si, para cualquier elección (no necesariamente global) de normal unitaria º, se veri…ca la siguiente ecuación diferencial de 1er. orden en las componentes de la velocidad de ®: <
d (~º ± ®) d® ; >= 0 : dt dt
Se dice que una curva ® : I ! M es una geodésica de M si su aceleración 0 ® ´ D® es normal a M . Si ® : I ! M es una geodésica de M , entonces se dt tiene: 00
d < ®0 ; ®0 > dt
P rop: 3:1(2)
=
2<
D®0 0 ; ® >= 0 ; dt
91
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
por lo que j ®0 j: I ! R es una función constante. Por tanto, si j ®0 (0) j= 1; entonces ® está necesariamente parametrizada por la longitud de arco. Observación 3.22 Sea ® : I ! M es una curva con j ®0 j constante. Si ® no es una geodésica de M , ninguna reparametrización (1.3.1) de ® puede serlo. En efecto: para que ® ± f : J ! M sea geodésica de M , debe ser: j (® ± f)0 j= cte: ;
P rop: 1:13(1)
)
df d2f = cte: ; ) =0 : ds ds2
Pero entonces se tiene: 1:4:1
(® ± f)00 =
d2f df 2 00 df 2 00 0 (® ± f) + ( ) (® ± f) = ( ) (® ± f) ; ds2 ds ds
con lo que, si ®00 no es paralela a º ± ®, tampoco (® ± f)00 puede ser paralela a º ± ® ± f
Ejemplo 3.23 Cualquier curva regular en un plano de…ne una línea de curvatura y asintótica. Cualquier curva regular en una esfera de…ne una línea de curvatura; la esfera no posee líneas asintóticas. Todas las curvas con velocidad constante cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferencias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas (Ejercicio 6.4.3a-c); probar que todas las geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d) requiere esperar (hasta el apartado 4.2.2). En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta la expresión de la normal obtenida en el Ejemplo 3.16) que, para cada u 2 I, la curva ¯ u : R 3 t 7! ~ ~ ®(u) + r cos t N(u) + rsen t B(u) 2 M veri…ca (8t 2 R): ³ ´ 0 ~ ~ ¯ u(t) = ¡r sen t N (u) ¡ cos t B(u) ; ) ¯ u(t)
³ ´ ~ ~ ) ¯00u(t) = ¡r cos t N(u) + sen t B(u)
¯ u(t)
= ¡r (º ± ¯u ) (t) ;
con lo que ¯ u es geodésica de M. Por otra parte: L¯u(t) (¯ 0u(t))
³ ´ ¡D(º ± ¯ u) ¡1 0 ~ ~ := ¡D¯u(t)º = (t) = sen t N(u) ¡ cos t B(u) = ¯ (t) ; dt ¯ u(t) r u
con lo que ¯ u de…ne una línea de curvatura de M .
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
3.4 3.4.1
92
ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS Isometrías entre super…cies
¹ super…cies de E3. Una aplicación diferenciable F : M ! M ¹ Sean M y M se llama isometría si es biyectiva y si, para cada p 2 M , su diferencial ¹ es una isometría lineal, es decir: dF jp: Tp M ! TF (p)M < dF j p » ; dF jp ´ >=< »; ´ > ; 8»; ´ 2TpM :
(56)
Por la regla de la cadena (2.3.3) se concluye que la composición de isometrías es una isometría. ¹ es una isometría, la condición (56) implica (Proposición Si F : M ! M 1.5(5)) que dF j p es un isomor…smo lineal para todo p 2 M . Se sigue (2.3.5) que: toda isometría es un difeomor…smo. Observación 3.24 No existe, para las isometrías, un ”análogo” a lo que el teorema de la función inversa (Teorema 2.28) es para los difeomor…smos ¹ es una aplicación diferenentre super…cies. Concretamente: si F : M ! M ¹ es una isometría ciable (entre super…cies de E3 ) y si dF jp: T pM ! T F(p)M lineal para cierto p 2 M , no existe en general un abierto U de M, con p 2 U, tal que F j U : U !F (U) sea una isometría. La razón de esta diferencia es que la condición de que dF j p sea un isomor…smo lineal es ”abierta”, mientras que la de que sea una isometría lineal es ”cerrada”. ¹ super…cies de E3 . Una aplicación diferenciable F : M ! M ¹ Sean M y M se llama isometría local si, en cada punto p 2 M, su diferencial dF jp : ¹ es una isometría lineal. Resulta así: TpM ! TF (p)M (1) (del concepto de difeomor…smo local, ver 2.3.5) Toda isometría local es un difeomor…smo local y, por tanto, localmente una isometría. (2) (directamente de las de…niciones) Una aplicación diferenciable es una isometría si y sólo si es una biyección y una isometría local. El siguiente resultado proporciona la caracterización en coordenadas de la isometrías locales: ¹ super…cies de E3. Una aplicación diferenProposición 3.25 Sean M y M ¹ es una isometría local si y sólo si, para cada punto p 2 M , ciable F : M ! M ¹ existen cartas (U; ' ¡1 = (u; v)) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1 = (¹ u; ¹v)) de M en torno a F (p), con F (U) ½ U , tales que u¹k ± F j U = uk
(k = 1; 2)
(¤ ) ;
y, además, en algún (y en todo) par de cartas de este tipo se veri…ca ¹gij ± F jU = gij
(i; j = 1; 2)
(¤¤ ) :
93
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Demostración: Comencemos con un cálculo previo. Sean (U; ' ¡1 ) ¹ , respectivamente, con y (U; ' ¹ ¡1 ) dos cartas cualesquiera de M y M F (U ) ½ U . Sea p 2 M . Habida cuenta de dF jp
µ
@ @ui
¶
µ ¶ 2 X @Fk'¹' ¡1 @ = (' (p)) (i = 1; 2) ; @u @ u ¹ i k F (p) k=1
(29) p
resulta inmediato que dF j p será una isometría lineal si y sólo si se veri…ca (8i; j = 1; 2): 2 X
@Fk'¹' ¡1 @Fl''¹ ¡1 gij (p) = ¹gkl (F (p)) (' (p)) (' (p)) : @ui @uj k;l=1
(57)
Probemos ahora el Teorema. Por lo dicho antes, F será una isometría local si y sólo si F es un difeomor…smo local cuya diferencial en cada punto es una isometría lineal. Pero sabemos (Lema 2.29 en 2.3.5) que F será un difeomor…smo local si y sólo si, para cada punto p 2 M , ¹ en torno a existen cartas (U ; '¡1) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1) de M ¤ F (p), con F (U ) ½ U , tales que se veri…que ( ). Pues bien, insertando esta condición en la ecuación (57), se obtiene (¤¤ )
¹ , las super…cies M y M ¹ se dicen isoSi existe una isometría F : M ! M métricas. Como la identidad, la inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías, se concluye que la relación ”ser isométricas” es de equivalencia. Las isometrías locales veri…can: ¹ super…cies de E3 y sea F : M ! M ¹ una Proposición 3.26 Sean M y M isometría local. Entonces: 1. F preserva la longitud, es decir: para toda curva ® : I ! M , se tiene L(F ± ®) = L(®) ¹ (p)) = K(p) 2. F preserva la curvatura de Gauss: K(F (teorema egregio de Gauss)
;
8p 2 M
Demostración. Probemos 1. Escribiendo I ´ [a; b] , se tiene: Z b Z b 2:3:3 0 L(F ± ®) := j (F ± ®) (t) j dt = j (dF j ®(t) ®0 (t)) j dt = a
a
=
Z
b a
j ®0 (t) j dt =: L(®) :
94
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Veamos 2. El punto difícil de la demostración de 2 consiste en probar que, aunque la curvatura de Gauss de una super…cie depende en principio de las dos formas fundamentales sobre ésta (ver 3.3.2), en realidad sólo depende de la primera (esto es, constituye lo que se denomina un objeto geométrico ”intrínseco” de la super…cie). Pospondremos la demostración de este punto hasta el Teorema 4.7, después de introducir la noción de ”derivación covariante” en super…cies. Una vez probada la citada a…rmación, se sigue que, si (U ; '¡1) y ¹ (U; ' ¹ ¡1 ) son cartas cualesquiera en torno a p 2 M y F (p) 2 M (respectivamente), con gij y g¹ij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental en dichas cartas, se tendrá:
¹ jU = f (¹gij ) K j U = f(g ij ) y K
(¤)
;
donde la notación indica que f es una cierta función diferenciable (la misma en ambos casos!) de los coe…cientes de la primera forma fundamental. Ahora bien, si F es una isometría local, sabemos (Proposición 3.25) que, para cualquier p 2 M , existen cartas (U ; '¡1) en torno a ¹ en las que se veri…ca: p 2 M y (U; ' ¹ ¡1 ) en torno a F (p) 2 M ( ¤)
g¹ij ± F j U = g ij (i; j = 1; 2) ; )
¹ ± F jU = K jU ; K
¹ ±F =K y, por la arbitrariedad de p, resulta K Observación 3.27 También puede probarse que las isometrías locales preservan las geodésicas. Sin embargo, esperaremos a formalizar este resultado (a diferencia de lo que hemos hecho respecto de la preservación de la curvatura de Gauss) hasta que estemos en condiciones de probarlo por completo (Proposición 4.14(2) en 4.2.2), después de introducir la noción de ”transporte paralelo” en super…cies. Ejemplo 3.28 Vamos a probar, utilizando coordenadas polares (½; Á) en el plano, que el semiplano M := f(x1; x2; 0) 2 E3 j x2 > 0g es isométrico al ¹ := f(x1; x2; x3) 2 E3 j 3x21 + 3x22 ¡ x23 = 0 ; x3 > 0g privado de cono M una generatriz (ver [5], 4.2, Ejemplo 3, p.226; ver [8], Ch. 23, Example 4, p.222). Para empezar, ambas super…cies poseen curvatura de Gauss nula (Ejemplo 3.18 y Ejercicio 6.3.10b), con lo que la Proposición 3.26(2) no supone ninguna obstrucción. Sean las parametrizaciones ½ ' : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! (½ cos v ; ½ senv ; 0) 2 M p ½ ½ 3 ¹ : ' ¹ : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! ( 2 cos 2v ; 2 sen2v ; 2 ½) 2 M La aplicación ' es la parametrización polar ”obvia” del semiplano M , y es global. Por otra parte, ' ¹ se parece (pero no es igual) a la parametrización
95
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
p ¹ como obvia (0; 1) £ (0; 2¼) 3 (u; Á) 7! (u cos Á; usenÁ; 3u) del cono M super…ciepde revolución (generada por la curva plana ® : (0; 1) 3 u 7! (x1 = u; x3 = 3u) al girar en torno al eje x3; recordar el Ejercicio 6.2.7b); la ¹ ¡ f(x1 ; x2; x3) 2 M ¹ j x1 > 0; x2 = 0g, esto es, M ¹ imagen de ' ¹ es U = M privado de una generatriz. De…niendo la aplicación f := ' ¹ ±'¡1 : M ! U (utilizamos la f minúscula para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU . Pues bien, un sencillo cálculo nos da los siguientes coe…cientes para la PFF del semiplano M en la ¹ en la parametrización local ': parametrización global ' y del cono M ¹ ¹ v) = 1 ; F¹(½; v) = 0 ; G(½; ¹ v) = ½2 ; E(½; v) = 1 ; F (½; v) = 0 ; G(½; v) = ½2 y E(½; respectivamente. Se sigue que g¹ij (½; v) = g ij(½; v), o también, ¹gij ± f = gij (i; j = 1; 2). Al ser f biyectiva por construcción, f resulta ser (Proposición 3.25) una isometría entre M y U. Y hemos terminado. El proceso que establece la isometría entre U y M es el ”cortar” el cono ¹ por la generatriz y ”desarrollarlo” sobre el plano. Es este proceso (imporM tante para la fabricación de pantallas de lámpara) el que hace ”natural” a la ¹ (y no a la obvia de M ¹ como super…cie de revoluparametrización ' ¹:U!M ción). En efecto, al desarrollar un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a, lo que resulta es un sector circular plano (abierto) de radio ½ y amplitud p 2 2¢v = ¢Á sena(= 2¼ sena). Como la ¹ veri…ca: tan a = x1+x2 = p1 ; ) sena = 1 , se concluye que abertura de M x3
3
2 ¢Á 2 =
la amplitud del sector circular plano resultante es ¢v = ¼. Así, el p desarrollo del abierto U del cono asocia, al punto original (u cos Á; usenÁ; 3u), el radio ½ = 2u y el ángulo polar v = Á2 . 3.4.2
Super…cies localmente homogéneas
Una super…cie M de E3 se dice localmente homogénea si, para cada par de puntos p; q 2 M , existen entornos U de p y V de q y una isometría F : U ! V con F (p) = q. Naturalmente, por la proposición anterior se ve que una super…cie localmente homogénea tiene necesariamente curvatura de Gauss constante. Pero también el recíproco es cierto: ¹ super…cies de E3 con la misma Teorema 3.29 (Minding) Sean M y M curvatura de Gauss constante. Entonces, dados dos puntos cualesquiera p 2 ¹ existen entornos U de p y U de p¹ isométricos. M y p¹ 2 M, Demostración* (Ver [5], 4.6, Teorema, p. 290). En efecto: para cualquier super…cie M de E3, es posible probar, en un cierto tipo de coordenadas (½; #) (llamadas ”geodésicas polares” y que existen en el entorno de cualquier punto), que los coe…cientes de la primera forma
96
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 2
p
p
fundamental veri…can : E = 1 ; F = 0 y @@½2G + K G = 0. Si K = c (constante), se sigue que G = fc(½), donde fc es cierta función diferenciable (la misma para todas las super…cies con K = c). Sea ¹ otra super…cie con curvatura de Gauss K ¹ = c y sean dos ahora M ¹ . Utilicemos cartas geodésicas puntos cualesquiera p 2 M; p¹ 2 M ¡1 ¹ en torno a p¹ polares (U ; ' ) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1) de M 2 ¡1 con la misma imagen U ½ R . Denotando à ´ ' ¹ ±' : U ! U (con ¹ ± à = 1 = E ; F¹ ± à = 0 = lo que à '¹' = id j U), se sigue que: E ¹ ± Ã)(½; #) = fc(½) = G(½; #). Se concluye que à : U ! U F ; (G es una isometría
¹ super…cies de E3 y supongamos que exista un Ejemplo 3.30 Sean M y M ¹ que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, difeomor…smo F : M ! M F no tiene por qué ser una isometría (no existe un ”recíproco” del teorema egregio de Gauss). Veamos un ejemplo: Sea r > 0, sean ®,¹ ® : I ! E3 curvas alabeadas parametrizadas por la longitud de arco, con curvaturas · = ¹·(< 1=r) y torsiones ¿ 6= ¿¹ constantes, y sean (T; N; B) y (T; N; B) sus respectivos triedros de Frenet. Considérense los conjuntos M := Im © y ¹ := Im ©, ¹ siendo M ( ~ ~ © : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) + r cos v N(u) + rsen v B(u) 2 E3 ¡ ! ¡ ! ¹ : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) ¹ (u) + rsen v B¹ (u) 2 E3 © ¹ + r cos v N ¹ son ”tubos” de radio r centrados en Im ® y Im ® (M y M ¹ , respectivamente) y supongamos que ambos son super…cies. Sabemos (Ejemplo 2.31) que cada ¹ inducen, punto (u; v) 2 I £R posee un entorno U(½ I £R) sobre el que © y © ¹, por restricción, parametrizaciones locales ' : U ! U y ' ¹ : U ! U de M y M ¡1 respectivamente. De…niendo la aplicación f := '±' ¹ : U ! U (utilizamos la f minúscula para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU . Pues bien, en el Ejemplo 3.9, obteníamos las siguientes expresiones para los coe…cientes de la ¹ en la parametrización ': PFF de M en la parametrización ' y de M ¹ 8 ¹ v) < E(u; v) = (1 ¡ ·r cos v)2 + ¿ 2r 2 6= (1 ¡ ·r cos v)2 + ¹¿ 2r 2 = E(u; 2 2 F (u; v) = ¿ r 6= ¿¹r = F¹ (u; v) ; : 2 ¹ G(u; v) = r = G(u; v)
de donde se concluye (Proposición 3.25) que el difeomor…smo f : U ! U no es una isometría. Y sin embargo, en el Ejemplo 3.9 obteníamos las siguientes expresiones para las curvaturas de Gauss de M en la parametrización ' y de ¹ en la parametrización ' M ¹: K (u; v) =
¡· cos v ¹ (u; v) ; =K r (1 ¡ ·r cos v)
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
97
con lo que el difeomor…smo f : U ! U sí preserva la curvatura de Gauss. ¹ super…cies y supongamos que exista un difeomorDe nuevo, sean M y M ¹ …smo f : M ! M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, incluso ¹ tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué si M y M ¹ ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! M ¹ y ni tan siquiera una isometría local M ! M; un ejemplo de todo esto puede verse en el Ejercicio 6.4.10b (cuya resolución más directa utiliza el resultado de que las isometrías locales preservan las geodésicas, lo que se probará en el apartado 4.2.2). En este sentido, el resultado del Teorema de Minding debe ser leído con sumo cuidado. 3.4.3
Congruencias entre super…cies. Rigidez
Sea A un movimiento en E3, esto es (1.1.4), una biyección de la forma ! A : E3 3 p 7! A(¡ op) + ~» 2 E3 ; donde A 2 O(n) y ~» 2 E3. Ya vimos que la inversa ! ¡ A¡1~» 2 E3 A¡1 : E3 3 p 7! A¡1(¡ op) es otro movimiento. Como los movimientos son diferenciables, resultan ser difeomor…smos de E3. Sea M una super…cie de E3. De lo anterior y de la propia de…nición de super…cie (existencia de parametrizaciones locales en torno a cada punto) se deduce inmediatamente que, si A : E3 ! E3 es un movimiento, A(M ) es una super…cie de E3 . ¹ super…cies de E3. Una aplicación F : M ! M ¹ se llama Sean M y M 3 3 congruencia si existe un movimiento A : E ! E de forma que F = A jM ¹ = A(M ). En tal caso, las super…cies M y M ¹ se dicen congruentes. yM 3 Como los movimientos en E son difeomor…smos, también lo son las congruencias entre super…cies. ¡ ! ~ Más aún: escribiendo ³ ´de nuevo A(p) = A( op) + », para cada p 2 M , se i sigue que: DA(p) ´ @A (p) = A. Por tanto, la diferencial dA j p veri…ca: @xj dA jp: Tp E3 3 ~´p 7! (A~´)A(p) 2 TA(p)E3
y, por ser A 2 O(n), resulta ser una isometría lineal. Teniendo en cuenta que ¹ es (2.3.3) la restricción a Tp M de la diferencial dA jp , dF jp: Tp M ! TF (p)M se concluye que, para cada p 2 M, la diferencial dF j pes una isometría lineal. Así pues, toda congruencia entre super…cies es también una isometría. Puesto que, evidentemente, la identidad, la inversa de una congruencia y la composición de congruencias son congruencias, se tiene:
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
98
Proposición 3.31 La relación de congruencia entre super…cies es de equivalencia. Además, dos super…cies congruentes son isométricas Como un ejemplo de lo que acabamos de ver sobre congruencias, ver el Ejercicio 6.3.21c. Una excelente caracterización de las congruencias viene dada por el siguiente: ¹ super…cies de E3. Un difeomor…smo F : M ! Teorema 3.32 Sean M y M ¹ es una congruencia si y sólo si, para cada p 2 M, la diferencial dF jp : M ¹ preserva la primera y la segunda (para ciertas elecciones de TpM ! TF (p)M orientación local) formas fundamentales. Demostración*. La condición necesaria es relativamente sencilla de probar (ver [8], Cap. 22, Teorema 2). Probar la condición su…ciente es algo más difícil (ver [8], Cap. 22, Teorema 3). La condición su…ciente está relacionada con el Teorema de Bonnet (Teorema 5.1, en el Apéndice 5.4.3*): éste es un resultado local, pero incluye, además de la unicidad, una a…rmación de existencia (lo que implica resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales), mientras que nuestra condición su…ciente es global, si bien sólo incluye una a…rmación de unicidad
El recíproco de la Proposición 3.31, esto es, el que dos super…cies isométricas tengan que ser congruentes, es falso; pero si, …jada M , la implicación es ¹ se dice que M es rígida; es decir, una super…cie es rígida cierta para todo M, si toda super…cie isométrica a ella es congruente con ella. Intuitivamente hablando, una super…cie rígida es aquélla que no puede cambiar de forma sin ”estiramientos”. Así, por ejemplo, de la experiencia común se deduce que una hoja de papel no es rígida; otro ejemplo de super…cie no-rígida puede verse en [5], 5.2. Un ejemplo de super…cie rígida es la esfera; para probar la rigidez de la esfera es su…ciente demostrar el siguiente: Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann) Si M es una super…cie de E3 conexa, compacta y con curvatura de Gauss constante K, entonces M es necesariamente una esfera. Demostración*: ver el Apéndice 5.3.4
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
4
99
GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
Imaginemos unos hipotéticos seres bidimensionales (pero con sentido de la distancia euclídea), que habitaran sobre una super…cie del espacio euclídeo E3 ignorantes del espacio ambiente que les rodea. Los elementos geométricos de esta super…cie (longitudes, áreas, etc.) capaces de ser observados o medidos por estos seres constituyen lo que se denomina ”geometría intrínseca” de la super…cie. Nos ocuparemos aquí de observadores locales, cuya vista sólo alcanza un entorno coordenado. Precisando un poco más los conceptos: diremos que un cierto objeto geométrico (local) sobre una super…cie M de E3 es intrínseco si puede expresarse exclusivamente en función de la primera forma fundamental de M . Que es razonable adoptar esta de…nición lo prueba el que la primera forma fundamental codi…ca equivalentemente las longitudes de curvas sobre M . En efecto: es claro que el conocimiento de la primera forma fundamental permite calcular longitudes de curvas (recordar 3.1.4). Recíprocamente, el conocimiento de las longitudes de curvas arbitrarias sobre M permite calcular los coe…cientes gij (i; j = 1; 2) de la primera forma fundamental en cualquier carta (U ; '¡1 = (u; v)) de M ; ya que, para todo p 2 U y designando como ®; ¯ y ° curvas en U tales que 0
® (0) =
µ
@ @u
¶
0
; ¯ (0) = p
µ
@ @v
¶
0
y ° (0) = p
µ
@ @u
¶
µ ¶ @ + ; @v p p
se obtiene:
E(p) = (
dL(®) 2 dL(¯) 2 dL(°) 2 j0 ) ; G(p) = ( j 0) y (E+G+2F )(p) = ( j 0) dt dt dt
Puesto que las isometrías locales entre super…cies vienen caracterizadas (56) como aquéllas aplicaciones diferenciables que preservan la primera forma fundamental, podemos a…rmar que los objetos geométricos (locales) intrínsecos serán precisamente aquéllos que se preserven bajo las isometrías locales; recordar a este respecto la Proposición 3.26, referida a la ”longitud de curvas” y a la ”curvatura de Gauss” (aunque el carácter intrínseco de ésta se probará en el Teorema 4.7 de este Capítulo).
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
4.1
100
DERIVACION COVARIANTE
En el apartado 2.4.3 habíamos recordado (o introducido) las nociones habituales de derivación de campos de…nidos sobre subconjuntos S de Rn (sobreentendiendo que Tp S fuera subespacio vectorial de TpRn; 8p 2 S). Usaremos aquí estos conceptos para mostrar que, cuando S es una super…cie M del espacio euclídeo E3; aparece una noción intrínseca de derivación de campos tangentes a M, que denominaremos ”derivación covariante”. 4.1.1
Las proyecciones tangente y normal
Sea M una super…cie de E3 . Fijado p 2 M, cada vector tangente » 2 T pE3 se descompone de forma única en suma » = » T an + » Nor ; donde la parte normal » Nor :=< »; º(p) > º(p) es ortogonal a T pM y la parte tangente »T an := » ¡ »Nor pertenece a TpM: Las proyecciones Nor : TpE3 3 » 7! »N or 2 Tp E3 y T an : TpE3 3 » 7! » T an 2 TpM son homomor…smos de espacios vectoriales. Sea U un abierto de M. Un campo X 2 XU puede pues descomponerse en X = XT an + XNor ; donde la parte normal XNor viene de…nida por XNor (p) := X(p)Nor y la parte tangente XT an por XT an (p) := X(p)T an ; 8p 2 U . Evidentemente se veri…ca: XNor =< X; º > º 2 X U y XT an = X ¡ XNor 2 X(U). Las correspondientes aplicaciones Nor : XU ! X U y T an : XU ! X(U ) son homomor…smos de F(U)-módulos. 4.1.2
Derivada covariante en una super…cie
Dado un campo de vectores tangente V 2 X(M ), de…nimos la derivada covariante direccional de V según » 2TpM como el vector (tangente a M) r» V : = (D» V)T an 2 TpM (58) Se deduce inmediatamente de las propiedades de (37) que la aplicación Tp M £ X(M ) 3 (»; V) 7! r» V 2 Tp M es R-lineal en ambas entradas y no es F(M )-lineal en la segunda, sino que cumple: r» (fV) = »(f)V(p)+f (p)r» V. Además, se deduce inmediatamente de la Proposición 3.1(1) que se veri…ca: » < V; W >=< r »V; W(p) > + < V(p); r» W >. Si ® : I ! M es una curva, un campo V a lo largo de ® (recuérdese la notación: V 2 X ® de 1.2.2) se dice tangente a M si V(t) 2 T®(t)M; 8t 2 I .
101
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
El conjunto X ® (M ) de campos a lo largo de ® que son tangentes a M constituye un R-espacio vectorial y un F(I)¡módulo. Obviamente ®0 2 X ® (M). Dado un campo de vectores V 2 X ® (M ), se de…ne la derivada covariante de V como el campo µ ¶ rV DV T an := 2 X® (M ) : (59) dt dt Se deduce inmediatamente de las propiedades de (38) que la aplicación r=dt : X ®(M) ! X® (M ) es R-lineal, pero no F(I)-lineal, sino que cumple: r(f V)=dt = (df=dt)V + frV=dt; y también que, si U 2 X(M), entonces: r(U ± ®) (t) = r®0 (t) U ; 8t 2 I ; dt
(60)
o, en otros términos (de…niendo (r® 0 U)(t) := r®0 (t)U , para todo t 2 I): r(U ± ®) = r ®0 U : dt Además, se deduce inmediatamente de la Proposición 3.1(2) que se verid rW …ca: dt < V; W >=< rV dt ; W > + < V; dt >. Finalmente, sean dos campos tangentes V; W 2 X(M ) . Se de…ne la derivada covariante de W con respecto a V como el campo rV W : = (DV W)T an 2 X(M ) ;
(61)
obsérvese que se veri…ca la expresión (que podría tomarse como de…nición alternativa de rV W): (rV W)(p) = rV(p)W , para todo p 2 M : En efecto: (40)
(rV W)(p) := (DV W)T an(p) = (DV W)(p)¡ < (DV W)(p); º (p) > º(p) = ¡ ¢T an (58) = DV(p)W¡
Se deduce inmediatamente de las propiedades de (61) que la aplicación X(M ) £ X(M ) 3 (V; W) 7! rV W 2 X(M ) es R-lineal en ambas entradas, es F(S)-lineal en la primera y cumple: rU (fV) = U(f)V + f rU V. Además, se deduce inmediatamente de la Propos. 3.1(3) que se veri…ca: U < V; W >=< rUV; W > + < V; rU W >. Por otra parte, de la de…nición de la segunda forma fundamental (3.2.3) y de la aplicación de Weingarten (3.3.1) se obtiene la siguiente:
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
102
Proposición 4.1 Sea M una super…cie de E3 . Para todo V; W 2 X(M ), se veri…ca (ecuación de Gauss): (62)
rV W = DV W¡ H(V; W)º ; | {z }
donde º es cualquier normal unitaria (o necesariamente global) a M. Demostración. En efecto: rVW :=DV W¡ < DVW; º > º =
= DV W+ < DV º; W > º =:DV W ¡ H(V; W)º . Obsérvese que la elección de ¡º como normal unitaria invierte a su vez H(V; W) Ejemplo 4.2 Antes de ver la expresión que toma en coordenadas la derivación covariante en una super…cie arbitraria, resulta interesante explorar directamente su aspecto en un caso bien conocido, como es el de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y 2 + z 2 = r2 > 0g en la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la ecuación de Gauss (62) se deduce, para los campos @ @ coordenados ( @u@ 1 ´ @# ; @u@ 2 ´ @Á ), la expresión: r @u@ @u@ j = D @u@ @u@ j ¡ hij º ', i i siendo hij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamental respecto de la normal unitaria (exterior) º ' :=
@ @ @# £ @Á @ @ @# £ @Á
2 X U . Y de la expresión j j '(#; Á) = (rsen# cos Á; rsen#senÁ; r cos #) se deduce (Ejemplo 3.15): 8 @ D @# @ > @# (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; ¡r cos #)(#;Á) > > @ > > @ (#; Á) = (¡r cos # senÁ ; r cos # cos Á ; 0)(#;Á) < D @Á @# @ ; D @Á @ @Á (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; 0)(#;Á) > > > > > º '(#; Á) = (sen# cos Á ; sen# sen Á ; cos #)'(#;Á) : e ´ h11 = ¡r ; f ´ h12 = 0 ; g ´ h22 = ¡rsen 2# con todo lo cual se obtiene …nalmente (conviene pensar despacio en el resultado): 8 r @ @ (#; Á) = ~0(#;Á) > > ³ ´ < @# @# @ @ @ r @ @# (#; Á) = cot # @Á ( ) r @ @# j(¼=2;Á)= ~0(¼=2;Á) ) : @Á @Á (#;Á) > ¡ ¢ > : r @ @ (#; Á) = ¡sen# cos # @ ( ) r @ @ j(¼=2;Á)= ~0(¼=2;Á) ) @Á
4.1.3
@Á
@# (#;Á)
@Á
@Á
Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de Christo¤el
Sea M una super…cie de E3 y sea r el operador de derivación covariante en M . Sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . El campo r @u@ @u@ j 2 X(U) se i
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
103
podrá escribir en la forma: 2
X @ @ r @ =: ¡kij ; @ui @u @u j k k=1
(63)
para ciertas funciones ¡kij ´ ¡kij (u; v) 2 F (U ) (i; j; k = 1; 2), llamadas símbolos de Christo¤el de M en la carta (U; ' ¡1 ). Los símbolos de Christo¤el son simétricos en los índices inferiores, ya que se tiene (para todo i; j; k = 1; 2): D
@ @ui
@ (40) @ @ @ = D @ ; ) r @ =r @ ; ; ) ¡kij = ¡kji @u @u @u @ uj j @ui i @ uj j @ ui
Los símbolos de Christo¤el determinan completamente la derivación covariante dentro del dominio U . En efecto, recordemos que la pareja (@=@u; @=@v) de campos coordenados constituye (Lema 2.32) una base del F(U)-módulo X(U lo que cualquier campo U 2 X(U) podrá escribirse como U = P2 ); por ' @ ' U i=1 i @ui ; con U i 2 F(U ) (i = 1; 2) y cualquier campo (a lo largo de ® U y tangente a M ) V 2 X ®(M) podrá escribirse como V = P2: I ! ' @ ' V ( i=1 i @ui ± ®); con Vi 2 F(I) (i = 1; 2). Usando las propiedades de (59) y (61), se concluye: Proposición 4.3 Sea M una super…cie de E3 y sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . 1. Sea ® : I ! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local Sea un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´ P2 asociada. ' @ V ( ± ®) 2 X ®(M); con Vi' 2 F(I) (i = 1; 2): Se tiene: i=1 i @ui 2 rV X = dt k=1
Ã
!µ ¶ 2 X dVk' dui ' k @ + Vj (¡ij ± ®) ±® dt dt @u k i;j=1
(64)
P2 P2 ' @ ' @ 2. Sean los campos U ´ i=1 U i @ui ; W ´ i=1 Wi @ui 2 X(U); con Ui'; Wj' 2 F(U ) (i; j = 1; 2). Se tiene: rUW =
à 2 2 X X k=1
2 ' X ' @Wk Ui + Ui'Wj'¡kij @u i i=1 i;j=1
!
@ @uk
(65)
Demostración. Probemos 1: Ã 2 ! ¶ 2 µ dVj' @ rV r X ' @ (59) X @ (60) ' = Vj ( ± ®) = ( ± ®) + Vj (r ®0 ) = dt dt j=1 @uj dt @uj @uj j=1
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
104
! 2 X dVj' @ dui ' @ (63) = ( ± ®) + Vj (r @ ± ®) = @ui @uj dt @uj dt j=1 i=1 Ã ! 2 2 X dVk' X dui ' k @ = + Vj (¡ij ± ®) ( ± ®) : dt dt @uk k=1 i;j=1 2 X
Ã
Y probemos 2:
rU W =
r(P2i=1 Ui' @ ) @u
=
i
à 2 2 X X k=1
4.1.4
i=1
Ã
2 X
@ Wj' @uj j=1
!
(61)
=
2 X
i;j=1
2 @Wk' X ' ' k Ui' + Ui Wj ¡ij @ui i;j=1
Ui'
!
µ
¶ @ Wj' @ @ (63) ' + Wj (r @ ) = @ui @u @ui @uj j
@ @uk
Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la curvatura de Gauss.
Como la derivación covariante depende (localmente) de los símbolos de Christo¤el, para demostrar que tiene carácter intrínseco será su…ciente demostrar que, en una carta arbitraria (U ; '¡1 = (u; v)), los símbolos ¡kij (i; j; k = 1; 2) pueden ponerse en función de los coe…cientes g ij ´< @u@ i ; @u@ j > (i; j = 1; 2) de la primera forma fundamental. En efecto, ello es así y se tiene: Proposición 4.4 Sea M una super…cie de E3 y sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F(U) (i; j = 1; 2) y ¡kij 2 F(U ) (i; j; k = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental y los símbolos de Christo¤el, respectivamente, de M en la carta (U ; '¡1). Entonces se veri…ca (8i; j; h = 1; 2): µ ¶ 2 1 X kh @(gik ± ') @(g jk ± ') @(g ij ± ') h ¡1 ¡1 ¡1 ¡ij = g ±' + ±' ¡ ±' ; 2 k=1 @uj @ui @ uk (66) kh siendo (g ) la matriz inversa de la matriz (g ij ). Demostración*: ver el Apéndice 5.4.1 Observación 4.5 Con los coe…cientes E; F; G 2 F(U ) de la primera forij abuso ma fundamental introducidos en (43), con los abusos de notación @g ´ @uk µ ¶ G ¡F @(g ij ±') 1 ±' ¡1 : U ! R, y teniendo en cuenta que (g kh) = EG¡F 2 , @uk ¡F E las fórmulas (66) se escriben: 8 @E @G @G G @E ¡2 F @F G @E 2 G @F ¡G @G 1 @u +F @v @v ¡F @u @u ¡F @v > ; ¡112= 2 (EG¡F ¡122= @v2 (EG¡F ; 2) 2) ; 2) < ¡11 = @u2 (EG¡F ; > @F ¡E @E @E +E @G @F +F @G +E @G : 2 ¡F @E +2 E ¡F ¡2 F 2 2 @u @v @v @u @v @u @v ¡11 = @u2 (EG¡F ; ¡12= 2 (EG¡F ; ¡22 = : 2) 2) 2 (EG¡F 2 )
105
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
en particular, si (U ; '¡1 = (u; v)) es un sistema de coordenadas ortogonales (esto es, si F = 0), se concluye: ¡111
=
@E @u
2E
;
¡112
=
@E @v
2E
;
¡122
=¡
@G @u
2E
;
¡211
=¡
@E @v
2G
;
¡212
=
@G @u
2G
;
¡222
=
@G @v
2G (67)
Ejemplo 4.6 En el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g en la carta polar (U; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15 (para la que se veri…ca: E = r2 ; F = 0 y G = r 2sen 2 #, ver Ejemplo 3.8), de la expresión (67) se obtiene ¡111 = 0 ; ¡112 = 0 ; ¡122 = ¡sen# cos # ; ¡211 = 0 ; ¡212 = cot # ; ¡222 = 0 ;
lo que puede usarse en (63) para deducir rápidamente la expresión de las derivadas covariantes r @ @u@ j , hallada ”a mano” en el Ejemplo 4.2. @ui
El siguiente teorema (uno de los más importantes en la geometría local de super…cies) a…rma que la curvatura de Gauss de una super…cie de E3 es un objeto geométrico intrínseco, esto es, depende sólo de la primera forma fundamental. Teorema 4.7 Sean M una super…cie de E3 y K 2 F(M) su curvatura de Gauss. Sea (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F(U ) (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental en dicha carta y r el opera@ @ dor de derivación covariante en M . Entonces, denotando U ´ @u ; V ´ @v 2 X(U ), se tiene: < ¡rU rV U + rV rU U ; V > K jU = ; (68) det(g ij) con lo que la curvatura de Gauss resulta ser un objeto geométrico intrínseco. Demostración*: Para la demostración de la expresión (68), ver el Apéndice 5.4.2. Como la derivación covariante r es (por la Proposición 4.4) intrínseca, el primer miembro de (68) también lo es
Observación 4.8 Sea (U; ' ¡1 = (u; v)) un sistema de coordenadas ortogoij abuso nales (esto es, con F = 0). Entonces, con los abusos de notación @g ´ @uk @(g ij ±') @uk
± '¡1 : U ! R, se puede ahora demostrar (!), a partir de (67) y (68), que se veri…ca: µ µ ¶ µ ¶¶ ¡1 @ @E=@v @ @G=@u p p K jU = p + : (69) @u 2 EG @ v EG EG
El resultado (Teorema 4.7) de que la curvatura de Gauss, concepto de…nido a partir de las dos formas fundamentales sobre una super…cie, depende sólo de la primera de ellas hace sospechar que, entre ambas formas deben existir ciertas relaciones de compatibilidad ; esta cuestión se trata en el Apéndice 5.4.3*.
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
4.2
106
TRANSPORTE PARALELO
En cada punto p 2 Rn habíamos construido (recordar 1.1.3) el espacio vectorial tangente T pRn := f» ´~»p j ~» 2 Rn g de los vectores ”apoyados” en p. Hay un ”transporte paralelo natural” para llevar vectores que se apoyan en un punto p 2 Rn hasta otro punto q 2 Rn , que viene de…nido por el isomor…smo lineal Tp Rn 3 ~» p 7! ~»q 2 Tq Rn. Se dice por ello que los espacios tangentes de Rn están canónicamente conectados. Otra manera de ver esto es la siguiente: Sea ® : [a; b] 7! Rn una curva que une los puntos p = ®(a) y q = ®(b). Dado un vector ~»p 2 Tp Rn ; existe un único campo (a lo largo de ®) V 2 X ® tal que V(a) = ~» p y DV = 0. En efecto, la segunda condición implica, dt Pn @ i escribiendo V ´ i=1 V i( @xi ± ®) , que se debe veri…car dV = 0 (i = 1; :::; n), dt es decir, las funciones V i son todas constantes; y la primera condición obliga a que V i = » i (i = 1; :::; n) . Si se de…ne el ”transporte paralelo natural” del vector ~»p de p a q como el resultado de evaluar el campo V en el valor b del parámetro, se obtiene el vector tangente V(b) = ~»q (independientemente de la curva ® sobre la que se hace el transporte). Sea M una super…cie de E3 y sean p; q 2 M . Resulta evidente (pensar un ejemplo trivial!) que los espacios tangentes TpM y Tq M no están (en general) canónicamente conectados. Sin embargo, vamos a ver que el punto de vista expuesto en el anterior párrafo sobre la conexión canónica en Rn permite extender la idea de ”transporte paralelo” a los vectores tangentes a M. 4.2.1
Transporte paralelo. Carácter intrínseco
Sea ® : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea V 2 X ® (M ) un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M . Se dice que V es paralelo (habría que decir ”r-paralelo”) si rV dt = 0. jj Si denotamos por X® (M ) al conjunto de campos (a lo largo de ® y tangentes a M ) paralelos, de las propiedades de rV en (59) se concluye que Xjj® (M ) dt constituye un R-espacio vectorial (cuidado: no constituye un F(I)-módulo!) y que, para cualesquiera V; W 2 Xjj® (M ), el producto escalar < V; W > es constante a lo largo de ®. Teorema 4.9 Sea ( U; ' ¡1 = (u; v)) una carta de M . Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. P 1. Sea el campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´ 2i=1 Vi'( @u@ i ± ®) 2 X® (M ); con Vi' 2 F(I) (i = 1; 2): Entonces: V es paralelo si y sólo si las funciones Vi' satisfacen el sistema lineal de ecuaciones diferenciales
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
107
de 1er. orden: Ã 2 ! 2 X X dui + (¡kij ± ®) Vj' = 0 dt dt j=1 i=1
dV k'
(k = 1; 2) :
(70)
2. Fijado cualquier t0 2 I , la aplicación X jj®(M) 3 V 7! V(t0) 2 T®(¿)M es un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial Xjj® (M ) posee dimensión 2. Denotaremos por T®(t0 )M 3 » 7! V» 2X jj® (M ) al isomor…smo lineal inverso del anterior. Nótese que se veri…ca V» (t0) = ». 3. Si a; b 2 I , la aplicación jj®a;b: T®(a)M 3 » 7! V» (b) 2T®(b)M es un isomor…smo lineal, que se denomina transporte paralelo de p = ®(a) a q = ®(b) a lo largo de ®. Además jj ®a;b es una isometría lineal y, si ¿ 2 (a; b); se veri…ca: jj®a;b = jj®¿;b ± jj ®a;¿ . Demostración. El apartado 1 es consecuencia inmediata de la Proposición 4.3(1). El apartado 2 es consecuencia inmediata del resultado mencionado en el Apéndice 5.1.3* sobre existencia y unicidad de solución global del sistema lineal (70) de ecuaciones diferenciales de 1er orden, para cualquier condición inicial (V1'(t0 ); V2'(t0)). Probemos 3. La aplicación jj ® a;b es, por el apartado 2, la composición jj
de dos isomor…smos. Además, si V; W 2 X® (M ), se tiene:
d rV rW (59) < V; W > = < ; W > + < V; >= 0 ; dt dt dt y jj® a;b resulta ser una isometría lineal
Puesto que las nociones de ”campo paralelo” y de ”transporte paralelo” se expresan via las ecuaciones (70), que son intrínsecas debido a las ecuaciones (66), se concluye que tanto la noción de campo paralelo como la de transporte paralelo son intrínsecas. Observación 4.10 Recordemos (2.1.5) que un camino en En (n ¸ 2) es una aplicación continua ® : [a; b] ! En que es diferenciable a trozos. Si ® : [a; b] ! M (½ E3) es un camino, es posible encontrar una partición a = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tk = b de [a; b] de manera que cada imagen ®([ti¡1; ti])
108
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
esté contenida en el dominio de una carta. Resulta entonces posible de…nir sin ambigüedad la aplicación jj®a;b := jj®tr¡1;b ± ¢ ¢ ¢ ± jj®a;t 1 : T®(a)M ! T®(b)M ; que es una isometría lineal. Ejemplo 4.11 En una super…cie, la noción de transporte paralelo entre dos puntos a lo largo de una cierta curva regular es invariante frente a reparametrizaciones de ésta (Ejercicio 6.4.9). El transporte paralelo en un plano afín ¦ ½ E3 coincide con el ”transporte paralelo natural” inducido en ¦ ¼ R2 vía cualquier referencia afín (Ejercicio 6.4.6). Cuando dos super…cies se cortan a lo largo de una curva, las dos nociones de paralelismo (para campos de vectores a lo largo de ésta que sean tangentes a ambas) no tienen por qué coincidir; sí lo hacen cuando las super…cies son mutuamente tangentes a lo largo de ® (Ejercicios 6.4.8 y 6.4.13c). Si ® : I ! M es una curva en una super…cie M de E3 y V 2 X® (M ) es un campo (a lo largo de ® y tangente a M ), el criterio de paralelismo para V dado en el Teorema 4.9(1) requiere coordenadas (y es molesto). Cuando ® es geodésica de M, hay un criterio sin coordenadas (ver el Ejercicio 6.4.1), mucho más cómodo de manejar y que se aplica con frecuencia. 4.2.2
Transporte paralelo, geodésicas e isometrías
Sea ° : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea r el operador de derivación covariante en M . En 3.3.7 de…nimos ° como si su ³ geodésica ´ aceleración ° 00 ´
D° 0 dt
era normal a M . Puesto que
r° 0 dt
:=
D° 0 dt
T an
, resulta
r° 0
que ° es geodésica si y sólo si dt = 0, esto es, si y sólo si su campo de velocidades es paralelo. Se dice que la geodésica ° : I ! M es una geodésica por » 2 T pM , si 0 2 I y ° 0(0) = » (obviamente, en tal caso °(0) = p). Y se dice que ° es maximal, si no existe ninguna geodésica °~ : I~ 7! M que ”extienda” a ° (esto es, tal que I~ contenga estrictamente a I y se veri…que ~° jI = °). Ya vimos en 3.3.7 que, si ° : I ! M es geodésica, j ° 0 j: I ! R es una función constante. Además se tiene: Proposición 4.12 Sea M una super…cie de E3. 1. Sea ( U; ' ¡1 = (u; v)) una carta de M , sea ° : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Entonces ° es una geodésica si y sólo si las funciones u1(t) ´ u(t); u2(t) ´ v(t)
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
109
veri…can el sistema (en general, no lineal!) de ecuaciones diferenciales de segundo orden: 2 X d2uk dui duj k + (¡ ± °) = 0 2 dt dt dt ij i;j=1
(k = 1; 2)
(71)
2. Para cada p 2 M y cada » 2 Tp M, existe una geodésica ° : I ! M por » (esto es, tal que °0 (0) = »). 3. Dos geodésicas por » 2 Tp M coinciden en la intersección de sus dominios. 4. Para cada p 2 M y cada » 2 Tp M, existe una única geodésica maximal por », que denotaremos ° » : I» ! M . 5. Fijados » 2 T pM y s 2 R , se veri…ca: ½ st 2 I» , t 2 Is» y ° »(st) = ° s»(t) Demostración. Probemos 1. El sistema (71) es directa consecuencia del sistema (70), que da la expresión analítica (local) de la condición de paralelismo, y del hecho de que (Observación 2.23) (° 0 )'k = dudtk (k = 1; 2). Probemos 2, 3 y 4. Escribamos
½
uk (p)P´ a k (k = 1; 2) : » ´ 2k=1 » k (@=@uk )p
El apartado 2 (respectivamente, los apartados 3 y 4) es directa consecuencia de que el sistema de dos ecuaciones diferenciales de 2 o orden (71) es equivalente al sistema de cuatro ecuaciones diferenciables de 1er orden
½
duk dt dfk dt
¡P fk = 0 + 2i;j=1 fifj (¡kij ± °) = 0
(k = 1; 2)
y del resultado mencionado en el Apéndice 5.1.3* sobre existencia (respectivamente, sobre unicidad) de solución maximal de este último sistema para la condición inicial
½
uk (0) = ak fk (0) = »k
(k = 1; 2) ;
esto es, para (°(0) = p ; ° 0(0) = »):
(72)
110
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Probemos 5 ¤. Fijados » 2 Tp M y s 2 R , la curva ® : t 7! ° » (st) es (hasta donde pueda de…nirse) una geodésica (ya que sus coordenadas satisfacen (71)) con velocidad inicial ®0 (0) = s° 0» (0) = s» . De los apartados 3 y 4 se deduce que ® = ° s» jDom ® . Y por tanto se sigue: st 2 I» , t 2 Is» , veri…cándose ° »(st) = ° s»(t)
Observación 4.13 Se puede demostrar (pero no lo haremos en este curso) que, si una curva entre dos puntos de una super…cie posee longitud mínima (entre todas las que unen dichos puntos), necesariamente es una geodésica (ver p.ej. [8], Cap.19, Teorema 1); y que, si dos puntos de una super…cie están ”su…cientemente próximos”, existe entre ellos una geodésica de longitud mínima (ver [8], Cap.19, Teorema 3). Ya hemos dicho al comienzo de este Capítulo que, puesto que las isometrías locales entre super…cies (3.4.1) venían caracterizadas (56) por preservar la primera forma fundamental, preservarían todos los objetos geométricos (locales) intrínsecos de las super…cies. Ya hemos comprobado (Proposición 3.26 y Teorema 4.7) que así ocurre con las longitudes de curvas y con la curvatura de Gauss. Vamos a continuación a comprobar que lo mismo sucede con el transporte paralelo y con las geodésicas. ¹ super…cies de E3 y sea F : M ! M ¹ una Proposición 4.14 Sean M y M isometría local. Entonces: 1. F preserva el transporte paralelo, es decir: para toda curva ® : I ! M ¹ , siendo y para todo V 2 X jj® (M ), se veri…ca (dF j ® V) 2 XjjF ±® (M) (dF j® V) (t) := dF j®(t) (V(t)). 2. F preserva las geodésicas: si ° : I ! M es geodésica, también lo es ¹ F ±° :I ! M Demostración. Probemos 1. Usaremos cartas (U ; '¡1) en M y ¹ como las construídas en la Proposición 3.25, esto es, (U; ' ¹ ¡1 ) en M tales que:
8 ³ ´ ³ ´ < u¹k ± F j U = uk ; (29) ) dF j p @u@ k = @¹@uk :
p
(66)
¹gij ± F jU = g ij ; )
¹kij ± F jU = ¡kij ¡
F (p)
dF j ® V =
i=1
Vi'
µ
@ ±F ± ® @ u¹i
¶
(k = 1; 2)
(i; j; k = 1; 2)
Suponiendo s.p.d.g. que ®(I) ½ U y escribiendo V ´ se ve inmediatamente que 2 X
; 8p 2 U
P2
i=1 Vi
¹) : 2 X F ±® (M
'
³
@ @ui
´
±® ,
:
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
111
'
Entonces se tiene, para las componentes Vi de dF j ® V:
à 2 ! 2 ¢ dVk' X X d(¹ ui ± F ± °) ¡ ¹ k + ¡ij ± F ± ° Vj' = dt dt j=1 i=1 à 2 ! 2 ¢ dVk' X X d(ui ± °) ¡ k (70) = + ¡ij ± ° Vj' = 0 ; dt dt j=1 i=1 jj
¹ ): del Teorema 4.9(1) se sigue que (dF j ® V) 2 X F±® (M
¹ como Probemos 2. Usando cartas (U ; '¡1) en M y (U; ' ¹ ¡1 ) en M en el apartado 1 y suponiendo s.p.d.g. que (localmente) °(I) ½ U , se tiene: 2 ¢ d2(¹ uk ± F ± °) X d(¹ ui ± F ± °) d(¹ uj ± F ± °) ¡ ¹ k + ¡ ± F ± ° = ij dt2 dt dt i;j=1
=
2 ¢ (71) d2(uk ± °) X d(ui ± °) d(uj ± °) ¡ k + ¡ij ± ° = 0 ; 2 dt dt dt i;j=1 jj
¹ ): de la Proposición 4.12(1) se sigue que (F ± °)0 2 XF ±° (M
En realidad, se puede dar una demostración más elegante (sin coordenadas) de este apartado 2. Basta, en efecto, aplicar el resultado del jj apartado 1 al campo ° 0 2 X ° (M ) y se obtiene: (27)
(F ± °)0 = dF j ° ° 0
Aptdo:1
2
¹) XjjF ±° (M
Ejemplo 4.15 En una super…cie, la noción de geodésica es invariante frente a reparametrizaciones a…nes (Ejercicio 6.4.4). Ya sabemos (Ejemplo 3.23) que todas las curvas con velocidad constante cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferencias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas. Podemos ahora probar que todas las geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d). En cuanto a que las isometrías preserven las geodésicas (Proposición 4.14(2)), retomamos aquí una cuestión que dejamos a medias al …nal del ¹ super…cies y supongamos que exista un difeoEjemplo 3.30. Sean M y M ¹ mor…smo f : M ! M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, incluso ¹ tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué si M y M ¹ ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! M ¹ (Ejercicio 6.4.10b). y ni tan siquiera una isometría local M ! M
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 4.2.3
112
Transporte paralelo y curvatura de Gauss
Estudiaremos aquí la relación que existe entre la curvatura de Gauss de una super…cie M de E3 y el ángulo que giran los vectores tangentes a M cuando los transportamos paralelamente a lo largo de un camino en M cerrado, simple y su…cientemente pequeño. Entre otras aplicaciones, esta relación será fundamental para poder establecer en 4.3.2 el teorema de Gauss-Bonnet (Teorema 4.27). Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º) de E3 y sea V 2 X ® (M) un campo de vectores (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario, es decir j V j= 1. Sea r el operador de derivación covariante en M . Entonces se tiene: 0=
d (59) rV < V; V > = 2 < ;V > ; dt dt
rV como, por otra parte, es < rV dt ; º ± ®> = 0 , resulta que dt debe ser proporcional a (º ± ®) £ V . Por tanto, existirá una función diferenciable · ¸ rV :I !R; dt
denominada valor algebraico de rV dt , tal que: · ¸ rV rV =: (º ± ®) £ V ; ) dt dt · ¸ rV rV DV ) =< ; (º ± ®) £ V >=< ; (º ± ®) £ V > : dt dt dt
(73)
Observación 4.16 Supongamos que ® es regular y está parametrizada por la longitud de arco, es decir, j®0 j = 1. En tal caso, se de…ne la curvatura geodésica ·®g de ® como el valor algebraico de la derivada covariante de su velocidad · ¸ r®0 ® ·g := :I!R ds (donde s es el parámetro de ®, esto es, su longitud de arco), y resulta: (73)
(3)
·®g = < ®00 ; (º ± ®) £ ®0 > = det (®00 ; (º ± ®) ; ®0 ) :
(74)
Por supuesto, si la curva unitaria ® es una geodésica, su curvatura geodésica es nula. Por otra parte, se veri…ca: ®00 ´
D®0 r®0 D®0 = +< ; º ± ®> º ± ® = ·®g ((º ± ®) £ ®0) + ·®º (º ± ®) ; ds ds ds
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
113
siendo ·®º la curvatura normal de ® en (M; º) (recordar 3.2.2). Puesto que (º ± ®) £ ®0 es tangente a M y º ± ® es normal a M , ·®g representa (salvo quizás el signo) la longitud de la proyección tangente a M de la aceleración de ®. Si la curva unitaria ® es alabeada, y recordando que su curvatura ·® veri…ca (Proposición 1.30) ·® = j®00 j, se obtiene la igualdad: (·® )2 = (·®g )2 + (·®º )2 Comenzamos probando el siguiente Lema 4.17 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º ) de E3 y sean U; V 2 X ® (M) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes a M ) unitarios. Entonces: 1. Existe una función diferenciable µ : I ! R , tal que: ~ ; V = cos µ U + senµ U ~ ´ (º ± ®) £ U . La función µ, determinada salvo donde denotamos U una constante aditiva múltiplo entero de 2¼, se denomina una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V) 2. Si µ es una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V), se veri…ca: · ¸ · ¸ rV rU dµ = + ; dt dt dt donde r denota la derivación covariante en M . Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Lema 1): Obviamente se ~ , con f1; f2 2 F(I ) y f12 + f22 = 1. tiene: V = f1U + f2U Si existiera una tal función diferenciable µ, debería veri…carse
½
df1 dt df2 dt
= ¡senµ dµ dt = cos µ dµ dt
; )
dµ df df = ¡f2 1 + f1 2 dt dt dt
(¤) :
Este criterio necesario da la ”pista” para demostrar la existencia de la función deseada. Fijemos t0 2 I y sea µ 0 2 R tal que f1(t0) = cos µ0 y f2(t0) = senµ0 . De…niendo ahora la función diferenciable
µ : I 3 t 7!
Z
t
(f1 t0
df2 df ¡ f2 1 )(t) dt + µ 0 2 R ( ) µ(t0) = µ 0) ; dt dt
probaremos que f1 = cos µ y f2 = senµ o, equivalentemente, que (f1 ¡ cos µ)2 + (f2 ¡ senµ)2 = 0.
114
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Ahora bien, teniendo en cuenta que
½
(f1 ¡ cos µ) 2 + (f2 ¡ senµ)2 = 2 ¡ 2(f1 cos µ + f2senµ) (f1 cos µ + f2senµ)(t0 ) = cos2 µ 0 + sen 2µ 0 = 1
;
bastará probar que f1 cos µ + f2 senµ = cte: Y en efecto:
d df df dµ (¤ ) (f1 cos µ+f2 sen µ) = 1 cos µ+ 2 sen µ+(¡f1 sen µ+f2 cos µ) = dt dt dt dt df1 df2 df1 df2 cos µ(1¡f22)+ sen µ(1¡f12)+f1 f2 sen µ +f1f2 cos µ dt dt dt dt df1 df2 f 1 dt +f2 dt =0 df df df df = f1(f1 1 +f2 2 ) cos µ+f2(f1 1 +f2 2 )sen µ = 0 : dt dt dt dt =
f 12+f 22=1
=
Probemos 2 (ver [5], 4.4, Lema 2): Se tiene:
(º ± ®) £ V | {z }
Aptdo:1
=
e ´V
e ´U
Por otra parte:
rU dt
(3) e : (º±®)£(cos µ U+senµ (º ± ®) £ U) = ¡senµ U+cos µ U | {z }
jUj=cte:
»
Con lo cual se tiene:
· =< ¡senµ
=
rV dt
e U
¸
y
(73)
=<
e rU dt
e jUj=cte:
»
e e (3) U = ¡U :
rV e Aptdo. 1 ; V> = dt
e dµ rU dµ e rU e U+cos µ + cos µ U+senµ ; ¡senµ U+ cos µ U>= dt dt dt dt |{z} |{z} »U
e »U
e dµ rU e rU + cos2 µ < ; U > ¡sen2 µ < ; U >= dt dt | dt{z } e ¡< rU dt ;U>
· ¸ dµ rU e (73) dµ rU = +< ;U > = + dt dt dt dt
Observación 4.18 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º) de E3 y sean U; V 2 X ® (M) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes a M) unitarios. El apartado 1 del Lema nos asegura que existe una ~ Consideremos función diferenciable µ : I ! R tal que V = cos µ U+senµ U.
115
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
la función continua ¹µ : I ! [0; ¼] dada por cos ¹µ :=< U; V > (ángulo no orientado de…nido por el producto escalar). Es inmediato ver que se tiene: ¹µ = jµ ¡ 2k¼j ; si µ 2 [(2k ¡ 1)¼; (2k + 1)¼] (k entero) : Ahora bien: ya sabemos (Teorema 4.9(3)) que, si ambos campos U y V son paralelos, ¹µ tiene que ser constante, lo que implica dµ dt = 0. El apartado 2 del Lema nos añade pues la información de que, si uno de los campos U ó V es paralelo, la derivada dµ es independiente de la elección de dicho campo. dt En particular, si U = ®0 (ello presupone que ® está parametrizada por la ® longitud de arco) y V es paralelo, entonces ¡dµ dt = ·g , la curvatura geodésica de ® (Observación 4.16). Proposición 4.19 Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea (U ; '¡1= (u; v)) una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) positiva (esto es, º jU = º ') de M. Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Sea el campo (a lo p largo de ® y tangente a M ) unitario U ´ @=@u ± ® 2 X ® (M) y sea r el E operador de derivación covariante en M. Abusaremos de la notación y esij abuso @(g ij ±') cribiremos @g ´ ± ' ¡1 : U ! R. Entonces: @uk @uk 1. Se tiene: ·
¸ rU @E=@v du @G=@u dv = ¡( p ± ®) +( p ± ®) : dt dt dt 2 EG 2 EG
2. Sea V 2 X ® (M) otro campo (a lo largo de ® y tangente a M) unitario. Sea µ una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V). Si V es paralelo, entonces se tiene: dµ @E=@v du @ G=@u dv =( p ± ®) ¡( p ± ®) : dt dt dt 2 EG 2 EG Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Proposición 3): En primer lugar, se veri…ca:
@=@u £ @=@v @=@u (3) @=@v e ´ (º '±®)£U 3:2:1 p U = ( £ p )±® = p ±® EG E G Por otra parte:
2 r @ @ (64) X dui ( ± ®) = (¡kil ± ®)( ± ®) dt @ul dt @u k k;i=1
(¤¤) :
(¤) :
116
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Con lo cual se tiene:
·
rU dt
¸
(73)
=<
rU e (¤ ) r @=@u @ =@v F =0 ; U> =< ( p ± ®); p ± ® > = dt dt E G
1 r @ @ ( ¤¤ ) = (p ± ®) < ( ± ®); ( ± ®) > = dt @u @v EG 2 X 1 dui 2 @ @ p =( ± ®) < (¡i1 ± ®)( ± ®); ( ± ®) >= dt @v @v EG i=1 r 2 X G dui 2 (67) @E=@v du @ G=@u dv =( ±®) (¡i1±®) = ¡( p ±®) +( p ±®) : E dt dt 2 EG dt 2 EG i=1 El apartado 2 es inmediata consecuencia del apartado 1 y del Lema 4.17(2)
Recordando el Corolario 2.10 (Green), se obtiene el siguiente: Teorema 4.20 Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea (U ; '¡1= (u; v)) una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) positiva (esto es, º j U = º ') de M . Sea R ½ U un subconjunto cerrado y acotado, cuya frontera topológica @R(½ R) en U sea la imagen de un camino ® : [a; b] ! U ½ E3 cerrado y simple. Elijamos ® de forma que el sentido de recorrido sea positivo respecto de º (esto es, de forma que (º ± ®) £ ®0 apunte, allí donde esté de…nido y no sea nulo, hacia el interior de R). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y sea µ : [a; b] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado) p ](U ´ @=@u ± ®; V). Si V es paralelo, entonces se tiene: E Z µ(b) ¡ µ(a) = K : R
Demostración. Sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) la expresión local de ® en la carta (U; ' ¡1 ). Se tiene: Z Z p (69) 3:1:5 K = K (u; v) E(u; v)G(u; v) = R
Z
=
'¡1 (R)
0
1
B @ µ ¡@E=@v ¶ @ µ ¡@G=@u ¶C B C = p + p B C @ @v @u A 2 EG 2 EG '¡1(R) | {z } | {z }
Z bµ a
´¡P
Cor: 2:10
=
´Q
@E=@v du ¡@G=@u dv ( p ± ®) + ( p ± ®) dt dt 2 EG 2 EG
¶
dt
Prop: 4:19(2)
=
Z
b a
dµ dt = µ(b)¡µ(a) dt
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
117
Observación 4.21 El Teorema 4.20 nos dice que: p 1. El incremento µ(b) ¡ µ(a) del ángulo orientado de U ´ @=@u ±® a V E (paralelo) resulta independiente de la elección del V y sólo depende del comportamiento de la curvatura en la región R.
En realidad, el resultado mantiene su validez (ver [8], Teorema 21.1) sin hacer mención alguna de la carta ortogonal positiva (U ; '¡1= (u; v)), simplemente exigiendo que la región cerrada R esté contenida en el dominio (abierto) de algún campo X (tangente a M ) unitario y tomando U ´ X ± ®.
2. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”, la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el punto ®(a) = ®(b)) resulta ser igual a µ(b) ¡ µ(a) y es, por tanto, independiente de la elección del V. En efecto: por la de…nición de £, e V(b) = cos £ V(a) + sen £ V(a)
(¤ ) ;
e ´ (º ± ®) £ V. Por otra parte, por la de…nición de µ donde V (y para todo t 2 I ), e V(t) = cos µ(t) U(t) + sen µ(t) U(t) ;
(3)
)
e e ) V(t) = cos µ(t) U(t) ¡ sen µ(t) U(t) :
Se sigue:
¤
( ) e cos µ(b) U(b) +sen µ(b) U(b) = V(b) = | {z } | {z } U(a)
e U(a)
³ ´ e = cos £ cos µ(a) U(a) + senµ(a) U(a) + ³ ´ e +sen£ cos µ(a) U(a) ¡ senµ(a) U(a) =
e = cos(£ + µ(a)) U(a) + sen(£ + µ(a)) U(a) ; ) µZ ¶ T eor:4:20 ) K = µ(b) ¡ µ(a) = £ + 2k¼ ; k entero : R
Pero £ 2¯R(¡¼;¯ ¼]. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”, p.ej. si ¯ R K ¯ < ¼, entonces debe ser k = 0 y resulta: £ = R R
K
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
118
En otras palabras, si el área de R es su…cientemente pequeña, el transporte paralelo jj ®a;b: TpM ! TpM de p = ®(a) a p = ®(b) a lo largo R de ® corresponde a una rotación en Tp M de ángulo orientado £ = R K .
Ejemplo 4.22 En el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= r12 , ver el Ejemplo 3.18) en un ”triángulo” (ver 4.3.1 para una de…nición rigurosa de este concepto) T (½ M ) que tiene un vértice en el polo norte y dos en el ecuador y por lados dos arcos de meridiano y un arco de ecuador de amplitud ¢Á 2 (0; 2¼], es (ayudándonos de la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15, que veri…ca T ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se tiene E = r2 ; F = 0 y G = r2 sen2 #): Z
3:1:5
K: = T
Z
1p T eor: 2:8 1 EG = 2 r2 '¡1(T ) r
Z
|0
¢Á
Z (
¼=2 0
r2sen# d#)dÁ = ¢Á : {z }
A(T )
Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] ! M ½ E3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® = @T (la frontera de T en M ). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y paralelo (el hecho de que ® no sea diferenciable, sino sólo ”diferenciable en tres trozos”, no plantea mayor problema para que V sea diferenciable); es muy fácil seleccionar un tal V (por ejemplo, con el criterio dado en el Ejercicio 6.4.1) y es inmediato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el polo norte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½ £ = ¢Á ; si 0 · ¢Á · ¼ : £ = ¢Á ¡ 2¼ ; si ¼ < ¢Á · 2¼ 2 Resulta por tanto claro que, si A(T ) · R ¼r , se cumple lo a…rmado en la Observación 4.21(2), a saber, que £ = T K. El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto T (cerrado) de integración (una tal carta existe; por ejemplo, la dada por la proyección estereográ…ca desde el polo R sur sobre el plano ecuatorial, ver el Ejercicio 6.3.3), entonces se tendría T K = µ(b) ¡ µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una determinap ± ®; V). Atención: para ción diferenciable del ángulo (orientado) ](U ´ @=@u E la comprobación del valor de µ(b) ¡ µ(a) no podremos utilizarR la carta polar (U; ' ¡1 = (#; Á)) que nos ha servido para calcular la integral T K: el que el polo norte ®(a) = ®(b) no pertenezca a U ”no tiene remedio” (y, de hecho, p el cálculo en dicha carta arroja el resultado: ](U ´ @=@# ± ®; V) j (a;b)= cte:). E
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
119
Ejemplo 4.23 De nuevo en el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= r12 , ver el Ejemplo 3.18) en un ”casquete esférico” R(½ M ) centrado en el polo norte y de amplitud ¢# 2 (0; ¼2 ] es (ayudándonos de la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15, que veri…ca R ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se tiene E = r2; F = 0 y G = r2sen2 #): Z Z Z 2¼ Z ¢# 1p 3:1:5 T eor: 2:8 1 K: = EG = ( r 2sen# d#)dÁ= 2¼(1¡cos ¢#) : 2 2 r 0 R '¡1(R) r 0 | {z } A(R)
Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] ! M ½ E3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® = @R (la frontera de R en M ). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y r-paralelo. Obsérvese que, a menos que sea ¢# = 2¼, ya no es tan fácil como en el ejemplo anterior determinar un tal V. ¹ al cono que es tangente a M a lo largo de Sin embargo, si denotamos por M ¹ ¹ ®, el campo V 2 X® (M ) resultará ser también (Ejercicio 6.4.8b) r-paralelo. Ahora bien, un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a(= ¼2 ¡ ¢#) es isométrico (Ejemplo 3.28) a un sector circular plano (abierto) de radio ½ y amplitud ¢v = ¢Á sena(= 2¼ cos ¢#), donde los campos paralelos ”no giran” (Ejercicio 6.4.6). Es entonces inmediato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el polo norte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½ £ = ¡¢v + 2¼ = 2¼(1 ¡ cos ¢#) ; si 0 < ¢# · ¼3 : £ = ¡¢v = ¡2¼ cos ¢# ; si ¼3 < ¢# · ¼2 2 Resulta por tanto claro que, si A(R) · R ¼r , se cumple lo a…rmado en la Observación 4.21(2), a saber, que £ = T K. El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto R (cerrado) de R integración, entonces se tendría R K = µ(b)¡µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una p determinación diferenciable del ángulo (orientado) ]( @=@u ± ®; V). Para la E comprobación del valor de µ(b) ¡µ(a) (al igual que en el ejemplo anterior, no podemos utilizar la carta polar (U; '¡1)) elijamos el camino ® diferenciable y unitario (podemos hacerlo, ya que Im ® es la frontera de un casquete esférico), s s esto es, ®(s) := (rsen¢# cos rsen¢# ; rsen¢#sen rsen¢# ; r cos ¢#), con a ´ 0; b ´ 2¼rsen¢#; con ello, podremos escribir: µ = µ 1 + µ2 , donde µ1 : [a; b] ! R y µ 2 : [a; b] ! R son determinaciones diferenciables de los ángulos p ± ®; ®0 ) y ](®0 ; V), respectivamente. El cálculo de µ1 (b) ¡ orientados ]( @=@u E µ 1(a) puede hacerse, equivalentemente, en el dominio euclídeo de la carta positiva (respecto de º ) elegida; aceptando sin entrar en detalles que dicha
120
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
carta lleva caminos positivos (respecto de º) en caminos positivos en E2, el teorema de rotación de tangentes (Observación 2.9*) permite concluir que µ 1(b) ¡ µ 1(a) = 2¼ : En cuanto al cálculo de µ 2(b) ¡ µ 2(a), teniendo en cuenta que º (®(s)) := 1 (®(s))®(s), se obtiene: r ¸ Z 2¼rsen¢# Z 2¼rsen¢# · dµ Lema 4:17(2) r~ ®0 (74) µ 2(b) ¡ µ 2(a) = ds = =¡ ds = ds ds 0 0 Z 2¼rsen¢# Z 2¼rsen¢# ds (!) 00 0 =¡ det (® ; (º ± ®); ® ) ds = ¡ = ¡2¼ cos ¢# : r tan ¢# 0 0 De lo anterior se deduce que, efectivamente: Z µ(b) ¡ µ(a) = µ 1(b) ¡ µ1 (a) + µ 2(b) ¡ µ2 (a) = 2¼(1 ¡ cos ¢#) = K: R
4.3
CURVATURA Y TOPOLOGIA*
Estamos ahora en condiciones de abordar algunos resultados que muestran la estrecha relación que existe entre la curvatura de una super…cie y su topología. Conocemos el signi…cado y sabemos calcular (recordar 3.1.5) la integral de una función (integrable) en un subconjunto (medible) de una super…cie, siempre que el subconjunto esté contenido en un entorno coordenado. En el caso de que la super…cie sea compacta, es posible de…nir la integral en subconjuntos (medibles) arbitrarios y, en particular, en toda la super…cie: la idea consiste en establecer una partición de la región su…cientemente …na, de forma que cada parte esté incluida en un entorno coordenado, y en sumar todas las integrales parciales. Uno de los resultados más profundos y paradigmáticos de la teoría global intrínseca de super…cies lo constituye el teorema de Gauss-Bonnet, que relaciona la integral de la curvatura de Gauss sobre una super…cie compacta con el ”género” (topológico) g de la super…cie. 4.3.1
Triangulaciones e integración en super…cies
Un triángulo en una super…cie M de E3 es un subconjunto T ½ M conexo, cerrado, acotado y cuya frontera topológica @T (½ T ) en M es la imagen de un camino ° : [t0 ; t3 ] ! M
diferenciable en tres trozos (respecto de una partición t0 < t1 < t2 < t3), cerrado y simple. Por lo visto en 3.1.5, todo triángulo contenido en el dominio de una carta es medible.
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
121
Los puntos pi ´ °(ti ) (i = 1; 2; 3) son los vértices de T y los ”segmentos” °([ti¡1 ; ti ]) (i = 1; 2; 3) los lados de T . El triángulo T se dirá geodésico si sus tres lados son imágenes de geodésicas (de M ). Una triangulación de una super…cie M de E3 es una familia …nita T = fT1; :::; Tn g de triángulos tal que: (1) [ni=1Ti = M (2) Si Ti \ Tj 6= ; , entonces, o bien T i \ Tj es un único vértice, o bien es exactamente un lado común (con sus dos vértices incluidos) Puede probarse (!) que, en estas condiciones, se veri…ca además la propiedad: (3) Cada lado de T es exactamente intersección de dos triángulos distintos de T . Denotaremos por n v y nl , respectivamente, el número de vértices y lados de T . Consecuencia inmediata de (3) es que: 2nl = 3n. Se denomina característica de Euler de la super…cie M respecto de la triangulación T = fT 1; :::; Tn g al entero (ver [7], 1.8): ÂT (M ) := n + nv ¡ nl Cuando disponemos, en una super…cie M , de una triangulación T = fT1; :::; Tn g cuyos triángulos están contenidos en entornos coordenados, podemos de…nir la integral de una función continua f : M ! R por: Z n Z X f := f ; M
i=1
Ti
donde las integrales sobre los triángulos Ti fueron ya de…nidas en 3.1.5. Se demuestra (!) que el valor de esta integral es independiente de la triangulación T elegida; en particular, es independiente de que los triángulos sean o no geodésicos. 4.3.2
Teorema de Gauss-Bonnet
Sea (M; º) una super…cie orientada de E3. Dado un triángulo T en M , elijamos un camino regular en tres trozos ° que parametrice su borde @T . En estas condiciones, se denominan ángulos externos a los ángulos (orientados por la normal º y dentro de la determinación (¡¼; ¼]): " i := ](° 0i (ti ); ° 0i+1 (ti )) 2 (¡¼; ¼] (i = 1; 2; 3 ; ° 4 ´ ° 1) ; y se denominan ángulos internos a los ángulos (no orientados):
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
122
¶i := ¼ ¡ "i 2 [0; 2¼) (i = 1; 2; 3) : En la geometría del plano euclídeo, la suma de los ángulos internos de un triángulo vale ¼ radianes. En una super…cie arbitraria, es intuitivo (y fácil de probar rigurosamente) que, si tomamos el triángulo su…cientemente pequeño, podemos conseguir que la suma de sus ángulos internos no sea muy distinta de ¼ radianes, lo que motiva la siguiente De…nición 4.24 Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K. Diremos que un triángulo T en M es pequeño si está contenido en el dominio de un sistema de coordenadas ortogonales y si se veri…ca: ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ K¯ < ¼ y j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ . ¯ ¯ T
Vamos a ver que la suma de los ángulos internos de un triángulo geodésico pequeño excede a ¼ radianes en un valor que coincide con la integral de la curvatura de Gauss sobre la super…cie del triángulo:
Teorema 4.25 (Gauss) Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K y sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Se tiene: Z K = ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼ T
Demostración. Sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Así, T estará contenido en el dominio U de un sistema de coordenadas ortogonales (U; '¡1 ´ (u; v)). Elijamos como normal unitaria (que
determina la elección del sentido positivo en la medición de ángulos) p º ': = @=@u£@=@v 2 XU y como sentido de recorrido (para el camino EG regular a trozos ° que parametriza el borde @ T de T en M ) el positivo respecto de º ' (esto es, tal que (º ' ± ° i) £ ° 0i apunte hacia el interior de T , para cada i = 1; 2; 3). Tomaremos cada ° i ´ ° j [ti¡1 ;ti] (i = 1; 2; 3) geodésica y parametrizada por la longitud de arco. jj
Sea V 2 X° (M ) cualquier campo (a lo largo de ° y tangente a M ) unitario y paralelo y sea µ V : [t0; t3 ] ! R una determinación @=@u diferenciable del ángulo (orientado) ](U ´ pE ± °; V) (recordar Lema 4.17(1)). Para cada i = 1; 2; 3, consideremos el campo (a lo largo de ° i y jj tangente a M ) unitario y paralelo ° 0i 2 X° i (M ) y sea µ °0i : [ti¡1; ti] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; ° 0i) , de
123
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES forma que, una vez elegida la determinación de µ °01 sin restricciones, µ °02 y µ° 03 veri…quen:
½
µ °01 (t1) = µ °02 (t1 ) ¡ "1 (en el vértice p1) µ °02 (t2) = µ °03 (t2 ) ¡ "2 (en el vértice p2)
;
como no podemos predeterminar lo que ocurrirá en el vértice p3 , nos limitaremos a escribir
µ °03 (t3 ) = µ° 01 (t0) ¡ "3 + 2k¼ ; para cierto k entero . Se sigue de la Proposición 4.19(2) que (para cada i = 1; 2; 3):
dµ °0i dµV = dt dt
)
;
(¤) ;
µ V (ti )¡µ V (ti¡1) = µ ° 0i(ti )¡µ °0i (ti¡1 )
con lo cual resulta:
Z
K
T eor: 4:20
=
T
µ V(t3) ¡ µ V(t0) ´
¡
3 X i=1
(¤ )
(µ V (ti ) ¡ µV (ti¡1 )) =
¢ ¡ ¢ ¡ ¢ = µ° 03 (t3) ¡ µ° 03 (t2) + µ° 02 (t2) ¡ µ ° 02 (t1) + µ ° 01 (t1 ) ¡ µ °01 (t0 ) ´ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ´ µ °01 (t1) ¡ µ° 02 (t1) + µ° 02 (t2) ¡ µ° 03 (t2) + µ° 03 (t3) ¡ µ° 01 (t0) = | {z } | {z } | {z } ¡"1
¡"2
¡"3 +2k¼
= ¡"1 ¡"2 ¡"3 +2k¼ = ¶1+¶2 +¶3 ¡¼+2(k¡1)¼ ; con k entero .
En principio, ¶ 1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼ 2 [¡¼; 5¼). Pero, al haberse supuesto T pequeño, debe veri…carse
¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ K¯ < ¼ ¯ ¯
y
T
j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ ;
se sigue que debe ser k = 1 y así resulta:
R
T
K = ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡¼
Usaremos ahora sin demostración el siguiente resultado: Proposición 4.26 Sobre una super…cie M de E3 compacta existe siempre alguna triangulación T formada por triángulos geodésicos pequeños Estamos ya en condiciones de probar el resultado fundamental de esta sección: Teorema 4.27 (Gauss-Bonnet) Sea M una super…cie de E3 compacta y sea T una triangulación de M formada por triángulos geodésicos pequeños. Se tiene entonces: Z K = 2¼ÂT (M ) ; M
siendo K : M ! R la curvatura de Gauss de M y ÂT la característica de Euler de M respecto de T .
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES
124
Demostración. Si ®i , ¯i , ° i son los ángulos internos del triángulo Ti de T = fT 1; :::; Tn g, del Teorema 4.25 se sigue: Z
K := M
n Z X i=1
K= Ti
n X (®i + ¯ i + ° i ) ¡ n¼ : i=1
Pero es evidente que se veri…ca n X (®i + ¯ i + ° i) = 2¼n v ; i=1
además se tiene (por la propiedad (3) de las triangulaciones): 2n l = 3n. Con todo lo cual se concluye:
Z
M
K = 2n v¼ ¡ n¼ = (2n + 2nv ¡ 2n l )¼ =: 2¼ÂT (M )
Observación 4.28 La condición de que los triángulos de T (supuesto que todos ellos estén contenidos en entornos coordenados, par poder de…nir las integrales) sean geodésicos y pequeños no es necesaria para la validez del teorema. Para convencerse de ello, basta: (a) observar (por consideraciones elementales) que un re…namiento T 0 de T (en donde cada Ti 2 T se subdivide en triángulos Tj0 2 T 0) da la misma característica de Euler para la super…cie compacta R M. (b) recordar (apartado 4.3.1) que la integral M K no depende de la triangulación elegida para calcularla. De lo anterior, se deduce: Corolario 4.29 Sea M una super…cie de E3 compacta. La característica de Euler ÂT (M ) no depende de la triangulación T que se utilice para calcularla Ejemplo 4.30 Resulta inmediato comprobar en la esfera M (de radio r) la validez de los Teoremas 4.25 y 4.27, utilizando por ejemplo una triangulación T = fT1; :::; T8g de M por R triángulos octantes geodésicos. En efecto, se tiene (para cada i = 1; :::; 8): Ti K = r12 A(Ti) = ¼2 y ®i + ¯ i + ° i ¡ ¼ = ¼2 ; por otra parte, ÂT (M) := (n + nv ¡ nl ) = 8 + 6 ¡ 12 = 2.
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 4.3.3
125
Super…cies topológicas de R3
La característica de Euler Â(M ) puede de…nirse a nivel topológico y es de hecho invariante por homeomor…smos. Recordaremos ahora algunos resultados sobre clasi…cación de super…cies topológicas, que ponen de relieve el alcance del Teorema 4.27. Una super…cie topológica de R3 es un subconjunto M de R3 con la propiedad de que, por cada punto p 2 M , existen abiertos U de R2 y U de M (con p 2 U ) y existe una aplicación ' :U ! U, llamada ”parametrización local”, a la que sólo se le exige ser un homeomor…smo. Pueden de…nirse entonces, a este nivel, los conceptos de triángulo T , triangulación T y característica ÂT (M ). El resultado fundamental es el siguiente: Teorema 4.31 Una super…cie topológica M de R3 compacta siempre admite una triangulación T . Además se tiene: 1. Si T y T 0 son dos triangulaciones de M, entonces ÂT (M ) = ÂT 0 (M ); este número entero, denotado por Â(M ), se denomina característica de Euler de M . 2. Existe un entero no negativo g(M), llamado género (topológico) de M , de forma que Â(M ) = 2 ¡ 2g(M). Intuitivamente, el género es el número de ”agujeros” de M, entendiendo que la esfera no tiene agujeros, el toro tiene un agujero, etc. ¹ de R3 conexas y compactas son 3. Dos super…cies topológicas M y M homeomorfas si y sólo si tienen la misma característica de Euler El resultado del Corolario 4.29 es entonces inmediata consecuencia del apartado 1 de este teorema. Y de los apartados 2 y 3 se deduce, por ejemplo: Corolario 4.32 Si M es una super…cie (diferenciable) de E3 conexa, compacta y con curvatura de Gauss K ¸ 0, entonces M es homeomorfa a una esfera. Demostración. Puede probarse (ver Ejercicio 6.3.11c) que, por ser compacta, M posee (al menos) un punto elíptico, con lo que K no es idénticamente nula. Entonces se tiene:
0<
Z
) Â(M ) = 2 ;
K
T eor: 4:27
=
M T eor: 4:31(3)
)
2¼Â(M) ;
T eor: 4:31(2)
)
M es homeomorfa a una esfera
126
5 APÉNDICES
5
APÉNDICES
5.1
TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO
5.1.1
Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración de la Proposición 1.5
(Ver por ejemplo [8], Cap. 22): Dentro del apartado 1, probemos (v) ) (i): Si à preserva productos escalares, entonces, 8~» 1; ~» 2 2 En y 8¸ 1; ¸2 2 R, se tiene (usando cualquier base ortonormal (~a1 ; : : : ; ~an)): (v) <Ã(¸1~» 1 + ¸ 2~»2 ) ¡ ¸1 Ã(~» 1) ¡ ¸ 2 Ã(~» 2) ; Ã(~ai)> =
=< ¸1~»1 + ¸2~» 2 ; ~ai > ¡¸1 < ~» 1; ~ai > ¡¸2 < ~»2 ; ~ai >= 0
(i = 1; :::n) ;
ahora bien, puesto que n vectores unitarios que no generen todo En no pueden ser mutuamente ortogonales, se deduce que (Ã (~a1) ; : : : ; Ã (~an)) también es una base ortonormal; y de ahí se concluye: Ã(¸ 1~»1 + ¸2~» 2) ¡ ¸1 Ã(~» 1) ¡ ¸2 Ã(~»2) = 0 : Y probemos (i) + (iii) ) (v) :
´ (i)+(iii) 1³ j Ã(~» 1) + Ã(~» 2) j 2 ¡ j Ã(~» 1) j 2 ¡ j Ã(~» 2) j 2 = 2 ´ 1³ ~ 2 2 2 ~ ~ ~ = j » 1 + » 2 j ¡ j »1 j ¡ j »2 j ´< ~»1 ; ~»2 > ; 8~»1 ; ~»2 2 En : 2 Los apartados 2 y 4 son inmediatos. Probemos 3:
< Ã(~» 1); Ã(~»2 ) >´
(i) (iv) j Ã(~») j = j Ã(~») ¡ Ã(~0) j=: d(Ã(0); Ã(»)) = d(0; ») :=j ~» j
El apartado 5 (si la aplicación à preserva productos escalares, entonces es lineal e inyectiva y, por tanto, un isomor…smo) es simplemente la unión de 1, 2 y 4. Finalmente probemos 6: ´ (iv)+(iii) 1³ < Ã(~»1 ); Ã(~»2 ) >´ ¡ j Ã(~»1 ) ¡ Ã(~»2 ) j 2 + j Ã(~»1 ) j2 + j Ã(~» 2) j2 = 2 ´ 1³ 2 2 2 ~ ~ ~ ~ = ¡ j » 1 ¡ »2 j + j »1 j + j » 2 j ´< ~» 1; ~» 2 > 2
127
5 APÉNDICES 5.1.2
Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada. Demostración de la Proposición 1.22
Probemos 1. Sea s el parámetro de ®~ = ® ± f :J ! En . (a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de e 1; :::; E e n) de ® ®, entonces la referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i = Ei ± f E
(i = 1; :::; n) :
Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración para n arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa): (Caso n = 2. Introduzcamos las notaciones T ´ E1 y N ´ E2). En efecto, se tiene: df >0 df 0 df e = (T ± f) ; (® ± f) = (" 1 ± f ) ; ds) T ds ds e = T ± f; N) e bases ortonormales positivas, se sigue: al ser (T; N) y (T ³ ´ ³ ´ e e e e = (N ± f ) : det (T ± f; N ± f )=det T; N = det T ± f; N ; ) N | {z } | {z } 1
e"1 := ® ~0
P rop: 1:13(1)
=
1
(Caso n = 3. Introduzcamos las notaciones T ´ E1; N ´ E2 y B ´ E3). En efecto, se tiene: df >0 df 0 df e = (T ± f) ; ) (® ± f) = ("1 ± f) ; ds) T ds ds µ ¶ P rop: 1:13(2) df 2 00 d2 f 0 00 00 e e ) e"2 := ® ~ ¡<® ~ ;T > T = ( ) (® ± f) + 2 (® ± f ) ¡ ds ds µ ¶ df d2 f ® 02Span(E1) ¡ < ( )2 (®00 ± f) + 2 (®0 ± f ) ; T ± f > T ± f = ds ds df df df e = (N ± f ) ; = ( )2 (®00 ± f) ¡ < ( )2 (®00 ± f ) ; T±f > T±f =: ( )2 (" 2 ± f) ; ) N ds ds ds e = T ± f; N e = N ± f; B) e bases ortonormales positivas, al ser (T; N; B) y (T se sigue: ³ ´ ³ ´ e e e e e = (B ± f ) : det (T ± f; N ± f; B ± f)=det T; N; B = det T ± f; N ± f; B ; ) B | {z } | {z } 1
"1 := ® e ~0
P rop: 1:13(1)
=
1
e i = Ei ± f (i = 1; :::; n), se deduce (8i = (b) Una vez probado que E 1; :::; n ¡ 1): e i+1 ; E e 0i >=< Ei+1 ± f; (Ei ± f)0 >P rop:=1:13(2) ! ~ i+1;i :=< E
128
5 APÉNDICES df df < Ei+1 ± f; E0i ± f >=: (! i+1;i ± f) ; ) ds ds df ! ~ P rop: 1:13(1) ds (!i+1;i ± f) ¯ df ¯ ) ~·i := i+1;i = = ·i ± f : ¯ ¯ j®0 ± f j j~ ®0 j ds =
Probemos 2. Sea t el parámetro de ® ~ := A ± ® : I ! En y sea A la parte lineal (ortogonal) del movimiento directo A (ver 1.1.4). (a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de e 1; :::; E e n) de ® ®; entonces la referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i (t) = (AE ~ i(t))®~(t) E
(i = 1; :::; n) :
Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración para n arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa): (Caso n = 2 Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1 y N ´ E2). En efecto, se tiene: ¡ ! P rop: 1:12 ~" 1 := d®=dt ~ = A (d®=dt) ;
A2O(n)
)
¡ ! T~ = AT~ ;
¡ ! ¡ ! ~ ; N) ~ y ( T~ = AT~ ; N ~ ) bases ortonormales positivas, se sigue: al ser (T µ ³ ´ ¡ !¶ ¡ ! ¡ ! ~ = det AT~ ; N ~ =det A ¢ det(T~ ; A¡1 N ~) ; ) N ~ = AN ~ : det T~ ; N | {z } | {z } 1 | {z } 1
1
(Caso n = 3. Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1; N ´ E2 y B ´ E3). En efecto, se tiene:
¡ ! T~ = AT~ ; ) ¶ µ 2 ¶ ! ¡ ! P rop: 1:12 d2®~ d2®~ ¡ d2® d ® ¡ ! ~ ~ ) ~" 2 := 2 ¡ < 2 ; T > T = =A ¡ AT~ = 2 dt dt dt dt2 µ 2 ¶ ¡ ! d® d2® ~ A2O(n) ~ ~ = AN ~ ; = A ¡ < ; T > T =: A (~ " ) ; ) N 2 dt2 dt2 ¡ ! ¡ ! ¡ ! ~ ; N; ~ B) ~ y ( T~ = AT~ ; N~ = AN ~ ; B~ ) bases ortonormales positivas, al ser (T se sigue: µ ³ ´ ¡ !¶ ¡ ! ¡ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; N; ~ A¡1 B~ ) ; ) B~ = AB: ~ det T ; N; B =det AT ; AN; B~ =det A ¢ det( T | {z } | {z } | 1 {z } ¡ ! Prop: 1:12 ~" 1 := d~ ®=dt = A (d®=dt) ;
1
1
A2O(n)
) µ
129
5 APÉNDICES e i (t) = (AE ~ i(t))®~(t) (b) Una vez probado que E (para i = 1; :::; n ¡ 1):
(i = 1; :::; n), se deduce
¡ ! ! d¡ e i+1 ; E e 0i >1:2:2 ~ i+1 ; d (AE ~ i) >A2O(n) !~ i+1;i :=< E = < E~ i+1; E~ i >=< AE = dt dt
5.1.3
~ i+1; d E ~ >1:2:2 =< E = < Ei+1; E0i >=: !i+1;i ; ) dt i ! ~ ! ! ¯ = i+1;i ) · ~i := i+1;i = ¯¯ i+1;i = ·i 0 d® j~ ®j j®0 j A( dt )¯
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales*
Sea A = (Aij ) una matriz cuadrada cuyas entradas Aij : I ! R son funciones diferenciables, de…nidas en un intervalo abierto I de R. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales (de 1er. orden): 0 d'1 1 0 1 (t) '1 (t) dt @ ¢ ¢ ¢ A = A(t) @ ¢ ¢ ¢ A . (75) d'n ' (t) (t) n dt
Estos sistemas de ecuaciones diferenciales se llaman lineales porque, en la intersección de los dominios de dos soluciones, cualquier combinación lineal de éstas con coe…cientes reales es también solución. La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales (ver Apéndice 5.2.2*) asegura que, para cada t0 2 I y cada ~» 2 Rn , existe una solución ~' ´ (' 1; : : : 'n ) : J ! Rn de (75), tal que t0 2 J (abierto ½ I) y ~' (t0 ) = ~» (”condición inicial”). Por otra parte, si ~à es cualquier solución de (75) ~ coinciden en veri…cando la misma condición inicial ~Ã(t0) = ~», entonces ~' y à la intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de solución maximal (para la citada condición inicial), que es única. Este resultado se usa en el apartado 4.2.2 al hablar de geodésicas en super…cies. Ahora bien, la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales asegura además que el dominio de cualquier solución maximal de (75) es todo el intervalo I (esto se expresa también diciendo que ”cualquier solución maximal es global”). Resulta de ello que el conjunto © de soluciones maximales del sistema (75) es un R-espacio vectorial. Por otra parte, …jado cualquier t0 2 I , y como consecuencia de esta unicidad y (respectivamente) existencia de solución global del sistema lineal (75) de ecuaciones diferenciales de 1er. orden (para cualquier condición inicial ~'(t0)), la aplicación lineal: © 3 ~' 7! ~' (t0 ) 2 Rn resulta ser inyectiva y (respectivamente) suprayectiva, esto es, resulta ser un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial © posee
130
5 APÉNDICES
dimensión n. Este resultado se usa en la demostración (Apéndice 5.1.4*) del teorema fundamental de la teoría de curvas en E3 y también en el apartado 4.2.1 al hablar del transporte paralelo en super…cies. 5.1.4
Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teorema 1.29 (teorema fundamental)*
(ver por ejemplo [5], 1.5 y 4.Apéndice): Con la notación: 8 < T~ ´ (' 1; '2 ; '3) ~ ´ (' 4; '5; ' 6) ; N : ~ B ´ ('7; ' 8; '9)
la parte vectorial de las fórmulas de Frenet (para curvas parametrizadas por la longitud de arco) 8 ~ ~ ·N < dT =ds = ~ =ds = ¡·T~ ~ (76) dN +¿ B : ~ ~ dB=ds = ¡¿ N constituye un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma 0 1 0 1 d'1=ds '1 @ ¢¢¢ A = A@ ¢¢¢ A ; d'9=ds '9
donde los coe…cientes de la matriz A dependen diferenciablemente del parámetro s 2 I y son conocidos a partir de las funciones · y ¿ . Usando el resultado del Apéndice 5.1.3 se concluye que, al …jar ~a ´ (³ 1; ³ 2 ; ³ 3; ´1 ; ´2; ´3 ; Â1; Â2; Â3) 2 R9 ; existe una única solución maximal ~'~a : I ! R9 de dicho sistema lineal y tal ~;N ~ ; que ~'~a (0) = ~a , lo que signi…ca que existen curvas vectoriales únicas T 3 ~ : I ! E que veri…can las ecuaciones de Frenet (76) y tales que B ³ ´ ~ ~ T~ (0); N(0); B(0) = (~³; ~´ ; ~Â) : ~; N ~ , B) ~ constituye una base ortonormal móvil del Veamos que la tripleta (T espacio vectorial euclídeo E3. Para ello, consideremos las derivadas de sus
131
5 APÉNDICES
productos escalares que, de acuerdo nuevamente con (76), deben veri…car 8 D E D E d > ~ ; T~ = 2· T ~;N ~ T > > ds D > E D E D E D E > > d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ > ds T ; N = · N; N ¡ · T ; T + ¿ T ; B > > D E D E D E > > < d T~ ; B ~ = · T~ ; B ~ ¡ ¿ T~ ; N ~ ds D E D E D E ; d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ N; N = ¡2· T ; N + 2¿ N; B > > ds D > E D E D E D E > > d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N; B = ¡· T ; B + ¿ B; B ¡ ¿ N; N > > ds D > E D E > > : d B; ~ B ~ = ¡2¿ N; ~ B ~ ds
ello da lugar, escribiendo D E D E D E D E D E D E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T ; T ´ Á1 ; T ; N ´ Á 2; T ; B ´ Á3 ; N; N ´ Á4 ; N; B ´ Á5 y B; B ´ Á6; a un nuevo sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma 0 1 0 1 dÁ1=ds Á1 @ ¢¢¢ A = B@ ¢¢¢ A ; dÁ6=ds Á6
para el que (Á1 ´ 1 ; Á 2 ´ 0 ; Á3 ´ 0 ; Á4 ´ 1 ; Á5 ´ 0 ; Á6 ´ 1) es solución maximal (Apéndice 5.1.3) con condición inicial (1; 0; 0; 1; 0; 1) y, por la uni~ , B) ~ es cidad de la solución maximal, la tripleta de curvas vectoriales (T~ ; N ortonormal. Una vez determinada T~ : I ! E3 , sólo queda calcular su integral. Así, la curva Z s ®(s) = p + T~ (s)ds 0
es la única curva alabeada I ! E ; parametrizada por la longitud de arco, con curvatura · y torsión ¿, y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³; N(0) = ´ y B(0) = Â 3
5.2 5.2.1
SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN Diferenciabilidad de las componentes locales de un campo tangente. Demostración del Lema 2.32
Veamos que, en efecto, las funciones Vi' (i = 1; 2), de…nidas por (32) y cuyo cálculo, en cada caso concreto, se efectúa resolviendo directamente el sistema lineal (33), son diferenciables: Sea p 2 U . Sean la extensión diferenciable © : (R3 ¾)U £ R ! R3 de ' y los entornos A( ½ U £ R) de ('¡1(p); 0) y B(½ R3) de p construidos en el Lema 2.17(1).
132
5 APÉNDICES
Para cada i = 1; 2; 3, denotemos µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 @ @ @ (18) X @©j ¡1 ´ d© j('¡1(p);0) = (' (p); 0) ; @ui p @ui ('¡1 (p);0) @u @ x i j p j =1
debido a que © j U£f0g= ' , esta notación coincide, para i = 1; 2, con la que venimos usando desde (25). Al ser © jA: A ! B un difeomor…smo, se tiene: µ ¶ µ ¶ 3 X @ @ ©¡1 @ i = (p) (j = 1; 2; 3) : @xj p @xj @ui p i=1 Pues bien, de las igualdades en p µ ¶ µ ¶ 3 2 X @ (32) X ' @ Vi (p) = V(p) = Vi (p) @xj p @ui p j=1 i=1
se deduce inmediatamente Vi'(p)
3 X @©¡1 i = (p) Vj (p) (i = 1; 2) ; @x j j=1
y de la arbitrariedad del punto p 2 U resulta: '
Vi =
3 X @©¡1 i
j=1
@xj
Vj jU (i = 1; 2) ;
de donde se deduce que las Vi' (i = 1; 2) son de hecho diferenciables 5.2.2
Curvas integrales de un campo*
Sea X 2 X(U) un campo de vectores sobre un abierto U de Rn. Una curva ® : J ! U se dice curva integral de X si X(®(t)) = ®0 (t) para todo t 2 J. Tomando en Rn coordenadas (x1; :::; xn ) y escribiendo ®(t) ´ (®1(t); :::; ®n (t)) ~ ´ (X1; :::; Xn), la condición necesaria y su…ciente para que ® sea curva yX integral de X es que las funciones ®i(t) veri…quen el sistema de ecuaciones diferenciales (de 1er. orden) d®i (t) = Xi(®1(t); :::; ®n (t)) (i = 1; :::; n) : dt La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales asegura que (”existencia y unicidad de solución maximal”), para cada t0 2 R y cada p 2 U, existe una curva integral ® : J ! U de X tal que t0 2 J y ®(t0) = p (”condición inicial”). Por otra parte, si ¯ es cualquier curva integral de X veri…cando la misma condición inicial ¯(t0) = p, entonces ® y ¯ coinciden en la intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de curva integral maximal (para la citada condición inicial), que es única.
133
5 APÉNDICES Más aún: se puede demostrar (”dependencia diferenciable de la solución respecto de las condiciones iniciales”) que, para cada t0 2 R y cada p 2 U , existen
8 < un entorno J(½ R) de t0 un entorno V(½ U) de p : una función diferenciable à : V £ J ! U
tales que, 8q 2 V, la función Ã(q; ¢) : J ! U es una curva integral de X con Ã(q; t0) = q: Pero no lo usaremos en este curso.
Si el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, esto es (Apéndice 5.1.3), es de la forma Xi (®1(t); :::; ®n (t)) =
n X
Aij(t)®j (t)
(i = 1; :::; n) ;
j=1
con Aij 2 F(I) (i; j = 1; :::; n), para cierto I ½ Rn, se obtiene J = I . Para el caso lineal, ya hemos usado este resultado en el Apéndice 5.1.4 y volveremos a usarlo en el apartado 4.2.1 al hablar del transporte paralelo en super…cies. En el caso general, lo usaremos en el apartado 4.2.2 al hablar de geodésicas en super…cies.
5.3 5.3.1
SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Coordenadas ortogonales. Demostración de la Proposición 3.7*
Sea (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M en torno a p. Sean E; F; G los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en esta carta. Consideremos @ @ @ los campos U1 := @u ; U2 := ¡F E @u + @v 2 X(U ), que son linealmente independientes y ortogonales en todo U. Vamos a probar que existe una carta (U; ' ¹ ¡1 = (¹ u; ¹v)) de M en torno a p de foma que U1 j U es proporcional a @ @=@ u¹ y U2 j U es proporcional a @=@¹v (con lo que se tendrá: < @@u¹ ; @¹ >= 0). v Y en efecto (ver [5], 3.4, Teorema): Utilizaremos el resultado del Apéndice 5.2.2 sobre dependencia diferenciable (respecto de las condiciones iniciales) de las curvas integrales de un campo. Para cada i = 1; 2, y al ser Ui(p) 6= ~0p , puede probarse (ver [5], 3.4, Lema) que existen ½ un entorno Di (½ U) de p una función diferenciable fi : Di ! R tales que ½
para todo q 2 '¡1(Di) , rg(D(fi ± ')(q)) = 1 para toda curva integral ®i de Ui j Di , fi ± ®i = cte:
134
5 APÉNDICES
(se llama a fi una ”integral primera” del campo Ui jDi ). Además, al ser U1(p) y U2(p) linealmente independientes, se ve inmediatamente que la aplicación f := (f1 ; f2) j D1\D2 : D 1 \ D2 ! R2 veri…ca det(D(f ± ')('¡1 (p))) 6= 0. Por el Teorema de la función inversa (Teorema 2.3), existen entornos A(½ '¡1(D1 \ D2 )) de '¡1 (p) y B(½ R2 ) de f(p) tales que (f ± ')(A) = B y (f ± ') jA: A ! B es un difeomor…smo. Por tanto, f j '(A): '(A)! B es un difeomor…smo. Sea U := '(A) ½ D 1 \ D2 y sean u¹ := f2 jU ; ¹v := f1 jU . Se sigue que (U; ' ¹ ¡1 := (¹ u; v¹)) es una carta en torno a p y que se veri…ca: ½ para toda curva integral ®1 de U1 jU , v¹ ± ®1 = cte: ; para toda curva integral ®2 de U2 jU , u¹ ± ®2 = cte: lo que signi…ca que U1(¹ v) = 0 y U2(¹ u) = 0; escribiendo U1 jU y U2 jU como combinaciones F(U)-lineales de @=@ u¹ y @=@ v¹ , se deduce que, en realidad, U1 j U es proporcional a @=@ u¹ y U2 jU es proporcional a @=@ v¹ 5.3.2
Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Proposición 3.17
Sea b = (e1 ; :::; en) una base cualquiera de E y escribamos 8 < L(b) = bLb ; ) (Lv)b = Lb vb < Lv; w >= vTb LTb <; >b wb ; : B(v; w) = vbT Bb wb
para simbolizar 8 Pn P ej Lji ; ) (Lv)i = nj=1 Lij vj < L(ei ) = j=1P n < Lv; w >= Pn i;j;k=1 viLji < e j; e k > w k : B(v; w) = i;j=1 vi Bijw j
;
respectivamente. Que B sea la forma bilineal asociada a L equivale por tanto a que se veri…que: Bb = LTb <; >b ;
para alguna (y toda) base b de E
( ¤) ;
por otra parte, que L sea autoadjunta equivale a que se veri…que LTb <; >b=<; >b Lb ; para alguna (y toda) base b de E
(¤¤) :
Probemos 1. Se deduce de (¤¤) que la autoadjuntía de L es equivalente a que se veri…que:
135
5 APÉNDICES
LTb = Lb ; para alguna (y toda) base ortonormal b de E : Probemos 2. Se deduce de (¤) y (¤¤) que la autoadjuntía de L es equivalente a que se veri…que: Bb =<; > b Lb ; para alguna (y toda) base b de E : Probemos 3. De < Lv; w >=< v; Lw >; 8v; w 2 E, se deduce: (1) que el subespacio ortogonal a un subespacio L-invariante es también L-invariante (inmediato); y también (2) que L posee un autovector (no nulo). Veamos esto último: se puede ver en tres fases: (a) Un vector v 2 E se dice que es L-maximal si es unitario y si jLvj ¸ jLwj, para todo w unitario. Al ser el conjunto de vectores unitarios compacto y la aplicación E 3 v 7! jLvj 2 R continua, existen (teorema del máximo) vectores que son L-maximales. (b) Se de…ne jLj := jLvj, para cualquier v L-maximal. Si v 2 E es L-maximal, se tiene: ¯ ¯ Schwartz ¯ ¯ w ¯¯ w´Lv ¯ L autoadjunta 2 2 2 ¯ ¯ ¯ jLj :=< Lv; Lv > = < L v; v > · L v jvj ´ ¯L jwj |{z} jwj ¯
v es L¡max:
1
¯ ¯ · jLvj 2 =: jLj 2 ; ) < L2v; v >= ¯L2v¯ ;
Schwartz
)
L2v = jLj 2 v :
(c) Tomando v 2 E que sea L-maximal, se tiene: ½ (b) o bien Lv ¡ jLj v es L-autovector L(Lv¡jLj v) = ¡ jLj (Lv¡jLj v) ; ) : o bien v es L-autovector De donde se sigue inmediatamente la conclusión. Probemos 4. De acuerdo con (¤), basta tomar Lb := BbT (= Bb ), para toda base ortonormal b de E 5.3.3
Indicatriz de Dupin*
Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sean k1(p) y k 2(p) las curvaturas principales en p. Sea (» 1; » 2) una base ortonormal de Tp M . Un vector genérico » 2 Tp M se puede escribir: » = ¸1 »1 + ¸2» 2, para ciertos números ¸1; ¸2 2 R . El conjunto
Dp := f» 2 Tp M j H p(»; ») = §1g = f¸1» 1+¸2 »2 j k1 (p) ¸21 + k2(p) ¸22 = §1g se denomina indicatriz de Dupin de (M; º) en p. Se deduce de (49) que, si » 2Dp , se veri…ca: ·º (») = § 1= j » j 2 : La indicatriz de Dupin D p codi…ca el carácter (3.3.5) del punto p, ya que p resulta ser:
·
136
5 APÉNDICES
(1) hiperbólico si y sólo si Dp consiste en un par de hipérbolas. En tal caso, las asíntotas tienen direcciones ¸1» 1 + ¸2» 2 2 Tp M de…nidas por la ecuación k 1(p) ¸ 21 + k 2(p) ¸ 22 = 0. (2) parabólico si y sólo si Dp consiste en un par de rectas distintas. (3) elíptico si y sólo si D p es una elipse. (4) plano si y sólo si D p es vacío. (5) umbílico (y no plano) si y sólo si D p es una circunferencia. En efecto: 1. En este caso, K (p) < 0 ; , k1(p) > 0 > k2(p). Entonces:
Dp = f¸1» 1 + ¸2 »2 j
¸21 ¸ 22 ¡ = §1g : 1=k1(p) 1= j k2(p) j
2. En este caso, K(p) = 0 y (s.p.d.g.) k1 (p) 6= 0 ; , k1(p) > 0 = k2(p). Entonces:
D p = f¸1» 1 + ¸2» 2 j k1 (p)¸21 = 1g : 3. En este caso, K(p) > 0 ; , (s.p.d.g.) Entonces:
D p = f¸1» 1 + ¸2» 2 j
k1(p) ¸ k 2(p) > 0.
¸21 ¸22 + = 1g : 1=k 1(p) 1=k2(p)
4. En este caso, k1 (p) = k2(p) = 0. Entonces D p es vacío.
5. En este caso k1(p) = k2 (p) 6= 0 y (s.p.d.g.) k1 (p) = k2(p) > 0. Entonces:
D p = f¸1 »1 + ¸2» 2 j ¸21 + ¸22 = 1=k1(p)g Supongamos que la base ortonormal (»1 ; »2) de Tp M está además adaptada a (M; º ) en p (esto es, es además positiva respecto de º y está formada por autovectores de Lp ; ver 3.3.2). Elijamos como coordenadas (x; y; z) en E3 las dadas por la referencia cartesiana con origen p = (0; 0; 0) y con base ortonormal (~» 1; ~» 2; ~º (p)) y consideremos la carta (U ; '¡1 = (u; v)) inducida (3.3.4) en torno a p por la tripleta (»1 ; »2 ; º(p)). Dado un número " > 0 , consideremos el conjunto (que puede ser vacío) C" := U \ fz = §"2 g = f(u; v) 2 U j hp(u; v) = §"2g ;
137
5 APÉNDICES
resulta evidente la importancia del conjunto C" (para " pequeño) a …n de obtener información sobre la forma de la super…cie M alrededor del punto p. Pues bien: supuesto que el punto p no sea plano, y para cada valor de " su…cientemente pequeño, el p conjunto C" resulta ser (hasta el segundo orden) homotético (con factor 1= 2") a la indicatriz de Dupin. En efecto: consideremos el desarrollo de Taylor truncado de la función hp en un punto (u; v) 2 U cercano a p = (0; 0) (notaciones como en 3.3.4):
0
1
0
1
1B C hp(u; v) =hp(p) + @p(p) u+ q(p) vA+ @ r(p) u2 + 2 s(p) uv+ t(p) v 2A+::: = | {z } |{z} |{z} |{z} |{z} 2 |{z} 0
0
0
k1 (p)
0
k2(p)
1 1 = (k1(p)u2 + k2(p)v2) + ::: = Hp(»u;v; » u;v) + ::: ; 2 2 donde »u;v ´ u»1 + v»2 2 Tp M . Se sigue que C" = f(u; v) 2 U j Hp (»u;v; » u;v) + ::: = §2"2g :
Comparando con la de…nición de la indicatriz de Dupin Dp se concluye que: a menos de términos de orden 3 (y superior) en las coordenadas u; v (y supuesto que los términos de orden 2 no se anulen, esto es, supuesto que p no sea plano), el conjunto C" es homotético (con factor p 1= 2") a la indicatriz de Dupin
5.3.4
Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33 (HilbertLiebmann)*
La demostración depende de tres resultados preliminares, el segundo de los cuales es de tipo técnico y el tercero es una importante caracterización de la esfera. Resultado 1: Toda super…cie de E3 compacta posee (al menos) un punto elíptico (Ejercicio 6.3.11c). Resultado 2 (Hilbert): Sea M una super…cie de E3 y sea p 2 M un punto en el que la curvatura de Gauss K es positiva y en el que las (funciones) curvaturas principales ki : M ! R (i = 1; 2), de…nidas por ½ k1 (x) = maxfcurvaturas principales en xg ; 8x 2 M k2 (x) = minfcurvaturas principales en xg (así pues, k1 ¸ k2), poseen un máximo (local) y un mínimo (local), respectivamente. Entonces p es un punto umbílico de M (ver [5], 5.2, Lema 1; ver también [4], 5.6, Lema 6.2)
138
5 APÉNDICES
Resultado 3. La esfera es la única super…cie conexa y compacta que tiene todos sus puntos umbílicos (ver [5], 3.2, Proposición 4; ver también [4], 5.6, Proposición 6.1). Probemos el Teorema. Por ser M compacta, posee (Resultado 1) un punto elíptico; y, por ser K constante, debe ser K > 0: Las funciones k1 y k 2 son continuas (ver Ejercicio 6.3.8). Por ser M compacta y ser K = k1k2 constante, existe un punto p 2 M en el que k 1 alcanza su valor máximo y, simultáneamente, k 2 su mínimo. Por ser K(p) > 0 y por el Resultado 2, el punto p es umbílico y se tiene, para todo x 2 M: k1(x) · k1(p) = k2(p) · k2(x) ; al ser k1 ¸ k2 , M tiene todos sus puntospumbílicos y, por el Resultado 3, es una esfera (obviamente, de radio R = 1= K )
5.4
GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES
5.4.1
Carácter intrínseco de la derivación covariante. Demostración de la Proposición 4.4*
Comenzamos calculando las derivadas parciales de las gij : @(gij ±') @uk
(36) ± '¡1 =
= < r @u@
k
³
@ @uk
@ @ @ui ; @uj
´
@ @ (61) < ; > = @ui @uj | {z } g ij
>+<
@ @ @ui ; r @u@ @uj k
(63)
> = ¡kij + ¡
kji
;
donde se usa la notación ¡ijk ´
2 X
¡hij gkh (i; j; k = 1; 2) :
(77)
h=1
Teniendo en cuenta ahora que ¡kij = ¡ikj ; se concluye inmediatamente que (8i; j; k = 1; 2): ¡ijk ´
1 ((¡ijk + ¡kj i) + (¡ijk + ¡kij ) ¡ (¡kij + ¡kji )) = 2
1 ((¡jik + ¡jki ) + (¡ijk + ¡ikj ) ¡ (¡kij + ¡kji )) = 2 µ ¶ 1 @(g ik ± ') @(gjk ± ') @(gij ± ') ¡1 ¡1 ¡1 = ±' + ±' ¡ ±' : 2 @uj @ui @uk =
(78)
139
5 APÉNDICES
De lo anterior se concluye que es posible despejar los ¡hij en función de los gij , obteniéndose (8i; j; h = 1; 2): Ã 2 ! 2 2 2 X X X (77) X kh (78) h l h l kh ¡ij = ¡ij ±l = ¡ij g gkl = g ¡ijk = l=1
2
1 X kh = g 2 k=1 5.4.2
µ
l=1
k=1
k=1
@(g ik ± ') @(gjk ± ') @ (gij ± ') ± '¡1 + ± '¡1 ¡ ± '¡1 @uj @ui @uk
¶
Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demostración del Teorema 4.7*
Probaremos la expresión (68). Sea º 2 X M cualquier normal unitaria local y sean hij 2 F(U) (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º) en la carta (U; '¡1). Se tiene (denotando por D el operador de derivación natural en R3): ³ ´ (40) P 2' (41) k DU DV U = DU ( 3k=1( @@v@u ± ' ¡1 ) @x@k jU ) = =
P3
@ 2' k k=1 U( @v@u
¡1
±' )
Con lo cual se tiene:
³
@ j @xk U
´ (36) P ³ ´ 3 @ 3'k ¡1 @ = j = DV DUU k=1 ( @u@v@u ± ' ) @xk U
(¤) :
(62)
¡rU rV U+rV rU U = ¡rU (DVU¡ < LV; U > º)+r V (DU U¡ < LU; U > º ) = (¤ )
= (¡DUDV U + DU (< LV; U > º))T an +(DV DUU ¡ DV(< LU; U > º ))T an =
=< LV; U >(DUº )T an ¡ < LU; U >(DV º)T an = ¡ < LV; U > LU+ < LU; U > LV ; ) | {z } | {z } =DU º
=DV º
) < ¡rU rV U+rV rU U; V >= det
µ
< LU; U > < LU; V > < LV; U > < LV; V >
¶
(52)
= det(hij ) :
De la igualdad matricial (54) en 3.3.1 se sigue que K jU = det(g ij)¡1 det(hij ) y, …nalmente, se concluye: K jU = 5.4.3
< ¡r Ur VU + r Vr UU ; V > det(gij )
Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de compatibilidad*
Sea M una super…cie de E3. Fijada una carta (U; '¡1 = (u; v)), es claro que @ @ el conjunto de campos locales ( @u ; @v ; º ') , donde º ' es la normal unitaria
140
5 APÉNDICES
inducida por la carta (recordar 3.2.1), constituye una base del módulo X U . @ @ Las derivadas naturales (40) con respecto a @u y @v de los tres campos de esta base local se podrán a su vez escribir como combinaciones lineales de estos mismos campos; de hecho, conocemos ya todos los coe…cientes de estas combinaciones lineales: son los símbolos de Christo¤el, los coe…cientes de la segunda forma fundamental y los del operador de Weingarten. En efecto, la ecuación (62) da en particular: 2
@ @ (63) X k @ D @u@ = r @u@ + hij º ' = ¡ij + hij º ' i @uj i @uj @uk k=1
(i; j = 1; 2) ;
mientras que la de…nición del operador de Weingarten (53) da: ¡D
@ @ui
º' =
2 X
lj i
j=1
@ (i = 1; 2) ; @uj
utilizando los coe…cientes (50) de la segunda forma fundamental podemos reescribir estos dos conjuntos de ecuaciones como: 8 @ 1 @ 2 @ D @u @ > @u = ¡11 @u + ¡11 @v + eº ' > > @ 1 @ 2 @ > > < D @u@ @v = ¡12 @u + ¡12 @v + fº ' @ @ @ D @ @v = ¡122 @u + ¡222 @v + gº ' : (79) @v > @ @ > > ¡D @ º ' = l11 @u + l21 @v > > @u : @ @ ¡D @ º ' = l12 @u + l22 @v @v
Es importante observar ahora que todos los coe…cientes que aquí aparecen se obtienen a partir de los de las dos formas fundamentales (gij ) y (hij ). En efecto:
(1) los símbolos de Christo¤el ¡kij dependen sólo (Proposición 4.4) de los coe…cientes g ij de la primera forma fundamental. (2) los coe…cientes (lij ) veri…can (54) la igualdad matricial (lij ) = (g ij) ¡1 (hij). La consistencia de las igualdades (79) exige la existencia de relaciones entre las (g ij ) y las (hij ) . Ya en el Teorema 4.7 se vio que la condición (DUDV U)T an = (DVDU U )T an implica cierta relación (68) que hace patente el carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Si ahora introducimos las @ notaciones Ui ´ @u y Kijkl ´< ¡rUi r Uj Uk +rUj rUi Uk; Ul > (i; j; k; l = i 1; 2) , esta relación (68) equivale a K 1212 = det(hij) ; que se denomina fórmula de Gauss.
(80)
141
5 APÉNDICES
@ @ Por otra parte, volviendo a la notación U ´ @u ; V ´ @v y teniendo en cuenta (79), se encuentra: 8 ³ ´ ¡ ¡ ¢¢ < (DUDV U)Nor = DU ¡112 @ + ¡212 @ + fº Nor = ¡112e + ¡212f + @(f±') ± '¡1 º @u @v @u ´ ¡ ¡ 1 @ ¢¢Nor ³ 1 Nor @(e±') 2 @ 2 : (DVDU U) = DV ¡11 + ¡11 + eº = ¡11f + ¡11g + ± ' ¡1 º @u
@v
@v
y análogamente (intercambiando los papeles de u y v) 8 ³ ´ ¡ ¡ ¢¢ < (DVDU V)Nor = DV ¡112 @ + ¡212 @ + fº Nor = ¡112f + ¡212 g + @(f ±') ± '¡1 º @u @v @v ´ ¡ ¡ 1 @ ¢¢Nor ³ 1 Nor @(g±') 2 @ 2 ¡1 : (DUDV V) = DU ¡22 @u + ¡22 @v + gº = ¡22e + ¡22f + @u ± ' º Así, de la condición (DU DVU)Nor = (DVDU U)Nor y de su análoga (intercambiando los papeles de u y v) (DV DUV)Nor = (DU DVV)Nor se obtienen: ( @(e±') ± '¡1 ¡ @(f@u±') ± '¡1 = ¡112 e + (¡212 ¡ ¡111)f ¡ ¡211g @v ; (81) @(g±') @(f ±') ¡1 ¡1 2 1 2 1 ± ' ¡ ± ' = ¡ g + (¡ ¡ ¡ )f ¡ ¡ e 12 12 22 22 @u @v que se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi. Las ecuaciones (80) y (81) se denominan ecuaciones de compatibilidad. Es importante recalcar que no existen otras relaciones de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamentales; concretamente, se veri…ca el siguiente resultado, que es una especie de análogo al teorema fundamental de la teoría de curvas: Teorema 5.1 (Bonnet) Sean E; F; G; e; f; g : U ! R funciones diferenciables de…nidas sobre un abierto U de R2 (con coordenadas (u; v)), siendo E > 0; G > 0; EG ¡ F 2 > 0, y veri…cando formalmente las igualdades (80) y (81), con las ¡kij dadas por las ecuaciones (66). Existe entonces una parametrización global ' : U ! U de una super…cie U en E3 para la que las funciones E; F; G; e; f; g son los coe…cientes de sus formas fundamentales. Además la super…cie U está determinada salvo movimientos. Demostración. Ver [5], 4.3, Teorema, con demostración en el Apéndice al Capítulo 4
6 EJERCICIOS
6
142
EJERCICIOS
Los enunciados de los ejercicios que siguen proporcionan muchos ejemplos para el desarrollo de la teoría. Intentar resolverlos (y lograrlo en bastantes casos) constituye una parte fundamental del curso. Repensarlos una vez resueltos ilustra en muchos casos sobre el ”puesto” que ocupa cada ejercicio en el desarrollo de la teoría. Se ha renunciado deliberadamente a dar indicaciones sobre el grado de di…cultad de cada ejercicio (eventuales ”pistas” pueden surgir en las clases prácticas o en las tutorías). Para colecciones de problemas resueltos, ver por ejemplo [3] (cuyos convenios y notaciones son los de [4]); en todo caso, téngase en cuenta que no es ni mucho menos lo mismo intentar resolver problemas que ”estudiar” problemas resueltos.
6.1 6.1.1
TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia)
Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura. Probar que: (a) La trayectoria de ® es un segmento de recta si y sólo si ·(t) = 0 (constante): (b) La trayectoria de ® es un arco de circunferencia de radio r > 0 si y sólo si j ·(t) j= 1=r (constante). 6.1.2
(Hélices 1)
Sean a; nulos. Considérese la curva ® : R 3 s 7! ¡ ¡ sb;¢ c 2 R ¡, s con ¢ sa¢ y c no 3 a cos c ; a sen c ; b c 2 E . Si b 6= 0, se dice que la trayectoria de ® es una hélice. (a) ¿Es el parámetro s la longitud de arco? (b) Determinar la curvatura y la torsión de ®. (c) Demostrar que la recta (afín) normal principal de ® en s corta al eje z bajo un ángulo igual a ¼=2 (independiente de s). (d) Demostrar que las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con el eje z. (e) Suponiendo c2 = a2 + b2, hallar el plano (afín) osculador de ®.
6 EJERCICIOS 6.1.3
143
(Determinación diferenciable del ángulo)
Sea ® : I ! E2 una curva plana, regular y sea T 2X® su campo (unitario) tangente. (a) Probar que existe una función diferenciable µ : I ! R de forma que T~ = (cos µ; sen µ). (b) Probar que se veri…ca: dµ =j ®0 j · , siendo · la curvatura de ®. dt 6.1.4
(Torsión y curva plana / Normales y circunferencia)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea ¿ su torsión. Probar que: (a) La trayectoria de ® está sobre un plano (esto es, la curva es plana) si y sólo si ¿ (t) = 0 (constante). (b) La trayectoria de ® está sobre una circunferencia si y sólo si las rectas (a…nes) normales principales de ® pasan todas por un punto …jo. 6.1.5
(Tangentes y recta)
Sea ® : I ! E3 una curva regular. (a) Probar que la trayectoria de ® está sobre una recta si y sólo si las rectas (a…nes) tangentes de ® pasan todas por un punto …jo. (b) ¿Se satisface todavía la conclusión de (a) si ® no es regular? 6.1.6
(Evolutas)
Sea ® : I ! E2 una curva regular, con curvatura ·(t) 6= 0 para todo t 2 I . Sea N 2X ® su campo (unitario) normal. La curva 1 ~ ¯(t) := ®(t) + N (t) ; t 2 I ·(t) se denomina la evoluta de ® (su imagen es el lugar geométrico de los ”centros de curvatura” de ®). (a) Demuéstrese que, si d· dt (t) 6= 0, la recta (afín) normal de ® en t es tangente a ¯ en t. (b) Considérense las rectas normales de ® en dos valores próximos (pero distintos) t1 y t2 del parámetro: Aproxímese t1 a t2 y demuéstrese que el punto de intersección de ambas rectas converge hacia un punto de la trayectoria de la evoluta de ®.
6 EJERCICIOS 6.1.7
144
(Catenarias)
La trayectoria de…nida por la curva plana ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 E2 se denomina catenaria. (a) Hallar la curvatura de ®. (b) Hallar la evoluta de ®. 6.1.8
(Cicloides)
La curva ® : [0; 2¼] ! E2 de ecuaciones x = rt ¡ rsen t; y = r ¡ r cos t describe el movimiento de un punto …jo de una circunferencia C de radio r cuando ésta rueda apoyada sobre el eje x. La trayectoria de ® se denomina cicloide. (a) ¿Es ® una curva regular?. Hallar su longitud. Reparametrizar ® por la longitud de arco. (b) Hallar la curvatura de ®. (c) Demostrar que la trayectoria de la evoluta de ® es otra cicloide. 6.1.9
(Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidimensional)
Dada una función diferenciable f : I ! R , demuéstrese que existe una única (salvo movimientos directos) curva regular ® : I ! E2 parametrizada por la longitud de arco y con curvatura f. 6.1.10
(Diferenciabilidad, regularidad, alabeo)
Considérese la aplicación ® : R ! E3 dada por 8 2 < (t ; e¡1=t ; 0) si t < 0 ®(t) := (0; 0; 0) si t = 0 : 2 (t ; 0 ; e¡1=t ) si t > 0
(a) Estudiar si ® es una curva (esto es, si es diferenciable). (b) Estudiar si ® es regular, si es alabeada y qué ocurre con su curvatura. (c) Probar que el límite de los planos osculadores de ® cuando t ! 0¡ es el plano z = 0, pero que dicho límite es el plano y = 0 cuando t ! 0+ : (d) Demostrar que la torsión de ® es nula en todos los puntos en los que está de…nida.
145
6 EJERCICIOS 6.1.11
(Ángulo polar como parámetro)
Sea la curva plana ® : [a; b] 3 Á 7! (radio = ½(Á); ¶angulo = Á) 2 E2 ¡ forigeng, con ½ : [a; b] ! R+ cierta función diferenciable. La curva está pues dada en coordenadas polares y con el propio ángulo como parámetro. (a) Demostrar que la longitud de ® veri…ca: Z bs d½ L(®) = ( )2 + ½ 2 dÁ dÁ a (b) Demostrar que, si ® es regular, su curvatura · veri…ca: 2
·=
d ½ 2 2 2( d½ dÁ ) ¡ ½ dÁ2 + ½ d½ 2 (( dÁ ) + ½2 )3=2
(c) Calcular la longitud y la curvatura de la curva (cuya imagen es una espiral logarítmica) ® : [0; 1) 3 Á 7! (½(Á); Á) 2 E2 , donde ½(Á) = ae¡bÁ (con a; b 2 R+ ). Reparametrizar ® por la longitud de arco. 6.1.12
(Curvas sobre esferas)
Sea una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco y sean · y ¿ su curvatura y torsión, respectivamente. (a) Probar que una condición necesaria para que la trayectoria de ® se encuentre sobre una esfera de radio r es que se veri…que: p d· §¿ r2 ¡ ·¡2 = ·¡2 : ds (b) Probar que, si su…ciente. 6.1.13
p 2 r ¡ ·¡2 6= 0, la condición de (a) es también
(Máximos de la distancia de un punto a una curva)
Sea ® : I = (a; b) ! E2 una curva regular. Supóngase que existen q 2 E2 y t0 2 I tales que la distancia j ®(t) ¡ q j de q a la trayectoria de ® tenga un máximo local en t0 . Demostrar que la curvatura · de ® veri…ca j ·(t0) j¸ 1= j ®(t0 ) ¡ q j :
6 EJERCICIOS 6.1.14
146
(Tangente, normal y binormal)
Sea una curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco y cuya torsión nunca es nula. (a) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial T~ (t) asociada al campo tangente de ® determina la curvatura y la torsión de ®. ~ (b) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial B(t) asociada al campo binormal de ® determina la curvatura y el valor absoluto de la torsión de ®, pero deja indeterminado el signo de la torsión. Poner un ejemplo de esta indeterminación. ~ (t) aso(c) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial N ciada al campo normal principal de ® deja indeterminadas la curvatura y la torsión de ®. Poner un ejemplo de esta indeterminación. (d) Probar que, si existe ~» 2 E3 tal que se veri…ca una de las dos condiciones siguientes ( < T~ (t); ~» >= 0 ; para todo t 2 I ~ ~» >= 0 ; para todo t 2 I ; < B(t); entonces necesariamente es ~» = ~0. No ocurre lo propio con la condición ~» >= 0 ; para todo t 2 I ; ~ < N(t); poner un ejemplo. 6.1.15
(Hélices 2)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada cuya torsión nunca se anula. En general, se dice que Im ® es una hélice si las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja. Pruébese que: (a) Im ® es una hélice si y sólo si ·=¿ = cte. (b) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) normales principales de ® son paralelas a algún plano …jo. (c) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) binormales de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja. (d) Si a; b; c 2 R, los tres no nulos, y µ : I ! R es una función diferenciable con derivada la curva ® : I 3 ¡a R R nunca nula,b entonces ¢ a 3 s 7! c senµ(s)ds ; c cos µ(s)ds ; c s 2 E tiene por imagen una hélice.
6 EJERCICIOS 6.1.16
147
(Plano osculador)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco. Sea P un plano afín que satisface las siguientes condiciones: i. Existe s0 2 I tal que P contiene a la recta (afín) tangente de ® en s 0. ii. Dado cualquier entorno J ½ I de s0, existen puntos de ®(J) a ambos lados de P . Pruébese que P es el plano osculador de ® en s0. 6.1.17
(Plano osculador y círculo osculador)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco. Demuéstrese que: (a) La posición límite de los planos a…nes que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s+h2), cuando h1; h2 ! 0, es el plano osculador de ® en s. (b) La posición límite de los círculos que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s + h2), cuando h1; h2 ! 0, es aquel círculo del plano osculador de ® en s cuyo centro está sobre la recta normal principal de ® en s y cuyo radio es 1=·(s) . Este círculo se llama círculo osculador de ® en s. 6.1.18
(Proyección sobre el plano osculador)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Pruébese que, para cada t 2 I, la curvatura ·(t) es el valor absoluto de la curvatura en t de la curva plana ¼t ± ®, siendo ¼t la proyección normal de E3 sobre el plano (afín) osculador de ® en t. 6.1.19
(Aceleraciones de una curva)
Dada una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco, probar que se veri…ca d· < ®0; ®0000 >= ¡3· ; ds siendo · la curvatura de ®.
148
6 EJERCICIOS 6.1.20
(Modelos 1)
Considérense dos partículas puntuales que se muevan diferenciablemente en E3 . Probar que la distancia entre ellas (no nula) se mantiene constante si y sólo si las proyecciones de sus velocidades sobre la dirección de la recta que las une son iguales. 6.1.21
(Modelos 2, cicloide)
Considérese la curva plana ® : [0; 2¼] 3 t 7! (rt ¡ rsent ; r + r cos t) 2 E2 , cuya trayectoria es una cicloide ”invertida” (ver Ejercicio 6.1.8). (a) Dados t0 2 (0; ¼) y g 2 R+, reparametrícese ® j [t0;¼] por un cambio de parámetro f : [0; ¿ f ] 3 ¿ 7! t 2 [t0; ¼] tal que se veri…que 1 dL(® ± f ) 2 ( ) = g(®2(t0) ¡ ®2 ± f ) 2 d¿
(¤) :
Probar que ¿ f no depende de t0. Observación: lo anterior puede reformularse así: si una bolita cae sin rozamiento siguiendo la trayectoria de una cicloide invertida dada, el tiempo que tarda (en llegar abajo) es independiente de la altura de partida (se dice en este sentido que la cicloide es ”tautócrona”). El ”tiempo” es el nuevo parámetro ¿ y la condición (¤ ) expresa la ”conservación de la energía” (no rozamiento) en el campo de aceleraciones (supuesto uniforme y de módulo g) en el que tiene lugar la caída. (b) Considérese la evoluta ¯ : [0; 2¼] 3 t 7! ¯(t) 2 E2 de ®. Por el Ejercicio 6.1.8c, su trayectoria será otra cicloide invertida, ”adelantada” ¼ unidades (del parámetro común t) y ”elevada” 2r unidades de ordenada (altura) con respecto a ®. Probar que, para todo t 2 [0; ¼], se veri…ca: j¯(t) ¡ ®(t)j + L(¯ j[t;¼]) = 4r
(independiente de t) :
Observación: lo anterior constituye el fundamento del llamado ”péndulo de Huygens”, en el que se basaron los primeros cronómetros: un péndulo inextensible de longitud 4r, tendido desde el vértice de una cicloide invertida de altura 2r e impedido de sobrepasar la trayectoria de ésta, describirá al oscilar otra cicloide
149
6 EJERCICIOS
(Parte b) y, bajo la in‡uencia sólo de la gravedad, mantendrá su período independientemente de la amplitud de la oscilación (Parte a). Ello mejora el comportamiento de un péndulo simple, cuyo período sólo es independiente de la amplitud si ésta es pequeña. 6.1.22
(Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos)
Sea ® : I ! En (n ¸ 2) una curva alabeada y sea (E1; :::; En ) su referencia de Frenet. (a) Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que invierte orientación y consideremos la curva ® ~ = ® ± f :J ! En : Entonces la e 1 ; :::; E e n ) de ® referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i = (¡1)i (Ei ± f ) E
e n = (¡1) n(n¡1)=2 (En ± f) ; (i = 1; :::n¡1) ; E
de donde se obtiene: ½ ! ~ i+1;i = ¡ df ds (!i+1;i ± f) (i = 1; :::; n ¡ 2) ! ~ n;n¡1 = ¡(¡1)n(n+1)=2 df ds (! n;n¡1 ± f)
;
y, …nalmente, ½
~ i = ·i ± f (i = 1; :::; n ¡ 2) · ~·n¡1 = (¡1)n(n+1)=2 (·n¡1 ± f )
:
(b) Sea A : En ! En un movimiento no directo y consideremos la curva ® ~ = A ± ® : I ! En. Entonces la referencia de Frenet e 1; :::; E e n ) de ® (E ~ veri…ca (8t 2 I): e i(t) = (AE ~ i(t))®~(t) E
e n(t) = ¡(AE ~ n(t))®~ (t) ; (i = 1; :::n¡1) ; E
de donde se obtiene: ½ !~ i+1;i = !i+1;i (i = 1; :::; n ¡ 2) !~ n;n¡1 = ¡!n;n¡1 y, …nalmente, ½
~ i = ·i (i = 1; :::; n ¡ 2) · ~·n¡1 = ¡·n¡1
Probar las expresiones anteriores para n = 2 y n = 3.
:
;
150
6 EJERCICIOS 6.1.23
(Curvas planas ”en implícitas”)
Sea g : (R2 ¾)U ! R una función diferenciable de…nida sobre un abierto U (s.p.d.g., 0 2 g(U)). Supongamos que p 2 g ¡1(0)(½ U) es un punto ”regular” para g; esto es, se veri…ca rg(Dg(p)) = 1, donde Dg es la matriz Jacobiana de g (s.p.d.g., y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x; y) en R2, (@g=@y)(p) 6= 0; y escribiremos p ´ (a; b)). (a) Probar que g ¡1(0) admite una ”parametrización (local, 1-dimensional)” en torno a p, esto es (2.2.1), que existen un abierto U (3 p) de g ¡1(0) en la topología relativa y una curva regular e inyectiva ® : I ! R2 tales que ®(I) = U y la aplicación inversa ®¡1 : U ! I es continua. Indicación: utilizar el teorema de la función implícita (Teorema 2.4), que garantiza la existencia de 8 ¾ < un entorno (Rx ¾) - de a con - £ J ½ U un entorno (Ry ¾) J de b : una función diferenciable & : - ! J tales que
f(x; y) 2 - £ J j g(x; y) = 0g = f(x; &(x)) j x 2 -g ; esto es, tales que g ¡1(0) \ (- £ J ) = gr¶af ica de & .
(b) Probar que la curvatura · de ® veri…ca ³ ´h 2 @ g @g 2 @ 2g @g @g ¡sgn @g ( ) ¡ 2 @x@y + @y @x2 @y @x @y ·= @g 2 2 3=2 [( @x ) + ( @g @y ) ]
@ 2g @g 2 ( ) @y2 @x
i
±®:
(c) Concretar lo anterior para la función g : R2 3 (x; y) 7! x2 + y2 ¡ r 2 2 R (con r > 0) en torno al punto p ´ (0; 1) 2 R2.
(d) Supongamos la siguiente de…nición alternativa de ”curva plana”: subconjunto de R2 que admite una parametrización (local, 1dimensional) en torno a cada uno de sus puntos. Aceptada esta de…nición, probar que: todo punto de una ”curva plana” está contenido en un abierto de la misma (en la topología relativa) que es la grá…ca de una función diferenciable & : (R ¾) - ! R, con abierto.
151
6 EJERCICIOS 6.1.24
(”El ocho”)
Sea la curva (regular e inyectiva) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 E2 , cuya trayectoria denominaremos ”el ocho”. (a) Probar que existe una función diferenciable g : R2 ! R tal que ®(I) = g ¡1 (0). (b) Probar que cualquier función diferenciable g¹ : R2 ! R tal que ¡ ¢ ®(I) = g¹¡1(0) veri…ca: D¹g (0; 0) = 0 0 (ninguna función ¹g que tenga a ®(I ) por conjunto de nivel puede ser regular en ®(0)). (c) Comprobar que la aplicación ® ¡1 : (E2 ¾)®(I) ! I(½ R) no es continua en ®(0).
(d) Sea la curva (regular e inyectiva) ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sen s; sen 2s) 2 E2, cuya trayectoria es también el ocho. Comprobar que la aplicación ®¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! (¡¼; ¼)(½ R) no es diferenciable (y, por tanto, ®¡1 ± ¯ no es un cambio de parámetro de ®, la curva ¯ no es una reparametrización de ® y la aplicación ®¡1 ± ¯ no es una curva en R).
6.2 6.2.1
SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN (Super…cies que son conjuntos de nivel)
Determinar los valores de v para los que es una super…cie el conjunto de nivel f ¡1(v) 2 R3, donde: (a) f (x; y; z) :=
x2 a2
+
y2 b2
+
(b) f (x; y; z) :=
x2 a2
+
y2 b2
(c) f (x; y; z) :=
x2 a2
+
y2 b2
¡ zc2
(d) f (x; y; z) :=
x2
¡
y2
a2
b2
(e) f (x; y; z) := xyz ¡ 1 (con a; b; c > 0).
z2 c2 2
¡z ¡z
152
6 EJERCICIOS 6.2.2
(Plano tangente)
Considérense las super…cies (cuádricas) M de R3 de…nidas por las ecuaciones: +
y2 b2
(b)
x2 a2
+
y2
(c)
x2 a2
+
(d)
x2 a2
(a)
x2 a2
¡
b2 y2 b2 y2 b2
+
z2 c2
= 1 (elipsoide)
¡
z2
= 1 (hiperboloide de 1 hoja)
c2
¡ z = 0 (paraboloide elíptico) ¡ z = 0 (paraboloide hiperbólico)
(con a; b; c > 0). Determinar el plano tangente a cada una de ellas en el punto p de coordenadas x(p) = a ; y(p) = 0. 6.2.3
(¿Super…cies?)
Determinar si son super…cies los siguientes conjuntos: (a) f(x; y; z) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 < 1g (b) f(x; y; z) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 · 1g (c) f ¡1 (0) , siendo f(x; y; z) := z 2 .
6.2.4
(Cilindros)
Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse como un conjunto de nivel regular para alguna función diferenciable de (un abierto de) R2 en R. (a) Probar que el conjunto M ´ ®(I ) £ R (½ R3) es una super…cie (denominada cilindro sobre ®(I )) (b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ : J ! R2 es regular e inyectiva. Probar que la aplicación ' : R2 ¾ J £ R 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2 (u); v) 2 M es una parametrización local de M
153
6 EJERCICIOS 6.2.5
(”El ocho” en super…cies)
Sea la curva (inyectiva y regular) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 R2 , cuya trayectoria es ”el ocho” (recordar Ejercicio 6.1.24). (a) Probar que i. El conjunto S ´ ®(I) £ R(½ R3) puede expresarse como conjunto de nivel f ¡1(0) para cierta función diferenciable f : R3 ! R. ii. El conjunto S ¡ f(0; 0; z) j z 2 Rg es una super…cie. (b) Considérese la aplicación diferenciable ' : (R2 ¾)U ´ I £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v) 2 S(½ R3) :
i. Probar que ' no es una parametrización de S. ii. Sea la curva ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sens; sen2s; 0) 2 S. Probar que la aplicación '¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! U(½ R2 )
no es una curva. iii. Sea la extensión diferenciable © de ' dada por
© : (R3 ¾)U £ R 3 (u; v; w) 7! (sen u; sen 2u + w; v) 2 R3 :
(resulta © j U£f0g = '). Probar que existen entornos A( ½ U £ R) de (0; 0; 0) y B(½ R3) de ©(0; 0; 0) = (0; 0; 0) tales que ©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo. Probar sin embargo que: (© jA) ¡1 jS\B 6= '¡1 jS\B :
(c) Probar que el conjunto S no es una super…cie. 6.2.6
(Ejemplo de helicoide)
Sea la hélice ®(s) := (cos s; sens; s). El subconjunto M de R3 constituido por las rectas (a…nes) normales principales de ® se denomina helicoide. (a) Probar que la aplicación ' : R2 3 (s; t) 7! (t cos s; t sens; s) 2 R3
constituye una parametrización global de M (y, por tanto, M resulta ser una super…cie). (b) Encontrar una función diferenciable f : R3 ! R tal que f ¡1(0) = M y rg(Df(p)) = 1, para todo p 2 M . (c) Determinar Tp M para los puntos p de la forma (0; 0; z).
6 EJERCICIOS 6.2.7
154
(Super…cies de revolución)
Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse localmente como un conjunto de nivel regular para alguna función función diferenciable de (un abierto de) R2 en R. (a) Probar que el subconjunto M de R3 obtenido al girar la imagen ®(I) (supuesta en el plano x1x2 de R3 y con ®2 > 0) en torno al eje x1 es una super…cie (denominada super…cie de revolución generada por ®(I) al girar en torno al eje x1). (b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ : J ! R2 es regular e inyectiva. Probar que la aplicación ' : (R2 ¾)J£(¡¼; ¼) 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u) cos v; ®2(u)sen v) 2 M es una parametrización local de M . (c) Dibujar y encontrar parametrizaciones para las super…cies de revolución generadas por ®(I) al girar en torno al eje x1 en los casos siguientes: i. ® : R 3 t 7! (t; 1) 2 R2 . La super…cie es un cilindro (Ver Ejercicio 6.2.4). ii. ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 R2. La super…cie es un catenoide. iii. ® : [¡¼; ¼] 3 t 7! (b cos t; a + b sen t) 2 R2 ; a > b > 0. La super…cie es un toro. 6.2.8
(Planos)
Sea L : R2 ! R3 una aplicación lineal de rango 2, sea p 2 R3 y consideremos ! la aplicación ' : R2 3 q 7! L(¡ oq) + p 2 R3 . (a) ¿Qué clase de conjunto es '(R2)? (b) Sean q0; ~v0 2 R2. Dada la curva ® : I 3 t 7! q0 + t~v0 2 R2, ¿cuál es la velocidad (' ± ®)0 (0)? 6.2.9
(Proyección estereográ…ca)
Sea la esfera M := f(x1; x2; x3) 2 R3 j x21 +x22 +x23 = r 2g y sea p+ ´ (0; 0; r) 2 M su ”polo norte”. Considérese la aplicación ' : R2 ´ R2 £ f0g ! M que hace corresponder, a cada q = (q1 ; q2; 0), el punto (distinto de p+ ) donde la recta que pasa por q y p+ corta a M:
6 EJERCICIOS
155
(a) Determinar las ecuaciones de ' y probar que ' es una parametrización (local) de M. (b) Determinar las ecuaciones de la carta '¡1 (denominada proyección estereográ…ca de M desde el polo norte sobre el plano ecuatorial). (c) Determinar las ecuaciones del cambio de carta entre ' ¡1 y la proyección estereográ…ca ' ¹ ¡1 desde el ”polo sur” p¡ ´ (0; 0; ¡r) 2 M: 6.2.10
(Banda de Moebius)
Sean r; l 2 R con r > l > 0. Sea la circunferencia C := f(x; y; 0) 2 R3 j x2 + y2 = r2g y sea el segmento abierto S := f(0; r; z) 2 R3 jj z j< lg, cuyo punto medio m pertenece a C. Movamos S de manera que, mientras el punto m recorre sobre C un ángulo u, el segmento S gira (en torno a m y manteniéndose ortogonal a C) un ángulo ¡u=2. El subconjunto M := fSu j u 2 [0; 2¼]g de R3, constituído por las sucesivas posiciones Su del segmento S, se denomina banda de Moebius. (a) Probar que la aplicación ' : (0; 2¼) £ (¡l; l) 3 (u; v) 7! 7! (¡(r + v sen u2 ) sen u ; (r + v sen u2 ) cos u ; v cos u2 ) 2 R3 constituye una parametrización local de M (b) Probar que M es una super…cie. 6.2.11
(Campos tangentes a super…cies 1)
Sea el campo X 2 X(R3) con parte vectorial ~ : R3 3 (x; y; z) 7! (¡zx; ¡zy; r 2 ¡ z 2) 2 R3: X (a) Demostrar que la restricción de X a la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2g es tangente a ésta.
(b) Determinar la expresión analítica local de la restricción X j M 2 X(M) en las coordenadas (u; v) de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) de M desde el polo norte (0; 0; r) sobre el plano ecuatorial.
156
6 EJERCICIOS 6.2.12
(Campos tangentes a super…cies 2)
@ @ @ Sea el campo de vectores X := xz @x + yz @y + (1 + z 2) @z 2 X(R3):
(a) Demostrar que la restricción de X al hiperboloide de 1 hoja M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 ¡ z 2 = 1g es tangente a éste. (b) Demostrar que la aplicación
' : R£(¡¼; ¼) 3 (t; #) 7! (cosh t cos # ; cosh t sen # ; senh t) 2 R3 es una parametrización local de M . (c) Determinar la expresión analítica local de la restricción X jM 2 X(M) en las coordenadas (t; #).
6.3 6.3.1
SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo)
Sea f : E3 ! R una función diferenciable. Considérese el cambio à : U ! U de coordenadas cartesianas a polares dado en el Ejemplo 2.7 y sea p 2 U. Teniendo en cuenta las identi…caciones r ´ r ± á1; # ´ # ± à ¡1; Á ´ Á ± à ¡1 (2.1.4): (a) Probar que la expresión (recordar la Observación 2.1(2), donde se identi…caba el vector tangente df j p ~»p 2 TpR con su parte vectorial ~» p(f ) 2 R, para todo ~»p 2 Tp E3 ) df jp = P3i=1 @f (p) dxi jp se @x i mantiene bajo el cambio Ã, esto es, se veri…ca : df j p =
@f @f @f (p) dr jp + (p) d# j p + (p) dÁ j p : @r @# @Á
(b) Probar que la expresión (3.1.1) (grad f)(p) =
P3
@f i=1 @xi (p)
³
@ @x i
´
p
no se mantiene bajo el cambio Ã, sino que se obtiene: µ ¶ µ ¶ µ ¶ @f @ 1 @f @ 1 @f @ (grad f )(p) = (p) + 2 (p) + 2 (p) : 2 @r @r p r @# @# p r sen # @Á @Á p
6.3.2
(Normales y esfera)
Sea M una super…cie conexa de E3 . Probar que las rectas (a…nes) normales a M pasan todas por un punto …jo si y sólo si M está sobre una esfera. ¿Qué ocurre si M no es conexa?
157
6 EJERCICIOS 6.3.3
(PFF de la esfera en proyección estereográ…ca)
Obtener los coe…cientes de la primera forma fundamental de la esfera de radio r en la carta de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) desde el polo norte sobre el plano ecuatorial. 6.3.4
(PFF de la esfera en polares)
Sea M ½ E3 una esfera de radio r. Sean # (colatitud) y Á (azimut) coordenadas polares en M . Considérese la curva en M con expresión local asociada (Observación 2.18(3)) ½ #(t) = ¼2 ¡ ¡ t ¼ t ¢ ; t 2 [0; ¼ ) : Á(t) = ln cot( 4 ¡ 2 ) 2 Determinar su longitud y comprobar que forma un ángulo  constante con los paralelos # = cte (la trayectoria de ® se llama loxodroma). 6.3.5
(PFF de super…cies de revolución en coordenadas)
Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el Ejercicio 6.2.7. (a) Suponiendo que I es acotado y que la curva generadora ® : I ! E2 es regular e inyectiva y está parametrizada por la longitud de arco, probar que el área A(M) de la super…cie M viene dada por la expresión Z A(M ) = 2¼ ½(s) ds ; I
siendo ½(s) la distancia de ®(s) al eje de rotación (teorema de Pappus). (b) Aplicar lo anterior para calcular el área del toro de…nido por la ecuación q ( x21 + x22 ¡ a)2 + x23 ¡ b2 = 0 ; donde a > b > 0.
6.3.6
(Gradiente de funciones sobre super…cies)
Sea M una super…cie de E3 y sean f : M ! R una función diferenciable y (U; ' ¡1 ) una carta de M . Se de…ne el gradiente de f como el campo de vectores grad f 2 X(M ) que veri…ca (8p 2 M y 8» 2 TpM ) < (grad f )(p) ; » >:= »(f ) :
158
6 EJERCICIOS
Probar que se tiene: ¡@¢ ¡@¢ ¡@¢ ¡@¢ G ¢ @u (f) ¡ F ¢ @v (f ) @ E ¢ @v (f ) ¡ F ¢ @u (f) @ grad f jU = + ; EG ¡ F 2 @u EG ¡ F 2 @v donde E; F; G son los coe…cientes la primera forma fundamental de M en ³ ´ de(36) ¡1 @ la carta (U ; ' ) y donde @ui (f) = @(f±') ± '¡1 ; i = 1; 2. @ui 6.3.7
(Super…cies no orientables)
Supóngase que una super…cie M puede ser recubierta por los dominios conexos de dos cartas (U ; '¡1) y (U ; ' ¹ ¡1), de forma que la intersección U \ U sea la unión de dos componentes conexas (disjuntas), V1 y V2 , y se veri…que: µ ¶ µ ¶ @(¹ u; v¹) @(¹ u; v¹) det j > 0 y det j <0. @(u; v) V1 @(u; v) V2 (a) Probar que M no es orientable. (b) Aplicar lo anterior para demostrar que la banda de Moebius (Ejercicio 6.2.10) no es orientable. 6.3.8
(Diferenciabilidad de las curvaturas principales)
Considérense las curvaturas principales k1; k2 : M ! R (cuando hablamos de las funciones, elegimos la notación de forma que sea k1 ¸ k2) de una super…cie orientada (M; º) de E3. (a) Probar que k 1 y k2 son continuas en todo M y diferenciables (al menos) en aquellos puntos de M en los que son distintas entre sí (puntos no umbílicos). (b) Probar que, en cualquier carta y k2 j U son las soluciones de la µ e ¡ kE det f ¡ kF
(U ; '¡1) de M , las funciones k1 jU ecuación cuadrática ¶ f ¡ kF =0; g ¡ kG
siendo E; F; G y e; f; g; los coe…cientes de las dos formas fundamentales de (M; º) en dicha carta.
159
6 EJERCICIOS 6.3.9
(SFF de super…cies de revolución en coordenadas)
Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el Ejercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en el plano x1x2 de E3, con ®2 > 0. Utilizando la parametrización local de M dada por ' : J £ (¡¼:¼) 3 (u; v) 7! (® 1(u); ®2(u) cos v; ®2(u) senv) 2 M ;
donde J ½ I es un abierto tal que ® jJ es regular e inyectiva:
(a) Determinar los coe…cientes de la segunda forma fundamental. (b) Determinar las curvaturas principales, la curvatura de Gauss K y la curvatura media. (c) Probar que las líneas u = cte: y v = cte: de…nen líneas de curvatura. (d) Probar que, si ® está parametrizada por la longitud de arco, se veri…ca: d2 ®2 + (K ± ®) ®2 = 0 : du2 (e) Aplicar lo anterior al cálculo de las curvaturas principales, la curvatura de Gauss K y la curvatura media del toro (de…nido en el Ejercicio 6.2.7c). 6.3.10
(Curvatura de Gauss sin parametrización)
Sea M una super…cie de E3 y sea p 2 M. (a) Sea p 2 M, sea Z un campo (nunca nulo) normal a M y localmente de…nido en torno a p y sea (»; ´) una base de TpM . Probar que se veri…ca: ¡ ¢ det D» Z D´ Z Z(p) ¡ ¢: K (p) = jZ(p)j2 det » ´ Z(p)
(b) Aplicar (a) para calcular la curvatura de Gauss de las super…cies de…nidas por las siguientes ecuaciones: i. x21 + x22 ¡ x23 = 0 ; x3 > 0 (cono) ii.
iii. iv.
x21 a2 x21 a2 x21 a2 x21 a2
+ +
¡
x 22 b2 x 22 b2 x22 b2 x22 b2
¡
x23 c2
= 1 (hiperboloide de 1 hoja)
¡ x3 = 0 (paraboloide elíptico)
¡ x3 = 0 (paraboloide hiperbólico)
v. ¡ = 1 (cilindro hiperbólico) (con a; b; c > 0).
6 EJERCICIOS 6.3.11
160
(Tangencia, extremos y curvaturas principales)
Sea M una super…cie de E3. (a) Probar que, si N es otra super…cie de E3 que corta a M en un único punto, entonces M y N son necesariamente tangentes en dicho punto. (b) Probar que, si un plano afín de E3 que corta a M en un único punto, entonces la curvatura de Gauss de M en dicho punto es no-negativa. (c) Supóngase que M es compacta. Probar que M posee (al menos) un punto elíptico. (d) Supóngase que M es compacta y conexa. Probar que la curvatura de Gauss de M es no nula en todo punto si y sólo si todos los puntos de M son elípticos. 6.3.12
(Direcciones asintóticas y líneas asintóticas)
Sea M una super…cie de E3. (a) Probar que, si M posee curvatura media igual a cero en un punto, entonces en ese punto hay (al menos) dos direcciones asintóticas mutuamente ortogonales. (b) Sea ® : I ! M una curva regular con trayectoria rectilínea. Probar que ® de…ne una línea asintótica. (c) Sea ® : I ! M una curva alabeada. Probar que ® de…ne una línea asintótica si y sólo si su plano osculador en cada punto coincide con el plano tangente a M en dicho punto. (d) Sea p 2 M . Estudiar qué relaciones existen entre las siguientes a…rmaciones: i. Hay dos direcciones asintóticas en Tp M mutuamente ortogonales. ii. La curvatura media de M en p es nula. iii. La curvatura de Gauss de M en p es no-positiva. iv. Por p pasan dos rectas (o segmentos de recta) mutuamente ortogonales contenidas en M . 6.3.13
(Líneas de curvatura y líneas asintóticas)
Hallar las líneas de curvatura y las líneas asintóticas del hiperboloide de 1 hoja M de…nido por la ecuación x21 + x22 ¡ x23 = r2 :
161
6 EJERCICIOS 6.3.14
(Carácter de los puntos de una super…cie 1)
Sea M una super…cie de E3. (a) Estudiar el carácter (hiperbólico, parabólico, elíptico o plano) de los puntos de M cuando ésta es una de las super…cies de revolución del Ejercicio 6.2.7c (cilindro, catenoide y toro). (b) Supóngase que, en un punto p 2 M , la aplicación de Weingarten Lp : TpM ! TpM es una isometría lineal.
i. Probar que p no puede ser plano ni parabólico. ii. Probar que, si p es elíptico, entonces es umbílico. iii. Probar que, si p es hiperbólico, entonces la curvatura media de M en p es nula.
6.3.15
(Puntos no umbílicos)
Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea p 2 M . Probar que p es no umbílico si y sólo si, en cualquier carta (U ; '¡1) de M en torno a p, se veri…ca: µ ¶ 1 fE ¡ eF (gE ¡ eG) 2 det 1 (p) < 0 ; gF ¡ fG 2 (gE ¡ eG) siendo E; F; G y e; f; g; los coe…cientes de las dos formas fundamentales de (M; º) en dicha carta. 6.3.16
(Meridianos y paralelos en super…cies de revolución)
Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el Ejercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en el plano x1x2 de E3, con ®2 > 0 y es regular. Considérese, para cada v 2 (¡¼; ¼), la curva (con trayectoria llamada meridiano) ®v : I ! M dada por ® v : I 3 u 7! (®1(u); ®2(u) cos v; ®2(u) sen v) 2 M (obsérvese que ®0 = ®) y asimismo, para cada u 2 I, la curva (con trayectoria llamada paralelo) ¯ u : (¡¼; ¼) ! M dada por ¯ u : (¡¼; ¼) 3 v 7! (®1(u); ® 2(u) cos v; ®2(u) sen v) 2 M : (a) Probar que meridianos y paralelos se cortan siempre ortogonalmente. (b) Probar que la curva ®v es geodésica de M si y sólo si j®0 j = cte: (c) Probar que la curva ¯u es geodésica de M si y sólo si
d® 2 (u) du
= 0:
6 EJERCICIOS 6.3.17
162
(Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura)
Sea M una super…cie de E3 y sea ® : I ! M una curva alabeada. Demostrar las siguientes a…rmaciones, si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos, si se piensa que son falsas. ¿Qué ocurriría en cada caso si Im ® fuera rectilínea (con lo que ® no sería alabeada)? (a) Si ® es geodésica y de…ne una línea de curvatura, entonces es plana. (b) Si ® es plana y de…ne una línea de curvatura, entonces es geodésica. (c) Si ® es geodésica y plana, entonces de…ne una línea de curvatura. (d) Si ® es geodésica, la norma de su aceleración es constante. 6.3.18
(Super…cie de binormales de una curva alabeada)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Supóngase que el conjunto M , unión de todas las rectas a…nes binormales de ®, es una super…cie de E3 . (a) Encontrar una parametrización local en torno a cada punto de M . (b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo depende de la torsión de ®. (c) Estudiar si ® es geodésica de M . 6.3.19
(Geodésicas planas y esferas o planos)
Probar que, si todas las geodésicas de una super…cie conexa son curvas planas, entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano. Indicación: puede utilizarse libremente, sin necesidad de demostrarlo, el siguiente resultado: si todos los puntos de una super…cie conexa son umbílicos, entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano. 6.3.20
(Isometrías e isometrías locales 1)
¹ := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = (a) Sean M el plano x1 x2 de E3 y M 2 r g un cilindro sobre una circunferencia. Probar que la aplicación ¹ es una isometría F : M 3 (x1; x2; 0) 7! (r cos xr1 ; r sen xr1 ; x2) 2 M local. Encontrar un abierto U de M tal que F j U : U ! F (U) sea una isometría.
6 EJERCICIOS
163
p ¹ := f(x1 ; x2; x3) 2 E3 j ( x21 + x22¡ (b) Sean M el plano x1 x2 de E3 y M a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g un toro. Probar que la aplicación F : M 3 (x1 ; x2; 0) 7! ((a+b cos x1) cos x2; (a+b cos x1) senx2; b senx1 ) 2 ¹ no es una isometría local. ¿Era esperable que no lo fuera? M (c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 p = x2 cos x3 g un helicoide ¹ := f(x1 ; x2; x3) 2 E3 j cosh x3 = x21 + x22g un catenoide. y M ¹ que son isométricos. Probar que existen abiertos U de M y U de M ¹. Probar que existe una isometría local F : M ! M 6.3.21
(Ejemplo de super…cie de revolución 1)
Sea f : R ! R una función diferenciable con f(0) = 0. (a) Demostrar que el conjunto M ½ E3, obtenido al hacer girar la grá…ca (supuesta en el plano xz de E3 ) de la función z = f(x2 ) en torno al eje z, es una super…cie. (b) Demostrar que el punto p = (0; 0; 0) es un punto umbílico de M y probar que la curvatura de Gauss de M en dicho punto K(p) sólo depende de la derivada de f en 0. (c) Fijado ½0(> 0) 2 R, probar que la curvatura de Gauss de M es constante en los puntos de la curva 8 < x(t) = ½0 cos t y(t) = ½ 0sen t ; 0 · t · 2¼ : : z(t) = f (½20) 6.3.22
(Ejemplo de super…cie de revolución 2)
Sea el conjunto M = f(x; y; z) 2 R3 j 4z = x4 + y4 + 2x2y2g y sea p = (0; 0; 0) Se pide: (a) Probar que M es una super…cie de revolución. (b) Probar que p es un punto plano de M . (c) Encontrar todos los puntos umbílicos de M . (d) Demostrar que el valor depla curvatura de Gauss en los puntos umbílicos (excluído p) es 13 3 4.
6 EJERCICIOS 6.3.23
164
(De todo un poco 1)
Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas: (a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direcciones principales. (b) Todo punto de M con una única dirección asintótica es necesariamente parabólico. (c) Toda curva plana en M que de…na una línea de curvatura y esté parametrizada por la longitud de arco es necesariamente geodésica de M . (d) Si M es de revolución, las trayectorias de sus geodésicas son siempre meridianos o paralelos. (e) Toda isometría de M transforma puntos elípticos en puntos elípticos. (f) Si M es la esfera unitaria, existen curvas alabeadas ® : I ! M con curvatura menor que dos tercios. 6.3.24
(De todo un poco 2)
Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas: (a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direcciones asintóticas. (b) Toda geodésica de M que de…na una línea asintótica tiene imagen rectilínea. (c) En cada punto no plano de M , dos direcciones asintóticas son siempre mutuamente ortogonales. (d) Toda isometría de M transforma puntos planos en puntos planos. (e) Toda recta contenida en M de…ne una línea de curvatura. (f) (esta a…rmación no tiene obviamente nada que ver con M ) Hay curvas alabeadas en E3 con curvatura constante cuya trayectoria no está sobre una circunferencia
6 EJERCICIOS
6.4 6.4.1
165
GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES. VARIOS (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas)
Sean M una super…cie de E3, ® : I ! M una geodésica no trivial de M y V un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M. Probar que V es paralelo a lo largo de ® si y sólo si la norma j V j y el ángulo que forma V con ®0 son constantes a lo largo de ®. 6.4.2
(Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva alabeada)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Para cada t 2 I , llamemos bisectriz recti…cante de ® en t a la recta afín que ~ pasa por ®(t) y tiene por dirección la del vector T~ (t)+ B(t). Supongamos que el conjunto M , unión de todas las bisectrices recti…cantes de ®, constituye una super…cie M de E3. (a) Dar una parametrización local en torno a cada punto de M . (b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo depende de la curvatura y de la torsión de ®. (c) Demostrar que la curva ® es plana si y sólo si la curvatura media de M en los puntos de la imagen de ® es nula. (d) Estudiar si ® es geodésica de M . (e) Estudiar si ® de…ne una línea de curvatura de M. (f) Probar que, si las funciones curvatura y torsión de ® coinciden, entonces cualquier recta afín contenida en M y que corte a la imagen de ® es una bisectriz recti…cante de ®. (g) Estudiar si el campo T + B, tangente a M , es paralelo a lo largo de ®. 6.4.3
(Geodésicas en el plano, cilindro y esfera)
Probar que las siguientes curvas ® : I ! M son geodésicas de las siguientes super…cies M de E3 : (a) ®(t) := p + t~» (con p 2 M , ~» 2 E3) y M un plano que contenga (de hecho, M podría ser cualquier super…cie que contuviera) a la imagen de ®.
166
6 EJERCICIOS
(b) ®(t) := (r cos(at+b); r sen(at+b); ct+d) (con a; b; c; d; r(> 0) 2 R) y M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2g (cilindro). (c) ®(t) := r(cos at)~» + r(sen at)~´ (con a; r(> 0) 2 R y ~»; ~´ 2 E3 ortonormales) y M := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2g (esfera). (d) Probar que, en los tres casos (plano, cilindro y esfera), todas las geodésicas de M son de esa forma. 6.4.4
(Reparametrización de geodésicas)
Sea ° : I ! M una geodésica de una super…cie M de E3 : (a) Supongamos que ° es no trivial y sea f : J ! I un cambio de parámetro de °. Probar que ° ± f : J ! M es geodésica de M si y sólo si existen a; b 2 R tales que f (s) = as + b ; 8s 2 J : (b) Sean p ´ °(t0); » ´ ° 0 (t0 ) , para cierto t0 2 I. Sea ° » la geodésica maximal por ». Probar que °(t) = ° » (t ¡ t0 ) ; 8t 2 I:
(c) Supóngase que °(t0) = °(t1); ° 0 (t0) = ° 0 (t1 ); para ciertos t0; t1 2 I . Probar que ° es periódica, de período t1 ¡ t0.
6.4.5
(Super…cies geodésicamente completas)
Una super…cie M de E3 se dice geodésicamente completa si toda geodésica maximal de M tiene por dominio R. ¿Cuáles de las siguientes super…cies son geodésicamente completas?: (a) La esfera M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2g:
(b) La esfera exceptuado el polo norte M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2; x3 6= rg: (c) El cono M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 ¡ x23 = 0; x3 > 0g:
(d) El cilindro M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2g:
(e) El cilindro exceptuada una generatriz M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2 ; x1 6= rg:
6 EJERCICIOS 6.4.6
167
(Transporte paralelo en el plano)
Sea M un plano afín de E3. Dados dos puntos p; q 2 M y un vector tangente ~»p 2 Tp M, probar que, para cualquier curva ® : [a; b] ! M que una p y q, la imagen de ~» p por el transporte paralelo hasta q a lo largo de ® es ~» q . 6.4.7
(Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)
Sea la esfera M := f(x; y; z) 2 E3 j x2 + y2 + z 2 = r2g y sea p ´ (0; 0; r) su ”polo norte”. (a) Consideremos la curva (cuya trayectoria es un semimeridiano de azimut Á 2 R) ®Á : [0; ¼] 3 t 7! (r sen t cos Á; r sen t sen Á; r cos t) 2 M : i. Dado » =(1; 0; 0)p 2 T pM , hallar V» 2 X k®Á (M). Hallar el transporte paralelo de » de p = ®Á (0) a ® Á(¼) a lo largo de ®Á : ii. Dado ´ =(v1 ; v2; 0)p 2 TpM , hallar el transporte paralelo de ´ de p = ®0 (0) a ®0(¼) a lo largo de ®0: (b) Sean »; ´ 2 Tp M tales que j » j= j ´ j. Probar que existe un camino cerrado ® : [a; b] ! M con ®(a) = ®(b) = p tal que la imagen de » por el transporte paralelo hasta p a lo largo de ® es ´: 6.4.8
(Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia)
Sean M1 y M2 dos super…cies de E3 (con derivadas covariantes r1 y r 2) y sea ® : I ! E3 una curva tal que ®(I ) ½ M1 \ M 2. Supongamos V 2 X® tal que sea tangente a ambas super…cies a lo largo de ®. (a) Probar con un ejemplo que V puede ser r1 -paralelo (a lo largo de ®) y a la vez no ser r2 -paralelo (a lo largo de ®).
(b) Probar que, si M1 y M2 son tangentes a lo largo de ®, entonces V es r1-paralelo si y sólo si es r 2-paralelo. En particular, ® es geodésica de M1 si y sólo si es geodésica de M2.
6 EJERCICIOS 6.4.9
168
(Transporte paralelo y reparametrizaciones)
Sea M una super…cie de E3, sea ® : I ! M una curva regular y sea f : J ! I un cambio de parámetro de ®. Probar que: (a) Un campo de vectores V 2 X ®(M) es paralelo a lo largo de ® si y sólo si V ± f 2 X®±f (M) es paralelo a lo largo de ® ± f. (b) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a lo largo de una curva ® que los une es el mismo que a lo largo de cualquier reparametrización de ® que preserve la orientación. (c) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a lo largo de una curva ® que los une es el inverso del transporte paralelo de q a p a lo largo de cualquier reparametrización de ® que invierta la orientación. 6.4.10
(Isometrías e isometrías locales 2)
(a) ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones à son isometrías locales?: i. F : S2(1) 3 p 7! 2p 2 S2 (2), donde S2 (r) es la esfera de radio r de E3 centrada en el origen. ii. F : S2(r) 3 p 7! ¡p 2 S2 (r) . iii. F : M 3 (x1; x2; x3 ) 7! ((a+ b xr1 ) cos x3; (a +b xr1 )senx3; b xr2 ) 2 ¹ ; siendo M ½ 2 2 2 M := f(x1; x2; x3 ) 2 E3 j xp 1 + x2 = r g (cilindro) ¹ := f(x1; x2; x3 ) 2 E3 j ( x21 + x22 ¡ a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g (toro) M
(b) Sean los cilindros de E3 ½ M := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r 2g ¹ := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = ¸2 r2 ; ¸ > 0g : M
¹ , probar que i. Dada una aplicación diferenciable F : M ! M 1 F no puede ser una isometría local si ¸ 6= n ; con n 2 Z+. ¹ no pueden ser isométricos si ¸ 6= 1. ii. Probar que M y M iii. Probar que, para todo ¸ > 0, existen abiertos U de M y U de ¹ que son isométricos (recordar el Teorema de Minding). M (c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 = x2 cos x3 g un helicoide ¹ la super…cie de revolución de E3 generada (Ejercicio 6.2.6) y M (notaciones como en el Ejercicio 6.2.7) por Im ® (supuesta en el plano x1x3) al girar en torno al eje x3, siendo ® : (0; 1) ! E2 la curva dada por ®(t) := (t; log t). Encontrar un difeomor…smo
169
6 EJERCICIOS
¹ que preserva la curvatura de Gauss pero entre abiertos de M y M que no es una isometría. Concluir que el ”recíproco” del teorema egregio de Gauss (Proposición 3.26(2)) no es cierto. 6.4.11
(Super…cies simétricas respecto de un plano)
Sea M una super…cie de E3 que es simétrica por re‡exión respecto de un plano afín ¦. (a) Probar que toda geodésica de M que pase por un punto de ¦ y tenga allí una velocidad tangente a ¦ está necesariamente contenida en ¦. A partir de ahora, supóngase que la intersección ¦ \ M es la imagen de una curva regular ° : [0; L] ! M tal que °(0) = °(L) (puede utilizarse, sin necesidad de demostración, que, en estas condiciones, ¦ no es nunca tangente a M ). (b) Sea º cualquier elección de normal unitaria (local) a M . Probar que º ± ° es tangente a ¦. (c) Probar que ° de…ne una línea de curvatura. A partir de ahora, supóngase que j°0 j = cte:
(d) Probar que ° es geodésica. (e) Probar que ° 0 (0) = ° 0 (L). 6.4.12
(Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un paraboloide de revolución)
Considérese el paraboloide (elíptico) de revolución M de E3 de…nido por la ecuación 2z = x2 + y2 . Sea la curva ® : [0; 2¼] 3 t 7! (½0 cos t; ½0 sent;
½20 )2M ; 2
donde ½0 > 0 es una constante. (a) ¿Puede alguna reparametrización de ® ser geodésica de M ? (b) Calcular la curvatura de Gauss de M . (c) Determinar todas las geodésicas de M que pasan por el origen o = (0; 0; 0).
6 EJERCICIOS
170
(d) Demostrar que toda isometría F : M ! M veri…ca F (Im ®) = Im ® y, en particular, deja …jo el punto o. (e) Denótese p = ®(0) = ®(2¼). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®. 6.4.13
(Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva)
Sean M una super…cie y P un plano de E3 . Supóngase que M \ P = Im ®, donde ® : [0; 1] ! E3 es una curva regular, parametrizada por la longitud de arco y tal que ®(0) = ®(1). Supóngase además que M y P son tangentes a lo largo de ®. (a) Probar que ® de…ne una línea de curvatura y asintótica de M . (b) Probar que los puntos de Im ® son puntos parabólicos o planos de M. (c) Denótese p = ®(0) = ®(1). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®. (d) ¿Es posible que ® sea geodésica de M ? (e) Poner un ejemplo concreto de M , P y ®. 6.4.14
(Carácter de los puntos de una super…cie 2)
Sea p un punto de una super…cie M de E3. Estudiar las implicaciones lógicas que existen entre las siguientes a…rmaciones, dando una demostración (si se piensa que la posible implicación es cierta) o un contraejemplo (si se piensa que es falsa): (a) El punto p es un punto plano de M . (b) Por p pasan tres (segmentos de) rectas distintas contenidas en M . (c) Todas las geodésicas de M que pasan por p son no-alabeadas a su paso por p. (d) La curvatura de Gauss de M en p es nula.
6 EJERCICIOS 6.4.15
171
(Super…cie de Schwarzschild)
Sea ¹ un Considérese la curva plana ® : (2¹; 1) 3 p número real positivo. 2 ½ 7! (2 2¹(½ ¡ 2¹); ½) 2 E . (a) Calcular la curvatura ·® de ®.
(b) Probar que el subconjunto M de E3 obtenido al girar la imagen de ® en torno al eje x1 es una super…cie. Encontrar una parametrización local en torno a cada punto de M . (c) Calcular los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en la carta asociada a la parametrización anterior. (d) Calcular la curvatura de Gauss de M y clasi…car los puntos de M . (e) Estudiar si ® es geodésica de M , si de…ne una línea de curvatura de M y si de…ne una línea asintótica de M . (f) Encontrar una base de campos (a lo largo de ® y tangentes a M ) paralelos (respecto de la derivada covariante en M ). La super…cie ”de Schwarzschild” M es la versión 2-dimensional de ciertos conjuntos de simultaneidad en la descripción relativista del sistema solar; el parámetro ¹ representa una longitud característica relacionada con la masa del sol.
REFERENCIAS
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Referencias [1] A. M. Amores. Curso básico de curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001. [2] T. M. Apostol. Análisis matemático. Reverté, 1979. [3] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Ejercicios de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 1998. [4] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Notas de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001. [5] M. P. do Carmo. Geometría diferencial de curvas y super…cies. Alhambra, 1990. [6] J. E. Marsden. Elementary classical analysis. Freeman, 1974. [7] W. S. Massey. Introducción a la topología algebraica. Reverté, 1972. [8] J. A. Thorpe. Elementary Topics in Di¤erential Geometry. Springer, 1979.