UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA Y METALÚRGICA ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍIA DE MINAS
1ERA MONOGRAFÍA
CALCULO DE VARIOGRAMA PROMEDIO CURSO: GEOESTADISTICA I
HUALÁN YUPANQUI, JHON CHRISTIAN PROFESORES: PhD. ALFREDO MARIN SUAREZ ING. AUGUSTO TEVES ROJAS Lima - Perú Octubre, 2015
Este trabajo lo dedico a mis padres y hermanos que con sus palabras de apoyo me motivan a seguir estudiando.
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INTRODUCCIÓN
El estudio de fenómenos con correlación espacial, por medio de métodos geo estadísticos, surgió a partir de los años sesenta, especialmente con el propósito de predecir valores de las variables en sitios no muestreados. Como antecedentes suelen citarse trabajos de Sichel (1947; 1949) y Krige (1951). El primero observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en las minas surafricanas, la equiparó a una distribución de probabilidad lognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitió una primera estimación de las reservas, pero bajo el supuesto de que las mediciones eran independientes, en clara contradicción con la experiencia de que existen “zonas” más ricas que otras. Una primera aproximación a la
solución de este problema fue dada por geólogo G. Krige que propuso una variante del método de medias móviles, el cual puede considerarse como el equivalente al krigeado simple que, como se verá más adelante, es uno de los métodos de estimación lineal en el espacio con mayores cualidades teóricas. La formulación rigurosa y la solución al problema de predicción (estimación en muchos textos geoestadísticos) vinieron de la mano de Matheron (1962) en la escuela de minas de París. En los años sucesivos la teoría se fue depurando, ampliando su campo de validez y reduciendo las hipótesis necesarias (Samper y Carrera, 1990). De la minería las técnicas geoestadísticos, se han "exportado" a muchos otros campos como hidrología, física del suelo, ciencias de la tierra y más recientemente al monitoreo ambiental y al procesamiento de imágenes de satélite.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
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1.- FORMULACION DEL PROBLEMA
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2.- FUNDAMENTO TEORICO
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3.- DEFINICIÓN DE VARIABLES
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4.- DIAGRAMA DE FLUJO
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5.- ALGORITMO
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6.- CODIFICACIÓN
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7.- CORRIDA DEL PROGRAMA, RESULTADOS
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8.- ANÁLISIS Y COMENTARIOS
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9.- CONCLUSIONES
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10.- RECOMENDACIONES
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11.- BIBLIOGRAFÍA
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1.- FORMULACION DEL PROBLEMA El siguiente trabajo tiene como objetivo calcular el variograma promedio de una red bidimensional de longitudes a y b para diferentes casos mediante el modelo esférico asumiendo valores para las constantes del modelo C y a. el valor h será hallando para los 5 casos siguiendo una relación geométrica de distancias entre puntos de la red bidimensional.
2.- FUNDAMENTO TEORICO EL VARIOGRAMA El Variograma es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una variable sobre una zona dada y modela como dos valores en el espacio se ponen en correlación. Es un estimador de la varianza poblacional, por lo tanto debe tener una tendencia de estacionaridad y es un soporte para las técnicas del Kriging ya que permite representar cuantitativamente la variación de un fenómeno regionalizado en el espacio. El variograma está relacionado con la dirección y la distancia (h). El variograma se ve limitado porque es un estadístico de dos puntos y además porque es extremadamente sensible a valores extremos. El variograma está formado por los siguientes elementos:
Fuente: Geoestatistics for Natural Resources Evaluation, Goovaerts Autor: Evelyn Véliz
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¿Por qué determinar tal ecuación? Porque, en las diversas aplicaciones Geoestadística, por ejemplo, la estimación de la variable en un punto a través del krigeaje necesita de la utilización del semivariograma que contenga información en todos los puntos de análisis y este dato lo puede proporcionar sólo el variograma teórico, además es evidente que el trabajo se tornará más confiable, óptimo y cómodo de trabajar con una ecuación que con datos brutos. De la serie de variogramas teóricos, se tiene que escoger aquel que se ajuste mejor a nuestro variograma experimental, sobre todo en las proximidades del origen porque es la zona más confiable del variograma. Existen muchos métodos de modelos teóricos para fines de este trabajo se trabajar ay describirá el modelo esférico
MODELO ESFÉRICO
En este modelo, La intersección de la tangente en el origen, h=0, con la meseta se sitúa a 2/3 del alcance. Demostraremos la validez de esta relación: La ecuación de la tangente T , en h = 0. Derivando con respecto a h se obtiene:
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3.- DEFINICIÓN DE VARIABLES Las variables utilizadas en este problema son:
h : distancia entre punto y punto γ (h) : Variograma de h
Z(x) : Punto o valor en la posición X Z(x+h) : Punto o valor en la posición X+h a : Alcance del Modelo Esférico C : constante del Modelo Esférico
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4.- DIAGRAMA DE FLUJO INICIO ELEGIR TIPO DE VARIOGRAMA (A O B)
INGRESO DE DATOS C (constante) a alcance
¿C y a óptimos ?
CALCULO DE LAS DISTANCIAS h y VARIOGRAMAS v
CALCULO DE LOS VARIOGRAMAS PROMEDIOS VPG
RESULTADO CURVAS TIPO A
RESULTADO CURVAS TIPO B
FIN
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5.- ALGORITMO Dependiendo del tipo de grafico vamos a tomar los h para luego hallar calcular los VPG (variograma promedio general) según la dirección de ordenamiento.
C E
A
B
D
6.- CODIFICACIÓN Código creado en el programa Matlab R2015a:
6.1.- TIPO A clc; clear; disp('PROGRAMA PARA HACER UN VARIOGRAMA PROMEDIO' ); disp('TIPO A'); disp('%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%' ); disp('%%%para una malla de 5x5 datos%%%' ); disp('%%%para un modelo esferico%%%') a=[0:5]; b=[0:5]; c=input('ingresar la constante C = ' ); alcance=input('ingresar el alcance a = ' ); %%%%%%PROCEDIMIENTO%%%%% a1=length(a); b1=length(b); for a=1:a1 for b=1:b1 rx=zeros(a,b); ry=zeros(a,b); r=zeros(a,b); for i=1:a for j=1:b ry(i,j)=ry(i,j)+j; rx(i,j)=rx(i,j)+i; end end
7 h=ones(a,b); for p=1:a for q=1:b h(p,q)=h(p,q)*(sqrt(((a-rx(p,q))^2)+(ry(p,q)-1)^2)); end end v=zeros(a,b); for l=1:a for k=1:b if h(l,k)==0 v(l,k)=(c*((((3/2)*(h(l,k)/alcance))((1/2)*((h(l,k)/alcance)^3))))); end if h(l,k)<=alcance v(l,k)=(c*((((3/2)*(h(l,k)/alcance))((1/2)*((h(l,k)/alcance)^3))))); else v(l,k)=c; end end end %FUNCION VARIOGRAMA PROMEDIO GENERAL VPG(a,b)=((sum(sum(v)))/(2*a*b)); end end %CURVAS ISOVALORICAS figure(1) [x,y]=meshgrid(0:5); z=VPG; [c1,h1]=contour(x,y,z,20), axis square; clabel(c1,h1); title('CURVAS ISOVALORICAS PARA LA FUNCION TIPO A' ); grid on; shg;
6.2.- TIPO B clc; clear; disp('PROGRAMA PARA HACER UN VARIOGRAMA PROMEDIO' ); disp('TIPO B'); disp('%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%' ); disp('%%%para una malla de 5x5 datos%%%' ); disp('%%%para un modelo esferico%%%') a=[0:5]; b=[0:5]; y=[0:5]; c=input('ingresar la constante C = ' ); alcance=input('ingresar el alcance a = ' );
8 %%%%%%PROCEDIMIENTO%%%%% a1=length(a); b1=length(b); for a=1:a1 for b=1:b1 rx=zeros(a,b); ry=zeros(a,b); r=zeros(a,b); end for i=1:a for j=1:b ry(i,j)=ry(i,j)+j; rx(i,j)=rx(i,j)+i; end end h=ones(a,b); for p=1:a for q=1:b h(p,q,y+1)=h(p,q).*(sqrt((((a-y)-rx(p,q)).^2)+(ry(p,q)1).^2)); end end v=zeros(a,b); for l=1:a for k=1:b if h(l,k,y+1)==0 v(l,k,y+1)=v(l,k)+(c.*((((3/2).*(h(l,k,y+1)./alcance))((1/2).*((h(l,k,y+1)./alcance).^3))))); end if h(l,k,y+1)<=alcance v(l,k,y+1)=v(l,k)+(c.*((((3/2).*(h(l,k,y+1)./alcance))((1/2).*((h(l,k,y+1)./alcance).^3))))); else v(l,k,y+1)=v(l,k)+c; end end %FUNCION VARIOGRAMA PROMEDIO GENERAL A1=v(:,:,1); A2=v(:,:,2); A3=v(:,:,3); A4=v(:,:,4); A5=v(:,:,5); A6=v(:,:,6); VPG=(A1+A2+A3+A4+A5+A6)./(2*a*b) end end %CURVAS ISOVALORICAS
9 figure(2) [x,y]=meshgrid(0:5); z=VPG; [r1,s1]=contour(x,y,z,10), axis square; clabel(r1,s1); title('CURVAS ISOVALORICAS PARA LA FUNCION TIPO B' ); grid on; shg;
7.- CORRIDA DEL PROGRAMA, RESULTADOS Para C=5 y a=5: VPG = [ 0 0.3700 0.7200 1.0350 1.3000 1.5000
0.3700 0.6281 0.9163 1.1916 1.4285 1.6070
0.7200 0.9163 1.1531 1.3874 1.5907 1.7422
1.0350 1.1916 1.3874 1.5836 1.7525 1.8770
1.3000 1.4285 1.5907 1.7525 1.8904 1.9920
1.5000 1.6070 1.7422 1.8770 1.9920 2.0767]
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Para C=5 y a=5: VPG = [0.2500 0.2011 0.1750 0.1750 0.2011 0.2500
0.4167 0.2449 0.2220 0.2220 0.2449 0.4167
0.4167 0.3095 0.2938 0.2938 0.3095 0.4167
0.4167 0.3679 0.3606 0.3606 0.3679 0.4167
0.4167 0.4167 0.4045 0.4045 0.4167 0.4167
0.4167 0.4167 0.4167 0.4167 0.4167 0.4167]
Para C=6 y a=6: VPG = [ 0 0.3715 0.7292 1.0625 1.3611 1.6146 0.3715 0.6318 0.9285 1.2232 1.4947 1.7277 0.7292 0.9285 1.1754 1.4310 1.6711 1.8781 1.0625 1.2232 1.4310 1.6511 1.8597 2.0387 1.3611 1.4947 1.6711 1.8597 2.0382 2.1897 1.6146 1.7277 1.8781 2.0387 2.1897 2.3174]
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Para C=4 y a=3: VPG = [ 0 0.4815 0.8889 1.1667 1.3333 1.4444 0.4815 0.8088 1.1268 1.3451 1.4761 1.5634 0.8889 1.1268 1.3641 1.5231 1.6185 1.6821 1.1667 1.3451 1.5231 1.6423 1.7139 1.7615 1.3333 1.4761 1.6185 1.7139 1.7711 1.8092 1.4444 1.5634 1.6821 1.7615 1.8092 1.8410]
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Para C=6 y a=6: VPG = [ 0 0.3715 0.7292 1.0625 1.3611 1.6146 0.3715 0.6318 0.9285 1.2232 1.4947 1.7277 0.7292 0.9285 1.1754 1.4310 1.6711 1.8781 1.0625 1.2232 1.4310 1.6511 1.8597 2.0387 1.3611 1.4947 1.6711 1.8597 2.0382 2.1897 1.6146 1.7277 1.8781 2.0387 2.1897 2.3174]
8.- ANÁLISIS Y COMENTARIOS -
Se obtienen los variogramas promedios para cada coordenada de a y b entre 5x5 en los gráficos a y b.
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El variograma promedio se puede definir como el promedio ponderado de los variogramas individuales tomando en cuenta el número de parejas.
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9.- CONCLUSIONES -
Lo que se busca con esta monografía es desarrollar en Abaco de la función auxiliar F de Matheron.
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El Variograma es demasiado sensible a valores extremos es por ello el cambio en la gráfica.
10.- RECOMENDACIONES -
En el tema de software otra manera de hacerlo es exportar los datos h, VPG al programa surfer 10 y poder hacer las curvas isovaloricas.
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Para el grafico de las curvas TIPO B se debe elegir un valor “C y a” cercanos a las dimensiones de la columna o fila para así visualizar las curvas isovaloricas.
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Generar más no es conveniente ya que no se aprecia el valor de estas en la imagen, para esta monografía se dibujó solo 20 curvas en ambas.
11.- BIBLIOGRAFÍA -
Apuntes de clases de Geoestadística I del Ph.D Marín Suarez Alfredo.
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Apuntes de clases de Geoestadística I del Ing. Tevez Rojas Augusto.
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HOLLY MOORE. Matlab para Ingenieros. Edición 2007. Editorial Pearson Educación-México
