GAMBAR FUZZY DAN RELASI
(Fuzzy Graph and Relation)
TUGAS
Program Magister Pendidikan Matematika
OLEH Sharikha Al Musthashrikha
P2A917001
Rio Dwi Saputra
P2A917007
Gesela Marisa
P2A917012
Debby Arisandy
P2A917033
Riana Teofani
P2A917038
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI MARET, 2018
BAB IV GAMBAR FUZZY DAN RELASI
Berdasarkan konsep hubungan fuzzy yang dijelaskan pada bab sebelumnya, kami mengenalkan grafik fuzzy dan topic terkaitnya. Kami juga akan mengembangkan karakteristik hubungan fuzzy dan studi berbagai jenis hubungan fuzzy. Konsep homomorfisme fuzzy dan homomorfism kuat juga diperkenalkan. 4.1 Grafik Fuzzy 4.1.1
GrafikGrafikdanGrafik
Definisi (Grafik) Grafik G didefinisikan sebagai berikut. G = (V, E) V : Set vertices. vertices. Sebuah vertices juga vertices juga disebut simpul atau elemen. E : Set edges. edges. Sebuah edges adalah edges adalah sepasang (x, y) dari vertices di vertices di V. Grafik adalah struktur data yang mengekspresikan hubungan
Saat pasangan
(x,y) didefinisikan, pasangan ini disebut edge dengan edge dengan arah dan kita memanggilnya grafik terarah. Bila pesanan tidak diijinkan, kami menyebutnya grafik tidak diarahkan. Jalurdari x ke y adalah satu set edge bila edge terus menerus (x, a1), (a1, a2), (a2, a3), ..., (an, y) ada. Panjang jalur adalah jumlah edge di jalan ini. Bila ada jalur dari simpul a sampai b di G, a dan b dikatakan terhubung. Jika semua
pada grafik G terhubung, grafik ini
dikatakan sebagai grafik terhubung. Saat menetapkan A dan B diberikan (termasuk kasus A = B), ayo kita definisikan sebuah relasi tegas
.Untuk
, jika
, ada sebuah egde antara x dan y.
Dengan kata lain,
Disini diberikan relasi R adalah relasi fuzzy, dan keanggotaan fungsi memungkinkan nilai
menjadi antara 0 dan 1. Grafik tersebut disebut grafik fuzzy.
Definisi (grafik fuzzy)
V: Set simpul E : himpunan fuzzy tepi antara simpul Kita bisa memikirkan himpunan V yang merupakan himpunan fuzzy. Dalam hal ini, kita mengatakan grafik ini merupakan hubungan fuzzy dari node fuzzy, dan dapat didefinisikan sebagai berikut.
Dalam buku ini, kitaganti 4.1.2
dengan G = (V, E) untuk kenyamanan.
Grafik Fuzzy danHubungan Fuzzy
Grafik fuzzy merupakan ekspresi hubungan fuzzy dan dengan demikian grafik fuzzy tersebut sering dinyatakan sebagai matriks fuzzy. Contoh 4.1. Gambar 4.1 menunjukkan contoh grafik fuzzy yang digambarkan sebagai matriks
hubungan fuzzy MG.
Gambar 4.1.Grafik fuzzy
Contoh 4.2. Sebagai contoh, mari menjadi R* bilangan real non negatif. Untuk
dan
, relasi R* didefinisikan sebagai,
Gambar 4.2. Grafik fuzzy y ≈ x Simbol ≈ mewakili "dekat" (Gambar 4.2). Contoh 4.3. Asumsikan bahwa ada relasi A {a1, a2, a3}, dan fuzzy yang ditetapkan R
didefinisikan dalam A x A. Relasi fuzzy R diilustrasikan padaGambar 4.3 (a). Di sosok, kegelapan warna berarti kekuatan relasi. Hubungan (a,b) lebih kuat daripada hubungan (a,c). Hubungan grafik fuzzy ditunjukkan pada Gambar 4.3 (b). Disini kekuatan relasi ditandai oleh ketebalan garis.\
(a) Relasi fuzzy R
(b) Grafik fuzzy
Gambar 4.3. Relasi fuzzy dan grafik fuzzy
Contoh 4.4. Bila relasi fuzzy didefinisikan oleh fuzzy matriks berikut, grafik fuzzy yang sesuai
ini dapat digambarkan pada Gambar 4.4. Perhatikan ketebalan tepi merupakan kekuatan relasi.
Gambar 4.4. Grafik fuzzy Jika kita membuat fungsi pemetaan
mewakili himpunan A yang sesuai, kita mendapatkan
himpunan fuzzy berikut dari hubungan fuzzy ini. Artinya, kita dapatkan himpunan fuzzy baru di himpunan B oleh himpunan A dan hubungan fuzzy R.
Contoh 4.5. Gambar 4.5 mungkin dianggap gambar yang diterima oleh kamera. Gambar ini
digambar pada koordinat dua dimensi. Jika kita asosiasikan hubungan fuzzy kegelapan koordinat masing-masing, sosok ini bisa jadi setara dengan grafik fuzzy.
Gambar 4.5. Grafik fuzzy dengan gambar
dengan
Juga Gambar 4.6 adalah untuk koordinat dua dimensi dan kita juga bisa mengaitkan tingkat keanggotaan
untuk kekegelapan disetiap titik (x, y).
Gambar 4.6. Grafik fuzzy dengan koordinat Contoh 4.6. Kapan bilangan real, misalkan
didefinisikan sebagai berikut, untuk
Hubungan ini diungkapkan oleh gambar biasa (Gambar 4.7 (a)). Dan jika
relasi diwakili oleh grafik sepert iGambar 4.7 (b). Intensitas dari relasi (x,y) diwakili oleh kegelapan warna.
Gambar 4.7. Grafik fuzzy
4.1.3
a-cut dari Grafik Fuzzy
Pada bab sebelumnya, kita belajar tentan grelasi fuzzy a-cut. ini alami untuk memperpanjang konsep ini ke grafik fuzzy. Contoh 4.7. Misalnya, untuk A {a, b, c},
didefinisikan sebagai berikut.
Untuk set level {0, 0.4, 0.8, 1}, jika kita menerapkan operasi a-cut, kita juga bisa menunjukkan hubungan crisp dan grafik yang sesuai pada Gambar 4.8. Jika kita menunjukkan grafik dari a-cut sebagai Ga, hubungan berikut antara a dan Ga bertahan.
Gambar 4.8. a-cut pada grafik fuzzy
Contoh 4.8. Ada relasi yang didefinisikan sebagai berikut:
Tunjukkan representasi grafis R dan relasi a-cut R 0.5 pada a = 0.5.
Gambar 4.9 dan 4.10
menunjukkan R dan R 0.5. Kepadatan kegelapan mewakili derajat keanggotaan. Contoh 4.8 Ada relasi yang didefinisikan sebagai berikut:
R (x, y) = x/2 + y 1. Tunjukkan gambaran grafis R dan relasi α-cut R 0.5 pada α = 0.5 Gambar 4.9 dan 4.10 menunjukkan R dan R 0.5. Densitas kegelapan mewakili derajat keanggotaan.
Gambar 4.9. Bentuk grafis R
Gambar 4.10. Gambaran grafisR 0.5
Contoh 4.9 Tunjukkan himpunan A dan relasi R berikut.
i) A (x) = x ii) R (x,y) = x+y ≤ 1, x ∈ A, 0 ≤ y ≤ 1. Himpunan A dan R ditunjukkan pada Gambar 4.11, 4.12.
Gambar. 4.11. Himpunan A(x)= x
Gambar. 4.12. Relasi A(x,y)= x+y 1 , x ∈ A.
Contoh 4.10 Terdapat himpunan A
⊂ ℜ
dimana
ℜ adalah himpunan bilangan real dan x ∈ ℜ.
A={ x | x mendekati 2k , k = -1,0, 1,2,….}. Fungsi keanggotaan dari himpunan A didefinisikan dengan A(x) = Max[0, cosx].
i)
Tunjukkan gambaran grafis dari A (Gambar 4.13).
ii) Tunjukkan α-cut set A pada α = 0,5 (Gambar 4.14). iii) Tunjukkan relasi yang didefinisikan sebagai berikut: R={(x,y) | y=cos x 0, x ∈ A} (Gambar 4.15). iv) Tunjukkan relasi -cut dari R pada =0.5 (Gambar 4.16). v)
Tunjukkan himpunan yang didefinisikan oleh
B(y)=
cosx, x ∈ A. Himpunan B ini
adalah himpunan yang disebabkan oleh R dan A. (Gambar 4.17). vi) Tunjukkan relasi yang didefinisikan sebagai berikut:
R (x,y)=Max[0, sinx] , x ∈ A (Gambar 4.18). Solusinya diberikan pada Gambar 4.13 - 4.18. Dalam angka, derajat keanggotaan diwakili oleh densitas kegelapan.
Gambar 4.13. Himpunan A(x)=cosx 0
Gambar 4.14. Himpunan -cut A0.5
Gambar 4.15. Relasi R (x,y)=cosx.
Gambar 4.16. Relasi α-cut R 0.5
Gambar 4.17.
B(y)=cos x, x ∈ A.
Gambar 4.18.
R (x,y)=max[0, sinx]
4.1.4 Jaringan Fuzzy ( F uzzy Network )
Umumnya graf berarah yang dihubungkan dinamai sebagai jaringan. Jaringan ini mungkin akan di fuzzifikasi seperti grafik fuzzy. Hal ini dapat dilakukan dengan memberikan batasan fuzzy ke rusuk/edge dan simpul/node (Gambar 4.19). Definisi (Lintasan dengan simpul fuzzy) Misalkan V adalah crisp set simpul and R adalah
relasi yang didefinisikan pada himpunan V . Jaringan dari simpul ke oleh ditunjukkan dengan
= ( , , ... , ), ∈ V , k = 1, 2, ... , r dimana
∀( , ), R ( , ) > 0, k = 1, 2, ... , r-1 Kita definisikan nilai fuzzy l untuk lintasan C i dengan l ( , , ... , ) = R ( , ) ∧
R ( , ) ∧ ... ∧ R ( , )
Nilai ini untuk kemungkinan minimum menghubungkan dari ke . Jika ada beberapa lintasan dari ke , maka kemungkinan himpunan lintasannya adalah C ( xi , x j) = {c( xi, x j) | c( xi, x j) = (
= xi, , ... , = x j)}
di antara lintasan yang mungkin, nilai intensitas maksimum lintasab l * disimpulkan sebagai,
l * ( xi, x j) =
∨
(
,
= xi, , ... , = x j)
Definisi (Lintasan dengan simpul fuzzy dan rusuk fuzzy) Anggap himpunan fuzzy V dari
simpul dan rusuk R. Maka lintasan C i dari ke adalah, C i = ( , , ... , ),
∈ V , k = 1, 2, ... , r
dimana,
∀( , ), R ( , ) > 0, k = 1, 2, ... , r-1 ∀ , V ( ) > 0, k = 1, 2, ... , r Nilai dari lintasan ini adalah l ( , , ... , )
= R( , ) ∧ R ( , ) ∧ ... ∧ R ( , ) ∧ V ( ) ∧ V ( ) ∧ ... ∧
V ( ) Jika ada lebih dari satu lintasan yang membentuk
ke
,
kita bisa mendapatkan
rangkaian lintasan dan intensitas maksimum lintasan dengan cara yang sama. 4.2 Karakteristik Relasi Fuzzy
Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari relasi
refleksif, simetris dan transitif. Tujuan
utama kami adalah mengembangkan fitur seperti itu untuk relasi fuzzy. Kita asumsikan bahwa relasi fuzzy R didefinisikan pada A x A. 4.2.1 Reflexive Relation
Untuk semua x ∈ A, jika R( x, x) = 1, kita sebut relasi ini refleksif. Contoh 4.8 Misalkan, untuk himpunan A
= {2, 3, 4, 5} terdapat relasi yang sedemikian rupa
sehingga : Untuk x, y ∈ A, “ x adalah dekat dengan y” Mengenai relasi ini, bila x
= y, relasinya benar-benar terpenuhi dan dengan demikian R( x,
x) = 1. Mari kita tunjukkan refleksif ini dalam matriks seperti berikut ini.
(a) Jaringan fuzzy (rusuk)
(b) Jaringan fuzzy (simpul, rusuk)
Gambar 4.19. Jaringan fuzzy
Jika ∃ x ∈ A, R( x, y)≠ 1, maka relasi ini disebut “ irreflexive ” dan jika maka disebut “ antireflexive ”.
∀ x ∈ A, R( x, y) ≠ 1,
4.2.2 Hubungan simetris
bila hubungan
fuzzy R didefinisikan pada
A x A, itu disebut simetris jika itu
memenuhi kondisi berikut.
∀, ∈ (x,y) = → (x , y) = Jika kita mengungkapkan hubungan simetris ini sebagai matriks, kita mendapatkan simetris matriks. Jadi kita dengan mudah melihat bahwa hubungan kita sebelumnya "X dekat dengan y" adalah hubungan simetris Kita mengatakan "antisimetris" untuk kasus berikut.
∀, ∈ , ≠ (x,y) ≠ (y,x) or (x,y) = (x,y)=0 Kita juga bisa mendefinisikan konsep "asimetris" atau "nonsimetri" sebagai berikut.
∃ , ∈ , ≠ ( x,y)≠ ( y, x) "Antisimetri sempurna" dapat dianggap sebagai kasus khusus antisimetri yang memuaskan:
∀ ( x , y) ∈ , ≠ ( x, y ) > 0 → ( y , x ) = 0 Contoh 4.9 Ini adalah contoh hubungan antisimetris sempurna
4.2.3 Hubungan Transitif
Hubungan transitif didefinisikan sebagai,
∀ , , , , , ∈ (x , z) Max [ Min ( ( x, y), ( y, z))] Jika kita menggunakan simbol ⋁ untuk Max dan ⋀ untuk Min, kondisi terakhir menjadi.
( x ,z) ∨ [ ( x, y ) ⋀ ( y , z )] Jika
relasi
fuzzy
R
diwakili
oleh
matriks
fuzzy
,
kita
sisi kiri pada rumus di atas sesuai dengan MR dan yang kanan ke adalah,
sisi
kanan
identik
dengan
komposisi
relasi
R
itu
tahu
.
sendiri.
itu
Bahwa
Sehingga
Kondisi sebelumnya menjadi,
or R ⊇ Contoh
4.10
Mari
kita
lihat
relasi
matrik
matriks
fuzzy
diperoleh dengan operasi komposisi Max-Min (Gambar 4.20).
Gambar 4.20. Hubungan fuzzy (hubungan transitif)
dan
itu
Untuk
menyelidiki
apakah
ini
adalah
hubungan
transitif
atau
tidak,
kita
harus
periksa semua elemen di dan Sebagai contoh, untuk ( a, a ), kita punya ( a, a ) Untuk ( a, b), ( a, b) kami melihat
( a, a)
( a, b)
atau
R
⊃
Oleh karena itu, hubungan fuzzy R ini memiliki
karakteristik transitif. 4.4 Tr ansitive Closure
Seperti yang telah kita sebut relasi kabur dilambangkan dengan matriks M R, matriks kabur
yang sesuai R2 harus dihitung dengan perkalian M R.
Relasi transitif disebut
⊇ dan dengan demikian antara antara M R dan berlaku
Kemudian, relasi R
⊇ R3 akan
terpenuhi dan dengan metode generalisasi yang kita ketahui
⊇ = 1, 2, 3 … dari sifat closure, maka transitive closure R adalah,
∞ = ∪ ∪ ∪ … Umumnya, jika kita terus mengalikan matriks kabur (yaitu komposisi relasi), persamaan berikut ini berlaku.
= + , dimana ⊆ × dan kardinalitas A adalah n. Jadi, ∞ didapat
∞ = ∪ ∪ ∪ … ∪ ,
Contoh 4.11
Ada R, R2, R3 yang ditunjukkan oleh matriks sebagai berikut.
Disini M R
jadi R ⊇ R2 dan relasi transitif terbukti. Karena
=
, kita tahu
= ... .Oleh karena itu, transitive closure harus ∞ = ∪ atau = . =
Perhatikan bahwa jumlah operasi "+" berarti operator Max ditunjukkan pada (bagian 3.3.3).
4.3 Klasifikasi Relasi Kabur
Disini kita mengkaji konsep kesetaraan, kesesuaian, pre-order dan relasi order pada relasi kabur. Kita asumsikan relasi R didefinisikan pada A × A. 4.3.1 Kesetaraan Relasi Kabur
Definisi : Jika relasi kabur R
⊆
A
×
A memenuhi kondisi berikut, kita menyebutnya "kesetaraan relasi
kabur" atau "kesamaan relasi."
i)
Relasi refleksif
ii)
Relasi simetris
iii)
Relasi transitif
Contoh 4.12
Ayo pertimbangkan relasi kabur yang dinyatakan dalam matriks berikut. Karena relasi ini bersifat refleksif, simetris dan transitif, maka kita melihat bahwa itu merupakan kesetaraan relasi kabur (Gambar 4.21).
Dengan menggunakan relasi kesamaan ini, kita bisa melakukan tiga aplikasi berikut. (1) Himpunan Partisi Sama seperti himpunan crisp A yang dipartisikan menjadi himpunan bagian A1, A2, .... oleh relasi ekuivalen, himpunan kabur A juga bisa dilakukan partisi. Contoh 4.13
(Gambar 4.22) menunjukkan sebuah partisi A dengan relasi R. Pada titik ini, kesetaraan relasi kabur berlaku di kelas A1 dan A2, namun tidak antara A1 dan A2.
(2) Partisi oleh -cut Jika
-cut dilakukan pada relasi kabur, kita mendapatkan relasi crisp. Dengan melakukan -cut
pada kesetaraan relasi kabur, kita mendapatkan kesetaraan relasi kabur crisp dan dengan demikian himpunan A dapat dipartisi. Misalnya, jika sebuah partisi dilakukan pada himpunan A menjadi himpunan bagian A1, A2, A3, ...., kesamaan antara unsur-unsur di Ai tidak kurang dari . Relasi ekuivalen -cut R didefinisikan oleh α
, = 1 , , ∀ , ∈ = 0 dan sebaliknya
-cut pada α1 di bagian {α1, α2, ...}, partisi dengan cara ini atau / . Dengan cara yang sama, kita mendapatkan
Jika kita menerapkan dilambangkan dengan
dengan cara -cut. Kemudian, kita tahu jika 1
2, 1 ⊆ 2 dan kita dapat mengatakan bahwa lebih halus dari
Contoh 4.13 Partisi pohon menunjukkan beberapa partisi dengan menerapkan
= 0.5,
(Gambar 4.23). Misalnya, jika kita
kelas kesamaan diperoleh sebagai {a, b}, {d}, {c, e, f} yang memiliki
unsur derajat tidak kurang dari 0,5.
/, )={{ a,b}, {d},{c,e,f}}
Gambar 4.2.3 partisi tiga
(3) Set sama dengan elemen x Jika hubungan kemiripan R didefinisikan pada himpunan A, elemen yang berhubungan dengan anggota sewenang-wenang x ∈ A dapat membentuk "setel sama dengan x". Tentu saja himpunan ini pasti kabur. Contoh 4.14 Mari kita lihat anggota d dalam hubungan kesamaan fuzzy yang sebelumnya diperkenalkan. Elemen yang membuat hubungan kemiripan dengan d adalah a, b dan d itu sendiri. Jika anggota ini dinyatakan sesuai dengan derajat kesamaan dengan d , kita bisa mendapatkan kelas kemiripan d . Dengan cara yang sama, menandai elemen yang mirip dengan elemen e sebagai himpunan fuzzy, hasil kelas kesamaannya. {(a, 0.4),(b, 0.4), (d 1)} Dengan cara yang sama, menandai element ke element sebagai himpunan fuzzy hasil kelas kesamaan. {(c,1), (e,1), (f, 0.5)} Jika
, 1 ⊆ 2 dan
kita dapat katakan itu sebagai
untuk
menemukan
. Contoh 4.13 pohon partisi memperlihatkan bentuk multiple partisi oleh α (gambar 4.23).
misalkan, jika kita mempunyai α=0.5, kesamaan kelas diperoleh sebagai {a,b}, {d }, {c, e, f }
yang unsur-unsur nya memiliki drajat kepercayaan tidak kurang dari 0,5 S(A/ R0.5) {{a, b}, {d }, {c, e, f }}
a b c d e f
a b 1.0 0.8 0.8 1.0 0.0 0.0 0.4 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0
c d 0.0 0.4 0.0 0.4 1.0 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 0.5 0.0
e f 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.5 0.0 0.0 1.0 0.5 0.5 1.0
(3) Himpunan sama dengan elemen x Jika hubungan kemiripan R didefinisikan pada himpunan A , elemen yang berhubungan dengan anggota x A dapat membuat "himpunan yang mirip dengan x ". Tentu saja himpunan ini adalah kabur (fuzzy). Contoh 4.14 Mari kita lihat anggota d dalam hubungan kesamaan fuzzy yang sebelumnya telah
diperkenalkan. Unsur pembuat hubungan kesamaan Dengan d adalah a , b dan d itu sendiri. Jika anggota ini dinyatakan sesuai dengan tingkat kesamaan dengan d , kita bisa mendapatkan kelas kemiripan dari d .
{,0.4,,0.4,, 1)}
Dengan cara yang sama, menandai elemen yang mempunyai mirip dengan elemen e merupakan himpunan fuzzy, hasil kelas kesamaan nya adalah
{,1,,1,,0.5} 4.3.2 Hubungan Kompatibilitas Fuzzy Definisi (hubungan kompatibilitas Fuzzy) Jika relasi (hubungan) fuzzy R di himpunan A
memenuhi kondisi seperti berikut, yang disebut "hubungan kompatibilitas fuzzy" atau "hubungan kemiripan". i.
Hubungan relatif
∈ ⇒ , = 1 ii.
Hubungan simetris
∀, ∈ × , = ⇒ , = Jika hubungan kompatibilitas fuzzy diberikan pada himpunan A , sebuah partisi dapat dilakukan dengan memprosesnya menjadi beberapa himpunan bagian. Himpunan bagian dari partisi ini disebut "kelas kompatibilitas fuzzy" dan jika kita menerapkan α – potong Hubungan kompatibilitas fuzzy, kita akan mendapatkan α - memotong relasi (hubungan) kompatibilitas crisp Rα. Himpunan A kelas kompatibilitas nya Ai dalam relasi ini didefinisikan oleh,
, = 1 ,
∀ , ∈
= 0 Contoh 4.15 (Gambar 4.24.) Adalah deskripsi dari cover yang dibuat oleh α-cut dan ekspresi
dari grafik yang tidak diarahkan. dengan bantuan kompatibilitas
{ a , b },
{ c , d , e },
{ d , e , f }
= 0,7
dan
potong, kita dapatkan kelas
kompatibilitas ini
meliputi
kelas
himpunan A. Perhatikan elemen d dan e jauh dari partisi karena mereka muncul dalam subset ganda. Urutan kelas kompatibilitas seperti itu membangun kompatibilitas covering tree seperti yang ditunjukkan pada (Gambar 4.25)
a b c d e f
a
b
1.0 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0
0.8 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
c
d
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.8 0.0 0.7
e
f
0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 0.0 0.8 0.7 1.0 0.7 0.7 1.0
Fig. 4.24. Compatibility relation graph
4.3.3 Hubungan Pre-Order Fuzzy Definisi (Hubungan pre-order Fuzzy ) diberikan hubungan fuzzy R dengan himpunan A , jika
diteruskan untuk semua ,
, ∈ , hubungan ini disebut Pre-Order Relasi
i)
hubungan refleksif
ii)
hubungan transitif
jika relasi tertentu bersifat transitif tapi tidak refleksif, relasi ini disebut "semi-pre-order" atau "preorder non-refleksif fuzzy". Contoh 4.16 Inilah hubungan semi-pre-order.
Jika fungsi keanggotaan mengikuti relasi ,
= 0 untuk semua x , kita gunakan istilah
"anti-refleksif fuzzy pre-order". Contoh 4.17 matriks memperlihatkan anti-refleksif fuzzy pre-order
4.3.4 Hubungan Fuzzy Order Definisi (hubungan fuzzy order) Jika relasi R memenuhi persyaratan sebagai berikut,
semua
, , ∈ , disebut relasi fuzzy order.
i.
Relasi Refleksi
ii.
Relasi Antisimetrik
iii.
Relasi Transitif
Contoh 4.18 Sebagai contoh, relasi yang ditunjukkan pada (Gambar 4.26) adalah sebuah relasi
fuzzy order Definisi (sesuai crisp order) Kita bisa mendapatkan hubungan yang sesuai dengan
crisp
R 1, dari pemberian relasi fuzzy order R dengan mengatur nilai fungsi keanggotaan sebagai berikut.
Contoh 4.19 Ada nya hubungan crisp yang sesuai, diperoleh dari hubungan fuzzy order seperti
yang diperkenalkan pada contoh sebelumnya (Gambar 4.27).
Jika relasi urutan hubungan fuzzy order adalah total order atau urutan linier, relasi fuzzy ini dinamakan sebagai "total fuzzy order ", dan jika Bukan, itu disebut "urutan parsial fuzzy".
Bila kondisi kedua dari relasi fuzzy order ditransformasikan menjadi "antisimetris sempurna", relasi fuzzy order menjadi perfek fuzzy order. (2’) Perfek Antisimetrik
Bila kondisi pertama (refleksivitas) tidak ada, tatanan fuzzy Relasi disebut "fuzz y strict order". Definisi (dominasi dan dominasi kelas) Dalam relasi fuzzy order, Jika ,
memegang, mari kita katakan bahwa x mendominasi y dan menunjukkan
> 0
. Dengan Konsep
ini, dua rangkaian fuzzy dikaitkan. i.
Yang
mendominasi
kelas
unsur x .
Dominasi
kelas
≥
yang
mendominasi x didefinisikan sebagai
ii.
Yang lainnya mendominasi kelas. Kelas didominasi ≤ dengan elemen didominasi oleh x didefinisikan sebagai,
Contoh 4.20 Mari pertimbangkan hubungan berikut ini (Gambar 4.28). Mendominasi kelas
unsur a dan b adalah,
Jika relasi order fuzzy seperti itu, batas atas hulu dari subset
A’ =
{ x , y } dapat diperoleh
dengan persimpangan fuzzy atau operasi Min dari mendominasi kelas
Contoh 4.21 Jika A’ = { a , b } pada contoh di atas, batas atas fuzzyseharusnya.
Dalam himpunan fuzzy yang menjelaskan batas atas { a , b }, karena b itu sendiri, d mungkin hanya satu batas paling atas. 4.4 Hubungan Fuzzy Lainnya 4.4.1 Hubungan Ordinal Fuzzy Definisi (Fuzzy ordinal relation) Jika relasi fuzzy R didefinisikan dalam A dan berikut ini
dihargai untuk semua ,
∈ , itu sesuai dengan relasi crisp order yang merupakan definisi dari
relasi ordinal fuzzy i.
Relasi reflektif
ii.
Relasi antisimetrik
iii.
Misalkan graf G R mewakili relasi crisp order yang sesuai, diperoleh dengan mengatur keanggotaan seperti pada sub bab 4.3.4.
kemudian, grafik diperoleh seperti G R tidak menghasilkan setiap sirkuit.
Contoh 4.22 Dalam hubungan fuzzy R dalam (Gambar 4.29), kita melihat bahwa adanya
circuit. Dari hubungan ini, jika kita mengatur derajat keanggotaan berdasarkan prosedur, maka sirkuit hilang seperti ditunjukkan pada (Gambar 4.30.)
a
b
c
d
e
a
1
1
0
0
1
b
0
1
0
1
1
c
1
1
1
0
0
d
0
0
0
1
0
e
0
0
0
0
1
Gambar. 4.30. Grafik sesuai dengan grafik fuzzy (Gambar 4.29.)
Contoh 4.23 Menerapkan fungsi ordinal dijelaskan pada bagian 3.2.5 untuk relasi R pada contoh
sebelumnya, kita mendapatkan perintah seperti di (Gambar 4.31.)
Gambar. 4.31. fungsi ordinal
4.4.2 Hubungan ketidaksamarataan
Kita telah melihat tiga kondisi untuk hubungan kesamaan. (1) hubungan refleksif (2) hubungan simetris (3) Transitif hubungan (Max - Min transitivity) Terutama, kita menulis transitivitas sebagai berikut, untuk , ,,, , ∈
×
, Max[Min , , ,]
Atau
, ∨ , ∧ , hubungan ketidaksamarataan mempertahankan posisi yang berlawanan dalam konsep kesamaan hubungan. Sebagai hasil menerapkan hubungan pelengkap R bukannya relasi R, kita dapat berpikir tentang transitivitas dari R. Untuk setiap , ∈ × , sejak , = 1 , , transitif dari R menjadi
, ∨ 1 , ∧ 1 ,
Bagian sebelah kanan dari relasi ini diubah oleh ̅ ∩
∪ , =
1 , ∧ ( 1 , ) = 1 , ∨ , Dengan konstan,
, ∨ 1 , ∨ , , ∧ , ∨ ,
sehingga properti ini disebut transitivitas dari Min - Max operasi.
Definisi
(hubungan
ketidaksamarataan)
Kita
dapat
ketidaksamarataan untuk kabur relasi R ⊆ × i)
hubungan Antiflexive
∈ ⇒ , = 0, ii)
hubungan simetris
Untuk ∀, ∈ × , , = , iii) Min - Max transitif hubungan
mendefinisikan
hubungan
untuk ∀, , , , ,
∈ × , , ∧ , ∨ ,
contoh 4.24 Mari kita pertimbangkan relasi R berikut ini.
a
b
c
d
a
0.0 0,2
0,3
0.0
b
0,2 0.0
0,3
0,2
c
0,3 0,3
0.0
0,3
d
0.0 0,2
0,3
0.0
Dalam hubungan ini R, kita dapat dengan mudah melihat itu adalah hubungan antiflexive dan simetris. Untuk memahami hubungan transitif Min - Max operasi, menyelidiki sepasang (a, b).Pertama, untuk
, = 0,2, kita periksa jalur dengan panjang 2
minimum nilai-nilai ini adalah 0,2, akibatnya P (A, b)d0,2 untuk pasangan (a, b), transitivitas Min-Max dipertahankan. Dengan cara yang sama, kita bisa melihat, untuk semua pasangan, transitivitas ini memegang. ƒ
4.4.3 Fuzzy morphism Definisi (homomorfisma) Mengingat beberapa hubungan crisp R ⊆ × dan S ⊆ × ,
homomorfisma dari (A, R) ke (B, S) adalah untuk fungsi h: A
B memiliki karakteristik
sebagai, untuk x1, x2 ∈
(x1, x2) ∈ R ⇒ (h (x1), h (x2)) ∈ S Dengan kata lain, jika dua elemen x1 dan x2 terkait dengan R, gambar mereka h (x1) Dan h (x2) Juga terkait dengan S. ƒ
Definisi (homomorfisma Kuat) Mengingat dua relasi renyah R ⊆ × dan S ⊆ × , jika
fungsi h: A B memenuhi berikut, hal itu disebut homomorfisma kuat dari (A, R) ke (B, S).
i) Untuk semua x1, x2 ∈
(x1, x2) ∈ R ⇒ (h (x1), h (x2)) ∈ S ii) Untuk semua y1, y2 ∈
jika ∈ ℎ− , ∈ ℎ− , maka , ∈ ⇒ , ∈ Dengan kata lain, kebalikan gambar (x1, x2) ∈ R dari (y1, y2) ∈ S
selalu berdiri untuk
homomorfisma terkait dengan R. Di sini h, kita lihat, adalah fungsi pemetaan banyak-ke-satu. Definisi (homomorfisma Fuzzy) Jika hubungan R ⊆ × dan S ⊆ × yang relasi fuzzy,
yang morphism di atas diperpanjang untuk kabur homomorfisma sebagai berikut. Untuk semua x1, x2 ∈ A dan gambar mereka h (x1), h(x2) ∈ B,
R(x1. x2) S [H (x1), h(x2)] dengan kata lain, kekuatan hubungan S untuk (h (x1), h (x2)) Lebih kuat dari atau sama dengan yang dari R untuk (x1, x2). Jika homomophism ada antara relasi fuzzy (A, R) dan (B, S), partisi h homomorfisma A ke himpunan bagian A1, A2, ... An karena banyak-ke-satu pemetaan
∀ ∈ ,
i = 1, 2, ... n
h(xi) = Y ∈ B
sehingga untuk berbicara, gambar h (xi) Dari elemen xi di A j identik dengan y elemen dalam B. Dengan cara ini, setiap elemen dalam A harus dipetakan ke salah satu dari B. Jika kekuatan antara A j dan Ak mendapat kekuatan maksimum antara x j
∈
A j, Dan xk ∈ Ak , Morphism ini
diganti dengan homomorfisma kuat kabur. Definition (homomorfisma kuat Fuzzy) Mengingat R relasi fuzzy dan S, jika h memenuhi
berikut, h adalah homomorfisma kuat kabur. Untuk semua x j ∈ A j, xk ∈ Ak .
A j, Ak ⊆ A
y1= h(x j), y2= h(xk ) y1, y2 ∈ B, (y1, y2) ∈ S .
max ( , ) = ,
4.4.4 Contoh morphism Fuzzy Contoh 4.25 Pertimbangkan hubungan R ⊆ × dan S ⊆ × berikut ini
R a
c
b
d
a 0.0 0,6 0.0 0.0
S
b 0.0 0.0 0,8 0.0 c 1.0 0.0 0.0 0.0 d 0.0 0,6 0.0 0.0
0,6 0,8 0.0 1.0 0.0 0,6 0,6 0.0 0.0
kita menerapkan fungsi pemetaan h dari A ke B sebagai berikut. h : a, b
c
d
Di sini semua (x 1, x 2) ∈ R dari A memiliki relasi (h (x 1), H (x2)) ∈ S di B. Selanjutnya x2) S (h(x1), h(x2)) Memegang. Misalnya,h(c)= , h(d) = . R (c, d) = 0
R(x1,
S ( , ) = 0,6
Sebagai konsekuensinya, morphism ini adalah homomorfisma kabur (Gambar 4.32). Kita tahu
S (, )
= 0,6, tapi kami tidak dapat menemukan pasangan yang sesuai di R. Oleh karena itu
tidak homomorfisma kuat kabur. contoh 4.26 Kami punya dua hubungan R ⊆ × dan S ⊆ ×
R
a
b
c
d
e
a
0,5 0,5 0.0 0.0 0.0
b
1.0 0.0 0,5 0.0 0.0
c
0.0 0.0 0.0 1.0 0,5
d
0.0 0.0 0,9 0.0 0.0
e
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
S
0,5 0,5 0.0 1.0 0,5 1.0 0.0 0,9 1.0
