Fungsi elementer dapat dikelompokkan atas fungsi aljabar dan fungsi transenden. Fungsi aljabar diperoleh melalui sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan dan , sedangkan fungsi transenden dikenal sebagai fungsi elementer yang bukan fungsi aljabar. Fungsi transenden yang dipelajari pada bagian ini adalah: •
Fungsi invers
•
Fungsi logaritma Asli
•
Invers dari fungsi logaritma asli yaitu fungsi eksponen Asli
•
Fungsi eksponen umun
•
Invers dari fungsi eksponen umum adalah fungsi logaritma umum
Fungsi Transenden – Contoh Soal dan Pembahasan 1. Carilah integral 2/(x (ln x)^2) dx Jawab : k = ∫ 2/(x (ln x)^2) dx misalkan, v = ln x dv = 1/x dx
k = ∫ 2/v² dv k = -2/v + C k = -2/ln x + C 2. tentukan dy/dx dengan menggunakan pendiferensialan logaritma y= (√x+13)/((x-4) (^3√2x+1)) Jawab : y = (x+13)^(1/2) / ((x-4)(2x+1)^(1/3)) ln y = ln [(x+13)^(1/2) / ((x-4)(2x+1)^(1/3))] ((x-4)(2x+1)^(1/3))] ln y = (1/2) ln (x+13) - ln (x-4) - (1/3) ln (2x+1) 1/y (dy/dx) = 1/2 (1/(x + 13) - 1/(x - 4 - (2/3) (1/(2x + 1)) dy/dx = y [1/2 (1/(x + 13) - 1/(x - 4) - (2/3) (1/(2x + 1))] dy/dx = ((x+13)^(1/2) / ((x-4)(2x+1)^(1/3))) ((x-4)(2x+1)^(1/3))) [1/2 (1/(x + 13) - 1/(x - 4) - (2/3) (1/(2x + 1))] Turunan Fungsi Eksponen x e = sin2 x 3
3. y dy dx
e x sin2 x 3 d dx sin2 x 3.e x x sin 2 x 3 2 cos2 x 3 e =
4. y dy dx
5 x =e
2
5 x =e
2
2
x 1
2
x 1
dy dx
= (10 x + 2) 5. y dy dx
x
3
=5
x
3
=5
x
=5
e
5 x
2
5 x
2
2 x 1
2 x 1
x 2
x 2
3
x 2
dx
In 5.
x3 x 2
x 3 x 2
d
In 5.
3 x 2 1 2 x 3 x 2
In5. 3 x 2 1
=5
2 x 3 x 2
Turunan Fungsi Trigonometri 6. y = sin (2x2+3) + cos 3x dy/dx = cos (2x2+3) d/dx (2x2+3) + (–sin 3x) d/dx (3x) = 4x cos (2x2+3) –3sin 3x 7. Y = tg32x Misalkan, u = tg 2x dan v = 2x y = u3 dy/du = 3 u2 u = tg v du/dv = 1/cos2 v = sec2 v v = 2x dv/dx = 2 dy/dx = dy/du . du/dv . dv/dx = 6 tg22x.sec22x 8. Y = ctg (4x2+5x–2) dy/dx = –cosec2 (4x2+5x–2) . d/dx (4x2+5x–2) = –(8x+5)cosec2 (4x2+5x–2) 9. Y = sec25x misalkan u = sec 5x Y = u2 dy/du = 2 u ; v = 5x du/dx = sec v tg v dv/dx = 5 dy/dx = dy/du . du/dv . dv/dx = 10 sec25x tg 5x Turunan Fungsi Pangkat Fungsi 10. Y
= x
x 2
x
dy dx =
misalkan u = x dan v = x2
x 2
x 2 d ( x 2 ) Inx x d dx dx x
x 2 1 (2 x) Inx x =
x 2
x =
2 x. x x 1 2 Inx
Turunan Fungsi Logaritma 11. y dy
= log 5 sin 2x dx = log 5e . 2 sin x. cos x sin 2x = log 5e . 2 cos x sin x = 2 ctg x log 5e
= In 3x3 + In 2 x 1 1 1 2 dy 9 x . 3 2 x x dx = 3 x = 4/x
12. y
13. y
= 2log
1
dy dx
x x 2
5
x = 5
2
5 dx d
2
In 2 1
=
x
2
x
2
5
2
In = 2x In 5 In 2 5
x 2 2
2
2
…
. In 5. 2x
Invers Fungsi 14. Diketahui
f ( x)
x 1
x 2 a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab : a. f ' ( x )
1.( x 2) 1.( x 1) ( x 2)
2
3 ( x 2) 2
0, x Df
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b. Misal, y
x 1 x 2
xy 2 y
x 1
Turunan Fungsi Invers f 1 ( y ) 15. Diketahui, Jawab :
x y x
2 y 1 x
2 y 1 y 1
2 y 1 2 x 1 f 1 ( x) 1 1 2x 1 x 1 f ( x ) x y5 , tentukan : ( f )' (4)
f ' ( x ) 5 x 4
( f 1 )' (4)
jika hanya jika x=1 2 ,y=4
1
1
f ' (1)
7
Fungsi Logaritma Asli
ln(sin(4 x 2))
16. Diberikan f ( x)
f ' ( x )
Maka Jika y
sin(4 x 2)
dx
(ln | x |)
1
17.
x
x 2
2
3
0
u
4 cos(4x 2) 1
y
ln x y '
y
ln( x) y '
x
0.
,x
x
1
x dx ln | x | C
Dari Sini Diperoleh : 4
D x (sin( 4 x 2))
ln | x | , x 0 ln x , x 0 ln( x) , x 0 d
Jadi
1
dx
x 3 2 du 3 x 2 dx
x
x 2
2
3
dx
x 2 du
u
3x
2
1 1
3 u
du
1
ln | u | c 3
1
ln | x 3 2 | c 3
4
x 2
x
2
3
0
dx
1 3
ln | x 3
4
2 |
1
1
3
3
(ln 66 ln 2) ln 33.
0
Fungsi Eksponen Asli 18.
e 3 /x
x u
2
dx
3 x
e 3 / x
x
2
du dx
3 x 2 1 3
dx
e u du
1
1 dx du 3 x 2
1 3
eu
c
1 3
e3/ x
c.
Fungsi Eksponen Umum 19. f ( x ) 32 x 1 2sin 2 x
f ' ( x) 2.32 x 1 ln 3 2.2sin 2 x cos 2 x ln 2 20.
2
4 x .xdx
u x 2
4
x
2
du 2 xdx dx 21 x du
u .xdx 4
du 2
1 4u 2 ln 4
C
4x
2
2 ln 4
C
1 1 x x
Fungsi Logaritma Umum 21. f ( x ) log( x 3
f ' ( x)
2
1)
2 x x
ln( x 2 1) ln 3
1
1 ln 3
2
ln( xx11 ) x 1 22. f ( x ) 4 log( ) x 1 ln 4 f ' ( x)
