FUNGSI TRANSENDEN
I.
Pendahuluan
I.1 I.1 Poko Pokok k Bahas Bahasan an
Logaritma
Fungsi Eksponen
I.2 I.2 Tujua ujuan n
Mengetahui bentuk fungsi transenden dalam kalkulus.
Mengetahui Mengetahui dan memahami memahami bentuk fungsi fungsi transeden transeden yaitu logaritma logaritma dan fungsi eksponen serta dalam perhitungannya.
Memahami Memahami dan menerapkan menerapkan bentuk fungsi fungsi transeden transeden yaitu logaritma logaritma dan fungsi eksponen menggunakan program Mapel.
II. Landas Landasan an Teori Teori A.
Logaritma x Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi f ( x) = a untuk a
>
0
dan
a ≠1
mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, dan ditulis y
berdasarkan berdasarkan sifat sifat invers y
= f −1 ( x) = a
log x
= f −1 ( x) ⇔ x = f ( y ) diperoleh definisi logaritma berikut. y
=a
log x ⇔ x
= a y , a > 0, a ≠ 1
Sesuai Sesuai dengan dengan daerah daerah asal dan daerah daerah ekspon eksponen, en, untuk untuk y a > 0 dan
y
≠ R
=a
log x berlaku kondisi kondisi
. Karena grafik fungsi dan inversnya simetri terhadap garis y = x,
maka grafik fungsi logaritma diperoleh dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.
a. Logaritma Natural
Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/ x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/ x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai : x
ln x
1
ln x
1
= ∫ dt , x > 0 =e
t
log x
Notasi
Ahli matematika biasanya menggunakan "ln( x)" atau "log( x)" untuk menotasikan loge( x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log 10( x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.
Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln( x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge( x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log( x)" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10( x) atau, dalam konteks teknik komputer , log2( x).
Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.
Pada kalkulator , tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log adalah untuk logaritma berbasis 10. Sifat-sifat logaritma natural
Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5 x sama dengan turunan dari ln x yaitu 1/ x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut. Teorema Jika a dan b
> 0 dan r bilangan rasional, maka
ln 1 = 0
ln ab = ln a + ln b
ln
ln a r
a b
= ln a − ln b = r ln a
B. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural
Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial: e ln( x )
= x
untuk semua x yang positif dan
ln ( e x
= x
untuk semua x yang real.
Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain. c. Mengapa disebut "natural"
Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln( x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi
eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini. Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini: d dx
log b ( x )
=
1 x ⋅ ln b
Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1. d. Logaritma Umum
Sifat-sifat logaritma : b 1. log 1 = 0 b 2. log b = 1
=b
b 3. log ac
b 4. log
a c
=b
b r 5. log a
b
6. log a
=
log a + b log c log a − b log c
= r ⋅b log a c
log a
c
log b
e. Turunan logaritma natural
Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa x
d 1 d dt = ln x dx 1 t dx
∫
=
1 x
, x
>0
Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa: d dx
ln u ( x )
=
1
d
u ( x ) dx
u ( x )
B.
Eksponen a. Fungsi Eksponensial Natural
Fungsi eksponensial natural. x=exp( y)
natural, y=exp( x), adalah inverse dari
logaritma
⇔ y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln e=1.
Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…
Dengan demikian, e
1
∫ t dt = 1 1
Dari definisi langsung diperoleh bahwa 1. exp(ln x)= x, bila x>0. 2. ln(exp( x)) = x.
Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler), yaitu tidak ada polinom p( x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r ), bahwa y=exp( x) adalah sebuah fungsi eksponesial. er =exp(ln er )= exp(r ln e)= exp(r ) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu e x
= exp( x )
Jadi, untuk selanjutnya.
= x , untuk x>0.
1. e ln x 2.
ln
(e
x
x , untuk tiap x.
=
b. Turunan dari exp(x)
Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa 1=(1/ y) Dxy atau Dxy = y . Teorema
d dx
[e ] = e x
x
Sebagai akibat kita peroleh Teorema
∫ e dx = e x
x
+ C
c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum
Kita telah berhasil mendefinisikan e x untuk tiap bilangan real x, termasuk e . π
Namun bagaimana dengan
e π
? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x).
Definisi Jika a > 0 dan adalah sebarang bilangan real, maka
a x
= e x ln a
Dengan demikian, kita peroleh bahwa ln ( a x
= ln( e x ln a = x ln a
Catatan: ln ( a r )
definisi
di
= ln( e r ln a ) = r ln a
atas
memungkin
kita
untuk
memperluas
aturan
yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.
d. Sifat-sifat a x Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a real. 1. a x a y
= a x+ y
2. ( a x )
= a xy
y
> 0, b > 0, dan x, y sebarang bilangan
x
a a x 3. = x b b 4.
a x a
y
= a x− y
5. ( ab )
x
= a x b x
Teorema fungsi eksponensial
D x a x
= a x ln a 1
∫ a dx = ln a x
x
+ C , a ≠ 0
e. Fungsi log a x
Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan positif a≠1, loga x. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial a x . Definisi
Misalkan a
> 0, a ≠ 1 , maka y = log a x ⇔ x = a y
Catatan: ln
= log a x Hubungannya
berikut. Misalkan y
ln x
= log a x
= ln a y = y ⋅ ln a
dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara
sehingga x
sehingga log a x
Penerapan dalama maple
=
= a y
ln a ln x
.
Logaritma
Eksponen
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika) Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.
