Matematika Aktuaria II
BAB II Hidup Gabungan dan Fungsi Hidup Gabungan Mahekam
Bahasan:
Hidup gabungan - Peluang hidup gabungan
- Anuitas gabungan
- Mortalitas hidup gabungan
- Asuransi gabungan
Fungsi hidup gabungan Mahekam
Tujuan Instruksional Khusus:
Pembaca diharapkan mampu menurunkan serta menghitung peluang hidup gabungan dan fungsi hidup gabungan Mahekam.
Pada Matematika Aktuaria I kita telah mempelajari fungsi hidup tunggal (single life), misalnya Anuitas a x ataupun peluang hidup n px . Jadi pembahasan pembahasan belum menyinggung
xy ataupun peluang konsep hidup gabungan (joint life), misalnya anuitas gabungan a hidup gabungan n pxy .
Hidup Gabungan Peluang hidup seseorang berusia x tahun akan hidup n tahun lagi disimbolkan n px .
Simbol n px (ataupun n qx ) tersebut dinyatakan dalam fungsi hidup tunggal (function of a single life), yaitu n
px
l x n l x
.
Tentunya kita bertanya, bagaimana jika dua kehidupan (x) dan (y) atau lebih? Pandang dua kehidupan kehidupan (dua orang (x) an (y)) yang masing-masing mempunyai mempunyai umur dan peluang hidup x dan y n
px dan n p y saling bebas
maka peluang (x) , (y) akan hidup n tahun dinotasikan n pxy dan didefinisikan n
pxy x y n px . n p y
28
Matematika Aktuaria II
l x n l y n . l x l y l x n:y n l xy
.
Fungsi hidup l xy didefinisikan sebagai fungsi perkalian (proporsional) antara fungsi hidup tunggal
l x dan
l y , yaitu
l xy lx .l y
k.l x .l y . Sedangkan peluang meninggal gabungan n qxy , yaitu peluang paling sedikit satu dari dua orang yang masing-masing berusia x dan y tahun akan meninggal dalam n tahun atau disebut kegagalan kehidupan gabungan xy , diberikan oleh n
qxy 1 n pxy
1
l x n:y n l xy
l xy l x n:y n l xy
.
Bila kita ambil n 1 maka diperoleh q xy
l xy lx 1:y 1 l xy
1 pxy
d xy l xy
.
Jadi d xy lxy l x 1:y 1 dan d xy d x .d y .
Pandang m kehidupan (m orang) yang masing-masing mempunyai usia x1 , x2 , x3 ,..., xm maka x1 , x2 , x3 ,..., xm akan memenuhi: l x1x2 ...xm k .lx1 .lx2 ...lxm n
p x1x2 ... xm n p x1 . n p x2 ... n pxm
n
qx1x2 ... xm 1 n px1x2 ...xm .
Analog, karena
n
n
q x
l x n lx n 1 l x
lx n lx
lx n 1 l x
n px n 1 px maka
q x1x2 ...xm n px1x2 ... xm n1 px1x 2... xm .
29
Matematika Aktuaria II
Peluang n qx1x2 ...xm 1 n px1x 2 ...x m dikatakan sebagai kegagalan kelangsungan kehidupan m orang x1x2 ...xm dikarenakan meninggalnya paling sedikit satu orang dari x1x2 ...xm , atau disebut juga peluang bahwa status hidup gabungan x1x2 ...xm akan gagal dalam n tahun. Sedangkan
n
q x1x2 ...xm adalah peluang bahwa status hidup gabungan akan gagal pada
tahun ke (n+1).
Diketahui dua kehidupan (dua orang (x) dan (y)) maka 1. Peluang bahwa (xy) akan hidup n tahun n
pxy n px . n py .
2. Peluang bahwa (xy) akan gagal dalam n tahun n
qxy 1 n pxy 1 n px . n py .
3. Peluang bahwa paling sedikit satu dari dua orang (x) dan (y) akan hidup n tahun n
px n p y n px . n p y
4. Peluang bahwa paling sedikit satu dari dua orang (x) dan (y) akan meninggal dalam n tahun n
qxy 1 n pxy 1 n px . n py .
Tunjukkan bahwa q xy qx .q y jika l xy klxl y ! Solusi: q xy 1 pxy 1 p x . p y 1
l x 1:y 1 l xy
1
klx 1l y 1 kl xl y
1
lx 1l y 1 l xl y
l l 1 x 1 1 y 1 q x .q y l x l y
Jadi q xy qx .q y .
Anuitas Gabungan Anuitas gabungan adalah suatu anuitas kontrak yang terdiri dari dua tertanggung
atau lebih dengan pembayaran terhenti jika salah satu dari tertanggung meninggal dunia. Misalkan x : usia suami y : usia istri 30
Matematika Aktuaria II
xy dengan pembayaran Maka nilai tunai atau anuitas gabungan awal (x) dan (y) ditulis a tahunan sebesar 1, selama (x) dan (y) kedua-duanya masih hidup ataupun selama status hidup gabungan (xy) tetap berlangsung adalah
xy 1 v. pxy v 2 . 2 pxy v3. 3 pxy ... a
vt . t pxy . t 0
x 1 ax maka untuk anuitas gabungan akhir (x) dan (y) adalah Analog, karena a a xy v. pxy v2 . 2 pxy v3. 3 pxy ...
vt . t pxy . t 1
Sedangkan untuk sekelompok m kehidupan
x1 , x2 , x3 ,..., xm
maka anuitas
gabungan awal seumur hidup untuk x1 , x2 , x3 ,..., xm adalah deretan pembayaran tahunan sebesar 1 setiap awal tahun selama x1 , x2 , x3 ,..., xm masih hidup
x1x 2 ... xm 1 v. px1x2 ... xm v 2 . 2 px1x2... xm v3.3 px1x 2... xm ... a
vt . t px x ...x , 1 2
t 0
m
Dan anuitas gabungan akhirnya adalah a x1x 2 ... xm v. px1x2 ... xm v 2 . 2 px1x2... xm v3.3 px1x2... xm ...
vt . t px x ...x . 1 2
t 1
m
Asuransi Gabungan Asuransi gabungan (joint life insurance) adalah asuransi yang menanggung dua jiwa
atau lebih yang manfaatnya dibayarkan jika salah seorang tertanggung meninggal dunia. Ambil pembayaran pada akhir tahun, maka asuransi jiwa gabungan di atas nilai tunainya adalah
A xy
v t 0
t 1
. qxy t
31
Matematika Aktuaria II
(nilai tunai asuransi jiwa gabungan yang dibayarkan pada akhir tahun satu dari dua kehidupan meninggal atau nilai tunai asuransi jiwa gabungan yang menyediakan santunan sebesar 1 pada akhir tahun dengan status hidup gabungan gagal) atau untuk m kehidupan A x1x 2 ... xm
v t 0
t 1
. qx1x2 ...x m . t
Tingkat kematiaan sesaat Telah diketahui bahwa tingkat kematiaan sesaat seorang berusia x tahun,
x
dinyatakan oleh x
1 dl x
d
l x dx
dx
ln l x .
Untuk fungsi hidup gabungan maka tingkat kematian sesaatnya diberikan oleh x t :x t :...:x t m 1 2
1
dl x1 t:x2 t :...:xm t
l x1 t:x2 t :...:xm t
dt
d dt d dt
ln l x1 t lx2 t ...l xm t
ln l
x1 t
ln lx
d
2 t
d dt
ln l
x1 t :x 2 t :...:x m t
... ln l x
d
m t
d
ln l dt ln l ... dt ln l dt x1 t
x2 t
x t x t ... x 1
m t
2
x m t
.
Jadi tingkat kematian sesaat dari hidup gabungan adalah jumlah dari masing-masing tingkat kematian sesaat tunggal. Untuk dua kehidupan (x) dan (y) maka xy
x y
Untuk m kehidupan x1 , x2 , x3 ,..., xm maka x x
1 2 ...xm
x x ... x . 1
2
m
32
Matematika Aktuaria II
Asuransi Dwiguna suami-istri Asuransi dwiguna suami-istri:
Premi dibayar secara tahunan selama masa kontrak asuransi atau berhenti bila salah seorang dari suami istri meninggal dunia sebelum saat akhir kontrak.
Uang pertanggungan (santunan) dibayarkan kepada ahli waris bila salah seorang dari suami istri meninggal dunia sebelum saat akhir kontrak.
Uang pertanggungan dibayarkan kepada suami istri bila kedua suami istri masih hidup sampai akhir kontrak.
Premi Neto (bersih) adalah p
A xx:n a xx:n
Cadangan Neto adalah
xxt:nt , dengan p adalah premi neto. V Axxt:nt p.a
t
Simbol komutasi D, N, C, dan M Ingat simbol komutasi D, N, C, dan M untuk hidup tunggal:
1 1 i
D x v xl x , v N x
D
x t
t 0
C x v x 1d x M x
C
x t
t 0
Simbol komutasi D, N, C, dan M untuk hidup gabungan (m kehidupan,
x1 , x2 ,..., xm ) D x1x2 ... xm v
x1 x2 ... xm m
x1 x2 ... xm
C x1x 2 ... xm v
m
N x1x2 ...xm
D
M x1x2 ...xm
C
t 0
t 0
l x1x2 ...x m , dengan l x1x2 ...xm k .l x1 .l x2 ...lxm 1
d x1x2 ...x m , dengan d x1x2 ...xm lx1x 2 ... xm l x1 1: x2 1:...: xm 1
x1x 2 ...x m t
x1x 2 ...x m t
33
Matematika Aktuaria II
Berdasarkan definisi simbol komutasi diatas tunjukkan bahwa: x y
1.
D xy k 1 i
2.
C xy v Dxy Dx1: y1 ,
3.
2
.Dx .Dy Dxx .Dyy ,
d dx
log t pxx 2 x x t .
Contoh soal-bahas 1. Jika
x
1
, 0 x 100 tentukan
100 x
p40:50 !
10
Solusi: p40:50 artinya peluang hidup gabungan (dua orang (40) dan (50)) akan hidup
10
paling sedikit 10 tahun. 10
p40:50 10 p40 .10 p50 n
Ingat bahwa n px e
xt dt
0
Untuk n 10, x 40 Karena
x
1 100 x
, 0 x 100 maka
x t
1 100 x t
sehingga untuk x 40 kita
dapatkan 40t
1 100 40 t
n
10
x t dt
10
0
60 t 1
40t dt
0
1
10
60 t
0
50 60
dt ln 60 t 0 ln 50 ln 60 ln
Sehingga 10
10
p40 e
40t dt
0
e
50 ln 60
5
. 6
Analog, untuk n 10, x 50 kita dapatkan 50t
1 100 50 t
n
0
10
x t dt
10
50t dt 0
0
1 50 t 1
50 t
10
40 50
dt ln 50 t ln 40 ln 50 ln 0
34
Matematika Aktuaria II
Sehingga 10
10
p50 e
50t dt
0
e
40 ln 50
4
. 5
Dengan demikian kita peroleh 10 p40:50
10 p 40 . 10 p 50
5 4 2 . 6 6 3
2. Tentukan peluang seseorang berusia 40 tahun akan hidup mencapai usia 75 tahun jika diketahui
p25:50 0,2 dan
25
15
p25 0,9 .
Solusi: Peluang seseorang berusia 40 tahun akan hidup mencapai usia 75 tahun sama halnya mencari
35
p40
l 75 l 40
Berdasarkan yang diketahui 25
15
p25:50
p25
jadi
35
25
l 40 l 25
p 25. 25 p 50
l50 l75 l 75 . 0, 2 l25 l50 l 25
0,9 .
p40
l75 l40
l75 l 40 1 . 0, 2 0, 22222 . 0,9 l40 l 25
(bandingkan dengan diskrit, gunakan tabel CSO 1941)
35
Matematika Aktuaria II
Fungsi Hidup Gabungan Mahekam Perhitungan fungsi hidup gabungan dapat disederhanakan dengan menggunakan
fungsi hidup gabungan Mahekam I. Menurut Mahekam I bahwa x
x
A Bc x atau l x k.s x .g c dengan k
l 0 g
x n
l x n k.s x n .g c
maka n
px
l x n l x
x n
k.s x n .g c
x
x
s n .g c
x
c
k.s .g
(c n 1)
.
Pandang dua kehidupan ( dua orang (x) dan (y)) masing-masing berusia x dan y dan masing-masing mempunyai peluang hidup n tahun,
n
px dan
n
p y . Peluang hidup
gabungan dari Mahekam adalah n
pxy n px .n py
x
s n .g c
( c n 1)
n
c y ( c n 1)
. s .g
c x c y ( cn 1)
s 2n .g
.
Analog, untuk m kehidupan (m orang x1 , x2 ,..., xm ) maka peluang hidup gabungan dari Mahekam adalah n
p x1x2 ... xm n p x1 . n p x2 ... n pxm
x1 ( c n 1)
s n .g c
c
s mn .g
x1 c x2
. s .g n
c x2 ( c n 1)
...c xm ( cn 1)
... s .g n
xm ( c n 1)
c
.
Bila kita ambil c x1 c x2 ... c xm mc w maka n
px1x2 ...xm s mn .g mc
w
(c n 1)
n pww...w . Hal ini berakibat bahwa peluang hidup gabungan dengan usia tidak sama, yaitu n px1x2 ...xm dapat disederhanakan menjadi peluang hidup gabungan dengan usia sama, yaitu n pww...w
36
Matematika Aktuaria II
Hukum Mortalitas Mahekam menyatakan bahwa tingkat kematian sesaat x
A Bc x
Dengan mengambil c x1 c x2 ... c xm mc w maka Bc x1 Bcx2 ... Bc xm mBcw dan
A Bc A Bc ... A Bc mA mBc x1
x2
xm
w
m A Bc w
Ekuivalen dengan x
1
x ... x mw . m
2
Adapun beberapa formula yang sudah disederhanakan: a x1x 2 ... xm aww...w
x1x 2 ... xm aww...w a A x1x 2 ...xm Aww...w P x1x2 ...xm P ww...w
Dengan adanya fungsi hidup gabungan Mahekam tersebut maka status hidup gabungan dari usia tak sama dapat disederhanakan menjadi status hidup gabungan usia sama, misalkan xyz menjadi www . Langkah-langkah menghitung anuitas atau asuransi 1. Tentukan
c
w
dengan
tabel
Mahekam
berdasarkan
persamaan
c x1 c x2 ... c xm mc w 2. Interpolasi nilai w 3. Interpolasi nilai anuitas atau asuransi
Contoh 1
35:39:45 ! Dengan menggunakan Tabel Mahekam CSO 1941 2.5% hitunglah a Solusi: Berdasarkan persamaan c x1 c x2 ... c xm mc w maka untuk m 3 c35 c39 c45 3c w c c c 35
c w
39
3
45
.
37
Matematika Aktuaria II
Dengan Tabel Mahekam diperoleh 35 39 45 c 19,852 ; c 27,934 ; c 46,625
Sehingga c w
c 35 c39 c 45 3
19,852 27,934 46,625 3
94, 411 3
31, 4703
Nilai 31,4703 pada tabel Mahekam terletak diantara usia 40 dan 41 tahun (30,424<31,4703<33,136). Dengan menggunakan interpolasi linear x
Usia (x)
c
40
30,424
w
31,4703
41
33,136
Ingat interpolasi linear: y
x x2 x x1 y y2 y y1 y1 y2 atau x x1 x x1 x2 x2 x1 y1 y2 y2 y1 2 w
31,4703 33,136 31,4703 30,424 40 41 40,3858 . 30,424 33,136 33,136 30,424
Dengan w 40,3858 maka
35:39:45 a40,3858:40,3858:40,3858 a Karena w 40,3858 terletak diantara usia 40 dan 41 tahun maka untuk mendapatkan
35:39:45 a40,3858:40,3858:40,3858 dilakukan interpolasi linear a Usia (x)
xxx a
xxx x 40 tahun 14, 63009 a
40
14,23310
xxx x 41 tahun 14, 23310 a
W=40,3858
?
41
14,63009
40,3858:40,3858:40,3858 a
40,3858 41 40,3858 40 14, 23310 14,63009 40 41 41 40
0, 614214, 23310 0,385814, 63009 14,47693 .
38
Matematika Aktuaria II
Contoh 2 Dengan menggunakan Tabel Mahekam CSO 1941 2.5% hitunglah a40:50 ! Solusi: c x1 c x2 2c w c 1 c x
c w
2
x2
c 40 c 50 2
30, 424 71, 453 2
50,9385
Nilai c w 50,9385 pada tabel mahekam adalah diantara usia 46 dan 47 tahun (50,781<50,9385<55,307). Dengan interpolasi linear didapat w 46,03480 yang mengakibatkan a40:50 a46,03480:46,03480 .
Karena w 46,03480 terletak diantara usia 46 dan 47 tahun maka untuk mendapatkan a40:50 a46,03480:46,03480 dilakukan interpolasi linear. Berdasarkan tabel Mahekam a xx x 46 tahun 14,35245 a xx x 47 tahun 13,94244 a46,03480:46,03480
46, 03480 47 46,03480 46 13,94244 14,35245 46 47 47 46
14,33818 . Contoh 3 Dengan menggunakan Tabel Mahekam CSO 1941 2.5% hitunglah A40:50 ! Solusi: Berdasarkan contoh 2 diperoleh a40:50 a46,03480:46,03480 14,33818
1 d .a46,03480:46,03480 A40:50 A46,03480:46,03480 0,025 i . 1 1 a 1 46,03480:46,03480 1 0,025 . 1 14,33818 0,62590 . 1 i
Latihan 1. Hitunglah A35:39:45 , a30:35:45 , dan P 40:50 dengan menggunakan tabel Mahekam CSO 1941 2.5%! 2. Hitunglah l 25:25 jika diketahui bahwa
x
1 100 x
, 0 x 100 !
39
