LA FUNCIÓN GAMMA 1. Rev Revisió isión n Histór Histórica ica de de la Func Función ión Gamma Gamma La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783! con el o"#etivo de generalizar la función factorial a valores no enteros$ %ás tarde! por su gran importancia! esta fue estudiada por matemáticos eminentes tales como &drien-%arie Legendre (17'-1833! )arl *riedrich +auss (1777-18''! )hristop )hristoph h +uderman +udermann n (17,8-18 (17,8-18'! '! oseph oseph Liouvill Liouville e (180,-18 (180,-188! 8! .arl /eierst /eierstrass rass (181'-18,7! (181'-18,7! )harles ermite (18-1,01! (18-1,01! al igual ue muchos otros$ La función gamma pertenece a una categor2a de f unciones transcendentes transcendentes especiales! esta función f unción ocurre en algunas constantes matemáticas especiales$ Esta aparece en varias áreas de estudio! como en las series asintóticas! integrales definidas! series hiper geom4tricas! la función 5eta de 6iemann! teor2a de nmeros! otras$
2. De Dei ini nici ción ón de Ga Gamm mmaa
En matemáticas matemáticas!! la función +amma (denotada como
es una función función ue ue etiende
el concepto de factorial factorial a a los nmeros comple#os$ comple#os $ La notación fue ideada por &drienpor &drien%arie Legendre$ Legendre$ 9i la parte real del nmero comple#o z es positivo positivo!! entonces la integral
)onverge a"solutamente: esta integral puede ser etendida a todo el plano comple#o ecepto a los enteros negativos al cero$
GRAFICA! D" LA FUNCI#N GAMMA
Ingeniería Civil
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FUNCIÓN GAMMA
MATEMÁTICA
PARA INGENIEROS III
Función Gamma en el eje real $
Valor absoluto de la función gamma en el
#$tención de la ecuación unci%nal usand% inte&ración '%r 'artes
;"tener
es sencillo<
&hora o"tendremos una epresión para <
=samos integración por partes para resolver la integral
Ingeniería Civil
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como una función de
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En el l2mite inferior se o"tiene directamente
$
En el infinito! usando la regla de L>?pital<
$
@or lo ue se anula el primer t4rmino!
! lo ue nos da el siguiente resultado<
La parte derecha de la ecuación es eactamente una relación de recurrencia<
! con lo ue hemos o"tenido
$
&pliuemos la fórmula a unos pocos valores<
9i n es un entero positivo! entonces
(. Al&unas unci%nes deinidas s%n 1$ A 1 B1 $ A 1C B 3$ A D1 B A $ A D1 B1∗3∗'F(G11C
Hemostrando del punto 3<
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@or definición tenemos ue< A B G ∞0∗G1 Entonces A D1 B G ∞0∗ acemos B B G1 BG BGG
9i reemplazamos en la ecuación A D1 B GG 0∞D G ∞0∗G1 A D1 B G ∞0∗G1 9i o"servamos la parte derecha es id4ntica a la ecuación inicial de la función de gamma por lo tanto A D1 B A
). "*ercici%s+ ∝
∫ x
1. Calcular+
m
−a x n
e
d x , m , n , a> 0
0
1
1 u u u u= a x → x = → x =( ) n → dx = ( ) a a n a n