FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
autora DENISE CANDAL REIS FERNANDES
1ª edição SESES rio de janeiro
2015
Conselho editorial
solange moura; roberto paes; gladis linhares
Autora do original
denise candal reis fernandes
Projeto editorial
roberto paes
Coordenação de produção
paulo vitor bastos
Projeto gráfico Diagramação
gladis linhares
bfs media
Revisão de conteúdo Imagem de capa
vinícius akira
peshkova | dreamstime.com
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) C216f Candal, Denise
Fundamentos de Matemática / Denise Candal Rio de Janeiro : SESES, SESES, 2015. 240 p. : il. isbn: 978-85-5548-113-0 978-85-5548-113-0
SESES. II. Estácio. 1. Álgebra. 2. Aritmética. 3. A Função. I. SESES. cdd 510.7
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário 1. Conjuntos Objetivos 1.1 Introdução 1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento 1.3 Representação de um conjunto 1.3.1 Representação tabular ou por enumeração 1.3.2 Representação através de diagramas de Venn 1.3.3 Representação através de uma propriedade 1.4 Relação de pertinência 1.5 Tipos de conjuntos 1.5.1 Conjunto unitário 1.5.2 Conjunto vazio 1.5.3 Conjunto finito 1.5.4 Conjunto infinito 1.5.5 Conjuntos Iguais 1.5.6 Conjuntos Diferentes. 1.5.7 Conjunto Universo (U) 1.5.8 Conjuntos Disjuntos 1.6 Subconjunto 1.6.1 Conceito 1.6.2 Definição formal. 1.6.3 Propriedades 1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos 1.8 Conjunto das partes de um conjunto 1.9 Operações com conjuntos 1.9.1 Número de elementos de um conjunto 1.9.2 Interseção de conjuntos (∩) 1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪) 1.9.4 Diferença de conjuntos (–) 1.9.5 Conjunto complementar (C) 1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos
9 10 11 11 13 14 15 16 17 18 18 18 19 20 20 20 21 22 22 22 23 24 25 25 27 27 27 28 30 32 33
1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos 1.10 Conjuntos numéricos 1.11 Números naturais 1.11.1 Conceito 1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais 1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais. 1.11.4 Propriedade das operações sobre o conjunto dos números naturais 1.12 Números inteiros 1.12.1 Conceito 1.12.2 Subconjuntos de destaque 1.12.3 Operando em Z 1.13 números racionais 1.13.1 Conceito 1.13.2 Propriedades dos números racionais. 1.13.3 Frações 1.13.4 Forma fracionária e forma decimal. 1.14 Números irracionais 1.14.1 Conceito 1.14.2 Exemplos de números irracionais 1.15 Números reais 1.15.1 Propriedades dos Números Reais 1.15.2 Intervalos Numéricos 1.15.3 Centro e raio de um intervalo 1.15.4 Formas de representação numérica 1.15.5 Simplificação de frações 1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e subtração através do MMC 1.15.7 Regra de sinais 1.15.8 Operações numéricas 1.15.9 Precedência dos operadores 1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE) Referências bibliográficas
34 42 42 42 43 43 44 45 45 46 47 48 48 48 49 49 50 50 51 51 52 52 53 53 54 54 55 56 56 56 58
2. Conceitos Fundamentais De Álgebra e Aritmética 59 objetivos 2.1 Radiciação e potenciação 2.2 Potência de expoente natural 2.2.1 Conceito 2.2.2 Propriedades 2.3 Potência de expoente inteiro negativo 2.4 Raíz enésima e expoentes racionais 2.4.1 Conceito 2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1 2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2 2.4.4 Propriedades 2.5 Potência de expoente racional 2.6 Expressões algébricas 2.6.1 Conceito 2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica 2.6.3 Monômio ou termo algébrico. 2.6.4 Polinômios 2.7 Produtos notáveis 2.8 Fatoração de expressões algébricas 2.8.1 Conceito. 2.8.2 Fator comum em evidência 2.8.3 Agrupamento 2.8.4 Trinômio quadrado perfeito 2.8.5 Diferença de dois quadrados 2.9 Razão e proporção 2.10 Razão 2.11 Proporção 2.11.1 Conceito 2.11.2 Algumas propriedades das proporções 2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais 2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 2.13 Regra de três simples 2.13.1 Conceito
60 61 61 61 62 63 63 63 64 64 65 66 72 72 72 72 74 76 77 77 77 78 78 78 79 79 81 81 81 86 86 87 87 87
2.13.2 Procedimento 2.14 Regra de três composta 2.14.1 Conceito 2.14.2 Procedimento 2.15 Porcentagem 2.16 Operações com porcentagem Gabarito Referências bibliográficas
3. Introdução ao Estudo de Função
87 90 90 91 93 97 100 101
103
objetivos 3.1 Plano cartesiano 3.1.1 Conceito 3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano 3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados 3.1.4 Escalas dos Eixos 3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano 3.1.6 Produto cartesiano 3.2 Relações 3.2.1 Introdução 3.2.2 Conceito 3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada 3.2.4 Domínio 3.2.5 Imagem 3.3 Função 3.3.1 Introdução 3.3.2 Variável Independente 3.3.3 Variável Dependente 3.3.4 Função Real de Variável Real 3.3.5 Domínio e Imagem 3.3.6 Valor de uma Função num Ponto 3.3.7 Gráfico de uma Função 3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas 3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x)
104 105 105 105 108 108 109 110 110 110 112 112 112 113 114 114 115 115 116 116 117 117 118 119
3.3.10 3.3.11 3.3.12 3.3.13 3.3.14
Imagem de um elemento através do gráfico de uma função Reconhecimento de uma função através de seu gráfico Função Crescente Função Decrescente Função Constante
119 120 120 121 121
4. Funções de Primeiro Grau e de Segundo Grau 131 Objetivos 4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau 4.1.1 Introdução 4.2 Definição 4.3 Casos particulares de uma função afim 4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas 4.5 Gráfico de uma função afim 4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x 4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y 4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim 4.9 Função afim crescente e decrescente 4.10 Estudo do sinal de uma função afim 4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau 4.11.1 Introdução 4.12 Gráfico de uma função quadrática 4.13 Concavidade 4.14 Raízes ou zeros 4.15 Interseção com o eixo y 4.16 Máximo e mínimo 4.17 Vértice 4.18 Imagem 4.19 Soma e produto das raízes 4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau 4.21 Estudo dos sinais da função quadrática Referências bibliográficas
capítulo
132 133 133 133 134 136 137 138 139 140 142 143 162 162 163 163 164 168 168 171 173 175 177 178 187
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5. Função Exponencial e Funções Logarítmicas Objetivos 5.1 Função exponencial 5.1.1 Introdução 5.2 Definição 5.3 Gráfico de uma função exponencial 5.4 Equação exponencial 5.5 Inequação exponencial 5.6 Logaritmos e funções logarítmicas 5.6.1 Introdução 5.7 Logaritmo 5.8 Definição 5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos 5.10 Propriedades com operações de logaritmos 5.11 Sistemas de logaritmos na base a 5.12 Função logaritmica 5.13 Gráfico de uma função logaritmica 5.14 Equação logaritmica 5.15 Inequação logaritmica Referências bibliográficas
8
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capítulo
189 190 191 191 191 192 196 200 210 210 210 210 211 213 217 219 219 225 227 238
1 Conjuntos
OBJETIVOS •
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Descrever e representar conjuntos. Estabelecer a relação de pertinência ou não entre um elemento e um conjunto. Estabelecer a relação de inclusão ou não entre dois conjuntos. Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações. Determinar o conjunto das partes de um conjunto. Determinar a união, interseção, diferença entre conjuntos. Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações. Resolver problemas envolvendo Diagrama de Venn. Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações. Reconhecer os diversos tipos de intervalos de números reais; Representar e reconhecer subconjuntos de números reais na forma de intervalos; Operar com os diversos tipos de intervalos.
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1.1 Introdução O matemático russo George Cantor (1845-1918) desenvolveu e introduziu as ideias básicas da Teoria dos Conjuntos no fim do Século XIX. Esta teoria, que trata do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre conjuntos e relações entre os elementos e o próprio conjunto, foi responsável pela influência e enriquecimento de diversos ramos da Matemática e de outras Ciências.
1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento As noções de conjunto e elemento são noções, conceitos ditos primitivos, isto é, são conceitos assumidos como ponto de partida da teoria e que servem de base para a definição de outros conceitos subsequentes. A ideia de conjunto é a mesma de coleção. Um conjunto pode ser encarado como um grupo de itens, uma coleção de objetos de natureza qualquer. Estes itens, objetos, são denominados elementos e possuem características bem definidas. Convém destacar que este grupo de elementos depende do contexto em que um problema é definido. Eventualmente, um objeto pode ser encarado como um elemento de um conjunto maior, no entanto, em outro contexto, pode ser um conjunto. Exemplos Iniciais:
a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto. d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma é um elemento desse conjunto.
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Outros Exemplos Contextualizados
Sobre a população brasileira, por exemplo, podem ser definidos conjuntos de pessoas que compartilham uma determinada característica e que podem ser utilizados para algum tipo de processo decisório. Eis alguns conjuntos que podem ser definidos, em função de um contexto estabelecido para uma ação governamental ou empresarial: a) Conjunto de pessoas com mais de 65 anos. Este conjunto pode ser importante para serem definidas diversas estratégias de benefícios (gratuidade no transporte público, por exemplo), com seus impactos econômicos correspondentes. Se uma empresa deve oferecer esse benefício em seus serviços, deve considerar seu impacto na formação de preços - considerando quantos elementos do seu conjunto de clientes possuem essa característica. b) Conjunto de pessoas do sexo masculino que completarão 18 anos de idade em determinado ano. Este conjunto representa o grupo de pessoas que terão que fazer o alistamento militar obrigatório, e é a partir deste grupo que as Forças Armadas definirão suas estratégias de emprego destes jovens (quantos realmente prestarão o serviço militar, quantos serão dispensados por excesso de contingente, etc.). c) Conjunto de pessoas que possuem uma determinada faixa de rendimentos. Esta informação pode ser muito importante ao se definir as estratégias comerciais e de marketing relacionadas ao lançamento de um determinado produto. E isso também se aplica a áreas de negócios como gestão financeira, de seguros e negócios imobiliários. Pode ser útil também aos profissionais de Ciências Econômicas, ao analisar suas influências e impactos no cenário econômico. d) O conjunto de contas a serem pagas mensalmente por uma empresa. Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a administradores, contadores e gestores comerciais. e) O conjunto de profissionais aptos a exercer determinadas funções em uma empresa Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a gestores de recursos humanos.
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f) O conjunto de médicos de cada especialidade disponíveis no quadro de profissionais de um hospital. Este conjunto interessa diretamente a gestores hospitalares. g) O conjunto de países com os quais o Brasil possui relações comerciais. Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de comércio exterior, relações internacionais e secretários executivos trilíngue. h) O conjunto de rotas possíveis para se transportar um determinado produto de uma fábrica ou depósito a um centro consumidor. Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de logística. i) conjunto de processos que devem ser otimizados em uma empresa. Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de processos gerenciais. j) Um Corretor de Seguros trabalha com um conjunto de Empresas Seguradoras através das quais pode apresentar diversas cotações a um cliente. k) Em um jogo de futebol cada equipe forma um conjunto de onze elementos que são os jogadores. l) Em uma produção cinematográfica, cada ator é um elemento de um conjunto chamado Elenco. m) Em política, cada candidato é um elemento de um conjunto chamado Partido. A teoria dos conjuntos, eventualmente apresentada de uma forma puramente matemática, pode ter aplicações em diversas áreas profissionais. Muitas vezes, mesmo sem que percebamos, trabalhamos e pensamos em conjuntos. Quando uma pessoa deseja saber que ônibus deve usar para sair de um local para outro, está na verdade em busca do conjunto de linhas que percorre aquele trajeto. Usualmente, nomeamos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ...
1.3 Representação de um conjunto Em nosso estudo, utilizaremos três tipos de representação de conjuntos e seus elementos:
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REPRESENTAÇÃO TABULAR. Nesta representação, enumeram-se todos os seus elementos, ou seja, apresentam-se explicitamente cada um dos elementos pertencentes ao conjunto. Todos os elementos do conjunto são apresentados em uma lista, separados por vírgula e são envolvidos por um par de chaves.
REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE DIAGRAMA DE VENN Nesta representação, os elementos do conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE Nesta representação, os elementos são definidos por meio de uma propriedade comum a todos os seus elementos, não havendo, neste caso, a necessidade de se apresentar cada elemento de forma explícita.
A enumeração é mais adequada quando o número de elementos do conjunto é pequeno. A sua evidenciação através de uma propriedade é, por sua vez, mais adequada quando o número de elementos é razoavelmente grande ou até infinito, como veremos em alguns casos, principalmente de conjuntos numéricos, em que se torna impossível a enumeração de todos os seus elementos.
1.3.1 Representação tabular ou por enumeração A definição de um conjunto através da enumeração de todos os seus elementos consiste simplesmente em apresentá-los de forma explícita e direta.
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Normalmente a enumeração é feita colocando-se todos estes elementos entre chaves e separados por vírgula.
EXEMPLO O conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto: {a, e i, o, u} O conjunto cujos elementos são as consoantes: {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato que também não altera tal conjunto. No caso do conjunto das vogais de um alfabeto, tanto faz indica-lo como {a, e, i, o ,u} ou {e, u, i, o, a}.
1.3.2 Representação através de diagramas de Venn. Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
EXEMPLO a
A
B 1
e 2 i 3 o 4 u
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1.3.3 Representação através de uma propriedade Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos do conjunto, principalmente por conta da elevada quantidade de elementos. Neste caso, podemos descrever tal conjunto por uma propriedade comum a todos os seus elementos. A definição de um conjunto pela evidenciação de uma propriedade comum aos seus elementos consiste em apresentá-los de forma indireta, através de uma sentença que os defina. Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p} (Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.)
EXEMPLOS a)
A = {x | x é país da Europa} O conjunto A é formado por todos os países da Europa
b)
B = {x | x é mamífero} O conjunto B é formado por todos os mamíferos
c)
{x | x é um Estado da Região Sudeste do Brasil} Lê-se: “x” tal que “x” é um Estado da Região Sudeste do Brasil Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus elementos: {Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais} Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus elementos: {Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais}
Axioma da Extensão: Dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os
mesmos elementos.
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Repare que o Axioma da Extensão nos diz que não se distingue dois conjuntos formados pelos mesmos elementos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Construa o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}: Resolução: A
B
4 2 1
5 3 6
U
1.4 Relação de pertinência Quando estamos trabalhando com conjuntos utilizamos símbolos matemáticos para demonstrar situações e/ou operações entre conjuntos e elementos. Observe os exemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Indicamos estes fatos respectivamente por: u ∈ A (lê-se “u pertence a A”) e u ∉ B (lê-se “u não pertence a B”) A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus elementos é denominada relação de pertinência. ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) Assim, para indicar que um elemento pertence a um conjunto usa-se o símbolo∈. Para indicar que um elemento não pertence a um conjunto usa-se o símbolo ∉.
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Assim, a relação de pertinência indica se um dado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Quando utilizamos a relação de pertinência, estamos relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem. “elemento” ∈ “conjunto” ou “elemento” ∉ “conjunto” Podemos dizer que um elemento pertence a um conjunto se ele está listado, se é “visualizado” no conjunto.
EXEMPLO Considere o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8} . Podemos dizer que: 2 ∈ A : O elemento 2 pertence ao conjunto A. 3 ∉ A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
1.5 Tipos de conjuntos 1.5.1 Conjunto unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
EXEMPLO a) b)
C = {5} B = { x | x é estrela do sistema solar}
1.5.2 Conjunto vazio Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou seja, é definido de tal maneira que não é possível encontrar qualquer elemento que pertença a ele. Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }.
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EXEMPLO a) D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø b) E = {x | x é computador sem memória} = { } c) {x | x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe múltiplo de quatro que seja ímpar, uma vez que quatro é um número par, que multiplicado por qualquer outro inteiro resulta em um número par.
ATENÇÃO Quando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um conjunto, listados, visíveis, o conjunto vazio deve ser tratado como elemento desse conjunto.
EXEMPLO Considere o conjunto A={ Ø ,1, 2, 3}. Temos que Ø ∈ A , pois Ø é um elemento do conjunto A.
1.5.3 Conjunto finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos.
EXEMPLO a) b) c)
B = {1, 2, 3, 4} D = {x | x é brasileiro} H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
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1.5.4 Conjunto infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem.
EXEMPLO a) b)
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} A = { x ∈ N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
1.5.5 Conjuntos Iguais Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Pode-se, na realidade, dizer que representam o mesmo conjunto, ainda que denominados de maneira distinta.
EXEMPLO a)
Considere os conjuntos A e B assim definidos. A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}. Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. b) o conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que completam 18 anos este ano e o conjunto de jovens brasileiros que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano são, na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os mesmos elementos, ainda que denominados de maneira distinta.
1.5.6 Conjuntos Diferentes. Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”).
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1.5.7 Conjunto Universo (U) O conjunto universo contém todos os elementos que possam vir a pertencer a conjuntos definidos no contexto considerado, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
EXEMPLO a) Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como con junto solução S = {0, 2, 4}. b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o conjunto formado pelos que deveriam fazer o alistamento militar em determinado ano são conjuntos definidos a partir de um grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira. A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, universal, a partir do qual podemos definir conjuntos menores. Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados por grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto formado por toda a população pode ser considerado como o conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados por indivíduos com determinada característica. O conjunto Universo é simbolizado pela letra U. No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, podemos definir como Universo o conjunto que contém todas as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado a seguir. {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
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1.5.8 Conjuntos Disjuntos Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Ou seja, não é possível encontrar um elemento que pertença, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos.
EXEMPLO a) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, sendo o primeiro formado por idosos e o segundo formado por pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, consequentemente os mesmos são disjuntos. b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um alfabeto. Como não existe uma letra que seja, simultaneamente, uma vogal e uma consoante, pode-se afirmar que estes dois conjuntos são disjuntos.
1.6 Subconjunto 1.6.1 Conceito A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto A pertencerem a outro conjunto B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Se um único elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no conjunto B.
EXEMPLO Considere o conjunto das letras do nosso alfabeto: A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z} Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo conjunto de consoantes (C). V = {a, e, i, o, u} C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}
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O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do nosso alfabeto. Simbolicamente, temos V ⊂ A ( lê-se: V está contido em A) ou A ⊃ V (lê-se: A contém B) Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, necessariamente, elementos do conjunto original.
1.6.2 Definição formal. Assim, sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Indica-se que A é subconjunto de B por: A ⊂ B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B ⊃ A (lê-se “B contém A”). A ⊂ B (∀ x) (x ∈ A → x ∈ B) Para todo x, se x pertence a A, então x pertence a B. B A
EXEMPLO a) Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B. b) Considere o conjunto de jovens brasileiros que farão o alistamento militar obrigatório este ano. Este é um subconjunto do conjunto de jovens brasileiros que completam 18 anos de idade no presente ano.
capítulo 1 •
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c) d) e)
{2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5} ⊃ {9, 6} {2, 8} ⊂ {2, 8}
1.6.3 Propriedades 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ∅ ⊂ A, ∀ A.
EXEMPLO a)
∅ ⊂ {1, 2, 3}
b)
∅⊂∅
2. O conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subcon junto de si mesmo. A ⊂ A, ∀ A 3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no contexto considerado. Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: A ⊄ B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”)
EXEMPLO (a) {a, b, c} ⊄ {a, b, d}
ATENÇÃO 1 – A relação de inclusão (⊂) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B ⊂ A.
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capítulo 1
2 – A relação de pertinência (∈) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x ∈ A.
1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por exemplo, o conjunto: P = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ∅ é elemento de P e, portanto, escrevemos ∅ ∈ P.
Além disso, temos tam-
bém que {a} ∈ P, {b} ∈ P, {a, b} ∈ P. Vejamos alguns subconjuntos de P: {∅} ⊂ P: Todos os elementos de {∅}, no caso só há o elemento ∅, é elemento de P. {{a}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento{a}, é elemento de P. {{a, b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o elemento{a,b}, é elemento de P. {{a}, {b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}, {b}} , no caso os elementos {a} e {b}, são elementos de P.
1.8 Conjunto das partes de um conjunto Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A: •
•
•
com nenhum elemento: ∅ com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2}
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Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, e indica-se por P(A) (lêse P de A) ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
EXEMPLO a)
No exemplo acima, P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}.
b)
Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {∅, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A) com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. No segundo exemplo (b), B tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n. Exemplo:
Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine os 32 subconjuntos do conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto. Resolução: { }, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u}, {a, e, i}, {a, e, o}, {a, e, u}, {a, i, o}, {a, i, u}, {a, o, u}, {e, i, o}, {e, i, u}, { e, o, u}, {i, o, u}, {a, e, i, o}, {a, e, i, u}, {a, i, o, u}, {e, i, o, u}, {a, e. i. o. u}`
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capítulo 1
1.9 Operações com conjuntos Quando se fala em “operações”, lembramos de operações entre números: adição, subtração, divisão, multiplicação. Podemos também, e muitas vezes precisamos, operar conjuntos. As operações definidas sobre conjuntos resultarão sempre em outro conjunto no mesmo contexto em que os conjuntos originais foram definidos.
1.9.1 Número de elementos de um conjunto O número de elementos de um conjunto é definido como a quantidade de elementos que este conjunto possui. Em conjuntos pequenos, este número pode ser obtido por simples contagem. Em conjuntos maiores (mas não infinitos), deve-se estabelecer, quando possível, uma expressão matemática que permita obter este número.
1.9.2 Interseção de conjuntos (∩) Dados dois conjuntos A e B, definimos a intersecção de A com B como o con junto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção entre A e B é indicada por A ∩ B (lê-se ”A intersecção B”). Simbolicamente: A ∩ B = {x /| x ∈ A e x ∈ B}
EXEMPLO a)
b) A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A ∩ B = {3, 5, 8}
c) A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A ∩ B = {3, 5} = A
A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A ∩ B = ∅
Propriedades da interseção de conjuntos:
I. II. III.
B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, ∀ A, B A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C
capítulo 1 •
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Caso estes conjuntos sejam disjuntos sua interseção será um conjunto vazio. Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a interseção entre dois conjuntos A e B hachurada: A
B
A
B
A B
EXERCÍCIO RESOLVIDO Faça o diagrama de Venn que representa a interseção entre três conjuntos A, B e C; Solução: B A
C
1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪) Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao con junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união de dois ou mais conjuntos é um conjunto cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Observe que os elementos podem
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capítulo 1
inclusive pertencer a mais de um conjunto ou, até mesmo a todos os conjuntos cuja união se deseja obter. A união de A com B é indicada por A ∪ B (lê-se ”A união B”). Simbolicamente: A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
EXEMPLO a) A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 8, 9} b) A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} = B c)
A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} Propriedades da união de conjuntos:
I. II. III.
B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A, B A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C
Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a união de dois conjuntos A e B hachurada: A
B
A
B
A B
capítulo 1 •
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EXERCÍCIO RESOLVIDO Faça o diagrama de Venn que representa a união entre três conjuntos A, B e C; Solução: B A
C
1.9.4 Diferença de conjuntos (–) Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Assim, a diferença entre dois conjuntos é definida como sendo o conjunto cujos elementos pertencem ao primeiro conjunto, mas não ao segundo. A diferença entre A e B é indicada por A – B (lê-se ”A menos B”). Simbolicamente: A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
EXEMPLO a) A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A – B = {2, 6} B – A = {9}
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capítulo 1
b) A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A – B ={ } =∅ B – A = {2, 4, 6} c) A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A – B = {2, 3, 5} = A B – A = {4, 6} = B d) Considere dois conjuntos, sendo o primeiro formado por todos os jovens brasileiros que completam 18 anos de idade neste ano, e o segundo formado pelos jovens que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano. É fácil verificar que o primeiro conjunto, que reúne todos os homens e mulheres que completam 18 anos este ano, contém todos os elementos do segundo conjunto – composto por todos os jovens do sexo masculino que completam 18 anos no presente ano. Logo, a diferença entre o primeiro e o segundo conjuntos fornece como resultado um terceiro conjunto, formado por jovens brasileiros do sexo feminino que completam 18 anos de idade no presente ano. e) Por outro lado, a diferença entre o segundo e o primeiro conjuntos fornece como resultado o conjunto vazio. Repare, como ilustrado por este exemplo, que para obter a diferença entre dois conjuntos não é necessário que o primeiro conjunto contenha todos os elementos do segundo conjunto. Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a diferença entre dois conjuntos A e B hachurada: A
B
A
B
A B
A-B
capítulo 1 •
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Propriedades da diferença de conjuntos:
I. II. III.
B ⊂ A ⇔ B – A = ∅, ∀ A, B A ∩ B = ∅ ⇔ B – A = B, ∀ A, B A ≠ B ⇔ (A – B) ≠ (B – A) , ∀ A, B
1.9.5 Conjunto complementar (C) O complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto B é um con junto C, formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B, mas não ao conjunto A, e desde que A seja um subconjunto de B. Assim, se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B, então a diferença B – A é chamada complementar de A em B. O complementar de A em B é indicado por CB A (lê-se “complementar de A em B). Simbolicamente: CB A = B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}, onde A ⊂ B
EXEMPLO a) A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} Como A ⊄ B, então não existe CB A b) A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} Existe CB A , pois A ⊂ B. CB A = {2, 4, 6} c) O complemento do conjunto de jovens brasileiros obrigados a fazer o alistamento militar no presente ano (conjunto A) com relação ao conjunto dos jovens brasileiros que completam 18 anos no presente ano (conjunto B), é o conjunto dos jovens brasileiros do sexo feminino que completam 18 anos no presente ano (conjunto C).
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capítulo 1
d) O complemento do conjunto de vogais de um alfabeto (conjunto A) com relação ao con junto de todas as letras do alfabeto (conjunto B), é o conjunto de consoantes deste mesmo alfabeto (conjunto C). Complementar de A em relação a um universo Quando tivermos um conjunto universo previamente fixado, indicaremos o complementar de A em relação a U simplesmente por A’ (ou A ) no lugar de CU A. Propriedades do complementar:
I. II. III. IV.
CA A = ∅, ∀ A CA ∅ = A, ∀ A (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ , ∀ A, B (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ , ∀ A, B Nota: As propriedades III e IV são conhecidas como “leis de De Morgan”.
Outra forma de se obter o complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto B consiste em se obter a diferença entre os conjuntos B e A, desde que A seja um subcon junto de B. No diagrama de Venn a seguir, representamos o complementar do conjuntos A em relação ao Universo hachurada: U
A
1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos O número de elementos da união de dois conjuntos A e B será: n(A∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
capítulo 1 •
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Considere o Diagrama de Venn representando os conjuntos A e B e seus elementos. A X
B Y
Z
n (A) = x + y n (B) = y + z n (A∪ B) = x + y + z . Repare que, se somarmos o número de elementos do conjunto A (x + y) com o número de elementos do conjunto B (y+z), os elementos da interseção (y) serão contados duas vezes, por isso precisamos retirar o número de elementos da interseção (y), quando estamos calculando o número de elementos da união.
1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos a) Fechamento
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B (A ∪ B) e a interseção de A e B (A ∩ B) ainda são conjuntos no mesmo universo. b) Associativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, vale a propriedade associativa em relação a união e em relação a interseção. A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C c) Comutativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, vale a propriedade comutativa em relação a união e em relação a interseção. A∪B=B∪ A A∩B=B∩ A
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capítulo 1
d) Elemento neutro para a operação de união entre conjuntos
O conjunto vazio é o elemento neutro das operações de união entre conjuntos. De fato: A∪ ∅ = A (e) Elemento neutro para a operação de interseção entre conjuntos
O conjunto universo é o elemento neutro das operações de interseção entre conjuntos. De fato: A ∩ U=A f) Distributiva
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, têm-se: A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Faça o Diagrama de Venn representativo dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} e enumere os conjuntos: a) L = A U B b) M = A ∩ B c) N = A – B d) O = B – A Resolução A
B
4 2 1
5 3 6
U
a) L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) M = {2, 3}
capítulo 1 •
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c) N = {1} d) O = {4, 5, 6} 02. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preencha os campos abaixo com a simbologia adequada: a) 3___A b) 7___C c) A___B d) B___C e) C___A f) C___B Resolução.
a) 3 ∈ A b) 7 ∉ C c) A ⊄ B d) B ⊄ C e) C ⊃ A f) C ⊄ B 03. Descreva o conjunto das partes do conjunto A = {2, 5, 7}: Resolução.
P(A) = {Ø, {2}, {5}, {7}, {2, 5}, {2, 7}, {5, 7}, {2, 5, 7}} 04. Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {11, 12, 13} e escreva por extenso a) X = A U B b) Y = A ∩ B c) Z = A U C d) W = A ∩ C e) P CBA f) U CBA g) K = (A U C) – B h) T = B – (A ∩ C) =
=
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•
capítulo 1
Resolução. B C A
6
1 3 2
7 4
11 12 13
5 8
U
Resolução
a) b) c) d) e) f) g) h)
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Y=A Z = {1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13} W={} P = {6, 7, 8} U={} K=C T=B
05. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {1,2}, 3, {3,4}}, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. ( )∅∈A ( ) 4∈ A ( ) { } ⊂ A ( ) {{1,2}} ⊂ A ( ) {3,4} ⊂ A Resolução.
(F) ∅ ∈ A (conjunto vazio está contido, pois a relação é de inclusão). (F) 4 ∈ A (4 não é um elemento isolado de A). (V) { } (conjunto vazio está contido em todos os conjuntos). (V) {{1,2}} ⊂ A (é um dos subconjuntos de A com um elemento). (F) {3,4} ⊂ A (é um elemento único de A, logo a relação é de pertinência).
capítulo 1 •
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06. (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. Disponível em:
. Acesso em: 09. mai 2009. Adaptado U P
A
M
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como (A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. Resolução:
A região sombreada no Diagrama de Venn não pertence ao conjunto P, dos passageiros, assim, esta região não representa passageiros, mas sim tripulantes.
38
•
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Observe que essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M, então, a região sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México (alternativa C). 07. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? Resolução C
A
9%
8%
N
14%
x
Lembrando que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. 31% + x = 100%. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%. 08. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. Resolução: M
H 270
120
180 20 130
80
N x
70 S
capítulo 1 •
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Sempre começamos indicando o número de elementos da interseção. Não esqueça de descontar os elementos da interseção, caso contrário, estaremos contando os elementos em duplicata. 200 – 20 = 180 150 – 20 = 130 100 – 20 = 80 600 – 180 – 20 – 130 = 270 400 – 180 – 20 – 80 = 120 300 – 130 – 20 – 80 = 70. 270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870 a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130 c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410 09. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500 Resolução:
I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. I
S N
4000 – x
40
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capítulo 1
x
2800 – x
3500
4000 – x + x + 2800 – x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Temos então que x = 10300 – 10000 = 300. O número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem será 4000 – x = 4000 - 300 = 3700. 10. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
PROGRAMAS NÚMERO DE TELESPECTADORES
E
N
H
EeN
EeH
NeH
400
1220
1080
220
180
800
E, N e H Nenhum 100
x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: a) 200 b) os dados do problema estão incorretos c) 900 d) 100 Resolução:
Começando sinalizando no diagrama de Venn a interseção, que tem 100 elementos. E
N 120 300
100 100 80
700
200
Nenhum
x
H
100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. 1600 + x = 1800.
capítulo 1 •
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O número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 – 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta
1.10 Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Inicialmente será apresentado o conjunto dos números naturais, o mais simples e intuitivo, e o primeiro a ser utilizado pelo ser humano, ainda que de uma maneira intuitiva. Em seguida serão apresentados, nesta ordem, os conjuntos dos números inteiros, racionais, irracionais e reais.
1.11 Números naturais 1.11.1 Conceito O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade primária de contagem pela civilização humana. Dizem os historiadores que a ideia da contagem teve início quando pastores de ovelhas precisavam conferir se a quantidade de ovelhas que levavam para pastorear era a mesma quantidade que retornava. Desta forma, para cada uma das ovelhas que saía do cercado onde eram confinadas o pastor colocava uma pedra em um pequeno saco de pano. Quando retornavam, a cada ovelha que reingressava no cercado ele retirava uma pedra do saquinho. Esta era uma forma de controle, mesmo que os algarismos numéricos ainda não houvessem sido definidos.
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•
capítulo 1
Percebe-se, no entanto, que uma contagem de objetos animados ou inanimados sempre começa em um e é sempre positiva. E a ausência de qualquer quantidade representa a ausência de objetos, ou nenhum objeto. Os números naturais são capazes de definir estas quantidades e formam um conjunto simbolizado pela letra N. N = {0, 1, 2, 3, 4,...}
1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais Com relação ao conjunto dos números naturais, (N) são válidas as seguintes propriedades: Cada número possui um sucessor, que no processo de contagem representa uma unidade a mais na contagem de objetos. O número de elementos deste conjunto é infinito, pois para qualquer número natural, sempre se pode definir o seu sucessor. •
•
1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais. Definimos as operações de adição e multiplicação sobre o conjunto dos números naturais.
ADIÇÃO
A soma de dois números a e b, representada por a + b, é um terceiro número c, de tal maneira que, no processo de contagem, o número de objetos representados por c resulte da reunião de todos os objetos representados por a e por b. Assim, a quantidade de objetos representados por c resulte da quantidade de objetos resultante da reunião de todos os objetos representados por a e por b. Exemplo: Se a = 2 e b= 3 então c = a + b = 5.
capítulo 1 •
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MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação consiste numa operação repetida da operação de adição. Pode-se representar a adição de duas vezes um mesmo número a, indicada por a + a, como 2 * a. A adição de três vezes um mesmo número por 3 * a e assim por diante... A multiplicação pode, portanto, ser considerada como uma forma compacta de se representar a adição repetida de um mesmo número.
1.11.4 Propriedade das operações sobre o conjunto dos números naturais São válidas as seguintes propriedades com relação às operações entre números naturais: •
•
•
•
•
•
Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) Comutativa da adição: a + b = b + a Elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a Associativa da multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c) Comutativa da multiplicação: a * b = b * a Elemento neutro da multiplicação: a * 1 = 1 * a = a
EXEMPLO a) Exemplos atuais de uso dos números naturais em processos de contagem são o censo demográfico populacional – quando se determina o número de habitantes em uma região, a contagem de veículos em uma rodovia e a de passageiros que usaram um ônibus (contagem esta processada por uma roleta). b) Os números naturais também podem ser usados para medir distâncias em uma determinada direção, sendo esta distância medida através de uma quantidade positiva de um valor usado como padrão de medida – como, por exemplo, um certo número de passos de tamanho fixo de uma pessoa.
44
•
capítulo 1
Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }. As operações de adição e multiplicação são fechadas em N, ou seja, podemos sempre efetuar a adição e a multiplicação, e a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. No entanto, repare que a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural. Por exemplo, a subtração 2 -3, não é possível em N. Desta forma, surge a necessidade de ampliar o conjunto dos naturais, introduzindo os números negativos.
1.12 Números inteiros 1.12.1 Conceito O conjunto dos números inteiros expande os números naturais, incorporando números negativos. O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade de se considerar, em transações comerciais, ainda que de forma primitiva, uma representação de débito ou falta de uma determinada quantidade, uma forma de controlar seus pertences, valores ou objetos sob sua guarda.
EXEMPLO a) Em análises contábeis, por exemplo, há a necessidade de se lançar um débito (ou gasto) de uma forma diferente da usada para se lançar um crédito (Na contabilidade das empresas, por exemplo, há necessidade de controlar o patrimônio investido nos negócios, analisando seus acréscimos e reduções). b) Em uma conta bancária, quando um correntista faz uma retirada superior ao saldo disponível na conta, fica em débito com o banco (admitindo-se que o banco lhe ofereça este tipo de crédito).
O conjunto Z dos números inteiros, portanto, é composto de quantidades positivas e negativas e é simbolizado pela letra Z: Z = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
capítulo 1 •
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Além das operações de adição e multiplicação, os números inteiros permitem a inclusão de mais uma operação, chamada de subtração. Sejam a e b dois números inteiros. A subtração é definida da seguinte maneira: a – b = c, ou seja, permite uma operação inversa fornecendo como resultado um terceiro número inteiro c, de tal maneira que a = b + c. Repare que esta operação não seria definida no conjunto dos números naturais, se b for maior que a. Pode-se interpretar o valor de c como sendo o “troco” a ser dado por um cobrador de ônibus a um passageiro que paga uma passagem de valor b com uma quantia maior a. É muito comum que o cobrador, para conferir o troco, adicione a este o valor da passagem, comparando o valor obtido com a quantia entregue pelo passageiro (que devem ser iguais).
1.12.2 Subconjuntos de destaque Alguns subconjuntos do conjunto dos inteiros merecem destaque: – Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros não negativos. – Z– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros não positivos. – Z*+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros positivos. – Z*– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros negativos. Com a inclusão dos números negativos surge o conceito de oposto ou simétrico de um número inteiro a, indicado por –a, tal que a + (–a) = 0. Podemos encarar os números inteiros geometricamente como:
–3
–2
–1
0
1
2
3
Note que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 2 é –2 e o oposto ou simétrico de –2 é o 2 e vale a operação 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.
46
•
capítulo 1
1.12.3 Operando em Z O conjunto dos números inteiros é fechado em relação a adição, multiplicação e subtração, isto é, em Z, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. Além disso, todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z.
ADIÇÃO EM Z
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservar o sinal e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o do maior número. O sinal mais (+) antes de um parêntese não alterará o sinal do número que está entre parênteses, no entanto, quando o sinal antes do parêntese for o de (–), alteramos o sinal do número que está entre parênteses. Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).
MULTIPLICAÇÃO EM Z
Quando multiplicamos números de mesmo sinal obtemos sempre resultado positivo, enquanto que quando multiplicamos números de sinais contrários obtemos como resultado números negativos.
DIVISÃO EM Z
A divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Exemplos: A divisão (-8) : (+2) = -4 é possível em Z. Já a divisão (-7) : (+2) não é possível em Z. Dessa forma, observamos a necessidade de ampliar o conjunto Z.
capítulo 1 •
47
1.13 NÚMEROS RACIONAIS 1.13.1 Conceito Considere uma pizza circular dividida em oito partes iguais, das quais são retiradas duas partes. A mesma quantidade seria selecionada caso a pizza fosse dividida em quatro partes, das quais fosse selecionada uma única parte. Este conceito pode ser estendido para qualquer razão entre dois números inteiros, positivos ou negativos, de tal maneira que para qualquer par de números inteiros a e b, b ≠ 0, a / b representa uma fração ou elemento do conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q. Nesta fração, a e b são chamados, respectivamente, de numerador e denominador da fração. Os números racionais representam, portanto, um conjunto de números da forma a / b que inclui, inclusive, o conjunto dos números inteiros (bastando que se faça b = 1).
1.13.2 Propriedades dos números racionais. Os números racionais apresentam as propriedades apresentadas a seguir: •
•
•
•
•
a
Igualdade: Soma:
c =
b
a
ad
c
b
+
d
Subtração:
↔
=
a b
ad
= bc
d + bc
bd ad
c −
Multiplicação:
d
=
a b
bc
bd c
⋅
−
d
ac =
bd
Inverso multiplicativo: O inverso multiplicativo de
O inverso multiplicativo de Dessa forma, c b d
=
a b
é o número
c d
a b
é o número
de tal forma que:
a
Exemplo: O inverso multiplicativo de 3/5, por exemplo, é 5/3.
48
•
capítulo 1
b a
a b
c ⋅
d
=
1.
1.13.3 Frações As frações usadas para representar os números racionais podem ser classificadas como: própria: Quando o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 2/3 imprópria: Quando o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 5/3 mista: Quando constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Exemplo: 2 2/3 = 8/3 aparente: Quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: 6/3 = 2 equivalentes: São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo: 2/3 = Exemplo: 2/3 = 4/6 irredutível: Quando o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Exemplo: 2/3 decimal: Quando o denominador é uma potência de 10. Exemplo: 100/3 •
•
•
•
•
•
•
1.13.4 Forma fracionária e forma decimal. Definimos os números racionais como aqueles que podem ser escritos sob a forma de fração. Pois bem, dessa forma, precisaremos trabalhar com frações, ou seja, precisaremos transformar um número decimal, um número inteiro, uma dízima periódica em número fracionário. Os números decimais originam-se nas frações decimais (são aquelas cujo denominador é uma potência de 10). Exemplos de frações decimais: 1/10, 3/100, 23/103 Exemplo. A fração 1/2 equivale à fração 5/10, que, por sua vez, equivale ao número decimal 0,5. Podemos representar uma fração decimal por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula. Exemplo: 127/100 = 1,27
capítulo 1 •
49
Podemos também transformar um número decimal em uma fração decimal. Basta tomarmos como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Exemplos: a) 0,5 = 5/10 b) 0,05 = 5/100 c) 2,41 = 241/100 d) 7,345 = 7345/1000 e) 0,3=3/10 f) 0,25 = 25/100 = ¼ g) –0,75 = -75/100 = -3/4 Até agora, vimos números decimais com finitas ordens decimais ou de extensão finita. Repare que estes números têm a forma a/b com a e b sendo numeros inteiros e b ≠ 0. As dizimas periódicas simples ou compostas são números decimais com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. Exemplos: a) 1/3 = 0,333... b) 4/11 = 0,363636... c) 23/90 = 0,2555... Repare que as dizimas periódicas também têm a forma a/b com a e b sendo numeros inteiros e b ≠ 0.
1.14 Números irracionais 1.14.1 Conceito O surgimento dos números irracionais teve origem em uma discussão de um antigo problema de Pitágoras, sobre o cálculo da diagonal de um quadrado de lado 1. Esta diagonal mede 2 .
50
•
capítulo 1
Os números irracionais (I) formam um conjunto de valores que não podem ser expressos na forma de uma fração. Estes números formam um conjunto cuja interseção com o conjunto dos números racionais Q é o conjunto vazio, pois os elementos do conjunto dos números racionais podem ser expressos na forma de uma fração. A necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência evidenciou também a existência de um número que se repetia para qualquer que fosse a circunferência, número este denominado de número pi (π). O número π é um exemplo de número irracional. Ele representa a divisão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro, com o valor aproximado de 3,14159265359 A parte decimal dos números irracionais não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, como ocorre em frações periódicas.
1.14.2 Exemplos de números irracionais Número Pi: π =3,141592653589793284... Número de Ouro: ϕ = 1,61803398874989... Constante de Euler: e = 2,7182818... 2 = 1,4142135623730950488016887242097... 3 = 1,7320508075688772935274463415059... Nunca saberemos o valor da última casa decimal destes números irracionais. Os números irracionais são aqueles que, sob sua forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos, ou seja, possuem infinitas casas decimais nas quais não há um período de repetição.
1.15 Números reais Os números reais formam um conjunto numérico que compreende os números racionais e irracionais. Sobre este conjunto estão definidas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
capítulo 1 •
51
1.15.1 Propriedades dos Números Reais Para os números reais podemos definir ainda as propriedades denominadas lei do cancelamento e lei do anulamento: a) Leis de cancelamento da soma e do produto Se a + c = b + c então a = b Se a * c = b * c, sendo c ≠ 0 então a = b b) Lei de anulamento do produto Se a * b = 0 então a = 0 ou b = 0.
1.15.2 Intervalos Numéricos Os números reais podem ser representados sobre uma reta com as seguintes características: Apresentar um ponto especial, denominado origem, a partir do qual se define uma orientação positiva (convencionada como sendo para a direita). A cada ponto desta reta está associado um número real, que define a distância deste ponto à origem e seu sentido (positivo ou negativo). •
•
Ainda sobre esta reta podem ser definidos intervalos numéricos com as seguintes características: a) Intervalo aberto definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por ]a, b[, estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores que b. a
b
b) Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por [a, b[, estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b. a
52
•
capítulo 1
b
c) Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por ]a, b], estão definidos todos os números reais que são maiores que a a e menores ou iguais a b. a
b
d) Intervalo fechado definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por [a, b], estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. a
b
1.15.3 Centro e raio de um intervalo O centro de um intervalo pode ser definido pelo ponto equidistante dos seus extremos, o ponto médio, cujo valor numérico é igual à média aritmética dos valores numéricos associados aos seus extremos. Logo, em um intervalo cujos pontos extremos estão associados os valores reais a e b (a < b), o centro é definido pelo ponto associado ao resultado (a + b)/2. O raio deste intervalo, portanto, será igual à distância de qualquer um dos extremos ao centro do intervalo, ou seja: r =b−
(a + b) (a + b) 2
=
2
−a =
(b − a) 2
1.15.4 Formas de representação numérica Um número real pode ser representado em uma forma decimal ou, no caso de ser racional, também em uma forma fracionária. a)
Forma Fracionária
A forma fracionária de representação de um número real e racional consiste em expressá-lo na forma de uma fração, composta por dois números inteiros a e b, sendo b ≠ 0, chamados numerador e denominador.
capítulo 1 •
53
Notação: a/b ou
a b
b)
Forma Decimal
A forma decimal de representação de um número real (racional ou irracional) consiste em expressá-lo na forma de uma parte inteira e uma parte decimal. Nesta representação decimal, cada algarismo tem um valor associado à sua posição. an...a 4a3a2a1a0,a-1a-2a-3a-4...a-n Desta maneira, o número anterior vale: an10n + .. + a4104 + a3103 + a2102 + a1101 + a0100 + a-110-1 + a-210-2 + ... + a-n10-n Conforme pode ser verificado, cada algarismo é multiplicado pela potência de dez correspondente à sua posição, somando-se em seguida os resultados obtidos para todos os algarismos.
1.15.5 Simplificação de frações A simplificação de uma fração consiste em dividir seu numerador e denominador por um mesmo número inteiro, de tal maneira que os mesmos se tornem inteiros primos entre si.
1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e subtração através do MMC Ao se realizar a soma e a subtração de frações, deve-se coloca-las sob o mesmo denominador, de maneira que ambas representem partes de um todo que foi dividido em uma mesma quantidade de partes iguais. A forma mais simples de se fazer esta operação consiste em se determinar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores e multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pela razão entre este mínimo múltiplo comum e o seu denominador. Lembre-se que o mínimo múltiplo comum é obtido a partir da fatoração de cada um dos denominadores, sendo igual ao número obtido a partir do produto dos fatores comuns e não comuns destes denominadores elevados aos
54
•
capítulo 1
maiores expoentes. Considere, por exemplo, a soma: S=
4
7
75
+
90
Neste caso os denominadores são 75 = 3 * 52 e 90 = 2 * 32 * 5. Seu mínimo múltiplo comum será, portanto, 2 * 32 * 52 = 450. Logo, a primeira fração terá o seu numerador e denominador multiplicados por 450/75 = 6 e a segunda fração terá o seu numerador e denominador multiplicados por 450/90 = 5. S=
4 75
7 +
90
6.4 =
6.75
5.7 +
5.90
=
24 + 35 450
59 =
450
Mesmo raciocínio poderia ser aplicado para a subtração de frações: S=
4 75
7 +
90
6.4 =
6.75
5.7 +
5.90
=
24 − 35 450
=
−11
450
11 =−
450
1.15.7 Regra de sinais Para os números reais são válidas as seguintes regras de sinais: o produto e a divisão de dois números reais positivos fornece, como resultado, um número real positivo. Exemplo: 2*2 = 4 e 2 /2 = 1 •
o produto e a divisão de dois números reais negativos fornece, como resultado, um número real positivo. Exemplo: (-2)*(-2) = 4 e (-2)/(-2) = 1 •
o produto e a divisão de dois números reais, sendo um positivo e o outro negativo (em qualquer ordem) fornece, como resultado, um número real negativo. Exemplo: (-2)*(2) = -4 e (-2)/(2) = 01 •
capítulo 1 •
55
1.15.8 Operações numéricas As operações numéricas básicas são conhecidas como soma, subtração, multiplicação e divisão, já descritas anteriormente, e as operações de potenciação e radiciação, que serão descritas a seguir.
1.15.9 Precedência dos operadores Uma convenção define a precedência de operadores, segundo a qual, as operações presentes em uma mesma expressão numérica, envolvendo números reais, devem ser realizadas, de forma que não haja dúvida em relação ao resultado correto a ser produzido. Caso se queira que as operações sejam executadas fora da ordem estabelecida nesta convenção de precedência de operadores, devemse usar parênteses para que a ordem de execução das operações seja estabelecida de forma explícita. Neste caso, operações presentes em parênteses mais internos serão executadas antes das situadas externamente aos parênteses. A precedência de operadores estabelece que, quando em uma mesma expressão, sejam executados na seguinte prioridade (desde que não haja parênteses que alterem esta prioridade). •
•
•
Primeiramente a potenciação e a radiciação. Em seguida, a multiplicação e a divisão. Por fim, a soma e a subtração.
Desta forma, a expressão 7 + 3 x 5 resulta no valor 22 (pois a multiplicação é executada antes da soma) ao passo que a expressão (7 + 3) x 5 resulta no valor 50 (pois a precedência dos operadores foi alterada com o emprego de parênteses).
1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE) Em relatórios técnicos em que a apresentação de números deve ser limitada a uma determinada quantidade de casas decimais, deve-se estabelecer uma regra segundo a qual números obtidos com uma quantidade maior de casas decimais devem ser arredondados. A regra comumente adotada é apresentada a seguir:
56
•
capítulo 1
Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a cinco, acrescenta-se uma unidade ao primeiro algarismo situado à sua esquerda. Se o algarismo a ser eliminado for menor que cinco, mantém-se o algarismo situado à sua esquerda. •
•
Exemplos de arredondamento para duas casas decimais: 10,334 é arredondado para 10,33 7,467 é arredondado para 7,47 2,365 é arredondado para 2,37
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considere os conjuntos de números reais A = {x ∈ R |0 < x < 2} e B = {x ∈ R | −3 < x < 1} . Determine o conjunto . Resolução.
Os conjuntos A = {x ∈ R |0 < x < 2} e B = {x ∈ R | −3 < x < 1} são intervalos: A = ]0 2[ e B = ]-3 1[. –3 –3 –1
0
1
2
A B A ∪ B A ∩ B (A ∪ B) – (A ∩ B)
A ∪ B = [−3; 2[ A ∩ B =]0;1[ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) = {x ∈ R / − 3 < x ≤ 0} ∪ {x ∈ R / 1 ≤ x < 2}
02. Represente os seguintes subconjuntos de IR na reta numérica: a) A = {x ∈ |R / x > –3/2} b) B = {x ∈ |R / 2 < x < 5} Resolução.
a)
A = {x ∈ |R / x > -3/2}
–1,5
capítulo 1 •
57
b)
B = {x ∈ |R / 2 < x < 5} 2
5
03. Considere os conjuntos: A = {x ∈ IR, x > 0}, B = {x ∈ IR, x ≤ 1} e C = {x ∈ IR, –3 < x ≤ 2}, determine: a) A ∩ B b) A ∪ C c) (A ∪ C) – (A ∩ B) Resolução.
a) A ∩ B = ]0 1] b) A ∪ C = ] – 3 ) c) (A ∪ C) – (A ∩ B) = ] – 3 0] ∪ ]1 ) ∞
∞
04. a) b) c)
Considere os conjuntos D = ] – , –1[, E = ] –5, 2 [ e F = ] –1, 4], determine D ∩ E E ∪ F (E∪ F) – (D ∩ E) ∞
Resolução.
a) D ∩ E = ]– 5 – 1[ b) E ∪ F = (– 2[ c) (E ∪ F) – (D ∩ E) = (– – 5] ∪ [– 1 2[ ∞
∞
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Manoel Paiva, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna. 2. Edwaldo Bianchini, Herval Paccola, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
58
•
capítulo 1
2 Conceitos Fundamentais De Álgebra e Aritmética
OBJETIVOS • Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais; • Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um qualquer e o expoente inteiro; • Resolver expressões numéricas com potências; • Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples. • Calcular a raiz de um número racional; • Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios; • Simplificar radicais; • Simplificar expressões com radicais. • Compreender o significado dos produtos notáveis; • Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração de expressões algébricas; • Compreender o conceito de razão entre duas grandezas; • Reconhecer os termos de uma razão; • Reconhecer razões inversas; • Identificar proporções como igualdade de duas razões; • Identificar meios e extremos de uma proporção; • Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamental das proporções; • Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações; • Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais; • Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. • Compreender a ideia de taxa de porcentagem; • Identificar e representar porcentagens; • Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa; • Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
60
•
capítulo 2
2.1 Radiciação e potenciação As operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas em diversos campos. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o cálculo de potencias. O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na potenciação das taxas de juros. A função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências; além da notação científica, que representa números muito grandes ou pequenos. Cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar mais elementares e compreensíveis através da aplicação de certas propriedades de potenciação e radiciação. São propriedades relativamente simples de serem usadas. O estudo de potencias e raízes servem como base para entender outros conceitos dentro da própria matemática e dentro de outras ciências.
2.2 Potência de expoente natural 2.2.1 Conceito Dados um número real a e um número natural n, diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número que é igual ao produto de n fatores iguais a a, ou seja: an = a · a· a · ...· a
O número natural n é chamado de expoente, o número a é chamado de base. Lemos an como “a elevado à enésima potência”. Para qualquer número real não nulo a, definimos, para n = 0, a0 = 1 No caso de n = 1, temos que a1 = a
EXEMPLO c)
32 Pela definição, temos que a = 3 e n = 2. Portanto, o número 32 é igual ao produto de 2 fatores iguais a 3, ou seja, 32 = 3 • 3 = 9.
capítulo 2
• 61
d)
40 Pela definição, temos que, para qualquer valor de a ≠ 0, o valor a0=1. Então, com a = 4: 40 = 1 e)
51 Temos, por definição, que a1 = 0. Neste caso, a = 5. Portanto: 51 = 5
f)
04 Aqui, temos que a = 0 e n = 4. Portanto, o número 04 é igual ao produto de 4 fatores iguais a 0, ou seja, 04 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0
2.2.2 Propriedades Sendo a e b números reais e m e n números naturais, valem as seguintes propriedades 3.
Multiplicação de potências de mesma base ⋅
4.
Divisão de potências de mesma base −
=
5.
)
b
=
(
•
⋅
)
Divisão de potências de mesmo expoente
=
62
⋅
=
Multiplicação de potências de mesmo expoente ⋅
7.
≠
,
Potência de potência
( 6.
+
=
capítulo 2
,
≠
As restrições impostas para a e b nas propriedades 2 e 5, respectivamente, de vem-se ao fato de não podermos efetuar a divisão quando o denominador é zero. Na propriedade 2, de¬vemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente um número natural (0, 1, 2, ...).
2.3 Potência de expoente inteiro negativo Dados um número real a, não nulo, e um número natural n, chama-se potência de base a e expoente –n o número a–n, que é o inverso de an, ou seja: =
As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes e inteiros (positivos ou negativos).
EXEMPLO Vamos calcular as potências abaixo: g) 3–2 Pela definição, temos que o número 3–2 é o inverso de 32, ou seja,
3
2
−
1 =
3
2
=
9
−
h)
(–4)–2 O número (–4)–2 é o inverso de (–4)2. Sabendo que (–4)2 = (–4) (–4) = 16, então (
4
−
)
1
2
−
=
(
4
−
)
.
1 2
−
=
16
2.4 Raíz enésima e expoentes racionais 2.4.1 Conceito Um processo relacionado ao de calcular potências é o de extrair raízes. Por exemplo, quando buscamos a raiz cúbica do número 27, ou seja,
8
27
, esta-
mos procurando um número cujo cubo seja igual a 27. Este número é o 3, pois 33 = 27 e, então,
8
27
=3
capítulo 2
• 63
A expressão
n
é chamada radical, em que
a
é o símbolo da raiz, a é o
radicando e n é o índice. Quando nenhum índice for indicado, o valor de n será 2 e a expressão será chamada raiz quadrada.
2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1 Quando estamos resolvendo uma expressão
n
a
, com a ∈ R, e n sendo um
número natural ímpar, n ≥ 1, estamos procurando um valor b de forma que bn = a, com b ∈ R.
Simbolicamente,
n
a
= b ⇔ bn = a
EXEMPLO 3
Pois (
2
−
3
)
=
(
2
−
)(
2
−
)(
2
−
)
= −
8
−
= −
2
8
2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2 Quando estamos resolvendo uma expressão
n
a
, com a ∈ R, a não negati-
vo, e n sendo um número natural par, n ≥ 2, estamos procurando um valor b de
forma que bn = a, com b ∈ R. Simbolicamente,
n
a
= b ⇔ bn = a
EXEMPLO 100
Pois
3
10
=
10 10 10 ⋅
⋅
=
=
10
100
Se a for negativo, não existe nenhum número real igual a
64
•
capítulo 2
n
a
.
Por exemplo, não conseguimos calcular a
−9 , pois não existe nenhum número real b tal que b2 = –9. Neste caso, temos que a não é um número real. n
ATENÇÃO Muito cuidado com a raiz de índice par. Por exemplo, temos que 4 2 e não 4 = ± 2 . Na verdade, temos como resposta ±2 , quando estamos lidando com equações . Se desejamos resolver a equação =
x2 = 4, estamos procurando para que valores de x teremos o quadrado destes valores iguais a 4. Agora sim, podemos pensar nos dois valores: ±2 2 · 2 = 4 e (–2) · (–2) = 4
2.4.4 Propriedades Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais não nulos, valem as seguintes propriedades 1.
Mudança de índice n
2.
am
=
n⋅ p
a m ⋅ p , para a
≠
0
n
a
=
b
=
n
a b ⋅
Divisão de radicais de mesmo índice n
4.
0 ou m
Produto de radicais de mesmo índice n
3.
≠
a
n =
b
=
n
a b ⋅
Potência de uma raiz n n
a b
=
n
a b
,b≠0
capítulo 2
• 65
5.
Raiz de uma raiz m
( ) n
a
=
n
a , para a
≠
0 ou m
≠
0
EXEMPLO Calcular as raízes: 169 a) Usando a definição, temos que b)
7
0
c)
5
32
169
= 13, pois 132 = 169.
= 0, pois 07= 0 = 2, pois 25 = 32
−64 não é um número real, pois sendo d) tal que b2 = –64
n
a
= b, não existe nenhum número real b
2.5 Potência de expoente racional Dados um número real positivo a, um número inteiro p e um número natural q, com q ≥ 1, chama-se potência de base a e expoente
p
ou seja,
q
a raiz q -ésima de ap,
p
aq
q =
ap
As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes racionais.
EXEMPLO 8
Vamos calcular o valor de
y = 4 2
8 −
16
4
Resolução
Podemos efetuar este cálculo de duas maneiras: escrevendo as potências em forma de raiz ou usando as propriedades das potências.
66
•
capítulo 2
1ª maneira: escrevendo as potências em forma de raiz (utilizando a definição de potência de expoente racional). 8
y 4 2 =
8
16
−
y
=
43
−
y
=
64
−
y 8 =
−
4
4
163
4
4096
8
y 0 =
Os cálculos de 64 e de 4 4096 podem ser feitos fatorando-se os números 64 e 4096, mas também poderíamos utilizar propriedades de potência e radiciação para simplificar as raízes. 3
4
=
2
4 4
2
4
=
4
⋅
=
4 2 ⋅
=
8
2ª maneira: usando as propriedades de potência. 8
y 4 2 =
8 −
3 2 2 2
=
( )
y
=
(2)2
y
=
y
16 −
6
3
( 2 )
4 3 4 4 2
( ) 12
−
(2 ) 4
−
(2)
3
y 0 =
EXERCÍCIO RESOLVIDO 05. Escreva os itens abaixo como potência de base 2: 2
a) 16
b)
1 4
c)
5
32
d)
2
e)
88
8
f)
−
64
2
g)
5
( 2)
2
capítulo 2
• 67
Resolução
a) 16 = 24 b)
4
1 =
1
c)
5
=
2
2
32
5 =
2
2
−
5
2
2
=
1
2
d)
1
22 =
=
2
2
2
e)
22
88
=
(2 )
8
28
=
8
f)
64
2
=
2
2
=
( 2)
( 26 )
= 2
1 2
−
−
2
=
2
5
= 2
1 2
2
18
8
−
5
g)
=
−
6
2 3
1
−
8
=
2
9
−
5 2
06. Simplifique as expressões 2 2 3 a) 10 ⋅ (10 ) ⋅10 104
b)
(24 )2 ⋅ 25 ⋅ 2−3 (25 )5 Resolução
a)
102 (102 )3 10 ⋅
(24 )2 25 2 ⋅
⋅
⋅
=
104
b)
102 106 10
⋅
3
(25 )5
⋅
=
=
104
28 25 2
−
109
⋅
⋅
225
3
104
210
−
=
225
=
2
=
105
15
−
ESTUDO DE CASO APLICADOS 01. Se um capital inicial C for investido por t anos a uma taxa de juros compostos i (em decimal) ao ano, o valor futuro resultante, ou seja, o montante resultante será dado por M = C (1 + i)t, e o rendimento ganho é J = M – C. Determine o valor futuro (montante) quando se
68
•
capítulo 2
aplica R$ 1.200,00, por 5 anos, com taxa de 12% ao ano, a juros compostos. Resolução
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante) , basta substituir na fórmula os valores dados no problema. Portanto: M = C (1 + i )
t 5
M = 1200 (1 + 0,12 ) 5
M = 1200 (1,12 )
M = 1200 ⋅ 1,7623416832 M = 2114,81
O rendimento ganho é calculado através da fórmula J = M – C. Então, J = 2.114,81 – 1.200,00 = 914,81. Portanto, um capital inicial de R$ 1.200,00, quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano, por um período de 5 anos, resulta em um valor futuro de R$ 2.114,81 e em um rendimento ganho de R$ 914,81. 02. Determine o montante resultante quando se aplica R$ 2.500,00, por 12 anos, com taxa de 11,5% ao ano, a juros compostos. Resolução
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante) , basta substituir na fórmula os valores dados no problema. Portanto: t
M = C (1 + i )
12
M = 2500 (1 + 0,115 ) 12
M = 2500 (1,115 )
M = 2500 ⋅ 3,692312 M = 9230,78
J = 9.230,78 – 2.500,00 = 6.730,78 Então, um capital inicial de R$ 2.500,00, aplicado a uma taxa de 11,5% ao ano, por um período de 12 anos, resulta em um valor futuro de R$ 9.230,78 e em um rendimento de R$ 6.730,78.
capítulo 2
• 69
Observação.
É muito comum, no cálculo de potências e raízes, o resultado final apresentar uma dízima infinita não periódica. Neste caso, devemos trabalhar fixando uma quantidade de casas decimais. Quando maior esta quantidade, mais preciso será o resultado obtido 03. De acordo com Morettin et al. (2004, p. 93), “denomina-se função de produção a relação entre a quantidade física dos fatores de produção, tais como capital, trabalho e outros, e a quantidade física do produto na unidade de tempo. Se considerarmos fixos todos os fatores menos um, a quantidade produzida será função desse fator. Chamando de a quantidade produzida na unidade de tempo e x a quantidade do fator variável utilizada na unidade de tempo, teremos a função de produção P = f(x). Chamamos de produtividade média do fator variável P o valor indicado por Pm dado por Pm .” =
x
3
Vamos considerar a seguinte função de produção P 12 x 5 , em que P é o número de cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo número fixo de empregados) e x, o número de serras elétricas utilizadas. a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o número de serras for igual a zero? b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes maior? =
⋅
Resolução
a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o número de serras for igual a zero? Neste caso, temos x = 7 cadeiras. Substituindo na fórmula, obtemos: 3
P
=
12 x 5 ⋅
3
P
=
12 7 5 ⋅
Podemos reescrever esta fórmula escrevendo a potência em forma de raiz (utilizando a definição de potência de expoente racional):
70
•
capítulo 2
5
73
5
343
P
=
12
⋅
P
=
12
⋅
P
=
12 3, 2141
P
=
38,5692
⋅
Portanto, quando forem utilizadas 7 serras elétricas, serão produzidas aproximadamente 38,57 cadeiras. No caso de x = 0, temos: 3
P
12 x 5
=
⋅
3
P
=
P
=
12 0 5 ⋅
0
Portanto, quando não forem utilizadas serras elétricas, a marcenaria logicamente não produzirá nenhuma cadeira b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes maior? Se o número de serras ficar 32 vezes maior, teremos uma nova fórmula para a produção, que é dada por: 3
P
=
12
(
32 x
⋅
)5
Podemos reescrever esta fórmula decompondo o número 32 e utilizar propriedades de potencias. Com isso, obtemos: 3
P
=
12
⋅
(2 x )
⋅
(2 ) ( x )
5
5
3
P
P
=
=
12
12
5
3
5
5
3
3
(2 ) ( x )5
⋅
3
P
=
12
=
96
8
⋅
⋅
( x ) 5 3
P
( ) 5
⋅
x
Valor original: Valor com o número de serras ficar 32 vezes maior: Então, se o número de serras ficar 32 vezes maior, a quantidade produzida ficará 8 vezes maior
capítulo 2
• 71
2.6 Expressões algébricas 2.6.1 Conceito Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números e letras ou somente letras. As letras da expressão algébrica são chamadas de variáveis.
2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos todas as variáveis da expressão pelos valores dados e efetuamos as operações indicadas na expressão.
EXEMPLO Determine o valor numérico da expressão 5x + 8 + 4 , para x = 5 . x −5
5x + 8 x −5
4 +
x
=
( )
5 5 +8 5 −5
x
4 +
5
33 =
0
4 +
5
Denominador nulo. A expressão não representa um número real.
2.6.3 Monômio ou termo algébrico. Monômio é produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas. Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos explicitamente. Exemplo:
72
a)
2
b)
x
c)
2x
d)
–3xy 4
•
capítulo 2
Partes de um monômio Consideramos um monômio dividido em duas partes: •
um número – coeficiente do monômio e
•
uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências,
caso existam – parte literal Exemplos. a)
5x: 5 é o coeficiente do monômio e x é sua parte literal;
b)
–3xy 4: –3 é o coeficiente do monômio e xy 4 é sua parte literal;
c)
xz: 1 é o coeficiente desse monômio e xz é sua parte literal.
Grau de um monômio O grau de um monômio é definido quando todos os expoentes são números inteiros é dado pela soma dos expoentes. Exemplo. 2x2 y 5z grau 2 + 5 + 1 = 8
Monômios semelhantes. Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos. a)
2xy e
3
são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal xy.
2
b)
7a3b2 e 0,32a3b2 são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal a3b2.
Operações Com Monômios a)
Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e
somam-se/ subtraem-se os coeficientes Exemplo. 2 x2 y + 14 x2 y + 5 x2 y = 21 x 2 y
capítulo 2
• 73
b)
Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/ dividem-se as partes literais e
os coeficientes. Exemplos 16
a)
÷
2
=
8
(16x ) (2 x ) 5
x
5
÷
÷
x
=
x
=
5 x 7
÷ 10 x 3
c)
6 x 2 y 2 x 4 3y ⋅
4
4
b)
5
8x
2
⋅
1 = 5 ÷ 10 ⋅ x ÷ x = 5 ÷ 10 ⋅ x = 3 ⋅ x ) 7 3 ( 7 14 10 2
=
5
(6
⋅
2
3
3
2 3 ) ( x 2 x 4 y y ) 36 x6 y 2 ⋅
⋅
⋅
⋅
=
2.6.4 Polinômios Polinômio é toda expressão racional inteira composta de um ou mais termos, consiste na adição ou subtração algébrica de monômios Exemplos: a)
4x
b)
3x = 5
c)
3 4
x
4
1 −
5
3
x + 3x
2
− x +6
Operações com polinômios Adição e subtração de polinômios Calcule a soma dos polinômios:
( 4x2 − 7x + 2 ) + ( 3x 2 + 2x + 3) = =
4x 2 − 7x + 2 + 3x 2 + 2x + 3 = (eliminando os parr nteses)
=
4x 2 + 3x 2 − 7x + 2x + 2 + 3 = (agrupando os termos semelhantes)
=
( 4 + 3 ) x 2 + ( −7 + 2 ) x + 5 =
=
7 x 2 − 5x + 5
74
•
capítulo 2
(reduzindo os termos semelhantes)
Multiplicação de polinômios Multiplicamos os coeficientes numéricos e multiplicamos as partes literais aplicando, sempre que possível, a propriedade do produto de potências de mesma base
(
a
m
n
⋅a
=a
m+n
)
Exemplos: x
d)
2
x
⋅
3
=
x
( 5x ) ( 6 x ) 2
5 6 ⋅
3
⋅
=
5
=
30 x
5
30
e)
− 3 y 3 x 2 ⋅ 8 y 2 x3 = − 24 y5 x5 = − 4 y5 x5 2 9 18 3
f)
2 x ⋅ 3x
g)
( 4x + 3 ) ⋅ (3x − 4 ) = 12 x
2
(
2
−
)
4x + 3 = 6 x
4
2
− 8x
3
+ 6x
2
− 16 x − 9 x −12 = 12 x
2
−7 x − 12
Divisão de polinômios A primeira providência para dividirmos polinômios é reduzir os termos semelhantes e ordená-los. A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais utilizando o método da chave. Dividendo
Divisor
Resto
Quociente
Exemplo: (6x2 + 2x – 20) ÷ (2x + 4) 6x
•
2
+
2 x − 20
2x + 4
1º passo: Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do
divisor para determinar o primeiro termo do quociente. 6x
2 =
3x
2x
capítulo 2
• 75
•
2º passo: Multiplicar o divisor pelo resultado da divisão do 1º passo.
(
)
3 x ⋅ 2x + 4 = 6 x
•
2
+
12x
3º passo: Subtrair do dividendo o resultado do 2º passo.
(6x
2
+
) (
2 x − 20 − 6 x
2
+ 12 x
)
Na chave, temos: 6x
2
−6 x
2
+
2 x − 20
−
12 x
−
10 x − 20
2x + 4 3x
Seguindo os mesmos passos, temos: 6x
2
−6 x
2
+ −
2 x − 20 12 x
2x + 4 3x + 5
− 10 x −
20
− 10 x −
20 0
Portanto, o resultado dessa divisão é 3x – 5 com resto 0.
2.7 Produtos notáveis Algumas expressões envolvendo dois números reais distintos a e b são tão importantes, observadas, notadas com tal frequência que são denominadas produtos notáveis.
76
•
Quadrado da soma: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
•
Quadrado da diferença: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
•
Diferença entre dois quadrados: a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)
•
capítulo 2
•
Cubo da soma: (a + b) 3 = a 3 + 3.a 2.b + 3.a.b 2 + b 3
•
Cubo da diferença: (a – b) 3 = a 3 - 3.a 2.b + 3.a.b 2 – b 3
•
Soma entre dois cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – a.b + b 2)
•
Diferença entre dois cubos: a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + a . b + b 2 )
EXEMPLO 2
( 3x + 4 )
2
( 3x − 4 )
=
(3x + 4 ) ⋅ (3 x + 4 ) = 9 x 2 +12 x +12 x +16 = 9 x 2 +24 x +16
=
(3x − 4 ) ⋅ (3 x − 4 ) = 9 x 2 −12 x −12 x +16 = 9 x 2 −24 x +16 2
( 8 − x ) ⋅ ( 8 + x ) = (8 )
−
2
(x )
= 64 − x
2
2.8 Fatoração de expressões algébricas 2.8.1 Conceito. O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou parcelas, de modo que o produto destas parcelas resulte na expressão ou número original. A fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um produto de números inteiros primos, sendo os números que aparecem repetidas vezes agrupados na forma de potência.
2.8.2 Fator comum em evidência Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um fator comum a todos os termos. Exemplo: a)
Fatorar a expressão 2 x + 4 y − 6z .
1.
O fator comum entre os termos é 2.
2.
Dividimos cada termo da expressão pelo fator comum 2.
2 x + 4 y − 6z = 2 ⋅ ( x
+
2y
−
3z )
capítulo 2
• 77
2.8.3 Agrupamento A expressão
x2
+
ax
+
bx
+ ab
não possui um fator comum a todos os seus ter-
mos. No entanto, agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos, percebemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos, ou seja: 2 x + ax
bx + ab
+
fator comum x
=
(x +a)
x⋅
fator comum b
+ b⋅
(x + a)
fator comum
fator comum
=
( x + a ) ⋅ ( x + b)
Exemplo: 6x 2
− 9ax + 4bx − 6ab = 3x
( 2 x − 3a ) + 2b ( 2 x − 3a ) = ( 2 x − 3a ) ( 3x + 2b )
2.8.4 Trinômio quadrado perfeito 2
a forma fatorada de a 2
2
a forma fato orada de a 2
( a + b) ( a − b)
2 + 2ab + b
− 2ab + b
Exemplo: Fatorar 4x2 + 12x + 9.
a)
2
4 x
+
12 x +
4x2 = 2 x
2
9
=
(2 x + 3 )
9 =3
2.8.5 Diferença de dois quadrados a2 – b2 = (a – b) (a + b) Exemplo: Fatorar
2 x x2 = 2 x
78
•
capítulo 2
−
9 9 =3
=
( x −3)( x +3 )
2
2.9 Razão e proporção Utilizamos as noções de razão e proporção muitas vezes em situações cotidianas, seja em situações científicas, seja em situações envolvendo negócios. Na culinária, temos um exemplo de utilização de razão e proporção. Se temos 3 ovos para cada duas colheres de farinha de trigo, e precisamos aumentar ou diminuir a receita, estamos usando a noção básica de proporção. Quando são ministrados medicamentos, temos também um exemplo de utilização de proporção de quantidades. Temos outras tantas utilizações de razões e proporções, tais como, quando construímos a planta de uma casa, utilizamos escalas; para encontrar a velocidade média de um automóvel; no cálculo da densidade demográfica etc. Numa sociedade, a divisão dos lucros deve ser proporcional ao tempo em que cada sócio pertence a ela e ao capital empregado por cada um. Quem aplica mais tem direito a uma fatia maior do lucro. Não é justo? Em nosso dia a dia, comumente nos deparamos com informações do tipo “um a cada 5 consumidores dessa região prefere o produto A”. Esta frase tem o mesmo significado que “20% dos consumidores dessa região preferem o produto A”? Lembre-se de que a razão 1 para 5 é igual à razão 20 para 100 e que essa igualdade determina uma proporção. A utilização do conceito de razão é a maneira mais comum de se proceder a comparação relativa entre duas grandezas. Quando dividimos uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira grandeza com a segunda, que passa a ser a base da comparação.
2.10 Razão Razão significa o quociente ou a divisão entre dois números X e Y, com Y ≠ 0. Indica-se:
X
ou X : Y e lê-se: X para Y.
Y
O numerador (X) é denominado antecedente e o denominador (Y) é denominado consequente. Também podemos expressar a razão na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Vejamos alguns exemplos:
capítulo 2
• 79
EXEMPLO 1. Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina, havia 80.000 torcedores, sendo 50.000 brasileiros e 30.000 argentinos. Podemos dizer que a razão entre o número de argentinos e o número de brasileiros é 30.000 3 , o que significa que para cada 3 argenti =
50.000
5
nos há 5 brasileiros assistindo à esta partida. 2. Em uma empresa de seguros de automóveis, 150 novos seguros são feitos por mês e 30 sinistros são registrados no mesmo período. Deseja-se saber qual a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período. Resolução
Para descobrirmos a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período, fazemos: 30 1 , o que significa que a empresa registra =
150
5
1 sinistro para cada 5 automóveis segurados no período estudado. 3. Uma montadora de automóveis testou um novo motor para seus carros populares. Esse motor foi testado em um carro popular, o qual percorreu 270 km em 3 horas. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? Resolução 270km 3h
=
90 km / h
Isso significa que a velocidade média do automóvel com o novo motor foi de 90 km/h; ou podemos dizer que o automóvel percorreu 90 km a cada hora, em média. 4. Numa determinada cidade do interior de São Paulo, foi realizada uma pesquisa sobre o número de leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000 habitantes, sendo que 2.000 pessoas leem o Jornal X, 8.000 leem o Jornal Y e 190.000 não leem nenhum jornal. Pergunta-se: a) qual a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X? b) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal?
80
•
capítulo 2
Resolução
a) Para se descobrir a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X, basta fazer o quociente entre os dois valores, ou seja: 8.000 4 . Isso significa que 2.000 o jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o Jornal X. b) A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal é dada por 10.000 1 =
=
200.000
20
ou seja, apenas 1 em cada 20 habitantes desta cidade tem o hábito de ler jornal.
2.11 Proporção 2.11.1 Conceito A igualdade entre duas razões
X Y
proporção. Na proporção
X
Z
Z
(com X, Y, Z e W ≠ 0) é chamada de
W
(lê-se: X está para Y assim como Z está para W), os
=
Y
e
W
valores X e W são chamados de extremos, enquanto os números Y e Z são chamados meios.
2.11.2 Algumas propriedades das proporções a)
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. Se
X
Z =
Y
então, X · W = Y · Z
W
Por exemplo: De fato, temos que
2
6 =
3
b)
, pois 2 · 9 = 3 · 6 ⇒ 18 = 18
9
Soma dos termos de uma proporção
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Se
X
Z =
Y
W
então,
X+Y Y
=
Z + W W
ou
X+Y X
=
Z + W Z
capítulo 2
• 81
Exemplo: Se
2
6 =
3
c)
, então
2+3
6+9 =
9
5 →
3
9
15 =
3
ou ainda, 2 + 3 = 6 + 9 → 5 = 15 .
9
2
6
2
6
Soma dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Se
X
Z =
Y
então
W
X+Z
X =
Y + W
X +Z
ou
Y
Z
Y + W
=
.
W
Exemplo. Se
2
6 =
3
d)
, então
9
2+6
2 =
3+9
18 →
3
12
ou ainda,
=
12
3
2+6
6 =
3+9
8
6
→
9
=
12
9
Produto dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. Se
X
Z =
Y
então
W
XZ
X
2
Y
2
=
YW
ou
XZ
Z =
YW
2 2
W
Exemplo. Se
2
6 =
3
, então
9
2
2 ⋅6
2 =
3⋅9
2
3
12 →
4 =
27
ou ainda,
9
2 ⋅6
6 =
3⋅9
2 2
9
12 →
36 =
27
81
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o valor de X para que a razão
X 5
esteja em proporção com
6
.
10
Resolução
Temos que X 6 . Como sabemos que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: 5 10 10X = 30 X=3 Portanto, para que a razão X esteja em proporção com 6 ., o valor de X deve ser igual 5 10 a 3. =
82
•
capítulo 2
ESTUDO DE CASO APLICADOS 01. Na escolha de um profissional para ocupar o cargo de gerente de marketing de uma grande empresa, o setor de Recursos Humanos contou com um processo seletivo composto de 3 fases. Na primeira fase deste processo, sabe-se que a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 4 . Se o total de inscritos era 2.400 pessoas, determine: 6
a) o número de mulheres que participaram da seleção; b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 3 dos 12 homens foram aprovados e 12 das mulheres não foram aprovadas. 20
Resolução
a) Como o número total de inscritos era de 2.400 pessoas e a razão entre o número de homens e o número de mulheres era de 4 , ou seja, quatro partes do todo eram com 6
postas por homens e 6 partes do todo eram compostas por mulheres, desta forma, basta dividirmos o total de pessoas (2.400) por 10 (4 + 6) para sabermos quanto corresponde a uma parte 2.400 240 . =
10
Se uma parte corresponde a 240 pessoas, então o número de mulheres que participaram da seleção é 240 · 6 = 1.440 mulheres. b) Como queremos encontrar a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, precisamos encontrar cada uma destas quantidades. O número total de inscritos já foi fornecido pelo problema e corresponde a 2.400 pessoas. Agora, precisamos determinar qual o número de aprovados. Por meio do item (a), sabemos que o número de mulheres que participaram da seleção é de 1.440, de um total de 2.400 inscritos; portanto, o número de homens é 2.400 – 1.440 = 960. Agora, precisamos determinar a quantidade de homens e de mulheres que foram aprovados. Se 3 dos homens foram aprovados (o que significa que 3 em cada 12 homens foram 12
aprovados), podemos obter a quantidade de homens aprovados dividindo o total de homens por 12 e pegando 3 partes deste valor, ou seja: 960 3 240 homens aprovados. ⋅
=
12
capítulo 2
• 83
O mesmo raciocínio deve ser usado para encontrar o número de mulheres aprovadas; porém, devemos notar que o problema forneceu a proporção de mulheres que não foram aprovadas. Para encontrarmos a proporção de mulheres que foram aprovadas, devemos ver o que 12 8 “falta” para termos um inteiro nesta proporção, ou seja, 1 das mulheres foram 20 20 aprovadas. Isso significa que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas. O valor 1 utilizado nesse cálculo representa o inteiro da proporção (corresponde a 100%). Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor, teremos o número 1.440 de mulheres aprovadas, ou seja: 8 576 mulheres aprovadas. −
⋅
=
=
20
Somando 240 com 576, teremos o número total de aprovados, que é igual a 816. Então, a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos é dada por: 816 51 . =
2400
150
Isso significa que 51 pessoas, a cada 150 que prestaram o concurso, passaram na primeira fase do processo seletivo. 02. Uma empresa quer dividir uma parte de seus lucros, mais precisamente R$ 12.000,00, com 3 gerentes. O critério utilizado para fazer a divisão será proporcional ao tempo de serviço de cada um na empresa. O gerente X trabalha na empresa há 12 anos, o gerente Y trabalha há 5 anos e o gerente Z há 3 anos. Quanto cada um deve receber? Resolução
Está muito claro que se trata de um problema que envolve proporção, pois cada gerente deve receber uma quantidade proporcional ao seu tempo de serviço (justo!). Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema:
GERENTES
X
Y
Z
Tempo de serviço (anos) Valor a receber (R$)
12 x
5 y
3 z
Para resolver este problema, devemos encontrar três valores, x, y, e z, que são diretamente proporcionais a 12, 5 e 3 anos, respectivamente.
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•
capítulo 2
Então, dizemos que x está para 12, assim como y está para 5 e assim como z está para 3. Utilizando a linguagem matemática, podemos escrever da seguinte forma: x+ y+z
=
x
12 + 5 + 3 12 12.000 x 20 600 =
=
12
x
12 x = 7200
Usa-se o mesmo raciocínio para determinar y e z. x+ y+z 12 + 5 + 3 y 600 = 5 x = 3.000
=
y 5
x + y +z 12 + 5 + 3 z 600 = 3 x = 1.800
=
z 3
Concluímos, então, que, para dividir o lucro de R$ 12.000,00, de forma proporcional ao tempo de serviço de cada um, o gerente X deverá receber R$ 7.200,00, o gerente Y, R$ 3.000,00 e o gerente Z, R$ 1.800,00.
ESTUDO DE CASOS APLICADOS PROPOSTOS 01. Em uma empresa de telemarketing, a razão do número de homens para o número de mulheres é 2/3. Se nesta empresa existem 60 mulheres, qual é o número de homens? Quantos funcionários tem a empresa? Gabarito: 40 e 100 02. Numa propaganda de supermercado, um anúncio dizia: “Leve 3 cremes dentais e pague 2”. Se um freguês resolve levar 15 cremes dentais, por quantos ele, efetivamente, pagou? Gabarito: 10
capítulo 2
• 85
03. Determine dois números positivos, x e y, sabendo que a razão entre eles é 5/4 e a diferença dos seus quadrados é 81. Gabarito: x = 15 e y = 12 04. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. Gabarito: 14 e 21 anos 05. Três pessoas (A, B e C) formaram uma sociedade. O sócio A investiu R$ 60.000,00, o B investiu R$ 90.000,00 e o sócio C investiu R$ 30.000,00. No final de um ano, registraram um lucro líquido de R$ 360.000,00 e querem reparti-lo de forma proporcional ao investimento inicial de cada um. Quanto deve receber cada sócio? O que este valor representa em relação ao investimento inicial de cada sócio? Gabarito: Sócio A = R$ 120.000,00; sócio B = R$ 180.000,00; sócio C = R$ 60.000,00. Cada um recebeu o dobro do que investiu inicialmente. 06. Ângelo e Carlos formaram uma microempresa com capitais iguais. No final de um ano, registraram um lucro de R$ 75.000,00. Sabe-se também que Carlos entrou Gabarito: Ângelo deve receber R$ 47.368,42 e Carlos R$ 27.361,58.
2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais 2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão. Quando uma delas aumenta, a outra aumenta na mesma razão. Ainda, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número positivo. Considere que um produto custa 40 reais a unidade. Se quisermos comprar duas unidades, pagaremos 80. Se quisermos comprar três unidades, pagaremos 120, e assim por diante.
86
•
capítulo 2
Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará o valor a ser pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo.
2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais Grandezas inversamente proporcionais variam segundo razões inversas. Quando aumentamos uma delas, a outra diminui na mesma razão. Ainda, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. Se estamos percorrendo um trecho em uma rodovia que consiste em 240 km, com velocidade média de 24 km/h, com os conceitos de velocidade, espaço e tempo conhecidos, levaremos 10 horas para percorrê-lo. Se percorrermos este mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, le varemos 5 horas para percorrer.
2.13 Regra de três simples 2.13.1 Conceito Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas direta ou in versamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que são conhecidos 3 valores (por isso o nome regra de três) e o quarto valor é o procurado.
2.13.2 Procedimento Para montarmos a regra de 3 simples, podemos seguir o roteiro abaixo: 1.
Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os
valores de mesma grandeza. 2.
Verificamos se as grandezas são diretamente ou inversamente propor-
cionais utilizando setas como referência. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, colocamos ao lado de cada coluna flechas com o mesmo sentido (↓↓ ou ↑↑) e, se as grandezas forem inversamente proporcionais, indicaremos com flechas no sentido contrário (↓↑ ou ↑↓).
capítulo 2
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GRANDEZA 1
GRANDEZA 2
a
c
b
x
As letras indicam os valores conhecidos e x é o valor procurado. 3.
Se as grandezas forem diretamente proporcionais, escrevemos uma
proporção tomando os elementos da mesma maneira que estão escritos nas colunas, ou seja: a b
4.
c =
x
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, escrevemos uma
proporção invertendo os termos de uma só das razões: a b
x =
c
5. Aplicamos a propriedade fundamental da proporção e encontramos o valor da incógnita (valor procurado). Exemplo. A produção de uma tecelagem era de 10.000 m de tecido/dia. A in-
dústria admitiu 500 novos funcionários e a produção passou para 15.000 m de tecido/dia. Qual era o número de funcionários antes da contratação dos novos? Resolução
Vamos seguir o roteiro proposto no texto: 1.
Estamos trabalhando com duas grandezas: número de operários e pro-
dução (metros/dia). Colocando as informações de mesma grandeza nas colunas, obtemos: Número de operários x
+ 500
x
88
•
capítulo 2
Produção (metros/dia) 10.000 15.000
2.
As grandezas são diretamente proporcionais, pois, aumentando o nú-
mero de funcionários, aumenta também a produção (metros/dia). Então, as flechas são colocadas no mesmo sentido. 3.
A proporção obtida é: x x + 500
4.
10.000 =
15.000
Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-
nita, temos:
(
15.000 x = 10.000 x + 500
)
15.000 x = 10.000 + 5 .000 .000 15.000 x − 10 .00 0 = 5.000 .000 15.000 x = 5.000 .000 x=
5.000.000 5.000
Portanto, a indústria tinha 1.000 funcionários antes das novas contratações. Exemplo. Um automóvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distân-
cia em 4 horas. Quanto tempo este automóvel gastará para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h? Resolução
Seguindo o mesmo procedimento proposto, temos: 1.
As grandezas são: velocidade (km/h) e tempo (horas).
2.
Estas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a
velocidade, o tempo para percorrer a mesma distância é menor. Então, as flechas são colocadas em sentido contrário: Velocidade (km/h)
Tempo (horas)
90
4
110
x
capítulo 2
• 89
3.
Para escrevermos a proporção, devemos inverter os termos de uma das
razões, ou seja: 90
x =
110
4.
4
Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-
nita, temos: 110 x 360 =
x
360 =
110 x 3, 27 horas =
O automóvel levará aproximadamente 3 horas, 16 minutos e 12 segundos para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h.
ATENÇÃO Para convertermos um valor decimal referente em horas, minutos e segundos, devemos, em primeiro lugar, separar a parte inteira que se refere às horas. Nesse caso, 3,27 correspondem a 3 horas mais a porção referente a 0,27 da hora. Como uma hora tem 60 minutos, então podemos escrever que 0,27 da hora é igual a 0,27 × 60 minutos = 16,2 minutos. Da mesma forma, se quisermos estabelecer a quantidade de segundos, fazemos 0,2 × 60 segundos = 12 segundos. Portanto, 3,27 horas correspondem a 3 horas, 16 minutos e 12 segundos.
2.14 Regra de três composta 2.14.1 Conceito Os problemas de regra de 3 composta envolvem mais de duas grandezas. Segundo Teixeira e Netto (1998, p. 17), “em problemas deste tipo devemos considerar que quando a variação de duas ou mais grandezas é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita, então o produto das razões destas grandezas também é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita”.
90
•
capítulo 2
2.14.2 Procedimento O procedimento para análise de problemas de regra de 3 composta é o mesmo que o utilizado para resolução de regra de 3 simples, ou seja: 1.
Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os
valores de mesma grandeza. 2.
Verificamos, separadamente, se as grandezas que não contêm a incóg-
nita são direta ou inversamente proporcionais à grandeza da incógnita. Nesta análise, supomos constan-tes as demais grandezas. Indicamos o tipo de proporcionalidade por meio de flechas de mesmo sentido ou sentido contrário. 3.
Se as grandezas analisadas forem proporcionais à grandeza da incógni-
ta, o produto das razões destas grandezas será proporcional à razão que contém a incógnita. 4.
Se alguma das grandezas analisadas não for diretamente proporcional
à grandeza da incógnita, invertemos os valores desta grandeza na coluna correspondente. Desta forma, todas as grandezas passam a ser diretamente proporcionais à grandeza da incógnita. Após este procedimento, fazemos o cálculo descrito no item 3. Exemplo. Cinco operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 600 pe-
ças. Quantas peças desse mesmo tipo pro¬duzirão sete operários, trabalhando 8 dias? Resolução
Este exemplo é um caso de regra de 3 composta, pois envolve 3 grandezas. Vamos seguir o procedimento sugerido para a resolução de problemas deste tipo: 1.
Colocando os valores das grandezas nas colunas, obtemos: Número de operários
Número de dias
Número de peças
5
6
600
7
8
x
capítulo 2
• 91
2.
Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza
“número de peças” (que contém a incógnita), concluímos que, se aumentarmos o número de operários, aumentaremos também o número de peças produzidas. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Se aumentarmos o número de dias trabalhados, também aumentaremos o número de peças produzidas. Neste caso, as duas grandezas também são diretamente proporcionais. Então, todas as flechas têm o mesmo sentido. 3. 600
O produto das razões 5 6
=
x
⋅
5 7
.
6
⋅
é proporcional à razão
8
600
, ou seja,
x
6 8
4.
Fazendo a multiplicação, aplicando a propriedade fundamental da pro-
porção e isolando a incógnita, obtemos: 600
30 =
x
60
30 x x
=
33.600
33.600 =
30 x
=
1.120
Portanto, sete operários, trabalhando 8 dias, produzirão 1.120 peças Exemplo. Quinze operários, trabalhando 9 horas por dia, fazem 72 metros
de muro em 32 dias. Quantos dias serão necessários para 18 operários fazerem 180 metros do mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia? Resolução Número de operários
1.
Horas/dia
Metros (muro)
Nº de dias
15
9
72
32
18
8
180
x
Não importa o sentido que você escolhe para a seta da grandeza que
contém a incógnita (x). Você pode colocá-la para cima ou para baixo. O importante é estabelecer o sentido correto das demais setas, tomando como base o sentido da seta dessa grandeza.
92
•
capítulo 2
2.
Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grande-
za “número de dias”, concluímos que, se aumentarmos o número de operários, diminuiremos o número de dias necessários para a construção do muro. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais. Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, precisaremos de mais dias para a construção do muro. Então, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Se aumentarmos o tamanho do muro, precisaremos de mais dias para a sua construção. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais. 3.
Deveremos inverter os valores das grandezas “número de operários” e
“horas” nas suas respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser diretamente proporcionais à grandeza “número de dias”. 4.
O produto das razões
18 8
72
é proporcional à razão
⋅ ⋅
15 9 180 32
18 8 =
x
⋅
32
. Então:
x 72
⋅
15 9 180
32
10.368 =
x
24.300
10.368 x x
=
32 24 .300 ⋅
777.600 =
10.368 x
=
75
Serão necessários 75 dias para que 18 operários, trabalhando 8 horas por dia, façam 180 metros de muro.
2.15 Porcentagem Em várias situações do dia a dia nos deparamos com cálculos percentuais: desconto no preço de determinado produto, aumento salarial, queda no nível de desemprego, intenção de voto na próxima eleição presidencial etc. Nas questões de matemática financeira, que tratam fundamentalmente do cálculo do dinheiro ao longo do tempo, as operações envolvendo porcentagens também são bastante comuns. A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Esta razão também é chamada de razão centesimal.
capítulo 2
• 93
Podemos substituir, nas razões centesimais, o denominador 100 pelo símbolo % (“por cento”). Quando fazemos isso, obtemos a taxa de porcentagem. Por exemplo, a razão centesimal
5 100
pode ser expressa como 5%, que é de
nominada taxa de porcentagem. Esta razão também pode ser expressa na forma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador). Exemplos: 5
•
5%
•
15%
=
50%
=
•
•
=
=
100
0, 05
15 =
0,15
=
0, 5
100 50
125%
100 125 =
=
100
1, 25
Nos exemplos que se seguem, estudaremos métodos para a resolução de problemas envolvendo porcentagem. Exemplo. Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por R$
350.000,00. Sua corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou? Resolução
Podemos resolver este problema de duas maneiras: 1ª maneira: usando a regra de três simples: Valores (R$)
Taxa percentual (%)
350.000
100
x
4
Escrevendo a proporção, obtemos: 350.000
100 =
x 100 x x
94
•
capítulo 2
=
4 1.400.000
=
14.000
O vendedor ganhou R$ 14.000,00 com a venda do apartamento. 2ª maneira: podemos calcular diretamente 4% de 350.000: 4% de 350.000
4 =
100
⋅
350.000
=
14.000
Exemplo. Uma calça é vendida por R$ 110,00. Se o seu preço fosse aumenta-
do em 15%, quanto passaria a custar? Resolução
O aumento seria 15% de 110 = 0,15 · 110 = R$ 16,50. Portanto, o novo preço seria 110,00 + 16,50 = R$ 126,50. Ou poderíamos fazer simplesmente: 110 + 0,15 · 110 = 110 (1 + 0,15) = 110 · 1,15 = 126,50 Isso quer dizer que o preço final fica multiplicado por 1,15. Portanto, se ti véssemos um aumento de: 20%, multiplicaríamos o preço original por 1,2; 35%, multiplicaríamos o preço original por 1,35; 7%, multiplicaríamos o preço original por 1,07, e assim por diante. Se, num outro momento, a loja estivesse liquidando suas peças e a calça estivesse com um desconto de 15% sobre o preço original, o cálculo seria: 110 – 0,15 · 110 = 110 (1 – 0,15) = 110 · 1,15 = 93,50 Ou seja, o preço final fica multiplicado por 0,85. Portanto, se tivéssemos um desconto de: 20%, multiplicaríamos o preço original por 0,8; 35%, multiplicaríamos o preço original por 0,65; 7%, multiplicaríamos o preço original por 0,93, e assim por diante. Exemplo. Uma bolsa que custava R$ 45,00 passou a custar R$ 54,00. Qual a
taxa percentual de aumento?
capítulo 2
• 95
Resolução
Este problema também pode ser resolvido de duas maneiras: 1ª maneira: devemos primeiramente encontrar o valor do aumento:
54 – 45 = 9 (valor do aumento) Agora, devemos dividir 9 por 45: 9 0, 2 20% (taxa percentual do aumento) 45 =
=
2ª maneira: podemos simplesmente dividir o preço novo da bolsa (R$ 54,00) pelo preço antigo (R$ 45,00), obtendo: 54 45
=
1, 2 = 1 + 0, 2 = 100% + 20% (20% de aumento)
Exemplo. Coloque na forma de razão centesimal, número decimal e porcen-
tagem as seguintes razões:
3 100
,
12 100
,
145 100
e
2,5 100
.
Solução:
As razões sugeridas já se encontram em sua forma de razão centesimal. Convertendo em número decimal e porcentagem, temos: 3 •
=
0, 03 3%
=
0,12 12%
=
1, 45 145%
=
0, 025 2,5%
100 12 •
100 145 •
100 2,5 •
100
=
=
=
=
RAZÃO CENTESIMAL 3 100 12 100
96
•
capítulo 2
NÚMERO DECIMAL
PORCENTAGEM
0,03
3%
0,12
12%
RAZÃO CENTESIMAL
NÚMERO DECIMAL
PORCENTAGEM
1,45
145%
0,025
2,5%
145 100
2,5 100
2.16 Operações com porcentagem O conceito de porcentagem é bastante utilizado nas mais diversas atividades produtivas. Sua aplicação tem por objetivo básico comparar grandezas e por isso seu uso ocorre com frequência no comércio, no mercado financeiro, no cálculo de lucros, prejuízos, empréstimos, prestações, juros ou ao se fazer algum tipo de negócio, ao se exprimir quanto de um trabalho já foi realizado ou já evoluiu, no processo inflacionário, na estatística, dentre outras aplicações. Exemplo. Em uma eleição para prefeito de uma cidade com 300 mil eleito-
res, os candidatos A, B e C receberam res¬pectivamente 110 mil, 95 mil e 80 mil dos votos válidos. Os demais votos foram brancos ou nulos. Calcule o porcentual de votos brancos ou nulos nesta eleição. Resolução 1:
Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000 Cálculo de porcentual dos votos válidos: Votos 300.000 285.000
% 100 x 300.000 x x
=
285 .000 100 ⋅
28.500.000 =
300.000 x
=
95
Portanto, temos 95% de votos válidos. Cálculo de todos os votos brancos ou nulos: 100% – 95% = 5% Logo, o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%.
capítulo 2
• 97
Resolução 2:
Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000 Cálculo de votos brancos ou nulos: 300.000 – 285.000 = 15.000 Cálculo do percentual de votos brancos ou nulos: Votos 300.000 15.000
% 100 y 300.000 y 15.000 100 =
y
=
⋅
1.500.000
300.000 y 5 =
Portanto, temos 5% de votos brancos ou nulos. Exemplo. Um cliente em uma determinada loja, deseja adquirir dois produ-
tos, sendo um no valor de R$100,00 (produto A) e outro no valor de R$ 250,00 (produto B). No caso do pagamento à vista, a loja oferece descontos de 15% e de 10%, respectivamente, para cada produto. Calcule o valor que o cliente economizará na compra à vista. Resolução:
Cálculo do valor total da compra sem desconto: R$ 100,00 + R$ 250,00 = R$ 350,00 Cálculo do valor de cada produto com desconto (à vista): •
Valor do desconto do produto A (15%) = 15% de R$ 100,00 = R$ 15,00
•
Valor do produto A com desconto (à vista) =
R$ 100,00 – R$ 15,00 = R$ 85,00 •
Valor do desconto do produto B (10%) = 10% de R$ 250,00 = R$ 25,00
•
Valor do produto B com desconto (à vista) =
R$ 250,00 – R$ 25,00 = R$ 225,00 Cálculo do valor total com desconto (à vista): R$ 85,00 + R$ 225,00 = R$ 310,00
98
•
capítulo 2
Cálculo da economia no pagamento à vista: Valor sem desconto – valor com desconto = R$ 350,00 – R$ 310,00 = R$ 40,00 Economia de R$ 40,00 no pagamento à vista.
ESTUDO DE CASO Aplicado em Logística
O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados de um galpão. A empresa possui dois galpões para armazenamento deste produto, sendo um de 2.000 metros quadrados e outro de 1.250 metros quadrados. Quantas caixas destes produtos poderão ser armazenadas nesse galpão? Resolução:
Neste caso a área total para armazenamento é de 3250 metros quadrados. Como cada 100 metro quadrado armazena 20 caixas, poderão ser armazenadas 3250 × 20 = 65000 5 caixas. =
EXERCÍCIO PROPOSTOS 01. Uma costureira pagou R$ 70,00 por 2 metros de tecido. Quanto ela pagaria se tivesse comprado 5 metros do mesmo tecido? 02. Sabe-se que 4 máquinas de uma pequena confecção, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 400 peças em 4 dias, se operarem 4 horas por dia. Se 8 máquinas iguais às primeiras operassem 8 horas por dia durante 8 dias, qual seria o número de peças produzidas? 03. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre a distância entre duas cidades em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade média ele deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 3 horas e 30 minutos? 04. Maria aplicou R$ 1.500,00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.000,00. Considerando que a renda é proporcional ao valor investido e ao tempo de investimento, quanto obteria de renda no mesmo negócio se aplicasse R$ 5.000,00 durante 4 meses?
capítulo 2
• 99
05. Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.500,00. Quanto ele pagou pelo produto? 06. Atualmente, 30% do salário de Cláudio são destinados ao pagamento do aluguel da casa onde mora que é de R$ 360,00. Qual é o valor do salário de Cláudio? 07. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total investido e, no segundo mês, ela recuperou 15% do que havia perdido. a) Com quanto ela ficou após os dois meses? b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial? 08. O preço de venda de um bem de consumo é de R$ 150,00. O comerciante tem um ganho de 20% sobre o preço de custo deste bem. Qual o preço de custo deste bem? 09. Um determinado setor de serviços é taxado em impostos a 22,5% do seu faturamento. Determine o valor a ser pago em impostos ao se prestar um serviço por R$ 15.000,00 neste setor.
GABARITO 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07.
R$ 175,00 3.200 109,29 km/h, aproximadamente R$ 4.444,44 R$ 2.375,00 R$ 1.200,00
a) R$ 2.235,00 b) 25,5% 08. R$ 125,00 09. R$ 3.375,00
100
•
capítulo 2
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º grau: volume único. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1996. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R.
Matemática completa. São Paulo: FTD,
2002. IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R.
Matemática: volume único. 4. ed. São Paulo:
Atual, 2007. PARENTE, E.; CARIBÉ, R. Matemática comercial & financeira. São Paulo: FTD, 1996. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2006. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – vol. Único. São Paulo: Ática, 2002. TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2006. TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2006. TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
capítulo 2
• 101
102
•
capítulo 2
3 Introdução ao Estudo de Função
OBJETIVOS •
Representar pontos no plano cartesiano;
•
Formalizar o conceito de função;
•
Reconhecer uma função em relações do cotidiano;
•
Reconhecer o domínio, o conjunto imagem e o contra-domínio de uma função;
•
Identificar funções crescentes, decrescentes e constantes;
•
Analisar e interpretar gráficos.
104
•
capítulo 3
3.1 Plano cartesiano 3.1.1 Conceito O plano cartesiano é um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coordenadas formado por dois eixos perpendiculares entre si, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. Estes eixos possuem direção e sentido a partir da origem que se estabelece no ponto de cruzamento dos eixos. Esta origem torna-se o referencial que permite uma localização organizada e gráfica das coordenadas nos quatro planos ou regiões que surgem a partir do cruzamento dos eixos. Estas quatro regiões, chamadas de quadrantes, são numeradas no sentido anti-horário. O primeiro quadrante possui abscissas e ordenadas com valores positivos. (Ordenadas) y
1º quadrante
2º quadrante
(Abscissas)
O
3º quadrante
x
4º quadrante
O eixo y (ordenadas) possui sentido crescente de baixo para cima e o eixo x (abscissas) possui sentido crescente da esquerda para a direita. A origem do nome Plano Cartesiano é uma homenagem ao matemático francês nascido na Idade Média, René Descartes.
3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano As coordenadas de um ponto nesse sistema são representadas por meio de pares ordenados (x, y). Os valores de x e y referem-se, respectivamente, às projeções ortogonais do ponto sobre os eixos das abscissas e das ordenadas.
capítulo 3 •
105
Por exemplo, no ponto P(5, 3) a abscissa é 5 e a ordenada é 3. y
4
P(5, 3)
3
2
1
–2
–1
O
1
2
3
4
5
6
7
x
–1
Exemplo: Assinale no gráfico os pares ordenados e coordenadas A(4, 2); B(1,
–1); C(–3, 4); D(–1, –4); E(2, 0). Resolução: y
C
4
3 A
2
1 E –4
–3
–2
–1
O –1
–2
–3
D
106
•
capítulo 3
–4
1
2 B
3
4
x
Exercício. Identifique os pares ordenados cujos pontos estão representados
no plano cartesiano abaixo. y
F
3 E
2 1
A
C
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
–1 B
5 D
x
–2 –3
Resolução: A(0, 1); B(–3, –2); C(–4, 0); D(4, –1); E(2, 2); F(–2, 3). Observações.
Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero. Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.
Identificando os sinais dos elementos do par ordenado e relacionando-os aos quadrantes, temos: •
•
•
•
P(a, b) ∈ 1º Quadrante ⇔ a > 0 e b > 0; P(a, b) ∈ 2º Quadrante ⇔ a < 0 e b > 0; P(a, b) ∈ 3º Quadrante ⇔ a < 0 e b < 0; P(a, b) ∈ 4º Quadrante ⇔ a > 0 e b < 0.
Exemplos:
e) f) g) h) i) j)
O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas; O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas; O ponto C(3, 4) pertence ao primeiro quadrante; O ponto D(–2, 5) pertence ao segundo quadrante; O ponto E(–4, –6) pertence ao terceiro quadrante; O ponto F(5, –2) pertence ao quarto quadrante.
capítulo 3 •
107
3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas coordenadas correspondentes são iguais, isto é, (a, b) = (c, d) ↔ ( a = c e b = d ) Assim, para que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) de números reais sejam iguais, devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano. Exemplo
x = 7 y = 4
( x, 4 ) = (7, y ) ⇔
3.1.4 Escalas dos Eixos Cada eixo do plano cartesiano é uma reta numerada que segue uma escala como unidade de medida. Assim, considerando um segmento de reta como padrão de unidade em um eixo, os números consecutivos do eixo devem ser separados por este padrão de unidade estabelecido, que pode ser diferente para cada eixo. O eixo x pode ter um padrão de unidade u1 e o eixo do y pode ter um padrão u2 sendo u1 ≠ u2 ou u1 = u2 (mais utilizado). Eixos x e y com divisões iguais (u 1 = u2)
–4 –3 –2 –1
108
•
Eixos x e y com divisões diferentes (u1 ≠ u2)
4
20
3
15
2
10
1 0
5 0
–1
01
2
3
4
–4 –3 –2 –1
–5
–2
–10
–3
–15
–4
–20
capítulo 3
01
2
3
4
3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano A aplicação do Plano Cartesiano na vida cotidiana cresceu em importância ao longo do tempo. Com o aumento dos deslocamentos da população mundial, tornou-se ainda mais necessária a segurança nas rotas aéreas, marítimas, ferro viárias, rodovias e metroviárias tornando evidente a necessidade da utilização de um sistema de coordenadas confiável no mundo atual. Sem informações confiáveis e seguras de posicionamentos aéreos, marítimos e terrestres, qualquer deslocamento acarretaria em um grande risco. Os principais meios de transportes necessitam de um sistema de localização no tempo e no espaço. Não haveria a possibilidade da existência simultânea de diversos voos e navegações pelo mundo sem um sistema de coordenadas utilizado internacionalmente que permitisse o controle de todas as rotas. Em vias urbanas, a circulação de trens e metrô no mundo seria arriscada e in viável se os controladores que organizam os trajetos e os horários não tivessem informações precisas da localização exata dos vagões. Seria impossível também chegar a algum lugar sem uma correta coordenada longitudinal e latitudinal. Levantamentos cartográficos e a própria construção organizada de cidades e prédios seria tarefa muito difícil sem as devidas coordenadas geográficas. Todas estas atividades baseiam-se em um sistema de coordenadas cartesianas. No passado, usava-se a bússola como principal instrumento que permitia a localização, por exemplo, em alto mar. Hoje, modernamente, fazemos uso de alguns sistemas de localização na qual o mais difundido no momento é o GPS, Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System ), que através de um sistema de satélites, permite saber, dentre muitas outras informações, a localização de qualquer coisa ou pessoa no planeta. Para que isso possa acontecer, há a necessidade de um sistema de coordenadas que tem sua origem no sistema de coordenadas cartesianas (Plano Cartesiano). Os automóveis mais modernos já possuem GPS permitindo que qualquer pessoa possa se deslocar pelo mundo com extrema facilidade. Outra aplicação bem cotidiana está na aviação que faz também uma ampla utilização do GPS. Neste capítulo será apresentado o conceito matemático de função, que permite analisar, de forma gráfica, comportamentos entre variáveis relacionadas por uma expressão matemática.
capítulo 3 •
109
3.1.6 Produto cartesiano Considerando A e B conjuntos, o conjunto {(x, y) / x ∈ A e x ∈ B} é o produto cartesiano de A por B e escrevemos A x B (lê-se A cartesiano B) Geometricamente, o produto cartesiano pode ser encarado como a região:
B
AxB
A
Exemplo. Considerando A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, o produto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
3.2 Relações 3.2.1 Introdução Suponha que se deseje analisar a variação de temperatura, durante sete dias, em uma determinada região. Após a medição das temperaturas, registrou-se a temperatura média diária, em cada um dos sete dias, obtendo a seguinte tabela:
110
•
DIA DA SEMANA
TEMPERATURA (OC)
1
18
2
19
3
16
4
16
5
16
6
13
7
15
capítulo 3
Em termos matemáticos, podemos dizer que estabelecemos uma relação do conjunto de dias da semana A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}. Associamos a cada dia da semana, a temperatura média correspondente. Podemos representar essa relação de algumas maneiras: através do diagrama de flechas, através do gráfico cartesiano, através do conjunto de pares ordenados. a)
Diagrama de flechas 1
A
18
2
B
19
3 4
16
5
13
6 7
15
b) Gráfico cartesiano 20 18 ) 16 C º 14 ( a r 12 u t 10 a r e p 8 m e 6 T 4 2 0 1
c)
1
2
3 4 Tempo (dias)
5
6
7
Conjunto de pares ordenados
R = {(1, 18), (2, 19), (3, 16), (4, 16), (5, 16), (6, 13), (7, 15)} Observe que o primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjunto A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de temperatura). Note que R é um subconjunto do produto cartesiano A X B.
capítulo 3 •
111
3.2.2 Conceito Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos então que R é uma relação. Se (x, y) ∈ R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) atra vés de R. Exemplo:
Relação R de A em B, dada por R = {(x, y) ∈ A x B | y < x}; R é o subconjunto de A x B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim, temos: y < x
A
1
2
1
B
2 4
3
6 10
3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada Considere A e B conjuntos e suponha que a relação R seja um subconjunto do produto cartesiano de A por B: R ⊂ A x B. Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.
3.2.4 Domínio Considere uma relação R relação e considere o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R).
112
•
capítulo 3
3.2.5 Imagem Considere a relação R e consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escre vemos I(R) . Exemplo. Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama abaixo. R
A
9
1 2
B
10
3
12
4 5
15
6
18
O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B, através de R: D(R) = {1, 2, 3} . O conjunto imagem da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de R: Im(R) = {9, 10, 12, 15} . R
A D(R)
1 2 3 4 5 6
CP
9
B
10 Im(R) 12 15 18 CD
capítulo 3 •
113
3.3 Função 3.3.1 Introdução Em matemática, uma função representa a dependência de certa quantidade (variável) em relação a outra. Considere dois conjuntos não-vazios A e B e uma lei f que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Temos então uma função f de A em B. Uma função é uma regra que associa a cada valor de entrada um único resultado de saída, denominado valor da função. A entrada é chamada de variável independente e a saída, de variável dependente. O conjunto de todos os números de entrada é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os números de saída é chamado de imagem da função. A notação f : A → B indica que f é função de A em B. Exemplos. f
M
1
2
2
4
3
6
4
8
N
Esta relação é uma função, pois todo elemento de M está associado a um único elemento de N.
g
P
4
3
6
5
8
7 9
114
•
capítulo 3
Q
Esta relação não é uma função, pois o elemento 4 de P está associado a mais de um elemento de Q.
Na matemática, esta regra pode ser definida por uma expressão em que o valor de entrada é representado por uma variável ou incógnita. A função também pode ser simbolizada por outra variável, ou por outro tipo de designação especial. Como exemplo, considere a regra que associa a um número real o dobro do seu valor. Esta regra pode ser representada, matematicamente, como: f (x) = 2x
O símbolo f (x) indica que a variável da função é representada pela letra x. Pode-se ainda representar a função usando outra incógnita ou variável, diferente daquela usada na expressão que define a regra pela qual se calcula o valor da função. No exemplo anterior pode-se, alternativamente, usar y = 2x ao invés de f(x) = 2x. Desta maneira, pode-se estabelecer, a cada valor de x, um valor para a função f(x), como a seguir: •
•
•
f(1) = 2(1) = 2, f(2) = 2(2) = 4, f(3,5) = 2(3,5) = 7.
3.3.2 Variável Independente A incógnita ou variável usada na expressão que define a representação matemática da função é conhecida como variável independente, pois a ela pode-se atribuir um valor qualquer, sem que ele dependa de qualquer resultado calculado anteriormente. Na expressão y = 2x, a variável independente é o x.
3.3.3 Variável Dependente A variável dependente é aquela que simboliza o valor da função para cada dado de entrada. É chamada de variável dependente, pois seu valor depende do atribuído a variável independente. Na expressão y = 2x, a variável dependente é o y.
capítulo 3 •
115
3.3.4 Função Real de Variável Real Uma função real de variável real é justamente aquela que associa, a um valor real da variável independente, um valor real para a variável dependente.
3.3.5 Domínio e Imagem Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. O Domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável dependente para os quais a função é definida. Para as funções F(x) = 2x e F(x) = x2 o domínio corresponde a todo o conjunto de números reais, pois para qualquer valor real x estas funções são definidas. Já para a função f ( x ) x o domínio corresponde a todo o conjunto de números reais não negativos, pois no conjunto de números reais a raiz quadrada de um número negativo não é definida. A figura a seguir apresenta o gráfico de f ( x ) x =
=
y
4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, considerando-se todos os valores possíveis da variável independente (ao conjunto de todos os valores possíveis da variável independente denomina-se domínio da função). Considere, por exemplo, a função y = x2, em que a variável independente pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais (ou seja, o seu
116
•
capítulo 3
domínio é todo o conjunto dos números reais). A variável dependente y, obtida pela regra que define o seu valor como sendo igual ao quadrado do valor da variável independente, só terá valores reais não negativos. Consequentemente, a imagem desta função será o conjunto dos números reais não negativos. y
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5 x
3.3.6 Valor de uma Função num Ponto O valor de uma função num ponto da reta real representa justamente o valor calculado para a função quando a variável independente assume o valor correspondente a tal ponto.
3.3.7 Gráfico de uma Função O gráfico de uma função consiste em representar, no plano cartesiano, todos os pontos cujas coordenadas (x, y) correspondem a valores das coordenadas independente e dependente da função representada.
capítulo 3 •
117
As figuras a seguir representam os gráficos das funções y = 2x e y = x2. y
y = x 2
y
5
11
y = 2 x
4
10
3
9
2
8
1
7 6
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5 x
5
–2
4
–3
3
–4
2
–5
1 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5 x
3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo. f
A
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
B
Observe que cada elemento y do conjunto B está associado a um elemento x do conjunto A, através de f. Dizemos então que y é a imagem de x, através de f. Simbolicamente: y = f (x). Lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”. f (1) = 2 f (2) = 4 f (3) = 6 f (4) = 8 f (5) = 10
118
•
capítulo 3
3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x) Sejam os conjuntos A = [–3, 8], B = [–10, 20] e a função f : A → B f (x) = 2x + 1. Por exemplo, a imagem do elemento 4, através de f, é f (4) = 2 · 4 + 1 f (4) = 9 Assim, (4, 9) ∈ f O símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez de escrevermos f(x) = 2x + 1, podemos escrever y = 2x + 1, ou seja, o símbolo f(x) pode ser substituído por y e vice-versa.
3.3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função Consideremos o gráfico de uma função y = f(x) abaixo. y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3
–2
–1 O –1
1
2
3
4
5 x
–2
Interpretamos cada ponto (x, y) do gráfico de f como (x, f(x)): A ordenada é a imagem da abscissa através de f.
capítulo 3 •
119
Exemplos: (–1, 0) é ponto do gráfico; logo f(–1) = 0; (0, –2) é ponto do gráfico; logo f(0) = 2; (1, –2) é ponto do gráfico; logo f(1) = –2; (2, 0) é ponto do gráfico; logo f(2) = 0; (3, 4) é ponto do gráfico; logo f(3) = 4.
3.3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico Eventualmente precisamos verificar se uma relação é ou não uma função, atra vés de seu gráfico. Se uma reta paralela ao eixo y interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R não é função. No gráfico abaixo a reta vermelha, paralela ao eixo y, intercepta o gráfico em dois pontos. Neste caso, para x = 2 temos dois valores de y associados. Portanto, o gráfico não representa uma função. y 3 2 1 0 –3
–2
–1
0
a
1
2
3
x
–1 –2
3.3.12 Função Crescente Dizemos que uma função é crescente em um intervalo numérico se os valores de f(x) aumentam quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x 1 e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≥ f(x1).
120
•
capítulo 3
Exemplo: y
y 2
1 y 1
0
x 2
x 1
x
3.3.13 Função Decrescente Dizemos que uma função é decrescente em um intervalo numérico se os valores de f(x) diminuem quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x 1 e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≤ f(x1). y
y 1
y 2
x 1
0
x 2
x
3.3.14 Função Constante Uma função f(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 ≠ x1, têm-se f(x2) = f(x1).
capítulo 3 •
121
Isto só ocorre se f(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se verifica, na definição da função, a variável independente x. Exemplo: f(x) = 2 y
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
x
–2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 10. Observe o gráfico de f abaixo. Determine f(0); f(2); f(4); f(–2); f(–4); f(–6); f(–8) . y
6 5 4 3 2 1 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0 –1
Resolução
f(0) = 3 f(2) = 4 f(4) = 5 f(–2) = 2 f(–4) = 1 f(–6) = 0 f(–8) = –1
122
•
capítulo 3
1
2
3
4
x
11. Considere o gráfico abaixo que representa uma função f do intervalo [1,3] em IR. Quanto à imagem é SOMENTE correto afirmar: y
4
3
a)
Im(f) = [1,4];
b) Im(f) = [2,3]; c)
2
Im(f) = ]1,4];
d) Im(f) = ]2,3];
1
e) Im(f) = [1,3]. 0
1
3
x
Resolução
O menor valor para imagem é y = 1 e o maior é y = 4. Assim, o conjunto Imagem será Im(f) = [1,4]. y
4
3
2
1
0
1
3
x
12. (UFRJ) No gráfico mostrado a imagem do intervalo [-1, 2) é: y
2
a)
[1/2, 1[ ∪ ]-2, 1].
1 1 2
b) ]1/2, 1] ∪ [-2,1[. c)
[-1/2, 1] ∪ ]1, 2[.
d) [-1, 1/2] ∪ ]1, 2[. e) [-1, 1/2] ∪ [1, 2].
–1
1
2
x
–1
capítulo 3 •
123
Resolução
Observe que o domínio considerado é [–1, 2[, a abscissa x = 2 não faz parte do domínio. Assim, na imagem o elemento f(2) também não estará. O valor y = 1 é imagem para um valor x > 2, fora do domínio [– 1, 2[. Assim, f(1) não será elemento da imagem nesse domínio. Observe a função com a imagem e o domínio sinalizados. y
2
1 1 2 –1
1
2
x
–1
13. Identifique no gráfico abaixo, quando a função é crescente, decrescente e constante. y
3 2 1 –2 –1
1 0 –1 –2
Resolução
Crescente: [–2. 1] e [2,3] Decrescente: [3,4] Constante: [1,2]
124
•
capítulo 3
2 3
4
x
14. (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico está representado na figura. Assinale a afirmação correta. y
x2 x1
a)
x5 x3
x4
x
f(0) = 0
b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0 c)
a função é crescente no intervalo [x3; x5]
d) a função é decrescente no intervalo [x3; x5] e) f(x2) = f(x4) = 0 Resolução
Analisaremos cada uma das opções. a)
Falsa. Para que f(0) = 0, o gráfico precisaria passar na origem (0, 0), o que não acontece.
b) Verdadeiro. f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0, ou seja, x1, x3 e x5 são zeros da função. Graficamente, são os pontos onde o gráfico corta o eixo x. c)
Falsa. A função é decrescente no intervalo [x4, x5] .
d) Falsa. A função é crescente no intervalo [x3, x4]. e) Falsa. O gráfico não corta o eixo x nas abscissas x2 e x4 . Além disso, f(x2) ≠ f(x4). 15. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura. y
3
0
4
6
8
x
capítulo 3 •
125
a)
Determine o domínio de f.
b) Determine a imagem de f. c)
Analise o crescimento e decaimento da função.
d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0. e) Calcule f ( 0 ) − 2 ⋅ f (
26
)
+
f ( 8 )
Resolução
a)
Determine o domínio de f. D(f) = [0, 8]
b) Determine a imagem de f. Im(f) = [0, 4] c)
Analise o crescimento e decaimento da função. Crescente: [0, 4]; Decrescente: [6, 8]
d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0. A função não assume valores negativos. A função é positiva (f > 0) no intervalo ]0, 8[. A função se anula nos valores onde o gráfico intersecta o eixo X. f = 0 nos pontos {0, 8}. e) Calcule f ( 0 ) − 2 ⋅ f (
26
)
+
f ( 8 )
A raiz de 26 é maior que a raiz de 5 e menor que a raiz de 6. f (0) − 2 ⋅ f
(
26
)
+
f ( 8 ) = 0
−
4
+
0=
−4
16. (UFF) Considere a função real de variável real f e a função g tal que e g(x) = f(2x) – 1. O gráfico de g é representado na figura a seguir.
a)
Determine a Im(g).
1 , g ( π ) 5
b) Calcule os valores de g ( 0 ) , g c)
Determine o elemento negativo do domínio de g(x) cuja imagem vale 1.
d) Determine f(0) e f(4). e) Analise os intervalos de crescimento e decaimento da função g(x). Resolução
O cálculo de g(x) depende de f(x). a)
Im(g) = [0, 2].
b)
g ( 0 ) = 0
1 = g ( 0,5 ) = 0 5 g ( π ) = 2 g
126
•
capítulo 3
c)
O ponto (– 1, 1) significa que f(– 1) = 1. Assim, x = – 1 é o elemento do domínio que atende a essa condição.
d) Para calcularmos f(0), precisamos calcular f[2.(0)]. Para x = 0, substituindo esse valor na expressão que associa g(x) e f(x), buscamos a imagem de g(0) no gráfico.
x = 0 ⇒ g (0) = f (2. ( 0 )) − 1 g (0) = 0 0 = f (0) − 1 f (0) = 1
Analogamente, faremos o cálculo de f(4) = f[2.(2)]. Assim, para x = 2.
x = 2 ⇒ g (2) = f (2. ( 2 )) − 1 g (2) = 2 2 = f (4) − 1 f (4) = 2 + 1 = 3
17. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exercita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera, em média, 4,8kcal para cada litro de oxigênio absorvido. A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é: ) n i m / L (
y
2
O1,4 e d o 1,0 m u s n o C
0
a)
48,0
b) 52,4
5
15
c)
20
67,2
(min)
d) 93,6
capítulo 3 •
127
Resolução
Entre 5 e 15 minutos, passaram-se 10 minutos. Com o consumo constante de 1,4L/min, temos que foram consumidos (10) · (1,4) = 14 litros de oxigênio. Se o organismo libera 4,8kcal por litro, liberará (14) · (4,8) = 67,2kcal. 18. (UFPE) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período? Nível (m) 100 90 80
10 Tempo
a)
1
b) 2 c)
3
d) 4 e) 5 Resolução
Determinando a interseção da reta y = 40 com o gráfico, obtemos dois valores. Nível (m) 100 90 80 40 10 Tempo
128
•
capítulo 3
19. (Enem 2011). O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 30
28,28 27,79 25,31
25 22,24
22,87
26,46 25,83
23,26 23,92 24,74
21,33
20
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de a)
1998 e 2001.
b) 2001 e 2003. c)
2003 e 2006.
d) 2003 e 2007. e) 2003 e 2008. Resolução
O período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é obtida através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. Resposta: C
capítulo 3 •
129
20. (ENEM). Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após o jantar. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente, g/L
Ingestão de álcool
e 1,0 u g n a 0,9 s o n l 0,8 o o c l 0,7 Á
em jejum após o jantar
a)
uma hora e uma hora e meia, respectivamente.
0,6
b) três horas e meia hora, respectiva-
0,5
mente.
0,4
c)
0,3
três horas e quatro horas e meia, respectivamente.
0,2
d) seis horas e três horas, respectiva-
0,1
mente.
horas 1
2
3
4
5
6
e) seis horas, igualmente.
7
Tempo após ingestão
Resolução
Observando o gráfico e identificando os pontos, temos as abscissas (horas) correspondentes. Resposta: c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente.
g/L
Ingestão de álcool
e1,0 u g n a 0,9 s o n l 0,8 o o c l 0,7 Á
em jejum após o jantar
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
horas 1
2
3
4
5
6
Tempo após ingestão
130
•
capítulo 3
7
4 Funções de Primeiro Grau e de Segundo Grau
OBJETIVOS •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Definir uma função afim e estudar suas particularidades. Esboçar o gráfico de uma função afim. Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim. Resolver equações e inequações envolvendo funções afins. Identificar uma função de segundo grau ou quadrática. Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis. Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática. Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática. Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas. Resolver inequações quadráticas.
132
•
capítulo 4
4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau 4.1.1 Introdução As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia-a-dia a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científicas, quer tecnológicas, quer mesmo sociais. As aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente cada vez mais no futuro. Como as entendemos, as aplicações do conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que, por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a auto-estima, estimula a imaginação e recompensa o esforço de aprender. Elon Lages Lima em Conceituação, Manipulação e Aplicações: Os três componentes do ensino da Matemática. Disponível em: . Inúmeras são as aplicações interessantes e úteis das funções de maneira geral. Para compreendermos bem estas aplicações, devemos, a princípio, dominar a teoria que embasa o estudo das funções e seus gráficos. Começaremos nossos estudos com a função afim, ou função polinomial do primeiro grau.
4.2 Definição No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo f(x) = ax + b, com a, b ∈ e a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. Ou ainda, podemos expressar f por f ÷ → x → f ( x ) = ax
+
b
Note que a, b são parâmetros e x é variável, enquanto que f(x) é o valor da função afim na variável x. Podemos usar qualquer letra para representar parâmetros, variáveis e valores da função.
capítulo 4 •
133
EXEMPLO c) y = 6x + 9 é uma função afim, em que a = 6 e b =9 d) y = 5x é uma função afim, em que a = 5 e b =0 e) y = 2x – 4 é uma função afim, em que a = 2 e b =–4 f) y = –0,8x –0,7 é uma função afim, em que a = –0,8 e b =–0,7 g) Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$ 900,00 mais uma comissão de R$ 4,00 por cada produto vendido. Podemos representar esta situação por uma função afim da seguinte forma: y = 4x + 900 Neste caso, podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da variação de x (quantidade de produto vendida).
4.3 Casos particulares de uma função afim Função constante é a função
f ÷ →
, definida por f(x) = b, onde a = 0
Observe o gráfico da função constante f(x) = –3 y
4 3 2 1
–4
–3
–2
–1 O –1 –2 –3 –4
134
•
capítulo 4
1
2
3
4 x
Função linear é a função
f ÷ →
, definida por f(x) = ax, onde b = 0 y
4 3 2 1
–5
–4
–3
–2
–1 O
1
2
3
4 x
–1 –2 –3 –4 –5
Função Identidade é a função
f ÷ →
, definida por f(x) = x, onde a = 1 e
b = 0. Observe o gráfico da função f(x) = x. y
4 3 2 1
–4
–3
–2
–1 O
1
2
3
4 x
–1 –2 –3 –4
capítulo 4 •
135
4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas Uma função afim f(x) = ax + b pode ser determinada através de duas coordenadas (x1, y 1) e (x2, y 2) quaisquer, com x1 ≠ x2. Lembre-se que uma função afim é determinada pelos valores de seus parâmetros. Exemplo Determine a função afim sabendo que f(2) = 5 e f(3) = 7 Resolução Sabe-se que as coordenada são (2, 5) e (3, 7), então substituímos esses valores diretamente na função f(x) = ax + b, obtemos o seguinte sistema:
( 2, 5 ) → 2a − b = 5 , em que os par metros precisam ser determinados (3, 7 ) → 3a + b = 7 Da primeira equação do sistema, temos que b = 5 – 2a. Inserindo este resultado na segunda equação, temos que 3a + b = 7 3a + 5 − 2a = 7 1a + 5 =7 a= 7 − 5 a= 2
Substituindo a = 2 na primeira equação, verifica-se que 2a + b = 5 2 (2) + b = 5 4 + b =5 b = 5− 4 b= 1
Resposta A função afim é dada por f(x) = 2x + 1
136
•
capítulo 4
4.5 Gráfico de uma função afim De acordo com a tabela a seguir, vamos construir um gráfico correspondente aos valores registrados. Observe que para cada valor na coluna de tempo em x existe um valor correspondente na coluna de temperatura em y.
TEMPO (MINUTOS) X
TEMPERATURA (º C) Y
0 1 2 3 4
15 30 45 60 75
Assim, poderemos construir o gráfico interligando os pontos no eixo das abscissas (eixo x) aos pontos correspondentes nas ordenadas (eixo y). Verificase que para esta tabela o gráfico correspondente é de uma semirreta, pois somente os valores não negativos são considerados para o tempo e a temperatura. y (°C)
75 60 45 30 15 1
2
3
4
x (min)
Note que a variação dos valores de y, que indicaremos por ∆y, é diretamente proporcional à variação dos valores correspondentes de x, que indicaremos por ∆x. Portanto, quando x varia de 0 a 4, a variação correspondente para y é de 15 a 75, isto é, ∆y = 75 – 15 = 60 e ∆x = 4 – 0 = 4, sendo
∆ y ∆x
=
60 4
= 15
. Podemos con
cluir então que a cada variação de 1 minuto em x corresponderá a uma variação de 15 graus Celsius em y.
capítulo 4 •
137
Se em uma função y = f(x) as variações de x e y são diretamente proporcionais, então podemos concluir que o gráfico da função sempre será uma reta e postular o seguinte resultado: o gráfico de toda função afim é uma reta. Observações: d)
Como consequência do resultado anterior, para construir o gráfico de
uma função afim precisamos representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. e)
Devemos observar que, se b = 0, a função será definida por y = ax, e, por-
tanto, o gráfico será uma reta que passará sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das abscissas e ordenadas, pois quando x = 0, temos que y =0.
4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈
e a ≠ 0. Sendo o gráfico de toda função
afim uma reta, teremos sempre a reta cruzando o eixo x em um único ponto. Para determinar a abscissa desse ponto, substituiremosm y = 0 na expressão da reta, obtendo 0
=
ax
+
b ⇒ ax
=− b ⇒
x
a =−
b
Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo x é
− a , 0 . Este ponto também é conhecido por raiz ou zero da função afim. b Exemplo
Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y = 2x – 6 com o eixo 0x. Resolução Se a reta cruza o eixo x, significa que o ponto de interseção tem y = 0, e substituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: Veja, a seguir, o gráfico da função afim y = 2x – 6
138
•
capítulo 4
0 = 2x − 6 ⇒ x =
6 2
=3
y
3
x
–6
Resposta: A abscissa do ponto de interseção é 3.
4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈
e a ≠ 0. Sendo o gráfico da função
uma
reta, esta cruzará o eixo y em um único ponto. Para determinar a ordenada deste ponto, substituiremos x =0 na expressão da reta, obtendo: y = a · 0 + b ⇒ y = b Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo y é (0, b). Exemplo Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y = – 5x + 15 com o eixo y. Resolução Se a reta cruza o eixo y, significa que o ponto de interseção temn x = 0, e substituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: y = –5(0) + 15 ⇒ y = 15. Portanto, a reta corta o eixo y no ponto (0,15). Veja, a seguir, o gráfico da função y = – 5x + 15.
capítulo 4 •
139
y
15
3
x
Resposta A ordenada do ponto de interseção é 15.
4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim e a ≠ 0. Vamos voltar ao tópico já
Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈
men-
cionado sobre taxa de variação de uma função afim. Começaremos observando o gráfico a seguir. Considere dois pontos (x 1, y 1) e (x2, y 2) quaisquer nessa reta. Assim, sabemos que y 1 = ax1 + b e y 2 = ax2 + b. Observe que, isolando o parâmetro b nas duas igualdades, temos b = y 1 – ax1 e b = y 2 – ax2. Portanto, y 1 – ax1 = y 2 – ax2 Isolando o parâmetro a, temos: ax 2
−
a ( x2 a
=
ax1
−
=
x1 )
y 2
−
y 1
x2
−
x1
x2
=
x2
−
x1
−
x1
Ou seja, em uma função afim, a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro a, ou seja, a=
140
•
capítulo 4
∆ y ∆x
=
y 3 − y 2 x3 − x2
=
y 2 − y 1 x 2 − x1
=
y 3 − y 1 x 3 − x1
Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular , enquanto que o parâmetro b é chamado de coeficiente linear . Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação a=
∆ y ∆x
Exemplo Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (–1, 3) e (–2, 4)/ Resolução Temos que calcular a taxa de variação dada por esses dois pontos, assim: a=
∆ y ∆x
=
4 −3 −2 − ( −1 )
= −1
Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos: a=
∆ y ∆x
=
3−4 −1 − ( −2 )
= −1
Exemplo Considere a função y = 4x + 12. Indique a raiz e a taxa de variação. Resolução Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y = 0, fazemos 0 = 4x + 12 ⇒ 4x = –12 ⇒ x = –3 Para calcularmos a taxa de variação devemos ter, pelos menos, dois pontos da reta. Vamos calculá-los: 1.
Se escolhemos x1 = 1 teremos o respectivo valor de y 1 = 4(1) + 12 = 16,
portanto (x1, y 1) = (1, 16) 2.
Se escolhemos x2 = 3 teremos o respectivo valor de y 2 = 4(3) + 12 = 24,
portanto (x2, y 2) = (3, 24) Assim, temos , como era esperado, pois já sabemos que a taxa de variação e a = 4 e esse valor nos é informado na própria expressão da função afim.
capítulo 4 •
141
Propriedade importante Se duas ou mais funções afins têm a mesma taxa de variação y = x + 3, y = x – 1 e y = x – 4, com a =1. y
3
–3 –1
1
4
x
–4
4.9 Função afim crescente e decrescente Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈
e a ≠ 0. Dizemos que uma função
afim é crescente se, e somente se, o valor de a for positivo (a > 0
I.
II. decrescente se, e somente se, o valor de a for negativo(a > 0) Exemplo Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes. a)
y = 7x – 12
b)
y = –6x + 9
Resolução a)
Como o valor de a é igual a 7, esta função é denominada crescente.
b)
Como o valor de a é igual a –6, esta função é denominada decrescente.
142
•
capítulo 4
4.10 Estudo do sinal de uma função afim Para estudarmos o sinal de uma função afim f(x) = ax + b, teremos que determinar os valores de x para os quais f(x) se anula, é positiva ou é negativa. Este estudo pode ser realizado através do gráfico ou da raiz da função. Exemplo Estude o sinal da função f(x) = 4x – 8 Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anula: f ( x ) = 4x − 8 = 0 ⇒ x =
8 =
4
2
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos, ou seja, f ( x ) = 4x
−
8 < 0 ⇒ 4x
<
8⇒ x
<
2
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja, f ( x ) = 4x
−
8 > 0 ⇒ 4x
Graficamente, temos a semirreta
>
8⇒ x
>
2
y
em vermelho, indicando o intervalo
–
de x em que a função apresenta valo-
+
2
res negativos e a semirreta em roxo, indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz x = 2, em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz
–8
capítulo 4 •
143
Exemplo Estude o sinal da função f(x) = –5x + 15. Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anula: f (x) =
− 5x +
15 = 0 ⇒
− 5 x = − 15 ⇒
x
=
3
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos, ou seja, f (x) =
− 5x +
15 < 0 ⇒
− 5 x < − 15 ⇒
x<3
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja, f (x) =
− 5x +
15 > 0 ⇒
− 5 x > − 15 ⇒
x
>
3
Graficamente, temos a semirreta em vermelho, indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores negativos e a semirreta em roxo, indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz x = 3, temos que a função se anula. y
15
+
+
–
3
144
•
capítulo 4
–
x
EXERCÍCIO RESOLVIDO 21. Nos gráficos apresentados abaixo, assinale o ângulo cuja tangente é o coeficiente angular (α). y
y
y
x
x
y
x
x
Solução y
y
α
y
α
x
y
α
x
α
x
22. a) b) c) d) e) f) g) h)
Dadas as equações indique o valor do coeficiente linear L. y = 3x + 2 y = 4x + 5 y=x–2 y=7 3y = 5x –2y = –x + 1 5y = 3x + 15 –3y = x – 6
a) b) c) d)
Solução: L=2 L=5 L = –2 L=7
e) f) g) h)
x
L=0 L = –1/2 L = 15/5 = 3 L = –6/–3 = 2
capítulo 4 •
145
23. Construa o gráfico da função f(x) = 2x – 4 Resolução
Como podemos observar f(x) = 2x – 4 é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. Para traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. Nesse caso, vamos atribuir dois valores arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y, da seguinte forma. Escolha: x = 0 ⇒ f(0) = 2(0) – 4 = ⇒ (0, –4) é um ponto da reta, x = 2 ⇒ f(2) = 2(2) – 4 = ⇒ (2, 0) é outro ponto da reta. Passamos então para a construção do gráfico, marcando os pontos obtidos no plano cartesiano e traçando a reta que une esses dois pontos. Veja a figura abaixo. y
2
x
4
24. Determine a raiz da função f(x) = 3x + 9 e construa seu gráfico. Resolução
Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x) = 0 na expressão da função, ou seja, fazemos 0 = –3x + 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3 Agora, precisamos de dois pontos para traçarmos o gráfico da função afim que é uma reta. Já sabemos que (3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher um outro ponto. Por exemplo, faça x = 0 neste caso, temos f(0) = –3(0) + 9 ⇒ f(0) = 9
146
•
capítulo 4
25. Determine a raiz da função f(x) = 5x + 7 e construa seu gráfico. Resolução
Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x) = 0, ou seja, 0 = 5x + 7 ⇒ 5x = –7 ⇒ x = –1,4 Já sabemos que (–1,4; 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos, por exemplo, f(0) = 5(0) + 7 ⇒ f(0) = 7 ou seja, (0, 7) é outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos no plano cartesiano e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico. y
9
3
x
26. Sabendo-se que o gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1° grau (afim) do tipo y = ax + b, representada pela reta que passa pelos pontos M e N, determine os valores de aeb y
7
–1,4
x
capítulo 4 •
147
Resolução
Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim, queremos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente coeficiente linear b. Para isso, montamos o seguinte sistema com as variáveis a e b.
( 0, 6 ) → 6 = a ( 0 ) + b b = 6 ⇒ ⇒ a = − 2, 4 a b 2 + = − 4 , 2 − → ( ) −2 = a ( 4 ) + b
b=6
Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é y = –2x + 6 27. a) b) c)
Dada a equação y = 2x + 1 Identifique o coeficiente angular; Identifique o coeficiente linear; Construa o gráfico no Plano Cartesiano. Resolução
Em uma equação do tipo Ay + Bx + C = 0, temos: B/A = coeficiente angular C/B = coeficiente linear Logo, y = 2x + 1 → coeficiente angular = 2 coeficiente linear = 1 No Plano Cartesiano, para cada valor de x obtemos um valor de y, assim temos: X
Y
0 1
1 3 y
Graficamente, temos:
(1,3) y
= 2 x + + 1 (0,1) x
148
•
capítulo 4
ESTUDO DE CASO APLICADOS 01. O custo para se produzir um determinado produto em uma indústria depende de valores fixos e variáveis. Independentemente da quantidade quanti dade produzida, o custo mensal para a manutenção do parque industrial destinado à sua fabricação é de R$ R$ 50.000,00. Quando as máquinas entram em funcionamento, funcionamento , o custo para produzir cada unidade do d o produto é de R$ 400,00. a) Determine a equação que representa o custo em função da quantidade produzida. Resposta : Se chamarmos o custo de C de x a quantidade produzida, o valor será igual a C = 50.000 + 400x b) Qual será o custo para a produção de 600 unidades? Resposta : Fazendo x = 600 teremos que o custo será igual a C = 50.000 + 400x C = 50.000 + 400 · 600 C = 50.000 + 240.000 C = 290.000,00 c) Quantas unidades poderão ser produzidas com um custo de R$ 470.000,00? Resposta : Neste caso temos o valor a ser gasto e queremos obter a quantidade x a ser produzida. Logo: C = 50.000 + 400x 470.000 = 50.000 + 400x 400x = 420.000 x = 1050 unidades 02. Um empregado contratado para trabalhar 180 horas mensais recebe um salário de R$ 40,00 por hora, e deve receber o dobro no caso de horas extras. Se ao fim do mês este funcionário recebeu R$ 9.200,00 de salário, quantas horas extras trabalhou? Resolução
Como cada hora extra custa R$ 80,00, o dobro da hora normal, então: 9.200 = 40·180 + 80x 9.200 = 7.200 + 80x 80x = 2000 x = 25 horas extras
capítulo 4 •
149
03. O custo do tempo de exibição de um anúncio num canal de televisão é definido pela seguinte regra: •
•
R$ 100,00 por segundo, até o limite de 30 segundos. R$ 200,00 por cada segundo que exceder os trinta segundos iniciais.
a) Determine o custo correspondente a um anúncio de 25 segundos. Resposta: 100 · 25 = 2500 b) Determine o custo correspondente a um anúncio de 75 segundos. Resposta: 100 · 30 + 200 · (75 – 30) = 100 – 30 + 200 · 45 = 12.000,00 04. Um vendedor precisa alugar um carro para visitar vários clientes, e a locadora cobra cobra uma diária de R$ 250,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Se ele vai alugar o carro por três dias e vai percorrer 600 km, qual será o valor a ser pago? Resolução
Como serão 3 dias, pagará 250 · 3 = 750,00 de diária e como percorrerá 600 km, pagará mais 1,5 · 600 = 900,00. Logo, pagará o valor total de R$ 1.650,00. 05. O custo de energia para uma empresa é de R$ 0,5 por kWh, até 200 kWh, e R$ 1,20 para cada kWh que exceder 200 kWh. Qual será o valor a ser pago por um consumo de 800 kWh? Resolução
0,5 · 200 + 1,20 · 600 = R$ 820,00 06. Uma empresa paga aos seus vendedores um salário mensal fixo de R$ 800,00, mais 5% de comissão por venda. Qual será o valor a ser pago a um vendedor que vender R$ 10.000,00? Determine a função que associa o salário mensal às vendas do vendedor. Esboce o gráfico desta função. Resolução
800,00 + 0,05 · 10000 = R$ 1.300,00 F(x) = 800,00 + 0,05x, cujo gráfico é reproduzido a seguir.
150
•
capítulo 4
1600 1400 1200 1000 800
0
5000
10.000
1 5. 0 0 0
07. Uma empresa compra resmas de papel a R$ 10,00 a unidade e cartuchos de impressão a R$ 40,00 a unidade. Se os recursos disponíveis para esta compra são de R$ 1.200,00 e serão comprados 20 cartuchos de tinta, quantas resmas de papel serão adquiridas? Determine a função que associa a quantidade de resmas à quantidade de cartuchos comprados. Esboce o gráfico desta função. Resolução: 10x + 40 · 20 = 1.200 10x + 800 = 1.200 10x = 400 x = 40 resmas de papel Como o valor total é de 1.200 e cada cartucho custa R$ 40,00 o recurso que sobra após a pós a compra de x cartuchos será 1.200 – 40x. O número de resmas será esta quantidade qu antidade dividida por 10, ou seja, F(x) = 120 – 4x, cujo gráfico é reproduzido a seguir. 100
50
10
20
30
40
08. Uma peça publicitária será publicada em um jornal durante uma semana completa. Nos dias úteis, a publicação custa R$ 7.000,00 por dia e nos finais de semana e feriados R$ 12.000,00 por dia. Determine o valor a ser pago em uma semana comum, sem feriados, e numa semana em que ocorra um feriado no meio da semana. Determine a função que associa o valor a ser pago em função da quantidade de feriados em dias úteis.
capítulo 4 •
151
Resolução:
Numa semana comum temos cinco dias úteis e dois dias no final de semana, logo o valor será 5 · 7000 + 2 · 12000 = 59000,00. Já no caso em que há um feriado no meio da semana, teremos 4 · 7000 + 3 · 12000 = R$ 64.000,00. Numa semana comum, seria pago o valor de 5 · 7000 + 2 · 12.000 = 59.000,00. Para cada feriado em dia útil, há um acréscimo de R$ 5.000,00. Logo, a função será F(x) = 59.000 + 5.000x, reproduzida no gráfico a seguir. 120.000 100.000 80.000 60.000
0
5
10
15
09. Um executivo ao fazer a locação de um veículo por um dia, recebeu duas opções da locadora: Pagar R$ 350,00 sem limite de quilometragem ou R$ 200,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. A partir de que quilometragem passa a ser vantajosa a primeira opção? Esboce os gráficos que associa o valor à quilometragem x. Resolução
Na primeira opção, o valor independe da quilometragem, logo é uma função constante F(x) = 350. No segundo caso, será o valor fixo de 200,00 adicionado de 1,50 por quilômetro, ou seja, F(x) = 200 + 1,5x. A primeira opção será mais vantajosa quando custar menos que a segunda, ou seja, quando 350 < 200 + 1,5x, onde x representa a quantidade de quilômetros a serem percorridos. Logo: 1,5x > 350 – 200 1,5x > 150 x > 100
152
•
capítulo 4
Ou seja, se for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira opção será mais vantajosa. y
420 400 380 360 340 320 300
80
100
120
14 0
x
Veja no gráfico que se o executivo for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira opção será mais vantajosa. 10. Uma administradora de imóveis administra 400 imóveis sendo 100 para venda e 300 para locação. Sua equipe é formada por 35 funcionários dentre os quais 10 são corretores de imóveis profissionais e 5 são administradores e os demais trabalham na infraestrutura da empresa. Supondo que a relação ideal em uma administradora é de 1 corretor para cada 15 imóveis para venda e de 1 administrador para cada 30 imóveis para locação. Nestas condições, calcule o número ideal de corretores e administradores que a empresa deve possuir em seu quadro de funcionários. Resolução
Para o corretor a relação ideal é: 1 corretor → 15 imóveis para venda 10 corretores → 150 imóveis para venda Número ideal → 100 imóveis para venda / 15 = número ideal de corretores = 6,6 ≈ 7 Para o administrador a relação ideal é: 1 administrador → 30 imóveis para locação Número ideal → 300 imóveis para locação / 30 = número ideal de administradores = 10
capítulo 4 •
153
11. O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados de um galpão. Determine uma função que calcula a metragem quadrada a partir do número de caixas a serem armazenadas. Resolução
Como são 100 caixas em 5 metros quadrados, temos que uma caixa consome 0,05 metros quadrados. Logo a função será F(x) = 0,05x ou F(x) = x/20, cujo gráfico é reproduzido a seguir. 0,15 0,10 0,05
–3
–2
–1
1
2
3
–0,05 –0,10 –0,15
12. Um hospital recebe R$ 400,00 diários por cada leito ocupado por um paciente de um determinado convênio. Esboce o gráfico da função que associa o valor que o hospital recebe ao número de pacientes internados pelo convênio. Resolução
Neste caso, F(x) = 400x, cujo gráfico é reproduzido a seguir: 200.000
100.000
–400
–200
–100.000
–200.000
154
•
capítulo 4
200
400
13. Um contador precisa atualizar o patrimônio de uma empresa e deve atualizar o valor de um veículo que foi comprado por R$ 50.000,00 e sofre uma depreciação anual de 8% do valor inicial (e não do valor atual). Esboce o gráfico que associa o valor do veículo ao tempo de uso (em anos). Resolução
Como a depreciação anual é de 8% do valor inicial, ela será de R$ 4.000,00 por ano. Desta forma, após x anos o valor será de F(x) = 50.000 – 4000x como mostra o gráfico a seguir. 50.000 30.000 30.000 20.000 10.000
2
4
6
8
10
12 12
14 14
EXERCÍCIO PROPOSTOS DE CONCURSOS 01. (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros outr os países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos (considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior a 95% a partir de a) 2027. b) 2026. c) 2028. d) 2025.
capítulo 4 •
155
Resolução
Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear, considere a função definida definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças fabricadas no Brasil daqui a t anos. 85 60 5 A taxa de variação da função p é dada por a 10 0 2 5 Logo, p(t ) = t + 60 −
=
=
−
2
Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto é superior a 95% são tais que 5
t + 60 > 95 ⇔ t > 14
2
Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de 2012 + 15 – 2027. Resposta: A. 02. (UEL 2013) 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. QUANTIDADE DE ÁGUA CONSUMIDA (EM M3)
VALO VA LORR A SER SER PA PAGO GO PE PELO LO CO CONS NSUM UMOO DE DE ÁGU ÁGUAA (EM (EM RE REAI AIS) S)
Até 10 Mais do que 10
R$18,00 R$18,00 + R$2,00 por m3 que excede 10 m3
Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por se x ≤ 10 17 B( x ) = 2,1x − 4 se x > 10
em que x representa a quantidade quantida de de água consumida (em m3) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A. b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A?
156
•
capítulo 4
Resolução 18 a) De acordo com a descrição do enunciado, A ( x ) = 18 + 2 ( x − 10 ) cujo gráfico é dado por:
x ≤ 10 x
> 10
A(x)
22 18
x
10 12
b)
2,1x 4 > 18 + ( 2x 20 ) 2,1x 4 > 2x 2 0,1x > 2 x > 20
O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidades superiores a 20 m3. 03. (UFSM 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em: . Acesso em: 7 jun. 2012. Adaptado. ) s e õ8,0 h l i m7,2 6,7 m e ( s o r i e4,0 g a s s a P
2010
C D
2014
Ano
capítulo 4 •
157
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero – Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. Resolução
Função da demanda é dada por: D( x ) =
7, 2 − 6, 7 2014 − 2010
x
+
bD
=
1 8
x
+
bD
Temos que bD ficará determinado quando a reta D(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 7,2). Nesse caso, temos 7,2 =
1 8
( 2014 ) + bD ⇒ bD = − 244,55
Portanto, D( x )
1 =
8
x
−
244,55
Função da capacidade é dada por: Cx = 8 – 42014 – 2010x + bC = x + bC Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 8). Nesse caso, temos 8 = x + bC ⇒ bC = –2006
158
•
capítulo 4
Portanto, C(x) = x – 2006 Queremos que C(x) = D(x). Para isso temos que calcular primeiramente x, como 1 8
x
− 244, 55 =
x
−
2006 ⇒ x
=
2013, 085
Agora, substituindo x em C(x) ou em D(x), obtemos C(201,085) = 2013,085 – 2006 = 7,085 ou seja, o número de passageiros é igual a 7,085 milhões Cuidado para não tomar bD = 6,7 em D(x), nem bC = 4 em C(x). Lembre-se que coeficientes lineares têm sempre abscissa igual a zero! Resposta: B. 04. (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. Resolução
Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0,5t Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0,4t em que t é o tempo da ligação em minutos. Fazendo PA = PB, temos: 27 + 0,5t = 35 + 0,4t ⇒ 0,1 · t = 8 ⇒ t = 80 min
capítulo 4 •
159
Graficamente temos: y
PA
PB
67
35 27
80
x
Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. Resposta: B 05. (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa a) 140 b) 180 c) 220 d) 260 Resolução
Taxa de variação do preço:
400
−
120 =
3
−
140
.
1
Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140x + b. Para obter o valor de b, substituímos na expressão da função um ponto, por exemplo, (1, 120), e obtemos 120 =140(1) + b, o que implica que b = -20. Portanto, a expressão será y = 140x – 20. Nesse caso, o preço de um ingresso no setor 2 tem valor y = 260. Resposta: D
160
•
capítulo 4
06. (Insper 2013) Num restaurante localizado numa cidade do nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. MÊS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ TEMPERATURA MÉDIA MENSAL 29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29 (GRAUS CELSIUS) BOLAS DE 980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980 SORVETE Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta: “É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado? ” Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação. Resolução
Da tabela, temos que JAN FEV 29 980
30 1000
a=
∆y ∆x
=
1000 − 980 30 − 29
= 20
bolas
Resposta: C.
capítulo 4 •
161
4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau 4.11.1 Introdução A função quadrática modela uma variedade de problemas tanto na própria matemática como nas ciências físicas e em muitas outras áreas. Isto faz com que este modelo de função tenha certo destaque na Educação Básica, aparecendo no final do Ensino Fundamental, assim como no Ensino Médio. No entanto, ao contrário do que é comum se observar nas abordagens de função quadrática, sua importância não exige do cidadão apenas habilidade na manipulação de fórmulas prontas que descrevem a representação algébrica. Para o uso de tal modelo de função, assim como para os demais, é necessário que ele compreenda as características peculiares deste tipo de função. Entenda quais as características de uma relação entre duas grandezas de uma situação que faz com que ela possa ser modelada por uma função quadrática. SILVA, César Thiago José da; GITIRANA, Verônica. Função Quadrática e Progressões Aritméticas - Uma Abordagem com Auxilio de Softwares . Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática – ISSN 2178-034X Página 2. Disponível em: . Dizemos que uma função f de
em
é
uma função do segundo grau ou
quadrática quando associa a cada número real x o número real ax2+ bx + c em que a, b e c são números reais dados, com a ≠ 0. Ou ainda podemos expressar f por: f ÷ → x → f ( x ) = ax 2
Exemplos
1 2 x 3
+
bx + c
4 5 1 4 5 x + , em que a = , b = e c = 3 3 3 3 3
1.
f (x) =
2.
f(x) = –2x2 + x, em que a = –2b = 1 e c = 0
3.
f(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = –4
4.
f(x) = x2 – 4x + 3, em que a = –2b = –4 e c = 3
162
•
capítulo 4
+
4.12 Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função de segundo grau ou quadrática é uma parábola. Podemos visualizar de forma concreta uma parábola, por exemplo, dirigindo um jato de água de forma obliqua para cima.
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta r e de um ponto F, não pertencente à reta, no plano dado. Por exemplo, na próxima figura, podemos observar que qualquer ponto P da parábola dista igualmente da reta r e do ponto F.
P F
r
4.13 Concavidade A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Na prática, para determinarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo
capítulo 4 •
163
grau. Para isso, basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2, ou seja, o valor de a na expressão f ( x ) = ax 2
+
bx + c
Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima. Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo.
a <
a >
0
0
Exemplos 6
f ( x ) = – 3 x 2 +
6
2,5 4
2,0 1,5
f ( x )
= x 2 – 3 x + 2
2
1,0 0,5
–1,5 –1,0 –0,5
0,5 1,0 1,5 2
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
4.14 Raízes ou zeros As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a função f, ou ainda, são os valores reais de x tais que f ( x ) = ax 2
164
•
capítulo 4
+
bx + c = 0
Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x. Exemplo Seja a função quadrática f(x) = x2 –4x + 3 Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x = 1 e x =3 8 6 4 2
–2
1
2
3
4
5
Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara. ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b2 − 4ac
x=
−b ±
∆
2a
Caso1. ∆ > 0 Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem duas raízes reais e distintas, a saber: x1 =
−b +
2a
∆
e x2 =
−b −
∆
2a
Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos. a > 0 e Δ > 0
a < 0 e Δ > 0
x
x
capítulo 4 •
165
Caso2. ∆ = 0 Como a raiz quadrada de zero é zero, neste caso, a função quadrática tem duas raízes reais e iguais, a saber: x=
−b ±
∆
2a
x1 = x 2 =
− b
2a
Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x. a > 0 e Δ = 0
a < 0 e Δ = 0 x
x
Caso3. ∆ < 0 Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, neste caso, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais, já que Observamos que, a parábola não corta o eixo dos x. a > 0 e Δ < 0
a < 0 e Δ < 0 x
x
Exemplo Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 4 Resolução Primeiramente, calculamos ∆ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 16 = –7 Como ∆ < 0, f não tem raízes reais.
166
•
capítulo 4
∆∈.
Exemplo Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 2 Resolução Temos ∆ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 8 = 1 Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes: 3+1 4 x1 = = =2 −b ± ∆ 3 ± 1 2 2 x= = = 2a 2 x = 3 − 1 = 2 = 1 2 2 2
Exercício Determine os valores de m para que a função de segundo grau f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + m possua dois zeros reais e distintos. Resolução Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos, é necessário que ∆ > 0. Partindo desta condição, temos ∆ = b2 − 4ac = 2 m + 3
(
2
)
(
− 4 m −1
) ( m) > 0
4m2 + 6m + 9 − 4m2 + 4m > 0 10m + 9 > 0 10m > − 9 m>−
9 10
Precisamos, além disso, nos assegurar que a função realmente seja de segundo grau. Para isso, o coeficiente do termo x2 precisa ser diferente de zero (a ≠ 0). Logo, é preciso verificar que m – 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1 (Lembre que o símbolo matemático "⇒" significa “implica em”.) Assim, os valores de m procurados são:
m>−
9
em≠1
10
capítulo 4 •
167
4.15 Interseção com o eixo y Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual a zero, para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos y precisamos fazer x = 0 na função quadrática f ( x ) = ax 2
+
bx + c = 0
, ou seja,
f(0) = a02 – b0 + c = c Assim, a parábola interceptará o eixo y em c. Exemplo Seja f(x) = x2 – 4x + 3 Como c = 3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y = 3, conforme o gráfico a seguir.
5 4 3 2 1
1
2
3
4
–1
4.16 Máximo e mínimo Teorema. Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo y M −
∆
4a
, para
x M −
b
2a
.
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máximo correspondente y M.
168
•
capítulo 4
y Valor máximo
Y M
V
X M
x
Ponto de máximo
Teorema. Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo y M −
∆
4a
, para
x M −
b
2a
.
O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola xM e o valor mínimo correspondente y M. y Ponto de mínimo
X M
x
Valor mínimo
Y M
V
capítulo 4 •
169
(ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx (P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a)
11000
b)
22000
c)
33000
d)
38000
e)
44000
Resolução Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos P = 44000 Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P – x), temos: R(x) = kx (44000 – x) = –kx2 = 44000kx Como k é uma constante positiva, o coeficiente de x2 em R é negativo. Portanto, o valor máximo de propagação R será alcançado quando o número de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. Sabemos que o ponto de máximo é xM
b = −
2a
44000k = −
2( k )
=
22000
−
Resposta: b Você deve ter notado que o ponto de máximo tem a mesma fórmula do ponto de mínimo, assim como a fórmula do valor máximo é igual a fórmula do valor mínimo. Vamos ver a explicação para isso a seguir.
170
•
capítulo 4
4.17 Vértice
Chamamos por vértice da parábola o ponto V = − ção quadrática y = ax2 + bx + c.
b 2a
,−
∆ associado à fun4a
O gráfico da função quadrática possui um eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola e é perpendicular ao eixo dos x. O eixo de simetria funciona como um espelho, dividindo a parábola em duas partes, veja os gráficos a seguir. y eixo de simetria –
V
Δ
4a
0
–
x
b 2a
y
eixo de simetria
0
x
V
b ,–
2a
Δ
4a
capítulo 4 •
171
Exercício Determine os intervalos onde a função f(x) = x2 + x + 2 é crescente e decrescente. Resolução Como a = –1, sabemos que a concavidade de f é para baixo, sendo o vértice o ponto que delimitará a mudança da inclinação da parábola:
V = −
b 2a
,−
∆ 4a
Esboçando o gráfico da função, percebemos que a função é crescente para os valores de x menores que 0,5, e será decrescente para os valores de x maiores de 0,5. 3
y
3
(0,5; 2,25) V (0,5;
2
2
1
1
intervalo de crescimento
–3
–2
–1
y (0,5; 2,25) V (0,5;
intervalo de crescimento
1
2 x
–1
1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
2
3
4 x
(ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T ( t ) = −
t
2
4
+
400
com t em minutos.
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC.
172
•
capítulo 4
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a)
19,0
b)
19,8
c)
20,0
d)
38,0
e)
39,0
Resolução Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Assim, o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C. Substituindo T =39 na expressão da temperatura do forno, temos:
( )
T t =−
39 = − t2 4
t2 4
t2 4
+
= −39 +
+
400
400
400 = 361
t 2 = 361 ⋅ 4 = 1444 t = 38
4.18 Imagem Seja a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Se a concavidade da parábola é para cima, ou seja, a > 0, o menor valor de y corresponde à ordenada do vértice da parábola.
∆ A imagem da função, função, quando a > 0, será Im(f ) = − , + ∞ 4a
Analogamente, no caso em que a < 0, o maior valor de y corresponde à ordenada do vértice da parábola, e, portanto, a imagem da função será ∆ Im(f ) = − ∞, − 4a Exemplo Seja f(x) = x2 – 4x + 3. Como a = 1 > 0, o menor valor de y é dado por y V = −
∆
4a
=
b2 − 4 ac 4a
2
=
( −4 )
−
4 ( 1) ( 3)
4 ( 1)
= −1
capítulo 4 •
173
Nesse caso, Im(f ) ] 1 =
−
−∞
] , como se pode ver no gráfico a seguir.
3
2
1
1
–
Δ
4a
Exemplo
2
3
4
= –1
1
4
Seja f ( x ) = − x 2 + 3 é dado por
5
x
+
3
3
. Temos que a = –1/3 < 0, então o menor valor de y
2
4 − 4 − 1 5 3 3 3 ∆ = 3 y V = − = 4a 1 4 − 3 Portanto, Im(f ) ] =
–
Δ
4a
, 3] , como se pode ver no gráfico a seguir.
−∞
=3 2 1
–2
2 –1 –2
174
•
capítulo 4
4
6
4.19 Soma e produto das raíze raízess Conforme já vimos, as raízes da função de segundo grau f(x) = ax2 + bx + c são x1 =
−b +
∆
2a
e x2 =
−b −
∆
2a
A soma das raízes desta função de segundo grau é dada por: b
S = − x1 + x 2
=−
a
O produto das raízes desta função de segundo grau é dado por: P = −x
1
+ x
c 2
=
a
(ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
7 para 0 ≤ t < 100 5 t + 20 T (t ) = 2 t − 16 t + 320 para t ≥ 100 125 5 Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a a)
100
b)
108
c)
128
d)
130
e)
150
capítulo 4 •
175
Resolução Temos duas situações: (I) Para
0 ≤ t < 100 ,
a função a ser considerada é
( )
T t =
7 5
t + 20
Determinamos a temperatura T para t = 0 e T = 100, fazendo
( )
T 0 =
(
7 5
0 + 20 = 20
)
T 100 =
7 5
100 + 20 = 140 + 20 = 160
Dessa forma, quando
20 ≤ T < 160 2 16 considerada é T t = t− t + 320 125 5
0 ≤ t < 1 00 ,
teremos
( )
(II) Para t ≥ 100, a função a ser
Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada do forno, de modo a podermos precisar o tempo de permanência dessa peça neste forno. Quando a temperatura for 48 °C, a peça entra e ntra no forno. Neste caso, determinamos o valor de t correspondente, fazendo 7
T (t ) = 48 = 7 5
7
5
t + 20
t + 20
5
t = 48 − 20 = 28
7t = 28 ⋅ 5 t = 4⋅5
20 min .
=
Quando a temperatura for 200 °C, determinamos o valor de t, fazendo
( )
T t =
200 =
0=
t
176
•
capítulo 4
2
2 125
125
125 125 2
125
2
2
2t
2
t−
t−
t−
16 5
t−
16 5
5
16 5
t + 320
t + 320
t + 320 − 200
t + 120 = 0
− 400t +
−
16
15000 = 0
200t + 7500 = 0
Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara. Temos que ∆ = (200)2 – 4(1) (7500) = 40000 – 30000 = 10000. Então, as raízes são: t1
=
t1
=
(
) 10000 200 − 100 = = 50 min. 2 ( 1) 2
(
) 10000 200 + 100 = = 150 min. 2 ( 1) 2
− −200 −
− −200 +
Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 2000, sabemos que t ≥ 100. Assim, a peça é retirada do forno no tempo t = 150 min. 150 – 20 = 130 minutos. Resposta: Letra d.
4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau 1.
Concavidade da Concavidade da parábola: coeficiente a;
2.
Onde a parábola corta o eixo dos y : coeficiente c;
3.
Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes; raízes;
4.
0): vértice V V Ponto de mínimo (a mínimo (a > 0), ou máximo (a máximo (a < 0): vértice
5.
Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y .
Exemplo Esboce o gráfico da função f(x) = –x2 –4 x –3 Resolução 1.
Concavidade da parábola: coeficiente a;
Como a = –1 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. 2.
Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
Como c = –3, a parábola corta o eixo dos y em (0, –3)
capítulo 4 •
177
3.
Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes; 2
16 − 12 = 4 ∆ = b2 − 4ac = ( −4 ) − 4 ( −1) ( −3 ) = 16 x=
− b2 + ∆ 2a
=
4±2
−2
−3 = −1
Como a = –1 < 0, teremos um ponto de máximo: sendo o vértice ∆ =−b2, −∆ 4a = − (−4) 2 (−1), − 44 (−1) = −2, 1. Desse modo, o gráfico de f é dado a seguir.
–5
–4
–3
–2
–1
1
–2
–4
–6
–8
4.21 Estudo dos sinais da função quadrática Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos quais esta função possui imagem positiva (f(x) > 0), imagem negativa (f(x) < 0) e imagem nula (f(x) = 0) O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às raízes desta função. Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos gráficos abaixo.
178
•
capítulo 4
a>0
a<0
y
y
y < 0
x 1 y < 0
x 2 y < 0
0
x
>0
y < 0
0
y < 0
x 1
y < 0
x 2
x
y
y
0
y < 0
x
x 1 = x2
x
<0 y < 0
0
x
y
y
0 y > 0
y > 0
=0 y > 0
0
y > 0
x 1 = x2
x
capítulo 4 •
179
Exemplo Estude o sinal da função quadrática f(x) = x2 –4 x 9 + 3. Resolução Ao montar o gráfico de f, apresentado abaixo, determinamos suas raízes x1 = 1 e x2 = 3. Então, verificamos de imediato que f(x) = 0 quando x = x1 e x = x2. . A imagem de f é positiva, ou seja, f(x) > 0, no intervalo x < 1 e x > 3, Já a imagem de f é negativa, ou seja, f(x) < 0, no intervalo 1 < x < 3. 5 4 3
2 1
1
2
3
4
–1
Repare que, entre as raízes x1 = 1 e x2 = 3, o valor da função é negativo (está abaixo do eixo dos x), enquanto para valores de x menores e maiores do que as raízes, o valor da função é positivo. Exercício Resolva a inequação
(x
2
− 6x + 5
x
2
)( x − 4)
− 11x − 24
≥0
Resolução Para resolver a inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das funções envolvidas. São elas:
180
•
capítulo 4
I.
f(x) = x2 – 6x + 5. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 1 e x = 5.
Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir, que tem como orientação o eixo dos x. Raízes 2
x
– 6 x + 5
1 +
5 –
–
–
+
+
II. g(x) = (x – 4). Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x = 4. Raízes x –
I.
4
4 –
–
–
+
+
+
g(x) = x2 – 11x – 24. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 3 e x = 8. Raízes 2
x
– 11 x + 24
3 +
+
8 –
–
–
+
Como a função h está no denominador, ela não pode assumir valor zero. Assim, as raízes desta equação não podem pertencer à solução. Para analisar a inequação, montamos um quadro com os sinais da imagem das funções f, g e h, e estudamos o sinal do produto do numerador junto com o sinal do denominador, lembrando de excluir as raízes de h, já que o denominador não pode ser nulo. Raízes
3
4
5
8
– 6 x + 5
+
–
–
–
+
+
– 4
–
–
–
+
+
+
– 11 x + 24
+
+
–
–
–
+
Inequação
–
+
–
+
–
+
2
x
x
2
x
1
Representamos a solução da inequação por: S = {x ∈ / 1 ≤ x < 3} ∪ {x ∈ / 4 ≤ x ≤ 5} ∪ {x ∈ / x > 8}
capítulo 4 •
181
ESTUDO DE CASO APLICADOS 01. Sabe-se que, mensalmente, um fabricante vende x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x. Sabe-se ainda que o custo da produção é dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? Resolução
L(x) = R(x) – C(x) L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8) L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8 L(x) = – x² + 6x – 8
b
−
x V
=
x V
=
2a 6
−
2
−
x V
=
3
02. Uma fábrica vendo determinado produto cuja função lucro, dada em reais, é dada por L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos. Determine: a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. Resolução
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. Função lucro da fábrica: L(x) = – 5x2 + 100x – 80. É uma função do 2º grau, com a = – 5 < 0. A parábola que representa essa função possui concavidade voltada para baixo. Dessa forma, possui um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado pela coordenada y do vértice. − 1002 − 4 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −80 ) − (10000 − 1600) −8400 y V = = = = = 420 4a 4 ⋅ ( −5 ) −20 −20 −∆
Lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.
182
•
capítulo 4
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pela coordenada x do vértice. x V
=
− b 2a
=
− 1002 − 4 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −80 ) 2 ⋅ ( −5 )
−100 = 10 −10
=
A fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado. 03. Um fabricante de calçados pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par e estima que, se cada par for vendido por x reais, ele venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Considerando então o lucro mensal do fabricante como uma função do preço de venda, determine o preço de venda, de forma que o lucro mensal seja máximo? Resolução
Custo: C(x) = 20*(80 – x) Receita: R(x) = (80 – x) * x Lucro: L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x) L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x L(x) = – x² +100x – 1600 O lucro de uma fábrica possui um valor máximo ( a < 0 ) . L(x) = – x² +100x – 1600 a=–1 b = 100 c = – 1600 x V
b =−
⇒
2a
xV
−100 =
2 ⋅ ( −1 )
⇒
x V
=
50
Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$ 50,00.
capítulo 4 •
183
EXERCÍCIO RESOLVIDOS DE CONCURSOS 01. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: y (m) C
D
0
A
35
B
x (m)
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. 2 2x −x A equação de uma dessas parábolas é y = + 75
5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 Resolução
As raízes de y =
−
x2
75
+
2x 5
são x = 0 e x = 30.
Podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão: y = 0 ⇒
− x 2 75
+
2x 5
− x2 x = 0 =0⇒ − 2 5 15
Assim, temos que −x =
5
0 ⇒ x = 0 ou
x −
15
2=0 ⇒
x =
2 ⇒ x = 30
15
Isto implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a abscissa do ponto A é igual a 30. Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D. Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do ponto B será igual a 40m. Resposta: Letra b.
184
•
capítulo 4
02. (PUC – SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = – 25t2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? Resolução
Quando a bola atingir o solo, sua altura será zero. Substituindo na expressão de h temos: h = – 25t2 + 625 0 = – 25t2 + 625 25t2 = 625 t2 = 25 ⇒ t = ± 5 Considerando que a bola foi largada no instante t = 0, temos que a solução t = –5 deve ser descartada, restando t = 5. Veja a seguir o gráfico da função para visualizar a trajetória da bola. 600
400
200
1
2
3
4
5
6
–200
Resposta. A bola levará 5 segundos para atingir o solo. 03. (PUC – Campinas – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesia2 x −x no por y = com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura + 64
16
máxima que o projétil atingiu. Resolução
Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da parábola: 2 2 1 − 4 ⋅ −1 ( 0 ) 1 2 −∆ 16 16 = 16 = 256 = 1 ⋅ 1 = 1 = 0,0625 km y V = = 4a 1 1 1 256 16 16 4 ⋅ − − 4 ⋅ − 64 64 16
Resposta. O projétil atingiu a altura máxima de 0,0625 km = 62,5 m.
capítulo 4 •
185
04. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano 2 −x está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo S = − + c . O ponto onde a 36 bola tocou pela primeira vez foi: y
2,3 m 9m x
16 m
a) b) c) d)
na baliza atrás do gol dentro do gol antes da linha do gol Resolução
A altura máxima da bola é 9m. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é 9. Da figura, temos que a abscissa do vértice é 0. Então, o vértice da parábola é V = (0,9). 2 −x Substituímos este ponto na equação S = − + c , temos: 36
2
9=−
0
+ c⇒ c = 9
36
Ficamos então com a equação
S=−
x
2
36
+
9
Em baixo da linha do gol, a abscissa é x=16. Para determinar a altura da bola na linha do gol, devemos calcular a ordenada para x=16: S=− S=−
186
•
capítulo 4
x2 36
+
162 36
9
+
9= −
256 36
+
9=
−256 +
36
324
=
68 36
≅
1, 9
Assim, temos que a altura da bola na linha do gol é de 1,9m, sendo menor que a altura da baliza do gol que é 2,3m, significando que a bola consegue entrar no gol. Resposta: Letra c.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. 9. ed. São Paulo: Atual. 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna. 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna. 2013.
capítulo 4 •
187
188
•
capítulo 4
5 Função Exponencial e Funções Logarítmicas
OBJETIVOS •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Identificar uma função Exponencial. Analisar o gráfico de uma função Exponencial. Resolver equações e inequações exponenciais. Resolver problemas que envolvam função exponencial. Definir Logaritmo. Utilizar as propriedades de Logaritmo. Identificar uma função Logarítmica. Analisar o gráfico de uma função Logarítmica. Resolver equações e inequações Logarítmicas. Resolver problemas que envolvam função Logarítmica.
190
•
capítul0 5
5.1 Função exponencial 5.1.1 Introdução As funções exponenciais são de grande importância e utilidade para diversas áreas das engenharias e ciências de modo geral. São inúmeras as aplicações que envolvem crescimento e decrescimento exponencial. Para que possamos estudar estas aplicações precisamos estudar as noções função de exponencial e seus resultados. Um exemplo importante de função exponencial é o sistema de juros compostos.
5.2 Definição definida por f : ( x ) a x , com a > 0, a ≠ 1 é chamada de função exponencial. O número real a é chamado de base da função exponencial. A função
f : → *+
=
EXEMPLO 8. f(x) = 3x 9. y = (0,4)x 10. f(x) = ( 5 )x
Observação:
Por que a base a tem que ser maior que zero e diferente de 1? II. Se a base fosse igual a 1, teríamos uma função constante, pois f ( x ) 1x 1 para todo x; III. Se a base fosse igual a zero, teríamos uma indeterminação quando x = 0, 1 1 pois 00 ∉ e também quando x < 0, pois, por exemplo, 0 5 5 =
=
−
=
=
0
0
IV. Se a base fosse um número negativo teríamos valores da imagem de ax não pertencentes 1ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para 1 a 3ex f ( x ) ( 3)2 3 não pertence ao conjunto dos números reais. = −
=
=
−
=
−
2
capítulo 5 •
191
5.3 Gráfico de uma função exponencial Por meio de alguns exemplos, vamos mostrar como construir o gráfico de uma função exponencial.
EXEMPLO 1.
f (x)
=
2x
Inicialmente, vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores de x, e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano.
X
9
2X
8
–3
7
–2 6
–1
5
0
1
4
1
2
3
2
4
2 1
3
8 0
–4
–3
–2
–1
0
1
y
8 7 6 5 4 3 2 1
–4
192
•
capítul0 5
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 x
2
3
4
2.
f (x)
=
2x
9 8
x
X
1 2
–3 –2 –1 0
8 4 2 1
1 2 3
7 6 5 4
1 2
3
1
2
4
1
1
0
–4
8
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
8 7 6 5 4 3 2 1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 x
Observações:
1. No exemplo 1, note que: D ( f ) ,Im ( f ) R * e a função é crescente em todo seu domínio. 2. No exemplo 2, note que: D ( f ) = , Im ( f ) = R * e a função é decrescente em todo seu domínio. =
=
−
+
capítulo 5 •
193
Esboços gráficos de função exponencial
1º CASO A > 1
2º CASO] 0
y
y
1
1
0
0
x
x
Em ambos os casos o gráfico da função f (x) = a x não toca o eixo-x (eixo das abscissas) e, além disso, a função exponencial sempre toca o eixo-y (eixo das ordenadas) no ponto em que y = 1. Isso ocorre porque a 0 = 1, para todo a > 0, a ≠ 0. Lembretes
1. Uma função real f é crescente num intervalo contido no domínio da função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) também aumenta. 2. Uma função real f é decrescente num intervalo contido no domínio da função se, e somente se, para quaisquer números x 1 e x2 do intervalo, acontece x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) diminui. Propriedades P1) Sendo a > 0, a ≠ 1 , tem-se que: ax
194
•
capítul0 5
=
a y ⇔ x = y
P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a > 1. Assim: ax
=
a y ⇔ x > y
P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0 < 1 < 1. Assim: ax
=
a y ⇔ x < y
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1.
Faça um esboço gráfico das funções abaixo:
a)
1 y = − 4 2
x
Resolução
1º) Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente. 2º) Quando x = 0, y = –3 . Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, –3). 3º) Quando y = 0, temos que x
1 = 4 ⇔ 2−1 x = 22 ⇔ 2− x = 22 ⇔ x = −2 ( ) 2 Note que desenvolvemos a equação de modo a usar a propriedade P1 descrita acima. Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (–2, 0). 4º) Esboço gráfico: y
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–2
–3
–4
capítulo 5 •
195
b)
f ( x ) = 2x
+2
Resolução
1º) Como a base é maior que 1, a função é crescente. 2º) Quando x = 0 f (0) = 3. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3). 3º) Repare que a imagem de f (x) é positiva em todo o domínio. 4º) Esboço gráfico: y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7 x
5.4 Equação exponencial Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial. É muito comum usar propriedades de potências de mesma base quando resolvemos uma equação exponencial.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. a)
Resolva as equações exponenciais abaixo: 2x+1 = 16 Resolução
Para fazer uso da propriedade P1 descrita anteriormente, temos que colocar primeiramente as potências com a mesma base: 2x +1 + 24
196
•
capítul0 5
⇔
x
+1=
4⇒x
=
3
b)
4x+2 = 32 Resolução
Usando a propriedade P1, obtemos: 4 x +2
5
+2
⇔
(2 ) 2
x +2
=
25
⇔
22 x +4
=
25
⇔
2x + 4
=
5⇒ x=
1 2
x
c)
1 = 243 3 Resolução
x
x 1 Sabendo que 3 = (3−1) , resolvemos facilmente a equação:
(3 ) −1
d)
3
625
=
Como
9x
35
⇔
3− x
=
35
⇒
x
= −5
4
625
3 =
4
5
=
3
e)
=
125x
Resolução 3
x
− 10 ⋅ 3
x
53
4
5
, resolvemos a equação usando a propriedade I: =
(5 ) 3
4
x
53
⇔
=
53 x
4 ⇔
=
3
3x
⇒
x
4 =
9
+ 9 =0
Resolução
Observe que este tipo de equação não pode ser resolvido como as anteriores, pois não conseguimos chegar numa igualdade de duas potências. Neste tipo de exercício será necessário fazer uso de mudança de variável (parecido com o que é feito na resolução das equações biquadradas). Para isso, verifique que a equação pode ser escrita como:
(3 ) 2
x
2
(3 ) x
− 10 ⋅ 3
x
+9 =0
− 10 ⋅ 3
x
+9 =0
Fazendo a mudança de variável t =3x, segue que: t2
− 10 t + 9 = 0
capítulo 5 •
197
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 9 ou t = 1. Temos que voltar para a variável original x. Assim: 3x
=
9 ou 3x
3x
=
32 ou 3x
x
=
2 ou x
=
1
=
=
30
0
2. Seja f ( x ) a 3bx , onde a e b são constantes reais. Dados f ( 0 ) calcule k tal que f (k ) 100 . =
⋅
=
900 e f (10 )
=
300
=
Resolução
Temos que f (0)
=
900
⇔
a ⋅ 3b⋅0
=
900
⇔
a ⋅1 = 900
Substituindo o valor de a em f (x), obtemos f ( x ) Ainda, temos que f (10 ) = 300
⇔
900 ⋅ 3b⋅10
=
300
=
100
−k
=
310⋅b
a
=
900
900 3b x
=
⋅
1 =
⇔
⋅
310⋅b
=
3−1 ⇒ b
3
Queremos determinar k tal que f (k ) f (k )
⇔
⇒
= 100 ⇔
310
10
, então fazemos
−k
900 ⋅ 310
1 = −
−k
1 =
⇔
310
=
3−2
⇒
k
=
20
9
3.
(UFSM) A figura mostra um esboço do gráfico da função f (k ) = a x + b , com a, b ∈ , a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 . Então, o valor de a2 − b2 é: y
5
2 0
a) b)
198
–3 –1
•
c) d)
capítul0 5
2
0 1
x
e)
3
Resolução
O gráfico passa pelo ponto (0,2). Logo, f (0) = 2. Assim: a0
+b =
2 ⇒ 1+ b = 2 ⇒ b = 1
Substituindo o valor de b em f, obtemos f (x)
=
ax
+1
Note que o gráfico da função passa pelo ponto (2,5). Logo, f (2) = . Assim: a 2 + 1 = 5 ⇒ a 2 = 4 ⇒ a = ±2
Porém, sabemos que a > 0, logo a = 2. Portanto, a2
−
b2
=
22
−
12
=
3
Resposta: E 4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificouse que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: y y0 2 0,5 t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em horas. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora b) meia hora c) 1 hora d) 2 horas e) 4 horas =
⋅
−
⋅
Resolução
Temos que a expressão da concentração é dada por y y0 2 quando essa concentração chega ao valor y0 , ou seja, =
⋅
0, 5 t
−
⋅
. Queremos saber
4 y0 4
=
y0 2 ⋅
0, 5 t
−
⋅
capítulo 5 •
199
y0
=
4y0
2
0 , 5⋅t
−
1 0, 5 t =2 4 2 2 = 2 0,5 t −
−
⋅
−
⋅
0, 5 ⋅ t = 2 ⇒ t = 4
Resposta: E
5.5 Inequação exponencial Toda inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial. Ao resolver uma inequação exponencial a ideia é encontrar potências de mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações, através da propriedade P2 ou da propriedade P3 descritas anteriormente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. a)
Resolva as inequações abaixo: 322 x − 3
<
8x +4
Resolução
Como são reduzíveis a potências de base igual a dois, obtemos: 322 x − 3
<
8x + 4
⇔
(25 )
2x −3
<
(23 )
x+4
⇔
210 x −15
<
23x +12
Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela propriedade P2, temos que: 210 x −15
<
23 x +12
⇒ 10 x − 15 <
3 x + 12 ⇒ 7 x < 27 ⇒ x <
27 7
b)
200
−
3x 4
1 8
•
+
2x 6
1 ≥ 4
capítul0 5
Resolução
Tendo as potências a base comum
a
1 =
2
, fazemos:
−
+
3x 4
2x 6
1 ≥ 1 8 4 3x − 4 2 x +6 1 3 1 2 ≥ 2 2 −
9 x 12
1 2
+
4 x 12
1 ≥ 2
Como a base é um número real entre 0 e 1, as funções exponenciais são decrescentes. Então, pela propriedade P3, temos que: 9x − 12 ≤ 4 x + 12 ⇒ 5x ≤ 24 ⇒ x ≤
24 5
c)
5x
2
−4
1 <
125
Resolução
Nesta inequação, notamos que a base comum das potencias será a = 5, então 5x
2
−4
1 <
⇔
5x
2
−4
1 <
125
3
⇔
5x
2
−4
<
5−3
5
Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela propriedade P2, obtemos: x2
− 4 < −3 ⇒
x2
− 1<
0
Resolvendo a equação do 2º grau (consulte o capítulo sobre função do segundo grau), e estudando o sinal da sua imagem, encontramos: −1 <
x
<1
ESTUDO DE CASO APLICADOS 05. O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela t relação M = C (1 + i ) . Considerando um capital de R$ 10.000, a ser aplicado a uma taxa de 12% ao ano, durante 4 anos, determine o montante ao final deste tempo, dessa aplicação.
capítulo 5 •
201
Resolução
M = 10.000 (1 + 0, 12 ) M = 10.000(1,12 )
4
4
M = 10.000 ⋅1 ,57352 M = 15.735, 2
Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20. 06. Em um depósito a prazo que foi efetuado em um banco, a juros compostos, o capital t acumulado ao fim de determinado tempo é dado pela fórmula M = C (1 + i ) , no qual M representa o montante, o capital acumulado, C o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, os juros são compostos, ou seja, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito. Pede-se a) Quando se efetua um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o montante acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano? Ao fim de 6 meses: t
M = C (1 + i )
6
M = 1.000 (1 + 0, 02 ) 6
M = 1.000(1,02 )
M = 1.000 ⋅1 ,126162419 2 M = 1.126,16
O montante será de R$ 1.126,16. Ai fim de 1 ano = 12 meses t
M = C (1 + i )
12
M = 1.000 (1 + 0, 02 ) 12
M = 1.000(1,02 )
M = 1.000 ⋅1 ,2682417 M = 1.268,24
O montante será de R$ 1.268,24.
202
•
capítul0 5
b) Quando se efetua um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual será o montante durante 4 meses? M = C (1 + i )
t 4
M = 5.000 (1 + 0, 05 ) M = 5.000(1,05 )
4
M = 5.000 ⋅1 ,21550625 M = 6.077,53
O capital acumulado, o montante será de R$ 6.077,53. c) Quando se efetua um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano, qual será o capital acumulado durante 10 anos? t
M = C (1 + i )
10
M = 2.500 (1 + 0,1 ) 10
M = 2.500(1,1 )
M = 2.500 ⋅2 ,593742 M = 6.484,36
O capital acumulado em 10 anos será de R$ 6.484,36. 07. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f ( x ) abx , conforme o gráfico abaixo. =
y = f(x) 960%
7,5% 0
4
7 x (anos)
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.
capítulo 5 •
203
Resolução
Antes de determinar f (4), temos que determinar os valores de a e b da expressão f (x)
Do gráfico de f sabemos que f ( 0 ) f ( 0 ) = a ⋅ b0
=
=
960 ,
abx
ou seja,
= 960 ⇒ a ⋅1 = 960 ⇒ a = 960
Substituindo o valor de a na expressão de f, sabemos f (x)
=
960 b x ⋅
Agora, para calcular b fazemos f ( 7 ) = 960 ⋅ b7
⇒
7, 5 960
= 7, 5
=b ⇔ 7
1 128
7
=b
7
1 1 7 ⇔ = ⇒ = b b 2 2
Substituindo então o valor de b na expressão da função, temos x
1 f ( x ) = 960 ⋅ 2 Assim, calculamos 4
1 f ( 4 ) = 960 ⋅ = 60 2 Resposta: 60%
EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE CONCURSOS 01. Numa população de bactérias há P ( t ) 109 43t bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? =
204
•
capítul0 5
⋅
Resolução
Temos P ( t )
=
9
10
⋅
e queremos P ( t )
3t
4
2 ⋅10
9
= 10
9
3t
⋅4
=
9
2 10
⇔2 =2
⋅
6t
, então fazemos:
⇔ 6 t =1 ⇒ t =
1 6
Resposta: 1/6 h ou 10 min. 02. (PUC – RIO) Determine uma das soluções da equação abaixo: 10
x
2
−
4
1 =
1000
Resolução
Podemos verificar que a base comum das potências será a = 10, então 10
x2 − 4
=
1
⇔ 10
x2 −4
= 10
−3
2
⇔ x − 4 = −3 ⇔ x
2
= 1 ⇒ x = ±1
1000
Resposta:
x
=
1 ou x = −1
03. (UFMG) Observe a figura. y
12
3 2
–3
x
Nessa figura, está representado o gráfico de f ( x ) = k ⋅ α x , sendo k e α constantes positivas. O valor de f (2) é: a) 3/8 b) 1/2 c) 3/4 d) 1
capítulo 5 •
205
Resolução
Sabemos que f ( x ) = k ⋅ α x e f (0) = 3/2 , então para determinar o valor de k, fazemos: 3
= k⋅α
0
⇒k=
2
Sabendo que f ( x ) =
3 α
x
2
e ainda f (
2
3
3)
−
=
12 ,
podemos calcular o valor de α:
−3
− ⇔ 8 = α − ⇔ 1 = α − ⇒ α = 1 12 = ⋅ α 2 2 2 3
3
3
3
Com a expressão da função conhecida, podemos avaliar f (2): x
2
3 1 3 1 f ( x ) = ⋅ ⇒ f ( 2 ) = ⋅ = 2 2 2 2 8 3
Resposta: A 04. (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: f ( t ) a 2 b t , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? −
=
⋅
=
a 2
⋅
Resolução
a) Sabendo que f ( t )
⋅
−
bt ⋅
e f (0) = 1024 , então determinamos o valor de a, assim: 0
1024 = a ⋅ 2 ⇒ a = 1024
Para determinar o valor de b, fazemos f (10 ) 512 1
=2
=
=
512 em f ( t )
1024 2
−10⋅b
⋅
⇔2
−1
−
=
1024 2 ⋅
b 10 ⋅
=2
−10 ⋅b
2 1
−1 = −10 ⋅ b ⇒ b =
10
b) Queremos t tal que f ( t )
1 =
8
⋅
1024 , para isso
fazemos:
−t
f ( t ) = 1024⋅ 2 10 1
−t
⋅ 1024 = 1024 ⋅ 2 10 ⇔ 2
8
206
•
capítul0 5
−t −3
= 2 10 ⇔
t 10
= 3 ⇒ t = 30
10 b
−
⋅
ou seja,
Resposta: a) a = 1024 e b = 1/10 b) t = 30 anos 05. a) b) c) d) e)
Resolva as equações abaixo: 8 · 2x = 128 2x+1 · 22x+3 = 64 92x + 81x+1 = 82 · 27–1 4x – 6 · 2x + 8=0 x 5
81
=
27 5
Resolução
a)
8⋅2
b)
2
c)
9
x
x +1
3
= 128 ⇔ 2
2 x +3
=2
⋅2
x
=2
= 64 ⇔ 2
7
⇔2
3x+4
=2
3+ x
6
=2
7
( )
⇔ 3 + x =7 ⇒ 4
⇔ 3x + 4 = 6 ⇒ x =
2 3
2x
= 81
⇔ 81 ⋅ 9
x −1
2x
= 82 ⋅ 27
+9
2x
−1
⇔9
2x
( )
+ 9
= 82 ⋅ 3 ⇔ 82 ⋅ 9
2x
2
x −1
1
= 82 ⋅
2 x −2
⇔9
82 =
27
= 82 ⋅3 ⇔ 9
2x
27 =3 ⇔3
4x
⇒x=
1 4
d)
2
( )
x x 2x x x − 6 ⋅2 + 8 = 0 ⇔ 2 4 − 6 ⋅2 + 8 = 0 ⇔ 2
−6 ⋅2
x
+8 = 0
Fazendo t = 2x, a equação fica t
2
− 6⋅t +8 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 2 ou t = 4. Voltando agora à variável original x, temos: 2
x
2
x
x
x
e)
5
81 = 27 5 ⇔
x 5
3
4
=
(3 ) 3
=
2 ou 2
=
2
=
1
ou 2
1 ou x
4
x
=
x
4
=
2
2
2
3x
5 ⇔ 3 5 =3 5
=
4 ⇔
3x =
5
5
⇔ 3x = 4 ⇒ x =
4 3
capítulo 5 •
207
06. Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m m0 2 k t . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t, (em anos), m0 é a massa inicial e k é uma constante real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor k é: a) – 3 b) 1/3 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8 =
⋅
−
⋅
Resolução
Sabendo que
m
=
m0
m0 2 ⋅
=m
8
0
−
⋅2
kt ⋅
, queremos determinar k, tal que m0/8 e t = 66, ou seja,
− k ⋅66
⇔2
−3
=2
−66 ⋅k
⇔ 66k = 3 ⇒ k =
1 22
Resposta: D 07. Resolva a inequação
93 x
−4
≥ 27
4 x +5
Resolução
Vamos reduzir as potências a base igual a 3 na inequação: 3 x −4
9
(3 ) 2
3 x −4
6x−8
3
≥ 27
4 x +5 4 x +5
( ) 3
≥ 3
12 x −15
≥3
Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então 6 x − 8 ≥ 12 x + 15
−6 x ≥ 23 ⇔ 6 x ≤ −23 ⇔ x ≤
− 23 6
08. a) b) c) d) e)
(FGV-SP) O conjunto solução da inequação ( 0,3 )
{x ∈ 0 ≤ x ≤ 2}
{x ∈ x ≤ 0 ou x ≥ 2} {x ∈ x ≤ 2} {x ∈ 0 ≤ x} {x ∈ 0 ≤ x ≤ 1 / 2}
208
•
capítul0 5
x 2 −2 x
−1 ≥ 0
é:
Resolução
Temos que
( 0, 3)
x 2 −2 x
( 0, 3)
x 2 −2 x
( 0, 3)
x 2 −2 x
−1 ≥ 0 ≥1 ≥
0
( 0,3 )
Como a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente. Então x
2
− 2x ≤ 0
Resolvendo a inequação do 2º grau (consulte o capítulo anterior), segue que 0≤ x ≤2
Resposta: A 09. a) b) c) d) e)
(FATEC-SP) Se x é um número real tal que –2 < x < 2 x=1 x=0 x < 3/2 x > –3/2
2
−x
⋅
x
x +1
4 <8
, então:
Resolução
Vamos reduzir as potências à base comum igual a 2: 2
−x
⋅4
x
<8
x +1
⇔2
−x
⋅2
2x
<2
3 x +3
⇔2
x
<2
3 x+ 3
Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então x < 3x + 3 ⇔ −2 x < 3 ⇔ 2 x > −3 ⇒ x >
−3
2
Resposta: E
capítulo 5 •
209
5.6 Logaritmos e funções logarítmicas 5.6.1 Introdução As propriedades envolvendo Logaritmos são ferramentas poderosas na resolução de problemas de crescimento e decrescimento exponencial. As funções exponencial e logarítmica caminham juntas e muitos problemas reais podem ser modelados como uma destas funções, necessitando da outra função para suas resoluções. A utilidade dos logaritmos para realizar cálculos complexos é bem extensa, ajudando a prever resultados, como no caso do resfriamento dos corpos, por exemplo. Os peritos que investigam um crime devem ser hábeis com os números, gráficos e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Além disso, na Economia, elas auxiliam na representação de várias funções de custos (lucros e prejuízos) e produção, sendo também utilizadas para modelar o crescimento populacional, processos de desintegração ra¬diativa e curvas de aprendizagem, nas quais educadores e psicólogos avaliam o grau de aprendizado dos alunos.
5.7 Logaritmo Para entender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de 1. Por exemplo: 34 = 81 Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 4 é o logaritmo de 81 na base 3. Em notação: 34 = 81 ↔ log 81 = 4 Observe que para o estudo de logaritmo é comum o uso de propriedades de potências.
5.8 Definição Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1 . Chama-se logaritmo de a na base de b ao expoente x tal que bx = a . Em notação: b x = a ↔ log ba = x, em que a é chamado de logaritmando.
210
•
capítul0 5
EXEMPLO 1. O valor log216 é o expoente x tal que 2x = 16. Sabemos que 24 = 16, portanto x = 4. Assim log216 = 4. 9
2.
1 O valor log 5 é o expoente x tal que 25
x = – 2. Assim
5
2
−
1 =
25
5
x
1 =
25
8
. Sabemos que
, portanto
7 6 5 4 3
1
.
1
1
5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos Considerando a e b números reais positivos com a ≠ 1, temos a seguir as propriedades que surgem da aplicação imediata da definição de logaritmo. P1) log a a = 1 Prova.
De fato, fazendo log a a = x, por definição de logaritmo, temos que ax = a = a1. Logo, x = 1 e log a 1 = 1 P2) log a 1 = 0 Prova.
De fato, fazendo log a 1 = x, por definição de logaritmo, temos que ax = 1 = a0. Logo, x = 0 e log a 1 = 0 P3) log a am = m Prova.
De fato, fazendo log a am = x, por definição de logaritmo, temos que a x = am. Logo, x = m e log a am = m b
log P4) a a
=
b
Prova.
De fato, fazendo log a b = x, por definição de logaritmo, temos que ax = b. b Logo, x = log a b. Assim alog a b =
capítulo 5 •
211
Exemplo
Calcule log 16 64 Resolução
Por definição, temos que log 16 64 = x ↔ 16x = 64 Para determinar o valor do expoente x é preciso transformar 16 e 64 em potências de mesma base. Sabemos que 16 = 24 e 64 = 26. Assim, 16x = 64 (24)x = 26 24x = 26 Igualando os expoentes, temos: 4x x
=
6
6 =
3 =
4
Portanto, log 16 64
=
2
3 2
Exemplo
Calcule log 243 3 Resolução
Por definição, temos que log 243 3 = x ↔ 243x = 3 Assim, 243
x
(3 )
x
5x
1
5
x
=
=
1 =
5
Portanto, log 243 3
212
•
capítul0 5
=
1 5
=
3 3
Exemplo
Calcule o valor da expressão E = 4log 4 5 + log 7 7 + log 0,8 1 − log 3 34 Resolução
Vamos encontrar o valor de cada termo da expressão. 1. 4log 4 5. Pela propriedade P4, temos 4log 4 5 5. 2. log 7 7. Pela propriedade P1, temos log 7 7 1. 3. log 0,8 1. Pela propriedade P2, temos log 0,8 1 0. 4. log 3 34. Pela propriedade P3, temos log 3 34 4. Portanto, E = 5 + 1 + 0 – 4 = 2. =
=
=
=
Exemplo
Para que valores de x existe log 2 2x – 8 Resolução
Por definição o logaritmando tem que ser maior que zero e a base tem que ser maior que zero e diferente de um. Assim, 2x − 8 > 0 2x > 8 x >
8 2
x >4
A base é 2, que é maior que zero e diferente de um. Portanto, para que exista log 2 2x – 8 devemos ter x > 4.
5.10 Propriedades com operações de logaritmos Considere a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos mais algumas propriedades que envolvem as relações entre os valores dos logaritmos de dois ou mais números.
capítulo 5 •
213
P5) Logaritmo do produto
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Em notação: log a bc = log a b + log a c Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: x = log a b; y = log a c e z = log a bc Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , a y = c e az = bc. Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az = b · c ax · a y = ax + y ⇒ z = x + y. Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos: log a bc = log a b + log a c. P6) Logaritmo do quociente
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual a diferença dos logaritmos de cada um desses números. Em notação: log a
b = log a b − log a c c
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = log a b, y = log a c e z
=
log a
b c
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que a x = b, a y = c e a z Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az = az =
b c ax a y
a z = a x-y ⇒ z = x − y
214
•
capítul0 5
=
b c
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos: log a
b = log a b − log a c c
P7) Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Em notação: log a bm = m · log a b Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = log a b e y = log a bm. Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b e a y = bm Então, substituindo o valor de b, temos: a y = bm a y = (ax)m a y = am · x ⇒ y = mx Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos: log a bm = m · log a b P8) Mudança de base
Em alguns casos, precisamos realizar cálculos com logaritmos de bases diferentes. Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de base. Então, podemos transformar um logaritmo numa base a (a > 0, a ≠ 1) em um logaritmo numa base c (c > 0, c ≠ 1). Em notação: 1. Em notação: log a b
=
log c b log c a
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = log a b; y = log c b e z = log c a
capítulo 5 •
215
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , c y = b e cz = a. Então, ax = b = c y , e substituindo o valor de a, temos: ax
=
( cz ) czx
c y x
=
=
c y
c y ⇔
zx
=
y⇒x
=
y z
Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos: log a b
=
log c b log c a
Exemplo
Considere que log 10 2 = 0,30 e log 10 3 = 048. Calcule a) log 10 6 b) log 10 1,5 c) log 10 108 Resolução
a) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 6 como sendo o produto de 2 por 3. Assim, log 10 6 = log 10 2 · 3 Pela propriedade P5, log 10 6 = log 10 2 + log 10 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78 b) Como sabemos os logaritmos 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 1,5 3 como sendo a razão de 3 por 2. Assim, log 10 1,5 log 10 Pela propriedade P6, =
2
log 10 1,5 = log 10 2 – log 10 3 = 0,30 – 0,48 = 0,18 c) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 2 3 108 = 22 · 33. Assim, log 10 108 log 210 3 Pelas propriedades P5 e P7, temos ⋅
=
log 10 108 = log 10 22 + log 10 33, log 10 108 = log 10 2 + log 10 3 Logo, log 10 108 = 2 · 0,30 + 3 · 0,48 = 2,04
216
•
capítul0 5
Exemplo
Determine o valor da expressão log 8 625 · log 5 64 Resolução
Inicialmente, vamos colocar todos os logaritmos envolvidos na base 5. Utilizando a propriedade P8, temos que log 8 625 log 5 64 =
=
log 8 625 log 5 8
⋅
log 5 64
=
log 5 54 log 5 8
⋅
log 5 82
Pela propriedade P7, segue que log 5 54 log 5 8
⋅
log 5 82
4 log 5 5 ⋅
=
log 85
⋅
2 log 2 8 4 log 5 5 2 ⋅
=
⋅
⋅
=
8 log 5 5 ⋅
E da propriedade P1, temos que Image Assim, log 8 625 · log 5 64 = 8 · 1 = 8
5.11 Sistemas de logaritmos na base a Chamamos de sistema de logaritmos na base a (em que Image) ao conjunto de todos os logaritmos na base Image. Os dois principais sistemas são o logaritmo decimal e o logaritmo natural. I.
Sistema de logaritmo decimal
É um sistema de logaritmo na base 10. A preferência pelos logaritmos decimais se deve ao fato de usarmos um sistema de numeração de base 10. Em notação: log 10 b = log b II. Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano
É um sistema de logaritmo na base e = 2,718283... (chamado Número de Euller), que é um número irracional. O nome “natural” se deve ao fato de, no
capítulo 5 •
217
estudo de fenômenos da natureza, geralmente aparecer uma lei exponencial na base e. Em notação: log e b = In b Exemplo
Resolva a expressão
E=
In e + In 1 2
Ine
Resolução
Colocando as bases de forma explícita, temos In e + In 1 log e e + log e 1 E= = Ine2 log e e2
Pelas propriedades P1, P2 e P3, sabemos respectivamente que log e e = 1, log e 1 = 0 e log e e2 = 2log e e = 2. Substituindo esses valores em Image temos E=
log ee
+
log 1e 2
log ee
=
1 + 10 2
=
1 2
Exemplo
Encontre o valor de log 5 103 . Resolução 5
3 log 10 5
Sabemos que log Então, pela propriedade P3, 103
=
=
log 10
log 5 103
3 10 5
=
.
3 5
Exemplo
Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é: a) –3 b) –2 c) –1 d) 0
218
•
capítul0 5
e) 1
Resolução
Usando a propriedade P3, temos que: log 0,001 + log 10–3 = log 10 10–3 = –3 e log 100 = log 102 = log 10 102 = 2 Logo, S = –3 + 2 = –1 Resposta: C.
5.12 Função logaritmica Considere a > 0 e a ≠ 1. Estudamos no capítulo anterior a função exponencial f : → * definida por f : ( x ) a x . Esta função é bijetora e, portanto, admite função inversa. A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f : * → definida por =
+
+
f(x) = log a x Exemplos
1.
f ( x ) log 8x é a função inversa de f(x) = 8x. =
x
2.
y
1 log 1 x é a função inversa de f ( x ) = 5 5
=
5.13 Gráfico de uma função logaritmica O gráfico da função f(x) = log a x é uma curva posicionada no primeiro e no quarto quadrante (pois x > 0), ou seja, o gráfico da função f(x) = log a x não toca o eixo-y (eixo das ordenadas). Além disso, ela passa pelo ponto (1,0), pois, se x =1, temos que f(1) = log a 1 = 0
capítulo 5 •
219
Exemplo
Faça o gráfico da função f(x) = log 2 x Resolução
Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x), vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos. x
f(x) = log2 x
1
4 3
–3
8
2
1
1
–2
4
0
1
2
3
4
8
9 x
5
6
7
8
9
–1
–1
2
1
–2
1 2 4 8
0 1 2 3
–3 –4
y
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
–1 –2 –3
Exemplo
Faça o gráfico da função y log 1 x =
2
Resolução
Para auxiliar no desenho da curva que representa , vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos.
220
•
capítul0 5
y log 1 x =
x
4
2
3
1
3
8
2 1
1
2
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
1
1
2
1 2 4 8
–2
0 –1 –2 –3
–3 –4
y
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
–1 –2 –3
Observações:
1. No primeiro exemplo, temos a > 1 Note que D(f) = , Im(f) = e a função é crescente em todo seu domínio. É fácil verificar que, ao utilizarmos valores de x cada vez maiores (x = 100, 1000, 100000, ....), os valores de f(x) também serão cada vez maiores. Ou seja, quando x “tende” a infinito, f(x) também “tende” a infinito: *
+
x
→+∞⇒
f (x)
→ +∞
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x = 0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez menores, e mais negativos. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a menos infinito: x
→
0 ⇒ f (x)
→ −∞
capítulo 5 •
221
Esboço do gráfico: y
0
x
2. No segundo exemplo, temos 0 , a < 1. Note que D(f) = , Im(f) = e a função é decrescente em todo seu domínio. É fácil verificar que, ao utilizamos valores de x cada vez maiores (x = 100, 1000, 100000, ....), os valores de f(x) serão cada vez menores e mais negativos. Ou seja, quando x tende a infinito, f(x) também tende a menos infinito: *
+
x
→+∞⇒
f (x)
→ −∞
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x=0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez maiores. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a infinito: x
→
0 ⇒ f ( x)
→ +∞
Esboço do gráfico: y
0
222
•
capítul0 5
x
3. Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre si, seus gráficos são simétricos em relação a função Identidade (bissetriz dos quadrantes ímpares), conforme esboços abaixo. •
Se a > 1: y = a x
y = x
y
9 8 7 6 5 4
y =
loga x
3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
–3 –4
•
Se 0 < a < 1: y = a x
y = x y
9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y =
loga x
–4
capítulo 5 •
223
Lembretes
1. Uma função f : A → B é sobrejetora se, e somente se, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y. Em outras palavras, podemos dizer que uma função é sobrejetora quando seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem. 2. Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio A. Em outras palavras, podemos dizer que uma função é injetora quando elementos quaisquer do domínio de f, distintos entre si, tiverem imagens também distintas entre si, através de f. 3. Uma função f : A → B é bijetora se, e somente se,f é sobrejetora e injetora. Apenas as funções bijetoras admitem função inversa. Exemplo
Dada a função f(x) = log 3 x, calcule f(81). Resolução
f(81) = log 3 81 = log 3 34 ⇒ f(81) = 4, pela propriedade P4. Exemplo
Determine o domínio da função f(x) = log 7 (4x – 12) Resolução
Existe log a b se, e somente se, b > 0 e a > 0, a ≠ 1, conforme vimos na definição de logaritmo. Assim, a base 7 é maior que zero e diferente de um. Basta, então, analisarmos o logaritmando, que deve ser maior que zero. Portanto, devemos ter: 4x – 12 > 0 ⇒ x . 3 Logo, o domínio da função é {x ∈
224
•
capítul0 5
/ x > 3}
Exemplo
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = log 4 x. y
2
0
16
O valor de f(128) é: a) 5 b) 3
7
c)
2
x
d) 7
2
Resolução
Do gráfico, temos que f(16) = 2. Assim, log n 16 = 2 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = 4 pois a base do logaritmo não pode ser negativa. Portanto, f(x) = log 4 x. Queremos calcular f(128) = log 4 128 = y, então, por definição de logaritmo, temos: 4 y = 128 ⇒ ( 22 )
Logo, f (128 ) Resposta C.
7 =
2
y
=
27
⇒
2 y
=
7 ⇒ y =
7 2
.
5.14 Equação logaritmica Chama-se equação logarítmica a toda equação que apresentar a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.
capítulo 5 •
225
Exemplo
Resolva a equação 3x = 5. Resolução
A solução é obtida diretamente da definição de logaritmo, ou seja, x = log 3 5. (Esta equação foi deixada como exercício no capítulo anterior.) Exemplo
Resolva log 2 (4x + 24) = 5. Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero. Logo: 4x + 24 > 0 ⇒ x > –6 Cabe observar que, sendo a base maior que zero e diferente de um, não precisamos impor nenhuma condição de existência para a base. 2. Solução da equação: da definição de logaritmo, temos que 25 = 4x + 24 ⇒ 4x + 24 = 32 ⇒ x = 2 3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x > –6 e x = 2. Portanto, S ={2} Exemplo
Resolva a equação log 3 (x + 1) + log 3 (x –7) = 2 Resolução
1. Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que zero. Logo: x + 1 > 0 → x > − 1 x − 7 > 0 → x > 7
Portanto, a condição de existência é x > 7
226
•
capítul0 5
2. Solução da equação: pela propriedade P5, temos log 3 (x + 1) + log 3 (x –7) = 2 ⇔ log 3 (x + 1) (x –7) = 2 Por definição de logaritmo, 32 (x + 1) · (x –7) ⇒ x2 – 6x – 7 = 9 ⇒ x2 – 6x – 16 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos x 1 = 8 e x2 = –2 3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x 7 e (x1 = 8 e x2 = –2). Portanto S = {8}
5.15 Inequação logaritmica Chama-se inequação logarítmica a toda inequação que apresentar a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. Exemplo
Resolva a inequação log 2 (3x – 1) > 3 Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero. Logo: 3x – 1 > 0 ⇒ x > 1/3 2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever o número 3 como um logaritmo na base 2: log 2 (3x – 1) > 3 ⇒ log 2 (3x – 1) > log 2 23 Como a base é maior que 1, a função logarítmica é crescente, e portanto: 3x – 1 > 23 ⇒ x > 3
capítulo 5 •
227
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o 1 conjunto solução da equação: x > e x > 3 Portanto, {x ∈ / x > 3} 3
Exemplo
Resolva a inequação log 1 ( x − 4 ) ≥ 2 3
Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero. Logo: 3x – 4 > 0 ⇒ x > 4 2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever o número 2 como um logaritmo na base através da propriedade P3: log 1 ( x − 4 ) ≥ 2 2
2
1 log 1 ( x − 4 ) ≥ 2 ⇔ log 1 ( x − 4 ) ≥ log 1 2 2 2 2
Como a base está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e portanto: 2
1 17 1 x − 4 ≤ ⇒ x ≤ 4 + ⇒ x≤ 4 4 2
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o 17 conjunto solução da inequação: x > 4 e x ≤ 17 . Portanto, S = x ∈ / 4 < x ≤ .
4
4
ESTUDO DE CASO APLICADOS 01. Expresse o número de períodos t de uma aplicação, em função do montante M e da taxa de aplicação i por período. Resolução M
C (1 + i )
=
(1 + i )
M C
228
•
capítul0 5
t
=
t
Aplicando log, poderemos escrever: M t = log ( 1 + i ) C log M − log C = t ⋅ log ( 1 + i ) log
t=
log M − log C log (1 + i )
02. Sabe-se que um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? Dados: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860 Resolução
M = C(1 + i)t O capital inicial estará duplicado quando M = 2C. 2C = C(1 + 0,02)t 2 = (1 + 0,02)t 2 = 1,02t IOu ainda, t
=
log 1,02 2
t
=
log 2 log1,02
t
=
t
=
0,30103 0,00860 35
O capital estará duplicado após 35 meses ou 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses. 03. Um banco europeu oferece a seus clientes uma taxa de juros 6% ao ano, em regime de juros compostos. Considerando este cenário, determine
capítulo 5 •
229
a) o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que depositou 50.000 euros. b) quantos anos este cliente terá de esperar, para obter um capital acumulado de 100.000 euros? c) qual deveria ser o depósito inicial efetuado por este cliente, para ele obter 85.000 euros ao fim dos mesmos 7 anos? Resolução
M = C (1 + i)n C = 50000; i = 0,06 n=7 a) M = capital acumulado. M = 50000 · (1 + 0,06)7 M = 75181,51 (euros) b) Determinando t: 100000 (1,06)7 (1,06)7 t
=
=
=
(1 + 0,06)7
100000 50000 2
log 1 ,06 2
=
Mudando a mudança de base 1,06 para a base 10, obtemos t
=
t
≈
log 2 log 1,06 11,9 ( anos )
c) Determinando C: 7
85000 = C ⋅ (1 + 0, 06 ) C=
C≈
230
•
85000 7
(1 + 0, 06 ) 85000 1,5036
=
56529, 85 ( euros )
capítul0 5
EXERCÍCIO PROPOSTOS 01. a) b) c) d) e)
Se log123 = 2,09, o valor de log 1,23 é: 0,0209 0,09 0,209 1,09 1,209 Resolução
Pela propriedade P6, log 1,23
=
log
123 100
=
log 123
−
log 100
=
2, 09
−
2
=
0, 09
Resposta: B 02. a) b) c) d) e)
Se log2 = a e log3 = b, escrevendo log(32/27) em função de a e b obtemos: 2a + b 2a – b 2ab 2a/b 5a –3b Resolução
Da propriedade P6, temos que log
32 27
=
log 32
−
log 27
=
log 25
−
log 33
=
5 log 2
−
3 log 3 ⋅
Substituindo Image obtemos: 32 log 27
=
5a 3b −
Resposta: E
capítulo 5 •
231
03. (UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3 (t + 1) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e) 2. Resolução
Queremos determinar Image tal que Image isto é, se h(t) = 1,5 + log3 (t + 1) 3,5 = 1,5 + log3 (t + 1) ⇒ log3 (t + 1) = 2 ⇒ t + 1 = 9 ⇒ t = 8 Resposta: B 04. (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula, h log 100,7 =
⋅
i
onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá altura: a) 120 cm b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm
232
•
capítul0 5
Resolução
Queremos determinar h(10) ou seja, se h ( i ) log (100,7 =
h (10 ) log (100,7 =
i)
⋅
10 ) log (100,7 100,5 ) log 10 1,2
⋅
=
⋅
=
=
1, 2m ou 120 cm
Resposta: A 05. As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fórmula R1 – R2 = log (E1/E2) em que E1 e E2‚ medem as respectivas energias, liberadas pelos terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é correto afirmar que a razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a: a) 0,5
b) 1,5
c) 10 0,5
d) 10 1,5
Resolução
R 1 = 8,5 R 2 = 7, 0 E E R1 − R 2 = 8, 5 − 7, 0 = 1,5 ⇒ 1, 5 = log 1 ⇒ 1 = 101,5 E2 E2
06. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre.). A expressão para a situação descrita pode ser representada por: Q(t) = Q0 · e–rt. Resolução
Q0 2 −
=
Q0 ⋅ e−0,04t
0, 04t = ln
t≈
1
2 −0,6931 −
⇒
⇒ −
1 2
=
e−0,04t
0, 04t = −0,6931
0, 04
t ≈ 17,3anos
capítulo 5 •
233
07. (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é: y
a) b) c) d) e)
1/4. 2. 3. 4. 10.
0,25 1
x
–1
Resolução
Sendo a função uma função logarítmica f(x) = logb x, queremos determinar o valor de b. Pelo gráfico, temos que f(0,25) = –1, assim −
1 = log b 0, 25 ⇒ b
1
−
=
0, 25 ⇒
1 b
=
1 4
⇒
b =4
Resposta: D 08. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a soma das raízes de log2 x – log x3 é igual a: a) 1 b) 101 c) 1000 d) 1001 Resolução
Da propriedade P5, log2 x – log x3 = 0 ⇒ log2 x – 3 · log x = 0 ⇒ log x · (log x – 3) = 0 ⇒ log x = 0 ou log x =3 Por definição de logaritmo, x = 100 ou x = 103, isto é, x = 1 ou x = 1000 Logo, S = 1 + 1000 = 1001 Resposta: D
234
•
capítul0 5
09. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação h
I
=
I0
(0,8 ) 40
⋅
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a: a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 Resolução
Queremos determinar h tal que I ( h )
100
⋅
I0 ,
isto é, h
32 100
32 =
⋅
I0
=
I0
(0,8 ) 40
⋅
Dividindo por I0 e aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação, temos: h 32 = log ( 0, 8 ) 40 log 100 ⇒
log 25 − log 10 2=
⇒
log 32 − log 100 =
h ⋅ ( log 8 − log 10 ) 10
h 3 ⋅ ( log 2 − 1 ) 10 h ⇒ 5 ( 0, 3 ) − 2 = ⋅( 3 log 2 − 1 ) ⇒ − 0, 5 10 1 h 1 = ⋅ ⇒ h = 200 ou 2, 0 m. 2 10 10 ⇒
h 8 ⋅ log 10 10
5 ⋅ log 2 − 2 =
=
h ⋅ ( −0,1 ) 10
Resposta: C
capítulo 5 •
235
10. Resolva a inequação: log3 (3x + 6) < log3 x. Resolução
Temos a seguinte inequação log3 (3x + 6) < log3 x 2.
Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que zero, ou seja, log3 (3x + 6) > 0 e x > 0 ⇒ x –2 e x > 0 Logo, a condição de existência é x > 0.
3.
Solução da inequação: como a base é maior que 1, a função é crescente. Assim: log3 (3x + 6) < log3 x ⇒ 3x + 6 < x ⇒ x < –3
4. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da inequação: x > 0 e x < –3. Portanto, S = Ø. 11. Suponhamos que uma cidade tenha hoje 15.000 habitantes e que haja um crescimento populacional de 1,5% ao ano. a) Determine o número de habitantes daqui a 8 anos. b) Se daqui a 8 anos o número de habitantes for igual a 18.000, qual terá sido a taxa de crescimento anual? Resolução
Neste exemplo, vamos utilizar o modelo de crescimento exponencial, pois temos como objetivo calcular o tamanho da população daqui a 8 anos. a) Hoje, a cidade tem uma população de 15.000. Portanto, y0 = 15.000. A taxa de crescimento é k =1,5% ao ano. Para t = 8 anos, o número de habitantes será de: y = y0 (1 + k)t y = 15.000 (1 + 0,015)8 y = 15.000 · (1,015)8 y = 15.000 · 1,126493 y = 16.897,39
236
•
capítul0 5
b) Neste item, estamos interessados em calcular o valor de k para y = 18,000, y0 = 15.000 e t = 8 anos. Então: 18.000 = 15.000(1 + k)8 (1 + k)8 = 1,2 Para que consigamos isolar k, devemos elevar ambos os membros da igualdade ao expoente 1/8 e aplicar a propriedade de potência. 1 8 8
1
(1 + k ) = (1, 2 ) 8 1
1
(1 + k ) = (1, 2 ) 8
1 + k = 1, 023052 k = 1, 023052 − 1 k = 0,023052 k = 2,3052%
Portanto, a taxa de crescimento seria de 2,31% ao ano. Não se esqueça de que, para efetuarmos cálculos com taxas percentuais, devemos primeiramente transformá-las em taxas unitárias. Nesse exemplo, temos k = 1,5%, que é o mesmo que considerar k = 0,015. Então, daqui a 8 anos o número de habitantes da cidade será de 16.897 12. Um automóvel vale hoje R$ 22.500,00. Sabendo que ele sofre uma desvalorização de 15% ao ano, faça o que se pede abaixo. a) Determine o valor do carro daqui a 7 anos. b) Considere o valor do carro daqui a t anos. Esboce o gráfico de y em função de t. Resolução
a) Neste exemplo, devemos considerar k = – 15%, pois há uma desvalorização no preço do veículo com o passar dos anos. Então y = y0 (1 + k)t y = 22.500 (1 + 0,15)7 y = 22.500 · (0,85)7 y = 22.500 · 0,320577 y = 7.212,98 Daqui a 7 anos, o valor do veículo será de R$ 7.212,98.
capítulo 5 •
237
b) Para a construção do gráfico da função y = 22.500(0,85)t, devemos atribuir alguns valores para t e encontrar os respectivos valores de y. Vale lembrar que o valor de t tem de ser maior ou igual a zero, pois a variável t indica tempo. Dessa forma, t = 0 indica o valor do carro hoje t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7
y = 22.500 · (0,85)0= 22.500 y = 22.500 · (0,85)1= 19.125 y = 22.500 · (0,85)2= 16.256,25 y = 22.500 · (0,85)3= 13.817,81 y = 22.500 · (0,85)4= 11.745,14 y = 22.500 · (0,85)5= 9.983,37 y = 22.500 · (0,85)6= 8.485,86 y = 22.500 · (0,85)7= 7.212,98
Colocando os pontos do quadro no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico: R$ 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0 0
1
2
3
4
5
6
7 Tempo
O gráfico é decrescente, pois o valor do carro vai diminuindo conforme aumenta seu tempo de uso (em anos).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2: Logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual. 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna. 2013. SOUZA, Joamir. Novo olhar. Volume 1.São Paulo: FTD, 2010. GALVÃO, Lauro César Matemática Aplicada. UTFPR Disponível em: , Acesso em: 04 mar. 2014.
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capítul0 5
ANOTAÇÕES
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