Fundamentos de La Mecanica de Los Medios Continuos.

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TAPACHULA

FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

TEMA:

NOTACIÓN INDICIAL

PROFESOR: Francisco Antonio Andrade Campos EQUIPO #2 INTEGRANTES: !ctor Ren" Fores S$nc%e& 'oe Car(a)a Garc!a Ra*ae A+enda,o Santia-o

.to SEMESTRE

GRUPO /F0

Tapac%1a C%iapas a +iernes 3 de Fe(rero de 2456

INTRODUCCIÓN

Se denomina con+enio de s1ma de Einstein notaci7n de Einstein o notaci7n indicia a a con+enci7n 1tii&ada para a(re+iar a escrit1ra de s1matorios en e 81e se s1prime e s!m(oo de s1matorio 9representado con a etra -rie-a si-ma  ;<= E con+enio *1e introd1cido por A(ert Einstein en 5>5?= Se apica en matem$ticas en especia a os c$c1os reai&ados en $-e(ra inea destinados a a *!sica= E con+enio se apica s7o a s1matorios so(re !ndices repetidos= E con+enio se 1sa especiamente con tensores donde es m1@ *rec1ente a operaci7n de s1ma so(re !ndices repetidos @ ser!a m1@ *ati-oso escri(ir ep!citamente os si-nos de s1matorios= E 1so de notaci7n indicia es +enta)osa por81e -eneramente %ace posi(e escri(ir en *orma compacta *orm1as matem$ticas o sistemas de ec1aciones de cantidades *!sicas o -eom"tricas 81e de otra manera contendr!a 1n nBmero -rande de t"rminos=

NOTACIÓN INDICIAL

Se entiende por medio contin1o a 1n con)1nto in*inito de part!c1as c1@o est1dio s1pone a a1sencia de espacios +ac!os @ se s1ponen contin1as @ de deri+ada contin1a a todas as *1nciones 81e se consideran e a teor!a= a notaci7n indicia o de Einstein se 1tii&a en e desarroo de este tra(a)o por ra&ones de precisi7n en a de*inici7n @ de comodidad a a %ora de a pro-ramaci7n= Esta consiste en 81e todo !ndice repetido en 1n mismo monomio de 1na epresi7n a-e(raica s1pone a s1matoria con respecto a ese !ndice= E)empo: ector

a

:

Prod1cto escaar:

a =a1 + a2 + a3=a i a∗b =a1 + a2 + a3=a i bi

En Mec$nica de Medios Contin1os os o()etos matem$ticos m$s empeados son os escaares +ectores @ tensores en R3= Para tra(a)ar con +ectores se de*ine 1na (ase de +ectores ortonormaes D5  e 5 e 2 e 3 de *orma 81e todo +ector + ∈ R3 se p1ede epresar como a si-1iente com(inaci7n inea= +  +5e5 H +2e2 H +3e3 Utii&ando s1matorios se p1ede escri(ir a ec1aci7n pre+ia de 1na *orma m$s compacta: 3

v =∑ v p e p p= 1

Sin em(ar-o es tedioso tener 81e escri(ir constantemente e s!m(oo de s1matorio e indicar s1s !mites p1es siempre son os mismos= Por eo se adopta a si-1iente con+enci7n: +  +pep = En esta epresi7n @ en toda a81ea en a 81e dos o()etos 81e se m1tipican ten-an 1n mismo !ndice repetido se entender!a 81e + pep si-ni*ica +5e5 H +2e2 H +3e3= En +e& de s1(!ndice p se podr!a %a(er empeado c1a81ier otro @ as:

+pep  +8e8  +iei Por o 81e e !ndice repetido se denomina m1do= Se dice 81e a epresi7n empea notaci7n indicia o tam(i"n e con+enio de Einstein= Jos +ectores a @ b son i-1aes si apep = b pep= Esta i-1adad se p1ede reescri(ir como (ap − bp)ep = 0= Como os +ectores de a (ase son ineamente independientes a 1tima epresi7n re81iere 81e cada componente se an1e es decir:

ap − bp = 0 Je este simpe e)empo se ded1ce 81e c1ando en 1na i-1adad apare&ca 1n mismo !ndice en +arios 1-ares pero no m1tipic$ndose 81iere decir 81e a i-1adad es +$ida c1ando e !ndice toma e +aor 5 2 o 3= Un !ndice de este tipo se denomina i(re @ p1ede intercam(iarse por otra etra c1a81iera siempre 81e no se empee en otra parte de a i-1adad=

Convenios de notación indicial

Adem$s de os s!m(oos ind!ciaes a notaci7n de Einstein se (asa en os si-1ientes con+enios:

1) Convenio de introducción de los índices: Se 1tii&an s1(!ndices 9o s1per!ndices< para distin-1ir tanto os +ectores de cada (ase como as componentes de os mismos= os !ndices son +aria(es nat1raes +aoradas en e con)1nto 523 en e espacio @ en e con)1nto 52 en e pano= Cada !ndice toma siempre o(i-atoriamente s1s tres +aores 97 s1s dos +aores en e pano< en cada epresi7n en 81e inter+en-a=

2) Convenio de los índices udos o contraídos: Se s1primen os si-nos de s1matorio para res1mir as s1mas @ se con+iene en a simpe repetici7n de 1n !ndice en dos *actores de 1n mismo t"rmino para representaras=