Universidad Autónoma de la Ciudad de México
ASPECTOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Eduardo A. Rincón Mejía
Enero 15 de 2015
CONTENIDO Prefacio Agradecimientos
PRIMERA PARTE
CONCEPTOSS BÁSICOS CONCEPTO
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1 1.2
Presentación La hipótesis del Medio Continuo
Capítulo 2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 2.1 2.2 2.3 2.4
La notación indicial de Einstein Ecuaciones de transformación de los componente componentess de un tensor El campo de los números reales Suma y productos de vectores y tensores
2.4.1 Producto punto, o “escalar” de dos vectores 2.4.2 Producto cruz, o “vectorial” de dos vectores 2.4.3 Producto externo, o “diádico” de dos vectores
2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5
2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3
2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6
2.8 2.9 2.9.1
2.10
Generalización de la suma y los productos a tensores de órdenes mayores Suma de tensores Producto de un escalar por un tensor Producto externo de tensores Producto punto de dos tensores Producto cruz de dos tensores
Productos múltiples entre tensores Doble producto punto de dos tensores Doble producto cruz de dos tensores Producto cruz-punto y producto punto-cruz
Operacioness diferenciales sobre tensores Operacione El operador nabla Gradiente de una función tensorial Divergencia de una función tensorial Rotacional de una función tensorial Laplaciano de una función tensorial El operador biarmónico
Algunas identidades útiles en productos tensoriales Simetría y antisimetría de tensores Descomposición de un un tensor en sus partes partes simétrica simétrica y antisimétrica antisimétrica
Valores, vectores y direcciones principales de un tensor de orden dos
2.10.1 Determinación de los valores y direcciones principales principales de un tensor de orden dos
2.11
Tensores isótropos
2.11.1 Descomposición de un tensor de orden dos en su parte isótropa y su parte “extra”
2.12
Teoremas integrales
2.12.1 El teorema de la divergencia de Gauss 2.12.2 El teorema de Stokes
Capítulo 3 CINEMÁTICA DE MEDIOS CONTINUOS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Conceptos generales de la cinemática del medio continuo Descripciones euleriana y lagrangiana de las variables físicas Derivadas materiales y espaciales con respecto al tiempo El campo de desplazamientos Velocidad y aceleración de una partícula Regímenes permanentes y estacionarios Líneas de flujo El Teorema del Transporte de Reynolds
Capítulo 4 ECUACIONES DE BALANCE INSTANTÁNEO 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Balance instantáneo de la masa sobre volúmenes finitos e infinitesimales Balance instantáneo del momentum sobre volúmenes de control Balance instantáneo de momentum angular sobre volúmenes de control Balance instantáneo de la energía sobre volúmenes de control Balance instantáneo de la entropía sobre volúmenes de control Balance instantáneo de la exergía sobre volúmenes de control A manera de resumen
SEGUNDA PARTE
ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACION DEFORMACIONES ES
Capítulo 5 ANÁLISIS DE ESFUERZOS ESFUERZOS 5.1 5.2
5.3 5.4 5.5 5.6
El vector de tracción y el tensor de esfuerzos
Los esfuerzos principales Determinación de los esfuerzos máximos y las superficies donde actúan Los círculos de Mohr La cuádrica de esfuerzos de Cauchy Descomposición del tensor de esfuerzos en su parte isótropa y su parte extra
Capítulo 6 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
Criterios de deformación Los tensores euleriano y lagrangiano de deformaciones finitas Los tensores euleriano y lagrangiano de deformaciones infinitesimales Interpretación física de los tensores euleriano y lagrangiano de deformaciones infinitesimales Interpretación física de los tensores de deformaciones finitas Valores principales de los tensores de deformación Círculos de Mohr para deformaciones El tensor de rapidez de deformación y el vector vorticidad
6.9
Ecuaciones de compatibilidad
=
−
Capítulo 7 ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA EL ESFUERZO 7.1 7.2
Principios generales para las ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas clásicas
7.2.1 La ecuación constitutiva de un fluido newtoniano 7.2.2 La ecuación de Navier-Stokes 7.2.3 La ecuación de energía interna para un fluido fluido newtoniano
7.3 7.4 7.5 7.6 7.6.1 7.6.2
7.7 7.8
La ecuación constitutiva de un sólido linealmen linealmente te elástico Termoelasticidad Termoelasticida d lineal Energía de deformación Descripción del comportamiento no newtoniano en fluidos Fluidos no newtonianos independientes del tiempo Fluidos no newtonianos dependientes del tiempo
Materiales viscoelásticos Modelos mecánicos del comportamiento reológico de materiales
TERCERA PARTE
APLICACIONES BÁSICAS
Capítulo 8 APLICACIONES EN EN FLUJOS Y DEFORMACIONES DEFORMACIONES 8.1
Soluciones exactas de la ecuación de Navier-Stokes
8.1.1 El flujo de Couette 8.1.2 El flujo de Poiseuille Ejemplo 1. Flujo permanente con propiedades constantes a través de un cilindro circular recto. Ejemplo 2. Flujo permanente axial con propiedades constantes entre dos cilindros concéntricos. Ejemplo 3. Flujo entre dos cilindros concéntricos rotatorios. Ejemplo 4. Flujo permanente a través de un u n conducto de sección triangular. Ejemplo 5. Flujo a través de un conducto de sección transversal elíptica.
8.2
Flujos no newtonianos Ejemplo 6. Flujo de un plástico de Bingham a través de un cilindro circular.
8.3
Sólidos hookeanos Ejemplo 7. Deformación de un cubo de acero. Ejemplo 8. Determinación de un campo de desplazamientos a pa rtir de un campo de deformaciones.
BIBLIOGRAFÍA Libros y artículos referenciados Bibliografía sobre la Mecánica de Medios M edios Continuos APÉNDICES Apéndice 1 Apéndice 2 Apéndice 3
Apéndice 4
Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales Identidades vectoriales Componentess del tensor extra de esfuerzos para un fluido newtoniano, Componente Ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos con propiedades constantes, Ecuaciones de balance instantáneo sobre volúmenes infinitesimales, Componentes del tensor de rapidez de deformación Elementos de Termodinámica Clásica
PREFACIO El presente libro ha sido escrito durante el goce del primer año sabático del autor como docente durante más de una década en la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, que es una Universidad Pública verdaderamente autónoma, completamente gratuita, con un buen nivel académico y planes de estudio pertinentes orientados a mejorar de la calidad de vida de los habitantes de la ciudad de México y de todo el país, y bien ocupada en elaborar sus propios materiales didácticos. En éste se plasma lo que el autor ha tratado de compartir con estudiantes de diversas universidades de México y otros países, en particular la Universidad Nacional Autónoma de México, la Universidad Autónoma del Estado de México, la misma UACM, la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán de Honduras, entre otras, en la Mecánica de los Medios Continuos sin mayor pretensión que sus lectores comprendan los aspectos fundamentales de esta materia que puedan ser de utilidad en sus estudios o simplemente en el entendimiento de los muchos fenómenos observables en la vida cotidiana y la profesional. La principal motivación para escribir el presente libro fue poner al alcance de los lectores, muchos de ellos quizá estudiantes de ciencias e ingenierías, los conceptos y desarrollos básicos para la modelación del movimiento de los cuerpos supuestamente continuos, sus deformaciones o flujos, y las relaciones entre éstos y los esfuerzos generados dentro de ellos. Lo anterior se hace aquí empleando la herramienta matemática más simple con la que sí cuentan nuestros estudiantes, como son el cálculo diferencial e integral para funciones reales de variable real, el álgebra lineal, la geometría analítica y la trigonometría básicas, prescindiendo de conocimientos avanzados sobre álgebra tensorial, análisis funcional, geometría algebraica, y otras tantas ramas de la matemática que normalmente nuestros estudiantes no tienen la oportunidad de cursar. El material presentado es muy básico y puede ser asimilado en un curso semestral a nivel de Licenciatura, recomendando complementar este contenido, si fuese necesario, con los temas específicos en que se desee profundizar recurriendo a otros textos que se listan en la bibliografía. Los temas tratados son los imprescindibles, aunque a un nivel más bien básico y sin enredos innecesarios. La posibilidad de que existan errores en las ecuaciones, tablas y el texto no se descarta, y serían todos ellos responsabilidad del autor. Se ruega al lector hacer notar cualquier detalle que juzgue no acertado para subsanarlo en una posible versión más afinada de esta obra.
AGRADECIMIENTOS Al Gran Dador de Vida, por darme la oportunidad para escribir este modesto libro. A la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, por permitirme el honor de impartir clases en sus aulas y concederme el goce de todo un año sabático para escribirlo. A mis estudiantes en la UACM, la UAEMex, la UNAM y otras instituciones educativas, en donde durante más de 40 años me han forzado a siempre aprender un poco más para tener algo que compartir con ellos. A mis Maestros en la Licenciatura, el Posgrado y la Vida. En especial al físico José Caballero Arroyo (QEPD), de quien hace casi 45 años recibí las primeras lecciones en la materia de este libro, allá en la Facultad de Ingeniería de la UAEMex. Al Dr. Enzo Levi Lattes (QEPD) y al Dr. David Binding, quienes fueron mis maestros de esta asignatura en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, al Dr. Luis Ferrer Argote (QEPD), quien me enseñó acerca de la elasticidad y la medición experimental de los esfuerzos. Asimismo, agradezco al Dr. Mihir Sen, director de mis tesis de Maestría y Doctorado, quien además me motivó a escribir sobre estos temas. Todos ellos me compartieron mucho de sus conocimientos y experiencias que tanto me formaron. A mis compañeros en la DEPFI UNAM de aquellos años de la segunda mitad de la década de los setenta, en especial los Dres. Francisco Javier Solorio Ordaz, Jorge Rojas Menéndez y Francisco Ávila Segura (QEPD), con quienes discutimos muchos de los fascinantes temas aquí tratados. Al ahora estudiante Eduardo González Mora por apoyarme con las atractivas figuras y las ecuaciones de los apéndices, al Ing. Jesús Zepeda Castillo y a la Ing. Sandra Lujano Vilchis, quien hace algunos años tomó los primeros apuntes de mis dizque clases con el fin de convertirlos en libro algún día. A los tíos Ariel, Maru, Eren y Gilda, por hospedarme en Chiapas para terminar la escritura del mismo. A mis familiares y amigos, en especial mis tres hijas, quienes siempre me han motivado a seguir adelante. A los que de una u otra forma me alentaron en esta tarea.
A todos, ¡ muchas gracias !
PRIMERA PARTE
CONCEPTOS BÁSICOS
1. INTRODUCCIÓN 1.1 PRESENTACIÓN El presente es un libro sobre el movimiento de cuerpos que se deforman o fluyen, tratado desde el punto de vista de la Mecánica Clásica . La mecánica es la rama de la física que precisamente estudia el movimiento de partículas y conjuntos -continuos o discretos- de ellas. Ahora bien, hay esencialmente tres grandes aproximaciones bien diferenciadas para modelar el movimiento: la llamada Mecánica Clásica o newtoniana, así llamada por tener como máximo exponente a Isaac Newton, pero con muy importantes aportaciones de otros filósofos y científicos; la Mecánica Relativista, cuyo revolucionario innovador fue Albert Einstein, y la Mecánica Cuántica , surgida del genio de Max Planck y otros grandes pensadores. Con la mecánica clásica –con mucho la más antigua de las tres- es posible modelar y predecir el movimiento de los planetas alrededor del Sol, y efectuar los cálculos para lanzar desde la Tierra para luego hacer posar sobre un cometa una sonda espacial. Asimismo, con ella se puede describir matemáticamente el movimiento de las corrientes atmosféricas y marinas, la dispersión de contaminantes, o diseñar una turbina eólica eficiente. La mecánica clásica sigue vigente en nuestros días, y es obligatoriamente enseñada en las escuelas de ciencias e ingenierías, a pesar de los siglos que han transcurrido desde la publicación en el año 1687 de la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica escrita por Newton. Sin perder de vista que la mecánica newtoniana es muy limitada cuando se trata de modelar el movimiento de partículas subatómicas, explicar el fenómeno fotovoltaico (logro que le valió a Einstein el Premio Nobel de Física en 1921), o modelar las relaciones espacio-tiempo y fenómenos que ocurren cuando el movimiento se da a velocidades comparables con la de la luz -fenómenos que son estudiados, los primeros por la mecánica cuántica y los últimos por la mecánica relativista-, para los propósitos de la modelación básica de flujos y deformaciones de cuerpos materiales, son más que suficientes los desarrollos y aportaciones de Robert Hooke, Isaac Newton, Leonhard Euler, Claude Louis Marie Henry Navier, Agustin Louis Cauchy, Siméon Denis Poisson, Robert Stokes y muchos otros genios de los tres siglos anteriores a la revolución relativista y cuántica. Justo a mediados del siglo XIX, Lord Kelvin y Rudolf Clausius, entre otros, desarrollan la termodinámica clásica (o termostática, como debiera mejor llamársele) inspirados en el ensayo de Nicolás Léonard Sadi Carnot Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego publicada en 1824. Así las cosas, la materia del presente libro –la mecánica de cuerpos que idealmente son conjuntos continuos de partículas que se deforman o fluyen- es bien añeja, con desarrollos básicos que datan de hace dos, tres y más siglos, pero que son fundamentales para el estudio de las Ciencias de la Tierra, la Biofísica, las Ciencias Ambientales y todas las ramas del conocimiento que involucran el escurrimiento de fluidos, la deformación de sólidos y en general el comportamiento de los materiales sometidos a esfuerzos. Asimismo, su estudio es imprescindible en las Ingenierías Mecánica, Civil, Aeronáutica, Naval, Química, y muy especialmente, en la Ingeniería de Sistemas Energéticos Sustentables, que en la Universidad Autónoma de la Ciudad de México se estudia tanto en el nivel de Licenciatura en el programa de Ingeniería en Sistemas Energéticos, como en el posgrado, en la Maestría en Fuentes Renovables de Energía y Eficiencia Energética, ambos a cargo de su Programa de Energía. Asimismo, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma
del Estado de México se ofrece una Licenciatura en Ingeniería en Sistemas Energéticos Sustentables y la UNAM recientemente ha iniciado un programa similar. En estos estudios, la mecánica de medios continuos es insoslayable porque en todo sistema para el aprovechamiento de las fuentes renovables de energía, por ejemplo un sistema de calentamiento solar de agua, existen fenómenos de flujos de fluidos, de transferencia de calor y otros efectos térmicos, de concentración de esfuerzos, de elasticidad y de plasticidad, que pueden tratarse con esta teoría. Como se mencionó en el prefacio, la principal motivación para escribir el presente libro fue la de poner al alcance de los lectores, muchos de ellos quizá estudiantes de ciencias e ingenierías en la UACM y otras universidades públicas o privadas, los conceptos y desarrollos básicos para la modelación del movimiento de los medios supuestamente continuos, sus cambios de configuración y deformaciones o flujos, y las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones o rapideces de deformación. Lo anterior se hace aquí empleando la herramienta matemática más simple con la que sí cuentan nuestros estudiantes, como son el Cálculo Diferencial e Integral para funciones reales de variable real (herramienta también debida en gran parte a Isaac Newton), álgebra lineal, geometría analítica y trigonometría básicas, prescindiendo de los cursos sobre álgebra tensorial, análisis funcional, geometría algebraica, y otras tantas ramas avanzadas de la matemática, que normalmente nuestros estudiantes no tienen la oportunidad de cursar. Para un buen entendimiento del desarrollo histórico de los conceptos del cálculo se recomienda el libro de Ismael Arcos y Armando Sepúlveda sobre este tema, listado en la bibliografía. Por regla general, los libros clásicos sobre Mecánica del Medio Continuo hacen un tratamiento tan matemático y complejo de los temas, que los estudiantes por varias décadas han denominado chuscamente a la materia como la “Mecánica del Miedo Continuo”, cuando en realidad lo que está detrás de sus modelos matemáticos son ideas y conceptos esencialmente simples y fáciles de comprender. En el presente libro, los conceptos básicos del álgebra de funciones reales se generalizan a funciones tensoriales de variable tensorial, de modo que aun cuando en general sólo se emplean en este libro tensores cartesianos, la presentación de los temas tratados no tiene mayores limitaciones matemáticas, al tiempo que se espera que sea completamente clara y útil para el estudiante sin grandes conocimientos y habilidades matemáticos, salvo los verdaderamente imprescindibles (como los conceptos de límite, derivada, integral, derivada de un producto de funciones, etcétera). Al final del libro se presenta una lista de obras referenciadas a lo largo del texto que pueden ser motivantes para los lectores interesados en la materia. Para quienes deseen hacer un estudio con mayores alcances, se presenta también una bibliografía de textos muy bien logrados sobre la Mecánica de los Medios Continuos, escritos en varios idiomas, ya que en todos los planes de estudio de las Ingenierías y las Ciencias, salvo penosas excepciones, la Mecánica de los Medios Continuos es una asignatura básica obligatoria. En los países desarrollados como Alemania, Estados Unidos, Japón, Rusia, Francia, China, esta materia recibe primordial atención, y hay diversos textos en sus correspondientes lenguas por su indudable importancia. Sin embargo, en México es una disciplina que es vista como “muy difícil de estudiar y de comprender”, y ha sido suprimida en algunos planes de estudio de las ingenierías. Los libros que aún pueden llegarse a encontrar, escritos y editados en México, corresponden a inicios de la década de los años setenta, con un enfoque obviamente desactualizado de sus modernas aplicaciones y tratamiento matemático. Este modesto libro de texto pretende hacer una pequeña contribución para subsanar este problema.
El libro está dividido en tres partes: Conceptos Básicos, Análisis de Esfuerzos y Deformaciones, y Aplicaciones Básicas, cada uno con los capítulos mencionados en seguida. La primera parte consta de cuatro capítulos: Introducción, Fundamentos Matemáticos, Cinémática de Medios Continuos, y Ecuaciones de Balance Instantáneo -de masa, momentum lineal y momentum angular, energía, entropía y exergía- sobre volúmenes de control finitos e infinitesimales . La segunda parte consta de los capítulos: Análisis de Esfuerzos, Análisis de Deformaciones, y Ecuaciones Constitutivas para el Esfuerzo . La tercera parte, que consta sólo de un capítulo, está dedicada esencialmente a aplicaciones sencillas en flujos laminares en Mecánica de Fluidos y problemas básicos de Elasticidad.
1.2 LA HIPÓTESIS DEL MEDIO CONTINUO La aplicación de las leyes de la Mecánica y la Termodinámica sobre cuerpos que, a escala macroscópica aparentan ser continuos, y se deforman o fluyen, puede ser hecha empleando la herramienta matemática que nos proporciona el Cálculo Diferencial e Integral, aplicando sus conceptos básicos como derivadas parciales e integrales múltiples a las diversas propiedades físicas. En estos desarrollos no se requiere postular modelos moleculares o “microscópicos” de la materia, puesto que parte de suponer que la materia puede ser tratada como una función continua en el espacio (ésta es la hipótesis del medio continuo). Este estudio, conocido como “Mecánica del Medio Continuo” fue desarrollado en sus inicios en el siglo XVII, por el mismo Issac Newton, Robert Hooke, y Jacobo Bernoulli. Entrando al siglo XVIII y luego al Siglo XIX hubo grandes aportaciones de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange, Agustin Louis Cauchy, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Pierre-Simon Laplace, Père de Gabriel León Jean Baptiste Lamé, entre muchos otros, cerrando el siglo XIX e iniciando el siglo XX con Karl Friedrich Gauss (este último quizás el matemático más reconocido del Siglo XIX) y Christian Otto Mohr. Con mucha anterioridad, Galileo Galilei en su libro publicado en 1638 Discursi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze , plantea y resuelve los primeros problemas de cuerpos deformables. Puede decirse que con esta obra se origina formalmente esta disciplina. Luego en 1676 las ideas de Robert Hooke y la observación de que los metales apenas y se deformaban elásticamente antes de deformarse de manera no recuperable dan inicio a la teoría de la elasticidad lineal. Hubo de transcurrir cerca de un siglo antes de que los problemas de elasticidad no lineal fueran abordados exitosamente. En la mecánica de fluidos, las ecuaciones de Navier y Stokes, al ser no lineales, no permitieron hallar un avance significativo sino hasta que Ludwig Prandtl desarrolla en 1908 la teoría de las capas límite (viscosas y térmicas). En las últimas décadas se ha incluido en el tratamiento de la Mecánica de Medios Continuos la notación indicial de Albert Einstein para su mejor descripción y manejo general. La Mecánica de los Medios Continuos proporciona las bases para comprender y predecir el movimiento, por lo general muy complejo, de cuerpos que se deforman o fluyen. Aún para materiales multicompuestos, como el concreto armado o una aleación metálica con muchas fases, puede ser aplicada esta teoría, con la consideración de la continuidad en las propiedades de sus componentes. La Mecánica del Medio Continuo , que permite considerar simultáneamente no sólo propiedades mecánicas, sino también térmicas y electromagnéticas, desempeña un papel muy importante en la ingeniería y tecnología modernas ya que sus conceptos y desarrollos básicos
tienen un amplio campo de aplicación en materias como Mecánica de Fluidos, Mecánica de Sólidos, Fenómenos de Transporte, entre otras. En estas materias, los fenómenos del escurrimiento de fluidos, de flexiones, torsiones, contracciones o elongaciones de piezas de máquinas, la transferencia de energía y momentum, entre muchos otros, se presentan en medios caracterizados por el hecho de que sus moléculas (u otras partículas) están tan próximas entre ellas, que el material puede considerarse, a escala macroscópica, como un medio cuyo comportamiento mecánico o térmico puede ser predicho sin la necesidad de considerar el espacio y huecos que en realidad existen entre estas partículas, es decir, como si la materia del cuerpo estuviese distribuida en forma continua. Por ejemplo, en cada milímetro cúbico de aire atmosférico a nivel del mar y a una temperatura de 20°C, existen alrededor de treinta mil millones de millones de moléculas. A nivel observable a simple vista, este aire puede ser tratado como un medio continuo. Esta condición se presenta en la mayoría de las situaciones de la experiencia diaria con sólidos, líquidos y gases. Sin embargo, esta teoría tiene limitaciones, y hay que recurrir a otros modelos, generalmente estadísticos, para el estudio del movimiento de gases enrarecidos, o de medios claramente particulados, como la arena. Si en vez de tomar aire atmosférico a nivel del mar se toma aire a unos 150 km de altitud, las moléculas del oxígeno, nitrógeno, argón, y los otros gases que constituyen el aire se encuentran mucho más separadas unas de otras, y la hipótesis del medio continuo deja de ser válida. Los modernos aviones comerciales para el transporte de personas tienen alturas de crucero de apenas 11 km (o menos, dependiendo del tipo de avión), donde la hipótesis del medio continuo es completamente válida. Un criterio formal para considerar la validez de la hipótesis de medio continuo, al menos en gases (en líquidos y sólidos las moléculas se encuentran mucho más próximas entre sí, de modo que es aún más válida la hipótesis en ellos), se tiene al comparar el valor del grupo adimensional llamado “número de Knudsen” con la unidad. El número de Knudsen -así llamado en honor al físico danés Martin Christian Knudsen- se define como el cociente entre la trayectoria libre media λ entre dos partículas, y una longitud característica en donde se presenta el movimiento. Así:
⁄√ 2
(1.1)
en donde λ es simplemente la distancia que en promedio viajan las partículas entre dos colisiones consecutivas al moverse libremente en fase gaseosa. El valor de es del orden de 10-7 m en el aire al nivel del mar, pero crece en un factor 10 3 por cada 50 km de altura. La temperatura termodinámica es representada por , es la llamada “constante de Boltzmann”, es el diámetro efectivo de la partícula, es la presión absoluta, y es una longitud característica en la que se presenta el movimiento. Si el valor del número de Knudsen es inferior a uno, puede considerarse válida la hipótesis del medio continuo; si es mayor que uno, se hablará de un “régimen molecular” y se usarán otras teorías para describir el movimiento, por ejemplo la mecánica estadística o la teoría del flujo de gases enrarecidos. El lado extremo derecho de la ecuación 1.1 es precisamente un resultado de la mecánica o termodinámica estadística . Una buena introducción a ésta se presenta en la obra de Lee, Sears y Turcotte: Statistical Thermodymanics, listada en los libros
referenciados que aparecen al final del presente libro, junto con otras obras sobre métodos estadísticos en la mecánica y la termodinámica. Una curiosa aproximación de la teoría estadística a medios continuos puede hallarse en la obra de M. J. Beran intitulada Statistical Continuum Theories. Retomando el ejemplo de los aviones, su velocidad de vuelo durante el siglo XX fue creciendo hasta cubrir un rango amplio que va desde el vuelo subsónico lento, típico del aterrizaje, hasta el vuelo hipersónico (a varias veces la velocidad del sonido). Los desarrollos de la aeronáutica hicieron posible la exploración espacial, y para ello las aeronaves y vehículos espaciales han de moverse en un rango aún más amplio de alturas y por ello de densidades, que implica regímenes de movimiento desde el medio continuo, a bajas alturas, cuando el número de Knudsen es pequeño frente a la unidad, hasta el régimen molecular libre, que encontramos a grandes alturas, donde el número de Knudsen es mayor que uno. Además de la continuidad de la materia y sus propiedades en los medios continuos, con mucha frecuencia se supone además que éstos son isótropos. La isotropía supone que no existen direcciones preferenciales para sus propiedades mecánicas, térmicas y de otra naturaleza. Cuando en verdad existen direcciones preferenciales, se hablará de un “material anisótropo”. Así, en un medio isótropo el flujo de calor por conducción sería el mismo en cualquier dirección, suponiendo el mismo gradiente de temperatura, y su conductividad térmica será una simple propiedad termodinámica escalar. El flujo de calor estará modelado por la siguiente ecuación, llamada “Ley de Fourier” para medios isótropos:
en donde
−.
−. ∇
(1.2)
es el vector flujo de calor por unidad de tiempo por unidad de área
∇
transversal, es el coeficiente de conductividad térmica del material a una cierta temperatura, y es el gradiente de la temperatura. En el sistema internacional de unidades, abreviado SI, que es el que se utiliza en este libro y se supone que el lector está plenamente familiarizado con éste, se mide en W/m 2, en W/m K, y en K/m. En el
−.
∇
Apéndice 3 se presenta los componentes de la Ley de Fourier en diversos sistemas coordenados ortogonales para su más fácil manejo en la resolución de problemas. Si el material es anisótropo, la misma ley de Fourier se reescribe como:
en donde ahora
=
−. = ∙ ∇
(1.3)
es el tensor de conductividades térmicas, con tres valores principales a
ser determinados experimentalmente. Nótese que en el lado derecho de la ecuación 1.3
aparece el producto punto entre un tensor de orden dos (el tensor de conductividades térmicas), y un vector (el gradiente de la temperatura). La consideración de isotropía simplifica en gran medida la modelación matemática con base en tensores, que son tratados en el siguiente capítulo. Como ejemplo de un medio isótropo podríamos pensar en un líquido simple, digamos una gota de alcohol etílico; como ejemplo de uno anisótropo podemos considerar a las maderas, en donde hay fibras en direcciones claramente apreciables. La resistencia a la fractura de una pieza de madera es mucho mayor en una dirección transversal a estas fibras, que en la dirección de éstas. Otro ejemplo común de un medio anisótropo lo constituye el bobinado de una máquina eléctrica, en donde se desea que los electrones se muevan a lo largo del alambre bobinado, pero no en sentido transversal a éste, por lo que el alambre se aísla con algún barniz dieléctrico. Tanto la conductividad eléctrica como la térmica son mucho mayores en la dirección del alambre que en la dirección transversal a éste. Por último, no hay que perder de vista que finalmente se trabaja con modelos matemáticos, que como cualquier modelo son tan sólo aproximaciones a la realidad (que es infinitamente compleja), en el que se consideran únicamente los detalles que se supone son importantes, dejando de lado muchos otros que quizás también lo sean, pero que en una primera aproximación aparentan no serlo. Se recomienda la lectura del Capítulo 6, La formulación de modelos, de la obra de Horace Freeland Hudson La búsqueda de respuestas para un tratamiento fresco y lúdico acerca de los modelos en diversos ámbitos. En resumen, en la Mecánica del Medio Continuo se idealizan la materia y sus propiedades por medio de modelos matemáticos que, sin tener en cuenta de manera explícita la estructura microscópica de la materia, permiten predecir su comportamiento con exactitud suficiente para muchas aplicaciones prácticas. Estos modelos se construyen por lo general con ecuaciones diferenciales parciales (no lineales en general), cuya solución simultánea tendrá que obtenerse por medios analíticos, computacionales o empíricos, una vez especificadas las condiciones iniciales y de frontera para el sistema de ecuaciones diferenciales. Esencialmente se trata de modelar las relaciones entre el esfuerzo (que es una cantidad tensorial de orden dos), y la deformación o la rapidez de deformación, que también son cantidades tensoriales de orden dos. A este tipo de relaciones se les llama “ecuaciones constitutivas para el esfuerzo” y son tratadas en el Capítulo 7. Conocida la ecuación constitutiva para un determinado material, éstas simplemente se aplican en las ecuaciones instantáneas de balance, válidas para todos los medios continuos, se incluyen una o más ecuaciones termodinámicas de estado, y en consecuencia se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales parciales a resolver. En la modelación las variables involucradas son cantidades tensoriales de diversos órdenes, y por conveniencia se usarán las notaciones clásica y la indicial en su desarrollo.
En el siguiente capítulo se sientan las bases para operar con tensores cartesianos y el operador diferencial nabla, pudiéndose extender a tensores generales lo allí presentado, en un estudio que queda fuera del alcance del presente libro. ----
Ejercicios 1.1 Estimar el número de moléculas que hay en un milímetro cúbico de oxígeno a 20°C y 1 bar de presión. Sugerencia: Considerar al oxígeno como un gas ideal y emplear el número de Avogadro.
1.2 Estimar el valor del número de Knudsen para el ejercicio anterior.
2
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
INTRODUCCIÓN En ciencias e ingenierías, las propiedades 1 (mecánicas, termodinámicas, químicas, etcétera) de la materia y los cuerpos en general, como son su momentum, masa, energía, conductividad térmica, entre una infinidad de ellas, así como las condiciones de deformación, flujo o esfuerzos a que se hallen sometidos, son representadas en su modelación matemática mediante cantidades tensoriales de diversos órdenes2. Con respecto a un marco de referencia determinado, por ejemplo un marco cartesiano ortogonal “de mano derecha”, donde los ejes coordenados apuntan en direcciones claramente especificadas, el tensor quedará determinado por un conjunto de números, por lo general números reales, y las unidades del sistema de medición que se haya elegido (de preferencia, el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI), que llamaremos “componentes escalares”, o más brevemente “componentes”, del tensor. El número de componentes que se requiere para expresar un tensor de orden , donde es un número natural N= es , suponiendo, al igual que hacían los muy antiguos filósofos y matemáticos, que vivimos en un mundo con tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal 3. De aquí en adelante, cuando se trate de operadores diferenciales que involucran al operador nabla , se entenderá que éste involucra únicamente derivadas parciales con respecto a coordenadas o variables espaciales (o alternativamente coordenadas materiales, como se verá en el Capítulo 3, en las llamadas descripción “lagrangiana” o “material”). La variable temporal t se manejará separadamente, en ocasiones como un parámetro más que como una variable.
0,1,2,3,… ,
3
∇
1
Una “propiedad” es cualquier atributo de la mat eria o el espacio, susceptible de ser medido mediante una escala apropiada. Por ejemplo, la temperatura es una propiedad termodinámica que en el SI se mide en grados kelvin, o más correctamente, en kelvins; el momentum es una propiedad mecánica que se mide en kg-m/s, etcétera. La temperatura, al igual que la mayoría de las propiedades termodinámicas son “tensores de orden cero”, o “escalares”, en tanto que el momentum es un “tensor de orden uno”, o simplemente, un “vector”, y el esfuerzo es un “tensor de orden dos” o “diada”. 2
Para un explicación más clara y formal, pero sin enredos ni complicaciones, del concepto de tensor, ver por ejemplo el libro del Dr. Sergio Trapote, “ El razonamiento plausible y demostrativo en las matemáticas y en la mecánica”, UACM, 2007, pp. 294. Asimismo, puede consultarse el libro intitulado “ Análisis Vectorial y Tensores Cartesianos”, de Bourne y Kendall, LIMUSA, 1980, México, y otros más listados en la bibliografía general al final del libro. 3
De hecho, de acuerdo con el notable astrónomo de la Corona Británica, Sir Martin Rees, en su libro “ Just six numbers”, Basic Books, Chapter 10 Three dimensions (and more), enfatiza en el número de dimensiones espaciales -justamente 3- para que el universo pueda existir como lo conocemos. Por supuesto que es posible hacer un tratamiento desde la física relativista y emplear por ejemplo la transformación de Lorentz para tratar combinadamente las tres dimensiones espaciales con la temporal, pero eso acarrearía complicaciones innecesarias al lector.
Como el tratamiento formal del cálculo tensorial por lo general no es una materia que se imparta obligadamente a los estudiantes de ciencias e ingenierías, en este libro, si bien en las ecuaciones y en general los modelos matemáticos desarrollados aparecen las variables y funciones como cantidades tensoriales, el tratamiento se limitará al empleo de tensores cartesianos, tratando de hacer más simple su manejo al lector no especializado. Con esto se evita toda complicación al no distinguir entre “tensores covariantes” y “tensores contravariantes”, y se permite emplear únicamente subíndices y no superíndices ni comas (éstas empleadas para indicar derivación parcial), como se haría en un texto más avanzado. A pesar de toda esta simplificación no se abandona, sino por el contario se refuerza, el tratamiento tensorial de las variables, ya que esto permite en verdad un mucho mejor manejo y comprensión de la materia. En la tabla 2.1 se ejemplifica el número de componentes, el nombre comúnmente empleado, y la manera en que se denotarán en en este libro en forma “clásica” e “indicial” los tensores cartesianos de diversos órdenes. No se incluye en esta tabla la “notación matricial”.
Tabla 2.1 NÚMERO DE COMPONENTES Y REPRESENTACIÓN CLÁSICA E INDICIAL DE TENSORES DE DIVERSOS ÓRDENES ORDEN DEL TENSOR
NOMBRE COMÚN
(n) n=0
n=1
n=2
n=3 .
n
“escalares”, o “tensores de orden cero” “vectores”, o “tensores de orden uno” “diadas”, o “tensores de orden 2” “triadas”, o “tensores de orden 3” .
“tensores de orden n”
NÚMERO DE COMPONENTES ESCALARES INDEPENDIENTES
EJEMPLO EN NOTACIÓN CLÁSICA
EJEMPLO EN NOTACIÓN INDICIAL
0
c
c
1
v
vi
2
3 1
3 3
3 9
3
3 27 .
3
T
≡: .
n
.
⏟ í,…
En la notación clásica -que tiene la gran ventaja de ser independiente de cualquiera que sea el marco de referencia: cartesiano, curvilíneo, ortogonal o no ortogonal, etcétera- se colocarán debajo del símbolo que represente al tensor un número de rayitas horizontales igual al orden que tenga. Así, el escalar (que es un tensor de orden cero), no llevará ninguna rayita, en tanto que el
vector
−
4
(que es un tensor de orden uno) lleva una rayita; el tensor
,
que es un tensor de
orden dos, se representa con dos rayitas debajo de la sigma, etcétera. En la notación indicial, el orden del tensor es igual al número de índices que aparecen una sola vez en cada término, llamados “índices libres” o “legítimos”, como se describe más adelante. Los componentes de un tensor –que son números reales, con unidades apropiadas- dependerán del marco de referencia elegido. Si cambia el marco de referencia, en general todos los componentes empleados para describir al tensor cambiarán, obedeciendo rigurosamente unas ecuaciones de transformación. Obviamente, los tensores como entes matemáticos, tienen una existencia independiente de cualquier sistema de coordenadas, es decir, los tensores son invariante ante los cambios de marco de referencia, no así los componentes empleados para representarlos. Al especificar los componentes de un tensor en un determinado sistema, sus componentes quedan determinados en cualquier otro sistema, de acuerdo con las reglas de transformación de componentes que se presentan más adelante en este capítulo. Una tercera opción para denotar un tensor consiste en emplear matrices o “hipermatrices”, lo que permite escribir explícitamente todos sus componentes. En el álgebra de matrices, que obligatoriamente se enseña en la Secundaria y en la Escuela Preparatoria, una matriz no es más que un arreglo de números en renglones y columnas. Una “hipermatriz” llevaría además “capas” e “hipercapas”, según su orden sea más y más grande. Como ejemplo, un vector se representa con las notaciones clásica, indicial y matricial de las siguientes maneras:
v
=
Notación clásica
en tanto que el tensor
=
=
Notación indicial
(2.1)
Notación matricial
se representaría, con las mismas notaciones, como sigue:
σ σ σ σ σ σ σ σ σ =
(2.2)
Obsérvese que en la notación clásica aparecen dos rayitas debajo de la sigma, en tanto que en la notación indicial hay dos índices “legítimos” (ambos aparecen una sola vez) en sigma. En la notación matricial el primer subíndice indica el número de renglón -de manera puramente convencional, pero que se respetará en todo el libro para evitar confusiones al interpretar los componentes del tensor al resolver un problema o al describir una estado de esfuerzos, por ejemplo-, en tanto que el segundo subíndice corresponde al número de columna en que aparece el componente de marras. Muchos tensores, como los que describen al esfuerzo, la inercia, las deformaciones, las rapideces de deformación, etcétera, son tensores de segundo orden y sus nueve componentes -por lo general independientes- se arreglan perfectamente en una matriz cuadrada de tres renglones y tres columnas. Sin embargo, para tensores de orden tres y mayores, 4
En una connotación más amplia, un “vector” es cualquier elemento de un “campo vectorial”, que pueden ser de muy variada naturaleza. En este libro se restringe el significado de vector a su acepción más básica, como una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Un desplazamiento, una fuerza, el momentum angular, son ejemplos emblemáticos de vectores.
no serían suficientes renglones y columnas, y tendría que recurrirse a capas e hipercapas para formar “hipermatrices”. Esto no presenta mayor problema, puesto que se pueden representar estas hipermatrices como matrices de matrices, como se ejemplifica en seguida con un hipotético tensor de orden tres, cuyos = 27 componentes aparecen explícitamente.
T =
3 =
(2.3)
Aquí por ejemplo, el componente – remarcado en la tercera matriz en color rojo, que es tan sólo uno de los 27 componentes independientes del tensor T - está colocado en el primer renglón, segunda columna y tercer “capa” de la “hipermatriz”. Los 27 componentes pueden ser capturados para emplearse en un programa de cómputo en el que el tensor T aparezca como factor en un término de una ecuación, por ejemplo. Se deja como ejercicio al lector, para algún momento libre que tuviese, la representación matricial de los 81 componentes de un tensor de cuarto orden, o los 243 componentes de un tensor de orden cinco. Ahora bien, para propósitos de modelación teórica o representación simbólica simple, mientras menos tinta se gaste en escribir las ecuaciones, mejor. Así, la notación indicial debida al genio de Albert Einstein es excelente, pues permite con unos cuantos símbolos escribir lo que de otra manera (con la notación matricial, por ejemplo) podría llenar varias páginas. El empleo de tensores y la notación indicial en este texto se hace para facilitar las operaciones, simplificar y clarificar los términos de toda expresión en los modelos matemáticos. Si nos restringiésemos al cálculo vectorial, sería muy difícil y complicado hacer el tratamiento a fondo de la mecánica de los medios continuos. Sería como tratar de soslayar el uso de vectores en el estudio de la mecánica clásica elemental, empleando únicamente escalares.
2.1 La notación indicial de Einstein La notación indicial, como toda invención genial, es extremadamente simple; consta tan sólo de las siguientes tres reglas: 1.
Si un índice aparece una sola vez en un término, se le llama “índice legítimo” o “libre”, e
implica la existencia de tres términos independientes, uno para cada valor del índice (de uno a tres en nuestro espacio tridimensional). El número de índices legítimos en un término es igual al orden del tensor, y en todos los términos de una ecuación los índices legítimos deben ser los mismos. Así, cuando se escribe se implica la existencia de los tres escalares independientes , y , que son precisamente los componentes del vector , referidos a un sistema cartesiano determinado.
2.
Un índice que aparezca dos veces en el mismo término, implica una suma sobre este índice (de 1 a 3), y se le llama “índice espurio” o “falso”. Los índices espurios no contribuyen al orden tensorial del término en que aparezcan, y pueden ser sustituidos por
otros índices en cualquier momento. Por ejemplo, el producto punto entre dos vectores puede expresarse, cuando se emplea un marco de referencia ortogonal, de la siguiente manera:
a b ai bi ak bk a1b1 a2b2 a3b3
(2.4)
Como el producto punto de dos vectores es una cantidad escalar, y en el lado extremo izquierdo de la ecuación hay dos rayitas, una debajo del factor a y otra debajo del factor b , cada una contribuyendo en + 1 al orden tensorial del producto, el punto empleado en la notación clásica cuenta por - 2 al orden tensorial del producto, que por ser un escalar es cero. Nótese también que el emplear i o k como subíndices espurios produce exactamente el mismo resultado, que es la suma de los productos de los componentes correspondientes de ambos vectores que aparece en el miembro extremo derecho de la ecuación. 3.
Ningún índice puede aparecer más de dos veces en un mismo término. Así , puesto que en cada una de ellas aparece algún índice más de dos veces, ninguna de las siguientes expresiones es válida en este ámbito:
;
(2.5)
;
Ejemplos de tensores de diversos órdenes escritos de acuerdo con las reglas de la notación indicial, seguidos de sus representaciones matricial y clásica. Son tensores de primer orden (vectores) los siguientes:
, , ∙ , , =
=
v
que es el “producto punto” entre el tensor
y el vector
(2.6)
(2.7)
v . El producto punto de tensores por lo
general no es conmutativo.
∙ , , =
v
(2.8)
que es el producto punto entre el vector
, ,
=
v y el tensor .
∇
es el “gradiente espacial” o “euleriano” de la función escalar de variable vectorial
(2.9)
, , , , ; , , , ∇∙ , , ;
(2.10)
en donde
=
=
(2.11)
(2.12)
es la “divergencia” de la función tensorial de variable vectorial
(2.13)
Son tensores de segundo orden los siguientes:
= ∙ (2.14)
=
= =
(2.15)
Note que el producto punto entre dos tensores de orden dos es isomorfo con el producto de matrices cuadradas de 3 renglones y 3 columnas.
Son tensores de orden tres los siguientes:
v
(2.16)
que es el producto “externo” o “triádico” entre el tensor de segundo orden y el vector . El resultado es una triada o tensor de tercer orden. Note que no aparece ningún signo de multiplicación entre los factores.
{(∇ ) ( ) ( )} =
(2.17)
que es el gradiente espacial de la función tensorial de variable vectorial
=
( x ; t )
En la expresión indicial de este gradiente, es el primer índice, es el segundo, y es el tercero de ellos. Los componentes están colocados de acuerdo con la convención anteriormente mencionada.
2.2 Ecuaciones de transformación de los componentes de un tensor Los tensores de orden uno, mejor conocidos como vectores, son cantidades que además de una magnitud (escalar), apuntan en una dirección y en un cierto sentido. Por ejemplo, el desplazamiento de una partícula en un intervalo de tiempo dado puede representarse gráficamente como una flecha cuyo origen está en el punto inicial del desplazamiento y cuyo extremo queda en el punto final del mismo. Esta flecha es independiente del marco de referencia, cartesiano o curvilíneo, que se emplee. La longitud de la flecha corresponde a su magnitud, y la flecha apunta en una determinada dirección con uno u otro sentido. Este sentido se invierte si se intercambian el origen y el extremo del vector, pero su magnitud y su dirección permanecerían sin cambios. Cuando se establece un marco de referencia, por ejemplo un marco cartesiano ortogonal, el vector puede ser representado con tres números reales, que son llamados los “componentes” del vector con respecto a este marco de referencia arbitrario. Si se cambia el marco de referencia, en general los tres componentes del vector cambian (¡pero el vector, como ente matemático, no cambia!). Para el caso de dos marcos cartesianos ortogonales, llámense por ejemplo el marco con respecto al cual los componentes de un determinado vector son y el marco , respecto al cual los componentes del mismo vector son , las ecuaciones de transformación de los componentes pueden escribirse en notación indicial con una sola ecuación (tensorial de orden uno) como sigue:
′ ,,′,, ′ ′ ′ ′ ′
(2.18)
′
En esta ecuación, es el coseno del ángulo que forman el eje y el eje . En realidad es un tensor de segundo orden, cuyos nueve componentes son los cosenos de los nueve ángulos (menores o iguales a 180°) que se forman entre los ejes coordenados de ambos marcos de referencia, como se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1
Ángulos que forman los ejes de dos marcos cartesianos ortogonales.
La ecuación 2.18 es equivalente al siguiente sistema de tres ecuaciones escalares, muy estudiado en la Geometría Analítica, en donde todos los factores y términos aparecen explícitamente:
′′ ′ ′′ ′ −
(2.19)
Asimismo, la ecuación 2.18 se puede expresar en forma matricial:
Los componentes de vector
(2.20)
en dos marcos cartesianos ortogonales de mano derecha son las
aristas de los paralelepípedos mostrados en la figura 2.2. Estos componentes en ambos marcos están relacionados por las ecuaciones 2.18, 2.19 y 2.20.
Escrito como matriz de transformación de coordenadas ortogonales, el tensor es una matriz ortogonal; su inversa es su transpuesta y todos sus renglones y columnas tienen magnitud unitaria.
Figura 2.2 Componentes del vector
−
en dos marcos cartesianos rectangulares.
Es evidente que, con mucho, las ecuaciones de transformación quedan representadas en una forma más compacta en la ecuación 2.18. Ésta puede generalizarse para transformar los componentes de tensores de mayor orden. Por ejemplo, para tensores de segundo orden, las nueve ecuaciones de transformación pueden escribirse con la notación indicial con una sola ecuación tensorial de segundo orden como sigue:
′ ′ ′ ′ (2.21)
que es equivalente al sistema de nueve ecuaciones escalares de transformación siguiente:
+
′ ′ ′ ′ ′ ′ +
+
+
(2.22)
Aquí es más que evidente la compacidad de las ecuaciones de transformación en la versión indicial 2.21. Ahora bien, las 27 ecuaciones escalares de transformación de los componentes de un tensor de tercer orden quedan escritas de manera compacta como sigue:
′ ′
(2.23)
Las 81 ecuaciones de transformación para los componentes de un tensor de cuarto orden son:
etcétera.
(2.24)
2.3 El campo de los números reales Antes de proceder a desarrollar un álgebra de tensores cartesianos, conviene recordar el concepto de “campo numérico”, como el que forman los números reales y los números complejos. Por pura comodidad para el lector, en este libro se supondrá que todos lo s componentes de los tensores son números reales (con unidades del SI, a menos que sean adimensionales, como
sucede con los tensores de deformación). Si hubiese componentes complejos no reales, no habría ningún problema con el tratamiento que se les daría, pues los números complejos también forman un “campo numérico”. Un conjunto de números forma un campo, si una vez definida una suma y un producto entre éstos, cumple con ciertas condiciones. La primera es que tanto la suma como el producto también pertenecen al conjunto numérico; esta es la llamada “propiedad de cerradura”. Además de lo anterior, ambas operaciones binarias son conmutativas, y la suma es distributiva sobre el producto. Existen también, para ambas operaciones, elementos neutros e inversos. Todas estas propiedades, listadas en la Tabla 2.2, hacen que los números reales (que son un subconjunto de los números complejos), formen un “campo numérico”. Esta tabla sintetiza las reglas del álgebra de tensores de orden cero (escalares, números reales acompañados de unidades) que serán básicas para el álgebra de tensores de órdenes más altos.
Tabla 2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO DE LOS NÚMEROS REALES Re
Propiedad de cerradura: Propiedad conmutativa: Propiedad de asociatividad: Propiedad distributiva: Elemento neutro: Elemento inverso:
∈ ∈
Como los componentes de los tensores son números reales (o complejos, si se da el caso), estas propiedades son la base para demostrar las propiedades de la suma y el producto de tensores cartesianos. Por ejemplo, si se define la suma de tensores cartesianos como un nuevo tensor cuyos componentes son la suma de los componentes correspondientes de los sumandos, es claro que la suma de tensores es conmutativa y asociativa, que exististe un elemento neutro aditivo (el tensor cuyos componentes son todos cero); además, para cada tensor hay un inverso aditivo, que es el tensor cuyos componentes son los inversos aditivos del tensor dado.
2.4 Suma y productos de vectores y tensores Al introducirnos en el álgebra de tensores de orden uno (vectores), es preciso recordar la suma y los tres productos más usuales entre vectores: el producto punto, el producto cruz, y el producto externo o diádico. El producto de un vector por un escalar da como resultado un nuevo vector que
tiene la misma dirección que el vector original, pero una magnitud igual al producto de su magnitud por el valor absoluto del escalar. Ahora bien, la suma vectores, que pueden representarse gráficamente como segmentos dirigidos, obedece la “regla del paralelogramo” como se muestra en la figura 2.3. La suma de los vectores a y b es un nuevo vector c cuyo origen es el origen (punto en donde inicia la flechita) de a , y cuyo extremo (la punta de la flechita) es el extremo de b , cuando el origen de b se hace coincidir con el extremo de a . Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Claramente la suma de vectores es conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro (el vector cuyos 3 componentes son ceros), y para cada vector v = ( v1 , v2 , v3 ) su inverso aditivo es - v = ( -v1 , -v2 , -v3 ). La magnitud del vector v suele representarse como |v|.
a + b = b + a = c
a - b = a + (- b) = d
f = ( a + b ) + e = a + ( b + e )
Figura 2.3 Suma y resta de vectores en forma gráfica. La suma de vectores es conmutativa y asociativa, y existe un elemento neutro (el vector nulo), e inversos para cada vector.
2.4.1 Producto punto, o “escalar” de dos vectores El producto punto de dos vectores referencia como:
− ∙ − − − cos
− − y
se define, independientemente del marco de
(2.25)
en donde es cualesquiera de los ángulos positivos que se forman entre los vectores, aunque por costumbre se toma el menor de ellos. Como el producto punto entre dos vectores es un escalar (tensor de orden cero), en la notación clásica el punto entre los vectores debe contar por -2 en el orden tensorial, ya que cada vector contribuye en +1 a este orden.
Nótese que si los vectores
− − y
son perpendiculares, el producto punto entre ellos resultará
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ − − − − − −∧ − − − −∧ −∧ −∧ −∧ −∧ − − −∧ −∧ −∧ −∧ − ∙ − −∧ ∙ −∧ −∧ ∙ −∧ −∧ ∙ −∧ −∧ ∙ −∧ 01
nulo (se usará esto como condición de perpendicularidad entre vectores); si el resultado es positivo, es un ángulo agudo, y si el resultado es negativo, es un ángulo obtuso. Si se emplea una notación “campechana”, utilizando los vectores unitarios (a los que por ser vectores se les pone una rayita debajo, y por el hecho de que ser de magnitud unitaria se les pone el gorrito encima) en las direcciones de los ejes coordenados
;
y
de la
notación clásica, pero aprovechando la convención de sumatoria de la notación indicial, los vectores y pueden expresarse como: (2.26)
Nótese que al suprimir
en la notación campechana, queda vector muy convenientemente en
la forma puramente indicial.
(2.27)
Así:
El producto
(2.28)
es un tensor de orden dos, como se explica en seguida:
En la notación campechana aparecen dos rayitas debajo de los factores, cada rayita cuenta por +1 en el orden tensorial del producto. Asimismo, hay los dos índices libres y , cada uno también cuenta en +1 en el orden tensorial, y el punto entre los factores cuenta por -2 en el orden tensorial, de modo que el orden del tensor es 2 + 2 – 2 = 2 . Para un marco de referencia ortogonal, este tensor, que tiene componentes que valen 1 cuando y y cero cuando , recibe el nombre de “delta de Kronecker” (en honor al matemático prusiano Leopold Kronecker) y se denota en notación indicial como . De esta forma: (2.29)
Sustituyendo en el lado derecho de la ecuación 2.28, se tiene que:
− ∙ − −∧ ∙ −∧
(2.30)
El resultado es un tensor de orden cero, o escalar (no aparece ningún índice libre) por lo que a este producto punto también se le conoce como el “producto escalar de dos vectores”. Nótese que cuando aparece una delta de Kronecker en un término, ésta puede ser eliminada con sólo
igualar sus índices en el resto del término, lográndose así una gran simplificación. En la expresión se implican dos sumatorias (de uno a tres) sobre los índices espurios y (ambos aparecen dos veces en el mismo término), de modo que se tienen nueve sumandos en su desarrollo, pero seis de ellos son nulos (cuando los subíndices son diferentes). Al suprimir la delta de Kronecker e igualar sus índices en el resto del término, se tiene que sólo sobreviven los tres términos no necesariamente nulos del extremo derecho de la siguiente ecuación:
(2.31)
El producto punto entre dos vectores es obviamente conmutativo, ya que el producto de los correspondientes componentes de los vectores que se multiplican es conmutativo.
2.4.2 Producto cruz, o “vectorial” de dos vectores
− − − × − − − sen −∧ −∧
El producto cruz de dos vectores referencia como:
en donde
se define, independientemente del marco de
(2.32)
es cualesquiera de los ángulos positivos que se forman entre los vectores, aunque por
costumbre se toma el menor de ellos, y
−
y
−
es un vector unitario perpendicular tanto a
(esto implica que es perpendicular al plano en que se encuentren los factores
como a
− − y
, si se
hacen coincidir sus orí genes), cuyo sentido queda definido por la bien conocida “regla de la mano derecha”. Si se invierte el orden de los factores, el signo del producto cambiará, por lo que el producto cruz no es conmutativo. Como el producto cruz entre dos vectores (tensores de orden uno) produce otro vector, el símbolo x en la notación clásica debe valer por -1 en el orden tensorial del producto. Si se vuelve a emplear la notación “campechana”:
− × − −∧ × −∧ −∧ × −∧ −∧ × −∧ ,
El producto
(2.33)
es un tensor de orden tres. En la notación campechana aparecen dos
rayitas debajo de los factores, cada rayita cuenta por +1 en el orden tensorial del producto. Asimismo, están los dos índices libres y , cada uno cuenta en +1 en el orden tensorial, y la cruz entre los factores cuenta por - 1 , de modo que el orden del tensor es 2 + 2 – 1 = 3 . Para un marco de referencia ortogonal de mano derecha, este tensor tiene componentes que valen 1 cuando los subíndices forman parte de la cadena cíclica 123123…; -1 cuando los subíndices forman parte de la cadena cíclica 132132…, y cero cuando dos subíndices tomen el mismo valor. Al
,
efectuar los nueve productos posibles con los vectores unitarios ortogonales (y de mano derecha)
−∧ −∧ −∧ ,
y
se encuentra que:
e1 e 2 e 3 ; e 2 e 3 e1 ; e 3 e1 e 2 ; e 2 e1 e 3 ; e 3 e 2 e1 ; e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
e3 e 2 ˆ
ˆ
Como además el producto cruz de un vector con él mismo es el vector nulo, los nueve resultados del producto cruz entre los tres vectores unitarios ortogonales pueden sintetizarse en la siguiente expresión:
−∧ × −∧ −∧
(2.34)
Este tensor recibe el nombre de “tensor de Levi-Civita” (en honor al matemático italiano Tullio Levi-Civita, coinventor del cálculo tensorial, y quien enseñó al mismísimo Einstein esta herramienta matemática). También se le conoce como “símbolo de permutación”, y se representa en la notación indicial como . De esta forma:
í 123123… ∧− × ∧ 11 í 132132… − 0 ú í ≡ ≡
Nótese que
(2.35)
(2.36)
En notación matricial, los 27 componentes del tensor de Levi -Civita se muestran explícitamente en 2.37. Tres componentes valen 1, otros tres valen -1, y los 21 componentes restantes son ceros:
000 00 1 001 001 000 001 00 1 100 000
(2.37)
Sustituyendo el producto cruz en el lado derecho de la ecuación 2.33, por el tensor de LeviCivita, se tiene que:
− × − −∧ × −∧ −
(2.38)
Nótese que en esta expresión, el primer subíndice del tensor de Levi-Civita corresponde al primer factor (en este caso el vector ), el segundo subíndice corresponde al segundo factor, y el tercer subíndice es el índice libre que le da la naturaleza vectorial al producto. Convendrá recordar esto cuando se defina el producto cruz de tensores de órdenes más altos. Al desarrollar el extremo derecho de la anterior ecuación 2.38, se obtiene que: 1
1
1
1
1
1
a b ( 231 a2b3 32 1a3b2 , 312 a3b1 132 a1b3 , 123 a1b2 213 a2b1 ) par a k 1
par a k 2
par a k 3
(2.39)
Así, finalmente se tiene que:
a b (a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2 b1 )
(2.40)
2.4.3 Producto externo, o “diádico” de dos vectores
− −
Este producto se define escribiendo los vectores en simple yuxtaposición, sin ningún símbolo de operación entre ellos. Así, el producto externo de dos vectores y se escribe en notación clásica, campechana, indicial y matricial como:
∧ ∧ − − − − ∧− ∧ ∧− −∧ −∧ − ∧−−∧ 10 00 00 −∧−∧ 00 10 00 −∧−∧ 00 000 000 0
(2.41)
Este es un tensor de orden dos, llamado diada, cuyos nueve componentes son los productos entre los tres componentes de cada vector que se multiplica. Los nueve productos diádicos entre los vectores unitarios unitarios
,
y
serían una especie de “diadas unitarias”, en analogía con los vectores
. Así, por ejemplo:
00 01 00 = −∧−∧ −∧−∧ −∧−∧ −∧−∧ −∧−∧ … −∧−∧ ;
;
, etcétera
(2.42)
Con éstos, un tensor de orden dos se puede expresar como la suma de sus componentes diádicos:
(2.43)
En resumen, la adición o suma, y los tres más usuales productos entre dos vectores se escriben en notaciones clásica, indicial y matricial abajo. Estas operaciones se pueden generalizar para tres o más vectores. Suma de dos vectores:
− −
(2.44)
Nótese que se acostumbra poner comas entre los componentes, cosa que no s e hizo aquí. Producto punto de dos vectores:
− ∙ −
(2.45)
Nótese que no se acostumbra poner el paréntesis matricial. El resultado del producto punto de dos vectores es una matriz de un renglón y una columna.
Producto cruz de dos vectores:
− × −
(2.46)
Nuevamente, las usuales comas entre los componentes del vector se han omitido aquí. Producto diádico de dos vectores:
− −
(2.47)
2. 5 Generalización de la suma y los productos a tensores de órdenes mayores 2.5.1 Suma de tensores
La suma de dos tensores del mismo orden (necesariamente con las mismas dimensiones, de acuerdo con el Principio de homogeneidad tensorial y dimensional ) 5 se efectúa analíticamente sumando sus correspondientes componentes. El resultado es un tercer tensor, del mismo orden y con las mismas dimensiones. Así:
≡: ≡: … …
(2.48)
Esta suma es conmutativa, asociativa, y existen elemento neutro e inversos aditivos, que son las propiedades de campo de la suma de escalares (reales o complejos).
2.5.2 Producto de un escalar por un tensor El producto de un escalar por un tensor produce un nuevo tensor, del mismo orden tensorial que el tensor de marras, cuyas dimensiones son el producto de multiplicar las dimensiones del escalar por las del tensor, y cuyos componentes se obtienen al multiplicar todos los componentes del tensor por el escalar. Así:
≡: … …
(2.49)
Este producto obviamente es conmutativo.
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD TENSORIAL Y DIMENSIONAL.- En todo modelo matemático de la realidad, todos los términos (grupos de factores separados entre sí por un signo – o un signo +), deben ser del mismo orden tensorial (no se pueden sumar escalares con vectores, por ejemplo), y deben tener las mismas dimensiones, es decir, no se pueden sumar peras con manzanas (¡pero sí se pueden multiplicar los tensores de diversos órdenes y dimensiones!). Si alguna ecuación resulta no ser dimensionalmente homogénea, definitivamente es errónea y debe ser corregida. 5
2.5.3 Producto externo de tensores El producto externo de dos tensores de cualesquier órdenes es un nuevo tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los factores, y cuyos componentes se obtienen multiplicando cada componente de un factor por todos los componentes del otro factor. Como ejemplos están los siguientes productos:
= = − = −
(Este producto es un tensor de cuarto orden) (Este producto también es de orden cuatro)
(2.50)
(2.51)
El producto externo de tensores en general no es conmutativo, pero sí es asociativo.
2.5.4 Producto punto de dos tensores El producto punto entre dos tensores cartesianos de órdenes mayor o igual a uno se efectúa operacionalmente igualando los subíndices de los factores que se encuentren más próximos entre sí. Como ejemplos:
= ∙ − = ∙ = − ∙ ≡ ∙ =
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Esto puede verse más claro empleando la “notación campechana” en los tres ejemplos anteriores:
= ∙ − −∧ −∧∙ −∧ −∧ −∧ ∙−∧ −∧ −∧
(2.55)
El desarrollo anterior se basó en lo siguiente: los componentes de los tensores son escalares cuyo producto es asociativo y conmutativo, el producto de un escalar por un tensor es
∧ ∙−∧ − ∧− = ∙= −∧ −∧∙ −∧ −∧ −∧ −∧ ∙ −∧−∧ −∧ −∧ −∧ −∧ conmutativo, el producto externo de tensores es asociativo, el hecho de que el suprimir a
, y que
de la notación campechana conduce a la notación puramente indicial.
(2.56)
Se deja al lector justificar los pasos efectuados en el anterior desarrollo, y en el siguiente también.
− ∙ ≡ ∙ = −∧∙ −∧∧−∧−∧ ∙∧ −∧−∧∧ ∧ −∧ ∙−∧−∧ −∧ ∙−∧−∧ − − −−
(2.57)
2.5.5 Producto cruz de dos tensores Se define un producto cruz entre dos tensores de órdenes iguales o mayores a uno introduciendo el tensor de Levi-Civita en lugar de la cruz, y tomando como primer índice de éste al subíndice libre del primer factor que se encuentre más próximo al segundo factor; el segundo subíndice del tensor de Levi-Civita corresponderá al subíndice del segundo factor más próximo al primer factor, dejando como al tercer subíndice de tensor como subíndice libre. Como ejemplos:
= × − −∧ −∧× −∧ −∧ −∧ ×−∧ −∧ ℰ = ×= −∧ −∧× −∧ −∧ −∧ −∧ ×−∧−∧ −∧ −∧
(2.58)
El resultado es un tensor de orden dos; en la notación indicial el primer índice (libre) es , el segundo es . Los otros dos subíndices son espurios y sólo implican sumatorias sobre ellos. (2.59)
2.6 Productos múltiples entre tensores En México, como en todo el mundo “occidental”, se acostumbra leer de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Esta misma costumbre se mantiene para operar cuando aparecen varios signos de multiplicación entre dos tensores. Se pueden definir estos productos generalizando las definiciones de los productos punto y cruz, como a continuación se describe.
2.6.1 Doble producto punto de dos tensores El producto entre dos tensores cartesianos de órdenes mayor o igual a dos se efectúa igualando los subíndices de los factores que se encuentren más próximos entre sí, y en seguida se repite la operación. Como ejemplos los siguientes:
= ∶ = = ∶ ≡
(Este es un producto escalar entre dos tensores de orden dos) (Este resultado es un vector)
(2.60)
(2.61)
2.6.2 Doble producto cruz de dos tensores El producto doble cruz entre dos tensores de órdenes igual o mayor que dos puede definirse efectuando el producto cruz en dos ocasiones sucesivas. Así:
= ×× =
(2.62)
El resultado es un tensor de orden dos, cuyo primer subíndice es , y el segundo es . Todos los demás subíndices son espurios en el lado derecho de la ecuación 2.62.
2.6.3 Producto cruz-punto y producto punto-cruz Se considera primero la operación indicada por el símbolo superior, y en seguida la indicada por el símbolo inferior. Así:
= ×∙ = = ×∙ = .
este resultado es un vector. El único subíndice libre es Civita.
(2.63) , que es el tercer índice del tensor de Levi-
(2.64)
este es otro vector, en general distinto al obtenido en 2.63. Nuevamente, en 2.64 el único subíndice libre es No hay ninguna limitación para definir más productos triples, cuádruples, etcétera. El objeto de haber hecho las definiciones de productos anteriores (que pueden ser diferentes a como han sido definidas por otros autores) es poder operar cómodamente con estas cantidades al tratar de resolver algún problema de la ingeniería o la técnica modernas. Ahora bien, es muy común que en un mismo término haya varios productos cruz, punto, externos, etcétera, de modo que el resultado puede resultar a primera vista tan complicado, que al final de muchos libros de texto sobre mecánica, cálculo, física básica, se da una lista de identidades que pueden ser útiles en la resolución de algún ejercicio. Por lo general esas identidades son imposibles de recordar, pero por fortuna pueden derivarse muy fácilmente y no es preciso recordarlas de memoria. En muchas de ellas aparecen varios productos cruz; cuando esto ocurre, se implica el producto del tensor de Levi-Civita por sí mismo. Como todos los componentes de este tensor son 1, -1 y 0, es plausible pensar que el producto del tensor de LeviCivita por sí mismo pueda expresarse en términos de productos de deltas de Kronecker. El siguiente teorema indica cómo puede hacerse esto. La demostración puede hallarse en los textos sobre tensores cartesianos, o puede hacerse por fuerza bruta, comprobando que ambos lados de la ecuación (en realidad es una identidad) 2.65 son iguales para las 3 6 = 729 combinaciones de valores de los seis índices, cada uno tomando valores de uno a tres.
TEOREMA: ijk lmn
il jm kn im jn kl in jl km il jn km in jm kl im jl kn
Corolario 1:
2 − × − × −
Corolario 2:
(2.65)
(2.66)
(2.67)
El corolario 1 es particularmente útil en la determinación, o bien en la comprobación, de dichas identidades. Por ejemplo, para el producto
se procede como sigue. Primero se
reescribe el término en notación indicial, aparecerá el tensor de Levi -Civita por sí mismo; al aplicar el corolario 1 del teorema anterior, se sustituirán dichos tensores por productos de deltas de Kronecker, las cuales a su vez son eliminadas igualando subíndices en los términos. Finalmente el resultado puede escribirse en notación clásica. Se habrá obtenido una de las identidades más conocidas del álgebra vectorial.
− ×− ×−≡− × ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ − ∙−− − ∙− − − ×− ×−≡ − ∙ −− − ∙ − −
(2.68)
Así, se llega a que:
(2.69)
En el lado derecho de 2.69, aunque aparecen más productos (dos productos punto, y dos productos de escalares por vectores), éstos son mucho más simples que los dos productos cruz del lado izquierdo de la identidad. Otro ejemplo es el siguiente producto múltiple cuyo resultado es un escalar. El lector debe poder seguir el desarrollo con facilidad.
a b c d ijk aib j lmk cl d m ( il jm im jl )aib j cl d m al b j cl d j ambl cl d m
(2.70)
a c b d a d b c Más adelante se derivarán más identidades, involucrado a tensores de órdenes superiores, que por lo general no aparecen en los apéndices de los libros de texto. Este libro no es la excepción, y en el Apéndice 2 pueden encontrarse algunas identidades vectoriales.
2.7 Operaciones diferenciales sobre tensores En este libro las propiedades mecánicas, termodinámicas y de otra naturaleza se suponen funciones tensoriales continuas en el espacio, en la materia, y en el tiempo; es decir, como funciones tensoriales continuas de variable vectorial. Como se verá en el siguiente capítulo, pueden elegirse coordenadas espaciales como variables independientes, pero igualmente pueden elegirse coordenadas materiales . Matemáticamente no hay ninguna diferencia, aunque físicamente las coordenadas espaciales identifican puntos en el espacio tridimensional, en tanto que las coordenadas materiales identifican partículas de un cuerpo. El tiempo es una variable adicional a las tres dimensiones espaciales (o materiales), y las derivadas parciales respecto a éste son de interés primordial.
, ,, ,
En ciertas situaciones ideales, puede ignorarse el tiempo como variable; dicho de otra manera, ninguna de las propiedades cambian con el tiempo (aunque sí cambien con respecto al espacio o la posición material). En este caso de habla de un “régimen permanente”, caracterizado porque las derivadas parciales con respecto al tiempo de todas las propiedades (dejando fija la posición en que se miden), son nulas. Por supuesto, ningún régimen puede ser permanente por siempre, pero en períodos relativamente breves, esta suposición es bien aplicable y sumamente útil en la resolución de algunos problemas. Así, en un “régimen permanente”, para toda propiedad :
0
(2.71)
Las derivadas con respecto a las coordenadas espaciales (o materiales) de las componentes de un tensor muy frecuentemente se expresan con el llamado “operador nabla” que es un operador diferencial de primer orden tensorial, se define a continuación y se representa en notación clásica por , contribuyendo con un valor de +1 al orden tensorial del término en donde el operador aparezca. Con el operador nabla se expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional, el lapalaciano, el operador biarmónico, entre otros, que son básicos en la modelación matemática de la mecánica de medios continuos.
∇
2.7.1 El operador “nabla”
∇
Para un marco cartesiano, el operador nabla (espacial, u euleriano), representado universalmente por el símbolo , se define como:
∇ ∇
(2.72)
en tanto que el operador nabla material (o “lagrangiano”) se define análogamente como: (2.73)
2.7.2 Gradiente de una función tensorial
Al resultado de aplicar directamente el operador nabla a una función tensorial de orden , produce una nueva función tensorial, un orden mayor ( + 1 ) llamada “gradiente de la función”. Para una función escalar de variable vectorial, por ejemplo
∇ , ,
∇
, , ;
(2.74)
es el “gradiente espacial” de la función escalar y es una función vectorial. Nótese que el operador sólo involucra derivadas parciales con respecto a las coordenadas (o variables) espaciales, pero no involucra derivadas parciales con respecto al tiempo. Ahora bien, f tiene una interpretación geométrica interesante:
, , ; , , ;
1. Es un vector normal (en cada punto) a la superficie 2. Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función . 3. Su magnitud depende de cuán rápidamente crezca en esa dirección. Obsérvese además que, como por hipótesis
f d x
es una función continua:
f f f dx1 dx2 dx3 df x1 x2 x3
(2.75)
es una forma diferencial exacta, que indica el cambio infinitesimal en el valor de la función que se presenta cuando hay un cambio infinitesimal en la variable espacial. La ecuación 2.75 puede generalizarse para funciones tensoriales de orden superior. Propiedades: a)
f f ;
b)
f g fg ; la operación no es asociativa.
c)
f g f g ; la operación sí es distributiva con respecto a la suma de
la operación no es conmutativa.
funciones.
− − , , ; ∇ − − − , , ;
Para una función vectorial
, su gradiente será la función tensorial de
segundo orden siguiente:
Si por ejemplo
(2.76)
representase el campo euleriano de la velocidad en un
flujo, el gradiente de la velocidad será el tensor expresado en 2.76, que en notación matricial se escribe correctamente como:
∇ − (
)
(2.77)
No hay que perder de vista que en 2.76 y en 2.77 el primer índice es , que indica el número del renglón, y el segundo es , que indica el número de columna en que debe colocarse el componente dentro de la matriz, de acuerdo con una convención universalmente empleada. En varios textos se ha escrito erróneamente en lugar del gradiente de velocidad su transpuesta, por no cuidar dicha convención. La transpuesta de una matriz es la nueva matriz que se obtiene al intercambiar sus renglones por sus columnas.
=
El gradiente del esfuerzo , que es una función tensorial de orden dos, es la función tensorial de orden tres siguiente:
∇ =
(2.78)
En 2.78, el primer índice es , el segundo es , y el tercero es . Esto debe cuidarse si se quiere escribir correctamente el gradiente del esfuerzo en forma matricial.
2.7.3 Divergencia de una función tensorial La divergencia de una función de orden tensorial igual o mayor que uno se define como el operador nabla operando con un punto. El resultado es una nueva función tensorial un orden menor.
− − , , ; ∇ ∙ − = = , , ; ∇ ∙ =
La divergencia de la función vectorial
es entonces:
(2.79)
que es una función escalar.
La divergencia de la función tensorial
que es una función vectorial.
Propiedades: a) v v
la operación no es conmutativa
es : (2.80)
b) f v f v ; la operación no es asociativa c)
v w v w la operación sí es distributiva para la suma de funciones
2.7.4 Rotacional de una función tensorial El rotacional de una función tensorial de orden igual o mayor que uno se define aplicando el operador nabla seguido de un producto cruz. El resultado es una nueva función del mismo orden tensorial. Por ejemplo, el rotacional de la función vectorial es:
, , ; − −
Propiedades:
∇ × −
(2.81)
a) v v b) f v f v c)
v w v w
, , ; = = ∇ × = = ∇ ∇ ∇ ∙ ∇ − ∇ −
El rotacional de la función tensorial
es:
(2.82)
que es un tensor de orden dos, al igual que .
2.7.5 Laplaciano de una función tensorial
El operador laplaciano, denotado por , de una función tensorial de cualquier orden, es la divergencia del gradiente de esa función. El resultado es una nueva función del mismo orden tensorial. Así, el laplaciano de una función escalar es:
El laplaciano de una función vectorial
es la nueva función vectorial dada por:
etcétera.
(2.83)
(2.84)
2.7.6 El operador biarmónico.- El operador biarmónico es representado en notación clásica
por , y es el laplaciano del laplaciano. Al operar sobre una función tensorial de orden , produce una nueva función del mismo orden tensorial. Así, para una función escalar :
∇
(2.85)
En tanto que, para una función vectorial :
∇ −
etcétera.
(2.86)
2. 8 Algunas identidades útiles en productos tensoriales En la modelación de los fenómenos de la mecánica surgen algunas expresiones que involucran productos de vectores y de tensores que pueden ser reescritos de una manera alternativa, generalmente empleando identidades, para su mejor manejo. La derivación de esas relaciones o identidades se puede encontrar en la mayoría de los libros sobre el análisis vectorial o tensorial que se pistan en la bibliografía general de este libro, pero también pueden ser obtenidas fácilmente a partir de las definiciones de los productos, y del corolario 1 del teorema enunciado en 2.65. Ejemplo 1.- Derivar una expresión alternativa para el rotacional del rotacional de una función vectorial, en donde no aparezca el producto cruz. Solución: Escribiendo en notación indicial al rotacional del rotacional de la función vectorial
−
,
aparece el tensor de Levi-Civita en dos ocasiones como factor, con el índice en común en ambos:
( v) lkm
ijk v j xl xi
lkm ijk
v j v j mlk ijk xl xi xl xi
( mi lj
2 v j mj li ) x x l i
2 v j
2 vm x j xm xi xi xm Así:
(2.87)
v j 2 vm ( v) 2 v x x x i i j
∇×∇×− ≡ ∇ ∇∙− ∇ −
(2.88)
De acuerdo con 2.88, el rotacional del rotacional es idéntico al gradiente de la divergencia, menos el laplaciano de la función. Esta identidad casi siempre aparece en los apéndices de los libros de texto sobre mecánica. Ejemplo 2.- El “doble producto cruz entre tres vectores”, ya escrito anteriormente, puede desarrollarse como sigue:
vk
v
(a b) c ( ijk ai b j ) ch
khm ( ijk ai b j )ch ( khm ijk )ai b j ch ( hmk ijk )ai b j ch
(2.89)
( hi mj hj mi )ai b j ch
ai bm ci
qu itan do
hi mj
am b j c j
si h i si m j
(a b) c (a c)b (b c)a
(2.90)
Ejemplo 3.- Probar la siguiente identidad:
∇×− ×− ≡ ∇∙− − − ∙∇ − − ∙∇− ∇∙− −
(2.91)
Prueba: Basta con reescribir el término del miembro izquierdo de 2.91 en notación indicial y proceder hacia adelante:
a b mkn
ijk aib j xm
b j ai nmk ijk ai b j x x j m b j ai ni mj nj mi ai b j x x m m b a b a an m n b j ai n m bn xm x j xi xm
(2.92)
ba b a a b a b Nótese que en el desarrollo, en el segundo paso se tomó que:
≡ ≡
(2.93)
Esto se justifica en primer lugar porque el tensor no depende de (de hecho, es un tensor isótropo, es decir, sus componentes son invariantes ante cambios en el marco de referencia, como se verá más adelante), y en segundo lugar, por la bien conocida propiedad de diferenciación del producto de dos funciones escalares. Tan pronto los subíndices y toman un valor entre uno y tres, las funciones y pueden tratarse como funciones escalares. Esto se puede aplicar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.- Desarrollar una expresión alternativa para el término
∇
∇∙ = ∙−
Solución: Primeramente nótese que el término es una función escalar (en el paréntesis aparece el producto externo de la función escalar , que multiplica al producto punto de la función tensorial por la función vectorial ). El símbolo vale por +1 en el orden tensorial del término, aparecen
=
−
tres rayitas debajo de los factores, cada rayita contribuye con +1 al orden tensorial. Asimismo, aparecen dos puntos entre los factores, cada punto contribuye con -2 al orden tensorial, de modo que el término es un tensor de orden 1 + 3 - 4 = 0 , es decir, es un escalar. Por lo tanto, en la notación indicial del término no debe aparecer ningún subíndice libre. Reescribiendo el término en notación indicial y desarrollando, se tiene que:
∇∙ = ∙− ≡ ≡ ≡ = : ∇ − ∇∙=∙− ∇∙= ∙ − = ∇− = = −
(2.94)
Nótese en el primer término del miembro derecho de la identidad el doble producto punto (producto escalar) entre los tensores (el tensor transpuesto de , que se obtiene al intercambiar sus índices, es decir
) y
. El segundo término del lado
derecho es el producto de la función escalar por el producto punto entre la divergencia de y el vector . El tercer término del lado derecho es el producto punto entre dos vectores: el gradiente
=
−
de la función escalar por el producto punto entre el tensor y el vector . Todos los términos en 2.94 son escalares, como se había anticipado.
Ejemplo 5.- Desarrollar una expresión alternativa para la divergencia del rotacional del producto cruz de dos vectores. Solución: La divergencia del rotacional del producto cruz de dos vectores puede escribirse en notación indicial y desarrollarse como sigue:
a b
ijk aib j mkn xn xm
b j ai nmk ijk ai x x b j xn m m
ni mj nj mi
b j ai ai b j xn xm xm
2b j b a ai b j 2 ai ni mj nj mi ai b j j i xn xm xn xm xn xm xn xm 2bm an bm 2 an bm an 2bm am bn 2 am b a an bm am bn n m xn xm xn xm xn xm xn xm xn xm xn xm xn xm xn xm a b a b b a b : a
a b a : b b a b a
≡0
Así:
(2.95)
∇∙ ∇×− ×− ≡ 0
En general, la divergencia del rotacional de una función tensorial de orden igual o superior a uno es siempre nulo. Esta es una identidad que también aparece con frecuencia en los apéndices de los libros de texto. Es un buen ejercicio para el lector el probar las identidades que encuentre en un apéndice de algún buen libro sobre mecánica de fluidos, resistencia de materiales, o de cálculo vectorial. Para comenzar, puede probar las identidades del Apéndice 2 de este libro. Pero es mejor aún mejor el inventarse productos múltiples entre tensores de diversos órdenes, y encontrar expresiones alternativas para éstos.
2.9 Simetría y antisimetría de tensores Definición 1.- Se dice que un tensor es “simétrico” (con respecto a dos de sus índices libres), si al intercambiarlos dos de sus índices, el tensor no se altera. Por ejemplo, para un tensor de segundo orden, si
, o en notación clásica
= =
,
entonces es “simétrico”. Sólo tendrá seis componentes independientes, en lugar de los nueve componentes independientes que normalmente tiene un tensor de segundo orden. Si
, entonces el tensor de orden tres T es simétrico con respecto a su segundo y
tercer subíndices. Solamente tendrá 18 componentes independientes, en lugar de los 27 componentes independientes de los tensores de tercer orden no simétricos. Obviamente, mientras mayor sea el orden del tensor, más posibilidades de simetría puede tener.
Definición 2.- Se dice que un tensor es “antisimétrico” (con respecto a dos de sus índices libres), si al intercambiarlos dos de sus índices, el tensor cambia de signo. Por ejemplo, para un tensor de orden dos, si
, entonces A es “antisimétrico”
A AT y tendrá sólo 3 componentes independientes. Si
, entonces el tensor de orden tres T es antisimétrico con respecto a su
segundo y tercer subíndices, y sólo tendrá 9 componentes independientes.
2.9.1 Descomposición de un tensor en sus partes simétrica y antisimétrica Todo tensor de orden mayor o igual a dos puede escribirse como la suma de un tensor simétrico más uno antisimétrico. Por ejemplo, para un tensor de s egundo orden:
T ij
1
T ij T ji 1 T ij T ji
2 SIMÉTRICA
2
(2.96)
ANTISIMÉTR ICA
Claramente el primer término del miembro derecho de 2.96 es un tensor simétrico, en tanto que el segundo término es antisimétrico. Análogamente se puede proceder para descomponer tensores de órdenes más altos en sus partes simétrica y antisimétrica.
Ejemplo: Descomponer el tensor
Solución:
1 2 3 = 47 58 69
en sus partes simétrica y antisimétrica.
= 147 258 369 12 147 258 369123 456 789 12 147 258 369123 456 789 135 357 579 012 011 102 (2.97)
2. 10 Valores, vectores y direcciones principales de un tensor de orden dos. Definición: Si T v v
,
v 0
(2.98)
se dice que es un “valor característico” ( o “propio”, “principal”, o “eingenvalor”) de T y que
v es un “vector característico” de T . TEOREMA: Si
v es un vector característico, entonces c v , también lo es.
v un vector característico, T v v , donde es el valor característico asociado a la dirección de v . Ahora, desarrollando el producto punto entre y Demostración:
=
Sea
−
se tiene que:
T cv T ij cv j c T ij v j c vi
(2.99)
cvi cv
(c v ) también satisface la definición de vector característico. ˆ
Así pues, todos los vectores paralelos a un vector principal también los son, y se dice que apuntan en una “dirección principal”, que queda bien definida cuando se conozca cualquiera de esos vectores. Por comodidad por lo general se elige un vector principal unitario. Para cada valor principal hay asociada una dirección principal; para dos valores principales diferentes, las direcciones principales correspondientes resultan ser perpendiculares, como se verá adelante. Queda ahora el problema de, conocidos los componentes de un tensor en un determinado marco de referencia, determinar sus valores y sus direcciones principales relativas a dicho marco. Por su utilidad en el análisis de esfuerzos y deformaciones, que se modelan con tensores de orden dos, este problema se trata a continuación.
2.10.1 Determinación de los valores y direcciones principales de un tensor de orden dos Se supone que se conocen los nueve componentes de un tensor de orden dos definición de valores y vectores principales se tiene que:
T v v
en donde
− 0
.
, o en notación indicial:
=
. Por la
(2.100)
La ecuación 2.100 se puede escribir como:
0 0 00 0 , o mejor como:
(2.101)
Esta ecuación tensorial de orden uno es equivalente al sistema de tres ecuaciones escalares con tres incógnitas ( , y ) y el parámetro , que se obtiene cuando los subíndices toman valores de uno a tres:
(2.102)
Si por ejemplo se aplica la conocida “regla de Kramer” para tratar de resolver para la variable se obtiene que:
T 12
T 13 T 23 0 T 22 T 32 T 33 0 0 v1 T 11 T 12 T 13 D T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 0
(2.103)
en donde es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales 2.102. Del mismo modo, al resolver para y se obtiene que:
y
Como por hipótesis
− 0 0 =
(2.104)
, la única posibilidad para esto es que el determinante de la matriz
de coeficientes sea nulo, es decir que:
(2.105)
La ecuación 2.105, que es una ecuación escalar de tercer grado con la incógnita , es llamada la “ecuación característica” del tensor . De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, la ecuación 2.105 tiene tres raíces, que son los valores principales del tensor. Una vez conocidos estos valores principales, los vectores principales asociados a cada uno de estos valores pueden ser determinados al sustituir en el sistema de ecuaciones 2.102. En la ecuación 2.100 se observa que los valores principales deben tener las mismas dimensiones que el tensor. Por conveniencia se acostumbra ordenar (cuando sean todos reales) los valores principales de mayor a menor, de modo que .
≥ ≥
Si el tensor
=
=
es simétrico con componentes reales, puede demostrarse que sus tres valores
principales serán reales. Si
no es simétrico, dos valores principales serán complejos conjugados
y sólo habrá un valor principal real. El siguiente teorema permite escribir la ecuación característica sin necesidad de desarrollar el determinante . TEOREMA: La ecuación característica del tensor 3
2
I II III 0
=
puede expresarse como:
, = =
(2.106)
en donde son los “invariantes fundamentales” del tensor. Se les llama así porque son invariantes a los cambios de marco de referencia, y se describen en seguida. Obsérvese la alternancia en signos en los términos de la ecuación 2.106.
El primer invariante fundamental, y tiene sus mismas dimensiones. Si
(2.107)
es llamado la “traza” del tensor se representa en notación matricial, su traza es la suma de
los componentes de la diagonal principal. El segundo invariante es la mitad de la suma del cuadrado de la traza, menos la suma de los cuadrados de sus nueve componentes, y sus dimensiones son las del tensor elevadas al cuadrado. El tercer invariante es el determinante del tensor. Sus dimensiones son las mismas del tensor, pero elevadas al cubo.
Ejercicio de ejemplo.- Hallar los valores y vectores principales unitarios del tensor:
= 120 210 001 3111 13 1 4411 11 022 0 3 3 30 3 1 1 MPa
(2.108)
Solución: Los invariantes fundamentales tienen los siguientes valores:
Sustituyendo en la ecuación 2.106 se obtiene la ecuación característica cuyas raíces son , , y , que son los tres valores principales del tensor. Note que la traza del tensor es igual a la suma de los valores principales. Esto es así porque al cambiar a un marco principal, los valores principales aparecen en la diagonal principal, y los demás componentes (los que quedan fuera de esta diagonal) son nulos. La suma de los valores principales de un tensor es siempre el valor de su primer invariante principal.
Para obtener los vectores principales se sustituye cada valor principal en el sistema 2.102, que se vuelve a escribir en seguida. En este sistema sólo dos ecuaciones son independientes, una de ellas es una combinación lineal de estas dos, por lo que existe una infinidad de soluciones, cada una corresponde a un vector en la misma dirección principal.
T 11 v1
T 22 v2
T 21v1 T 31v1
T 12v2
T 13v3 T 23v3
T 33 v3
T 22v2
0v3
0
2v2
0v3
0
0 0 0
(2.102)
Para 3 MPa:
1v1 2v1
0v1
2v2
2v3
0v2
v2 v1 , v3 0
(2.109)
0
Así, cualquier vector cuyos primeros dos componentes sean iguales, y el tercero sea nulo, será un vector principal. Por ejemplo, el vector (10, 10, 0) satisface la definición de vector principal (asociado al valor principal 3 MPa), como se comprueba abajo:
3 12 21 00 MPa 1010 3 1010 3030 001 0 0 0 −∧′ ± √ 1 , 1 , 0
T v v , con
:
(2.110)
El vector unitario en la dirección principal correspondiente a 3 MPa es cualesquiera de:
(2.111)
Para 1 MPa: 0v1
2v2
0v3
0
2v1
0v2
0v3
0
0v1
0v2
0v3
0
v2 v1 0 ;
± 1
Un vector unitario en la dirección correspondiente a 1 MPa es cualesquiera de los dos vectores siguientes:
−∧′ ± 0 , 0 , 1
(2.112)
Nótese que estos dos vectores unitarios son perpendiculares entre sí. Un tercer vector unitario, ortogonal a los dos anteriores, puede obtenerse del producto cruz entre ellos, así, tomando los vectores unitarios con signo positivo:
∧−′ −∧′ × −∧′ √ 1 , 1, 0
(2.113)
1 −∧′ −∧′ −∧′ = 3 0 0 = 00 01 01
Por supuesto que este sería uno de los dos vectores unitarios que se obtendrían al sustituir el tercer valor principal, , en el sistema de ecuaciones 2.102. Se deja al lector comprobar lo anterior. Los vectores
,
y
forman una base de vectores unitarios para un marco de referencia
principal, con respecto al cual el tensor
tiene los siguientes componentes, lo cual puede ser
fácilmente comprobado empleando las ecuaciones de transformación dadas en 2.21 y en 2.22:
(2.114)
que es mucho más cómodo para manejar que con los componentes referidos al marco original, no principal, dados en 2.108. Puede comprobarse que los invariantes fundamentales siguen teniendo los mismos valores obtenidos para sustituir en la ecuación característica:
3 00 3 3 9311 1 310
y
El siguiente ejercicio ayuda a entender mejor la transformación de componentes de un tensor.
Ejercicio.- Comprobar que los componentes del tensor del ejercicio anterior con respecto a un marco de referencia principal son los mostrados en 2.114. Solución: Simplemente hay que aplicar las ecuaciones de transformación para componentes de tensores de orden dos, dadas en 2.21 y 2.22. Recuérdese que en las ecuaciones de transformación de los componentes de tensores cartesianos, es el coseno del ángulo que forman el eje y el eje ; así es un tensor de segundo orden, cuyos nueve componentes son los cosenos de los nueve ángulos (menores o iguales a 180°) que se forman entre los ejes coordenados de ambos marcos de referencia. De la definición del producto punto entre dos vectores es fácil ver que: que
′
cos −∧′ ∙ −∧ −∧ 1 , 0 , 0 −∧ 0 , 1 , 0∧ ′ −∧√ 0 , 0 , 1 ∧ ′ 1 , 1 , 0 0 , 0 , 1 − − −∧′ √ 1 ,1 , 0
en donde
;
las direcciones del marco original, y
(2.115)
;
son los vectores unitarios en ;
y
son los vectores unitarios en las direcciones y sentidos positivo de los
ejes principales.
De este modo:
−∧′′ ∙ −∧ √ −∧′′ ∙ −∧ √ −′∧′ ∙ −∧ 0 −∧′ ′∙ −∧ 0 −∧ ′∙ −∧ 0 −∧ ∙ −∧ 1 −∧ ∙ −∧ √ −∧ ∙ −∧ √ −∧ ∙ −∧ 0 ;
;
;
;
;
;
;
;
Sustituyendo en la primera ecuación de transformación de 2.22 se tiene que:
′ √ 00 √ √ 2 √ √ 1 √ √ √ 100 √ √ 0 2 √ √ 00 00 01 1 2 0 2 1 00003 = ′ 0 ′ 0 ; ′ 0 ′ 1 ′ 0 ′ 0 ′ 0 ′ 1
( 2.116)
Este es justo el primer valor principal del tensor
. Sustituyendo valores en las siguientes ocho
ecuaciones de 2.22 se encuentra que: ;
;
;
;
;
;
2.11 Tensores isótropos Un tensor es isótropo si todos sus componentes son invariantes ante todo cambio en el marco de referencia. Al cambiar las direcciones del marco, los componentes del tensor siguen siendo los mismos, es decir, no existen direcciones preferenciales. Todas las propiedades escalares, por ejemplo la temperatura y las demás propiedades termodinámicas, tienen un solo componente, que no cambia cualquiera que sea el marco de referencia. Por principio, todos los escalares son isótropos. En contraste, ningún vector -excepto el neutro aditivo cuyos componentes son todos nulos- es isótropo, ya que al menos uno de sus componentes no nulo cambiará al rotar el marco de referencia que se utilice. Es una condición necesaria y suficiente para que un tensor de segundo orden sea isótropo el que éste sea un múltiplo de la delta de Kronecker. Análogamente, es una condición necesaria y suficiente para que un tensor de tercer orden sea isótropo el ser un múltiplo
del tensor de Levi-Civita. Hasta el tercer orden, los tensores isótropos sólo tienen un componente independiente. Sin embargo, para tensores de cuarto orden y mayores se implican más posibilidades en sus componentes. Por ejemplo, la forma más general de un tensor isótropo de cuarto orden es la siguiente:
en donde
,,
(2.117)
son escalares arbitrarios.
Los tensores isótropos de órdenes más altos no serán empleados en este libro, por lo que aquí no son discutidos. En resumen, los tensores isótropos tienen las formas siguientes dadas en la tabla 2.3.
Tabla 2.3 Tensores cartesiandos isótropos de órdenes uno, dos, tres y cuatro ORDEN DE LOS TENSORES
TENSORES ISÓTROPOS
Orden cero o escalares
Todos los escalares son isótropos
Orden uno o vectores
Ninguno es isótropo, excepto el vector 0 =(0,0,0)
Orden dos o diadas
Son de la forma
, en donde c es un escalar
Orden tres o triadas
Son de la forma
, en donde c es un escalar
Orden cuatro
Son de la forma
2.11.1 Descomposición de un tensor de orden dos en su parte isótropa y su parte “extra” Como la traza es un invariante de un tensor de orden dos, y un tensor isótropo de este orden debe ser un múltiplo de la delta de Kronecker, se puede descomponer cualesquier tensor de segundo orden en una parte isótropa y un resto al que se le llama “parte extra” de la siguiente manera:
(2.118)
2.12 Teoremas integrales Los siguientes teoremas integrales serán muy utilizados en este libro, sobre todo el primero de ellos, debido al genio de Gauss.
2.12.1 El Teorema de la Divergencia, o Teorema de Gauss
… … ; ∬ … ∭ … ∧ − ∬ −∧ ∙ ≡⋮ ∭ ∇∙≡⋮ ∧ ; ∬ − ∭ ∇ ∬ −∧ ∙ − ∭ ∇∙ −
Sea variable vectorial. Entonces:
una función continua de cualesquier orden tensorial de
(2.119)
En 2.119 la integral del lado izquierdo de la ecuación se efectúa sobre una superficie de control SC que encierra completamente al volumen de control (arbitrario) VC . Nótese que el subíndice del vector debe ser el mismo subíndice de la variable espacial . En cada elemento dS de la superficie de control,
es un vector normal a éste, dirigido hacia
afuera de la superficie. En notación clásica, 2.119 se escribe como:
(2.120)
Este teorema es aplicable a funciones tensoriales continuas de cualquier orden. Para el caso de una función escalar , 2.119 se reduce a:
(2.121)
y para una función vectorial
(2.122)
2.12.2 El Teorema de Stokes Este teorema relaciona una integral sobre una línea cerrada con una integral sobre un área arbitraria pero limitada por esta curva.
∮ ∬
----
(2.123)
Ejercicios 2.1 Mostrar que: a) b) c) d)
e) f)
= ∙−×= ∙−×− ≡− ∙= ∙−= ∙−− ∙= ∙−= ∙− ∇∙ ∇≡ ∇∇∙∇ ∇∙ = ∙−≡ ∇∙=∙− = : ∇− = ∶ ΩΩ= ≡0 Ω Ω == = ××. = ≡ = = =: = = × ̇ =∙ = ×∙ = ≡ = ∙=:= ∙== ∙=: = ∙= Si
es simétrico y
es antisimétrico, es decir ,
y
2.2 Hallar los valores principales de la parte simétrica del siguiente tensor:
7 4 2 = 22 277 71
2.3 Un campo de temperaturas está dado, en coordenadas esféricas, por:
,, / cos
Escribir el gradiente de en el origen del sistema coordenado.
, entonces:
3. CINEMÁTICA DE MEDIOS CONTINUOS INTRODUCCIÓN La cinemática es la parte de la mecánica que estudia la geometría del movimiento. Aquí se tratan trayectorias, campos de velocidad, aceleraciones, líneas de flujos, pero no los esfuerzos ni las diversas fuerzas que los ocasionan. Ahora bien, se ha mencionado que un medio continuo es un objeto físico hipotético en el cual se desestima su estructura a nivel atómico o molecular y en el cual se considera que la materia está continuamente distribuida sobre la totalidad del objeto. Por lo tanto, un medio continuo puede ser descrito como un conjunto de partículas interconectadas de forma tal, que cada una de éstas es descrita por su posición espacial. En este punto hay que hacer notar que existe una función biunívoca entre las partículas del medio continuo con la posición que éstas ocupan en el espacio en un instante determinado y que, tan pronto como se define un marco de referencia, la función relaciona las partículas del cuerpo con los vectores de posición que éstas ocupan. Es razonable suponer que es imposible que más de una partícula ocupe el mismo lugar en el espacio al mismo tiempo, o que una partícula esté en dos posiciones diferentes en el mismo instante. Es entonces que para cualquier instante , la posición de cualquier partícula de un medio continuo y la configuración de éste son biunívocamente determinadas. Una partícula de un medio continuo cuya posición es referida a un punto geométrico se describe también como un “punto material”; una “curva material” será un conjunto continuo de partículas que forman esa línea. Asimismo, una superficie material estará constituida siempre por las mismas partículas, y se moverá en el espacio con éstas. Un segmento material de longitud infinitesimal se denomina “segmento material elemental”. Un cuerpo material ocupa una posición en el espacio tridimensional y será parte total o parcial de un medio continuo.
Es conveniente mencionar ahora que cuando la descripción de las propiedades (mecánicas, termodinámicas, etc.) de un cuerpo se realiza con base en las partículas, ésta se conoce como descripción material o “lagrangiana”, mientras que cuando la descripción se basa en puntos en el espacio, se refiere entonces a una descripción espacial u “euleriana”. Por regla general, en la mecánica de sólidos es más conveniente la descripción material, puesto que las partículas están bien localizadas, mientras que en la mecánica de fluidos es más adecuada la descripción espacial, por la inconveniencia de seguir a las partículas en un flujo continuo. En este caso, en la descripción se acostumbra emplear las “líneas de flujo”, a saber: las trayectorias de las partículas (en general cada partícula tiene su propia trayectoria), las líneas de corriente (que son líneas instantáneas que involucran a una infinidad de partículas, siendo la velocidad tangente a estas líneas en cada uno de sus puntos), y las líneas de emisión, que son líneas materiales de partículas que han pasado por un mismo punto en su movimiento, como se trata más adelante.
Este capítulo se cierra con el enunciado del Teorema del Transporte de Reynolds, que permite relacionar la derivada lagrangiana con respecto al tiempo -es decir, siguiendo a las partículas de un cuerpo- de cualquier propiedad extensiva contenida en éste, con integrales sobre el volumen que dicho cuerpo ocupa en el espacio, en cuyos integrandos aparecen sólo términos eulerianos, es decir, funciones evaluadas en puntos del espacio. Su aplicación directa permite transformar ecuaciones de balance instantáneo sobre masas de control (los cuerpos), con las correspondientes ecuaciones de balance instantáneo sobre volúmenes de control.
3.1 Conceptos generales de la cinemática del medio continuo La descripción del movimiento de un medio continuo es mucho más compleja que lo que corresponde a una partícula o a un conjunto discreto de ellas. En la cinemática de partículas, la trayectoria es descrita por una función vectorial 6 dependiente del tiempo:
̂
(3.1)
sin embargo, un medio continuo está formado por un número infinito de partículas, cada una con su propia trayectoria, velocidad, aceleración, etcétera. Esto evidentemente complica el estudio de su movimiento. Ahora bien, se acostumbra definir a un “cuerpo” como un conjunto (continuo o discreto) de partículas. Es este libro sólo se considerarán cuerpos continuos, es decir, constituidos por un medio continuo, sin importar si éste es gaseoso, líquido, sólido, plástico, viscoelástico, etcétera. Tan pronto como se establece un marco de referencia, queda determinada una función biyectiva -es decir que a cada elemento de su dominio le corresponde un único elemento de su contradominio y viceversa- cuya inversa es la función . Cualquiera de estas dos funciones (que obviamente contienen la misma información) es llamada la “configuración del cuerpo” porque definen la posición de todas y cada una de sus partículas en el instante considerado. Éstas son:
− , − , − ó í − −, , í −
6
(3.2)
(3.3)
No perder de vista que toda función es esencialmente un conjunto de pares ordenados en los que a cada primer elemento le corresponde un único segundo elemento, es decir, no puede contener a dos pares distintos con el mismo primer elemento. La naturaleza de estos elementos puede ser absolutamente diversa: personas, números reales, partículas de un cuerpo, etcétera. La ecuación 3.1 define una regla de correspondencia para determinar la posición de una determinada partícula como función del tiempo. En este caso se tiene una función vectorial (el vector de posición de la partícula) de variable escalar (el tiempo ). La “inversa” de una función es el conjunto de sus pares ordenados en los que se invierte el orden de éstos. Para que una función tenga una función inversa, se requiere que ésta sea biunívoca, es decir, no debe tener dos pares distintos con el mismo segundo elemento.
Estas funciones se pueden representar de forma más concisa por sus reglas de correspondencia:
−
,
y
− −
(3.4)
Al considerar que la configuración del cuerpo cambia con el tiempo, se define la familia de configuraciones -con el parámetro , que distingue a cada miembro de la familia de sus demás parientes- llamada “movimiento del cuerpo”. Se le llama así porque permite conocer, en cada instante , la posición (y la velocidad, aceleración, etcétera) de cada partícula del cuerpo.
De este modo, el movimiento del cuerpo queda definido por cualquiera de las funciones:
− ; − ; − − ; − ; 0
(3.5)
(3.6)
Cuando (frecuentemente ), se tiene una “configuración de referencia” en donde cada partícula tiene un vector de posición al que se le llama “vector material de posición”, cuyos componentes son las llamadas “coordenadas materiales” de la partícula. Así, las coordenadas materiales de una partícula son las coordenadas espaciales de su posición en la configuración de referencia, y la identifican en cualquier instante posterior. Se representarán por , y . Así:
− − , , , , − , , , ,
es un “vector espacial” que identifica a un punto en el espacio; son “coordenadas espaciales”.
(3.7)
es un “vector material” que identifica a una partícula de un cuerpo; son “coordenadas materiales.”
(3.8)
Lo anterior porque, como ya se mencionó anteriormente, existe una relación biunívoca entre cada una de las partículas que constituye el medio continuo y la posición que éstas ocupan en un instante determinado. Como resultado, es factible identificar a cualquier partícula del cuerpo en cualquier instante por la posición que ocupaba en un tiempo de r eferencia , es decir que:
(3.9)
En la figura 3.1 se representan dos configuraciones, una es la configuración de referencia, en el instante , cuando . La otra es una configuración arbitraria, que corresponde a un instante posterior. Así, el movimiento de un cuerpo, determinado por las ecuaciones 3.5 y 3.6, es finalmente descrito por:
− − − ;
(3.10)
− − − ;
(3.11)
Estas son funciones inversas entre sí. Esta condición se satisface si el determinante del tensor Jacobiano
no se anula en todo el espacio ocupado por el cuerpo, es decir, si:
0
(3.12)
En 3.10 las variables independientes son las coordenadas materiales (con el tiempo como parámetro), en tanto que en 3.11 las variables independientes son las coordenadas espaciales. Así, como se abundará en seguida, 3.10 es la “descripción lagrangiana” del movimiento del cuerpo, en tanto que 3.11 es la “descripción euleriana” del mismo movimiento.
>
Figura 3.1 . Dos configuraciones de un cuerpo: en azul la configuración de referencia, correspondiente a , y una configuración arbitraria correspondiente a un instante .
3.2 Descripciones euleriana y lagrangiana de las variables físicas
;
Si el movimiento o cualquier propiedad física
son expresados en la forma:
(3.13)
en donde las variables independientes son las coordenadas materiales, se dice que su formulación está descrita en forma material o “lagrangiana”.
Por otra parte, si la propiedad física se expresa en la forma:
;
(3.14)
en donde las variables independientes son las coordenadas espaciales , se dice que dicha propiedad está descrita en forma espacial u “euleriana”. Al igual que en la descripción lagrangiana, se supone que la descripción euleriana involucra una función continua; 3.13 y 3.14 deben ser funciones continuas.
=
−
En resumen de lo anterior, se pueden describir las propiedades de un medio continuo como la temperatura , el esfuerzo , la velocidad , por citar sólo algunas, como se muestran en la tabla 3.1 siguiente.
Tabla 1.1 Descripciones lagrangiana y euleriana de algunas variables físicas Descripción lagrangiana
Descripción euleriana
, , ,
, , ,
Cualquier propiedad tensorial, sin importar su orden, puede ser expresada en forma euleriana o lagrangiana. Para ambas descripciones de ha definido anteriormente el operador diferencial nabla, con el que se expresan el gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano, tanto espaciales como materiales. Ejemplo 3.1.- El hipotético movimiento de un cuerpo está descrito (lagrangianamente) por las siguientes ecuaciones:
a) b) c) d)
1 1
(3.15)
Determinar a qué instante corresponde la configuración de referencia. Calcular el determinante del tensor Jacobiano de la transformación. Escribir las ecuaciones de la descripción euleriana del mismo movimiento. Determinar la trayectoria de la partícula que en el instante ocupa el punto (2 , 1 , 0), 7 y determinar la posición de ésta en el instante (adimensional ) .
7
010
Como buena práctica en Ciencias e Ingenierías, las ecuaciones que modelan los fenómenos estudiados se adimensionalizan y, si es posible, se normalizan. Así, los términos de las ecuaciones quedan como números reales (sin requerir de unidades), que toman valores, en el caso de haberse normalizado, entre 0 y 1. De esta forma, hablando por ejemplo del tiempo , tiene sentido hablar del logaritmo del tiempo a dimensionalizado, con un valor de por ejemplo 10, pero no tiene ningún sentido el logaritmo de 1 0 segundos.
Solución:
0
a) Nótese que para , , por lo que, de acuerdo con la definición de las “coordenadas materiales”, éste es el instante en el que la conf iguración del cuerpo se toma como referencia. b) El determinante del tensor Jacobiano es:
1 0
1 00 1 > ∀ 0 1 0
(3.16)
Así, las ecuaciones son invertibles, y en términos eulerianos éstas son las siguientes:
c)
−+− −−+ − +
(3.17)
0 2 , 1 0 1 2 1 2 2 1 10 13 3 50 ∆ 100 10 − 10 , 30 ,0 d) Como la configuración de referencia corresponde a , las coordenadas materiales de la partícula de marras son . Sustituyendo en 3.15 se obtienen las ecuaciones paramétricas de su trayectoria:
(3.18)
Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana , que claramente corresponde a una recta en el plano (cuya ecuación cartesiana es ). Para cuando t = 10, la partícula ocupa el punto localizado en ( -8 , -29 , 0 ); si inicialmente (cuando t = 0) se encontraba en el punto ( 2 , 1 , 0 ), su desplazamiento en el intervalo de tiempo es .
3.3 Derivadas materiales y espaciales con respecto al tiempo Muchas de las leyes de la física se acostumbran enunciar con base en rapideces de cambio con respecto al tiempo. Así, las leyes de la mecánica y de la termodinámica se enuncian en términos de derivadas lagrangianas con respecto al tiempo, aún sin precisar el carácter material de éstas, pero en muchas aplicaciones ingenieriles lo que se requiere es su versión en términos espaciales. Para esto, en este libro se recurrirá al Teorema del Transporte de Reynolds, tratado al final del presente capítulo.
Por ejemplo, la segunda ley de Newton, que es el núcleo de toda la mecánica clásica, puede enunciarse como: “la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de su momentum, medido desde un marco inercial”. En el enunciado anterior hay que resaltar que la rapidez de cambio del momentum es en verdad la derivada lagrangiana (con respecto al tiempo) de este momentum, puesto que hay que seguir a la partícula en su movimiento. Así, esta segunda ley de Newton formalmente se modelaría con la siguiente ecuación vectorial (lagrangiana):
en donde
− −
−∙ Σ −
(3.19)
−
es el momentum de la partícula, m es su masa, y es su velocidad medida
−
desde un “marco inercial”. Note el punto sobre el vector
, que indica precisamente que éste ha
sido derivado parcialmente con respecto al tiempo , dejando fija la partícula, y todas las fuerzas, o sea la fuerza neta, que actúa sobre ésta.
Σ −
es la suma de
Se desarrolla en unas pocas líneas más adelante una relación general entre las derivadas materiales (lagrangianas) y las espaciales (eulerianas) con respecto al tiempo, que permiten reescribir la ecuación 3.19 en términos puramente eulerianos. Cuando se extienden las leyes de la física a cuerpos que contienen una infinidad de partículas, es cuando se recurrirá al Teorema del Transporte de Reynolds, que constituye una generalización de esta relación, dada en 3.27.
;
Otra manera usual de denotar la derivada material con respecto al tiempo se hace empleando el operador , de modo que cuando se tiene una descripción material del tipo , en donde es una función o variable física dependiente de cualquier orden tensorial, la derivada material se puede expresar de cualquiera de las tres formas siguientes:
∙
(3.20)
;
Si se considera la descripción euleriana de dicha propiedad, , donde son las posiciones de las partículas materiales, que cambian con el tiempo de acuerdo con la descripción lagrangiana del movimiento de un cuerpo:
; ; ; ≠
se tiene que:
(3.21) (3.22)
Así, utilizando la “regla de la cadena”, aplicable a funciones continuas con derivadas continuas: (3.23)
La velocidad es precisamente la derivada lagrangiana de la posición con respecto al tiempo, es decir:
(3.24)
al reacomodar la ecuación 3.24 en 3.23, se tiene de forma general que:
≠
(3.25)
o, en notación clásica:
. − ∙ ∇
(3.26)
En resumen, la relación entre las derivadas lagrangiana y euleriana con respecto al tiempo, está dada en el siguiente operador diferencial, al que se recurrirá con mucha frecuencia a lo largo del libro:
o en notación indicial:
− ∙ ∇
(3.27)
(3.28)
En los miembros derechos de 3.27 y 3.28 aparecen sólo términos eulerianos.
3.4 El campo de desplazamientos
El campo de los desplazamientos de las partículas en un cuerpo continuo está dado en términos materiales o espaciales por las siguientes relaciones, en las que es, por definición, la posición de una partícula en la configuración de referencia (es decir es su “posición inicial”), y es su posición en una configuración posterior. La diferencia entre estos vectores es el desplazamiento de la partícula. Así, en términos lagrangianos:
; ; ; ;
y:
(3.29)
(3.30)
Figura 3.2 . En azul se representa un cuerpo en su configuración de referencia y en verde en una configuración posterior. Se muestra el desplazamiento de una partícula del cuerpo, y se exageran los vectores infinitesimales , que corresponde a la diferencia de posiciones en la configuración de referencia entre dos partículas en la misma vecindad, y que corresponde a la diferencia en la posición entre las mismas partículas, pero ahora en la configuración posterior.
3.5 Velocidad y aceleración de una partícula Se define la velocidad de una partícula como la rapidez con la que cambia su posición en el espacio. Así, matemáticamente la velocidad no es más que la derivada temporal (lagrangiana) de su posición . De este modo, la descripción material de la velocidad viene dada por:
; ;
A partir de las ecuaciones eulerianas del movimiento, descripción espacial de la velocidad como:
; ;
(3.31)
;
, es posible obtener la
(3.32)
De manera análoga, se define a la aceleración como la derivada material con respecto al tiempo, de la velocidad. Así, la descripción lagrangiana de la velocidad queda como:
; ; ; ; ;
y a través de las ecuaciones del movimiento descripción espacial:
(3.33)
se puede pasar a la
(3.34)
Como alternativa, si se dispone de la descripción espacial de la velocidad, puede obtenerse directamente la descripción espacial de la aceleración aplicando el operador 3.27 de forma que:
; ; ; ;
(3.35)
Ejemplo 3.2. Determinar los campos de velocidades y aceleraciones, tanto en forma lagrangiana como euleriana, del movimiento dado en el ejemplo 3.1. Solución: La descripción lagrangiana de dicho movimiento está definida en 3.15. Como la velocidad es la derivada lagrangiana de la posición con respecto al tiempo, y la aceleración a su vez es la derivada lagrangiana de la velocidad con respecto al tiempo, las descripciones materiales del campo de velocidades y del campo de aceleraciones se obtienen con sólo derivar con respecto al tiempo los lados derechos de las ecuaciones 3.15. Reescribiendo en las ecuaciones resultantes las coordenadas materiales dadas por la descripción euleriana del movimiento, obtenidas en 3.17, se tiene la solución a este problema. El campo lagrangiano de posiciones del ejemplo 3.1 está dado por las ecuaciones 3.15:
1 1
(3.15)
Derivando con respecto al tiempo -dejando fijas las coordenadas materiales- se obtiene el campo lagrangiano de velocidades siguiente:
.. . 0 {
(3.36)
Volviendo a derivar con respecto al tiempo, el campo lagrangiano de aceleraciones queda como:
.. 0 . 0 0 {
(3.37)
Nótese que de acuerdo con 3.37 ninguna partícula se acelera -el campo de aceleraciones es nulo- de modo que sus velocidades deben permanecer constantes en el tiempo, lo cual es corroborado por las ecuaciones 3.36. Las trayectorias de todas las partículas son segmentos rectilíneos, pero unas son más veloces que otras, de modo que el cuerpo experimentará continuamente una deformación, o mejor dicho, un flujo no uniforme. Sustituyendo en 3.36 y 3.37 las ecuaciones eulerianas del movimiento dadas en 3.17, se obtienen los campos espaciales de velocidades y aceleraciones siguientes.
12122 11122 21221111 2 22222121 12121 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 { 0 00 0 1
(3.38)
(3.39)
Ejemplo 3.3.- Determinar el campo euleriano de aceleraciones para el campo de flujo definido por las ecuaciones: , , (3.40) Solución: Las ecuaciones del campo de flujo son la descripción euleriana del campo de velocidades. Como la aceleración es la derivada lagrangiana con respecto al tiempo del campo de velocidades, se puede recurrir al operador 3.27 para obtener que:
− ∙ ∇
(3.41)
Ahora bien:
, , 0 − 1 , , ∇ − 10 20 0 ;
;
Efectuando el producto punto entre la velocidad y su gradiente se obtiene que:
− , , 0 1 , 21 , 1 2 2 21 1
11 0
(3.42)
De modo que:
;
;
Estas ecuaciones definen el campo euleriano de aceleraciones.
(3.43)
3.6 Regímenes permanentes y estacionarios En algunos casos se puede suponer que todas las propiedades asociadas al medio continuo no cambian localmente con el tiempo, es decir, en su descripción euleriana (espacial) el tiempo no aparece como variable ni como parámetro. Se dice entonces que se tiene un “régimen permanente”, que implica que, para todas las propiedades se debe cumplir que:
0
(3.44)
Esta situación no debe ser mal entendida como que las propiedades se mantienen constantes en el tiempo debido a que, en general, la rapidez de cambio de las propiedades medidas siguiendo el movimiento de las partículas no es nulo. Es decir, en g eneral, aún en un régimen permanente:
0
(3.45)
Se habla de un “régimen estacionario” cuando los valores promediados en el tiempo y medidos localmente permanecen sin cambio. Así, tiene sentido hablar de un flujo turbulento estacionario, pero es absurdo hablar de un flujo turbulento permanente, como se tratará en capítulos posteriores.
3.7 Líneas de flujo En la descripción y el análisis de flujos, y también en el diseño de experimentos en mecánica de fluidos, resulta muy útil el emplear para representar o visualizar el movimiento de fluidos las llamadas “líneas de flujo”. Las más usuales en orden de importancia son las “líneas de corriente”, las “líneas de emisión” y las “trayectorias”. La trayectoria de una partícula es el lugar geométrico de las posiciones que ocupa en el espacio conforme se desplaza al transcurrir el tiempo. Cada partícula describe su propia trayectoria en un campo de flujo y también en el movimiento de sólidos. Ahora bien, una línea de corriente es una línea material instantánea y continua que es tangente a la velocidad en cada uno de sus puntos; es decir, la tangente en cada punto de una línea de corriente tiene la misma dirección y sentido de la velocidad de la partícula que en el instante considerado esté sobre ese punto. El concepto de “línea de corriente” es análogo al de “líneas de fuerza” en los campos electromagnéticos. Un “tubo de corriente” es una superficie constituida por un haz de líneas de corriente que pasan por los puntos de una línea cerrada transversal al flujo. Debido a la definición de líneas de corriente, los fluidos en su movimiento (en régimen laminar) se desplazan dentro de tubos de corriente, sin atravesar nunca su superficie lateral.
Figura 3.3 . Trayectoria de una partícula.
Finalmente, una línea de emisión es también una línea material continua e instantánea formada por las partículas que en su movimiento han pasado por el mismo punto. Una aproximación (algo burda, por cierto) sería la pluma de una alta chimenea: las partículas de humo fueron emitidas por el escape de la chimenea, y la pluma puede verse evolucionar al cambiar la dirección de viento. Otro ejemplo más cercano a este concepto teórico lo constituyen los colorantes o partículas visibles inyectados en flujos líquidos o gaseosos para visualizar los flujos alrededor de perfiles aerodinámicos. Todas las partículas trazadoras de la línea de emisión se emiten desde la misma boquilla. En general, estas tres líneas son bien diferentes entre sí, excepto en un régimen permanente, en donde las trayectorias son también líneas de corriente y líneas de emisión. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para determinar estas líneas, al menos para flujos sumamente simples, como el del ejemplo 3.4. Ejemplo 3.4.- Determinar la trayectoria, la línea de corriente, y la línea de emisión que contienen al punto (1 , 1 , 0) en el instante t = 0, para un campo de velocidades euleriano dado por:
1 1
;
2
;
0 1
(3.46)
Solución: Para determinar la trayectoria pedida, recuérdese que Así:
, que puede reescribirse como:
Al integrarla entre los límites
01 , y
, se obtiene que:
(3.47)
∫ ∫1 ↔ 2 2 0 1 ∫ 2 ∫ ↔ 2 0 0 0
, de donde
De la misma manera,
, o:
+
Que al integrase entre los límites
, y ,
(3.48) (3.49)
, , se obtiene que:
de donde
Además:
, cuya integración, con el límite l ímite
0
conduce a que:
(3.50)
(3.51)
Las ecuaciones enmarcadas 3.48, 3.50 y 3.51 son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria buscada, misma que se muestra sobre el plano en la figura 3.4 en color verde, junto con la línea de corriente y la línea de emisión, cuyas ecuaciones se obtienen en seguida y que aparecen en colores rojo y azul, respectivamente. Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana de la trayectoria como:
1 √ 2 12 22
(3.52)
Ahora, de acuerdo con la definición de línea de corriente, si se emplea un sistema coordenado cartesiano puede advertirse que la condición de tangencia del vector velocidad a dicha línea en todos sus puntos implica que se deben cumplir las siguientes relaciones:
;
;
(3.53)
que pueden reescribirse como:
(3.54)
De aquí:
+ +
Para el instante considerado ( donde:
0
) , al integrar 3.53 se obtiene que: que:
(3.55)
, de
(3.56)
Esta es la ecuación cartesiana cartesiana de la línea de corriente, que claramente es una semirecta sobre el plano , que forma 45° con los ejes . Se deja como ejercicio para el lector el trazar las gráficas de estas tres líneas. Para obtener la línea de emisión hay que considerar que ésta es una línea material constituida por las partículas que han pasado por un mismo punto, en este caso el punto ( 1, 1, 0 ), en algún instante anterior al momento presente, cuando . De esta manera, las partículas que forman la línea de emisión sobre un punto que es parte de su trayectoria particular. Considerando que la partícula pasó por el punto en un instante , al integrar las ecuaciones ecuaciones 3.47 y 3.49 , pero con los límites de integración iniciales se se tiene que:
0 < 0 1,1, ∫ ∫1 ↔ ; −+− ; − ∫ 2 ∫ ↔ 2 0 0 ; 0 , de donde:
, de donde
Además, integrar
con el límite
(3.57)
, conduce a que:
(3.58)
(3.59)
0
Las ecuaciones 3.57, 3.58 y 3.59 son las ecuaciones paramétricas (con doble parámetro) de las líneas de emisión que pasan por el punto en cuestión. Para el instante las ecuaciones paramétricas de la línea de emisión requerida son:
0 ; −−
y
0 ; −
(3.60)
Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana de la línea de emisión como: como:
2 1 1 2 1 √ 2 2
(3.61)
En el caso de un régimen permanente las líneas de flujo coinciden, es decir, las trayectorias son líneas de corriente y también son líneas de emisión. Cuando el régimen no es permanente, las diferencias entre ellas por lo general son muy notorias, como en el ejemplo anterior.
Figura 3.4 . Trayectoria (en color verde), línea de corriente, en color rojo, y línea de emisión, en color azul, para el ejemplo 3.4
3.8 El Teorema del del Transporte de de Reynolds Reynolds Este teorema relaciona la derivada lagrangiana (con respecto al tiempo) de una integral sobre s obre el volumen ocupado por un cuerpo, con una integral de volumen en la que su integrando contiene únicamente términos eulerianos. De esta forma, su aplicación directa permite obtener ecuaciones de balance instantáneo (de cualquier propiedad de naturaleza extensiva) sobre volúmenes de control, a partir de las correspondientes ecuaciones de balance instantáneo sobre masas de control. Se enuncia a continuación. continuación.
Teorema del Transporte de Reynolds: Sea
una propiedad extensiva, de cualquier orden tensorial, y
unidad de masa. Nótese que Se tiene que:
su valor intensivo por
es su valor intensivo por unidad unidad de volumen. volumen.
.Ω ∫ ∫ ̇ − ∙ ∫
(3.62)
̇ ∫ V VV ∫⩝ ∫ − ∙ − ∙ − ∫⩝ V ̇ Aquí los términos que aparecen tienen los siguientes significados: es la rapidez con la que cambia la propiedad
integrando del término lagrangiano volumen infinitesimal
, esto es:
contenida en un cuerpo. Nótese que el
es la cantidad infinitesimal infinitesimal de de
dentro del
.
cuantifica la rapidez con la que cambia
dentro del volumen de control
que ocupa el cuerpo en el instante considerado, considerado, sin seguir a las partículas del cuerpo.
es el flujo neto neto (hacia (hacia afuera) afuera) de a través de la superficie de control
que contiene en su interior al volumen de control VC . En las zonas de la superficie por donde SC que sale materia, el producto punto
es positivo puesto que los vectores
-que es la
velocidad de las partículas relativa a la superficie dS- y el vector unitario unitario normal dirigido hacia hacia afuera del volumen , forman un ángulo agudo. Por donde ingresa materia al volumen de control, esos vectores forman un ángulo obtuso y el producto punto entre ellos es negativo. Por consiguiente un valor positivo (cuando la propiedad es un escalar) de dicha integral, cuantificará la diferencia entre lo que abandona el volumen de control, menos lo que ingresa a éste. Por lo anterior se habla de un “flujo neto hacia afuera”. Obviamente, si ingresa más de lo que egresa, la integral tendrá un valor negativo. Hay que insistir en que el vector es la velocidad relativa de las partículas al elemento de superficie dS. Si el volumen está fijo, es la velocidad “absoluta” de las partículas. es
, , escrito en términos lagrangianos en un medio continuo.
La demostración del Teorema del Transporte de Reynolds puede efectuarse con base en el simple concepto de derivada y se deja al lector como ejercicio. En el siguiente capítulo se aplicará este teorema para obtener rápidamente las ecuaciones de balance instantáneo de diversas propiedades, a saber: la masa, el momentum, el momentum angular, la energía, la entropía, la exergía, y en general cualquier propiedad de naturaleza extensiva. -------
Ejercicios 3.1 La descripción lagrangiana del movimiento movimiento de un un cuerpo está definida por:
; 1 ; 0 12 ; 3 ; 0 0 0 0
a) Determinar la descripción euleriana de este movimiento. b) Escribir los campos de velocidades y de aceleraciones, tanto lagrangianos como eulerianos. c) Determinar la trayectoria de la partícula que en el instante está en el punto P (1,1,0). 3.2 Un campo bidimensional de velocidades está definido por las siguientes ecuaciones:
Encontrar: a) La trayectoria de la partícula que en el instante está en el punto (1,1,0). b) La línea de corriente que en el instante contiene al punto (1,1,0). c) La línea de emisión en el instante , de las partículas que han pasado por el punto (1,1,0). 3.3 Mostrar que las trayectorias y las líneas de corriente coinciden para el campo de velocidades dado por:
+ ; + ; +
4. ECUACIONES DE BALANCE INSTANTÁNEO SOBRE VOLÚMENES DE CONTROL INTRODUCCIÓN En todo fenómeno natural, cualquiera que sea la ciencia en que se trate de estudiar, por principio se supone que deben cumplirse leyes inviolables. De hecho, el sentido original de la palabra “ley” es el de un precepto que debe por necesidad ser obedecido. Por supuesto que en el ámbito de las “ciencias humanas”, el Derecho Positivo por ejemplo, en un régimen constitucional las leyes se considera que para ser legítimas son el resultado de amplios consensos, votada por las Cortes y sancionada por el Estado, pero éstas pueden ser violadas (con un consiguiente castigo por ello, estipulado por lo general dentro de la misma ley o sus reglamentos). Así, con frecuencia vemos como se violan -impunemente, por desgracia- las leyes en materia electoral, ambiental, de protección de derechos humanos, etcétera. En el caso de la naturaleza, las leyes de la física, la química, la biología, no pueden ser violadas. Así pues, para que un fenómeno ocurra en la naturaleza, por ejemplo el canto de una cigarra, la emisión de luz de una luciérnaga, la circulación de sangre a través de arterias, venas y vasos capilares, la formación y posterior caída de las gotas de lluvia, etcétera, deben satisfacerse todas estas leyes. En el devenir de la obtención de nuevos conocimientos, producto en gran parte de la investigación científica y el pensamiento crítico, estas leyes pueden ser afinadas, modificadas, o de plano sustituidas por otras más apegadas a la “realidad” observable. Pero mientras esto no suceda, en todo análisis y reflexión se supone la validez y aplicabilidad de estas leyes. En la mecánica clásica, incluyendo obviamente la mecánica de los medios continuos, en todo análisis se supondrá que la masa y la energía se conservan, que la producción de entropía es positiva y que esto conlleva a la destrucción de la exergía, y que, por supuesto, por ser la base de la mecánica clásica, las leyes de Newton son completamente válidas. El que la materia o masa se conserve, independientemente de consideraciones relativistas (que lo que hacen es relacionar la masa con la energía de acuerdo con la ecuación de la física más conocida por el amplio público: , aplicable especialmente en el caso de reacciones 8 nucleares) , es el bien conocido principio de la conservación de la materia, ya enunciado por Lavoisier en 1785, cuatro años antes del inicio de la Revolución Francesa, pero cuarenta años después que Mijaíl Lomonósov enunciara este mismo principio. Por lo general, la primera consideración al analizar cualquier situación o problema en ciencias e ingenierías es plantear que la masa se conserva.
8
Ver por ejemplo el libro de divulgación: La Relatividad , escrito por Albert Einstein, padre de la Mecánica Relativista, para una fácil comprensión de esta teoría, con las fascinantes implicaciones de las relaciones espacio-tiempo. Ed. Grijalbo, México, 1980.
El que la energía es una propiedad que ni se crea ni se destruye, y que se transfiere mediante dos mecanismos: calor y trabajo termodinámico, es conocido como la primera ley de la termodinámica. Por su parte, la segunda ley de la termodinámica enuncia que en todo proceso macroscópico real la entropía aumenta, es decir, hay una producción de esta propiedad indestructible en todo cambio en la naturaleza, o en el límite ideal esta producción es nula en los llamados “procesos reversibles”. Proporcional a la generación de entropía es la destrucción de la “exergía”, que se define como la máxima cantidad de trabajo “en el eje” que puede ser desarrollado por un sistema en un ambiente de referencia determinado por los valores (estacionarios) de la presión, la temperatura y los potenciales químicos de las especies en ese ambiente. Así, la exergía no es simplemente una propiedad termodinámica, sino más bien es una propiedad de ambos: un sistema (una masa o un volumen de control) y su ambiente de referencia. La segunda ley de Newton afirma que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la rapidez con la que cambia su “cantidad de movimiento” o momentum, medido desde un marco inercial. Asimismo, el momento neto sobre un cuerpo (relativo a un punto arbitrario en el espacio, con frecuencia el origen del sistema de referencia empleado), es igual a la rapidez de cambio de su momentum angular. Estas leyes de la mecánica y la termodinámica pueden modelarse mediante ecuaciones de balance de las propiedades esenciales a cada uno de estos principios o leyes. Así, la energía es la propiedad fundamental en la primera ley de la termodinámica, y la generación de entropía está en la esencia de la segunda ley; la masa se conserva de acuerdo con los enunciados de Lavoisier y Lomonósov, etcétera. Las ecuaciones de balance de estas propiedades pueden escribirse en sus formas más básicas y generales, para cuerpos o “masa de control” como:
∆
(4.1)
en donde es la propiedad o atributo de un cuerpo que se balancea comparando sus valores antes y después de realizarse un proceso en el que además, por convención universalmente aceptada:
∆
(4.2)
El último término en la ecuación 4.1 corresponde a una “producción” de la propiedad durante el proceso cuando el término es positivo. Por supuesto, una producción negativa corresponderá a una “destrucción” de la propiedad de marras. Así, en las ecuaciones de balance integral de la masa y de la energía, los términos de producción serán nulos por tratarse de propiedades que “se conservan”, en tanto que en el balance de entropía el término de generación necesariamente será no negativo. Por el contrario, cuando se balancee la exergía, el término de generación corresponderá a una “destrucción”, es decir, llevará un signo negativo. Cabe recordar que las propiedades termodinámicas por lo general son funciones escalares, en tanto que las mecánicas son vectoriales o tensoriales de órdenes superiores. Los balances de masa, energía, entropía, exergía (todas éstas propiedades escalares), y cualquier otra propiedad de naturaleza extensiva, efectuados sobre un cuerpo o masa de control, para
cualquier proceso, usualmente se efectúan en forma integral, en forma diferencial, o de manera instantánea. En la forma integral se comparan el estado final con el estado inicial, integrando los cambios ocurridos durante el proceso. La siguiente opción es efectuar el balance en forma diferencial, es decir, considerando los cambios (infinitesimales o diferenciales) en un cambio infinitesimal del proceso. La tercera opción consiste en efectuar los balances instantáneamente, es decir, considerando las rapideces de cambio de las propiedades dentro del cuerpo estudiado. Así, las ecuaciones de balance en forma integral, diferencial e instantánea se pueden expresar como sigue. Balance de masa (recordar que un cuerpo está compuesto por las mismas partículas): Integral: Diferencial: Instantáneo: Balance de energía: Integral:
Δ 0 . 0 0 Δ . .
(4.3a)
(4.3b)
(4.3c)
Diferencial: Instantáneo:
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
Aquí, la energía entra o sale del cuerpo como calor o trabajo Balance de entropía: Integral: Diferencial: Instantáneo: Balance de exergía: Integral: Diferencial: Instantáneo:
Δ d. . . . Δ X X. . . .
(4.5a)
(4.5b)
(4.5c)
.
(4.6a)
(4.6b) (4.6c)
Las ecuaciones de balance integral del momentum y el momentum angular son conocidas como “ecuaciones del impulso y la cantidad de movimiento”, ambas son cantidades vectoriales. En los miembros izquierdos de 4.7a y 4.8a aparecen el impulso y el impulso angular, respectivamente, y
en los miembros derechos de las mismas aparecen los cambios en las cantidades de movimiento lineal y angular. Estas ecuaciones corresponden a las formas integrales en el tiempo de la segunda ley de Newton, que afirma que: “la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la rapidez de cambio de su momentum o cantidad de movimiento ”. Para el caso de una partícula,
− − − . − −
, y lo anterior se reduce a que la fuerza es igual al
producto de su masa por su aceleración, ya que
−
, puesto que la masa de la partícula se
0 ∫ − − − − −. ∫ − − −
conserva. En las ecuaciones 4.8a y 4.8b,
es el momento del momentum, o “cantidad de
movimiento angular”, medido con respecto al origen del marco de referencia. Así, la segunda ley de Newton puede expresarse como: Integral: Instantáneo:
Y para rotaciones:
(4.7a)
(4.7b)
(4.8a)
− −.
o, en forma instantánea:
(4.8b)
Hay que resaltar que todas las anteriores ecuaciones de balance contienen únicamente términos materiales o lagrangianos, es decir, están referidos a las partículas del cuerpo. Las derivadas lagrangianas con respecto al tiempo están identificadas por un punto encima del término, como se estableció en el capítulo anterior. En esta forma material es como usualmente se presentan a los estudiantes de mecánica y termodinámica, y son muy útiles cuando se estudian materiales sólidos, en donde las partículas están relativamente bien localizadas. Sin embargo, en materiales que fluyen conviene reescribir las ecuaciones de balance para ser aplicables a volúmenes de control. Esto se puede hacer muy rápida y fácilmente empleando el Teorema del Transporte de Reynolds enunciado al final del capítulo 3. No olvidar que un volumen de control es una región del espacio definida como al lector le venga en gana; no tiene que mantener su forma ni su volumen, y puede desplazarse real o imaginariamente como se desee. Análogamente, una masa de control es una porción arbitraria de materia, constituida siempre por las mismas partículas. Formalmente, una masa de control es un cuerpo. Ahora bien, la masa, el momentum, la cantidad de movimiento angular, la energía, la entropía y la exergía de un cuerpo continuo se pueden expresar como integrales sobre el volumen que en un instante dado ocupa el cuerpo, como se trata a continuación.
Puesto que la densidad másica para una vecindad en un medio continuo se define como , en donde es la masa de las partículas en la vecindad y es el volumen ocupado por las partículas de dicha vecindad, la masa total del cuerpo se puede expresar como la integral -
∫⩝ − − − − ∫⩝ − ∫⩝ − × − −
evaluada sobre todo el volumen ocupado por el cuerpo- del producto de esta densidad por el volumen infinitesimal que ocupan dichas partículas. Así:
(4.9)
De la misma manera, puesto que la masa contenida dentro del volumen infinitesimal , la contribución al momentum del cuerpo debido a las partículas dentro de dicho volumen infinitesimal es , de modo que el momentum del cuerpo es así:
(4.10)
Ahora, la cantidad de movimiento angula es el momento del momentum, de modo que:
en donde referencia.
es el vector de posición del elemento
(4.11) medido desde el origen del marco de
La energía (la energía cinética más la energía interna) contenida en el cuerpo se expresa como:
∫⩝ ∙ − ∙ −
(4.12)
en donde es la energía interna específica por unidad de masa, medida en el SI en kJ/kg . Nótese que es la energía interna y es la energía cinética, ambas por unidad de volumen. En el sistema SI se miden usualmente en kJ/m3. Las llamadas “energía potenciales” se presentan cuando hay fuerzas “conservativas”, es decir, que son los gradientes (con signo negativo) de esas energías potenciales. La energía potencial por excelencia es la gravitacional, pero pueden existir otras, por ejemplo, la energía potencial de deformación elástica. Sólo se incluirán las energías potenciales cuando se especifiquen qué fuerzas conservativas actúan. Por el momento no se hará distinción entre fuerzas “conservativas” y “disipativas”.
∫⩝
La entropía dentro del cuerpo está dada por: Aquí
(4.13)
es la entropía específica por unidad de masa, que se mide en el SI en kJ/kg K .
Finalmente, la exergía, que se mide en kJ (al igual que la energía) es:
∫⩝
(4.14)
Se mencionó arriba que, en general, la forma más adecuada para las ecuaciones de balance es cuando son aplicables a un volumen de control (finito o infinitesimal) a través de cuya frontera (la superficie de control) puede ingresar o salir materia, en vez de tenerlas aplicables a una masa de control como en las ecuaciones 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8. En el caso de volúmenes finitos, las ecuaciones de balance se expresan como ecuaciones con integrales sobre el continuo, que pueden estimarse rápidamente considerando algunas hipótesis simplificadoras, como por ejemplo: suponer un régimen permanente, o flujos uniformes en la entradas y en las salidas del volumen de control, o el despreciar cambios en la energía cinética o potencial. Sin embargo, la tendencia en la ingeniería es la representación de los fenómenos físicos analizados con base en sistemas de ecuaciones diferenciales que se obtienen al efectuar los balances sobre volúmenes infinitesimales. De esta forma, comúnmente se representarán en forma diferencial como funciones eulerianas de campo, como se muestra a continuación. Para esto, se recurrirá sistemáticamente al teorema del Transporte de Reynolds, dado en 3.62, aplicable a cualquier propiedad extensiva ( es el valor intensivo de por unidad de masa):
Ω Ω ̇ ∫ ∫ ∫ − ∙
(3.62)
4.1 Balance instantáneo de masa sobre volúmenes finitos e infinitesimales La ecuación 4.3c que modela la rapidez de cambio de la masa de un cuerpo puede reescribirse para un medio continuo como:
. ∫⩝ 0 1 ∫⩝ ∫ ∙ 0 ∫ ∙ ∫⩝ ∇∙
(4.15)
Aplicando el Teorema del Transporte de Reynolds , considerando a la masa como la propiedad extensiva a balancear, se tiene que , y entonces , por lo que 4.3c se reescribe como:
(4.16)
De acuerdo con el Teorema de Gauss:
(4.17)
Así, la ecuación de balance instantáneo de masa sobre un volumen de control finito queda como:
∫⩝ ∇∙ − 0
(4.18)
Nótese que la velocidad relativa de las partículas con respecto a la superficie por la que ingresan o egresan del volumen de control, se representa a partir de aquí como . Ahora bien, debido a que el volumen de control VC (t) está definido de manera arbitraria, resulta evidente que la única forma en que la integral de la ecuación 4.18 sea igual a cero, independientemente del volumen sobre el que se integre, es que el integrando sea igual a cero, es decir:
∇∙ −0
ó
0
(4.19)
La ecuación 4.19 es entonces la ecuación de balance instantáneo de masa sobre un volumen infinitesimal, y puede reescribirse en la forma:
0
.
(4.20a)
Los términos entre paréntesis en el miembro izquierdo de 4.20 pueden ser identificados como , que es la derivada material o lagrangiana de la densidad, es decir, es la rapidez de cambio de ésta siguiendo a las partículas. Así:
̇ 0
. ∇∙ −
(4.20b)
Para un proceso isocórico o isovolumétrico (que es el caso de un flujo incompresible), se tiene que , y la ecuación 4.19 se reduce a:
∇∙ − 0
(4.21)
Las ecuaciones 4.18, 4.19, 4.20 y 4.21 son todas expresiones matemáticas para el principio de conservación de la material: en 4.18 para un balance sobre un volumen finito, en tanto que 4.19 y 4.20 lo es para un volumen infinitesimal y 4.21 para un movimiento isocórico, es decir, manteniendo el volumen constante. La ecuación 4.21 con frecuencia es referida como la “ecuación de continuidad”. Las dimensiones de los términos de 4.19 y 4.20 son (masa / tiempo - volumen), de modo que en el SI se miden en kg/s m 3, en tanto que los de 4.21 son s-1 o rad/s . Nótese que el radián es la unidad (adimensional) para medir ángulos planos en el SI.
Como ejemplo se puede tomar un tanque estacionario al que se le está suministrando gas para llenarlo. Suponiendo un flujo uniforme en la sección transversal de entrada, entonces se tiene que el flujo másico de llenado (en kg/s) está dado por:
. ̅
(4.22)
̅
.
en donde es la densidad media en la sección transversal, es la rapidez media de las partículas en la sección transversal, y es el área de dicha sección. Cuando se supone que el flujo es uniforme en una sección transversal, todas las propiedades son constantes en dicha sección, y entonces no es necesario colocar las rayas sobre las variables, que indican que corresponden a valores medios. Así, en general se escribirá que , tanto en las entradas como en las salidas de materia a través de una superficie de control, o de una sección transversal en un flujo, suponiendo flujos uniformes a través de ellas.
Figura 4.1. Esquema de un tanque al que se le está suministrando gas.
.
Aquí, no representa la derivada lagrangiana de la masa con respecto al tiempo, que es igual a cero de acuerdo con el principio de conservación de la materia dado en 4.3c, sino que por excepción a la regla, representa el flujo másico a través de una sección transversal, y se mide en el SI en kg/s.
4.2 Balance instantáneo del momentum sobre volúmenes de control En este momento es conveniente primero clasificar las fuerzas que pueden actuar sobre un medio continuo, éstas son: i.
ii.
“Fuerzas de cuerpo”: Actúan sobre todas las partículas del medio continuo y son debidas a campos (gravitacionales, eléctricos, magnéticos, etcétera). Si es la fuerza de cuerpo por unidad de masa, entonces la fuerza neta de cuerpo sobre una masa de control está dada por la integral:
∫⩝ ̂
(4.23)
“Fuerzas de superficie”: Actúan en la superficie de un cuerpo (fuerzas de fricción, aerodinámicas, etcétera). Si es la fuerza de superficie por unidad de área (llamado “vector de esfuerzo”, o “vector de tracción”) que actúa sobre un elemento de la superficie de control que delimita al volumen, y cuya orientación está definida
por , que es un vector unitario normal a esta superficie (y dirigido “hacia afuera” cuando la superficie encierra un volumen), la fuerza neta de superficie que actúa sobre el cuerpo dentro del volumen estará dada por:
∫ ∧ S iii.
(4.24)
0
“Fuerzas internas”: Son las fuerzas de interacción entre las partículas del cuerpo. Su resultante es , de acuerdo con la tercera ley de Newton, que afirma que éstas se presentan en pares de igual dirección y sentidos opuestos. Al sumarlas todas, se aniquilan entre esos pares.
Así, la resultante de todas fuerzas que actúan sobre un cuerpo continuo será:
Σ − ∫⩝ ∫ −∧ S 0− ̇ ∫⩝ ∫⩝ ∫ − ∙
(4.25)
Aplicando el Teorema del Transporte de Reynolds, notando que la propiedad a balancear es el , y entonces . Así se tiene que: momentum
(4.26)
Aplicando ahora el Teorema de Gauss para transformar la integral de superficie a una integral sobre el mismo volumen de control, se obtiene que:
̇ ∫⩝ ∇∙ −− ̇ ∫⩝ ∇∙ −− ∫⩝ ∫ −∧ S ∧− = −∧ −∧ ∙ =
Pero, de acuerdo con la segunda ley de Newton, cuerpo, dada en 4.25. Así:
(4.27)
es igual a la fuerza neta que actúa sobre el
(4.28)
Como se demostrará en el siguiente capítulo, el vector de tracción o de esfuerzos relacionado con el tensor de esfuerzos
está
mediante la siguiente ecuación:
(4.29)
Aplicando el Teorema de Gauss para transformar la integral de superficie en una integral de volumen en 4.28, y empleando la notación indicial, se obtiene la ecuación integral de balance instantáneo del momentum lineal en un volumen de control finito:
∫⩝ ∫⩝
(4.30)
Nuevamente, debido a que el volumen de control está definido de manera arbitraria, es evidente que la única forma en que las integrales de la ecuación 4.30 sean iguales, independientemente del volumen de integración, es que sus integrandos sean igual es, es decir:
(4.31)
Desarrollando el lado izquierdo de la ecuación anterior, se tiene que:
(4.32)
(4.33)
De acuerdo con la ecuación de balance de masa 4.19, los términos entre paréntesis en la ecuación 4.32 suman cero, de modo que la ecuación de balance instantáneo del momentum sobre un volumen infinitesimal queda como:
(4.34)
La ecuación 4.34, a menudo nombrada como “Primera Ley de Cauchy ”, es la ecuación de balance instantáneo del momentum lineal sobre un volumen de control infinitesimal (es en verdad la modelación de la segunda Ley de Newton para ese volumen infinitesimal) y puede reescribirse en la notación clásica, quedando como:
− ∙∇−∇∙ = − ∙∇̇
(4.35)
Debe observarse que los términos entre paréntesis en el miembro izquierdo de 3.34 y 4.35 son la aceleración, ya que , de modo que ese lado izquierdo de la ecuación es el producto de la masa (por unidad de volumen) multiplicada por la aceleración. Esto es igual a la suma de la fuerza de superficie (por unidad de volumen, dada por la divergencia del esfuerzo), más la fuerza de cuerpo por unidad de volumen, que corresponde al segundo término del lado derecho. De hecho, es lo que sabe cualquier estudiante de secundaria: “la suma de fuerzas sobre una partícula es igual a la masa por su aceleración”. Aunque con frecuencia la ecuación 4.35 es
llamada “primera ley de Cauchy”, en realidad modela la segunda ley de Newton, pero en términos eulerianos y aplicada a un volumen infinitesimal. En todo problema de la mecánica clásica, suponiendo válida la hipótesis del medio continuo, la ecuación 4.28 y su versión diferencial 4.35 deben ser satisfechas.
4.3 Balance instantáneo de momentum angular sobre volúmenes de control La propiedad a balancear es ahora la cantidad de movimiento angular, que de acuerdo con la ecuación 4.11 puede escribirse para un cuerpo como:
Ω − ∫⩝ − ×
(4.11)
× ̇ ∫⩝ ×V ∫⩝ × ∫ × ∙
La cantidad de movimiento angular por unidad de masa es entonces Teorema del Transporte de Reynolds se tiene que:
. Aplicando el
(4.36)
La ecuación 4.8b, reescrita abajo con un símbolo de sumatoria, modela el balance instantáneo del momentum angular sobre un cuerpo:
̇ Σ−
(4.37)
En el lado derecho de la ecuación se incluyen los momentos de las fuerzas de cuerpo, los de las fuerzas de superficie, y un posible momento de cuerpo por unidad de volumen, denotado por debido a la presencia de dipolos eléctricos o magnéticos a nivel microscópico en el medio, como sucede con los cristales líquidos y otros materiales. Para medios no polares , y a menos
0− ̇ ∫⩝ × ∫ ×∙ S ∫⩝
que se diga expresamente lo contrario, se supondrá que en general los materiales son no polares. Así:
(4.38)
El primer término del lado derecho de la ecuación 4.38 representa el momento total de las fuerzas de cuerpo, en tanto que el segundo corresponde al momento de las fuerzas de superficie. El tercer término corresponde al posible momento debido a la pr esencia de dipolos microscópicos. Combinando 4.36 con 4.38 se obtiene que:
⩝ × × ∙ ⩝ × ×∙ S⩝ (4.39)
Reescribiendo 4.39 en notación indicial, y aplicando dos veces el Teorema de Gauss para transformar las integrales de superficie en integrales sobre el volumen de control, se tiene la ecuación integral del balance instantáneo del momentum angular en un volumen de control.
⩝ ⩝
(4.40)
Nuevamente, como el volumen de control está definido de manera arbitraria, los integrandos de las integrales de ambos miembros de la ecuación deben ser ig uales, es decir:
(4.41)
La ecuación 4.41 modela el balance instantáneo del momentum angular sobre un volumen de control infinitesimal, y puede reescribirse desarrollando las derivadas parciales en notación indicial, como se hace en seguida, quedando de la forma sorprendentemente simple siguiente:
0 00 0
(4.42a)
o, en forma de ecuaciones escalares:
La ecuación 4.42 implica que para materiales no polares ( simétrico, es decir:
(4.42b)
0
), el tensor de esfuerzos es
(4.43)
Desarrollando los términos de los miembros de la ecuación 4.41, se tiene que, para los del lado izquierdo:
(4.44) (4.45)
Y para el lado derecho:
(4.46)
Así, al desarrollarse la ecuación 4.41 contiene los siguientes términos:
(4.47)
que puede reescribirse como:
(4.48)
Los términos dentro del primer corchete en el miembro izquierdo de la ecuación (escritos en azul) suman cero, de acuerdo con la ecuación 4.34 correspondiente al balance instantáneo del momentum; los términos dentro del segundo corchete (escritos en rojo) también suman cero, de acuerdo con la ecuación de balance instantáneo de masa 4.19, de modo que la ecuación 4.48 se reduce a:
0
(4.49)
que puede reescribirse como:
0
(4.50)
El primer término dentro del corchete del lado izquierdo es el producto cruz de la velocidad por sí misma, que resulta ser nulo, de modo que finalmente la ecuación 4.47, que modela el balance instantáneo del momentum angular dentro de un volumen infinitesimal, se reduce a:
Para materiales no polares, indica en la ecuación 4.43.
0 0
(4.42)
, la ecuación 4.42 se reduce a que
4.4 Balance instantáneo de energía sobre volúmenes de control La propiedad a balancear es la energía
∙
, y entonces
, como se
∙
.
Las formas en que se presentan intercambios de energía (por unidad de tiempo) en el medio continuo son la potencia mecánica de las fuerzas de superficie y de cuerpo:
̇ ∫ − ∙ −∧ S ∫⩝ − ∙
(4.51)
y la potencia calorífica:
En 4.52
−.
. ∫ −. ∙ −∧
(4.52)
es el vector flujo de calor por unidad de tiempo, que en SI se mide en W/m 2. El signo
.− ∙ −∧ −. −∧
menos es debido a la convención de considerar positivo al calor recibido por el sistema (masa o volumen de control). Como el producto punto ( ingresa calor al volumen, ya que los vectores
y
−. ∙ −∧ −. ∙∇ −. ∇
) resulta negativo en las regiones donde
forman un ángulo obtuso, hay que poner el
signo menos para forzar una cantidad positiva en dichas entradas. En las salidas, el producto punto es positivo, así las contribuciones de (
) en éstas es entonces negativa.
De acuerdo con la “ley de Fourier”, la ecuación constitutiva (se tratan éstas en el capítulo 7) para el vector flujo de calor por unidad de tiempo está dado, para materiales anisótropos, por:
donde
(4.53)
es el tensor de conductividades térmicas del material. Para materiales isótropos, la ley de
Fourier se reduce a:
(4.54)
en donde es la llamada “conductividad térmica” del material. En el SI se mide en W/mK (al igual que el tensor de conductividades térmicas ), y como cualquier otra propiedad termodinámica es una cantidad escalar.
Así, de acuerdo con el Teorema de Transporte de Reynolds, el balance instantáneo de energía sobre un volumen de control, después de aplicar el teorema de Gauss para transformar las integrales de superficie a integrales de volumen, queda en la forma:
̇ ⩝ 12 12 ̇ ⩝
(4.55)
Como el volumen de control está definido de manera arbitraria, es evidente que la única forma de que las integrales de ecuación 4.55 sean iguales, es que sus integrandos también lo sean, es decir, que:
̇ 0
(4.56)
La ecuación 4.56 se define como la ecuación de balance instantáneo de energía sobre un volumen de control infinitesimal, y puede reescribirse desarrollando las derivadas parciales en notación indicial, quedando de la forma:
̇
(4.57a)
o bien, en notación clásica:
∙ ∇ :∇ ∇∙ ̇ .
(4.57b)
El término entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación 4.57 es la derivada lagrangiana de la energía interna, es decir, es . Como se verá en el capítulo 7, para el caso de fluidos (gases y líquidos) el tensor de esfuerzos por costumbre y conveniencia se descompone en sus partes isótropa y “extra” como sigue:
(4.58)
Así, el producto doble punto (producto escalar en este caso) entre la transpuesta del tensor de esfuerzo y el gradiente de la velocidad es:
(4.59)
Entonces la ecuación 4.57 puede escribirse alternativamente como:
. ̇
(4.57c)
o en forma integral como:
∫ . ∫ ̇
(4.60)
El lado izquierdo de la ecuación 4.57c representa la rapidez de cambio de la energía interna por unidad de volumen, siguiendo a las partículas dentro de una vecindad que ocupa un volumen infinitesimal. El primer término del lado derecho representa la rapidez de cambio de energía interna de esas partículas al comprimirse o expandirse el volumen infinitesimal en que se encuentran. Para una compresión, < 0, y el término resulta positivo como es de esperarse, ya
que los alrededores del volumen realizan trabajo sobre éste al comprimirlo. Esta transferencia de energía mecánica a energía interna es potencialmente reversible, ya que el volumen puede luego
expandirse y “devolver” la energía recibida durante la compresión. El segundo término del lado derecho de 4.57c representa la transformación irreversible de energía mecánica a energía interna por fricción viscosa, que de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica debe ser positivo, o en el límite ideal, ser nulo. Por último, el tercer término del lado derecho de 4.57c representa el incremento (o decremento) de la energía interna debida a calentamiento (o enfriamiento). Cualquier transferencia de calor entre sistemas con una diferencia finita en sus temperaturas es irreversible; para que la transferencia de calor pudiese ser reversible, la diferencia en las temperaturas debe ser infinitesimalmente pequeña.
4.5 Balance instantáneo de la entropía sobre volúmenes de control Un balance de la energía interna u sobre una masa infinitesimal conduce a que:
(4.61)
Ésta es de hecho la ecuación 4.4b, en donde sólo se ha considerado la energía interna u, ignorando los cambios de energía cinética y potencial. Las cantidades y son expresiones diferenciales inexactas (su valor integrado dependerá de la trayectoria de in tegración), ya que ni el calor ni el trabajo son propiedades termodinámicas, puesto que sólo tiene sentido hablar de éstos cuando hay una transferencia de energía en un proceso termodinámico. La energía interna sí es una propiedad, y en consecuencia su forma diferencial es exacta; su valor integrado no dependerá de la trayectoria de integración, sino únicamente de los estados inicial y final del proceso.
,, , . . . . . . ∇∙ − . .
Para una sustancia compresible simple (ver el anexo sobre Termodinámica), 4.60 queda en términos de propiedades termodinámicas como sigue:
de donde:
(4.62)
o, en forma instantánea:
(4.63)
(4.64)
Como el volumen específico por unidad de masa es el recíproco de la densidad se tiene que:
Pero, de acuerdo con la ecuación 4.20b:
− (
(4.65) .
Así, se tiene que: (4.66)
Sustituyendo en 4.64, y multiplicando ambos miembros de 4.64 por la densidad, se tiene que:
),
. . . . . ̇ . . ̇ . ̇ ̇
(4.67)
Pero, de acuerdo con la ecuación 4.57c: por lo que:
de donde:
(4.68)
(4.69)
o, en términos puramente eulerianos:
(4.70)
El lado izquierdo de 4.70 representa la rapidez con la que cambia la entropía (por unidad de volumen), de las partículas en una vecindad que ocupan un volumen infinitesimal. El primer término del lado derecho representa la rapidez del incremento en la entropía por fricción viscosa (término necesariamente no negativo, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica). El segundo término contiene el flujo de entropía debido a una transferencia de calor, con una parte irreversible más otra potencialmente reversible. La versión integral de la ecuación 4.70 es simplemente:
∫ ∫ ∫ ̇ . ∧ . ∫ ∙− ∫ ∇ ∙ . . . ∇∙ ∇∙ − ∇∙− . . ∫ ∫
(4.71)
De acuerdo con la segunda ley de la termodinámica . Esto implica que la parte potencialmente reversible del incremento en la entropía en el volumen de control está dado por:
pero:
(4.72)
(4.73)
por lo que la ecuación del balance instantáneo de entropía sobre un volumen finito queda como: (4.74)
y sobre un volumen infinitesimal:
. . . . − ∙ ∇ =: ∇ − − ∙∇ ∇∙
(4.75)
o en notación clásica:
(4.76)
El lado izquierdo de 4.76 representa la rapidez de cambio de la entropía (por unidad de volumen) dentro de un volumen infinitesimal; el primer término del lado derecho representa la contribución a este incremento de la entropía debido a fricción viscosa (totalmente irreversible), por lo que el término es necesariamente no negativo. El segundo término del lado derecho representa la contribución al incremento de entropía debido a un calentamiento (o enfriamiento) irreversible. Nótese que para materiales isótropos los vectores flujo de calor y gradiente de
−.
∇
−. ∇
temperatura son antiparalelos, de modo que su producto punto es igual al producto de sus magnitudes con signo negativo. Para materiales anisótropos, los vectores y forman un ángulo obtuso y su producto punto también es negativo; este término es entonces siempre positivo, al igual que el primero. De hecho, la suma los dos primeros términos del lado derecho representan la rapidez de generación de entropía por unidad de volumen, es decir que:
. =: ∇ − −. ∙∇
(4.77)
El tercer término del lado derecho de 4.76 puede ser positivo o negativo, y corresponde a la parte potencialmente reversible de la transferencia de entropía por calentamiento o enfriamiento.
4.6 Balance instantáneo de la exergía sobre volúmenes de control
Χ
La exergía asociada con una cantidad energética (su valor intensivo por unidad de masa es ) es una medida de cuánto de esa energía puede ser utilizada. De hecho, la exergía se define como la máxima cantidad de energía de un sistema (abierto o cerrado) que teóricamente puede ser transformada en trabajo útil (trabajo en el eje , o trabajo eléctrico) cuando interactúa con el ambiente (que es un sistema de referencia caracterizado por su temperatura, su presión y su composición), hasta alcanzar el equilibrio.
La exergía tiene dimensiones de energía, pero a diferencia de ésta, que siempre se conserva, la exergía se consume cuando hay irreversibilidades, o equivalentemente, cuando hay generación de entropía. De hecho, el consumo o destrucción de exergía es proporcional a la generación de entropía, siendo la temperatura del ambiente de referencia la constante de proporcionalidad entre estas cantidades, de acuerdo con el llamado “Teorema de Gouy-Stodola”. Así:
(4.78)
Los análisis exergéticos están basados en la segunda ley de la termodinámica y son muy útiles para identificar las causas, localizaciones y las magnitudes de las pérdidas de rendimiento en los procesos. La exergía X para una masa de control (o “sistema termodinámico cerrado”) puede ser expresada por:
í é í ∫ Χé é ∫ Χ ∫ Χ
(4.79)
en donde:
(4.80) (4.81) (4.82) (4.83)
El sistema tiene una temperatura , una presión , un potencial químico , una entropía , un volumen , y un número de moles para cada una de las especies químicas que lo constituyen. Asimismo, el sistema está en un ambiente conceptual de referencia, en un estado de equilibrio determinado por las propiedades intensivas , y . La cantidad denota el valor de en el estado ambiental de referencia (es decir, a y ). Los términos en la ecuación 4.79 representan, respectivamente, los componentes físico, cinético, potencial y químico de la exergía. Considerando que la exergía es finalmente la energía disponible o utilizable, cualquier trabajo “en el eje” realizado sobre el sistema es 100% exergía, al igual que la energía mecánica (cinética más potencial) y la energía eléctrica, la ecuación de balance integral de la exergía termomecánica (que es la exergía neta, menos la exergía química) sobre una masa de control, puede expresarse como:
∆ ∫ 1 1 >
(4.84)
Los primeros tres términos del lado derecho de la ecuación 4.84 representan transferencia de exergía entre el sistema y su ambiente. El primero, es la transferencia de exergía debida a un calentamiento; el factor es el rendimiento de Carnot para una máquina térmica que opere entre una fuente caliente a temperatura (la del sistema), y un sumidero “frío” a la temperatura del ambiente . Entonces este primer término del lado derecho puede ser interpretado como como el trabajo que sería generado por un ciclo reversible que recibiera la cantidad de energía calorífica a la temperatura , desechando calor al ambiente a la temperatura . El segundo término del lado derecho es el trabajo en el eje recibido por el sistema (exergía en un 100%), en tanto que el tercer término es el trabajo realizado sobre el sistema cuando éste se comprime. Debe notarse que en el caso de que , o de que en vez de una compresión hubiese una expansión, el signo de los términos de transferencia de exergía
simplemente se invertirían. El último término del lado derecho corresponde a la destrucción de la exergía en el proceso. La ecuación de balance instantáneo de la exergía termomecánica sobre un volumen de control finito está dada por:
∫ . ∫ 1 . .
(4.85)
Y para un volumen infinitesimal:
. 1 . .
(4.86)
y de 4.77:
. 1 . .
(4.87)
El término del lado izquierdo de 4.87 representa la rapidez de cambio de la exergía termomecánica (por unidad de volumen) dentro de un volumen infinitesimal; el primer término del lado derecho es el trabajo en el eje por unidad tiempo y de volumen realizado sobre el volumen infinitesimal, el segundo término del mismo lado representa la rapidez en el incremento de exergía recibido vía transferencia de calor -el factor indica cuánto de ese calor es potencialmente utilizable- , el tercer término del lado derecho indica la rapidez con la que el sistema recibe trabajo por cambios en el volumen, y los últimos dos términos indican el consumo o destrucción de la exergía, por unidad de tiempo y de volumen. En el sistema SI cada término se mide en W/m3.
1
4.7 A manera de resumen Se han desarrollado las ecuaciones de balance instantáneo sobre volúmenes de control finitos e infinitesimales de seis propiedades: cuatro son termodinámicas (la masa, la energía, la entropía y la exergía, que son escalares), y dos son mecánicas (el momentum y el momentum angular, ambas vectoriales). Estas ecuaciones deben ser satisfechas en cualquier situación en un medio continuo. Estas ecuaciones son las siguientes. Balance instantáneo de masa: Sobre un volumen finito:
∫⩝ ∇∙ − 0
(4.18)
Sobre un volumen infinitesimal:
∇∙ −0 0 ó
(4.19)
Balance instantáneo del momentum (1ª Ley de Cauchy o Segunda Ley de Newton): Sobre un volumen finito:
∫⩝ ∇∙ −− ∫⩝ ∫ −∧ S
(4.28)
Sobre un volumen infinitesimal:
− ∙∇−∇∙ = −
ó
(4.35)
Balance instantáneo del momentum angular: Sobre un volumen finito:
⩝ × × ∙ ⩝ × ×∙ S⩝ (4.39)
Sobre un volumen infinitesimal:
0
(4.42)
Balance instantáneo de la energía: Sobre un volumen finito:
∫⩝ ∫⩝ ̇
(4.55)
Sobre un volumen infinitesimal:
∙ ∇ :∇ ∇∙ ̇ ó ̇
(4.57)
Balance instantáneo de la entropía: Sobre un volumen finito:
∫ ∫ ∫ ̇
(4.71)
Sobre un volumen infinitesimal:
. . . . − ∙ ∇ =: ∇ − − ∙ ∇ ∇∙
(4.75)
(4.76)
Balance instantáneo de la exergía: Sobre un volumen finito:
∫ . ∫ 1 . .
(4.85)
Y para un volumen infinitesimal:
. 1 . .
(4.87)
De las ecuaciones anteriores, pueden contarse 10 ecuaciones escalares independientes (una para la masa, otra para la energía, una más para la entropía y otra para la exergía; tres para el momentum, más otras tres para el momentum angular) con poco más de diez incógnitas, que deben resolverse de manera simultánea (junto con ecuaciones de estado termodinámico y algunas otras relaciones entre las incógnitas) para solucionar un problema de ingeniería o de alguna ciencia o técnica. Actualmente se utilizan métodos computacionales para resolver estos sistemas, que por lo general son no lineales (lo que lleva a soluciones múltiples, aún con las mismas condiciones inicial y de frontera), que no son tratados en este libro.
SEGUNDA PARTE
ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
5 ANÁLISIS DE ESFUERZOS INTRODUCCIÓN En la mecánica de los medios continuos para expresar la interacción entre una parte muy pequeña de cuerpo con otra parte de éste se emplea el concepto de esfuerzo. Se ha reconocido que existen dos tipos de interacción entre las partículas: por contacto directo o a distancia. Así, cuando se considera un sistema de partículas se debe especificar la manera en la cual cada una de ellas es influenciada por las otras. De igual manera, en la mecánica de medios continuos se debe especificar la interacción entre una parte del cuerpo y las otras partes del mismo. Sin embargo, como en un medio continuo aún en el volumen más pequeño existe una infinidad de partículas, el problema de la interacción entre éstas sería demasiado complicado. En vez de eso se puede considerar a un cuerpo que ocupa un cierto volumen V (limitado por una superficie cerrada S) en un instante t dado. Hasta esta parte del libro, como una primera etapa se ha estudiado la descripción del movimiento de un medio continuo sin considerar las causas que lo originan; asimismo, se ha procedido a establecer las ecuaciones de balance sobre volúmenes de control finitos e infinitesimales. En la teoría clásica de medios continuos, el concepto de esfuerzo es introducido a través de la descripción de fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie. Como se mencionó en el capítulo anterior, las llamadas “fuerzas de cuerpo” son aquellas que actúan sobre el volumen del medio continuo a distancia (sin que exista contacto); ejemplo de éstas son la fuerza gravitacional, las electrostáticas y las magnéticas; estas fuerzas son resultado de la presencia de campos (gravitacionales, electrostáticos o magnéticos) y se representan a través de la aceleración que generan en el medio continuo. En particular, la fuerza de gravedad siempre deberá ser considerada al escribir las ecuaciones de balance pertinentes. Por otra parte, las fuerzas de superficie son aquellas que para transmitirse demandan contacto íntimo y que actúan sobre una superficie material, definida al separar en partes el cuerpo, o al separarlo de otros cuerpos. Las fuerzas de superficie son solicitaciones externas que actúan sobre la superficie del cuerpo; por ejemplo, la fuerza que genera el viento sobre las palas de una turbina eólica, o las que se producen al sumergir un cuerpo en un líquido, o también al estar en contacto dos sólidos. En el capítulo anterior se introdujeron las ambos tipos de fuerzas, y para un medio continuo finito se estableció que:
y:
−
∫⩝ ∫ S
es la fuerza neta de cuerpo que actúa sobre éste. es la fuerza neta de superficie.
(4.23) (4.25)
Ahora bien, considérese un medio continuo el cual se encuentra sometido a un conjunto de fuerzas como el que se muestra en la figura 5.1.
Figura 5.1 . Fuerzas que actúan sobre un cuerpo que es un medio continuo
∏
como se muestra en la figura 5.2 , Si se corta este cuerpo material continuo con un plano la sección remanente deberá poder estar en equilibrio según los fundamentos de la estática, de tal forma que sobre el plano de corte aparecerá una fuerza resultante . Dicha fuerza se representa en principio en el centroide del área descrita sobre el plano de corte; sin embargo, resulta evidente que la carga se distribuye sobre el área de la superficie , por lo que se puede definir el concepto de vector de esfuerzo o de tracción como:
− −∧ lím∆→ ∆∆
(5.1)
Ahora bien, de la fuerza pueden hallarse sus componentes (escalares) normal y tangencial; los componentes vectoriales correspondientes estarían multiplicados por los correspondientes vectores unitarios normal y tangencial, como es fácil de entender.
∙ ∙ lím∆→ ∆∆
Estos componentes escalares de la fuerza
quedan definidos de la forma:
y:
(5.2)
(5.3)
Con lo anterior se puede definir el esfuerzo normal como:
y el esfuerzo cortante o tangencial como:
(5.4)
í∆→ ∆∆
(5.5)
Figura 5.2. Medio continuo sometido a un conjunto de fuerzas de cualquier origen
5.1 El vector de tracción y el tensor de esfuerzos Se considera que el vector de tracción o de esfuerzo permite describir la fuerza en un punto de la superficie del cuerpo, el cual no toma en cuenta la curvatura en la superficie del elemento diferencial (infinitesimal) bajo análisis. Esto es asumido c omo el “principio de esfuerzos de Cauchy”, que es un axioma básico de la mecánica de medios continuos. En general, el tensor de esfuerzos queda descrito por:
̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
(5.6)
Donde los componentes de son precisamente los componentes de los vectores de esfuerzo sobre las superficies perpendiculares a los ejes (o curvas) coordenados, es decir: (5.7) (5.8) (5.9)
En la figura 5.3 se representan los componentes del tensor de esfuerzos cuando éstos tienen un valor positivo. Se aprecia que, por convención, el primer índice del tensor determina la superficie sobre la que actúa; establece que “actúa en una superficie normal a la curva coordenada ”. El segundo índice determina la dirección de ese componente, ya que establece que “actúa en la dirección de la curva (o eje) coordenada ”. Un componente escalar de será positivo si el vector normal a la superficie apunta en sentido positivo en que la curva es descrita, y el componente también apunta en el sentido positivo de la curva coordenada .
Si el vector unitario normal apunta en el sentido negativo de , los componentes serán positivos cuando apunten en el sentido negativo en que la curva coordenada es descrita. Así, todos los componentes mostrados en la figura 5.3 corresponden a valores positivos. Si alguno apuntara en sentido contrario al mostrado, representaría un componente con valor negativo.
Figura 5.3. Componentes del tensor de esfuerzos, considerados positivos. Para valores negativos el sentido sería el contrario al mostrado en la figura. Nótese que un esfuerzo normal positivo ( en esta figura) corresponde a una tracción, en tanto que uno negativo corresponde a una compresión.Sólo se muestran los esfuerzos sobre las caras visibles del hexaedro; en las caras ocultas correspondientes, actúan los mismos componentes positivos, pero con sentidos invertidos.
− −∧ − −∧ − −∧ − −∧ −∧ ∙ =
El vector de esfuerzos 1. 2.
y el tensor de esfuerzos tienen las siguientes propiedades: (5.10) (5.11)
La propiedad 1 es consecuencia de la condición de equilibrio para una superficie material dentro de un cuerpo. Sobre ambos lados de una superficie elemental, diferenciados por los
−∧ −∧ − −∧− −∧ 0− − −∧ − −∧
vectores normales antiparalelos
y
, los vectores de esfuerzo que actúan sobre cada
cara deberán estar en equilibrio, es decir que:
de aquí:
(5.12a)
(5.12b)
Para probar la segunda propiedad considérese el tetraedro mostrado en la figura 5.4.
Figura 5.4 Tetraedro elemental en equilibrio sometido a esfuerzos.
−∧
La cara ABC tiene por normal al vector , como se muestra en la figura. Las caras OBC , OAC y
−∧ −∧ −∧
OBA tienen como vectores normales (dirigidos hacia afuera del tetraedro) a los vectores unitarios
,
y
, respectivamente. La altura h del tetraedro es la distancia (medida
perpendicularmente) entre el origen O del marco de referencia mostrado, y la cara ABC. Aplicando un balance instantáneo de momentum sobre tetraedro (ecuación 4.25), se tiene que:
∫ − ∫ −∧ S ∫⩝
(5.13)
Aplicando el Teorema del Valor Medio , las integrales de 5.13 se pueden expresar como el producto de los valores medios de sus integrandos, mutiplicados por la magnitud de la región de integración. Así la ecuación 5.13 puede reescribirse como:
−− 13 ℎ − ∧ ∧ ∧ − − − − ∧ − − − − − − − − − − 13 ℎ (5.14)
En 5.14 las rayas encima de las variables del integrando indican valores medios en las regiones de integración (el volumen de control VC y su frontera, la superficie de control SC ).
Ahora bien, las áreas de las caras normales a los ejes, son las proyecciones del área de la cara sobre los planos coordenados; sus magnitudes se expresan en la siguiente tabla.
CARA ABC
OBC
OAC
OAB
Vector normal
ÁREA
(dirigido hacia afuera)
∧ −∧∧ ∙−∧ − ∙−∧ −∧ ∙−
−∧∧ −∧ −∧ −
Sustituyendo en la ecuación 5.14, luego de dividir ambos miembros entre el área obtiene que:
−− ℎ−− −∧−∧ ∙−∧−− −∧ −∧ ∙−−∧−− −∧−∧ ∙−∧−− −∧− −− ℎ
(5.15)
y al tomar el límite cuando h 0 (el tetraedro se colapsa en un punto) se tiene que:
−∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 0− − −− ∙−− − − ∙−− −− ∙−− −
se
(5.16)
Nótese que los valores de los vectores de esfuerzo ya no son promedios, sino valores puntuales.
−∧ 0− − −∧ −∧ ∙−∧ − −∧−∧ − −∧−∧ − −∧
Tomando al vector
como factor común a los tres últimos términos del miembro derecho de
5.16 se tiene que:
(5.17)
∧− ∧ −∧ − =
Nótese dentro del corchete los productos diádicos entre los vectores unitarios ,
y
con los
vectores de esfuerzo que actúan sobre las superficies normales a dichos vectores unitarios. La suma de los términos de dentro del corchete es precisamente el tensor de esfuerzos , ya que:
∧− − −∧ 011 012 013 ∧ − ∧ 021 022 023 −∧ − −∧ 00 00 00 0 0 0 −− 0 0 0 31 32 33 ∧− − −∧∧ − ∧−∧ − −∧ = − − 0− − −∧ −∧ ∙= − −∧ −∧ ∙= ;
y
por lo que:
Así:
(5.18)
ó
(5.19)
(5.20)
5.2 Los esfuerzos principales En el capítulo 2, sección 2.10, se trató el problema de los valores principales de un tensor de orden dos. En esta sección se aplicarán lo allí desarrollado al tensor de esfuerzos. En virtud de que los componentes del tensor de esfuerzos son números reales (con las unidades de esfuerzo, en general MPa), para el caso de que el material sea no polar (el esfuerzo es simétrico en ese caso) existirán tres valores principales reales para ese tensor (que serán los llamados “esfuerzos principales”). Cada valor principal estará asociado con una “dirección principal”, quedando las tres direcciones (definidas por los vectores principales de ) como mutuamente perpendiculares entre sí; los planos cuya normal corresponde a la dirección de los esfuerzos principales se denominan “planos principales”. En estos planos el vector de esfuerzos es normal a ellos, y sus componentes cortantes son todos nulos.
En el caso de materiales polares el tensor de esfuerzos no es simétrico, y en consecuencia dos de sus valores principales son complejos conjugados, y sólo un esfuerzo principal es real.
Los esfuerzos principales en un punto determinado de un cuerpo (los valores principales de ), incluyen los valores máximo y mínimo de los esfuerzos normales, considerando todos los planos que pasan a través del punto. Los esfuerzos principales se pueden determinar de la ecuación
característica asociada al tensor de esfuerzos de la misma manera que se procedió en la sección 2.10, quedando en la forma:
0
(5.21)
en donde , y son los invariantes fundamentales del tensor de esfuerzos, que acorde a las relaciones 2.107 son:
1 det 2
(5.22) (5.23) (5.24)
≥
Una vez determinados , y , que son los esfuerzos principales del tensor, al ser reales los tres conviene ordenarlos de mayor a menor, como será evidente más adelante. Entonces .
≥
La esencia del tensor de esfuerzos es la triada ortogonal de los vectores de esfuerzo principales, en los que los componentes cortantes son nulos. Estos tres vectores, asociados a un punto dado del cuerpo, describen el estado local de esfuerzos, de la misma manera que el vector velocidad describe el estado local de translación en ese punto.
Con respecto a un marco principal, si es un vector normal a un plano, los componentes del vector de esfuerzos relativos a este plano están dadas por:
0 0 00 0 0 − −∧ , , − −∧ −∧ ∙− −∧
o mejor:
(5.25)
El componente normal de lo que:
(5.26)
en dicho plano queda definido por
, por
(5.27)
Entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la magnitud del esfuerzo cortante en el plano será:
(5.28)
5.3 Determinación de los esfuerzos máximos y las superficies donde actúan El problema de determinar los valores extremos de los componentes del esfuerzo es de primordial importancia en la ingeniería, ya que una pieza mecánica, por citar un ejemplo, fallará si es sometida a un esfuerzo (cortante o normal, de tracción o de compresión) superior al máximo que puede resistir sin dañarse o fallar. Se deberá diseñar la pieza con las dimensiones y los materiales adecuados para que estos esfuerzos nunca sean alcanzados cuando la pieza esté en funcionamiento. Algo similar puede decirse sobre la estructura de un edificio, que deberá ser capaz de resistir sismos, cargas eólicas por huracanes y ráfagas de viento, posibles impactos accidentales o provocados, etcétera. Para determinar estos valores máximos se puede proceder como es usual en las muchas técnicas de optimización empleadas en la ingeniería (plantear el esfuerzo de marras como una función a ser optimada, en seguida derivar esta función e igualar a cero las derivadas, etcétera). En seguida se bosqueja brevemente el método de multiplicadores de Lagrange, y en la siguiente sección se presenta una técnica gráfica mucho más cómoda, ideada por Christian Mohr, conocida como análisis de los “círculos de Mohr”. Un simple vistazo sobre esta gráfica permite identificar los valores máximos (y mínimos), tanto de los esfuerzos cortantes como los normales, y darse una idea clara del estado de esfuerzos en general, en el punto y el instante dados, para el cual las gráficas (los círculos de Mohr) se construyen. Supóngase que ya se han determinado los valores principales del tensor de esfuerzos mediante el procedimiento descrito en la sección 2.10. La ecuación 5.28 puede verse como una función a optimizar como sigue:
(5.29)
Si el esfuerzo cortante debe corresponder con un máximo; será entonces necesario determinar los valores para el cual se presente este valor máximo. Dado que los cosenos directores no pueden variar independientemente uno del otro, y que el vector es unitario, se tiene que:
1 0
(5.30)
ahora, para determinar un máximo (o un mínimo, o un “punto de ensilladura”), es preciso derivar con respecto a la normal al plano e igualar a cero, es decir: (5.31)
y como
no pueden variar independientemente, se debe cumplir que:
0
0
0
(5.32)
Introduciendo el parámetro tal que:
al sustituir en 5.31 se tiene que:
(5.33)
0
(5.34)
1,0,0
La ecuación 5.34 se cumple cuando se cumple a su vez la ecuación 5.30, y en tal caso las ecuaciones 5.30 y 5.33 representan un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y , que corresponde a valores estacionarios de . Éste es el método de “los multiplicadores de Lagrange” en donde el parámetro recibe tal denominación.
0,1,0 0,0,1
Al desarrollar las derivadas parciales y considerando que las direcciones principales son y se llega a que:
á á−í
,
(5.35)
Entonces, los esfuerzos cortantes máximos se pueden expresar mediante las siguientes relaciones:
| 2 | ≥ ≥
Como
| 2 |
| 2 | 2
(5.36)
, el segundo de los esfuerzos cortantes máximos,
el mayor de los tres, y corresponde al máximo valor del esfuerzo cortante en ese punto en ese instante.
, es
que se puede tener
Para obtener el máximo para los esfuerzos normales, la función a optimar sería 5.27, y el valor máximo que se obtiene es precisamente el valor principal más g rande del tensor, es decir,
á
(5.37)
í
Asimismo, se encuentra que:
(5.38)
5.4 Los círculos de Mohr Existe una manera genial para representar el estado de esfuerzos en forma gráfica. Christian Mohr resolvió el problema de los valores extremos de los esfuerzos adaptando las características del tensor a las características geométricas de unas familias de circunferencias. El procedimiento, sumamente simple se presenta a continuación. Si se expresa el tensor de esfuerzos con respecto un marco de referencia principal, éste toma la forma de la matriz diagonal siguiente:
0 0 00 0 0 ∙ , , , , ; ;
con el vector normal
(5.39)
a una superficie arbitraria dado por:
(5.40)
El vector de esfuerzo sobre esa superficie queda entonces determinado por:
De esta manera: Como
(5.41)
(5.42)
es un vector unitario:
122 2 22 322 1
(5.43)
La ecuación 5.43 es la de un elipsoide llamado “elipsoide de Lamé”, y muestra que en un marco cartesiano principal, si el origen del vector de esfuerzos se coloca en el origen del marco, su extremo siempre caerá sobre ese elipsoide. El valor más grande para el esfuerzo normal es , el semidiámetro mayor, y el menor es , igual al semidiámetro menor de los tres.
=
Figura 5.5. Los tres vectores de tracción principales. Esta triada es la esencia de del tensor .
1
Para un plano cualesquiera, el esfuerzo normal, la suma de los cuadrados de los componentes normal y cortante, y el hecho de que es unitario producen el siguiente sistema de ecuaciones:
(5.44)
(5.45) (5.46)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 5.44, 5.45 y 5.46 considerando a como las incógnitas del sistema, se tiene que:
−−−−−−++ −− −−+ −−
, (5.47)
(5.48)
(5.49)
Completando cuadrados perfectos de las tres últimas ecuaciones, se obtiene que:
+ − + − + −
(5.50)
(5.51) (5.52)
+ , 0 − σ I−≥σ0I ≥σI I í 0 0 , , 0 ± ∧ ± , 0 ∧ ± − − ±1 á − − La ecuación 5.50 corresponde a una familia de circunferencias (con el parámetro
ellas con centro en el punto
, y cuyos radios están dados por:
), todas
(5.53)
Como nulo cuando
el término es en general positivo, con un valor . Así, la menor de la familia de circunferencias dada por 5.50 tiene un radio , que corresponde al valor de . Esta circunferencia aparece en la figura 5.6 en color naranja, como la circunferencia . Cada uno de los puntos de esta circunferencia corresponde a una posible orientación de la superficie que contiene al punto y cuyo vector normal tiene un primer componente , lo que implica que vector normal es perpendicular al eje coordenado (principal) . Las coordenadas de cada punto de la circunferencia corresponden a los componentes normal y cortante del vector de esfuerzo. La circunferencia mínima corta al eje de los esfuerzos normales en los puntos , que corresponde a los vectores normales
= (0, 0,
1), y en
, que corresponde a los vectores normales
=
(0, , 0). La mayor de las circunferencias de la familia tiene un radio . El espacio de soluciones viables, para esta primer familia, es el ánulo comprendido entre estas dos circunferencias extremas, que no se muestra en la figura 5.6 pero que puede ser fácilmente imaginado.
+ , 0 − ≥ ≥ − 0 á 0 0 , ∧ , 0 ± − ∧ ± , 0 ± ± 1 − í − +
En completa analogía con la discusión anterior, la ecuación 5.51 corresponde a una familia de
circunferencias (con el parámetro cuyos radios están dados por:
), todas ellas con centro en el punto
, y
(5.54)
Como el término es en general negativo (los dos primeros factores son positivos, pero el tercero, , es negativo) con un valor nulo cuando . Así, la mayor circunferencia de la familia dada por 5.51 tiene un radio , que corresponde al valor de . Esta circunferencia aparece en la figura 5.6 como la circunferencia . Cada uno de los puntos de esta circunferencia corresponde a una posible orientación de la superficie que contiene al punto y cuyo vector normal tiene un primer componente , lo que implica que vector normal es perpendicular al eje coordenado (principal) . Las coordenadas de cada punto de la circunferencia corresponden a los componentes normal y cortante del vector de esfuerzo. La circunferencia máxima corta al eje de los esfuerzos normales en los puntos (0, 0,
1), y en
, que corresponde a los vectores normales
, que corresponde a los vectores normales
= (
=
, 0, 0). La menor de las
circunferencias de esta familia tiene un radio . El espacio de soluciones viables para esta segunda familia de circunferencias es el ánulo comprendido entre estas dos
circunferencias extremas, que tampoco se muestra en la figura 5.6 pero que también puede ser fácilmente imaginado.
+ , 0 − σI ≥σ 0I ≥σ− I I í 0 0 , , 0 ± ∧ ± , 0
Por último, la ecuación 5.52 corresponde a una familia de circunferencias (con el parámetro ), todas ellas con centro en el punto , y cuyos radios están dados por:
(5.55)
Como el término es en general positivo, con un valor nulo cuando . Así, la menor de esta tercer familia de circunferencia dada por 5.52 tiene un radio , que corresponde al valor de . Esta circunferencia aparece en la figura 5.6 como la circunferencia . Cada uno de los puntos de esta circunferencia corresponde a una posible orientación de la superficie que contiene al punto y cuyo vector normal tiene un primer componente , lo que implica que vector normal es perpendicular al eje coordenado (principal) . Las coordenadas de cada punto de la circunferencia corresponden a los componentes normal y cortante del vector de esfuerzo. La circunferencia mínima corta al eje de los esfuerzos normales en los puntos , que corresponde a los vectores normales
±1
−
= (0,
1, 0), y en
∧− ± á + −
, que corresponde a los vectores normales
=
( , 0, 0). La mayor de las circunferencias de esta familia tiene un radio . El espacio de soluciones viables para esta segunda familia de circunferencias es el ánulo comprendido entre estas dos circunferencias extremas, que tampoco se muestra en la figura 5.6 pero que también puede ser fácilmente imaginada. La zona de soluciones viables considerando a las tres familias, es la intersección de los tres ánulos, que corresponde al área sombreada en verde en la figura 5.6.
De un simple vistazo es obvio que el esfuerzo normal máximo es , que éste se presenta en superficies normales al eje principal , y que allí el esfuerzo cortante es nulo. El punto correspondiente a este estado de esfuerzos es la intersección (en común) de las circunferencias (sobre la cual ) y (sobre la cual en la figura 5.6. Claramente allí = ( , 0, 0).
0
0 − ± 1 á∧ √ , 0 , √ ∧ √ , 0 , √
Asimismo, el esfuerzo cortante máximo es
cuatro superficies cuyas normales son los vectores
−∧ √ , 0 , √ −∧ √ , 0 , √ , y
.
, y se presenta sobre las
− − ,
,
Se puede mostrar muy fácilmente que, para un estado de esfuerzos dado por un punto en esta construcción:
Si el punto cae sobre alguna de las circunferencias límite, hay 4 superficies que describen el estado de esfuerzos. Si el punto cae dentro de la zona sombreada, existen 8 superficies que describen el estado de esfuerzos. Todo estado de esfuerzos que quede fuera de la región sombreada, es imposible.
5.5 La cuádrica de esfuerzos de Cauchy
X,Χ Χ ± − −∧ ∙ − −∧ ±
En un punto P dado, para un marco cartesiano local con origen en el punto y ejes paralelos a los ejes coordenados , la ecuación:
Γ, Γ Γ
(5.56)
representa geométricamente a una familia de superficies cuadráticas que tienen un centro común en ese punto. El vector de posición de un punto arbitrario que esté sobre la superficie cuadrática
−
tendrá como componentes de . El componente normal por:
, en donde es el vector normal unitario en la dirección del vector de esfuerzo en el punto P tiene una magnitud dada
Si la constante se hace igual a esfuerzos de Cauchy”, queda como:
(5.57)
, la cuádrica dada en 5.56, llamada ahora “cuádrica de
(5.58)
Figura 5.6. Circulos de Mohr para los esfuerzos. La región sombreada en verde corresponde a los estados de esfuerzos posibles.
−
De ésta se observa que la magnitud del componente normal del vector de esfuerzo que actúa sobre una superficie normal infinitesimal dA perpendicular al vector de posición de un punto situado sobre la cuádrica de esfuerzos de Cauchy, será inversamente proporcional a
, es decir:
±
(5.59)
5.6 Descomposición del tensor de esfuerzos en su parte isótropa y su parte extra En la sección 2.11 se introdujo la definición de un tensor isótropo, y la descomposición de un tensor de orden dos en sus partes isótropa y extra. Para en tensor de esfuerzos, se tiene la ecuación 4.58 del capítulo 4:
donde
(4.58)
es la parte isótropa del tensor de esfuerzos, y el tensor
es conocido como el
“tensor extra de esfuerzos”, o “tensor desviador” de esfuerzos. Aquí, es la presión mecánica, igual a un tercio de la traza del esfuerzo. Esta descomposición acostumbra hacerse siempre que se trata con fluidos, como se verá en el capítulo 7, donde se tratan las ecuaciones constitutivas para el esfuerzo. -----------
Ejercicios
210 , 0, 3 120 , 60 , 40 70 50 3 1 1 = 11 02 20 2
5.1 En un instante dado, en un punto de una pieza de acero ( principales tienen los siguientes valores:
los esfuerzos .
a) Trazar los círculos de Mohr para ese punto en ese instante. b) En ese punto, sobre un cierto plano que lo contiene, el esfuerzo cortante es . ¿Cuál es el esfuerzo normal sobre ese plano? c) En el mismo punto, pero sobre otro plano, el esfuerzo cortante es . ¿Dentro de qué rango de valores está el esfuerzo normal sobre ese plano en ese punto? 5.2 El estado de esfuerzos en un punto y un instante determinados, el estado de esfuerzos es:
a) b) c) d)
Hallar sus valores y sus direcciones principales. Hallar los esfuerzos normal y cortante máximos. Determinar la orientación de las superficies sobre las cuales Trazar los círculos de Mohr.
.
6 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES INTRODUCCIÓN La deformación -definida en los diccionarios como un “cambio en la forma original” - en cualquier medio continuo se puede describir como recuperable, condición que se define como “elástica” o, en su defecto, puede ser permanente o “plástica”. El rango elástico de la deformación se presenta previo a la existencia de las deformaciones no recuperables. En una gran variedad de materiales de ingeniería, como por ejemplo los metales tratados térmicamente y sus aleaciones, y también los materiales cerámicos, las deformaciones elásticas son usualmente muy pequeñas, razón por la cual se tratan como “infinitesimales”. Por otro lado, es común en la actualidad encontrar cada vez más materiales como los elastómeros, que se caracterizan por presentar grandes deformaciones elásticas, las cuales no pueden tratarse como infinitesimales y se describen entonces como “deformaciones finitas”. Las deformaciones plásticas normalmente presentan mayores magnitudes que las encontradas en el rango elástico; en contraste, en los materiales frágiles el rango plástico de la deformación puede ser despreciable, o de magnitud comparable al elástico, como es el caso de cerámicas y metales con tratamientos térmicos muy endurecedores. Por su parte, los metales suaves y muchos de los polímeros se caracterizan por alcanzar grandes deformaciones no recuperables antes de fracturarse. Resulta evidente que la descripción de la deformación dependerá de las magnitudes que ésta alcance. Las condiciones de desplazamiento infinitesimal permiten la simplificación de las expresiones para modelarla, sin embargo, para el caso de deformaciones grandes, se incurriría en graves errores si se tratasen así. En el capítulo 3 se ha descrito la cinemática del medio continuo, en este nuevo capítulo se tratará cómo describir matemáticamente (mediante tensores de orden dos) de una manera sencilla, las deformaciones y los flujos de la materia considerada como un medio continuo.
6.1 Criterios de deformación En la mecánica clásica se define un “cuerpo rígido” como aquel que no se deforma por grandes que sean las cargas a las que se le someta. Esta mera idealización se expresa matemáticamente modelando la distancia entre cualesquier par de partículas como permaneciendo constante. Esto se hace comparando dos configuraciones del cuerpo: una sería la “configuración de referencia”, en donde -como se discutió en el capítulo 3- por definición, las coordenadas de las partículas son sus coordenadas materiales . La condición de no deformación en una vecindad material de un cuerpo se expresaría igualando las magnitudes de las distancias entre dos partículas de la vecindad, en ambas configuraciones. En la configuración de referencia la distancia entre éstas
,
estaría dada por la magnitud del vector infinitesimal
, que es
, y en la configuración
posterior, por la magnitud del vector infinitesimal , que es . Ambos vectores y sus magnitudes se muestran en la figura 6.1, que representa a un cuerpo en dos configuraciones: una
de referencia en donde las partículas ocupan una posición dada por sus coordenadas materiales, y otra en donde cada partícula ocupa una posición en el espacio dada por un vector de posición . En esta figura las partículas P y Q idealmente se encuentran muy próximas entre sí, aunque en la figura su separación está exagerada con fines de representación. P y Q pertenecen a la misma vecindad de partículas, y la distancia entre ellas es infinitesimalmente pequeña. Así, la condición de movimiento rígido (sin deformación o flujo), está dada por la ecuación siguiente:
0
(6.1)
Figura 6.1. Configuración de referencia (a la izquierda) y una configuración posiblemente deformada de un medio continuo. La diferencia en las posiciones de dos partículas P y Q muy próximas (pertenecen a la misma vecindad material) en la configuración de referencia es , y en la configuración “deformada” es . La diferencia entre la posición final y la
− − −
posición inicial de una partícula, por ejemplo P en la figura, es su desplazamiento. El campo de desplazamientos puede expresarse euleriana o lagrangianamente.
0
Como es mucho más sencillo tratar con el cuadrado de esas distancias (lo cual se obtiene con un simple producto punto entre los vectores diferenciales y por sí mismos), la ecuación siguiente, que proporciona exactamente el mismo criterio de rigidez o no deformación, es:
∙ ∙ 0
ó
(6.2)
Si la ecuación 6.2 se satisface para todos los pares de partículas en la vecindad de ellas, no habrá ocurrido una deformación, sino a lo más un movimiento rígido de esta vecindad. Pero si 6.2 no se cumple para las partículas en la misma vecindad, entonces habrá ocurrido una deformación. Esta
deformación se expresará mediante tensores cuyos componentes permiten además interpretar si las deformaciones son elongaciones o contracciones, si hay deformaciones angulares o cortantes, etcétera, como se discute a continuación.
6.2 Los tensores euleriano y lagrangiano de deformaciones finitas La ecuación 6.2 se puede escribir en notación indicial para su mejor manejo, quedando como:
0 Con base en el gradiente material de la posición espacial, puede escribir como:
Entonces:
(6.3)
∇ −
, la ecuación 6.3 se
= = ∇ − ∙∇ − = ∙= Λ Λ
(6.4)
(6.5)
Se define al “ tensor lagrangiano de deformaciones finitas ” (nótese que es simétrico y adimensional, como los son todos los tensores de deformación) como:
Al tensor
=
ó
(6.6)
(6.7)
se le conoce como “Tensor de deformación de Green”, y será tratado en la sección 6.5, junto con la “relación de extensión” , definida por: (6.8)
Con el tensor de deformaciones finitas lagrangiano, la ecuación 6.2 se puede reescribir c omo:
∙2∙0 0 = = 0= −
(6.9)
Esta es la condición para que no haya una deformación en la vecindad de partículas, pero la única manera de que 6.9 sea satisfecha, considerando que , es que todos los componentes del tensor sean nulos. Así, cuando de deformación. Análogamente, como
, se tendrá necesariamente algún tipo
:
(6.10)
(6.11)
Se define ahora al “ tensor euleriano de deformaciones finitas ” (nótese que también es simétrico y adimensional, como todos los tensores de deformación) como:
(6.12)
Con éste, la ecuación 6.2 se puede escribir alternativamente como:
∙ 2∙ 0
(6.13)
Es un ejercicio sencillo el mostrar que los tensores de deformaciones finitas se pueden expresar (como se hará de aquí en adelante) en términos de los gradientes del campo de desplazamientos:
y:
El término en tanto que
∇ − ∇ −
(6.14)
(6.15)
es el gradiente material (o lagrangiano) del campo de desplazamientos, es su gradiente espacial (euleriano).
6.3 Los tensores tensores euleriano y lagrangiano lagrangiano de deformaciones infinitesimales Ahora bien, si todos los componentes de los gradientes espacial y material del desplazamiento fuesen muy pequeños comparados con la unidad, entonces:
→ 12 → 12
(6.16)
(6.17)
Cuando los todos componentes de los gradientes de desplazamiento son pequeños comparados con la unidad, los productos entre éstos resultan aún más pequeños y pueden ser despreciados, quedando únicamente los términos lineales.
A los tensores lineales y se les llama “tensores de deformaciones infinitesimales” lagrangiano y euleriano, respectivamente. De las ecuaciones 6.16 y 6.17, es evidente que los tensores de deformaciones infinitesimales son las partes simétricas de los gradientes del desplazamiento. Si además de que los componentes componentes de los gradientes de desplazamientos sean muy pequeños, los mismos desplazamientos son pequeños, entonces:
≈
≈
(6.18)
En este caso . Esta es la razón de que en la mayoría de los libros de texto sobre mecánica de materiales sólo se maneje el tensor de deformaciones infinitesimales euleriano . Se presupone (generalmente (generalmente sin ninguna base sólida), que tanto tanto los componentes de los
=
gradientes del desplazamiento, como los mismos desplazamientos, son muy pequeños. Si las deformaciones son grandes, los tensores de deformaciones infinitesimales no pasan de ser las partes simétricas de los gradientes del desplazamiento, pero no pueden usarse para modelar dichas deformaciones; tendrían que emplearse los tensores no lineales de deformaciones finitas. Los tensores de deformaciones infinitesimales sólo son aplicables para deformaciones muy pequeñas, del orden de 0,01 o menores m enores aún.
6.4 Interpretación física de los tensores euleriano euleriano y lagrangiano de deformaciones deformaciones infinitesimales
Suponiendo que todos todos los componentes de los gradientes gradientes de desplazamiento, desplazamiento, y que además los desplazamientos mismos son muy pequeños (esto es teoría para deformaciones muy pequeñas),
→ ≈ ≈ ∙ 2 ∙ ≈ ∙ 2 =∙ 2 2 , y
. . Con esto, la ecuación 6.5 se puede escribir como:
(6.19)
El miembro izquierdo de 6.19 se puede factorizar, y después de dividir todos los miembros entre se obtiene que:
+ − ∙∙ ≈ ∙∙
(6.20)
que a su vez conduce a que:
− ≈ ∙ 2= ∙ −∧ ∙ = ∙ −∧ Finalmente:
(6.21)
−− ∙∙
(6.22)
El lado izquierdo de la ecuación 6.22 indica claramente el cambio en la longitud por unidad de longitud de un segmento material en la dirección del vector unitario de referencia. Si el producto
∙∙
−∧
en la configuración configuración
resulta positivo, habrá habido habido una elongación, y si es es
negativo, habrá ocurrido un acortamiento en la longitud del segmento s egmento material. Si en particular
∧− −∧ − ∆ −∧ −∧ ∆
Análogamente, si
, entonces de 6.22 se obtiene que:
(6.23)
, entonces:
(6.24)
−∧ −∧ ∆ , y para
:
(6.25)
Así, , y , es decir, los componentes de la diagonal principal de (cuando este tensor se representa en forma matricial), representan los cambios de longitud, por unidad de longitud, de los segmentos materiales infinitesimales en las direcciones de los ejes coordenados . En consecuencia , y son entonces los componentes longitudinales o “normales” (en analogía con los esfuerzos normales) del normales) del tensor de deformaciones infinitesimales .
Se mostrará en seguida que los componentes que van fuera de la diagonal principal de representan deformaciones angulares o “cortantes”, nuevamente en analogía con los esfuerzos cortantes. Para mostrar esto, considérese el paralelepípedo paralelepípedo infinitesimal mostrado en la figura 6.2, que puede ser un simple cubo si sus aristas tuviesen la misma longitud. Las aristas de éste son paralelas a los ejes de coordenados. Considerando que es parte de un cuerpo en su configuración de referencia, las partículas ocupan posiciones determinadas por coordenadas materiales. Se ha visto que los componentes , y del tensor lagrangiano de deformaciones infinitesimales representan los cambios en las longitudes de las aristas, divididas entre su longitud original, es decir que:
ℎ , ℎ ℎ ∆ ; ∆ ; ∆ = ℎ ℎ ∧ − ∧− −∧ ℎ ℎ
Para mostrar que los componentes de
(6.26)
fuera de la diagonal principal corresponden a
deformaciones angulares hay que “seguir” a las aristas materiales y comparar su orientación, desde la configuración de referencia, hasta la configuración “deformada”, en donde las aristas pueden haber cambiado su dirección. Así, la arista paralela al eje en la configuración de referencia, en la configuración deformada apuntará en la dirección de un vector unitario
−∧
que
“casi” será paralelo al eje , pero con componentes no nulos (aunque infinitesimales) en las direcciones de y . La arista , paralela al eje en la configuración de referencia, luego de la deformación apuntará en la dirección del vector v ector unitario
que “casi” apuntará en la dirección
de , pero con componentes infinitesimales no necesariamente nulos en las direcciones de los ejes y . El producto punto entre los vectores unitarios
y
será entonces igual al coseno del
nuevo ángulo que formen las aristas y luego de la deformación. Si el producto punto es diferente de cero, habrá habido una deformación angular.
Figura 6.2 Paralelepípe Paralelepípedo do infinitesimal en la configuración de referencia de un medio continuo.
∧− −∧ ℎ ℎ ℎ 0 0 ℎ 0 00 ℎ ′ℎ ℎ ′ℎ ′ℎ −∧ ℎ′ −∧ ↔ ∙ ∇ ∙∙ ∇ ∇ Para ubicar los vectores unitarios
y
y
, se puede considerar que las aristas materiales
son vectores vectores infinitesimales infinitesimales definidos por: , y
Luego de la deformación, la arista material
de la configuración de referencia, será
la arista material
en la configuración configuración deformada, deformada, y la arista
deformación será
. El vector unitario en la dirección de
vector unitario en la dirección de
(6.27)
será será
será será
luego de la , y el el
.
Ya que el desplazamiento es:
(6.28)
Se sigue que:
Pero
ó
(6.29)
(6.30)
por lo que:
(6.31)
o, en notación indicial:
(6.32)
La ecuación vectorial 6.32 es equivalente al sistema de las tres ecuaciones escalares siguientes:
1 1 { 1 ℎ 0 0 1 { 1 ℎ′ ≈ 1 ℎ 0 0 1 { 1 ℎ ′ ≈ 1
Así, para la arista
se tiene que:
o, mejor:
Por lo que el vector unitario
en la dirección de la arista
en la dirección de la arista
(6.35)
(6.36)
, se tiene que:
El vector unitario
(6.34)
, luego de la deformación, es:
Procediendo de la misma manera, para la arista
o, mejor:
(6.33)
(6.37)
(6.38)
, luego de la deformación, es entonces:
(6.39)
−∧ −∧ ∙ cos
El producto punto entre
y
será igual al coseno del ángulo que forman; así:
(6.40)
Como por hipótesis todos los componentes de los gradientes espaciales y materiales del desplazamiento son muy pequeños comparados con la unidad, los términos cuadráticos se pueden despreciar, y entonces se obtiene que:
∙ cos ≈ 2 cos sin ≈ ′ℎ ℎ′ ≈ 2 >0 2 2 >0<0 ℎℎ′′ ℎℎ′′ 0 ℎ′ ℎ′ cos sin ≈ cos sin ≈
(6.41)
por lo que:
(6.42)
De acuerdo con la ecuación 6.42, el componente es igual a la mitad del coseno del ángulo que forman las aristas y luego de la deformación. En la configuración de referencia estas aristas son ortogonales, pero luego de la deformación, si es positivo, el nuevo ángulo entre las aristas -representado por - será agudo, y si es negativo, será obtuso. De 6.42:
(6.43)
En la ecuación 6.43 es evidente que para valores positivos de , el ángulo después de la deformación será agudo (en la configuración de referencia es un ángulo recto), y para valores negativos de será obtuso. En la figura 6.3 se representa la deformación angular de los cuatro ángulos de la proyección del paralelepípedo sobre el plano coordenado , suponiendo que . Nótese que en este caso los ángulos formados por aristas que “apuntan” ambas en los sentidos positivos o negativos de los ejes y , decrecen de a( ) , en tanto que cuando una de las aristas (originalmente perpendiculares) apunta en el sentido positivo de un eje, y la otra en el sentido negativo, el ángulo aumenta de a ( ). De la relación 6.43 se puede resumir que:
Si
el ángulo entre las aristas
y
del cubo es agudo (disminuye el ángulo)
Si
el ángulo entre las aristas
y
del cubo es obtuso (aumenta el ángulo)
Si
el ángulo entre las aristas
y
del cubo no cambia y se mantiene recto
Procediendo de la misma manera que se hizo para determinar
se encuentra que: (6.44)
y que:
(6.45)
>0 ≈ 2 ′ ≈ 2
Figura 6.3 Deformación angular o cortante de la proyección del paralelepípedo sobre el plano coordenado , cuando . Aquí y .
6.5 Interpretación física de los tensores de deformaciones finitas
Cuando las deformaciones longitudinales y angulares dejan de ser pequeñas, los tensores y no pueden modelarlas, y en su lugar habrá que manejar los tensores de deformaciones finitas y .
−
Para interpretar los componentes de estos tensores no lineales se recurre a la “relación de extensión” definida en la ecuación 6.8 (asociada a la dirección del vector infinitesimal , determinada por el vector unitario
−∧ Λ −∧ ):
La relación entre el cambio de longitud por unidad de longitud
(6.46)
−∧
, llamado en algunos
textos como “deformación longitudinal unitaria” o “alargamiento unitario”, y la relación de extensión
Λ −∧
es claramente:
−∧ − 1 Λ −∧ 1
(6.47)
Ahora bien, el cuadrado de la relación de extensión es:
Λ −∧ ∙
en donde
es el tensor de deformación de Green definido ya en 6.7.
(6.48)
Para la arista de 6.48:
ℎ
−∧ −∧ 1 0 0 Λ −∧
del cubo mostrado en la figura 6.2,
, de modo que,
(6.49)
Pero, de acuerdo con 6.7, Y como
12 12 Λ −∧ 1 2 Λ −∧ 1 2 Λ −∧ 1 2
(6.50)
, al sustituir en 6.50 se obtiene que:
(6.51)
De modo que:
(6.52)
Procediendo análogamente se encuentra que: y
(6.53)
De lo anterior, las deformaciones longitudinales (o alargamientos) unitarios en las direcciones de los ejes coordenados, están dados por:
L ∧−∧ 1 2 1 L −∧ 1 2 1 { L − 1 2 1 ℎ ℎ cos ∧ ∧ + +
(6.54)
Para las aristas y de la figura 6.2, el ángulo que forman luego de la deformación, originalmente recto, queda dado por: (6.55)
Análogamente, se obtiene que:
cos ∧ ∧ + +
(6.56)
cos ∧ ∧ + +
Y
(6.57)
Se puede proceder de la misma manera para interpretar los componentes del tensor de deformaciones finitas euleriano .
6.6 Valores principales de los tensores de deformación Los tensores de deformaciones, tanto finitas como infinitesimales, son adimensionales y simétricos. Entonces sus tres valores principales son números reales que pueden obtenerse mediante el procedimiento descrito en el capítulo 2. La suma de estos valores principales es igual al primer invariante fundamental de los tensores. Para el caso de los tensores de deformaciones infinitesimales, esta traza corresponde al cambio de volumen por unidad de volumen en el movimiento del cuerpo. Para mostrar esto, considérese nuevamente el paralelepípedo material mostrado en la figura 6.2. Referido a ejes principales, el tensor de deformaciones infinitesimales lagrangianos se expresa como:
0 0 = 00 0 0 ⩝ℎℎℎ ⩝ ℎ1 ℎ1 ℎ1
(6.58)
El volumen del paralelepípedo antes de la deformación es:
(6.59)
Después de la deformación el volumen será:
(6.60)
El cambio de volumen por unidad de volumen por:
∆⩝⩝ +++++++−
(6.61)
Despreciando los términos no lineales:
∆⩝⩝ = ∆⩝⩝
Es decir, que:
(6.62)
(6.63)
6.7 Círculos de Mohr para deformaciones La ecuación 6.22,
− ∙∙ ∙ ∙ =
, que representa deformaciones infinitesimales
normales, es completamente análoga a la ecuación
. Asimismo, las relaciones entre
los componentes cortantes y normales, además del hecho de que el vector es unitario son analogías entre el tensor de esfuerzos y los tensores de deformaciones infinitesimales lagrangiano y euleriano. Debido a la completa analogía entre las ecuaciones que determinan los componentes normales y cortantes de las deformaciones infinitesimales y los esfuerzos normales y cortantes, se pueden determinar tres familias de circunferencias de Mohr para las deformaciones, que se muestran en la figura 6.4 siguiente para el caso lagrangiano (para el caso euleriano el procedimiento para trazar los círculos de Mohr es enteramente igual).
Figura 4.4 Círculos de Mohr para deformaciones.
6.8 El tensor de rapidez de deformación
=
y el vector vorticidad
−
Cuando se modela el escurrimiento de fluidos, no tiene mucho sentido recurrir a la deformación, sino más bien la rapidez con la que ocurre la deformación, que es el flujo. Así, si en lugar del campo de desplazamientos se considera en campo de velocidades, el tensor rapidez de
deformación se define como la parte simétrica del gradiente espacial de la velocidad, que descompuesto en sus partes simétrica y antisimétrica expresa como:
∇ 12 12 12 12 ∇ Ω = =. Ω
donde la parte simétrica es el tensor de rapidez de deformación tensor vorticidad , que así quedan definidos por:
(6.64)
, y la parte antisimétrica es el
(6.65)
(6.66)
De acuerdo a las relaciones 6.64, 6.65 y 6.66 es conveniente observar que:
El gradiente de velocidad tiene nueve componentes independientes; su parte simétrica –que es el tensor de rapidez de deformación - tiene seis componentes independientes, y la parte antisimétrica –el tensor de vorticidad - tiene sólo tres. El tensor de rapidez de deformación es la derivada lagrangiana del tensor de deformaciones infinitesimales euleriano. Es decir que . ; es decir que la traza de
es la divergencia de la velocidad,
que es igual a cero para el caso de un flujo incompresible.
En ingeniería y ciencias, en vez del tensor de vorticidad , es mucho más común utilizar el vector vorticidad , que es el rotacional de la velocidad; es decir: (6.67)
Los componentes del tensor de rapidez de deformación (que en el sistema internacional de unidades SI se mide en s -1, o bien en radianes/s) representan lo siguiente: los que aparecen en la diagonal principal son las rapideces de alargamiento por unidad de longitud de segmentos materiales alineados en las direcciones de los ejes coordenados; los que aparecen fuera de la diagonal principal representan rapideces de deformación angular (aquí las unidades rad/s cobran completo sentido) de las aristas de un cubo material que apuntan originalmente en la dirección de dos ejes coordenados perpendiculares.
= (
)
(6.68)
En el Apéndice 3 de este libro aparecen los componentes del tensor rapidez de deformación en coordenadas cilíndricas y esféricas, además de las cartesianas de los componentes de 6.68.
Ω Ω Ω− 0 Ω= 0 0 ( )
El tensor de vorticidad, por ser antisimétrico, sólo tiene tres componentes independientes, que son los componentes de la velocidad de rotación rígida de una vecindad de partículas. Estos componentes son 6.69.
,
y
, que aparecen resaltados en rojo en
(6.69)
En lugar del tensor de vorticidad se acostumbra emplear el vector vorticidad, que es el rotacional de la velocidad definido en la ecuación 6.67:
−
− ∇ × − −
De 6.69 y 6-70 se observa que el vector vorticidad
(6.70)
es el doble de la velocidad de rotación
rígida de un elemento o vecindad de partículas de un cuerpo, es decir que:
− ∇ × − 2 −
(6.71)
6.9 Ecuaciones de compatibilidad Al ser simétricos los tensores de deformaciones (tanto finitas como infinitesimales), cada uno de ellos tiene en principio seis componentes independientes. Sin embargo, como cada componente está en términos de derivadas parciales del desplazamiento, que es un vector y como tal tiene sólo tres componentes independientes, los componentes de estos tensores deberán satisfacer condiciones que permitan la compatibilidad entre las definiciones de éstos y el número de componentes independientes en los tensores. Estas condiciones son plasmadas en las llamadas “ecuaciones de compatibilidad” que se presentan en esta sección.
Si por ejemplo, los seis componentes del tensor de deformaciones infinitesimales euleriano se definen explícitamente como funciones de las coordenadas espaciales (y del tiempo), se tendrían seis ecuaciones diferenciales parciales cuya solución serían los tres componentes del vector desplazamiento. Habría más ecuaciones que funciones incógnita, y el sistema estaría sobre determinado, como se muestra abajo. Las ecuaciones de compatibilidad evitan esta sobre determinación.
e
11
u x
e
u x
e
1
12
1
e
22
2
2
1 u 2 x 1 u 2 x
2
1
23
3
2
u x u x
1
2
2
3
e
13
u 1 u 2 x x u e x 3
1
1
3
3
33
3
Arriba se tienen seis ecuaciones, con las siguientes tres incógnitas que aparecen a la derecha:
(6.72)
u1 u1 x , t u2 u2 x, t (6.73) u3 u3 x, t
Hay así más ecuaciones que incógnitas, por lo tanto las funciones
− ;
no pueden ser
arbitrarias, sino que deben satisfacer condiciones necesarias y suficientes, que son las llamadas “ecuaciones de compatibilidad”. En el caso del tensor euleriano de deformaciones infinitesimales, las ecuaciones de compatibilidad son las seis ecuaciones que resultan ser independientes en la siguiente ecuación tensorial de cuarto orden (equivalente a un sistema de 81 ecuaciones escalares, con sólo seis de ellas independientes):
0 2 2 2
(6.74)
Las seis ecuaciones independientes, de entre las 81 de ellas dadas en 6.74, son las siguientes:
Para el caso plano (sobre el plano
) solamente se aplica la ecuación 6.75.
(6.75)
(6.76)
(6.77)
(6.78)
(6.79)
(6.80)
Obtener el tensor de deformaciones a partir del campo de desplazamientos es muy sencillo, pero obtener el campo de desplazamientos a partir de las deformaciones por lo general es muy laborioso, como se muestra en el ejercicio 8 al final del Capítulo 8, en donde se trata de determinar el campo de desplazamientos en una barra cilíndrica sometida a torsión, a partir del campo de deformaciones que la torsión le ocasiona. Para resolver ese problema, lo primero que se debe hacer es verificar que se satisfacen las seis ecuaciones de compatibilidad, y en seguida se procede a integrar los componentes del tensor de deformaciones infinitesimales euleriano. Para entender un poco más el significado físico de las ecuaciones de compatibilidad se puede imaginar un cuerpo bidimensional construido con un gran número de elementos cuadrados. Cuando el cuerpo es sometido a esfuerzos los elementos se deforman. Se puede entonces determinar el campo de deformaciones midiendo los cambios en las longitudes y los cambios en los ángulos entre las aristas de todos los elementos originalmente cuadrados. Este procedimiento teóricamente es efectuado derivando los componentes del campo de desplazamientos obtenido luego de la medición. Ahora, al considerar el problema inverso, es decir al suponer que se tiene un gran número de elementos ya deformados, éstos deben poderse ensamblar de modo que no aparezcan huecos ni discontinuidades entre ellos. Solamente si los elementos son adecuadamente unidos (en general de una única manera posible), podrá ensamblarse el cuerpo deformado sin dejar vacíos entre los elementos deformados. Estos elementos deformados corresponden al caso en que se conoce el campo de deformaciones. La prueba para determinar en qué caso los elementos están adecuadamente deformados y en consecuencia son compatibles de unirse entre ellos sin dejar huecos ni discontinuidades, corresponde a las ecuaciones de compatibilidad. Si y sólo si todas las ecuaciones de compatibilidad son satisfechas, los elementos deformados podrán unirse adecuadamente. Esto garantiza que el campo de desplazamientos puede determinarse sin mayores problemas integrando los componentes del campo de deformaciones. ------
Ejercicios 6.1 El campo de desplazamientos en un cuerpo está dado por:
2 2×10×10−− 2 ×10−
=
a) Determinar el tensor euleriano de deformaciones infinitesimales . b) c) d) e)
¿ Hay una rotación rígida o únicamente hay una deformación ? Obtener la diferencia entre y . ¿ La deformación conlleva un cambio en el volumen ? En caso afirmativo, ¿es una compresión o una expansión?
6.2 El campo de desplazamientos en un cuerpo está dado por:
En donde
// 1 3 , y
son constantes.
a) Determinar las deformaciones infinitesimales y . b) Obtener la diferencia entre la deformación finita y la infinitesimal
.
6.3 Una membrana muy delgada de goma es estirada de forma que se le produce el campo de deformaciones plano definido por:
0, 0 02 0 006 0, 0,001
¿Cómo debe orientarse un rectángulo que se dibuje sobre la membrana antes de la deformación, para que después de ésta siga siendo un rectángulo? 6.4 Determine cuáles de los siguientes campos de deformación son compatibles: a)
b)
c)
3 1 4 2 0 = 40 2 032 320 1 6 4 2121, 12 5 223 12 4 0,50,52 = 2121, 5 6 223 0, 5 0, 5 2 1245 2,5 3 0, 5 = 0,2,55 243 0, 5 0,5 2332 3 ; ¿?; ;
6.5 Un campo de flujo está definido por las siguientes relaciones:
¿ Cómo debe ser
a) Incompresible b) Irrotacional
para que el flujo sea ? :
22 2∇ − −
6.6 Para el campo de velocidades definido por:
Ω=
Encontrar los tensores gradiente de la velocidad
, rapidez de deformación
vorticidad
.
. Asimismo, obtener el vector vorticidad
=
y
7. ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA EL ESFUERZ0 INTRODUCCIÓN En el capítulo 4 se desarrollaron 10 ecuaciones diferenciales escalares de balance de propiedades termodinámicas y mecánicas que deben ser satisfechas en todo movimiento que experimente un cuerpo, considerando válida la hipótesis del medio continuo. En estas ecuaciones aparecen como variables los tres componentes de la velocidad (o bien, los tres componentes del vector desplazamiento), los componentes del tensor de esfuerzos (sólo seis para el caso de materiales no polares, nueve para el caso más general), los tres componentes del vector flujo de calor, la densidad, la temperatura, la presión, la energía interna, la entropía y la exergía. Hay así más variables (incógnitas) que ecuaciones diferenciales de balance. Sin embargo, hay relaciones adicionales entre éstas, como las ecuaciones de estado (que relacionan variables termodinámicas), y las llamadas “ecuaciones constitutivas”, que caracterizan las propiedades físicas particulares del medio continuo que se esté estudiando. Para tener una solución a un problema de mecánica de medios continuos, el número de ecuaciones escalares independientes deberá ser igual al número de incógnitas, y deberán especificarse las condiciones iniciales y de frontera para cada ecuación diferencial. En pocas palabras, una vez que se han establecido las ecuaciones generales, las cuales representan las condiciones que deberán ser cumplidas por cualquier medio continuo para cualquier posición y tiempo, es necesario definir las ecuaciones que describan el comportamiento de medios idealizados, las cuales son precisamente las ecuaciones constitutivas. Conociendo la ecuación constitutiva de un material, se introduce en las ecuaciones de balance instantáneo de momentum, energía, entropía y/o exergía, se establecen las condiciones límite (iniciales y de frontera), y con las ecuaciones de estado y otras relaciones pertinentes entre las variables, un problema queda matemáticamente modelado. Así, el desarrollo de ecuaciones constitutivas es una tarea clave en la mecánica de medios continuos puesto que éstas diferencian completamente un material de otro, aunque tengan que obedecer a las mismas leyes físicas. Ejemplos de ecuaciones constitutivas para el flujo de calor son los modelos correspondientes a la Ley de Fourier para medios isótropos (ecuación 4.54), o la correspondiente a materiales anisótropos (ecuación 4.53):
−. ∇ −. ∙∇
(4.54)
(4.53)
La finalidad de estas ecuaciones constitutivas es establecer una relación funcional entre las variables cinemáticas, dinámicas y térmicas que modelen el comportamiento de un medio cuando está sujeto a cargas y gradientes de temperatura. Con las ecuaciones constitutivas se intenta definir o clasificar al material, como por ejemplos: un “fluido newtoniano”, un “sólido hookeano” o un “plástico de Bingham”. Las relaciones entre el esfuerzo y la deformación (o la rapidez de
deformación) para estos materiales serían casos particulares de ecuaciones constitutivas para el esfuerzo, que son las ecuaciones sobre las que se pone el énfasis en este capítulo. Estas ecuaciones son al fin y al cabo, simples modelos materiales que son muy útiles porque por lo general reflejan muy bien el comportamiento de sustancias reales. Como ejemplo, todos los gases, y muchos líquidos vitales como el agua y el alcohol etílico, se comportan casi perfectamente como “fluidos newtonianos”, y muchos sólidos -cuando las deformaciones son muy pequeñas- se comportan como sólidos hookeanos. Sin embargo, otros líquidos y sólidos exhiben un comportamiento mucho más complejo y es preciso desarrollar ecuaciones constitutivas, o al menos postular modelos empíricos simples, para tratar de modelar su movimiento. Cabe mencionar aquí que todos los libros y tratados sobre “Mecánica de Fluidos” se limitan a fluidos newtonianos. Para líquidos no newtonianos hay que aclarar que el tema en tales obras sería la “Mecánica de fluidos no newtonianos”. En el caso de sólidos, la anisotropía y la no linealidad son características no hookeanas más bien comunes y bien estudiadas en la mecánica de sólidos.
7.1 Principios generales para las ecuaciones constitutivas En la construcción de un modelo de ecuación constitutiva se intuye que de entrada hay ciertos principios generales a ser satisfechos por ésta. Además de éstos, a cada material en particular se le achacarán ciertas hipótesis que se supone debe cumplir. El resultado será una relación entre el esfuerzo y el movimiento del material, definido esencialmente por su deformación, su rapidez de deformación, o ambas. Mientras más complejo sea el comportamiento del material, más elaborada tendrá que ser su ecuación constitutiva. A la ciencia que estudia el desarrollo de ecuaciones constitutivas para el esfuerzo se le llama “reología”, término acuñado por Eugene Cook Bingham en 1929, que la definió como “la ciencia de la deformación y el flujo de la materia”; el otro padre de la reología fue el austro-húngaro Markus Reiner. La ligera diferencia de esta ciencia con la mecánica del medio continuo es que en muchos de sus modelos se trata de explicar el comportamiento complejo con base en la estructura microscópica del material, pero por lo general se sigue suponiendo a éste como un medio continuo. Cuando se habla de “propiedades reológicas” de un material, se está refiriendo a los coef icientes de viscosidad, a coeficientes de elasticidad, a esfuerzos de cedencia, a tiempos de relajación, etcétera. Volviendo a los principios generales, éstos son tres: 1. Principio de indiferencia material.- Éste implica que las ecuaciones constitutivas deben ser invariantes ante cambios en el marco de referencia empleado, es decir, su validez no debe depender del sistema de coodernado, curvilíneo o no, ortogonal o no, etcétera, que se emplee. 2. Principio de acción local.- Este simplemente implica que el esfuerzo puede ser descrito como una función de punto (euleriana o lagrangiana). Así, el esfuerzo en un punto es independiente de lo que ocurra fuera de la vecindad en que se encuentra el punto. 3. Principio de determinismo histórico.- Se supone que el estado de esfuerzos en un medio está determinado por la historia de su movimiento. Normalmente, de esa historia
únicamente importa el instante presente, sin embargo, hay materiales que presentan “memoria” a los cambios en su configuración (aunque obviamente no puedan “ver hacia el futuro”).
7.2 Las ecuaciones constitutivas clásicas En la actualidad hay decenas de reólogos que trabajan en laboratorios de industrias, centros de investigación y universidades por todo el mundo desarrollando nuevos materiales que requieren ser modelados con ecuaciones constitutivas específicas para ellos. Sin embargo, los alcances del presente librito se limitan a presentar algunas pocas de las ecuaciones constitutivas más exitosamente empleadas a lo largo de las décadas, llamadas “ecuaciones constitutivas clásicas”. Las ecuaciones constitutivas clásicas son las correspondientes a un fluido no viscoso, a un fluido linealmente viscoso, a un sólido linealmente elástico, a un material viscoelástico y a un material plástico.
El caso de un fluido no viscoso puede ser aplicable cuando se está fuera de las llamadas “capas límite”, en donde los esfuerzos viscosos se vuelven dominantes. El caso de un fluido linealmente viscoso (con algunas consideraciones adicionales, como se verá en seguida), conlleva a la omnipresente ecuación constitutiva de un “fluido newtoniano”. El caso de un sólido linealmente elástico (y además isótropo) conduce a la ecuación del “sólido hookeano” (que es práctic amente idéntica a la del fluido newtoniano, con la diferencia de que los dos coeficientes independientes que en ella aparecen, son coeficientes de elasticidad, mientras que en el fluido newtoniano son coeficientes de viscosidad, además de que no se acostumbra descomponer el esfuerzo en sus partes isótropa y extra). Como ejemplo, y por su amplísima aplicación, se procede en seguida al desarrollo de la ecuación constitutiva de un fluido newtoniano.
7.2.1 La ecuación constitutiva de un fluido newtoniano Además de los tres principios generales anteriores, se plantean las siguientes hipótesis particulares: Hipótesis 1.- El medio continuo es un fluido simple (no presenta elasticidad ni memoria). Como por definición un fluido no soporta esfuerzos cortantes sin fluir, cuando esté en reposo el estado de esfuerzos en éste corresponderá al estado de presión hidrostático (isótropo):
ó
(7.1)
El gran Leonhard Euler tomó esta ecuación (la más simple ecuación constitutiva para el esfuerzo) en su teoría sobre fluidos no viscosos. Al no contener esfuerzos de origen viscoso no
resulta un buen modelo para situaciones reales. Ahora bien, cuando el fluido esté en movimiento, el esfuerzo aparecerá descompuesto en sus partes isótropa y “extra”:
ó
en donde el tensor extra de esfuerzos (de origen puramente viscoso) será nulo ( fluido esté en reposo. Hipótesis 2.- El tensor extra de esfuerzos
(7.2)
0
) cuando el
∇−
debe depender del gradiente de la velocidad
∶
no de su parte antisimétrica (el tensor de vorticidad
, pero
) ya que ésta está relacionada con una
simple rotación rígida (sin deformación). Por lo tanto debe depender únicamente del tensor rapidez de deformación (la parte simétrica del gradiente de la velocidad). Así: ó
(7.3)
Hipótesis 3.- El fluido es no polar, en consecuencia el esfuerzo y su parte extra son tensores simétricos: y
Hipótesis 4.- La función indicial como:
(7.4)
, es una función lineal. Así, puede ser expresada en notación
(7.5a)
o en notación indicial como:
(7.5b)
La ecuación tensorial 7.5 es equivalente a un sistema de seis ecuaciones escalares con seis términos lineales en los lados derechos de cada una de ellas. La primera de ellas sería, por ejemplo:
(7.6)
En la ecuación 7.6 los coeficientes de los seis componentes independientes del tensor son los componentes del tensor de viscosidades que, por tener doble simetría (con respecto a sus primeros dos subíndices, y también con respecto a sus dos últimos, es decir, que ), en lugar de 81 componentes independientes, “sólo” tiene 36. Esta doble simetría es debido a que tanto como son simétricos. Nótese que los dos primeros subíndices de son tomados de , y los dos últimos son tomados de . ¡ De cualquier forma, 36 coeficientes independientes son demasiados para cualquier modelo !
Hipótesis 5.- El fluido es isótropo. Esto implica que el tensor de viscosidades sea de la forma (ver tabla 2.3 del segundo capítulo):
0 [ ] 2 2 = = ∇∙−2 =
(7.7)
La isotropía del fluido hace que el número de coeficientes independientes se reduzca de 36 a sólo tres, pero como además se tiene que forzosamente , por lo que sólo quedan dos coeficientes de viscosidad ( ) independientes, así:
(7.8)
Quitando deltas de Kronecker, se tiene que:
(7.9)
Con lo anterior, se puede escribir la ecuación constitutiva de un fluido newtoniano como: (7.10a)
O alternativamente como:
(7.10b)
O en notación clásica:
(7.10c)
Los coeficientes se denominan “primer y segundo coeficientes de viscosidad” ; en el sistema internacional se miden en y han de evaluarse experimentalmente. Hay que resaltar que el segundo coeficiente de viscosidad muy raramente aparece en los libros de texto sobre mecánica de fluidos, no así el primer coeficiente , también llamado “coeficiente de viscosidad dinámica”, cuyos valores para diferentes fluidos a diversas temperaturas puede encontrarse en infinidad de manuales y libros de texto. Esto es en parte debido a que, en el caso de flujos incompresibles (como sucede con todos los flujos isotérmicos de líquidos, y en la mayoría de los de gases a bajas velocidades), el segundo coeficiente de viscosidad aparece multiplicado por la divergencia de la velocidad (que resulta nula para flujos incompresibles). Además, hay hipótesis (discutibles desde luego) que permiten relacional el valor de con el de , aunque por principio sean coeficientes independientes.
̅
Para aclarar un poco el significado del segundo coeficiente de viscosidad, se puede considerar al esfuerzo normal medio que sería un tercio de la traza del tensor de esfuerzos, es decir que:
̅ ∇∙−2 ∇∙−2 ̅ ∇∙ −2 ∇∙− ∇∙− ̅ ∇∙− ̅ ∇∙− ̅ , ,
(7.11)
Pero de la ecuación 7.10:
De donde:
(7.12)
, ó
(7.13)
Así, la diferencia entre la presión termodinámica y la presión mecánica es proporcional a la divergencia de la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado “coeficiente de viscosidad volumétrico” definido por: (7.14)
Desde luego que, de los tres coeficientes de viscosidad
En el Apéndice 3, en lugar
, sólo dos son independientes.
-el segundo coeficiente de viscosidad- se ha puesto
.
Aun cuando de inicio se ha supuesto válida la hipótesis de medio continuo, para ayudar a interpretar mejor al segundo coeficiente de viscosidad se puede recurrir a algunos resultados de la teoría cinética de los gases. De acuerdo con ésta, la presión mecánica es una medida únicamente de la energía cinética de translación de las moléculas, en tanto que la presión termodinámica es una medida de la energía total, que incluye los modos de vibración y rotación de las moléculas. Para el caso de líquidos otras formas de energía, como la atracción intermolecular, son incluidas. Todos los modos moleculares de contener energía tienen tiempos de relajación diferentes, de modo que en el flujo de un gas se pueden presentar transferencias energéticas entre estos modos. La viscosidad volumétrica sería una medida de la transferencia de energía desde la forma translacional a otros modos, como puede notarse de la ecuación 7.13. Como ejemplo, al atravesar una onda de choque, los modos vibracionales de la energía pueden ser excitados a costa del modo translacional, de modo que la viscosidad volumétrica no sería nula. Para el caso de gases monoatómicos, el único modo energético molecular es el translacional, de modo que no habrá diferencias entre la presión termodinámica y la mecánica, y entonces la viscosidad volumétrica será nula en este caso, y el segundo coeficiente de viscosidad sería dado por:
(7.15)
Este resultado es llamado la “relación de Stokes”, y cuando es aplica ble sólo existe un coeficiente de viscosidad independiente (el coeficiente de viscosidad dinámica ). Para polímeros
evaporados y para líquidos complejos, la diferencia entre la presión termodinámica y la mecánica son por lo general pequeñas, y muchos se atreven a aplicar la relación de Stokes, ignorando así al segundo coeficiente de viscosidad. Además, para el caso de flujos incompresibles, este coeficiente no jugaría ningún papel. Es por todo lo anterior que , el segundo coeficiente de viscosidad, sea tan sorprendentemente ignorado aún en textos avanzados.
7.2.2 La ecuación de Navier-Stokes Una vez determinada la ecuación constitutiva de un material, ésta puede ser introducida en las ecuaciones de balance para determinar los campos de desplazamientos o de velocidades, el campo de temperaturas, etcétera. En particular, al introducir la ecuación constitutiva del fluido newtoniano en la ecuación de balance instantáneo del momentum sobre un volumen infinitesimal se obtiene la ecuación (vectorial) de Navier-Stokes, que gobierna el movimiento de todo fluido newtoniano. Este desarrollo se hace a continuación. Sustituyendo la ecuación 7.10 en la ecuación 4.34 de balance de momentum se tiene que:
∂
(7.16)
desarrollando la derivada parcial de la suma de términos, se tiene que:
(7.17b)
o, en notación clásica:
∙∇− −∇p ∇ ∇∙ −∇∙ −∇∇− 2∇∙= −
(7.17b)
Esta es la famosa ecuación de Navier- Stokes en su forma más general. El lado izquierdo de la ecuación representa el producto de la masa (por unidad de volumen) por la aceleración de las partículas que ocupan un volumen infinitesimal. El primer término del lado derecho (el gradiente de la presión precedido por el signo menos) representa la fuerza de flotación por unidad de volumen, el segundo y tercer términos representan fuerzas viscosas asociadas con cambios en el volumen infinitesimal, y son nulos en el caso de un flujo incompresible. El cuarto término del lado derecho representa la insoslayable fuerza viscosa por unidad de volumen debida a deformaciones cortantes y longitudinales del volumen infinitesimal, el quinto término está asociado a cambios en la viscosidad dinámica en conjunción con deformaciones del volumen infinitesimal. Para flujos isotérmicos este término y el tercero desaparecen, puesto que los coeficientes de viscosidad sólo son sensibles a los cambios de temperatura y no a la presión. El último término del lado derecho
representa la fuerza de cuerpo por unidad de volumen, y usualmente es sólo la fuera gravitacional, es decir, el peso por unidad de volumen. Para el caso de un flujo con “propiedades constantes” (es to es, con densidad constante, lo que implica que sea incompresible; e isotérmico, lo que implica que los gradientes de las viscosidades sean nulos) la ecuación de Navier-Stokes se simplifica a:
∙ ∇
(7.18)
Esta importantísima ecuación (y otras más que aparecen más adelante) aparece en el Apéndice 3 de este libro en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
7.2.3 La ecuación de energía interna para un fluido newtoniano Ahora, si se introduce la ecuación constitutiva 7.10 en la ecuación 4.7.b de balance instantáneo de energía térmica se obtiene que:
̇ ̇
Se define la “función de disipación
(7.19)
” como:
(7.20)
Con esto, la ecuación 7.19 queda como:
(7.21)
La función de disipación es llamada así porque precisamente indica la rapidez de disipación de energía mecánica (energía cinética más energía potencial) en energía térmica por fricción viscosa. De acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, debe ser un término necesariamente positivo ya que el proceso de disipación es completamente irreversible. Esto puede comprobarse al observar que:
∇∙− 2 = ∶∇− ∇∙ − = ∶∇−
Los términos
y
(7.22)
son ambos no negativos, ya que el primero es el cuadrado
del escalar divergencia de la velocidad (que es nulo para flujos incompresibles), y es fácil mostrar
≥
≥0.
que el producto doble punto entre un tensor de segundo orden y su parte simétrica es positivo definido. Asimismo, suponiendo que se puede mostrar también que Si se expresa el segundo término de lado derecho en coordenadas cartesianas (sin pérdida de generalidad en el resultado final), se tiene que:
2
(7.23)
Es claro que el contenido del corchete en el lado derecho es no negativo, puesto que es la suma de cantidades escalares elevadas al cuadrado. Para un flujo incompresible:
2 112 222 332 12 212 13 312 23 322
(7.24)
Como la disipación debe ser no negativa de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, se concluye que:
≥0
(7.25)
Salvo a temperaturas cercanas al cero absoluto, donde algunos líquidos (a esas temperaturas sólo sustancias muy elementales como el helio o el hidrógeno pueden mantenerse en fase líquida sin solidificarse) presentan el fenómeno de superfluidez, el primer coeficiente de viscosidad es siempre positivo.
La ecuación de balance instantáneo de energía térmica para un fluido newtoniano puede escribirse entonces en notación clásica como:
− ∙∇ ∇∙−∇∙ − 2 = ∶∇− ∇∙−.
(7.26)
De la ecuación 7.26 es conveniente resaltar que:
El lado izquierdo indica la rapidez con la que cambia la energía interna (en este caso puede interpretarse como la rapidez de cambio de la energía térmica) por unidad de volumen, de las partículas contenidas en un volumen infinitesimal.
∇∙−
es la medida de la rapidez con la que el volumen recibe energía en forma de
trabajo al expandirse o comprimirse. Si es mayor que cero (en tal caso la divergencia de la velocidad es negativa), se está comprimiendo, si es menor que cero, se está expandiendo.
La función de disipación
∇∙− 2 = ∶∇− ≥0
indica la disipación de energía
mecánica en energía interna de manera irreversible; entonces ley de la termodinámica.
de acuerdo con la 2°
≥0
Para no violar la segunda ley de la termodinámica, el primer coeficiente de viscosidad debe ser no negativo, esto es: . Se deja como ejercicio al lector demostrar que .
≥
7.3 La ecuación constitutiva de un sólido linealmente elástico De manera similar a como se procedió para derivar la ecuación constitutiva de un fluido newtoniano, es necesario establecer algunas hipótesis acerca de este nuevo material. Éstas son las siguientes: Hipótesis 1.- El medio continuo es un sólido. Se busca una r elación entre el tensor de esfuerzos y un tensor de deformación, por ejemplo el tensor euleriano de deformaciones infinitesimales Hipótesis 2.- El tensor de esfuerzos es función únicamente de la parte simétrica del gradiente de desplazamientos. Así:
= ∶
= =
.
(7.27)
Hipótesis 3.- El sólido es un material no polar. Entonces:
Hipótesis 4.- La relación
o, en notación clásica:
(7.28)
es una función lineal. Así, la relación puede escribirse como: (7.29)
(7.30)
en donde el tensor es un tensor de coeficientes de elasticidad con doble simetría, ya que por la hipótesis 3 el esfuerzo es simétrico, y el tensor de deformaciones infinitesimales también lo es. En consecuencia, este tensor tiene 36 coeficientes independientes.
Hipótesis 5.- El sólido es isótropo. Esto implica que el tensor de elasticidades tenga la forma:
(7.31)
Se tienen en 7.31 sólo tres coeficientes independientes, pero como además de isótropo el tensor de elasticidades es (doblemente) simétrico, , se tiene que por necesidad , lo que reduce a sólo dos el número de coeficientes de elasticidad independientes elasticidad , que son llamados “coeficientes de elesticidad de Lamé”. Estos tienen las mismas dimensiones que el esfuerzo, de modo que en el SI se expresan comúnmente en MPa. Así, la
0
ecuación constitutiva para un sólido linealmente elástico, isótropo, y sometido a deformaciones muy pequeñas (sólido hookeano), es:
2
(7.32)
∇∙ 2
(7.33)
o, en notación clásica:
Nótese la similitud con la ecuación constitutiva del fluido newtoniano mostrada en 7.10. Las diferencias son que en sólidos el esfuerzo no se acostumbra descomponer en sus partes isótropa y extra, que el esfuerzo es función (lineal) del tensor de deformaciones infinitesimales (en el fluido newtoniano es función del tensor de rapideces de deformación ) y que son en 7.32
= =.
coeficientes de elasticidad y en 7.10 son coeficientes de viscosidad. Dado que
es una función lineal biyectiva, es posible invertirla y expresar al tensor
de deformaciones infinitesimales como función del esfuerzo, es decir, como mostrar que esta relación queda en la forma:
21 32
. Es fácil
(7.34)
En la literatura dedicada a mecánica de sólidos es más común encontrar como constantes elásticas al módulo de Young y al coeficiente de Poisson , que manejar los coeficientes de elasticidad de Lamé . Resulta conveniente encontrar las relaciones entre estos coeficientes independientes (y otros más que, si bien no son independientes, son muy utilizados en la práctica ingenieril).
Figura7.1. Barra sometida a esfuerzo simple uniaxial.
Para encontrar estas relaciones, considérese una barra homogénea de sección cuadrada sometida a una tracción como se muestra en la figura 7.1. Cuando se somete a tensión uniaxial con un esfuerzo como en la figura, podrá medirse la deformación longitudinal así como las deformaciones transversales (contracciones) y . En términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson y , respectivamente, los componentes de las deformaciones longitudinales se relacionan como sigue:
(7.35)
y, por simetría,
(7.36)
Empleando la ecuación constitutiva 7.26 para esta situación, se tiene que:
0 2 2 1 2 2 0 1 22
(7.37a)
que pueden reescribirse, luego de dividir entre
(7.37a)
ambos lados de ambas ecuaciones, como: (7.38b)
(7.38b)
De 7.38a y 7.38b se obtiene que:
+ +− ++
y que:
Asimismo, se tiene que:
(7.39)
(7.40)
y además:
+
(7.41)
(7.42)
Otros coeficientes de elasticidad ingenieriles (que no son independientes de los ya definidos hasta ahora), son el llamado “módulo volumétrico”, definido por:
+ −
(7.43)
Este es el coeficiente de proporcionalidad entre el cambio de volumen por unidad de volumen y una presión hidrostática uniforme causante del ese cambio un sólido hookeano.
También es muy empleado el llamado “módulo de rigidez al corte” (que resulta ser el coeficiente de Lamé ), que relaciona los componentes cortantes del esfuerzo con los componentes cortantes del tensor de deformaciones infinitesimales. Así:
+
(7.44)
En la tabla 7.1 se presentan los coeficientes de elasticidad como funciones de cualesquiera otros dos de ellos. Hay que destacar que aunque pueden definirse muchos módulos o coeficientes de elasticidad, en un sólido hookeano sólo dos de ellos son independientes, y el resto son funciones de estos coeficientes independientes. Tabla 7.1 Relaciones entre los coeficientes de elasticidad para un sólido hookeano Coeficientes dependientes
Pares de coeficientes seleccionados como independientes
, , 1 12 21 32 2 2 31 2 3 21
, 32 93 3 32
,32 3 9 3 32 23
, 3, 39 3 1 3 3 1 2 9 21 31 2 3 6 3 3 1 2 9 21
7.4 Termoelasticidad lineal Cuando un material se calienta y aumenta su temperatura, en general tiende a dilatarse, es decir, a incrementar su volumen. Hay materiales que presentan un comportamiento diferente, al menos en un rango de temperaturas, y se contraen al elevar su temperatura. Para un material térmicamente isótropo (como el mismo sólido hookeano), esta dilatación puede modelarse mediante el tensor isótropo de deformación térmica siguiente:
é
(7.45)
en donde es el “coeficiente lineal de dilatación térmica”. Si se superpone esta dilatación (o contracción) de origen térmico a la deformación hookeana dada en 7.33, se tiene que:
+
(7.46)
La ecuación 7.46, conocida como “ecuación de Duhamel-Neumann”, puede invertirse para obtener la ecuación constitutiva termoelástica del sólido isótropo linealmente elástico:
2 32
(7.47)
Esta ecuación constitutiva termoelástica del sólido hookeano se puede introducir en las ecuaciones de balance instantáneo presentadas en el capítulo 4 para plantear y resolver problemas elastodinámicos o elastostáticos no isotérmicos. Se trataría de resolver simultáneamente las ecuaciones de gobierno, con las condiciones iniciales y de frontera pertinentes. Esto por lo general se hace con el auxilio de métodos computacionales, ya que las ecuaciones resultantes por lo general son no lineales y no siempre es viable resolverlas analíticamente.
7.5 Energía de deformación en un sólido Cuando un cuerpo se deforma, termodinámicamente intercambia energía en forma de trabajo generalizado (energía intercambiada por medios mecánicos) con el medio circundante. Por ejemplo, cuando un resorte es estirado o comprimido se realiza trabajo sobre éste, que en el caso (ideal, por supuesto) de ser completamente elástico se acumula en él en forma de una “energía potencial de deformación”, que puede ser recuperada cuando el resorte recobre su longitud inicial. En el caso de un material que experimente deformaciones permanentes (plásticas), parte de la energía de deformación no sería recuperable y se acumularía en el cuerpo en forma de energía térmica, que se manifestaría como un incremento (por lo general pequeño pero medible) en su temperatura. Muchas piezas de un automóvil, por ejemplo, se diseñan de manera que en el caso de una indeseable colisión, éstas absorban mucho de la energía del impacto (mediante deformaciones plásticas) para disminuir el riesgo de daños al conductor y a los pasajeros. Desgraciadamente a pesar de ésta y otras muchas medidas de seguridad (uso de cojines de aire, sistemas de frenado con antibloqueo, etcétera), las muertes por “accidentes automovilísticos” superan con mucho a las muertes por vejez, enfermedades, guerras, asaltos, etcétera. Sin duda el automóvil tiene un impacto terriblemente nefasto y funesto en la vida moderna, a pesar de todo el innegable avance tecnológico que su desarrollo haya implicado. En el otro extremo, se diseñan piezas para que acumulen la energía de deformación y ésta pueda recuperarse al máximo cuando se le solicite. Por ejemplo, una atleta olímpica de salto con
pértiga toma impulso corriendo hacia el obstáculo a vencer, y una vez frente a éste atasca la garrocha de manera que la energía cinética ganada en su carrera sea absorbida por la garrocha al deformarse y esta energía, al ser liberada, la impuse hacia arriba para librar el obstáculo. La garrocha debe ser sumamente elástica, flexible, resiliente, resistente a grandes esfuerzos, y ligera, como el bambú, material sustentable que fue usado durante décadas para fabricar las pértigas. Las modernas garrochas se manufacturan de materiales compuestos que incluyen fibras de vidrio y carbono en matrices poliméricas. Para expresar la energía de deformación en cuerpos se puede partir de la ecuación 4.57 de balance instantáneo de energía sobre un volumen infinitesimal de un medio continuo:
∙ ∇ : ∇ ∇∙ ̇
(4.57b)
El primer término del miembro derecho de 4.57b representa la rapidez con la que un elemento infinitesimal recibe energía en forma mecánica por unidad de tiempo, es decir, es la potencia mecánica debida al movimiento (deformación) del cuerpo. El segundo término del lado derecho representa la potencia calorífica. Llamando a la energía de deformación por unidad de masa, para un material no polar, (es decir, el esfuerzo resulta ser un tensor simétrico), de la ecuación 4.57b se obtiene que (ver el ejercicio 2.1 d):
∙ ∇ = ∶= = ∶=. = ∶ = ∶ =
(7.48)
que puede ser reescrita como:
De donde:
(7.49)
(7.50)
Al integrar 7.50 se tiene el cambio en la energía de deformación por unidad de masa (no necesariamente infinitesimal):
∆ ∫12 1 ∶ = = 2 ∆ ∫ [ 2] ∫ [ 2 ]
en donde los límites de integración
y
(7.51)
son los valores del tensor de deformaciones finitas
antes y después de la deformación de marras. Para el caso de un material hookeano,
. Sustituyendo en 7.51:
(7.52)
Para el caso de propiedades constantes, la integración de 7.52 conduce a que:
∆ = = =: = =: =
(7.53)
Por lo que se puede definir la energía de deformación para un sólido hookeano como:
= =:=
(7.54)
Que para el caso de deformaciones infinitesimales se reduce a:
= ∶=
(7.55)
7.6 Descripción del comportamiento no newtoniano en fluidos Los fluidos no newtonianos y los sólidos no hookeanos son en general aquellos cuyos esfuerzos no están relacionados linealmente con la deformación o la rapidez de deformación. Para un fluido no newtoniano la antiguamente llamada “viscosidad aparente” no es constante, aun cuando la temperatura y la presión se mantengan fijas, sino que depende de la velocidad de cizallamiento o corte (denominada en esta sección como , que por lo general, en notación tensorial )o más aún, de la historia de su movimiento previo. Los fluidos no-newtonianos pueden clasificarse en tres grandes ramas:
. . 2
. 2
1. Fluidos para los cuales esfuerzo cortante es una función (no lineal) únicamente de la rapidez de deformación (fluidos independientes del tiempo). 2. Fluidos más complejos para los cuales la relación entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación depende del tiempo que el fluido ha estado fluyendo (fluidos dependientes del tiempo). 3. Materiales que tienen características tanto de fluidos (son viscosos) como de sólidos, y exhiben una recuperación elástica parcial luego de ser deformados. Estos son los materiales viscoelásticos.
Estos tres tipos de fluidos se describen en la siguiente sección.
7.6.1 Fluidos no newtonianos independientes del tiempo
Estos fluidos pueden ser descritos mediante un simple experimento mediante la medición de su viscosidad al corte, en donde sólo haya un único componente de la velocidad en una dirección que varíe de una dirección transversal , por una ecuación reológica escalar de la forma:
ó .
(7.56)
Para un fluido newtoniano la función 7.56 es lineal; así, el esfuerzo cortante será proporcional a la velocidad de deformación, siendo el coeficiente de viscosidad la constante de proporcionalidad (que no depende de la rapidez de deformación). A los fluidos cuyo comportamiento reológico puede ser descrito por una función (no lineal) como la anterior se les suele llamar como “fluidos generalizadamente newtonianos”, aunque estrictamente sean no newtonianos. Estos fluidos pueden a su vez clasificarse en tres tipos, dependiendo de la función 7.48. En la figura 7.2 se muestran las gráficas de sus funciones: 1) Plásticos de Bingham 2) Fluidos seudoplásticos 3) Fluidos dilatantes
. ,
Γ. Τ
Un plástico de Bingham se caracteriza por una curva que en el plano coordenado , en donde se representan los puntos con coordenadas ( ), es una recta con ordenada al origen igual a un “esfuerzo de cedencia” , que es la magnitud del esfuerzo que debe ser excedido para que el material comience a fluir. El material en realidad es un sólido, pero sometido a esfuerzos cortantes superiores al esfuerzo de cedencia , fluye como si fuese un fluido newtoniano. La ecuación reológica del plástico de Bingham es entonces:
. . 0; | ;| ≤>
en donde la viscosidad plástica figura 7.2.
(7.57)
es la pendiente de la primera curva (una recta) mostrada en la
El concepto de plástico de Bingham es muy útil, ya que muchos materiales se aproximan al comportamiento modelado en 7.57, como la pasta dental, lodos de perforaciones, grasas densas, aceites vegetales de cadenas largas saturadas, entre varios otros. La explicación del comportamiento reológico del plástico de Bingham es que cuando éste está en reposo mantiene una estructura tridimensional suficientemente rígida (debida a fuerzas
internas de varios tipos), que le permiten resistir a esfuerzos cortantes menores al de cedencia . Cuando se excede este valor, la estructura se desintegra y el material fluye como un fluido newtoniano. Si el esfuerzo cortante disminuye a valores inferiores al de cedencia, el material recupera su estructura microscópica interna y deja de fluir.
.
Figura 7.2 El esfuerzo cortante como función de la rapidez de corte . La primer curva corresponde a un Plático de Bingham, en donde es el esfuerzo de cedencia. La segunda curva corresponde a un fluido dilatante, comparando su comportamiento con el de uno newtoniano, y la tercer curva corresponde a un fluido seudoplástico, también comparado con uno newtoniano.
.
.
Un fluido seudoplástico no tiene un esfuerzo de cedencia , y la curva típica de estos materiales muestra que el cociente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de corte , que corresponde al concepto de viscosidad aparente, disminuye conforme la rapidez de corte aumenta, como se muestra en la tercer curva de la figura 7.2; esta curva tiende a una asíntota para la cual la viscosidad aparente es . Si se grafica la relación en escala logarítmica para ambas variables, a menudo se obtiene una recta con una pendiente entre uno y cero. En consecuencia, una relación empírica entre estas variables, conocida como “ley de la potencia” se ha empleado ampliamente durante décadas. Esta relación, que fue propuesta en 1923 por De Waele, y en 1925 por Ostwald, puede escribirse como:
|. |− .
(7.58)
En 7.58 y son constantes ( < 1) para cada fluido en particular: es una medida de la consistencia del fluido: mientras más alta es más viscosos es el fluido; es una medida del grado de no-newtonianidad de su comportamiento, mientras más diferente de 1 sea, más desviado del comportamiento newtoniano será éste. La viscosidad aparente para un fluido gobernado reológicamente por la ley de la potencia puede ser expresada por:
. |. |−
(7.59)
<1
Puesto que para materiales seudoplásticos, la viscosidad aparente disminuye conforme aumenta la rapidez de corte. Este tipo de comportamiento es común en soluciones de polímeros de cadenas largas y muchas suspensiones. Una interpretación física de este fenómeno es que conforme aumenta la velocidad de cizallamiento, las moléculas (de larga estructura), se alinean progresivamente a la dirección del flujo y la viscosidad disminuye. Entre muchas otras relaciones empíricas que han sido propuestas y empleadas para modelar el comportamiento seudoplástico están las siguientes: Modelo de Prandtl:
Modelo de Eyring:
Modelo de Powell-Eyring: Modelo de Ellis: Modelo de Williamson:
. − . . ℎ− . − .− − −/ |. | .
(7.60)
(7.61)
, , ,, ,
En los modelos anteriores, experimentalmente para cada fluido en particular.
(7.62)
(7.63) (7.64)
son constantes que han de ser evaluadas
Los fluidos dilatantes son similares a los seudoplásticos en cuanto a que no presentan un esfuerzo de cedencia, pero la viscosidad aparente para estos materiales se incrementa conforme aumenta la velocidad de cizallamiento. El modelo de la ley de la potencia es también aplicable a estos materiales pero en éstos el índice toma valores mayores a la unidad.
El comportamiento dilatante fue originalmente discutido por Osborne Reynolds en 1885 en suspensiones concentradas de sólidos. Reynolds sugirió que cuando estas suspensiones concentradas se encuentran en reposo el espacio entre las partículas sólidas es mínimo, y el líquido apenas alcanza a llenar ese espacio. Cuando la suspensión se deforma a velocidades pequeñas, el líquido lubrica el movimiento de una partícula tras otra, y el esfuerzo es consecuentemente pequeño. Cuando se incrementa la rapidez de deformación el empacamiento denso de las partículas se rompe y el material se expande o se dilata ligeramente y el espacio entre las partículas se incrementa. En ese momento ya no hay suficiente líquido para lubricar el movimiento de las partículas en la nueva estructura y el esfuerzo aplicado para mantener el movimiento debe ser más grande. La formación de la nueva estructura ocasiona que la viscosidad se incremente rápidamente conforme aumenta la velocidad de deformación. El término “dilatante” se ha empleado desde entonces para referirse a los fluidos cuya viscosidad se incrementa conforma aumenta la rapidez de su deformación, aunque en realidad la explicación de
Reynolds no sea del todo aplicable y el fluido no se dilate en lo absoluto El comportamiento dilatante es mucho menos común que el seudoplástico, pero el modelo de la ley de la potencia ha sido exitosamente aplicable para ambos en la industria.
7.6.2 Fluidos no newtonianos dependientes del tiempo El comportamiento de muchos fluidos no puede ser descrito por una ecuación como la 7.56, la cual es aplicable a fluidos cuya viscosidad es independiente del tiempo. La viscosidad de fluidos más complejos depende no sólo de la rapidez de deformación, sino del tiempo en que han fluido (sometidos a un esfuerzo cortante constante). Estos fluidos se clasifican en dos grandes grupos: fluidos tixotrópicos y fluidos reopécticos, dependiendo de en qué caso su viscosidad disminuye o aumenta cuando son sometidos a una rapidez de cizallamiento constante durante un cierto periodo. Los materiales tixotrópicos son aquellos cuya viscosidad aparente depende de la duración del periodo en que esfuerzo cortante se mantiene, así como también de la velocidad de la rapidez de deformación. Cuando un material tixotrópico es sometido a una rapidez de deformación cortante constante durante un periodo posterior al reposo, la estructura interna se irá rompiendo progresivamente y su viscosidad disminuirá con el tiempo. La rapidez con la que la estructura se rompe durante el cizallamiento a una tasa determinada dependerá del número de eslabonamientos estructurales a romperse y por lo tanto disminuirá con el tiempo. Simultáneamente, la rapidez de reformación de la estructura se incrementará con el tiempo conforme el número de posibles eslabonamientos se incrementa. Eventualmente se alcanzará un estado de equilibrio dinámico entre el rompimiento de la estructura y su restructuración, y en este caso el material el material se comportaría como un material plástico o uno viscoelástico. En otros casos no se alcanza ningún equilibrio en el tiempo de observación. Esencialmente hay una necesidad de identificar escalas de tiempo relevantes aquí, y la división entre fluidos dependientes del tiempo, con materiales que sufren cambios permanentes en su estructura y aquellos con grandes constantes viscoelásticas, es hasta cierto punto arbitraria. En el caso de los fluidos reopécticos, se supone que hay una formación gradual de una estructura microscópica originada por el cizallamiento, a contrapelo de lo que normalmente ocurriría (la destrucción de microestructuras) por este corte. Hay a menudo una cantidad crítica de cizallamiento más allá de la cual no se induce la reformación de la estructura y ocurre un rompimiento de ésta. Este comportamiento se observa en, por ejemplo, una solución de pentóxido de vanadio y bentonita. Sin embargo, existen otros materiales en los cuales la estructura únicamente se forma cuando hay un cizallamiento y se desintegra cuando el material deja de fluir. Esta característica de algunos materiales es llamada “reopexia”. De cualquier modo, el comportamiento reopéctico sólo es observado a rapideces de deformación moderadas, y para rapideces altas las estructuras no se forman. Considérese por
ejemplo el flujo de un material reopéctico a través de un tubo capilar: a moderados gradientes de presión el flujo será rápido al inicio, y luego decrecerá conforme se forma la microestructura. A altos gradientes de presión el flujo es siempre rápido y no decrece debido a que la estructura no alcanza a formarse a altas rapideces de deformación.
7.7 Materiales viscoelásticos En la teoría clásica de la elasticidad lineal, el esfuerzo en un material sólido sometido a cizallamiento es considerado como linealmente proporcional a la magnitud de este cizallamiento. En un fluido newtoniano el esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación, y la deformación no tiene mayor sentido. En muchos los materiales, bajo las circunstancias apropiadas, los efectos tanto de la elasticidad como de la viscosidad son bien notables, y si estos efectos no son complicados por la dependencia del tiempo tratada en el párrafo anterior, el material es llamado un “fluido viscoelástico”. La descripción siguiente es tomada del método de Pipkin, publicado en 1972. Desde el más amplio y unificado punto de vista que la teoría de la elasticidad ofrece, el lector es capaz de ver que la deformación perfectamente elástica y el flujo perfectamente viscoso son meras idealizaciones que se aproximan a la realidad en algunas condiciones límite. Para algunos materiales son estas condiciones limitantes las que son más fácilmente observadas. La elasticidad del agua líquida y la viscosidad del hielo pueden pasar desapercibidas. Al describir matemáticamente el comportamiento de los materiales, es decir, al modelar ese comportamiento, se emplean idealizaciones que dependen fuertemente de las circunstancias a ser descritas y no sólo se trata de la naturaleza del material. Así, se encuentra que las distinciones entre “fluido” y “sólido”, y entre “viscoso” y “elástico” no son distinciones absolutas entre los diferentes tipos de materiales. Los continentes van a la deriva sobre el manto geológico, que fluye en tiempos de observación que son eras geológicas, en tanto que en períodos de segundo, horas, días, e incluso años, se comporta como un sólido. Entonces un l lamado “tiempo de relajación”, definido más adelante, resulta de gran utilidad: un material se denominará como “viscoelástico” cuando este tiempo de relajación y el periodo de observación de su comportamiento estén dentro del mismo orden de magnitud.
7.8 Modelos mecánicos para el comportamiento reológico Un método heurístico muy útil en reología consiste en emplear modelos mecánicos para modelar los efectos viscosos, elásticos y plásticos en materiales, que consisten en una combinación de elementos básicos (masa con fricción, resorte, amortiguador) que mediante una analogía entre un exhaustivamente estudiado sistema masa-resorte-amortiguador, proporcione un modelo para el comportamiento reológico básico de los materiales.
Los componentes básicos en estos modelos mecánicos son los siguientes:
Δ
Δ
I.- Un resorte lineal.- Para éste, la relación entre la deformación longitudinal y la magnitud de la fuerza requerida para ésta es , en donde E es un parámetro que incluye al módulo de Young y las propiedades geométricas del resorte. Este resorte representa al sólido hookeano en un modelo reológico.
II.- Un amortiguador.- Éste presenta una carga rapidez de deflexión
por la ecuación:
relacionada linealmente con la
Este amortiguador representa un fluido newtoniano.
III.- Una masa sobre una superficie con fricción, jalada por el resorte.- Esta masa es jalada sobre la superficie con fricción, representa el comportamiento elástico conforme el resorte se estira antes de que la fuerza de fricción sea excedida. Por lo tanto, la deflexión continúa incrementándose sin un cambio en la carga. Tal comportamiento representa la plasticidad y este componente del modelo reológico es llamado el “cuerpo de St. Venant”. En un modelo, estos elementos se combinan entre ellos en serie o en paralelo. Dos componentes en serie llevarán la misma carga, y la deflexión en el modelo corresponderá a la suma de las deflexiones de los componentes. Cuando los componentes se conecten en paralelo, las deflexiones se ellos serán las mismas, mientras que la carga sobre el modelo será la suma de las cargas sobre cada elemento. Si un resorte y un amortiguador se conectan en serie, el modelo corresponderá a lo que se conoce como un “líquido de Maxwell”, abreviado como M = H-N (H de Hookeano y N de newtoniano; M de Maxwell). El símbolo – corresponde a una conexión en serie, en tanto que el símbolo | corresponde a una conexión en paralelo.
Figura 7.3. Modelo mecánico-reológico del líquido de Maxwell.
La ecuación reológica de estado para un material de Maxwell se obtiene como sigue: Para el componente hookeano,
é
. .
y entonces
(7.65)
.
No perder de vista que el módulo de rigidez al corte es igual al primer coeficiente de elasticidad de Lamé, es decir: . Ahora, para el componente newtoniano, (7.66)
Por lo tanto, la ecuación reológica de estado para un líquido de Maxwell es:
. . . . Al integrar 7.67 entre los límites:
. .
ó
(7.67)
0 y
, se obtiene la ecuación:
. − ∫ ′ Aquí,
tiene dimensiones de tiempo, y es el llamado “tiempo de relajación
.
(7.68)
”.
Para el caso especial en que la rapidez de cizallamiento es constante, de la ecuación 7.68 se tiene que:
. . −
(7.69)
La ecuación 7.69 revela varios aspectos acerca del comportamiento de un líquido de Maxwell. En primer lugar, si éste es cargado con un esfuerzo inicial y la deformación de allí en adelante se mantiene constante, entonces y:
. 0
−
(7.70)
.
Así, conforme el tiempo transcurre, el esfuerzo cortante disminuye exponencialmente
. 0
tendiendo a cero, y el tiempo de relajación adquiere un claro sentido. Ahora bien, si
.
,
, es decir que, si la deformación se incrementa con esta tasa, el esfuerzo permanecerá
.
constante. Esto corresponde a un estado de fluencia . Por último, para
el esfuerzo
tenderá asintóticamente a conforme el tiempo pase. Si el líquido de Maxwell se descarga súbitamente, el resorte volverá a su longitud inicial, pero el amortiguador conservará la longitud que haya alcanzado al instante de la descarga. Existirá entonces una deformación elástica y una deformación plástica permanente. Si la conexión entre el resorte y el amortiguador se efectúa en paralelo en vez de en serie, el modelo obtenido corresponde al llamado “sólido de Kelvin-Voigt”: KV = H | N. Este material también presenta viscosidad y elasticidad, y modela materiales como la lava volcánica caliente, y el vidrio. Su ecuación reológica de estado se obtiene en seguida.
Para una conexión en paralelo, si se aplica al sistema un esfuerzo :
.
(7.71)
Al integrar 7.71 con las condiciones límite adecuadas, se obtiene que:
− ∫ ′
Figura 7.4. Modelo mecánico-reológico del sólido de Kelvin-Voigt.
(7.72)
− −
Si el esfuerzo es constante e igual a
Así, para
, entonces:
, la deformación permanecerá constante (e igual a
valores más pequeños o más grandes de
(7.73)
), mientras que con
, la deformación tenderá asintóticamente a
conforme el tiempo transcurre.
En el sólido de Kelvin-Voigt no hay plastificación. En efecto, si después de cargado el material se descarga, el resorte obligará al amortiguador a recuperar su longitud inicial. Se trata entonces de un sólido que sin ser puramente elástico, recupera su longitud inicial al suprimirse la carga en un cierto periodo.
Un plástico de Bingham, descrito en la sección 7.6.1, puede modelarse mediante una conexión en serie de un cuerpo de St. Venant con un fluido newtoniano, es decir: B = St. V – N.
Figura 7.5. Modelo mecánico-reológico del plástico de Bingham.
A manera de resumen, en este capítulo se presentaron las ecuaciones constitutivas tensoriales para el esfuerzo de dos materiales universalmente conocidos: el fluido newtoniano y el sólido hookeano. Este tratamiento puede extenderse a sólidos no linealmente elásticos, para materiales viscoelásticos y para materiales aún más complejos. Para estos últimos se presentaron modelos empíricos y semiempíricos escalares con los que se puede trabajar para resolver algunos problemas con fluidos no newtonianos. Asimismo, se bosquejó cómo mediante modelos
mecánicos-reológicos se puede modelar el comportamiento de estos materiales y obtener información cualitativa de lo más interesante acerca de este comportamiento, que en verdad es observado en muchos materiales en la naturaleza y en la industria y los laboratorios. La reología es una ciencia en continuo desarrollo, y sus últimos alcances no pretender ser tratados en el presente libro, pero sí el dar una idea de cómo se procede en la modelación reológica de los materiales. En la figura 7.6 se muestra una clasificación (limitada y burda) de los materiales de acuerdo con su comportamiento reológico, en dos series: en la superior se muestran los diagramas en la cual la deformación cortante se grafica como función del tiempo. Éstas representan deformaciones bajo esfuerzos cortantes constantes. En la serie de abajo, en donde el esfuerzo cortante es mostrado como función de la deformación o la rapidez de deformación, el tiempo tiene cualquier valor.
Figura 7.6 Clasificación reológica simplificada de los materiales.
Las líneas continuas representan deformación bajo condiciones de esfuerzo; las líneas punteadas representan el comportamiento después de retirar el esfuerzo. Cuando aparece más de una curva se indica que hay varias posibilidades para el comportamiento reológico del m aterial. Entre los materiales que aparecen en la figura 7.6 se encuentran el sólido hookeano y el sólido no linealmente elástico, el fluido newtoniano y los fluidos no newtonianos, incluyendo los materiales viscoelásticos y los plásticos. Arriba de la figura se presentan dos casos ideales en extremo: el cuerpo rígido (un sólido que no se deforma en absoluto, por grandes que sean los esfuerzos a los que se le someta), y el fluido no viscoso de Euler (que no presenta ninguna resistencia al flujo, como en verdad ocurre en el fenómeno criogénico de superfluidez). ------
Ejercicios
,
7.1 Determinar los valores de para el acero, bronce, aluminio, y magnesio usando los valores del módulo de Young y del coeficiente de Poisson dados en la siguiente tabla. MATERIAL
E
, (GPa)
Acero
210
0,30
Bronce
108
0,33
Aluminio
71
0,33
Magnesio
45
0,35
= 22010060 1008040 1406040
7.2 El estado de esfuerzos en un punto de una pieza de acero está dado por:
Determinar las deformaciones principales en ese mismo punto.
7.3 El estado de esfuerzos en un punto de una pieza de aluminio está dado por:
140 140 0 = 1400 600 700
Determinar las tres deformaciones infinitesimales principales, las direcciones principales del tensor de deformaciones infinitesimales, y la deformación cortante máxima.
2×10
90
7.4 Un sólido de Kelvin-Voigt tiene un módulo de rigidez al corte de , y una viscosidad de . Una muestra de este material se somete a un esfuerzo cortante de durante 18 horas y luego se le interrumpe la aplicación del esfuerzo, impidiendo que se siga deformando. Calcular la consiguiente reducción del esfuerzo.
40 3, 4 ×10
1,4
7.5 Un líquido de Maxwell tiene un módulo de rigidez al corte de y una viscosidad . Calcular la deformación unitaria dos segundos después de dejar de aplicar un esfuerzo cortante de 0,5 MPa. Trazar la curva de relajación de los esfuerzos, con la suposición de que precisamente dos segundos después de dejar de aplicar el esfuerzo se impide que prosiga la deformación.
TERCERA PARTE
APLICACIONES BÁSICAS
8. APLICACIONES EN FLUJOS Y DEFORMACIONES INTRODUCCIÓN En este último capítulo se presentan algunos pocos ejemplos de aplicación a la mecánica de fluidos newtonianos y no newtonianos, así como algunos ejercicios elementales en mecánica de sólidos. La metodología empleada en este capítulo para plantear y resolver estos problemas se bosquejó al inicio del capítulo anterior: a partir de las ecuaciones diferenciales de balance desarrolladas en el capítulo 4, se sustituyen en éstas la ecuación constitutiva del material que se esté manejando. Estableciendo las condiciones límite (condiciones iniciales y de frontera) a estas ecuaciones, previa consideración de ecuaciones de estado pertinentes y el posible establecimiento de hipótesis simplificadoras, se procede a resolver el sistema de ecuaciones simultáneas. Lo anterior por lo general requiere del auxilio de sistemas de cómputo y software especializado, ya que casi siempre las ecuaciones diferenciales son no lineales y no es viable su solución analítica. Sin embargo, para algunos casos bien conocidos, los términos no lineales son nulos y la solución es relativamente fácil de encontrar. Tal es el caso de las soluciones exactas de los pocos problemas de mecánica de fluidos presentados en seguida.
8.1 Soluciones exactas de la ecuación de Navier-Stokes Para el caso de un escurrimiento no compresible, como en la práctica es el flujo de los líquidos, y aún el de los gases a bajas velocidades (comparadas con la velocidad del sonido en el gas), la ecuación de Navier-Stokes se simplifica mucho al desaparecer el término que involucra al segundo coeficiente de viscosidad. Si además el flujo es isotérmico, puede considerarse que el coeficiente de viscosidad dinámica es constante y los gradientes de esta viscosidad serán nulos. Pero la gran simplificación se tendrá cuando por las circunstancias del flujo los términos no lineales sean todos nulos. Esto permite la solución de la ecuación de Navier-Stokes súper simplificada por métodos analíticos bien conocidos desde hace más de un siglo.
∙
Las soluciones exactas se pueden clasificar en dos categorías. En la primera de ellas los términos no lineales de la ecuación son nulos. Los ejemplos que en seguida se presentan corresponden a esta categoría. La segunda categoría corresponde a situaciones en que los términos no lineales no son nulos, pero que con algunas manipulaciones matemáticas se han podido resolver analíticamente. Sin embargo, ya entrados en la segunda década del siglo XXI aún no es bien conocido algún método analítico para resolver la ecuación de Navier-Sotkes en su caso más general. Esto no es un problema mayor en la ingeniería, puesto que siempre es posible recurrir a métodos computacionales para tratar de hallar soluciones suficientemente apegadas a la realidad.
8.1.1 El flujo de Couette
Quizás el flujo más simple que conceptualmente puede ser modelado consiste en el flujo newtoniano incompresible y permanente entre dos placas planas paralelas, debidas a cualesquier combinación de las siguientes causas: a) La imposición de un gradiente de presión en la dirección del flujo, pero en general en sentido contrario a éste, ya que el gradiente apuntará en el sentido en que la presión aumente, y el flujo escurrirá de zonas de alta presión hacia zonas de menor presión. b) Que las placas estén inclinadas un ángulo con respecto a la horizontal. Por la acción de la gravedad el flujo escurrirá “hacia abajo”. c) Que alguna de las placas se esté moviendo. Por la condición de no deslizamiento, la velocidad del fluido adherido a la placa que se mueva, tendrá exactamente esa misma velocidad. Habrá entonces un gradiente en la velocidad puesto que en la otra placa la velocidad será nula, o al menos diferente.
ℎ
Supóngase que las placas son muy largas y anchas (comparadas con la separación entre ellas). Conviene elegir un marco cartesiano ortogonal con el eje en la dirección del flujo. Como hipótesis simplificadora se supondrá que los componentes de la velocidad en las direcciones de los ejes y es cero, es decir, el flujo es unidireccional. En la figura 8.1 se representan las placas con una inclinación con respecto a la horizontal; la placa superior se desliza hacia arriba en el sentido contrario al considerado positivo para el eje con una rapidez . Se desea conocer el campo de presiones , el campo de velocidades , el campo de esfuerzos y el campo de vorticidades .
, = = ,
− −
ℎ
Figura 8.1 Flujo permanente entre dos placas paralelas separadas una distancia y formando un ángulo con respecto a la horizontal. La placa superior se desliza con una rapidez en sentido negativo del eje , y existe un componente del gradiente de presión en la dirección del flujo, que desciende bajo la acción de la gravedad .
−
0
Por hipótesis, , y no hay variaciones variaciones en la dirección transversal al flujo, es decir, en la dirección del eje . Si hubiese la duda acerca de si podría ser función de , ésta se disipa al hacer un balance de masa, es decir, al considerar la ecuación de continuidad, como se ve en seguida.
Balance de masa.masa.- Aplicando la ecuación de balance instantáneo de masa en coordenadas cartesianas (ecuación A3.29 del Apéndice 3):
0
(A3.29)
00
El primer término del miembro izquierdo es cero, ya que por hipótesis el flujo es permanente, el tercer y cuarto términos también son nulos, ya que se ha supuesto que . Como
además la densidad es contante, la ecuación de balance de masa se reduce a que que
no depende de
. Así, no hay duda de que
. .
, por lo
Balance de momentum.- Como el fluido es newtoniano con propiedades constantes, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas (ecuaciones A3.35, A3.36 y A3.37 del Apéndice 3), se simplifican como sigue:
0 cos 0 cos :
Componente en la dirección dirección del eje
:
Todos los términos del miembro izquierdo son nulos, y
(8.1a)
, por lo que 8.1a queda como: como:
Componente en la dirección del eje
(8.1b)
:
Todos los términos del miembro izquierdo también son nulos, y
(8.2a)
, por lo que 8.2a es: (8.2b)
Componente en la dirección del eje
(8.3a)
En 8.3a todos los términos son nulos, por lo que no juega ningún papel relevante en la solución.
Condiciones de frontera.frontera .- Las condiciones de frontera para estas ecuaciones son las siguientes:
ℎ0 0 0,0, 0 , coscos 0
Al integrar (con respecto a la variable
en donde
(8.4) (8.5) (8.6)
) la ecuación 8.2b se obtiene que:
es una función arbitraria de únicamente la variable es
(8.7)
.
Sustituyendo la presión dada en 8.7, en la ecuación 8.1b , se tiene que:
La ecuación 8.8a puede reescribirse como:
(8.8a)
(8.8b)
El miembro izquierdo de 8.8b sólo puede ser función de , en tanto que el lado derecho sólo lo es de , por lo que la única posibilidad de que sean iguales es que tengan un valor constante, por ejemplo , como aparece en 8.8b. Se espera que tenga un valor negativo cuando el flujo
sea debido únicamente únicamente al gradiente de presión. presión. Así que, en general, La ecuación 8.8b da lugar a las siguientes dos ecuaciones:
y:
< 0
, coscos < 0
Al integrar la ecuación 8.9 se s e obtiene que
.
(8.9) (8.10)
(8.11)
Al sustituir la función dada en 8.11 en la ecuación 8.7, que determina completamente al campo de presiones, se tiene que: (8.12)
La ecuación 8.12 da el campo de presiones en términos eulerianos. Nótese que la presión disminuye linealmente en la dirección de flujo ( , y que en la dirección perpendicular al flujo, es decir la dirección del eje , la variación es idéntica a la variación hidrostática de la presión. La constante de
integración en 8.11 es claramente igual a
.
Ahora bien, la ecuación 8.10 se puede reescribir como:
−
Integrando dos veces con respecto a la variable var iable
(8.13)
se obtiene, para el campo de velocidades, que:
− De las condiciones de frontera 8.4 y 8.5: las constantes de integración:
0 0 ℎ y
(8.14)
, se obtienen obtienen los valores valores para
0 − y
(8.15)
Sustituyendo estas constantes constantes en 8.14, se obtiene el campo de velocidades unidimensional:
− Nótese que:
(8.16)
0
a) La velocidad tiene un perfil parabólico. Para el caso de que las dos placas estén fijas ( la velocidad máxima se presenta en y tiene una magnitud magnitud directamente proporcional proporcional al cuadrado de la separación entre las placas, e inversamente proporcional al coeficiente dinámico de viscosidad:
− á
(8.17)
0
b) Si las placas estuviesen horizontales, se tendría que , y si además las placas estuviesen fijas, el flujo sería debido únicamente al componente longitudinal del gradiente de
la presión eje
. Éste deberá ser negativo para que el flujo escurra en sentido positivo del
.
c) Si las placas estuviesen horizontales y el componente longitudinal del gradiente de presión fuese nulo, se tendría un perfil lineal de velocidades, iniciando en cero sobre la placa inferior, y alcanzando el valor de en la placa superior.
El campo de de esfuerzos puede puede determinarse determinarse de las ecuaciones a partir de la ecuación constitutiva del del fluido newtoniano dada en 7.10b:
2 coscos −− 1 0 0
(7.10b)
en la que la divergencia de la velocidad es nula, por lo que:
(8.18)
De 8.18 se obtiene que:
(8.19) (8.20) (8.21) (8.22)
El campo de vorticidades se obtiene a partir de la ecuación 6.67 del capítulo 6:
− 0 0 0 −− 1
que para este flujo se reduce a:
(6.67)
, por lo que el campo de vorticidades es:
;
(8.23)
8.1.2 El flujo de Poiseuille Se le llama flujo de Poiseuille al flujo permanente de un fluido newtoniano a través de un conducto cilíndrico de cualquier sección transversal. Aunque no se conoce una solución general para el flujo de Poiseuille, cuando la sección transversal es circular se tiene el caso de la mayoría de los flujos entubados, por lo que su solución es de mucho interés práctico. Su solución es bien conocida y se presenta en el siguiente ejemplo. Otros casos en los que la solución es exacta corresponde una a una sección transversal elíptica, y otra cuando es triangular equilátera. En seguida se presenta el caso de mayor interés.
Ejemplo 1.- Flujo newtoniano en régimen permanente con propiedades constantes ( , , ), a través de un conducto cilíndrico recto de sección circular, existe un componente del gradiente de presión en la dirección del flujo, que desciende bajo la acción de la gravedad . Se desea conocer
, , = = ,,
− − −
el campo de presiones , el campo de velocidades esfuerzos y el campo de vorticidades .
, el campo de
gz=gsen g gt=gcos
Figura 8.2 Flujo newtoniano permanente a través de un cilindro circular recto de radio R inclinado un ángulo con respecto a la horizontal. Existe un componente del gradiente de presión en la dirección del flujo, que se mueve además bajo la acción de la gravedad, cuyos componentes en las . direcciones radial, azimutal y axial son:
cos cos,
0
Conviene elegir un marco de referencia en coordenadas cilíndricas, con el eje en el eje del conducto, apuntando en la dirección del flujo. Por hipótesis , y no hay variaciones en la dirección azimutal. Si hubiese la duda acerca de si podría ser función de , ésta se disipa al hacer un balance de masa, es decir, al considerar la ecuación de continuidad. Balance de masa.- Aplicando la ecuación de balance instantáneo de masa en coordenadas cilíndricas (ecuación A3.30 del Apéndice 3):
0
(A3.30)
00
El primer término del miembro izquierdo es cero, ya que por hipótesis el flujo es permanente, el segundo y el tercer términos también son nulos, ya que se ha supuesto que . Como además la densidad es contante, la ecuación de balance de masa se reduce a que , por lo que no depende de . Así, no hay duda de que .
Balance de momentum.- Como el fluido es newtoniano con propiedades constantes, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas (ecuaciones A3.41, A3.42 y A3.43 del Apéndice 3), se simplifican como sigue.
Componente en la dirección de :
(A3.41)
Es fácil comprobar que todos los términos del miembro izquierdo son nulos, y que en el miembro derecho sólo sobreviven el componente del gradiente de la presión y el componente de la fuerza de gravedad, de modo que A3.41 se reduce a:
0 coscos
(8.24)
Componente en la dirección de :
(A3.42)
En ésta también todo el miembro izquierdo es nulo, y en el derecho sólo quedan el componente del gradiente de la presión y el componente de la fuerza de gravedad, de modo que A3.42 se reduce a:
0 cos 0
(8.25)
Componente en la dirección de :
(A3.43)
Nuevamente el lado izquierdo es nulo, y la ecuación A.3.43 se reduce a:
(8.26)
Condiciones de frontera.- Las condiciones de frontera para estas ecuaciones son las siguientes:
0 0 0,0,0 ,, cos cos , ,
(8.27)
(8.28) (8.29)
Al integrar la ecuación 8.24 (con respecto a la variable radial ) se obtiene que:
en donde
es una función arbitraria de
.
(8.30)
Al integrar la ecuación 8.25 (con respecto a la variable azimutal ) se obtiene ahora:
,, cos cos , , ,
(8.31)
Al comparar las ecuaciones 8.30 y 8.31 se hace evidente que:
De este modo:
(8.32)
es una función únicamente de . Sustituyendo en 8.26 se tiene que:
(8.33)
El miembro izquierdo de 8.33 sólo puede ser función de , en tanto que el derecho sólo lo es de , de modo que deben ser una constante, llamada en 8.33. La ecuación 8.33 da lugar a las dos ecuaciones siguientes:
(8.34)
Al integrar 8.34 se obtiene que:
(8.35)
(8.36)
Sustituyendo esta función en la ecuación 8.31 y de 8.32, se obtiene el campo de presión:
donde debe ser claro que
,, cos cos 0,0,0
(8.37)
.
<0
En 8.37 se observa que la presión varía (disminuye, puesto que en general linealmente a lo largo del conducto, en tanto que en la sección transversal hay una variación de la presión idéntica a la variación hidrostática. Ahora, la ecuación 8.35 se puede reescribir como:
−
(8.38)
Integrando dos veces, se obtiene que:
− ln
0
De la condición de frontera 8.27, frontera 8.28,
campo de velocidades:
0
0 − 0 , entonces
, se tiene que
(8.39) ; y de la condición de
. Sustituyendo en 8.39, se tiene el
− 1
(8.40)
El perfil de velocidades es un paraboloide de revolución. La velocidad máxima se tiene así en , es decir, en el centro de la tubería, como era de esperarse. Esta velocidad máxima es:
á −
(8.41)
Nótese que la velocidad máxima es directamente proporcional al cuadrado del radio del conducto, e inversamente proporcional a la viscosidad. Asimismo, es directamente proporcional a la diferencia entre los componentes, en la dirección del flujo, del gradiente de presión y el producto de la gravedad por la densidad y el seno del ángulo de inclinación. Si el conducto estuviese horizontal, este último producto sería nulo, y el escurrimiento se daría sólo debido al gradiente de presión. Se observa que para que el flujo vaya en el sentido positivo del eje , como se había anticipado.
<0
Es una muy buena práctica en las ciencias y las ingenierías el adimensionalizar y normalizar las ecuaciones que modelan los fenómenos. El campo de velocidades 8.40 quedaría expresado en forma adimensional, simplemente como:
∗ ∗ 1 ∗
En donde la velocidad adimensional definen como:
á
∗
∗ á
(8.42)
y la variable radial adimensional (y normalizada) y
∗
∗
, se
(8.43)
∗
La velocidad está dada en 8.41, la variable radial adimensionalizada toma valores a partir de cero -en el centro de la tubería- hasta uno, sobre la superficie interior del conducto. En esto consiste aquí la “normalización”: en acotar los valores de la variable entre 0 y 1.
El campo de esfuerzos puede determinarse a partir de la ecuación constitutiva del fluido newtoniano, que para el caso incompresible se reduce a:
= = 2 =
(8.44)
En el Apéndice 3 se presentan los componentes del tensor de rapideces de deformación en coordenadas cilíndricas. Así:
,, 2 cos cos ,,2 cos cos ,,2 cos cos ,, 0 ,, − ,, 0
(8.45)
(8.46)
(8.47)
(8.48)
(8.49)
(8.50)
Finalmente, el campo de vorticidad queda definido por la ecuación A1.16 del Apéndice 3:
− ∇× −̂ −̂ −̂
(8.51)
que, para este campo de velocidades se reduce a:
− − − ̂
(8.52)
, , = = ,, − −
Ejemplo 2.- Flujo newtoniano en régimen permanente con propiedades constantes ( , , ), a lo largo del espacio anular entre dos cilindros circulares rectos concéntricos de radios para el cilindro interno, y para el externo, como se muestra en la figura 8.3. Existe un componente del gradiente de presión en la dirección del flujo, que desciende bajo la acción de la gravedad. Se desea conocer el campo de presiones , el campo de velocidades , el campo de esfuerzos y el campo de vorticidades .
Figura 8.3. Flujo newtoniano permanente a lo largo del espacio anular entre dos cilindros concéntricos.
Para este caso de flujo de Poiseuille, las ecuaciones a resolver son exactamente las mismas que las del ejemplo 1 (flujo axial en dentro de un cilindro circular recto). Lo único que cambian son las condiciones de frontera, que ahora serían:
0 0 , , 0
(8.53)
(8.54)
(8.55)
Al integrar los componentes escalares de la ecuación de Navier-Stokes en las direcciones radial y azimutal, se encuentra que el campo de presiones es exactamente el mismo que el del ejemplo 1, dado en la ecuación 8.37:
,, cos cos
(8.56)
Ahora, al campo general de velocidades dado por 8.39, hay que imponerle las condiciones de frontera 8.53 y 8.54.
− ln 0
(8.57)
− ln 0
(8.58)
Al resolver simultáneamente las ecuaciones 8.57 y 8.58 s e obtiene que:
− − − − −
(8.59)
(8.60)
Sustituyendo en 8.58 y arreglando términos se tiene finalmente que:
− −ln 1
(8.61)
El campo de esfuerzos y el de vorticidad se obtienen de manera similar a como se procedió en el ejemplo1. Se reta al lector a obtenerlos auxiliándose del Apéndice 3.
Ejemplo 3.- Flujo permanente newtoniano con propiedades constantes entre dos cilindros concéntricos rotatorios alrededor de sus ejes en posición vertical, como se muestra en la figura 8.4.
Figura 8.4 Flujo entre dos cilindros concéntricos que rotan en sentidos opuestos. Para no considerar los efectos de borde, hay que suponer que los cilindros son muy largos comparados con el diámetro del mayor de ellos. Además, por hipótesis, se supondrá que las velocidades de rotación son suficientemente bajas como para que no se genere un flujo secundario tridimensional, de modo que el flujo sea axisimétrico. Esto implica que no hay variaciones en la dirección azimutal (en el sentido de ). Así, ,y .
0
R Ω R
Ω
El radio interno del cilindro exterior -que gira en sentido antihorario con una rapidez angular es , en tanto que el radio externo del cilindro interior, que gira en sentido horario con una rapidez angular , es . Conviene emplear coordenadas cilíndricas, con el eje coincidiendo con el eje de los cilindros. La ecuación de continuidad A3.30 :
0
se satisface idénticamente, ya que todos sus términos se vuelven nulos por la simplicidad de la geometría de este flujo, además de la condición de permanencia. El componente en la dirección radial de la ecuación de Navier-Stokes (ecuación A3.41) se reduce a:
0
(8.62)
El componente en la dirección azimutal (la del flujo) se reduce, de A3.42 a: (8.63)
En la dirección axial, el componente de A3.43 que no se anula es tan sólo (suponiendo que los cilindros están en posición vertical):
0
(8.64)
La ecuación 8.62 muestra que debe haber un equilibrio entre la seudofuerza centrífuga y la fuerza de presión inducida por la rotación (la presión aumenta con la distancia radial); la ecuación 8.64 sólo indica que hay una variación en la presión con la profundidad debida a la gravedad y a la densidad del fluido. Esta última ecuación se puede integrar directamente para obtener que:
,
(8.65)
en donde es una función arbitraria de la variable radial . Para integrar la ecuación 8.62 se requiere conocer previamente la distribución de velocidad , lo cual puede hacerse integrando 8.63 dos veces con respecto a , obteniéndose que:
(8.66)
Aplicando las condiciones de frontera:
Ω Ω
y
(8.67)
(8.68)
se obtiene el sistema de ecuaciones simultáneas:
cuya solución es:
Ω Ω + −−+
(8.69)
(8.70)
Sustituyendo estas constantes en 8.66 se obtiene el campo de velocidades entre los cilindros:
− Ω Ω +
(8.71)
De 8.65 y 8.71 se tiene que la ecuación 8.62 se puede escribir como:
− Ω Ω ++ + (8.72)
De donde, al integrar con respecto a r se obtiene que:
+− Ω Ω 2Ω ΩΩ Ω l n ,
Sustituyendo en 8.65 se obtiene finalmente el campo de presión
(8.73)
:
, −+ Ω Ω 2Ω ΩΩ Ω l n
(8.74)
En 8.74 se observa una simple variación del tipo hidrostático en la dirección vertical, dado en el segundo término de su miembro derecho, pero una variación mucho más complicada en la dirección radial, que equilibra a la seudofuerza centrífuga. Con el auxilio de las ecuaciones del Apéndice 3 se pueden obtener el campo de esfuerzos y el de las vorticidades. Asimismo, pueden considerase como casos particulares de este ejemplo, cuando alguno de los cilindros permanece fijo.
Ejemplo 4: Flujo permanente a través de un conducto de sección triangular .- Se deja como ejercicio para el lector el comprobar que la distribución de velocidades para el flujo newtoniano permanente e incompresible a través de un conducto de sección transversal triangular equilátera, acotado por los planos:
está dado por:
√ 3 ; √ 3 ;
(8.75)
, − 3
(8.76)
y que el flujo másico a través de la sección triangular está dado por:
. √ −
(8.77)
El determinar los campos de esfuerzo y vorticidades también se dejan como ejercicio.
Ejemplo 5: Flujo permanente a través de un cilindro de sección elíptica.- Al igual que en el ejemplo anterior, también es fácil comprobar que la distribución de velocidades para el flujo newtoniano permanente e incompresible a través de un conducto horizontal de sección transversal elíptica está dado por:
, + 1
(8.78)
Los campos de esfuerzos y vorticidades se pueden obtener fácilmente a partir d e 8.78.
8.2 Flujos no newtonianos Para analizar el escurrimiento de un fluido no newtoniano, en vez de recurrir a multicitada ecuación de Navier-Stokes, se emplea la ecuación diferencial de balance instantáneo del momentum y se echa mano de la ecuación reológica que mejor modele el comportamiento del fluido. Existe una enorme cantidad de situaciones en la ingeniería y la industria en la que se necesita hacer cálculos y dimensionamientos con flujos no newtonianos, algunos de los cuales son tratados en textos sobre reología que aparecen listados en la bibliografía general al final de este libro. Aquí sólo se expondrá el siguiente caso como un simple ejemplo de cómo se procede en estas situaciones.
Ejemplo 6: Flujo permanente de un plástico de Bingham a través de un cilindro circular recto.- Este flujo se diferencia del flujo de Poiseuille a través de un cilindro de sección circular, en donde la distribución de velocidades tiene un perfil parabólico dado en la ecuación 8.40, en que ahora se tendrá un flujo en donde existe un núcleo elástico de radio rodeado por un flujo anular dentro del cual se excede el esfuerzo de cedencia de la ecuación reológica del plástico de Bingham dada en la ecuación 7.49. Obviamente conviene utilizar coordenadas cilíndricas con el eje situado en el eje del conducto cilíndrico, y apuntando en el sentido del flujo. Como hipótesis simplificadoras, además de la permanencia se supondrá, al igual que en el flujo de Poiseuille, que .
0,
Para enfocarse en el comportamiento no newtoniano, se supondrá además que el conducto es horizontal para no considerar el efecto de la gravedad ni de ninguna otra fuerza de cuerpo. El fluido escurrirá entonces debido sólo a la acción de un gradiente de presión (que sólo dependerá de ) en la dirección del flujo. Así, la ecuación de continuidad (balance instantáneo de masa) se satisface idénticamente, y de las ecuaciones de balance instantáneo de momentum (ecuaciones A3.38, A3.39 y A3.40, como Primera Ley de Cauchy en coordenadas cilíndricas en el Apéndice 3, de las cuales únicamente se requiere el componente en la dirección del flujo), se tiene que:
0 −
( 8.79)
Ahora, la ecuación reológica 7.49, para el marco cilíndrico seleccionado se reescribe como:
en donde es el “esfuerzo de cedencia” y se tiene que:
(8.80)
es la “viscosidad plástica”. Sustituyendo en 8.79
0 ln
(8.81)
La ecuación 8.81 puede reescribirse como:
(8.82)
Integrando dos veces con respecto a la variable se obtiene que:
Como
debe ser finita en
0
, entonces
(8.83)
0 0
de modo que el perfil de velocidades queda como:
; y de
,
,
Ahora, en el borde del núcleo elástico central, en donde
(8.84)
, se tiene que:
0 2 . ∫ 2 y
(8.85)
De 8.85 y 8.84 se obtiene que el radio del núcleo central es:
de donde:
(8.86)
(8.87)
Sustituyendo en 8.84 se tiene, alternativamente para el perfil de velocidades:
De la ecuación 8.88:
(8.88)
(8.89)
El flujo másico a través del conducto es:
. 1
(8.90)
0
Esta es la ecuación de Buckingham-Reiner, la cual permite evaluar experimentalmente los valores de la viscosidad plástica y del esfuerzo de cedencia . Para el caso en que , que correspondería a un fluido newtoniano, la ecuación 8.90 se r educe a:
.
que es la celebérrima ecuación de Hagen-Poiseuille, donde viscosidad dinámica newtoniano.
(8.91)
es ahora el coeficiente de
Ejemplos de plásticos de Bingham son muchas pinturas, el asfalto, pastas arcillosas, pasta dental, etcétera. Puede afirmarse que la reología nació precisamente cuando Bingham y Green hicieron sus estudios sobre pinturas en 1919. Así como se procedió en este ejemplo se puede trabajar para modelar el flujo de materiales con muy diversas ecuaciones reológicas.
8.2 Deformación de sólidos hookeanos La deformación en sólidos hookeanos puede ser analizada con empleando su ecuación constitutiva que, al ser introducida en las ecuaciones de balance instantáneo se obtienen los sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas que permiten resolver los problemas elastodinámicos en estos sólidos. En esta sección se presentan dos sencillos ejemplos del empleo de la ecuación constitutiva en la solución de problemas.
19 300 , 207
Ejemplo 7: Deformación de un cubo de acero sujeto a compresión en cuatro de sus caras.- Un cubo de acero de de arista, es cargado con una presión uniformemente distribuida de sobre las cuatro caras perpendiculares a los ejes . Topes rígidos limitan la deformación del cubo en la dirección del eje a . Se trata de determinar las deformaciones y de las aristas del cubo, el esfuerzo normal que se desarrolla en las caras perpendiculares al eje , y el cambio de volumen del cubo. El módulo de Young de este acero es de y el coeficiente de Poisson es de . Hay que determinar además los valores de los coeficientes de elasticidad de Lamé y .
0,05 0, 3
Solución.- Las cuatro caras perpendiculares a los ejes están sujetas a compresión, por lo que deberá haber una disminución en la longitud de las ocho aristas paralelas a dichos ejes, en tanto que las cuatro aristas en la dirección del eje deberán incrementar su longitud, que está limitada a 0.05 mm. Si este incremento en la longitud no alcanza el valor límite, el esfuerzo normal sobre las caras perpendiculares al eje será nulo. Como la deformación está limitada por topes rígidos, éstos comenzarán a ejercer un esfuerzo de compresión en esta dirección en cuanto se alcance la deformación límite.
,
Los coeficientes de elasticidad ( ) se pueden calcular mediante las relaciones 7.39 y 7.40. Sustituyendo en ellas los valores del módulo de Young y del coeficiente de Poisson se tiene que:
≈79,615×10 79,615 21 207×10 21,3 1 12 0,321,07×10 30,4 ≈119,423×10 119,423 Mediante la ecuación constitutiva del sólido hookeano dada en la relación 7.32 se puede relacionar el tensor de esfuerzos con el tensor de deformaciones euleriano. Así:
2
(7.32)
De esta forma, se tiene para cada cara se tiene:
119,423×10 279,6154×10 300×10 119,423×10 279,6154×10 300×10 119,423×10 279,6154×10
(8.92)
Figura 8.5 Cubo de acero sujeto a esfuerzos normales uniformemente distribuidos sobre sus caras.
,
0 0
Ahora, existen dos posibilidades: que no se alcance el tope, en cuyo caso , y habría que determinar a resolviendo las ecuaciones anteriores considerando . La segunda posibilidad es que sí se alcance el tope, en cuyo caso la deformación estaría determinada, y habría que resolver para . Esta es la opción que se elige en seguida.
, , 2,63158×10− , 8,32571×10−− 8,32571×10 125,526×10
Suponiendo que el cubo de acero sí alcanza el tope, se tiene que la deformación determinada por:
Resolviendo el sistema de ecuaciones para
(8.93)
se obtiene que:
(8.94)
está
Se observa que , esto era de esperarse dado que se tiene una distribución de esfuerzos de misma magnitud en la dirección de los ejes y , y que el cuerpo es geométricamente simétrico.
Debido a que el esfuerzo tiene signo negativo, se determina que es un esfuerzo de compresión, tal y como debe esperarse si se alcanzan los topes rígidos. En el caso de no alcanzar los topes el esfuerzo tendría un valor positivo, indicando que habría que halar las caras perpendiculares al eje para que pudiesen alcanzar dicho tope, cosa que no está contemplada en la formulación del problema.
Finalmente, como de acuerdo con la relación 6.63 el cambio de volumen por unidad de volumen es igual a la traza del tensor de deformaciones infinitesimales, es decir que:
∆⩝⩝
(6.63)
El cambio en el volumen del cubo será:
∆ 19 8,325718,325712,63158 10− 6859 0,001401984 ∆ 9,6162
(8.95)
Ejemplo 8: Determinación de un campo de desplazamientos a partir de un campo de deformaciones.- Si una barra cilíndrica de radio es sometida a torsión, se le ocasiona el campo de deformaciones siguiente:
; ; 0
(8.96)
en donde el eje Z del marco de coordenadas elegido coincide con el eje de la barra.
Se desea determinar el campo de desplazamientos, para lo cual primero se verifica que las ecuaciones 8.96 satisfacen las seis ecuaciones de compatibilidad. En s eguida se procede a integrar los componentes del tensor de deformaciones infinitesimales euleriano como sigue:
0 , 0 , 0 ℎ, , ,0
entonces
(8.97)
entonces
(8.98)
entonces
(8.99)
(8.100)
La ecuación 8.100 sólo puede ser satisfecha si ambas funciones lo son sólo de la variable , de donde:
, ,
(8.101)
Integrando las ecuaciones 8.101 se obtiene que:
(8.102)
,
Ahora,
(8.103)
(8.104)
La ecuación 8.104 sólo puede ser satisfecha si ambas funciones del miembro derecho son funciones de únicamente, y en consecuencia:
,
(8.105) (8.106)
Sustituyendo las ecuaciones 8.105 y 8.106 en 8.104 se obtiene que:
ℎ, ∫ ∫ , de donde
(8.107)
Integrando 8.106 se obtiene que:
(8.108)
Sustituyendo 8.108 en las ecuaciones 8.102 y 8.103 se obtiene que:
(8.109) (8.110)
Asimismo:
(8.111)
Hasta aquí se han empleado cinco de los seis componentes de tensor de deformaciones y se han introducido cinco constantes de integración. Al considerar el sexto componente del tensor de deformaciones, la constante puede ser evaluada como sigue:
de donde:
(8.112)
Sustituyendo la 8.112 en las ecuaciones 8.109, 8.110 y 8.111 se obtiene que:
; ; 0 ;
;
(8.113)
Las constantes , y indican una translación rígida de la flecha, en tanto que la constante indica una rotación rígida de la misma. Así, los desplazamientos involucrados con la deformación son únicamente: (8.114)
Obtener el tensor de deformaciones a partir del campo de desplazamientos es muy sencillo, pero obtener el campo de desplazamientos a partir de las deformaciones por lo general es muy laborioso, como se mostró en este ejemplo. ----
Ejercicios
±
±
8.1
Una tubería recta de sección transversal cuadrada, acotada por los planos y conduce un fluido newtoniano en régimen laminar y permanente. ¿Es correcta la distribución de velocidades dada por la siguiente expresión para este flujo de Poiseuille?
4 1 1 . ℎ
8.2 Un plástico de Bingham escurre en régimen permanente e incompresible sobre una placa plana inclinada un ángulo con respecto a la horizontal por la acción de la gravedad. Encontrar el campo de velocidades, de presiones, de esfuerzos y vorticidades, así como el flujo másico por unidad de anchura que atraviesa el plano transversal . La superficie libre del flujo está a una distancia constante sobre la placa plana.
0
5×10 0,2
8.3 Una solución de polisopropeno en isopentano a 300 K es modelada reológicamente por la “ley de la potencia” dada en la ecuación 7.50, con y y se bombea por una tubería de 20,4 m de longitud y 1,3 cm de diámetro interno, siendo el flujo laminar. Se desea cambiar la tubería por otra dos veces más larga, manteniendo el mismo flujo másico y la misma caída de presión. ¿Cuál deberá ser el diámetro interno de ésta?
∗ ∗ ∗ ℎ
∗ ∗ ∗ ∗ /ℎ ∗ / ∗ / 71 , 1000 / 10−, 2 × − 2, 2 ×10 2,5×10−
8.4 Determine los perfiles adimensionales de velocidades y de temperaturas para el flujo de Couette de un fluido newtoniano con propiedades constantes en régimen permanente. Las placas son horizontales, están separadas una distancia ; la de arriba se mueve con una rapidez constante y es adiabática. El gradiente de presión tiene un componente nulo en la dirección del flujo, de modo que el movimiento del fluido es debido únicamente al movimiento de la placa superior. La placa de abajo permanece a temperatura constante . Las variables se adimensionalizan (y normalizan) como: ; y .
0,33 8.5
Determinar el cambio en el volumen de un cubo de aluminio ( ) de 10 cm de arista cuando se deja hundir 6 km en una fosa abisal en el Océano Pacífico. Suponer que la densidad del agua marina en la fosa es y que localmente .
9,78 / 210 , 0, 3 0 10− 1,2 ×10− 8.6 (
En un punto de la superficie plana de una pieza de acero para una máquina ), se miden las deformaciones longitudinales a ángulos de 0°, 60° y 120° respectivamente, con respecto al eje . Consideraciones de diseño limitan el esfuerzo normal máximo a sólo 510 MPa, el esfuerzo cortante máximo a 275 MPa, la máxima deformación normal a , y la deformación angular máxima a . ¿Cuál es su opinión acerca del diseño de la pieza?
REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA GENERAL Y LIBROS Y ARTÍCULOS REFERENCIADOS Anderson, J.D. (1990), Modern Compressible Flow, with Historical Perspective, McGraw-Hill, New York. Arcos-Quezada José I. y Armando Sepúlveda-López (2014), Desarrollo Conceptual del Cálculo. Desarrollo histórico de los conceptos del cálculo desde una perspectiva docente , UAEMex, Toluca. Aris, R. (1962), Vectors, Tensors, and Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall. Astarita, G. (1975), An Introduction to Non-Linear Continuum Thermodynamics, Societá Editrice di Chimica, Milano. Astarita, G. & Marrucci, G. (1974), Principles of Non-Newtonian Fluid Mechanics, McGraw-Hill Book Co. Bejan, A. (1988), Advanced Engineering Thermodynamics, Wiley-Interscience, New York. Bird, R.W., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (1960), Transport Phenomena, Wiley, New York. Bourne-Kendall (1980), Análisis Vectorial y Tensores Cartesianos, LIMUSA, México. Carnot, S. (1987), Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego, versión en castellano de la obra original en francés publicada en 1824, Alianza Editorial, Madrid. Currie, I. G. (1974), Fundamental Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, New York. Dally, J.W. & Riley, W.F. (1991), Experimental Stress Analysis, Third Edition, McGraw-Hill. Day, W.A. (1972), The Thermodynamics of Simple Materials with Fading Memory, SpringerVerlag. Einstein, A. (1960), Uber Die Spetelle Und Allegemeine Relativitätstheorie, Fried Vieweg & Son, version en Castellano con el título La Relatividad, Editorial Grijalbo,S.A. Eriksen, J.L. (1960), Tensor Fields. Encyclopedia of Phyisics, Editor S. Flügge, Vol III/1, SpringerVerlag. Darby, R. D. (1976), Viscoelastic Fluids, Marcel Dekker Inc.
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Apéndice 1. Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales Coordenadas ortogonales generales ( u1 , u2 , u3 )
− − −̂ −̂ −̂ −̂ −̂ ×−̂ v −̂ ∇ −̂ −̂ −̂ ∇∙ −̂ −̂ ∇× −̂ ∇ Vector de posición:
(A1.1)
Factores de escala:
(A1.2)
Vectores unitarios base:
(A1.3)
Condición para que un sistema coordenado ortogonal sea de mano derecha:
(A.1.4)
Componentes vectoriales:
(A1.5)
Gradiente de una función escalar:
(A1.6)
Divergencia de un campo vectorial:
(A1.7)
Rotacional de un campo vectorial:
(A1.8)
Laplaciano de una función escalar:
(A1.9)
Coordenadas cilíndricas
, ,
cos,sen, ≥0 0≤≤2 ∞≤≤∞ 1 1 −̂ cos−∧ sen −∧ −̂ sen −∧ cos −∧ −̂ −∧ ∇ −̂ 1 −̂ −̂ ∇∙ 1 1 ∇× 1 −̂ −̂ 1 −̂ ∇ 1 1
a) Vector de posición, referido a un marco cartesiano:
(A1.10)
b) Rango de valores de las coordenadas:
(A1.11)
c) Factores de escala:
(A1.12)
d) Vectores unitarios de base:
(A1.13)
e) Gradiente de una función escalar:
(A1.14)
f) Divergencia de una función vectorial:
(A1.15)
g) Rotacional de una función vectorial:
(A1.16)
h) Laplaciano de una función escalar:
i)
Superficies coordenadas: Cuando Cuando Cuando
= constante = constante = constante
⇒⇒ ⇒
Se tienen cilindros circulares rectos verticales Se tienen semiplanos verticales a través del origen Se tienen planos horizontales
(A1.17)
Coordenadas esféricas
,,
sencos,sensen,cos ≥0 0≤≤ 0≤≤2 1 sen −̂ ̂ sencos ∧−∧ sensen−∧∧ cos −∧∧ − coscos cossen s e n − − − ∧ ∧ −̂ sen− cos− ∇ −̂ 1 −̂ sen1 −̂ ∇∙ 1 sen1 sen sen1 ∇× sen1 1sen θ −̂ 1 sen1 −̂ −̂ ∇ 1 sen1 sen se1n
a) Vector de posición referido a un marco cartesiano:
(A1.18)
b) Rangos de valores de las coordenadas:
(A1.19)
c) Factores de escala:
(A1.20)
d) Vectores unitarios base:
(A1.21)
e) Gradiente de una función escalar:
(A1.22)
f) Divergencia de una función vectorial:
(A1.23)
g) Rotacional de una función vectorial:
(A1.24)
h) Laplaciano de una función escalar:
i)
Superficies coordenadas: Cuando Cuando Cuando
= constante = constante = constante
⇒⇒ ⇒
Se tienen esferas con centro en el origen Se tienen conos circulares Se tienen semiplanos verticales a través del origen
(A1.25)
Apéndice 2. Identidades vectoriales
Identidades elementales
×≡× ××≡ ∙ ∙ ∙×≡ ×∙≡×∙
(A2.1) (A2.2) (A2.3)
Identidades vectoriales con el operador nabla
∇×∇≡0 ∇∙≡∇∙∙∇ ∇×≡∇×∇× ∇∙∇×≡0 ∙∇≡ 12 ∇∙×∇× ∇×∇×≡∇∇∙∇ ∇××≡∇∙∇∙∙∇∙∇ ∇ ≡∇∇ ∇∙≡×∇××∇×∙∇∙∇ ∇∙×≡∙∇×∙∇×
(A2.4) (A2.5) (A2.6) (A2.7) (A2.8)
(A2.9) (A2.10) (A2.11) (A2.12) (A2.13)
Apéndice 3. Componentes del tensor extra de esfuerzos para un fluido newtoniano, ecuaciones de balance instantáneo sobre volúmenes infinitesimales, componentes del tensor de rapidez de deformación
El “coeficiente de viscosidad volumétrica ” se define en términos de
y
∇∇ ∇∙
Tensor extra de esfuerzos
como:
para un fluido newtoniano
(Ley de viscosidad de Newton)
(A3.1)
∇∙0
Cuando un “flujo incompresible”, la densidad es constante y puede omitirse el segundo término de A3.1, ya que de acuerdo con la ecuación de la conservación de la masa, . Para gases monoatómicos a baja densidad, la viscosidad de dilatación volumétrica es cero.
Componentes de
para un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas
2 23 2 23 2 23
(A3.2) (A3.3) (A3.4) (A3.4) (A3.5) (A3.6)
2 1 1 2 3 2 1 23 1 1 2 23 1 1 1 1 2 2 1 1 3 sin sin si1n 2 1 2 1 1 3 sin sin si1n 2 si1n 2 1 cot 1 3 sin sin si1n 1 sin sin si1n si1n
Componentes de
Componentes de
para un fluido newtoniano en coordenadas cilíndricas
(A3.7) (A3.8) (A3.9) (A3.10) (A3.11) (A3.12)
para un fluido newtoniano en coordenadas esféricas
(A3.13)
(A3.14)
(A3.15)
(A3.16) (A3.17) (A3.18)
Ley de conducción de calor de Fourier para materiales isótropos
−. ∇
(A3.19)
Ley de conducción de calor de Fourier para materiales isótropos en coordenadas cartesianas
. . .
(A3.20) (A3.21) (A3.22)
Ley de conducción de calor de Fourier para materiales isótropos en coordenadas cilíndricas
. . 1 .
(A3.23) (A3.24) (A3.25)
Ley de conducción de calor de Fourier para materiales isótropos en coordenadas esféricas
. . 1 . si1n
(A3.26) (A3.27) (A3.28)
ECUACIONES DE BALANCE SOBRE VOLÚMENES INFINITESIMALES
Ecuaciones de balance instantáneo de masa Coordenadas cartesianas (
, ,
):
0 ,, 1 1 0 ,, 1 si1n sin si1n Coordenadas cilíndricas (
Coordenadas esféricas (
(A3.29)
):
(A3.30)
):
(A3.31)
Ecuaciones de balance instantáneo del momentum (Primera ley de Cauchy) en coordenadas rectangulares cartesianas Componente en la dirección del eje
:
:
Componente en la dirección del eje
(A3.32)
:
(A3.33)
Componente en la dirección del eje
(A3.34)
Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares cartesianas para un fluido newtoniano con T, y constantes
:
Componente en la dirección del eje
Componente en la dirección del eje
:
(A3.35)
:
(A3.36)
Componente en la dirección del eje
(A3.37)
Ecuaciones de balance instantáneo del momentum (Primera ley de Cauchy) en coordenadas cilíndricas Componente en la dirección de
:
1 1 1 1 1 1 1
Componente en la dirección de
Componente en la dirección de
(A3.38)
:
(A3.39)
:
(A3.40)
Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas para un fluido newtoniano con T, constantes
Componente en la dirección de
y
:
1 1 2 1 1 1 2 1 1
Componente en la dirección de
(A3.41)
:
(A3.42)
Componente en la dirección de :
(A3.43)
Ecuaciones de balance instantáneo del momentum (Primera ley de Cauchy) en coordenadas esféricas Componente en la dirección de
:
1 sin 1 1 sin sin sin 1 1 si n 1 cot 1 cot sin sin sin
Componente en la dirección de
(A3.44)
:
(A3.45)
Componente en la dirección de
:
1 si1n 1 cot si1 n sin sin sin
(A3.46)
Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas esféricas para un fluido newtoniano con T, constantes
sin 2 2 2 2 ℵ cot sin 1 sin 2 cot2cos ℵ sin sin 1 sin cot2 2cos sin ℵ sin sin sin ℵ≡ 1 si1n sin s1in
Componente en la dirección de
Componente en la dirección de
Componente en la dirección de
Donde:
y
:
(A3.47)
:
(A3.48)
:
(A.49)
Componentes del tensor de rapidez de deformación en coordenadas rectangulares cartesianas
12 12 12
(A3.50) (A3.51) (A3.52) (A3.53) (A3.54) (A3.55)
Componentes del tensor de rapidez de deformación en coordenadas cilíndricas
1 12 1 12 12
(A3.56) (A3.57) (A3.58) (A3.59) (A3.60) (A3.61)
Componentes del tensor de rapidez de deformación en coordenadas esféricas
1 1 12 1 12 1 12 1
(A3.62)
(A3.63)
(A3.64)
(A3.65)
(A3.66)
(A3.67)
Apéndice 4. Elementos de de Termodinámica Clásica La termodinámica es toda una ciencia que ha avanzado mucho desde sus orígenes en el siglo XIX. Sin embargo, en el nivel de estudio de este libro sobre la mecánica del medio continuo, sólo algunas relaciones fundamentales de la termodinámica clásica decimonónica son imprescindibles, y éstas por lo general se presentan principalmente en el estudio de flujos compresibles. El siguiente resumen contiene contiene casi todas las ecuaciones básicas que se requieren para este libro.
Ley cero de la termodinám t ermodinámica ica
La ley cero de la termodinámica establece que existe una variable de estado (propiedad termodinámica), la temperatura , y que dos sistemas que están en contacto directo se encuentran en equilibrio si y sólo si sus temperaturas son iguales.
Primera ley de la termodinámica
La primera ley de la termodinámica establece que existe una variable de estado, la energía interna . Si una cantidad de trabajo es realizado en un sistema termodinámico, y una cantidad de calor es adicionado a él, el estado de equilibrio antes y después del proceso se encuentra relacionado por la ecuación diferencial:
(A4.1)
Esto es, el cambio de energía interna es igual al trabajo realizado sobre el sistema más el calor añadido a él durante el proceso o evento. Nótese que ni el calor ni el trabajo son propiedades termodinámicas, en tanto que la energía interna sí lo es. En consecuencia, la forma diferencial de la energía es “exacta”, mientras que las formas diferenciales para el calor y el trabajo son formas diferenciales diferenciales inexactas.
Ecuaciones de estado Una ecuación de estado es una relación entre las propiedades termodinámicas como función de otras, seleccionadas como las propiedades independientes. El postulado de estado indica que el número de propiedades independientes para definir un estado termodinámico es igual al número de maneras de poder realizar trabajo potencialmente reversible sobre el sistema, más uno. Para las llamadas sustancias simples (aquellas sobre las cuales sólo es posible realizar trabajo reversible r eversible de una manera), el número de propiedades independientes es sólo dos. Por ejemplo, para gases hay dos ecuaciones de estado que son muy comúnmente usadas, una para gases ideales y otra para gases reales, cuando éstos se consideran “sustancias compresibles simples”. La ecuación de estado para un gas ideal es:
(A4.2)
donde es la constante del gas en particular. Frecuentemente esta ecuación es usada para definir un “gas perfecto”. Esto es, los gases que se comporten bajo la ecuación de estado definida, se denominan “gases ideales o perfectos”.
Ecuación de Van de Waals Una aproximación de la ecuación de estado para gases reales está dada por la ecuación de Van de Waals, que establece que:
11 278 278
en donde:
Aquí
y
(A4.3)
(A4.4) (A4.5)
son, respectivamente, la presión y temperatura crítica del gas.
Entalpía La entalpía de una sustancia compresible simple se define mediante la siguiente ecuación:
ℎ
(A4.6)
Donde es el volumen específico del gas por unidad u nidad de masa.
Calores específicos Existen dos calores específicos de uso común: a volumen constante y a presión constante. El calor específico a volumen constante
se define por:
ℎ ℎ ℎ ℎ
El calor específico a presión constante
(A4.7a)
se define por:
(A4.7b)
Utilizando las relaciones relaciones de arriba arriba de calores calores específicos específicos y considerando considerando un un gas perfecto, perfecto, se puede mostrar que:
ℎ ℎ
(A4.8)
Bajo las mismas condiciones puede demostrarse que, para el caso de gases ideales, funciones únicamente de la temperatura y pueden ser expresadas de las formas:
Si y son constantes, independientes de perfecto”, lo que conlleva conlleva a que:
ℎ
y son
(A4.9)
(A4.10) , el gas es denominado “calóricamente
(A4.11) (A4.12)
Proceso adiabático reversible Las siguientes ecuaciones ecuaciones son válidas para un proceso adiabático adiabático y reversible para para un gas calóricamente perfecto:
donde
Entropía
y
,
,
− − −
(A4.13)
(A4.14)
son constantes.
Existe una variable de estado, la entropía . Si se adiciona calor al sistema, sis tema, el cambio en la entropía entre el estado inicial y final de equilibrio está dado por:
donde la integral está evaluada para un proceso reversible.
(A4.15)
Segunda ley de la termodinámica La segunda ley de la termodinámica establece que para cualquier proceso espontáneo el cambio de entropía es positivo o cero. Esto es:
≥
(A4.16)
Para un gas calóricamente perfecto (esto es, que sus calores específicos son constantes), el cambio de entropía puede expresarse como:
log log log log
(A4.17) (A4.18)
Relaciones de correspondencia Algunas propiedades termodinámicas como la presión, el volumen y la temperatura, se pueden medir directamente con los instrumentos adecuados, pero otras no, como la entropía o la energía libre de Gibbs. Sin embargo, basados en la consideración de que todas las propiedades termodinámicas deben ser funciones de punto (funciones de otras propiedades termodinámicas) es posible desarrollar relaciones entre las propiedades que son fácilmente medibles medibles con las que no lo son. Para sustancias compresibles simples las ecuaciones que relacionan entre sí las derivadas parciales de las propiedades p, v, T, fácilmente medibles, con la entropía s, la energía libre de Helmholtz a, y la energía libre de Gibbs g, que no pueden medirse directamente, son las llamadas “relaciones de Maxwell” que no son má m ás que la condición de exactitud de las “ecuaciones de Gibbs”, que a su vez son formas opcionales para escribir la ecuación de balance diferencial de la energía interna u. Las cuatro ecuaciones de Gibbs son las siguientes:
ℎ
(A4.19) (A4.20) (A4.21) (A4.22)
A partir de que estas formas diferenciales son exactas, las siguientes identidades pueden establecerse:
(A4.23) (A4.24)
(A4.25) (A4.26)
y además, resultan las relaciones de Maxwell:
(A4.27)
(A4.28)
(A4.29)
(A4.30)
Los cambios en la energía interna, la entalpía y para una sustancia compresible simple pueden expresarse en términos de la presión, el volumen y los calores específicos como:
ℎ
(A4.31)
(A4.32)
(A4.33)
Se tienen también las siguientes relaciones para los calores específicos:
En términos de la “expansividad volumétrica” como:
(A4.34)
y la “compresibilidad isotérmica” , definidos
(A4.35)
(A4.36)
