Instituto Tecnológico de Tijuana
Fundamentos de la mecánica de los medios continuos Tema: 3 Estado de esfuerzos Fuerzas de superficie y de cuerpo (EQUIP !" Teorema Teorema de #auc$y Tensor Tensor de esfuerzos Esfuerzos y direcciones principales %epresentación gráfica del estado tridimensional y plano de esfuerzo
Profesor: Ing& castillo 'az )es*s +ntonio
Integrantes del e,uipo: Estrada -edina )ac,ueline Fernández 2alinas +ris3et
./0.1!1 ./0./45/
6a7arrete 8elás,uez 8elás,uez 2tep$anie ./0./49 %odrigo #arrasco #laudia
./0./4;1
2alazar #ruz
./0.//!
=a7ala +$umada -ara
./0./410
>rupo: .I#9? Fec$a de entrega: ./ de mayo del 0/.0
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO
'eterminar el estado de esfuerzos@ deformaciones y ecuaciones constituti7as de diferentes tipos de sólidos y fluidos para comprender su comportamiento cuando se encuentran sometidos a un sistema sistema de fuerzas en e,uili3rio estático o dinámico&
Introducción: Introducc ión: Estado de esuer!os" +ntes ,ue nada se de3e tener una definición certera de lo ,ue es la mecánica de los medios continuos@ A es una rama de la fsica la fsica (especficamente (especficamente de la mecánica" mecánica" ,ue propone un modelo unificado para sólidos deforma3les@ deforma3les@ sólidos rgidos y rgidos y fluidos& fluidos& Fsicamente los fluido fluidoss se clasif clasifica ican n en l,uidos y l,uidos y gases& gases& El tBrmin tBrmino o medio medio continu continuo o se usa tanto tanto para para designar un modelo matemático@ matemático@ como cual,uier porción de material cuyo comportamiento se puede descri3ir adecuadamente por ese modeloC& Tomando como punto de partida ,ue los estados de fuerzas están integradas por fuerzas longitudinales@ angulares@ isotrópicas y distorsiónales& D cada una de ellas cuenta con propie propiedade dadess caract caracter ersti sticas cas como como son: son: las propie propiedade dadess etens etensi7a i7ass ( ,ue son las propiedades cuyo 7alores depende de la cantidad de sustancias presente@ por ejemplo la masa@ el peso el 7olumen y la cantidad de calor por mencionar mencionar algunas"@ algunas"@ las propiedades propiedades intensi7as o tam3iBn llamadas de punto( ,ue son las propiedades ,ue su 7alor no depende de la cantid cantidad ad de sustan sustancia cia@@ como son el peso especifi especifico@ co@ la densidad densidad@@ la presión@ presión@ la temperatura@ la densidad y peso especifico"& tro caracterstica muy particulares a la $ora de e7aluar loes estados de esfuerzos son las dimensiones de estas propiedades& Tam3iBn lo ,ue son las fuerzas y esfuerzos ,ue act*an en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie@
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO
'eterminar el estado de esfuerzos@ deformaciones y ecuaciones constituti7as de diferentes tipos de sólidos y fluidos para comprender su comportamiento cuando se encuentran sometidos a un sistema sistema de fuerzas en e,uili3rio estático o dinámico&
Introducción: Introducc ión: Estado de esuer!os" +ntes ,ue nada se de3e tener una definición certera de lo ,ue es la mecánica de los medios continuos@ A es una rama de la fsica la fsica (especficamente (especficamente de la mecánica" mecánica" ,ue propone un modelo unificado para sólidos deforma3les@ deforma3les@ sólidos rgidos y rgidos y fluidos& fluidos& Fsicamente los fluido fluidoss se clasif clasifica ican n en l,uidos y l,uidos y gases& gases& El tBrmin tBrmino o medio medio continu continuo o se usa tanto tanto para para designar un modelo matemático@ matemático@ como cual,uier porción de material cuyo comportamiento se puede descri3ir adecuadamente por ese modeloC& Tomando como punto de partida ,ue los estados de fuerzas están integradas por fuerzas longitudinales@ angulares@ isotrópicas y distorsiónales& D cada una de ellas cuenta con propie propiedade dadess caract caracter ersti sticas cas como como son: son: las propie propiedade dadess etens etensi7a i7ass ( ,ue son las propiedades cuyo 7alores depende de la cantidad de sustancias presente@ por ejemplo la masa@ el peso el 7olumen y la cantidad de calor por mencionar mencionar algunas"@ algunas"@ las propiedades propiedades intensi7as o tam3iBn llamadas de punto( ,ue son las propiedades ,ue su 7alor no depende de la cantid cantidad ad de sustan sustancia cia@@ como son el peso especifi especifico@ co@ la densidad densidad@@ la presión@ presión@ la temperatura@ la densidad y peso especifico"& tro caracterstica muy particulares a la $ora de e7aluar loes estados de esfuerzos son las dimensiones de estas propiedades& Tam3iBn lo ,ue son las fuerzas y esfuerzos ,ue act*an en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie@
#UER$AS% TENSIONES & DE#OR'ACIONES #uer!as e(ternas"
Tensiones
En el plano sGs de la figura y para el elemento diferencial de superficie dFJ correspondiente al punto / act*a una tensión pJ@ ,ue se representa por un 7ector y cuya dirección puede formar con la normal al elemento dFJ so3re el ,ue act*a un ángulo
cual,uiera si es este ángulo se podrá descomponer el 7ector pJ en dos direcciones@ figura I&+&0a@ una normal a dFJ y otra en su plano@ cuyas componentes son:
2i a un cuerpo elástico tal como el de la (figuraGa"@ al ,ue se aplica un sistema de cargas eternas@ se le $acen pasar por un punto tres planos ortogonales dos a dos@ so3re cada uno de estos planos y para este punto se presentará una tensión normal "J y otra tangencial GJ esta *ltima se descompondrá en las dos direcciones paralelas a los ejes principales del plano so3re el ,ue act*a& #on el fin de definir las tensiones ,ue inciden so3re cada plano se aplica el criterio siguiente: #ada tensión "J o GJ se acompaKa de dos su3ndices@ el primero corresponde a la letra del eje normal al plano considerado y el segundo a la letra del eje paralelo a la componente de ,ue se trate (figuraG3" +s Gz J es la tensión tangencial ,ue actuando so3re un plano normal al eje z resulta paralela al eje &
#omo tensiones positi7as se eligen a,uellas ,ue se orientan en el sentido creciente de los ejes@ si las caras so3re las ,ue act*an miran tam3iBn el sentido creciente@ o si se orientan en el sentido decreciente de los ejes mirando las caras correspondientes el sentido decreciente de los mismos& 2on negati7as las tensiones dirigidas en sentido contrario& Por consiguiente todas las tensiones representadas en la (figuraG3" resultan positi7as& Deor)aciones
(@y@="
y
Por otro lado el segmento PQ 7ara tras la deformación su longitud de dlJ a dl J y además@ si asociasemos a la deformación otro segmento tal como el P%N normal a PQ@ se o3ser7ara la 7ariación angular de /O a /O G & Esta 7ariación angular es muy pe,ueKa Gse pueden sustituir las tangentes por los ángulosG y reci3e el nom3re de distorsión&
2i nos referimos un paraleleppedo elemental en las deformaciones& 2ucede entonces ,ue el paraleleppedo P+?#'EFQ tras la deformación del cuerpo pasa a la posición P + ? # ' E
F Q@ seg*n se aprecia en la figura@ indicándose las deformaciones por los recorridos Gu@ 7 y G ,ue eperimentan los diferentes 7Brtices&
Teore)a de Cauc*+ 2i f y g son funciones continuas en Sa@ 3 y deri7a3les en (a@ 3"@ eiste un punto
c El
7alor
del
primer
miem3ro
es
constante:
tangente a la cur7a f(" en el primer punto es 7eces la pendiente de la tangente a la cur7a g(" en el segundo punto& +l teorema de #auc$y tam3iBn se le suele denominar teore)a de, -a,or )edio .enera,i!ado& E/e)0,os +nalizar si el teore)a de Cauc*+ es aplica3le en el inter7alo S.@ 9 a las funciones: f(" R 0 V 0 ! y g(" R ! V ;0 0/ V 5& En caso afirmati7o@ aplicarlo&
+nalizar si el el teore)a de Cauc*+ es aplica3le a las funciones f(" R sen y g(" R cos en el inter7alo S/@ XM0&
gL (c" W / Vsen(XM9 " W /& El teore)a de Cauc*+ o teore)a de, -a,or )edio .enera,i!ado dice ,ue: 2i f y g son funciones continuas en Sa@ 3 y deri7a3les en (a@ 3"@ eiste un punto
c
