8) Funciones

Fatela Preuniversitarios

MATEMÁTICA: GUÍA º 8 “FU CIO ES” RELACIO ES: Producto Cartesiano Dado un conjunto “A” llamado conjunto de partida, y un conjunto “B” llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano “A x B” entre ambos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar: donde el primer componente pertenece a “A” y el segundo componente del par pertenece a “B”. A = {a, b, c}

Por ejemplo, si

y

B = {1, 2}

El producto cartesiano será: A x B = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2), (c;1), (c;2) } Otro ejemplo: Si

A = { x / x ∈ ∧ ( 2 ≤ x ≤ 5) }

y B = {2,3}

El producto cartesiano será: A x B = {(2;2), (2;3), (3;2), (3;3), (4;2), (4;3), (5;2), (5;3)} Que puede ser representado en el siguiente gráfico cartesiano: y Producto Cartesiano

4 3 2 1 Conjunto de Llegada

x 0

1

2

3

4

5 Conjunto de Partida Matemática - Funciones- 1 -23


Para practicar:

Dadas los conjuntos de partida "A" y de llegada "B" especificados, hallar el producto cartesiano "A x B" expresándolo por extensión mediante pares ordenados (cuando sea posible); y graficarlos en gráficos cartesianos.

a) A ={x / x ∈ Z ∧ −1 ≤ x < 2} ; B ={x / x ∈ N ∧ 3 < x ≤ 5} b) A ={x / x ∈ R ∧ 1 ≤ x ≤ 4} ; B ={x / x ∈ R ∧ 2 < x < 5} RELACIÓ Se dice que ℜ es una relación que aplica “A” en “B”, si es un subconjunto del Producto Cartesiano “A x B”, o sea que es un determinado conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece a “A”, (llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componente pertenece a “B”, (Conjunto de Llegada). Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4}

y

B = {a, b, c, d, e}

Una relación ℜ que aplica A en B

Podría ser :

ℜ : A→B

ℜ = {(1;b), (2;c), (2;d), (3;e)}

Gráficamente, en un diagrama de flechas es: Conjunto de Partida

A 1 2

Dominio de la Relación

Conjunto de Llegada

B a b c

3

d

4

e Imagen de la Relación

Matemática - Funciones- 2 -23


En el diagrama de flechas, cada par ordenado de una relación se representa como una flecha que une al elemento del conjunto de partida (objeto) con un elemento en el conjunto de llegada (imagen). Se llama “Dominio” de una relación ℜ al subconjunto incluido en el conjunto de partida de los elementos de “A” que tienen imagen sobre el conjunto de Llegada. Gráficamente es el subconjunto de “A” desde donde parten las flechas. Se llama “Imagen” de una relación ℜ al subconjunto incluido en el conjunto de llegada de los elementos de “B” que son imagen de al menos un punto del conjunto de partida. Gráficamente es el subconjunto de “B” hacia el cual llegan las flechas. RELACIÓ I VERSA Dada una relación ℜ que aplica “A” en “B”, existe una “Relación −1 Inversa” ℜ que aplica “B” en “A” que contiene el conjunto de todos los pares ordenados de la relación original ℜ , pero con el orden de sus componentes cambiado.

(

−1 −1 Si ℜ : A → B ∃ ℜ : B → A / ∀ ( x; y ) ∈ℜ : ( y; x ) ∈ℜ

Gráficamente, en un diagrama de flechas la relación inversa ℜ Conjunto de Llegada de la Relación Inversa A 1 2

es:

Conjunto de Partida de la Relación Inversa B a b c

3

d

4

e

Imagen de la Relación Inversa

−1

)

Dominio de la Relación Inversa



ℜ −1 = {(b;1), (c;2), (d;2), (e;3)}

La relación inversa sería: Toda relación

ℜ

−1

cualquiera sea, admite siempre una relación inversa ℜ .

A continuación veremos un tipo especial de relación: “la relación funcional o función” de importancia capital en Matemática y las condiciones que debe cumplir una relación para ser considerada función. También analizaremos la posibilidad de que esta función admita una función inversa. FU CIO ES Para que una relación ℜ sea una “relación funcional” o “función” deben cumplirse dos condiciones: 1) Existencia: Todo elemento correspondiente al conjunto de Partida “A” debe tener una imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir que el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida “A”. En lenguaje simbólico:

ℜ cumple existencia ⇔ ( ∀x / x ∈ A ∃ y ∈ B : ( x ; y ) ∈ ℜ ) La relación del ejemplo que estamos tratando no es función debido a que el elemento “4” no tiene una imagen relacionada en “B”. El conjunto de partida difiere por tanto del dominio de la relación. No es Función porque: A

Conjunto de Partida 1 2 Dominio de la Relación

Dom ( ℜ ) ≠ A B a b c

3

d

4

e

Un ejemplo de una relación que cumple la condición de existencia sería:



Conjunto de Partida

a b c

1 2 Dominio de la Relación

Dom ( ℜ ) = A

B

A

3

d

4

e

El Dominio de la relación es igual al Conjunto de Partida

Pero esta condición de existencia no basta para asegurar que la relación sea función; debe cumplir también una segunda condición: la unicidad. 2) Unicidad: Cada elemento correspondiente al conjunto de Partida “A” debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir que no puede haber un elemento del dominio asociado con dos valores distintos de imagen en el conjunto de llegada. En lenguaje simbólico:

ℜ cumple unicidad: ⇔ ( ∀x ∈ A , ∀y ∈ B, ∀z ∈ B : ( ( x ; y ) ∈ℜ ∧ ( x ; z ) ∈ℜ ) ⇒ y = z ) La relación del ejemplo que estamos tratando no cumple unicidad debido a que el elemento “2” tiene dos imágenes distintas en “B”. A No hay unicidad pues c y d son dos imágenes distintas asociadas al elemento "2" del dominio.

1 2

B a b c

3

d

4

e

Estas dos condiciones que debe cumplir una relación ℜ para ser una función, pueden sintetizarse en una sola: "La relación ℜ es función si cada elemento del Conjunto de Partida (A) tiene una y sólo una imagen en el conjunto de llegada (B)". Matemática - Funciones- 5 -23


Si la relación se expresa gráficamente por diagramas de flechas, para determinar si es función habrá que revisar que desde cada elemento del conjunto de partida "A" salga una y sólo una flecha hacia algún elemento en "B". Por ejemplo: en las siguientes relaciones expresadas por diagramas de flechas, las dos primeras son funciones puesto que cumplen las condiciones de existencia y unicidad; pero las dos restantes no son funciones al no satisfacer dichas condiciones simultáneamente. A 1 Son funciones

2 3 4

A 1 No son funciones

2 3 4

B a b c d e

B a b c d e

A

B a b c d e

A

B a b c d e

1 2 3 4

1 2 3 4

Usamos estos diagramas de flechas sólo para una ilustración sencilla de los conceptos básicos de función, pero en la práctica los conjuntos de partida “A” y de llegada “B” son conjuntos de infinitos elementos puesto que son intervalos de la recta real. Por ello, no es posible hacer una representación mediante flechas de los también infinitos pares ordenados que pertenecen a la relación o función. Para representar estas relaciones o funciones se recurre entonces a la gráfica cartesiana. Los elementos del conjunto de partida “A” se ubican en el eje horizontal de abscisas y los elementos del conjunto de llegada “B” se ordenan en el eje vertical de ordenadas. Luego cada par ordenado (x;y) que pertenezca a la función se indica con un punto sobre el plano XY. La representación gráfica de la función es por tanto una curva plana compuesta por infinitos puntos.



Representación Cartesiana de una Relación ℜ que aplica A en B. y

ℜ : A→B

4 B = [2; 4]

3 2 1

Conjunto de Llegada

x 0

1

2

3

4

5 Conjunto de Partida

A = [1; 5]

Dada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es función o no, se procede así: 1) Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de partida “A” especificados. 2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la misma corresponde a una función. Si no la corta en algún punto o la corta más de una vez, no corresponderá a una función.

ℜ : [1; 5] → [2; 4]

y 4

Recta imaginaria Vertical

3 2 1 x 0

1

2

3

4

5

La recta Vertical corta siempre (en todo el dominio “A”) una y sólo una vez a la gráfica dada.

La relación ℜ es función

Algunos ejemplos de relaciones que no son función: Matemática - Funciones- 7 -23


ℜ : [1; 5] → [2; 4]

y 4


3

La recta Vertical corta más de una vez (en algunos puntos) a la gráfica dada.

2 1 x 0

1

2

3

4

La relación ℜ no es función

5

No cumple “unicidad” A

ℜ : [1; 5] → [2; 4]

y 4


3

La recta Vertical en ocasiones no corta a la gráfica dada.

2 1 x 0

1

2

3

4

5

La relación ℜ no es función No cumple “existencia” para algunos valores del dominio “A”

A Como vemos, no basta con dar la gráfica de una relación para poder saber si es función o no, sino que también hay que indicar el conjunto de partida “A” que debe considerarse. Para practicar:

1) Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.



a) 1

B

A a

2 3 4

b c d

A

d)

b)

B

B

A 1

a

2 3 4

b c d

B

A

e)

c)

B

A 1

a

2 3 4

b c d

B

A

f)

1

a

1

a

1

a

2 3 4

b c d

2 3 4

b c d

2 3 4

b c d

2) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple. a) b) c) y 6 5 4 3 2 1 0

d) y 6 5 4 3 2 1 0

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

y

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

x

6 5 4 3 2 1

x

1

2

3

4

5

0

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

x 1

2

3

4

5

e)

1

2

3

4

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

6 5 4 3 2 1

x 1

2

3

4

5

x

0

5

y

0

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

y 6 5 4 3 2 1

f) y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

ℜ : [1; 5) → [1; 5]

1

2

3

4

5



Respuestas: 1) a) No es función (no hay existencia para "4") b) Sí es función. c) No es función (no hay unicidad para "2") d) Sí es función. e) No es función (no existe para "2" y "4" y no hay unicidad para "3") f) Sí es función. 2) a) Sí es función. b) No es función (no hay unicidad en todo el intervalo (1,5]). c) Sí es función. d) No es función (no hay existencia para el intervalo (4;5]) e) No es función (no hay existencia para "1" y "5") f) Sí es función. CLASIFICACIÓ DE FU CIO ES Las funciones se pueden clasificar en: Universo de Funciones

U

Inyectivas

I

B

Suryectivas

S

Biyectivas Se sobreentiende que antes de clasificar funciones debe constatarse que realmente se trata de relaciones funcionales o funciones, mediante la comprobación de las condiciones de existencia y unicidad. Como vemos, una función puede no caer dentro de alguna de estas tres categorías; no ser inyectiva, ni suryectiva ni biyectiva, como queda reflejado en el diagrama de Venn precedente. Matemática - Funciones- 10 -23


Esta clasificación de funciones se hace con el objeto de estudiar si las funciones admiten una función inversa o no. Una relación cualquiera siempre admite una relación inversa, como hemos visto. Pero una función tiene que cumplir ciertos requisitos para que la relación inversa también sea función (o sea también cumpla las condiciones de existencia y unicidad). Con miras a establecer si una función podrá invertirse o no, existen los siguientes tipos de funciones: A) Inyectivas: Una función "f" que aplica "A" en "B" es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de un solo elemento del conjunto de partida "A" o de ninguno. En otras palabras, "f" es inyectiva si cada elemento de "B" es imagen de un elemento de "A" como máximo. Dado una función mediante un diagrama de flechas, es inyectiva si a cada elemento de "B" llega una sola flecha o ninguna. O sea, si a cada elemento de "B" llega una sola flecha como máximo. Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es inyectiva, se procede así: 1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados. 2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una sola vez o ninguna vez a la gráfica dada, la función es "inyectiva". FU CIÓ I YECTIVA A 1 2 3 4

B a b c d e f

f : [1; 5] → [1; 4]

B

y 4 B

3 2 1 x 0

1

2

3

4

5

-1

La relación inversa f no es función pues no cumple la condición de existencia.

A Matemática - Funciones- 11 -23


Por lo tanto una función inyectiva "pura" no admite una función inversa. B) Suryectivas: Una función "f" que aplica "A" en "B" es suryectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de uno o más de un elemento del conjunto de partida "A". En otras palabras, "f" es suryectiva si cada elemento de "B" es imagen de un elemento de "A" como mínimo. De manera que la imagen de una función suryectiva coincide exactamente con el conjunto de llegada. Dado una función mediante un diagrama de flechas, es suryectiva si a cada elemento de "B" llega una flecha o más de una. O sea, si a cada elemento de "B" llega una flecha como mínimo. Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es suryectiva, se procede así: 1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados. 2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una vez o más de una vez a la gráfica dada, la función es "suryectiva". FU CIÓ SURYECTIVA A

4

a

2

b

3

B

y

B

1

f : [1; 5] → [1; 4]

B

c 4

3 2 1 x

Imagen de "f"= B

0

La relación inversa f -1 no es función pues no cumple la condición de unicidad.

1

2

3

4

5

A

C) Biyectivas: Una función "f" que aplica "A" en "B" es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de uno y sólo un elemento del conjunto de partida "A". Matemática - Funciones- 12 -23


La función "f" es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez. La imagen de una función biyectiva también coincide exactamente con el conjunto de llegada. Dado una función mediante un diagrama de flechas, es biyectiva si a cada elemento de "B" llega una y sólo una flecha. Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es biyectiva, se procede así: 1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados. 2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la función es "biyectiva". FU CIÓ BIYECTIVA A

B

1

a

2

b

3

c

4

d

f : [1; 5] → [1; 4]

B

y 4 B

3 2 1 x 0

1

2

Imagen de "f"= B

3

4

5

A

La relación inversa f -1 sí es función pues cumple las condiciones de existencia y unicidad. Como vemos, la función biyectiva es la única función que admite una función inversa. Para practicar:

1) Dadas las siguientes funciones mediante diagrama de flechas, clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones.



a) 1

A

a b c d e f

2 3 4

A

d)

B

b)

B

A 1 a

2 3 4

B

c) 1

1

a

1

2 3 4

b c d

2 3 4

a b c d e f

2 3 4

b c

B

A

e)

A

B

A

f)

a

1

b c d

2 3 4

B

a b

2) Dadas las siguientes funciones mediante diagramas cartesianos "XY", clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones. f : [1; 5] → [1; 5]

y 6 5 4 3 2 1

y

x

0

y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

f : [1; 5] → [1; 5]

y

x 1

2

3

4

5

6 5 4 3 2 1 0

5

f : [1; 5] → [1; 5]

x 1

2

3

4

0

f : [1; 5] → [1; 5]

x 1

2

3

4

5

x

0

5

6 5 4 3 2 1

f : [1; 5] → [1; 5]

y 6 5 4 3 2 1

y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

f : [1; 5] → [1; 5]

1

2

3

4

5



Respuestas: 1) a) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. b) Suryectiva. c) Inyectiva. d) Biyectiva. e) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. f) Suryectiva. 2) a) Suryectiva. b) Biyectiva. c) Inyectiva. d) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. e) Suryectiva. f) Inyectiva. Cabe aclarar que la sola gráfica cartesiana de una función por sí sola no permite clasificarla como inyectiva, suryectiva o biyectiva; sino que hay que contar además con la definición de los conjuntos de partida y de llegada "A" y "B". Con un ejemplo demostraremos como una cierta función puede ser inyectiva, suryectiva, biyectiva o puede no ajustarse a ninguna de estas clasificaciones, según como se definan los conjuntos de partida y de llegada "A" y "B".

f : » → » / y = x2

y 4

Conjunto de Llegada

B = (−∞; ∞)

3 2

Definida así no es inyectiva, ni suryectiva, ni biyectiva

1 x −3 −2 −1 0 −1

1

2

3

−2



Ahora tomamos la misma función pero restringimos el conjunto de llegada a los valores reales positivos más el cero:

f : » → [0; ∞) / y = x 2

y 4

Conjunto de Llegada

B = [0; ∞)

3 2 1 x

Definida así es suryectiva.

−3 −2 −1 0 −1

1

2

3

−2 Ahora otra vez con la misma función restringimos el conjunto de partida a los valores reales positivos más el cero, dejando como conjunto de llegada todos los números reales:

f : [0; ∞ ) → » / y = x 2

y 4

Sólo se toma la rama de valores positivos de "x" Conjunto de Llegada

B = (−∞; ∞) Definida así es inyectiva.

3 2 1 x −3 −2 −1 0 −1

1

2

3

−2

Por último restringimos tanto el conjunto de partida como el de llegada a los números reales positivos más el cero, con lo cual la función se transforma en biyectiva y por lo tanto posible de ser invertida. Matemática - Funciones- 16 -23


f : [0; ∞ ) → [0; ∞ ) / y = x 2

y 4

Sólo se toma la rama de valores positivos de "x"

3 2 1 x

Conjunto de Llegada

B = [0; ∞)

−3 −2 −1 0 −1

Definida así es biyectiva.

−2

1

2

3

Funciones definidas mediante una expresión analítica Como vemos, una función es una relación matemática entre dos variables, la “x” llamada variable independiente, pues se le puede dar cualquier valor que se desee (dentro de un dominio) y otra variable, la “y” dependiente de “x” que es la llamada función. Las funciones se pueden representar gráficamente usando un sistema de coordenadas cartesianas, que consiste en un par de ejes perpendiculares entre sí donde se ubican los valores de la variable independiente “x” en el eje horizontal y los valores de la función “y” en el eje vertical. Una forma segura para graficar cualquier función es hacer una tabla de valores en la cual se le van dando valores en forma arbitraria a la “x” y se va calculando el valor que le corresponde a la “y”. Por ejemplo para la función y = 2. x + 1, se puede realizar la siguiente tabla de valores: x 0 1 2 3 4

y 2.0 + 1 = 1 2.1 + 1 = 3 2.2 + 1 = 5 2.3 + 1 = 7 2.4 + 1 = 9

Luego, para graficarla se van ubicando los puntos de la tabla de valores en el gráfico “xy”, con la “x” llamada la abscisa, sobre el eje horizontal y la “y” también conocida como ordenada, sobre el eje “y”. Uniendo estos puntos surge la curva plana que representa a la función. La representación gráfica de esta función es: Matemática - Funciones- 17 -23


y 7 6 5 4 Eje de Ordenadas

3

Eje de Abscisas

2 1

x 0

Para practicar:

1

2

3

4

5

6

Dadas las siguientes funciones mediante su expresión analítica, graficarlas haciendo previamente la tabla de valores y clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones.

a) y = 2.x + 1

f: R → R

(Biyectiva)

b) y = x2 − 1

f: R → [-1; ∞)

(Suryectiva)

c) y = 2x

f: R → R

(Inyectiva)

d) y = − x2 + 4

f: R → R

(Ni inyectiva ni suryectiva)



Trabajo Práctico ° 8 "Relaciones y funciones" 8.1) Dadas los conjuntos de partida "A" y de llegada "B" especificados, hallar el producto cartesiano "A x B" expresándolo por extensión mediante pares ordenados (cuando sea posible); y graficarlos en gráficos cartesianos. a) A ={x / x ∈ R ∧ −2 ≤ x < 3} ; B ={x / x ∈ R ∧ 1 ≤ x < 4} b) A ={x / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 4} ; B ={x / x ∈ R ∧ 0 < x < 5} 8.2) Dadas las siguientes relaciones que aplican A en B, mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple. a) 1

B

A a

2 3 4

b c d

A

d)

b)

B

B

A 1

a

2 3 4

b c d

B

A

e)

c)

B

A 1

a

2 3 4

b c d

B

A

f)

1

a

1

a

1

a

2 3 4

b c d

2 3 4

b c d

2 3 4

b c d

8.3) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple. a) b) c) y 6 5 4 3 2 1 0

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

y

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

x

6 5 4 3 2 1

x

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

y 6 5 4 3 2 1 0

ℜ : (1; 5) → [1; 5]

1

2

3

4

5



d)

ℜ : (1; 5] → [1; 6)

y 6 5 4 3 2 1

x

0

1

2

3

4

e) y

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

6 5 4 3 2 1

x

5

0

1

2

3

4

f) y 6 5 4 3 2 1 0

5

ℜ : (1; 5) → [1; 6]

1

2

3

4

5

8.4) Dadas las siguientes funciones mediante diagrama de flechas, clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones. a) 1

A

2 3 4

d)

a b c d e f

A

B

B

b)

B

A 1 a

2 3 4

A

a b c d e f

2 3 4

b c

B

A

e)

c) 1

a

1

a

1

2 3 4

b c d

2 3 4

b c d e

2 3 4

a) f : [1; 5] → [1; 5] 8.5) Dadas las siguientes y funciones mediante 6 diagramas cartesianos 5 "XY", clasificarlas 4 como inyectivas, 3 suryectivas, 2 biyectivas o indicar 1 x que la función no se ajusta a ninguna de 0 1 2 3 4 5 estas clasificaciones.

B

A

f)

1

b) y

B

a b

f : [1; 5] → [1; 5]

6 5 4 3 2 1 0

x 1

2

3

4

5



c) y 6 5 4 3 2 1 0

d)

f : [1; 5] → [1; 5]

y

x 1

2

3

4

5

e) f : [1; 5] → [1; 5]

6 5 4 3 2 1 0

y 6 5 4 3 2 1

x 1

2

3

4

0

5

f : [1; 5) → [1; 5]

1

2

3

4

5

8.6) Dadas las siguientes funciones mediante su expresión analítica, graficarlas haciendo previamente la tabla de valores y clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones. x

a) y = 3− + 1

f: R → R

b) y = x − 1

f: R → R

c) y = (x − 2)2

f: [1; ∞) → R

d) y = − x2 − 2

f: [−2; 2] → [−6; −2]



Resultados del Trabajo Práctico ° 8 "Relaciones y funciones" 8.1) b) A x B

a) A x B y

y

6 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 0

x 1 2

3

6 5 4 3 2 1 0

x 1

2

3

4

5

8.2) a) Sí es función. b) No es función (no hay existencia para "2"). c) Sí es función. d) No es función (no existe para "1" y no hay unicidad para "4") e) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "3", etc.) f) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "1" y "3") 8.3) a) No es función (no se cumple unicidad). b) No es función (no hay existencia en el intervalo [1,2)). c) Sí es función. d) Sí es función. e) No es función (no hay unicidad para "3"). f) No es función (no hay existencia para "3").

8.4) a) Inyectiva. b) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. c) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. d) Biyectiva. e) Inyectiva. f) Suryectiva. Matemática - Funciones- 22 -23


8.5) a) Biyectiva. b) Suryectiva. c) Inyectiva. d) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. e) Inyectiva. 8.6) a) Inyectiva. b) Biyectiva. c) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva. d) Suryectiva.


8) Funciones

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