Funciones Matemáticas
1.
Introducción 2. Función 3. Diferencias entre función y relación 4. Dominio 5. Rango 6. ¿Para qué se representa una gráfica? 7. Tipos de funciones 8. Función Constante 9. Función lineal 10. Función Cuadrática 11. Función ogar!tmica 12. Función "#ponencial 13. Cuadro comparati$o entre las funciones 14. Función Ramificada 15. Rele$ancia de las funciones en el cálculo 16. Diferencia y seme%an&a entre dominio y rango 17. Conclusión 18. 'i(liograf!a
Introducción En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1!" por el matemático francés #ené $escartes para desi%nar una potencia &n de la variable &. En 1'( el matemático alemán )ottfried )ottfried *il+elm eibniz utilizó utilizó el término término para referirse referirse a varios varios aspectos de una curva, como su pendiente. -asta recientemente, su uso más %eneralizado +a sido el definido en 1/' por el matemático alemán, 0..). ejeune2$iric+ ejeune2$iric+let let 3145215'6, 7uien escribió8 9Una variable es un símbolo 7ue representa un n:mero dentro de un conjunto de ello. $os variables variables ; < = están asociadas asociadas de tal forma 7ue al asi%nar un valor a ; entonces, por al%una re%la o correspondencia, se asi%na automáticamente un valor a =, =, se dice 7ue = es una función 3unívoca6 de ;. a variable ;, a la 7ue se asi%nan libremente valores, se llama variable independiente, mientras 7ue la variable =, cu
Función Una función es una re%la de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera 7ue a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno < sólo un elemento del se%undo conjunto.
)l primer con%unto *el con%unto D+ se le da el nom(re de dominio, )l segundo con%unto *el con%unto C+ se le da el nom(re de contradominio o imagen, Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. a entrada es el dominio, los cálculos 7ue +a%a el aparato con la entrada son en sí la función < la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.
>otación8 al n:mero 7ue 9entra9 a la má7uina usualmente lo denotamos con una letra, di%amos cual7uier otra.
o
,o
?l n:mero 7ue 9sale9 de la má7uina lo denotamos con el símbolo
Diferencias entre función y relación Una relación es cual7uier conjunto de pares ordenados, o cual7uier correspondencia entre conjuntos < una función es la 7ue da e&actamente un valor a la variable dependiente 3<6 para cada valor de la variable independiente 3&6 en el dominio. Una relación entre / conjuntos ? < @ es cual7uier subconjunto del producto cartesiano ?;@, incluso el vacío. Una función de ? en @ debe cumplir 7ue para todo elemento de ? e&ista un :nico elemento de @ 37ue se suele llamar f3a66 relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la si%uiente8 se dice 7ue # es refle&iva si para todo elemento de ? 3a, a6 esta en la relación. Ae dice 7ue es simétrica si cada vez 7ue 3a, b6 está en la relación, 3b, a6 está en la relación, antisimétrica si cada vez 7ue 3a, b6 < 3b, a6 están en la relación, aBb < transitiva si cada vez 7ue 3a, b6 < 3b, c6 están en la relación, 3a, c6 esta en la relación.
Ai una relación es refle&iva, simétrica < transitiva, se dice 7ue es de e7uivalencia. Ai una relación es refle&iva, antisimétrica < transitiva se dice 7ue es de orden. >o se puede decir 7ue una relación es creciente o decreciente, por7ue cada elemento puede estar relacionado con varios o con nin%:n elemento. $e las funciones 3si son de # en #6 si se pueden decir si son crecientes o decrecientes 3o nin%uno de los / casos, como pasa con la función sen &6. En cuanto a la continuidad, +a< 7ue recordar 7ue una función puede ser continua en un punto < no en otro. a definición de función continua en un punto es la si%uiente8 para todo epsilon positivo e&iste un delta C4 de tal forma 7ue para todo & Deste a menos de delta de &4, la distancia de 3f3&6a f3&46 es menor 7ue epsilon < una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si e&iste al menos un punto donde no es continua.
Dominio En matemáticas, el dominio 3conjunto de definición o conjunto de partida6 de una función es el conjunto de e&istencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos 7ue puede transformar, se denota o bien.
Rango Aon todos los valores posibles de f3&6 o sea de =. Ai tenemos f3;6 B sen 3;6 El ran%o va de 21 a 1. Ai F3;6 B una parábola cóncava en forma de U. El ran%o va del vértice dala parábola +acia arriba +asta infinito.
¿Para qué se representa una gráfica? Una %ráfica es la representación de datos, %eneralmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación 7ue esos datos %uardan entre sí. ambién se representan para plasmar coordenadas cartesianas, < sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o si%nos 7ue permiten la interpretación de un fenómeno. a representación %ráfica también es una a
Tipos de funciones Función Constante Ae llama función constante a la 7ue no depende de nin%una variable, < la podemos representar como una función matemática de la forma8 F*#+-a donde a pertenece a los n:meros reales < es una constante.
Gomo se puede ver es una recta +orizontal en el plano & <, en la %ráfica la +emos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de &, si +acemos8 .-F*#+ entonces .-a donde a tiene un valor constante, en la %ráfica tenemos representadas8 para valores de a i%uales8 =B =B(,/ =B2!, a función constante como un polinomio en # es de la forma
Ae dice 7ue es constante por7ue su valor no cambia, a cada valor de & le corresponde siempre el valor a. El $ominio de la función constante va +acer i%ual siempre a Hodos los #ealesI Mientras 7ue la ima%en tan solo va +acer el valor de a . Es una Función Gontinua. JKué si%nifica la recta representa por la función
Función lineal Es a7uella 7ue satisface las si%uientes dos propiedades8 ropiedad aditiva 3también llamada propiedad de superposición68 Ai e&isten f3&6 < f3<6, entonces f3& <6 B f3&6 f3<6. Ae dice 7ue f es un %rupo isomorfista con respecto a la adición. ropiedad +omo%énea8 f 3a&6 B af3&6, para todo n:mero real a. Esto +ace 7ue la +omo%eneidad si%a a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de 7ue la función lineal sea continua, la +omo%eneidad no es un a&ioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida. •
•
En esta definición & no es necesariamente un n:mero real, pero es en %eneral miembro de al%:n espacio vectorial. ara comprobar la linealidad de una función
no es necesario realizar la comprobación de las
propiedades de +omo%eneidad < aditividad por separado, con mostrar 7ue la linealidad 7ueda demostrada. El concepto de linealidad puede ser e&tendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales inclu
Función Cuadrática a función cuadrática responde a la formula8
Función ogar!tmica Ae llama función lo%arítmica a la función real de variable real8
a función lo%arítmica es una aplicación bi
a función lo%arítmica solo está definida sobre los n:meros positivos. o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo o a función lo%arítmica de base a es la recíproca de la función e&ponencial de base a. o as funciones lo%arítmicas más usuales son la de base 14 < la de base e = 2’718281... $ebido a la continuidad de la función lo%arítmica, los límites de la forma o
Ae +allan por medio de la fórmula 8
Función "#ponencial a función e#ponencial 3de base e6 es una función real 7ue tiene la propiedad de 7ue al ser derivada se obtiene la misma función. oda función e&ponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los n:meros reales. ?demás la función e&ponencial es la función inversa del lo%aritmo natural. Esta función se denota e7uivalentemente como , donde e es la base de los lo%aritmos naturales. En términos %enerales, una función real F 3 x 6 es de tipo e#ponencial si tiene la forma
Aiendo
n:meros reales,
. Ae observa en los %ráficos 7ue si
la curva será creciente.
Cuadro comparati$o entre las funciones
Función Ramificada Es a7uella 7ue sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio. Ejemplo8
#espuesta8 Qbservemos 7ue el dominio de e sta función está dividido, < el pu nto de división es & B 1.
Rele$ancia de las funciones en el cálculo as funciones jue%an un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son %eneralmente del tipo8
En otras palabras, 9&9 es una variable, 9<9 es otra variable, < el valor 7ue tome 9<9 depende del valor 7ue esté tomando 9&9. or ejemplo, en la función 9/& B <9, pues cuando 9&9 tome el valor de 5, 9<9 va a tomar el valor de 14 3por7ue /P5 es 146. as funciones son importantes para realizar fórmulas simplificadas de las operaciones 7ue se realizan com:nmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es decir, de manera más sencilla.
Diferencia y seme%an&a entre dominio y rango
DIF"R"1CI)
D/0I1I/ Está formado por a7uellos valores de &
R)12/ Está formado por a7uello valores de <
Aon n:meros reales
Aon n:meros reales
Ae re7uiere para representar una %ráfica
Ae re7uiere para representar una %ráfica
3"0"4)15)
Conclusión ras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en 7ue son mu< importantes, de muc+o valor < utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de in%eniería, de medicina, de 7uímica < física, de astronomía, de %eolo%ía, < de cual7uier á rea social donde +a
'i(liograf!a +ttp8DDes.SiTipedia.or%DSiTiD#epresentaciG!@!nV%rG!?1ficaVdeVunaVfunciG!@!n +ttp8DDes.SiTipedia.or%DSiTiD)rG!?1fica +ttp8DDespanol.ansSers.
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