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FUNCIONES CUADRÁTICAS Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 . Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x 2 + 2500 x + 15000 que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticas La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es: x f(x) = x2
-3
-2
-1
-0'5
0
0'5
1
2
3
9
4
1
0'25
0
0'25
1
4
9
Esta curva simétrica se llama parábola. Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma. Dibujemos la gráfica de f(x) = x 2 -2 x - 3. x f(x)
-1 0
0 -3
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1 -4
2 -3
3 0
4 5
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Completando la gráfica obtengo: Actividades resueltas
1. Dada Dada la pará parábo bola la y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:
a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25). b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B. c. El punto C(x,y) está situado sobre sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3). d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
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2. Determina, Determina, por por este orden, orden, las coordena coordenadas das de los puntos puntos A, B, el vértice vértice V y el punto C de la parábola y = x2 - x + 1 .
a. A está está situado en el eje Y, Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). A(0,y). 2 Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0 - 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1). b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1). c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación 2 y = (0'5) - 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75). Profesor Profeso r : Darío Omar López
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Obtención general del vértice
Sea la parábola y = ax2 + bx + c Localizado el corte con el eje Y, Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema . Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a. La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a Ejemplo
Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces = (2,-1).
y f(2) = -1. Y el vértice será V
Actividad
3. Dada Dada la pará parábo bola la y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
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Cortes con los ejes Observa las parábolas: a. y = - x2 + 2x + 3
Los puntos de corte con el e l eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3. Los puntos de corte son (-1,0), (3,0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3). b. y = x2 - 4x + 4
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Puntos de corte con el eje X: Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que solución y, y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
. No existe
Punto de corte con el eje Y: (0,3) Actividades
4. Determina Determina los los cortes cortes con los los ejes ejes de las parábolas parábolas siguiente siguientes: s: a. y = 2x2 -14x + 24
b. y = 5x2 - 10x + 5
c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5)
e. y = 3(x - 2)2
f. y = 3(x2 + 4)
5. Determina Determina la la ecuación ecuación de una parábola parábola cuyos cortes cortes con el eje eje X sean sean los puntos puntos (1,0) y (3,0).
6. Determina Determina la la ecuación ecuación de la parábola parábola cuyos cortes con el eje eje X sean los puntos puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).
7. Determina Determina la ecuación ecuación de una una parábola parábola que corte corte al eje X en el punto punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
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Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Un resultado importante La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
Por ejemplo: La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas. Profesor Profeso r : Darío Omar López
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Actividad
1. Determina Determina mediante mediante qué traslación traslación llevamos llevamos la la parábola parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .
Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)
La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica g ráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3 unidades hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .
La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo. El nuevo vértice es V(0,-4) . Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c). Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)
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La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0). Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0) Actividades
2. Halla en en cada caso caso la ecuación ecuación correspo correspondient ndientee a cada una una de estas estas parábolas: parábolas:
Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados. Profesor Profeso r : Darío Omar López
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R epresentación epresentación gráfica de una parábola Actividades resueltas
5. Dibu Dibuja ja la grá gráfi fica ca de de y = x2 - 2x - 8
Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba. La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9). Puedes hallar otros puntos de la parábola parábo la utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.
Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8. Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).
6. Dibu Dibuja ja la grá gráfi fica ca de de y = 4x2 + 4x + 1. Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba. La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5. Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego Lu ego el vértice es V(-0'5,0).
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7. Dibu Dibuja ja la grá gráfi fica ca de de Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
La 1ª coordenada del vértice es La segunda coordenada será:
.
El vértice es, pues, V(2,-1) Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:
Resumiendo: Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces: Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x2 . Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _ . Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.
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8. Determina Determina el signo signo de los coeficie coeficientes ntes de las las siguiente siguientess parábolas: parábolas:
Resolución del caso 1 :
a1 < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo. La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a1 < 0; luego -b1 > 0, o lo que es lo mismo, b1 < 0. El único corte con el eje Y es el punto (0,c1). Observando la gráfica c1 < 0. Estudia los otros casos. Dibuja una parábola y = ax2 + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c: a
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b
c
1
>0
>0
>0
2
>0
>0
<0
3
>0
<0
>0
4
>0
<0
<0
5
<0
>0
>0
6
<0
>0
<0
7
<0
<0
>0
8
<0
<0
<0
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9. Estudi Estudiar ar la la inter intersec secció ciónn de la la recta recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
x2 = x + 2 → x 2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2. Si x1 = 1, entonces y1 = 1. Si x2 = -2, entonces y2 = 4. Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente. Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
10. Estudiar Estudiar la intersección intersección de la parábola parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .
El sistema
tiene ahora una solución (3,-9).
Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
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