FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Observe la gráfica 1.
En resumen:
( x ) " 0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en (a,b). Si f d ( x ) 0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en (a,b). Si f d ( x ) ! 0 para todo x en (a,b), entonces f es constante en (a,b). Si f d
CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA CONCAVIDAD
El conocimiento de los intervalos en que una función es creciente o decreciente ayuda a describir su gráfica. Ahora aprenderemos que los intervalos en los que f d crece o decrece ayudan a saber dónde se curva hacia arriba o hacia abajo le grafica de f . DEFINICION
Si f ( x ) es una función derivable en un intervalo abierto (a,b), se dice que la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia arriba si
f d ( x ) es creciente en dicho intervalo, y cóncava hacia abajo si f d ( x ) es decreciente en dicho intervalo. Observe que significa que la gráfica de f ( x ) se encuentra por arriba de todas sus tangentes.
1
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
En algunas ocasiones se utilizan los términos cóncavos para las gráficas que son cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo, respectivamente.
La determinación de los intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo) puede obtenerse teniendo en cuenta el signo de la segunda derivada. El próximo teorema enseña cómo usar la segunda derivada con el fin de determinar los intervalos sobre los cuales la gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. TEOREMA
CRITERIO DE CONCAVIDAD d 1. Si f d ( x ) " 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia arriba. d ( x ) 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia abajo . 2. Si f d d 3. Si f d ( x ) ! 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es una f unción lineal.
d d Para aplicar este teorema hay que localizar los x en los que f d ( x ) ! 0 o en los que f d ( x ) no esté definida. Finalmente,
( x ) en cada uno de los intervalos de prueba. ensayar el signo de f d PUNTOS DE INFLEXION DEFINICION Se dice que un punto
x,
f ( x) es un punto de inflexión de una curva y
!
f ( x ) , si la gráfica de f ( x ) cambia en
dicho punto de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
La siguiente figura muestra tres tipos diferentes de puntos de inflexión. Note que una gráfica cruza la recta tangente en un punto de inflexión.
( x ) ! 0 y aquellos en que Para localizar los posibles puntos de inflexión basta determinar los valores de x donde f d
d f d ( x) no está definida. El procedimiento es, por tanto análogo al empleado para buscar los extremos de f. 2
EJERCICIOS RESUELTOS Grafique, encuentre y señale la concavidad y puntos de inflexión de:
y
! x3 6 x2 x 1
Solución:
Derivando dos veces se obtiene:
f ( x) ! x3 6 x2 x 1
Función original
fd ( x) ! 3 x2 12 x 1
primera derivada
d fd ( x) ! 6 x 12
segunda derivada
Para especificar los puntos donde existe concavidad, obtengamos el máximo y mínimo de la función original: Como ya se sabe usamos la primera derivada y la igualamos a cero para encontrar sus puntos críticos esto es: 2 ! 3 x 12 x 1 ! 0 fd
ax²+bx+c=0
Si se ve tiene la forma general de ecuación cuadrática por lo tanto podemos usar su fórmula general y con esto encontrar sus raíces que serán nuestros puntos críticos:
Sustituyendo valores queda
Con soluciones
x1 ! 0.081 ® ¯ ° x2 ! 4.08 1
Para determinar si los puntos encontrados son cóncavos hacia arriba o hacia abajo, se retoma la segunda derivada de la función y se sustituyen los valores encontrados: d fd ( x) ! 6 x 12
d f d ( 0.081) ! 6(0.081) 12
=12.486
d f d (4.081) ! 6(4.081) 12
=-12.486
Recuerde el teorema de concavidad de la página 2 dice que: d 1. Si f d ( x ) " 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia arriba. d 2. Si f d ( x ) 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia abajo .
3
ntonces:
omo siguiente paso se tiene que hacer una tabla para determinar si los puntos encontrados son cóncavos hacia arri ba o
hacia abajo
d d (0.081) ! 12.486 como es f d ( x ) " 0 entonces el punto 12.48 pertenece a una f d !
concavidad hacia
arriba d (4.081) ! f d
"
d (x) como es f d
12.486
entonces el punto 12.48 pertenece a una #
$
concavidad hacia
abajo. PUNTO DE INFLEXION d (x) ! donde f d
Para localizar los posibles puntos de inflexión basta determinar l os valores de
x
, esto es:
d ! 6 x 12 =0, y se tiene que encontrar sus raíces, Igualamos la segunda derivada a cero f d
x 12 ! 0
6 x
6
12 x
!
12
!
2
!
6
El punto de inflexión ocurre en x=2, al sustituir el valor encontrado en la expresión original f ( x ) , se tiene:
y ! f (2) !
%
3
6
2
%
%
1 ! (2)3
6(2)2
(2) 1 !17
Por lo que el punto de inflexión, o donde la función f ( x ) cambia de concavidad es (2, 17). Ahora trazamos su grafica Tabla de valores para hacer la gráfica.
x
f(x)
f"(x)
-1 -0
'
0 12 -1 0 87
&
'
&
'
&
'
&
1 1
&
'
&
&
'
'
&
4 4
&
-12
&
-1
&
'
'
-9
&
'
'
5
x - 5
¡
¢
¡
¢
-
¥
¢
£
¤
¢
£
¤
¦
§
¨
©
¦
§
¨
©
¢
¢
¥
B B
6* 6*
3
Grafica de f ( ) !
-21
su punto de inflexión y se superpone la gráfica de su
-24
segunda derivada. Así como la concavidad
f"(x)
¥
¢
£
¤
¢
£
¤
¦
§
¨
©
¦
§
¨
©
¢
¢
¥
B B
B B -
¡
¢
¡
¢
-6*B -6*B
4
)
6
2
-18
f(x)
&
)
&
6
Punto de inflexión (2 17)
-6
&
&
&
3 0 -3
(
'
'
3 3
(
10 2 17 23 37 29 33 12 3 33 87 29 19 62
&
2 2
&
&
'
Cóncava hacia abajo
18 1 12 9
&
0 0
Cóncava hacia arriba
)
)
1 donde se muestra
Grafique, encuentre y señale la concavidad y puntos de inflexión de:
y
!
1 3
x 3 2 x 2 12 x
Derivando dos veces se obtiene:
y
1
! x3 2 x2 12 x
función original
3
y d ! x 2 4 x 12
primera derivada
d! 2 x 4 y d
segunda derivada
Para especificar los puntos donde existe concavidad, obtengamos el máximo y mínimo de la función original: Como ya se sabe usamos la primera derivada y la igualamos a cero para encontrar sus puntos críticos esto es:
y d ! x 2 4 x 12
Sustituyendo valores queda:
Con soluciones
ax²+bx+c=0
® x1 ! 6 ¯ x2 ! 2 °
Para determinar si los puntos encontrados son cóncavos hacia arriba o hacia abajo, se retoma la segunda derivada de la función y se sustituyen los valores encontrados: d ! 2x 4 y d
d y d (6) ! 2(6) 4
=8
d y d ( 2) ! 2( 2) 4
=-8
Recuerde el teorema de concavidad de la página 2 dice que: d 1. Si f d ( x ) " 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia arriba.
2. Si f d ( x ) 0 para todo x en (a b), entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia abajo . Entonces: Como siguiente paso se tiene que hacer una tabla para determinar si los puntos encontrados son cóncavos hacia arriba o hacia abajo.
d d f d (6) ! 8 como es f d ( x ) " 0 entonces el punto 8 pertenece a una
concavidad hacia arriba
d d f d (2) ! 8 como es f d ( x ) 0 entonces el punto 8 pertenece a una concavidad 0
1
5
hacia abajo.
PUNTO DE INFLEXION Para localizar los posibles puntos de inflexión basta determinar los valores de
Igualamos la segunda derivada a cero 2 x 4
!
0 2 x
!
4 x
4 !
d ! 2 x 4 =0, y se tiene que y d
d (x) ! donde f d
x
, esto es:
encontrar sus raíces,
2
!
2
El punto de inflexión ocurre en x=2, al sustituir el valor encontrado en la expresión original f ( x ) , se tiene: y !
f (2) !
1 3
7
3
2 7
2
12 7
!
1 3
(2)3 2(2)2 12(2) ! 29.33
Por lo que el punto de inflexión, o donde la función f ( x ) cambia de concavidad es (2, 29.33). 8
Ahora trazamos su grafica Tabla de valores para hacer la gráfica.
f (x)
x 2
6
2
5
2
2
2
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
2
2
2
72 31.6666667 5.33333333 9 13.3333333 9.66666667 0 13.6666667 29.3333333 45 58.6666667 68.3333333 72 67.6666667 53.3333333 27
2
2
2
2
2
2
2
9
2
6
2
4 2 0 2 4
2
2
6
8 10 12 14
2
2
Punto de inflexión (2 29.3)
16 14 12 10 8
2
6
7 8 9
f"(x) 2
2
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
2
1
Grafica de
y
!
3
3
x
2
2 x
12 xdonde se muestra su
punto de inflexión y se superpone la gráfica de su segunda derivada. Así como la concavidad
f (x)
x 3
3
6
=(1/3 (POTENCIA(A2 3
5
=(1/3 (POTENCIA(A3 3
4
4
5
5
6
6
6
3
6
6
6
3
f"(x)
(2 (POTENCIA(A2 2 4
5
(2 (POTENCIA(A3 2 4
5
6
6
6
3
6
6
6
3
(12 A2 4
(12 A3
6
4
6
=(2 A2 4 4
6
6
3
=(2 A3 4 4
6
3
