I. NUMERE NATURALE
Multimea numerelor naturale ℕ ℕ ={0,1,2,3,4,5,...} ={0,1,2,3,4,5,...} si ℕ∗. ={1,2,3,4,5,...} Operatii cu numere naturale
1. Adunarea. Daca a,b
ℕ
atunci a+b=c
ℕ
Proprietatile adunarii • Comutativitatea: a+b=b+a, ∀ a,b ℕ • Asociativitatea: (a+b)+c=a+(b+c), ∀ a,b,c • Elementul neutru: a+0=0+a=a, ∀ a ℕ
ℕ
2. Scaderea. a-b=c, daca si numai daca a=b+c 3. Inmultirea. Daca a,b
ℕ atunci a x b =c ℕ
Proprietatile inmultirii • Comutativitatea: a x b = b x a, ∀ a,b ℕ • Asociativitatea: (a x b) x c = a x (b x c), ∀ a,b,c ℕ • Numarul 1 este element neutru fata de inmultire: a x 1 = 1 x a = a, ∀ a ℕ • Distributivitatea inmultirii fata de adunare si scadere: a x (bc) = a x b ± a x c, Puteri, operatii cu puteri n Definim: a = a ∗a∗a ......∗ a n factori
1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.
a =1, ∀a ∈ℕ∗ ; m n m+ n a ∗a = a , ∀m , n ∈ℕ , a ∈ℕ∗; m a =a m−n , ∀m , n ∈ℕ , a ∈ℕ∗ , m n n a (a m )n= a m∗n , ∀m , n ∈ℕ , a ∈ℕ∗; ( a∗b )m= a m∗b m , ∀m , n ∈ℕ ,a ,b ∈ℕ∗; m m a a ( ) = m , ∀m∈ℕ ,a , b ∈ℕ∗; b b 0
Impartirea. a:b=c, a=b*c
Proprietati ale relatiei de divizibilitate in ℕ a⋮a pentru orice a – reflexivitatea • • daca a⋮b si b⋮a atunci a=b – antisimetrie • orice numar natural este divizibil cu 1; scriem a⋮1, ∀a ∈ℕ • zero este divizibil cu orice numar natural; scriem 0⋮a , ∀a ∈ℕ∗ ; • daca a⋮b si c⋮b atunci ( a ± c )⋮b , ∀c ∈ℕ • daca a⋮b atunci ( a∗c )⋮b , ∀c ∈ℕ ; • daca a⋮b si a⋮c , unde b si c sunt prime intre ele, atunci a⋮( b∗c ) Proprietate
∀ a,b,c ℕ
(a,b)*[a,b]=a*b Multimea numerelor intregi ℤ ={...., -n, ….,-3,-2,-1,0,1,2,3,....,n,....} ℤ * = ℤ \ {0} Numarul divizorilor naturali ai unui numar natural p1
p2
pn
N= a 1 ∗a 2 ∗...∗a n , unde a 1, a 2,. .. , a n sunt numere prime, este dat de formula: m = ( p1 + 1)∗( p2+ 1)∗...∗( pn + 1) Observatie: numarul divizorilor intregi ai numarului intreg: p1 p2 pn N=, a 1 ∗a 2 ∗...∗a n unde a 1, a 2,. .. , a n sunt numere prime, este dat de formula: m = 2∗( p1+ 1 )∗( p2 + 1 )∗...∗( pn+ 1 ) Modulul unui numar intreg
∣a∣=
{
a 0
−a
, daca a > 0 , daca a = 0 sau , dacaa < 0
{
∣a∣= a , daca a ≥ 0 −a , daca a < 0
Proprietati ∣a∣≥0, ∀a ∈ℤ • ∣a ∗b∣=∣a∣∗∣b∣ , ∀a , b ∈ℤ • ∣a∣=∣−a∣ , ∀a ∈ℤ • ∣a∣−∣b∣≤∣a + b∣≤∣a∣+∣b∣ , ∀a , b ∈ Z • ∣a∣ ∣ a ∣= , ∀a , b ∈ℤ • b ∣b∣ • ∣ x∣=a ⇔ x =±a , ( a > 0 ) • ∣ x∣≤a ⇐− a ≤ x ≤ a , ( a > 0 ) • ∣ x∣≥a ⇐ x ≤−a sau x ≥ a , ( a > 0 ) Proprietatile adunarii • asociativitatea: (a+b)+c=a+(b+c) • comutativitatea: a+b=b+a • element neutru: a+0=0+a=a Proprietatile inmultirii • asociativitatea: a*(b*c)=(a*b)*c • comutativitatea: a*b=b*a • distributivitatea inmultirii fata de adunare si scadere: • element neutru: a*1=1*a=a • a*(-1)=-a; (-a)*(-1)=-(-a)=a
a∗(b ±c )= a∗b ± a∗c
Definitia fractiei. O pereche de numere naturale a si b, in care
b ≠0 , scrisa sub forma
a se b
numeste fractie. Orice fractie reprezinta un numar, numit numar fractionar. Numarul care este deasupra liniei de fractie
se numeste numarator, iar numarul care este sub linia de fractie se numeste numitor. Observatie: orice numar natural se poate scrie sub forma de fractie la care numaratorul se divide cu 4 6 100 =1 ; =2 ; = 20 numitorul. Ex: 4 3 5 Nota: linia de fractie semnifica operatia de impartire a numaratorului la numitor.
Daca Daca Daca
a b a b a b
O fractie
> 1 fractia se numeste supraunitara si avem a>b = 1 fractia se numeste echiunitara si avem a=b < 1 fractia se numeste subunitara si avem a
a b
pentru care (a,b)=1 se numeste ireductibila.
Adunarea fractiilor
a c (a + c ) + = b b b a c ( a∗ d + c ∗b ) + = Daca fractiile nu au acelasi numitor, avem: (b∗d ) b d Propretaile adunarii a c c a + = + • comutativitatea: b d d b a c e a c e • asociativitatea: ( + )+ = + ( + ) b d f b d f a + 0= 0+ a = a , ∀ a ∈ℚ • numarul rational 0 este element neutru pentru adunare: b b b b Scaderea fractiilor a c a −c − = +( ) b d b d Daca fractiile au acelasi numitor, avem:
Inmultirea fractiilor Pentru a inmulti doua sau mai multe fractii inmultim numaratorii intre ei si numitorii intre ei si ( a∗c ) a c scriem: ( )∗( )= b d ( b∗d ) Proprietatile inmultirii
( a∗c ) a c b d ( d ∗b) [( a )∗( c )]∗( e )= a ∗[( c )∗( e )] b d f b d f
•
comutativitatea:
( )∗( )=
•
asociativitatea:
•
numarul rational 1 este element neutru pentru inmultire:
•
inmultirea este distributiva fata de adunare si scadere:
a ∗1=1∗( a )= a , ∀ a ∈ℚ b b b b a c e a c a e ∗( ± )=( )∗( )±( )∗( ) b d f b d b f
Inversul unui numar nenul Spunem ca inversul unui numar a nenum este numarul b, daca si numai daca a*b=1 1 Inversul unui numar a se noteaza cu a
Impartirea fractiilor a c a d ( a∗d ) : =( )∗( )= ( b∗ c ) b d b c Puterea unei fractii n n a a ( )= n b b
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ Intervale de numere reale Fiind date doua numere reale a si b cu a
Definim:
√ a =b , b> 0 ⇔ a =b
1. 2.
√ a 2=∣a∣ , a ∈ℝ √ a∗b =√ a∗√ b , a , b ≥0
2
√
a √ a = , a ≥0, b > 0 b √ b 2 a∗√ b =√ a ∗b ,a ,b ≥ 0 b b∗√ a = , a ≠0 a a √ c∗(a ±√ b ) c 2 = , b≠ a 2 ( a ± √ b ) (a − b) m∗(√ a ±√ b ) m = , a ≠b ( a −b ) ( √ a ±√ b )
3. 4. 5. 6. 7.
{
{
a , daca a ≥b a , daca a ≤ b , min ( a , b )= b , daca a < b b , daca a > b ( a + b +∣a −b∣) ( a + b −∣a − b∣) , min ( a , b )= max ( a , b )= 2 2 max ( a , b )=
8. 9.
Modulul unui numar real
{
∣ x∣= x , daca x ∈[ 0,+ ∞] − x ,dacaa∈[−∞ , 0 ] ∣ x∣≥0, ∀ x ∈ℝ 1. ∣ x∣=0 daca si numai daca x=0 2. ∣− x∣=∣ x∣∀ x ∈ℝ 3.
4. 5. 6. 7. 8.
∣ x ∗ y∣=∣ x∣∗∣ y∣ , ∀ x , y ∈ℝ x ∣ x∣ ∣ ∣= , ∀ x , y ∈ℝ y ∣ y∣ ∣ x + y∣≤∣ x∣+∣ y∣ , ∀ x , y ∈ℝ ∣ x∣≤a ⇔ x ∈[−a , a ] cu a ≥ 0 ∣ x∣≥a ⇔ x ∈[−∞ ,− a ]∪[ a ,+ ∞] ,cua ≥0
Media aritmetica a n numere reale ( a 1+ a 2 + ...+ a n) M a = n
a 1, a 2,. .. , a n este:
Media aritmetica ponderata a n numere reale ( a1∗ p 1+ a 2∗ p 2+ ...+ a n∗ pn ) M ap = ( p1+ p 2+ ...+ pn )
a 1, a 2,. .. , a n cu ponderile
Media geometrica (proportionala) a doua numere reale pozitive este: Media armonica a doua numere reale nenule este: 2 2∗ ∗ = a b M h= 1 1 ( + ) ( + ) a b a b
p 1, p 2,. .. , pn este:
M g = √ a∗b
Inegalitatea mediilor
Oricare ar fi a>0, b>0 =>
( a + b) 2∗a∗b ≤ √ a∗b ≤ ,adicaM h≤ M g ≤ M a ( a+ b) 2
Dintr-o proportie putem obtine noi proportii, numite proportii derivate:
a c = ⇔ a= b b d c d a c = ⇔ d = c schimband extremii intre ei: b d b a a c = ⇔ b = d inversand ambele rapoarte: b d a c a c = ⇔ c =a schimband ordinea rapoartelor: b d d b amplificand (sau simplificand) unul din rapoarte inmultind (sau impartind) ambii numaratori (sau ambii numitori) cu un numar nenul a c ( a ± b ) ( c ±d ) adunand sau scazand la numaratori numitorii: = ⇔ = b d b d a c a c = ⇔ = adunand sau scazand la numitori numaratorii: b d ( a ± b ) ( c ±d ) a c a ( a ±c ) = ⇔ = b d b ( b± d )
1. schimband mezinii intre ei: 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Aflarea unui termen necunoscut al unei proportii;
a c = ⇔ a∗d =b∗c avem: b d ( b∗c ) ( b∗c ) ( a∗ d ) ( a∗d ) a= ; d = ; b= ; c= d a c b
Din
Daca numerele x,y,z,... sunt direct proportionale cu numerele a,b,c,... scriem: ( x + y + z + ... ) x y z = = =....= ( a + b + c + ... ) a b c Daca numerele x,y,z,... sunt invers proportionale cu numerele a,b,c,.. scrie m: + + + ... x y z = = = ...= x y z sau x*a=y*b=z*c=... 1
1
1
1
a
b
c
a
1
1
b
c
+ + + ...
Produsul unui numar cu o suma algebrica x(a+b+c-d+...)=xa+xb+xc-xd+... Produsul dintre doua sume: (x+y-z)(a-b+c)=xa-xb+xc+ya-yb+yc-za+zb-zc
Formule de calcul prescurtat (a + b)∗( a −b )= a 2−b 2 ( a + b) 2=a 2+ 2ab + b2 (patratul binomului suma) (a − b)2=a 2− 2∗a∗b −b 2 (patratul binomului diferenta) ( a + b+ c )2= a 2+ b 2+ c 2+ 2∗a∗b + 2∗a ∗c + 2∗b∗c Alte formule de calcul prescurtat* 1. (a − b)( a 2+ ab+ b 2)= a 3−b 3 2. (a + b)( a 2− ab+ b 2)= a 3+ b 3 3. (a + b)3 =a 3+ 3∗a 2∗b+ 3∗a∗b2+ b3 4. (a − b)3 =a 3−3∗a 2∗b + 3∗a∗b2− b3 2
2
5. 6.
a + b ≥ 2∗a∗b ∀a , b ∈ℝ a + b ≥ 2∗√ a ∗b ∀a ,b ∈ℝ( inegalitatea mediilor m a ≥ m g )
7.
a+
8.
1
≥2 for all a ∈( 0,+ ∞) a 2 2 2 a + b + c ≥a∗b+ a∗c + b∗c ∀a ,b ,c ∈ℝ
Proportia a*x+b=0, a , b , x ∈ℝ , a ≠ 0 se numeaste ecuatia de gradul I cu o necunoscuta. b b Numarul − se numeste solutie a ecuatiei date si scriem S= {− } a a Ecuatia de gradul II cu o necunoscuta 2 Proportia a∗ x + b∗ x + c =0, c u a , b , c , x ∈ℝ , a ≠ 0 se numeste ecuatie de gradul al II-lea cu necunoscuta x. Etapele rezolvarii ecuatiei de gradul II cu o necunoscuta 2 1. D b −4∗a ∗c 2. daca D<0 radicalul nu are sens si ecuatia nu are solutii reale. −b± √ D 3. daca D0 ecuatia are solutiile x 1,2= 2∗ a Propozitiile de forma: a*x+b<0; a∗ x + b ≤0 ; a*x+b>0 ; a∗ x + b ≥0 cu a ,b , x ∈ℝ si a ≠0 se numesc inecuatii de gradul I cu necunoscuta x .
ax + b≥0 ⇒ 1. 2.
b x ∈[− , + ∞] ,daca a > 0 a b x ∈[−∞ ,− ] ,dacaa < 0 a
ax + b≤0 ⇒ 3. 4.
b x ∈[− , + ∞] ,daca a > 0 a b x ∈[− , + ∞] ,daca a < 0 a
Doua ecuatii de gradul I cu douoa necunoscute formeaza un sistem de ecuatii de gradul I cu doua necunoscute:
{
∣ x∣= x , d a c xa∈[ 0 +, ∞] − x ,d a caa∈[−∞ , 0 ] Multimea tuturor perechilor de numere de forma functiei f si se noteaza cu G f deci:
( x , f ( x )) cu x ∈ A si f ( x )∈ B se numeste graficul
Graficul unei functii: f :R R , f (x)=ax+b 1. a>0
y
(0,b)
(-b/a,0)
x
2. a<0
y
(0,b)
(-b/a,0)
x
Semnul unei functii liniare x ax+b
−∞ semn contrar semnului lui a
−b
+∞
a
0
semnul lui a
II. MULTIMI Definitia 1.1 (Cantor): Prin multime intelegem o colectie de obiecte bine determinate si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact acelea,si elemente. Notatia 1.2 Daca x este un obiect si A este o multime, vom nota:
• x ∈ A daca x este element al lui A; • x ∉ A daca x nu este element al lui A. Observatia 1.3 Doua multimi A si B sunt egale daca ,si numai daca are loc echivalenta:
(x ∈ A , x ∈ B)
Moduri de a defini o multime :
• sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0, 1}; • analitic, cu ajutorul unei proprietati care caracterizeaza elementele multimii: A = {x | x are proprietatea P} e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x² = x}.
Multimi importante
• Multimea numerelor naturale: N N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . } N* = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }
• Multimea numerelor intregi: Z Z = {. . . , -n – 1, -n, . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }
• Multimea numerelor rationale: Q Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ (a/b=p/qaq=bp)}
• Multimea numerelor reale: R • Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x, y ∈ R } • Multimea vida ∅ = {x | x ≠ x} Incluziunea multimilor Definitia 1.4 Daca A si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt si elemente ale lui B. Notatia 1.5 Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimii B. Observatia 1.6 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oicare ar fi multimile A, B si C.
1. 2. 3. 4. 5.
A ⊆ B (∀x ∈ A, x ∈ B) (x ∈ A => x ∈ B) A = B (A ⊆ B si B ⊆ A) (antisimetria) A ⊆ B si B ⊆ C => A ⊆ C A⊆A ∅ ⊆A
Operatii cu multimi
• • • •
intersectia: A ∩ B = {x | x ∈ A si x ∈ B} reuniunea: A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} diferenta: A \ B = {x | x ∈ A si x ∉ B} complementara: Daca A ⊆ E, atunci Ce(A) = E \ A
Propozitia 1.7 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multimi A, B, C si E.
• (as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (asociativitatea operatiilor ∩ si ∪)
• (com) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; (comutativitatea operatiilor ∩ si ∪) • (dis) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A∪C); (distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪ fata de ∩ ) • (abs) A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (absortia ) • (dM) Ce(A ∩ B) = CeA ∪ CeB; Ce(A ∪ B) = CeA ∩ CeB (formulele lui de Morgan )
GEOMETRIE
