Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 .Se calculează ∆ = b 2 − 4 ac • Dacă ∆ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula
x1 , x2 = •
•
−b ± ∆ 2a
∆ = 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula b x1 = x2 = − 2a Dacă ∆ < 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula Dacă
x1 , x2 =
−b ± i −∆ 2a
2 • ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2 • Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax + bx + c = 0 : b S = x + x = − 1 2 a P = x1 ⋅ x2 = c a • Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: x12 + x22 = S 2 − 2P
x13 + x23 = S 3 − 3SP Funcţia de gradul doi f :R →R
f ( x ) = ax 2 + bx + c ∆ b Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V − , − . 2a 4a
∆ 4a ∆ =− 4a
Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min = − Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este f max
Progresii aritmetice •
Formula termenului general:
an = a1 + ( n − 1) ⋅ r
•
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:
Sn = •
http://variante-mate.ro
n ( a1 + an ) 2
Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
a+c =b 2
Progresii geometrice •
Formula termenului general:
•
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
bn = b1 ⋅ qn −1 b1 ( q n − 1) Sn = q −1
•
Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:
b2 = a ⋅ c
Numere complexe z = a + bi este forma algebrică a unui număr complex z = r ( cos θ + i sin θ ) este forma trigonometrică a unui număr complex unde: •
r = a 2 + b2 este modulul numărului complex
•
θ ∈ [0, 2π ) este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia tgθ =
b a
i 2 = −1 a + bi = a2 + b2 z = a − bi
Formula lui Moivre
( cos θ + i sin θ )
n
= ( cos nθ + i sin nθ )
Elemente de combinatorică
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ n Pn = n ! n! Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. ( n − k )! n! Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. Cnk = k !(n − k )! Ank =
Binomul lui Newton:
http://variante-mate.ro
( a + b)n = Cn0 a n + Cn1 an−1 b + Cn2 an −2 b2 +... +Cnk an −k bk +... +Cnn bn Formula termenului general din binomul lui Newton este
Tk +1 = Cnk a n− k bk
Formule cu logaritmi loga b există dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0 loga b = c ⇔ ac = b Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm
log a 1 = 0 log a a = 1 ln1 = 0 ln e = 1 lg1 = 0 lg10 = 1 log a A + log a B = log a ( A ⋅ B) A log a A − log a B = log a B log a An = n ⋅ log a A log a b =
log c b log c a
log a b =
1 log b a
Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula: P( E ) =
nr. cazuri favorabile nr. total cazuri posibile
Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.
( x ∗ y ) ∗ z = x∗ ( y∗ z )
∀x , y , z ∈ M
•
Legea * este asociativă dacă
• • •
x∗ y = y∗x ∀x , y ∈ M Legea * este comutativă dacă x ∗e = e ∗ x = x ∀x ∈ M Legea * are element neutru e dacă x ∈ ∃ x′ ∈ Un element M se numeşte simetrizabil dacă M astfel incât x ∗ x ′ = x′ ∗ x = e
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă ax 3 + bx2 + cx + d = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem: b x1 + x2 + x3 = − a c x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a d x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − a
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem: b x1 + x2 + x3 + x4 = − a x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c 2 3 2 4 3 4 1 2 1 3 1 4 a x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = − d a e x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a
