Asimptote • Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se
f ( x) . calculează xlim →+∞ Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ •
Asimptote oblice Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:
f ( x) x →+∞ x n = lim [ f ( x ) − m ⋅ x ] m = lim x →+∞
Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ •
Asimptote verticale Se calculează
lim f ( x )
x → x0 x < x0
şi
lim f ( x )
x → x0 x > x0
.
Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie x = x0 . Derivata unei funcţii intr-un punct: f ′( x0 ) = lim x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )
http://variante-mate.ro
Reguli de derivare:
( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f − g )′ = f ′ − g ′ ( c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ g = g2 Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale 1 c′ = 0 ( ln x ) ′ = x x′ = 1 1 x ⋅ ln a
( x 2 )′ = 2 x
( loga x ) ′ =
( x 3 )′ = 3x 2
( sin x ) ′ = cos x
( x )′ = 4 x 4
3
( x )′ = n ⋅ x n
n −1
1 1 ′ =− 2 x x 1 ′ x = 2 x
( )
( e )′ = e ( e ) ′ = −e ( a ) ′ = a ⋅ ln a x
x
−x
x
−x
x
( cos x ) ′ = − sin x 1 ( tgx ) ′ = 2 cos x 1 ( ctgx ) ′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x ) ′ = 1 − x2 1 ( arccos x ) ′ = − 1 − x2 1 ( arctgx ) ′ = 1 + x2 1 ( arcctgx ) ′ = − 1 + x2
Tabel cu derivatele funcţiilor compuse
( ln u ) ′ =
( u )′ = 2 u ⋅ u ′ 2
( loga u ) ′ =
(u 3 )′ = 3u 2 ⋅ u′ ( u 4 )′ = 4 u 3 ⋅ u ′ ( u )′ = n ⋅ u n
n −1
⋅ u′
u′ 1 ′ = − u2 u u′ ′ u = 2 u
( )
( e ) ′ = e ⋅ u′ ( e ) ′ = −e ⋅ u ′ ( a ) ′ = a ⋅ ln a ⋅ u ′ u
u
−u
u
u′ u
−u
u
Tabel cu integrale nedefinite
u′ u ⋅ ln a
( sin u ) ′ = cos u ⋅ u′ ( cos u ) ′ = − sin u ⋅ u′ u′ cos2 u u′ ( ctgu ) ′ = − 2 sin u u′ ( arcsin u ) ′ = 1 − u2 u′ ( arccos u ) ′ = − 1 − u2 u′ ( arctgu ) ′ = 1 + u2 u′ ( arcctgu ) ′ = − 1 + u2
( tgu ) ′ =
http://variante-mate.ro
∫ 1dx = x + C x2 ∫ xdx = 2 + C x3 2 ∫ x dx = 3 + C x4 3 ∫ x dx = 4 + C x n +1 n x dx = +C ∫ n +1 1 ∫ x dx = ln x + C x x ∫ e dx = e + C
∫e
−x
dx = −e− x + C
ax ∫ a dx = ln a + C x
∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 ∫ cos2 x dx = tgx + C 1 ∫ sin2 x dx = − ctgx + C 1 1 x dx = arctg +C ∫ x2 + a2 a a 1 1 x−a ∫ x 2 − a 2 dx = 2 a ln x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 + a 2 dx = ln x + x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 − a 2 dx = ln x + x − a + C 1 x ∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
(
Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este:
∫ f ( x ) g ′( x )dx =
f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′( x ) g ( x )dx
Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:
∫
b
a
b
f ( x ) g ′( x )dx = f ( x ) g ( x ) ba − ∫ f ′( x ) g ( x )dx a
Aplicaţii ale integralei definite • Aria subgraficului unei funcţii Dacă f : [a, b] → ¡ este o funcţie continuă pozitivă atunci avem:
A( Γ f ) =
∫
b
a
f ( x )dx
• Volumul unui corp de rotaţie Dacă f : [a, b] → ¡ este o funcţie continuă atunci avem: b
V (C f ) = π ∫ f 2( x )dx a
)
http://variante-mate.ro
∫ u′( x )dx = u( x ) + C u2 ( x) +C 2 u3 ( x) 2 ′ ∫ u ( x ) ⋅ u ( x )dx = 3 + C u4 ( x) 3 ∫ u ( x ) ⋅ u′( x )dx = 4 + C
∫ u( x ) ⋅ u′( x )dx =
u n +1 ( x ) ∫ u ( x ) ⋅ u′( x )dx = n + 1 + C u′( x ) ∫ u( x ) dx = ln u( x ) + C n
∫e ∫e
u( x)
u′( x )dx = eu ( x ) + C
−u( x )
∫a
u( x )
u′( x )dx = −e
− u( x )
+C
au( x) u′( x )dx = +C ln a
∫ sin u ( x ) ⋅ u′( x )dx = − cos u ( x ) + C ∫ cos u ( x ) ⋅ u′( x )dx = sin u ( x ) + C u′( x ) dx = tgu( x) + C 2 u(x) u′( x ) ∫ sin2 u ( x ) dx = − ctgu( x) + C u′( x ) 1 u( x ) ∫ u 2 ( x ) + a 2 dx = a arctg a + C
∫ cos
u′( x )
∫ u ( x) − a 2
∫ ∫ ∫
2
dx =
u′( x ) u ( x) + a 2
2
u′( x ) u ( x) − a 2
2
u′( x ) a 2 − u 2 ( x)
1 u( x ) − a ln +C 2a u( x ) + a
)
(
dx = ln u( x) + u2 ( x) + a 2 + C dx = ln u( x) + u2 ( x) − a2 + C dx = arcsin
