Formule Statistica

FORMULE

STATISTICA

frecvenţa relativă  f  i =

ni

⋅ 100

∑ ni

sau   greutatea unui elem elemen entt (xi) în tota totalu lull greutatea specifică  specifică  a unui

 ponderea n

colectivităţii ( ∑ x ) se obţine pe baza relaţiei: i

i =1

 f  i

=

 xi

⋅ 100,

n

∑ x

i = 1, n

i

i =1

Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile în care fiecare

nivel al caracteristicii este purtat de o singură unitate statistică.

n

x=

x1 + x 2

colectivităţii

+ x 3 + ... + x n n

sau

x

=

∑x i =1

n

i

,

i

1, n

=

, n=volumul

Media Media aritme aritmetic tică ă ponder ponderată ată se folo folose seşt ştee în cazu cazull seri seriil ilor or cu

frecvenţe

n

x=

∑x n i

x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + ... + x n n m

sau

n 1 + n 2 + ... + n m

x

=

i

i =1 n

∑n

i

i =1

formule de calcul simplificat a mediei aritmetice: n

-pt. serii simple:

x

=

∑ (x

− a)

i

+a

i =1

n n

∑ (x − a ) ⋅ n x= ∑n i

i =1

-pt. serii ponderate:

n

i

+a

i

i =1

a. Dacă se micşorea micşorează ză fiecare fiecare variantă variantă a caracteristi caracteristicii cii de un anumit anumit număr de ori ”k”, atunci media seriei se micşorează de acelaşi număr de ori.

Se obţin următoarele relaţii: n

-pt. serii simple:

x

=

xi

∑ k  i =1

n

⋅ k  n

∑ xk  ⋅ n i

-pt. serii ponderate:

x=

i =1

n

∑n i =1

i

i

⋅ k 

Media Media aritme aritmetic tică ă ponder ponderată ată se folo folose seşt ştee în cazu cazull seri seriil ilor or cu

frecvenţe

n

x=

∑x n i

x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + ... + x n n m

sau

n 1 + n 2 + ... + n m

x

=

i

i =1 n

∑n

i

i =1

formule de calcul simplificat a mediei aritmetice: n

-pt. serii simple:

x

=

∑ (x

− a)

i

+a

i =1

n n

∑ (x − a ) ⋅ n x= ∑n i

i =1

-pt. serii ponderate:

n

i

+a

i

i =1

a. Dacă se micşorea micşorează ză fiecare fiecare variantă variantă a caracteristi caracteristicii cii de un anumit anumit număr de ori ”k”, atunci media seriei se micşorează de acelaşi număr de ori.

Se obţin următoarele relaţii: n

-pt. serii simple:

x

=

xi

∑ k  i =1

n

⋅ k  n

∑ xk  ⋅ n i

-pt. serii ponderate:

x=

i =1

n

∑n i =1

i

i

⋅ k 

b. Dacă Dacă frec frecve venţ nţel elee seri seriei ei se micş micşor orea ează ză de un numă numărr „c” „c” de ori, ori, atunci media aritmetică rămâne neschimbată.

Această proprietate se aplică numai seriilor cu frecvenţe. n

ni

1

∑x ⋅ c i

x=

i =1

n

=

ni

∑c

n

n

∑x n ∑x n

c i=1 1 n

i

∑n

c i=1

i =1

c. Suma

i

i

=

i

i =1 n

∑n

i

=x

i

i =1

algebrică

a

abater terilor

nivelurilor

caracteristicii de la media lor este egală cu zero.

∑ (x ∑ (x

i

− x) = 0

∑ i − x) = ∑ x i − ∑ x = ∑ x i − n ⋅ x = ∑ x i − n ⋅

xi

n

=0

formule de calcul simplificat al mediei aritmetice : n

-pt. serii simple:

x

=

∑

xi

−a k 

i =1

⋅ k + a

n

∑ x k − a ⋅ nc n

i

-pt. serii ponderate:

x = i =1

n

i

ni

∑c

⋅ k + a

i =1

Media, în cazul caracteristicii alternative

individuale

ale

 p =

n1 n

Media unităţilor care nu poartă acea caracteristică se notează cu „q” şi se determină astfel: q=

n − n1 n

aplicarea relaţiei de calcul a modului: Mo = x 0

+d⋅

∆1 ∆1 + ∆ 2 ,

unde:

x0 = limita inferioară a intervalului modal, d = mărimea intervalului modal, ∆1

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

anterior celui modal, ∆2

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

următor celui modal. Pe cale grafică, modul se determină pe baza histogramei

Metodologia de calcul a medianei este diferită după natura seriei luate în calcul. Pentru serii simple se întâlnesc două situaţii: -seria are un număr impar de termeni, când mediana este acea variantă a caracteristicii cu rangul

n +1 2

, după ce în prealabil seria a fost ordonată

crescător, unde n = nr. termenilor.

:

U Me =

∑ni ; 2

Me = x 0 + d ⋅

U Me − Na n Me

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului median; d = mărimea intervalului median;  Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului median; nMe = frecvenţa reală a intervalului median. Pe cale grafică mediana se determină ca şi în situaţia precedentă cu ajutorul curbei frecvenţelor cumulate.

Quartilele

Q1 = x 0 + d ⋅

U Q1 − Na n Q1

Q2 = x0 + d ⋅

Q3 = x 0 + d ⋅

U Q 2 − Na n Q2 U Q 3 − Na n Q3

x0 = limita inferioară a intervalului quattilic; d = mărimea intervalului quartilic; UQ1, UQ2, UQ3 = unităţile quartilice;  Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului quartilic; nQ1, nQ2, nQ3 = frecvenţele reale ale intervalului quartilic.

U Q1 =

∑n i ;

U Q2 =

4

2∑ n i 4

=

∑ni 2

=U

Me

;

U Q3 =

3∑ n i 4

 Decilele

D1 = x 0 + d ⋅

U D1 − Na n D1

D2 = x 0 + d ⋅

U D 2 − Na n D2



D5 = Me = Q2 

D9 = x 0 + d ⋅

U D 9 −  Na

U D1 =

U D2 =

n D9

∑n i 10 2∑ n i 10

=

∑ni 5



U D9 =

9∑n i 10

.

În cazul seriilor cu frecvenţe în care caracteristica este dată pe variante, mediala se calculează în următoarele etape: -se determină produsele x

i

ni ;

-se calculează şirul produselor  x

i

ni

cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei:

U Ml =

∑x i n i ; 2

-se caută locul unităţii mediale pe şirul L i, alegând un nivel egal sau mai mare decât acesta; -se identifică mediala ca fiind nivelul caracteristicii corespunzător unităţii mediale.

În cazul seriilor cu frecvenţe şi caracteristica sub formă de intervale de variaţie, mediala se determină tot prin calcul şi grafic. Prin calcul se parcurg operaţiile: -se determină produsele

xini ;

-se calculează şirul produselor  x

i

ni

cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei:

U Ml =

∑x i n i ; 2

-se caută locul unităţii mediale pe şirul L i, alegând un nivel egal sau mai mare decât acesta; -se identifică intervalul medial, ca fiind intervalul caracteristicii corespunzător unităţii mediale; -se aplică formula medialei:

Ml = x 0

+ d⋅

U Ml

− La

x i n i Ml

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului medial; d = mărimea intervalului medial; UMl = unitatea medială; La = produsul cumulat anterioar intervalului medial; x i n iMl

= produsul

xini

corespunzător intervalului medial.

Media cronologică simplă  se calculează când momentele sunt egal distanţate

între ele. Pentru seria

x1 , x 2 ,



, x n -1 , x n ,

x1 + x 2 x cr  =

2

+

x2

+ x3 2

+ + 

x n −1 + x n 2

.

n −1 x1

Prin transformare, această relaţie devine:

x cr  = 2

+ x2 + x3



+ x n −1 +

xn 2

n −1

.

Media cronologică ponderată  se calculează atunci când intervalele de

timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale. În acest caz, mediile parţiale, din care se calculează media întregii  perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor parţiale dintre termenii seriei, notate cu ti. x1 + x 2 x cr  =

2

t1 +

x2

+ x3 2

t1 + t 2

t2

+

+



Media armonică simplă :



+

x n −1

+ xn 2

t n −1

+ t n −1

xh =

Media armonică ponderată :

n 1

∑x xh

i

=

∑n ∑ x1 ⋅ n i

i

i

Considerăm seria:

x1 , x 2 ,



, x n -1 , x n .

-mediile mobile din câte 3 termeni : =

x1

x1

+ x2 + x3 3

,

x2

=

+ x3 + x4

x2

3

,



,

x

n−2

=

x n−2

+ x n −1 + x n 3

.

-mediile mobile din câte 4 termeni : x1

=

x1

+ x2 + x3 + x4 4

,

x2

=

x2

+ x3 + x 4 + x5 4

,



,

x

n −3

=

x n −3 + x n −2 + x n −1 + x n

Media progresivă x  progr  = x

xs

x + xs

, unde:

2

= media generală a seriei; = media termenilor calitativ superiori mediei generale.

Media geometrică simplă : xg

=n

x1 ⋅ x 2 ⋅



⋅ xn

Media geometrică ponderată :

xg =

∑ ni

x1n ⋅ x n2 ⋅  ⋅ x nm 1

2

m

Media pătratică simplă : x patr 

∑x i

2

=

n

4

.

Media pătratică ponderată :

x patr  =

∑x ⋅n ∑n 2 i

i

i

•

 Indicatorii simpli ai dispersiei

Amplitudinea variaţiei În mărime absolută  A x

=  x max − x min

În mărime relativă  A x % =  x

max

 x

,  x min

 xmax −  x min  x

⋅ 100

,

unde:

= nivelul maxim, respectiv minim al variabilei X;

= nivelul mediu al variabilei X.

2.

Abaterea

În mărime absolută d i =  x i − x

În mărime relativă d i % =

 xi −  x  x

⋅ 100

individuală

•

 Indicatorii sintetici ai dispersiei

1. Abaterea medie liniară ∑ d i

-pentru serii simple:

d  =

∑  xi − x

i

i

=

n

,

când

n

n1 = n 2 = ... = n n = k  ,

∑ d  -pentru serii cu frecvenţe:

∑  x

⋅ni

i

i

d  =

∑

−  x ⋅ ni

,

i

=

ni

i

∑

i

ni

i

n1 ≠ n 2 ≠ ... ≠ n n

2. Varianţa (dispersia) ∑ ( xi − x )

∑ d i

2

-pentru serii simple:

σ 

-pentru serii cu frecvenţe:

2

i

=

=

n

2

n

i

i

∑

i

d i2

= =

n

∑ d  ⋅ n ∑n

i

i

i

i

Intervalul mediu de variaţie

 x − d   x ± d  =  ,  x + d 

respectiv

 x − σ   x ± σ  =   x + σ 

. Coeficientul mediu de variaţie σ  d  ⋅100 = ⋅100 , respectiv ν  =  x  x

ν  

∑ (x − x)

2

i

i

2 i

σ  =

.

i

3. Abaterea medie pătratică (deviaţia standard)

-pentru serii cu frecvenţe:

⋅ ni

i

i

=

2

i

i

 pentru serii simple:

,

i

∑ d  ⋅ n ∑ ( x −  x) = = n ∑ ∑n 2 i

σ 

2

=

i

n

∑ ( x −  x) = ∑n i

=

i

i

i

2

2

⋅ ni =

σ  2

când

 0 <  ν < 1 7%  1 7 %<  ν < 5 3 %  3 5 %<  ν < 5 0 %  ν > 5 0 % 

m m m m

e de isatset r i rc et p r e zt ei vn at a e de isatme o d er re ap tr e zt ei vn at e de isatree p r e zt ei vniatnas e nl as r e de isatne e r e p rt ea zt ievna .

Proprietăţile dispersiei sunt: Dispersia unei distribuţii este egală cu diferenţa dintre media

•

 pătratelor tuturor variantelor caracteristicii şi pătratul mediei. 2 σ  

σ 

2

=

∑ (x i

= x 2 − (x) 2

i

)

∑n 2

2

− x ⋅ ni i

=∑

i

2

= x − 2x + x = x − x 2

2

( x i2

− 2x i x + x

∑n

2

2

=∑

)n i

x i2 n i

∑n

i

i

− 2x ⋅ ∑

xini

∑n

i

i

+

∑n ∑n

x

2

i

=

i

Dispersia unui şir de valori constante este egală cu zero, Dispersia calculată din abaterile variantelor caracteristicii faţă •

de constanta „a” este mai mare decât dispersia calculată din aceleaşi variante faţă de media lor cu pătratul diferenţei dintre medie şi constanta „a”. -pentru serii simple:

∑ ( x − a)

σ 

2

=

i

n

∑ ( x − a) = ∑n i

-pentru serii cu frecvenţe:

2

i

σ  2

i

2

− (x − a ) 2 ,

⋅ ni − (x − a) 2 .

i

i

•

Dacă fiecare nivel al caracteristicii se micşorează de „k” ori, atunci dispersia se micşorează de „k 2” ori.

2

-pentru serii simple: σ 

2

 x i − x   ∑i   k      2 , = ⋅ k  n

2

-pentru serii cu frecvenţe:

 x − x   ∑i  i k     ⋅ n i   ⋅ k 2 . σ  2 =  

∑n

i

i

Dacă se împarte fiecare nivel al frecvenţelor printr-o constantă „c”,

•

atunci dispersia rămâne neschimbată.

∑ ( x − x)

2

i

σ 

2

=

i

⋅

ni c

ni

∑c i

Aceste proprietăţi sunt folosite pentru calculul simplificat al dispersiei. Din combinarea lor se ajunge la formulele care conduc la cea mai mare simplificare a calculelor. 2  x i − a      ∑ k      ⋅ k 2 − (x − a) 2 , i σ  2 =

-pentru serii simple:

n

-pentru serii cu frecvenţe:

2  x i − a   ⋅ n i ∑i   k     c 2 2 σ  = ⋅ k  − (x − a) 2 .

ni

∑c i

Indicatorii de asimetrie

O primă imagine asupra gradului de asimetrie (As) al unei distribuţii o

 putem face comparând media ei asimetrică cu modul. As As

stânga.

= x − Mo

0,



x

M o

, asimetrie negativă, cu extinderea frecvenţelor spre

As  0 ,

x  M o

, asimetrie pozitivă, cu extinderea frecvenţelor spre

dreapta. În mărimi relative se utilizează coeficientul de asimetrie a lui Pearson (k as). k as =

x − Mo σ  

Dacă k as =0,

x = Mo

Dacă k as >0,

x

Dacă k as <0,

x



, distribuţie simetrică

Mo

, distribuţie asimetrică spre dreapta

Mo

, distribuţie asimetrică spre stânga.

Pentru seriile moderat asimetrice, coef. de asimetrie trebuie să ia valori cuprinse în intervalul (-0,3 ; 0,3). Pentru valori în afara acestui interval se consideră că distribuţiile respective sunt puternic asimetrice. coeficientul de asimetrie Yule (Cay). Cay =

q 2 − q1 q 2 + q1

, unde:

q2 = Q3 – Me q1 = Me – Q1.

Dacă valorile Cay se apropie de asimetrică, iar dcaă depăşesc

±0,1

±0,1

, atunci distribuţia este moderat

, atunci distribuţia este pronunţat

asimetrică.

) Indicatorii de boltire.

. de boltire Pearson ( β 2 ) şi coef. de boltire Fisher ( γ   2 ). β 2 =

 µ 2

 µ 4  µ 22

= σ  2 =

, unde:  µ  este dispersia. 2

∑ (x i

− x) ⋅ ni 2

i

∑ i

ni

, iar   µ  se determină după relaţia: 4

∑ (x − x)

4

i

 µ 4

=

i

∑n

⋅ ni

i

i

Pentru o distribuţie normală (curba Gauss-Laplace), coeficientul de   boltire ia valoarea 3. Dacă dacă

β 2

β 2



3,

atunci distribuţia este leptocurtică, iar 

3 , atunci distribuţia este platicurtică.

Coef. de boltire Fisher ( γ    )  µ  γ 2 = β 2 − 3 = 42 − 3 , cu interpretarea: 2

 µ 2

dacă

β 2 = 3 ,

β 2



β 2

γ  2 =

3

, γ  

3

, γ  

2

0,



2

distribuţie normală;

0,

distribuţie leptocurtică;

0,

distribuţie platicurtică.

6.2. Indicii simpli

•

 Indicele simplu al cantităţilor  sau

după relaţia:

q

i1 / 0 =

q1 q0

al volumului fizic care este determinat

⋅ 100 ,

q1 = volumul fizic în perioada curentă q0 = volumul fizic în perioada de bază •

 Indicele simplu al preţurilor  stabilit astfel: i p1 / 0 =

 p1  p 0

⋅ 100

 p1 = preţul în perioada curentă  p0 = preţul în perioada de bază

 Indicele simplu valoric

•

v i1 / 0 =

v1 v0

⋅ 100

,

stabilit astfel:

dar v1=q1 p1 v0=q0 p0

i1v/ 0 =

q 1 p 1 q 0 p 0

⋅ 100

Între aceşti indici se verifică relaţia: v

i1 / 0

= i1q/ 0 ⋅ i p1 / 0

q1 p1 q 0 p 0

=

q1  p1

⋅

q 0  p 0

6.2. Indicii simpli  Indicele simplu al cantităţilor  sau al volumului fizic care este determinat •

după relaţia:

q

i1 / 0 =

q1 q0

⋅ 100 ,

q1 = volumul fizic în perioada curentă q0 = volumul fizic în perioada de bază •

 Indicele simplu al preţurilor  stabilit astfel: i p1 / 0 =

 p1  p 0

⋅ 100

 p1 = preţul în perioada curentă  p0 = preţul în perioada de bază •

 Indicele simplu valoric v i1 / 0 =

v1 v0

⋅ 100

,

stabilit astfel:

dar v1=q1 p1 v0=q0 p0

i1v/ 0 =

q 1 p 1 q 0 p 0

⋅ 100

Între aceşti indici se verifică relaţia: i1v/ 0

= i1q/ 0 ⋅ i p1 / 0

q1 p1 q 0 p 0

=

q1  p1

⋅

q 0  p 0

Indicii de grup .a

Indicele agregat  Indicele agregat simplu al producţiei I1q/ 0 =

se determină astfel:

∑ q 1 ⋅ 100 ∑q0

indicele agregat ponderat , calculat astfel: I1q/ 0 =

∑q1 p1 ∑q 0 p 0

⋅ 100

sisteme de  ponderare  E. Laspeyres I1q/ 0 =

∑q1 p 0 ∑q 0 p 0

⋅ 100

H. Paasche I p1 / 0 =

∑ p1q 1 ⋅100 ∑ p 0 q 1

I1v/ 0 =

∑q1 p1 ∑q 0 p 0

⋅ 100

variaţiei valorice

Între aceşti indici se verifică relaţia:

I1v/ 0 = I 1q/ 0 ⋅ I p1 / 0

În teoria indicilor se mai întâlnesc şi unele sisteme de ponderare care ţin seama de ponderile din ambele perioade. Întâlnim astfel: -indicele preţurilor calculat de Edgeworth ∑ p (q + q ) ⋅100 = I ∑ p (q + q )  p 1/ 0

1

1

0

0

1

0

-indicele ideal al lui Fisher. ∑q 1 p 0 ⋅ ∑q 1 p1 I p1 / 0 = ∑q 0 p 0 ∑q 1 p 0

indicelui de grup al volumului fizic modificarea absolută va fi ∆ = ∑q  p − ∑q p q 1/ 0

1

0

0

i

0

i

Pentru indicele de grup al preţurilor, modificarea absolută va fi: ∆ p1 / 0 = ∑ p 1 q 1 − ∑ p 0 q 1 i

i

În cazul indicelui de grup valoric, modificarea este: ∆1 / 0 = ∑q 1 p 1 − ∑q 0 p 0 v

i

i

În cazul influenţei factorilor exprimată în mărimi absolute se verifică relaţia: v

q

 p

∆1 / 0 = ∆1 / 0 + ∆1 / 0

b. ele mediu aritmetic ponderat

Indic

∑ i1 / 0 ⋅ q 0 p 0 q

I1q/ 0 =

i

∑ q 0 p 0

× 100

i

c.

Indic

ele mediu armonic ponderat

∑ p1q 1  p 1/ 0

I

i

=

1

∑iq i

×100

 p1 q 1

1/ 0

6.4 Sistemul indicilor calculaţi din mărimi medii

A.

indicele de variaţie bifactorială;

B.

indicele cu structură fixă;

C.

indicele schimbării structurii. A. indicele de variaţie bifactorială I sx.v =

x1 x0

=

∑ x 1n1 ÷ ∑ x 0 n 0 ∑ n1 ∑n 0

B. indicele cu structură fixă (Is.f ) I sx.f  =

∑x 1 n 1 ÷ ∑ x 0 n 1 ∑n 1 ∑n 1

de Laspeyres ∑x 1n 0 ÷ ∑x 0 n 0 I sx.f  = ∑n 0 ∑n 0 C. indicele variaţiei structurii (Iv.s.).

Laspeyres, I xv.s. =

∑x 0 n 1 ÷ ∑x 0 n 0 ∑n 1 ∑n 0

Între aceste trei categorii de indici se stabileşte relaţia: I sx. v

x

x

= I s .f  ⋅ I v.s .

6.5

Gruparea indicilor dinamicii după felul bazei

Indici cu bază fixă i 1q/ 0 =

q1 q0

,

q i2/0 =

q2 q0

q n −1

, .... ,

i n −1 / 0 =

, .... ,

i n −1 / n −2 =

q

q0

,

q

in / 0

=

qn q0

Indici cu bază fixă i 1q/ 0 =

q1 q0

,

i q2 / 1 =

q2 q1

q

q n −1 q n −2

,

i qn / n −1 =

qn q n −1

 produsul indicilor cu bază mobilă  q1 q 2 q 3

⋅

⋅

q 0 q1 q 2

⋅ ⋅ 

q n −1

⋅

qn

q n − 2 q n −1

=

qn q0

împărţind doi indici cu bază fixă  q2 q0

÷

q1 q0

=

q2 q1

6.6Ritmul variaţiei şi al sporului

A. indicatori absoluţi B. indicatori relativi C. indicatori medii. A. Indicatorii absoluţi

Cuprind sporul absolut, care, după modul de alegere a bazei, este: •

 spor absolut cu bază fixă  ( ∆i / 0 ) x

– se obţine ca diferenţă între fiecare

termen al sumei şi termenul ales drept bază de raportare. Considerând seria: x0, x1, x2, ... , xn, sporul absolut cu bază fixă se va calcula astfel:

∆1 / 0 = x 1 − x 0 ;

∆2/ 0 = x 2 − x 0

generalizând:

∆i / 0 = x i − x 0

x

•

x

; .....;

x

∆n / 0 = x n − x 0

sau

x

  spor absolut cu bază mobilă  ( ∆i / i x

−1

) – este diferenţa dintre fiecare

termen al seriei şi termenul anterior. În aceeaşi serie vom avea: ∆1 / 0 = x 1 − x 0 ;

∆ 2 /1 = x 2 − x1 ;

generalizând:

∆xi / i −1 = x i − x i −1

x

x

.....;

x

∆ n / n −1 = x n − x n −1

sau

Între sporurile absolute cu baza fixă şi cele cu baza mobilă se verifică relaţiile: -suma sporurilor cu baza mobilă este sporul cu bază fixă al ultimului an: x 1 − x 0 + x 2 − x 1 + x 3 − x 2 +  + x n − x n −1 = x n − x 0

-diferenţa dintre două sporuri absolute cu baza fixă consecutive este egală cu sporul cu bază mobilă corespunzător: (x 3 − x o ) − (x 2 − x 0 ) = x 3 − x 2

B. Indicatorii relativi

1.

 Ritmul variaţiei  (R x) – exprimă viteză de variaţie exprimată în mărimi

relative. După modul de calcul, rimul variaţiei este de două feluri: •

Ritmul variaţiei cu bază fixă ( R  ) – arată de câte ori a crescut sau x i/0

scăzut nivelul unui fenomen în decursul unei perioade de timp şi se calculează astfel: R ix/ 0 •

=

xi x0

,

i =1, n

Ritmul variaţiei cu bază mobilă ( R 

x i / i −1

) – arată de câte ori a crescut sau

scăzut nivelul unui fenomen într-un moment faţă de momentul anterior. R ix/ i −1 =

xi x i −1

Între ritmul variaţiei cu bază fixă şi cel cu bază mobilă se verifică relaţiile: -produsul ritmurilor cu bază mobilă este ritmul cu bază fixă al întregii  perioade: x1 x 2 x 3

⋅

⋅

x 0 x1 x 2

⋅ ⋅

xn



x n −1

=

xn x0

-raportul a două ritmuri ale variabilei cu bază fixă este egal cu ritmul cu bază mobilă corespunzător: x2 x0

÷

x1

=

x0

x2 x1

Ritmul sporului (r x) – exprimă mărimea creşterii sau scăderii în decursul

2

unei anumite perioade de timp faţă de perioada de bază a unui indicator. Se calculează: •

Ritmul sporului cu bază fixă ( r x ) – se calculează ca raport între sporul i/0

cu bază fixă şi nivelul fenomenului considerat din perioada de bază, astfel: x

r x i / 0 = •

∆ i −0

x0

=

xi − x0 x0

Ritmul sporului cu bază mobilă ( r 

x i / i −1

) – se calculează ca raport între

sporul cu bază mobilă şi nivelul fenomenului considerat din perioada anterioară, astfel: x

r x i / i

−1

=

∆i / i −1

x i −1

=

x i − x i −1 x i −1

Relaţii între aceste ritmuri: r x i / 0 r x i / i −1

= R ix/ 0 − 1 = R ix/ i−1 − 1

C. Indicatorii medii 1. Sporul mediu ( ∆ ) x

x

∆ =

− x0 , unde: n −1

xn

xn = ultimul termen al seriei, x0 = primul termen al seriei, n = nr. termenilor seriei. 2. Ritmul mediu al variaţiei  ( R x ) x

R  = n −1

xn xo

 Ritmul mediu al sporului  ( r x ) x

x

r  = R  −1

sau în procente:

x

r 

x

= R  −100

A. Regresie şi corelaţie liniară

y = a + bx -dacă b>0, indică o legătură directă -dacă b=0, nu există legătură -dacă b<0, indică o legătură inversă. metoda celor mai mici pătrate

suma pătratelor diferenţelor dintre valorile reale ale lui y şi valorile

teoretice date de ecuaţia de regresie să fie minimă. ∑( y −y i )

2

minim, respectiv

=

∑( y −a − bx )

2

=

minim.

 n a+  b∑ x = ∑ y    a∑ x +  b∑ x = ∑ x y i

i

2

i

i

i i

Prin metoda lui Cramer sau a determinanţilor, parametrii a şi b se determină astfel (pentru  seriile simple):

∑ yi ∑ x i a∆ ∑ x y ∑ x ∑ x ∑ y − ∑ x ∑ x y a= = = 2 2 ∆ n ∑ xi n∑ xi − (∑ xi) 2 2 ii i i i i ii

∑x ∑x

2 i i

n ∑ yi ∆ b ∑ xi ∑ iyx i n∑ iyx i − ∑ xi∑ yi b= = = 2 2 ∆ n ∑ xi n∑ xi − (∑ i)x

∑x ∑x

2 i i

 serii cu frecvenţe , sistemul de ecuaţii normale devine:

 a ∑ n i +  b∑ x i n i = ∑ y i n i    a ∑ x i n i +  b∑ x i2 n i = ∑ x i y i n i Determinarea parametrilor a şi b prin aceeaşi metodă conduce la rezultatele:

∑ ynii ∑ xnii ∆ a ∑ x y n ∑ nx ∑ nx ∑ y n − ∑ x n ∑ x y n a= = = 2 2 ∆ ∑ ni ∑ x nii ni∑∑ inx i − (∑ x nii ) 2 2 iii i i i i ii ii iii

∑ xn ∑ nx

2 ii i i

∑ ni ∑ ynii ∆ b ∑ x nii ∑ x y niii ∑ ni∑ x y niii − ∑ x nii ∑ y nii b= = = 2 2 ∆ ∑ ni ∑ x nii ni∑∑ inx i − (∑ x nii )

∑ x n ∑ nx

2 ii i i

Coeficientul de corelaţie r x , y =

∑( x i − x ) ⋅ ( y i − y ) nσ  x σ  y

, unde:

xi = caracteristica factorială; yi = caracteristica rezultativă; x, y

= mediile celor două caracteristici;

σ  x , σ  y

= abaterea medie pătratică a celor două caracteristici.

Dacă în această relaţie înlocuim pe

x, y

, σ   , σ   cu expresiile lor dezvoltate x

y

şi efectuăm simplificările posibile, se ajunge la formula: r x , y =

n ∑x i y i − ∑x i ∑ y i [ n ∑ x i2 − ( ∑x i ) 2 ] ⋅ [ n ∑ y i2 − (∑ y i ) 2 ]

- pt. serii simple

r x , y =

∑n i ∑ x i y i n i − ∑ x i n i ∑ y i n i [ ∑n i ∑ x i2 n i − (∑ x i n i ) 2 ] ⋅ [∑n i ∑ y i2 n i − (∑ y i n i ) 2 ]

- pt. serii cu

 frecvenţă 

Raportul de corelaţie (η ) 2

η  =

σ  y

2

σ yi 2

σ  y

2

σ  yi

, unde:

= dispersia valorilor reale ale variabilei y; = dispersia valorilor teoretice ale variabilei y. În cazul unei legături liniare simple, ecuaţia raportului de corelaţie

devine: a η 

=

(

∑y )

∑ y + b∑ x y − (∑ y ) y − ∑ i

i

i

2

i

n 2

i

2 i

n

În cazul seriilor cu frecvenţe: a η 

=

∑y n i

i

+ b∑ x i y i n i −

∑

2

yi n i

−

(

(

∑y n ) ∑n i

2

i

i

∑y n ) ∑n i

2

i

i

Raportul de corelaţie are valori cuprinse între 0 şi 1, cu următoarele semnificaţii: -η = 1 arată că între variabile există legătură; -η = 0 între variabile nu există legătură.

Valoarea la pătrat a raportului de corelaţie prezintă raportul de determinaţie: 2

2

η  =

σ y

şi arată ponderea influenţei factorului x asupra variaţiei

2

σ yi

variabilei y.

B.

Regresie şi corelaţie curbilinie

a. Regresie şi corelaţie de tip hiperbolic y =a +

 b xi

1  n a  b + ∑ x i = ∑ yi     a x +  b 1 = 1 y  ∑ i ∑ x2 ∑ x i i i  Prin regula lui Cramer obţinem: a=

1

1

1

i

i

i

∑ yi ∑ x 2 − ∑ x ∑ x n∑ n∑

 b =

1 xi

n∑

1 x

2 i

− (∑

yi − ∑ 1 x

2 i

1 xi 1

− (∑

xi

1 xi

)

yi

2

∑ yi )

2

Fiind vorba de o legătură curbilinie, intensitatea legăturii se determină numai cu ajutorul raportului de corelaţie.

2

σ y

η  =

2

σ  yi

a

η  =

1

∑ y + b∑ x i

∑y

2 i

(∑ y ) y −

2

i

i

n

i

( y ) ∑ −

2

i

n

b. Regresie şi corelaţie de tip parabolic

 parabola de gradul doi, y = a+bx+cx2 Parametrii a, b, c se determină prin metoda celor mai mici pătrate, din sistemul:

 n a+  b∑ x i + c∑ x i2 = ∑ yi   2 3  a∑ x i +  b∑ x i + c∑ x i = ∑ x i y i   a∑ x i2 +  b∑ x 3i + c∑ x i4 = ∑ x i2 y i  Intensitatea corelaţiei parabolice se măsoară cu ajutorul raportului de corelaţie: a

η  =

(∑ y ) x y −

∑ y + b∑ x y + c∑ (∑ y ) − y ∑ i

i

i

2 i

i

2 i

i

n

i

2

n

2

Regresie şi corelaţie multiplă y x1, x 2,..., xk 

= a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a i x i + + a k x k 

, unde:

a0 = parametrul care exprimă influenţa celorlalţi factori consideraţi cu acţiune constantă, în afară de factorii cauzali luaţi în calcul; ai = coeficienţi de regresie multiplă care arată cu cât variază variabila rezultativă, atunci când variabila factorială x i se modifică cu o unitate. 2

η y x1, x 2 ,..., xk 

7.1 .1

=

σ  y

.

x 1, x 2 ,... xk 

2

σ  y

Corelaţia neparametrică

Coeficientul de concordanţă Fechner

Coeficientul de concordanţă simplu c −d k  = , unde: n c = număr de concordanţe de semn ale abaterilor; d = număr de disconcordanţe de semn ale abaterilor. ∆x i = x i − x

sau

∆x i = x i − x i −1

∆y i = y i − y

sau

∆y i = y i − y i −1

n = numărul perechilor de valori corelate Dacă unele diferenţe ∆x sau ∆y i sunt nule, atunci nu se consideră i

nici concordanţă, nici discordanţă, ci este exclusă din calcul. Coeficientul de concordanţă ponderat C −D k  = , unde: C +D C = suma produselor  ∆x ∆y pozitive, i

i

D = valoarea absolută a sumei produselor  ∆x ∆y negative. i

i

O altă variantă a coeficientului ponderat de concordanţă Fechner se apropie de coeficientul de corelaţie Pearson şi se determină astfel:

k  =

∑ ∆x i ⋅ ∆y i ∑ (∆x i ) 2 ⋅ ∑ (∆y i ) 2

Coeficientul Fechner poate varia între -1 şi +1, cu semnificaţia unei legături directe sau inverse mai mult sau mai puţin intense.

.2

Coeficienţii de corelaţie a rangurilor Coeficientul Spearman θ  = 1 −

6∑d 2 n3 − n

, unde:

d = diferenţele dintre rangurile celor două variabile; n = nr. perechilor de valori x i, yi. b. Coeficientul Kendall τ  

=

S 0,5n ( n

−1)

, unde: P = ∑ p i

S = P −Q

Q = ∑q i

 pi = nr. rangurilor superioare ale variabilei y i ordonate după xi, care există după fiecare rang; qi = nr. rangurilor inferioare ale variabilei y i ordonate după xi, care există după fiecare rang; n = nr. unităţilor observate. Acest coef. poate lua valori cuprinse între -1 şi +1, cu aceleaşi semnificaţii.

Coeficientul de asociere Q=

ad − bc ad + bc