FORMULAS DE FRENET-SERRET FRENET-SERRET Y EL VECTOR TORSION
El triedro de Frenet es una referencia ortonormal para todo punto en una curva param paramet etriz rizad ada a por por longit longitud ud de arco. arco. En geome geometr tría ía difer diferen encia ciall se consi consider deran an definiciones más generales, sin embargo intuitivamente, en R3, se puede pensar al triedro de Frenet simplemente como un "carrito" de vectores ortonormales que se desp desplaz lazan an a lo largo largo de una curva curva.. Aquí utili utiliza zar r la notac notaci! i!n n ,#,$ para para referirme
al
vector
tangente,
normal
%
binormal
unitarios.
&as f!rmulas de Frenet'(erret describen este triedro empleando precisamente el cambio de ste respecto al arco de la curva )o la parametrizaci!n elegida*, % además de ello a%udan a definir efectiva e intuitivamente intuitivamente el concepto concepto de curvatura curvatura % torsi!n. Aquí comparto comparto una demostraci!n demostraci!n de las f!rmulas de Frenet'(erret Frenet'(erret para el caso particular en R3, donde se lee+ (ea +-R3 una curva regular de clase /3, parametrizada por longitud de arco, entonces+ 0#0$012#1$4214#)5*)6*)3* donde 2, )escalares* son la curvatura % la torsi!n respectivamente. Empleo la notac notaci!n i!n 70 como como la deriva derivada da de 7 resp respect ecto o al paráme parámetr tro o longit longitud ud de arco, arco, esperando no incomode al lector. 8e aquí una demostraci!n de estas relaciones+ 9 !mese en cuenta que, por ser ortonormales, % de modo que sean un sistema de mano derec:a )s!lo es necesario definir una de estas relaciones, usualmente ; % las
otras
dos
se
siguen
naturalmente =0 ∥0∥ % #10∥0∥ %a 1#>$#1$>$1>#)?*)@*);* 9 rimero, por definici!n #10∥0∥102⟹012#)B*
de
a:í están
usando
producto
cruz<
definidos*, ,#,$ satisfacen
9 Case a:ora que # ⋅#15, entonces #⋅#01D, asi que #0 es paralelo al plano definido por $, % puede ser escrito como una combinaci!n lineal de $ % , i.e. #015$6)G* Así entonces, al derivar $ de la definici!n ) ;*, $010>#>#012#>#>)5$6*15)>$*145#)H* % con esto tambin, al derivar # de la definici!n ) @*, #01$0>$>0145#>$>2#15$42)5D* por
tanto
en
la
combinaci!n
lineal
propuesta
se
identifica,
516142)55* con
9
lo
que
Finalmente
se
obtienen
tambin
se
finalmente
encuentra,
las
a
ecuaciones
partir
de $014#,
) 5,6,3*.
que
14#⋅$0)56* 9 A menudo la gente e7presa las ecuaciones de Frenet'(erret en forma matricial
⎛⎝⎜⎜0#0$0⎞⎠⎟⎟1 ⎛⎝⎜D42D2D4DD ⎞⎠⎟⎛⎝⎜#$ ⎞⎠⎟)53* que resulta interesante al estar formada por una matriz antisimtrica.
FORMULAS
/ada uno de estos vectores satisface lo siguiente )6* puesto que or otro lado, cada uno de estos vectores en )5* deben ser combinaci!n lineal de la base )base que a menudo se llama triedro de Frenet*, esto es
)3* A partir de estas :ip!tesis vamos a probar las llamadas f!rmulas de Frenet, que son las siguientes
)?* donde los valores I % t son funciones del parámetro s. Ceamos la demostraci!n de las f!rmulas en )?*, que no es nada más que encontrar los valores de aiJ del sistema de ecuaciones en )3*. (abemos que
es decir
lo que se deduce, observando la primera ecuaci!n de )3*, que a55 1 a53 1 D, % además
A este coeficiente le llamaremos coeficiente de curvatura o simplemente curvatura. Ke tal modo que
A:ora vamos a demostrar las dos Lltimas f!rmulas de )?*. Multipliquemos por el producto punto las dos Lltimas ecuaciones de )?* por el vector normal % binormal, respectivamente. Nbtenemos que
de modo que a66 1 a33 1 D. A:ora derivemos respecto de s la igualdad % obtenemos
Al coeficiente a63 le llamaremos coeficiente de torsi!n % lo denotaremos por a63 1 t) s *, % de paso, en virtud de la tercera ecuaci!n en )3*, :emos encontrado que a35 1 D % a36 1 ' a63 1 't) s *. /on esto :emos demostrado la tercera f!rmula de Frenet. #otemos que solo nos falta determinar el coeficiente a65. Camos a derivar respecto de s la igualdad entonces
or lo tanto a65 1 ' I) s *. Ke tal modo que, en virtud de la segunda ecuaci!n de )3*, nos queda que
% con esto :emos demostrado la segunda f!rmula de Frenet.
EJEMPLOS FISICOS
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