TRIEDRO MÓVIL Y FÓRMULAS DE FRENET-SERRET Los matemáticos franceses Jean Fréderic Frenet (181-1!""# y J$%e&' A)red
Serret (181!-188*# desarrollaron unas fórmulas con las cuales se describe el movimiento de una partícula en el espacio. Estudiaremos las fórmulas que describen la variación del triedro móvil, formado por los vector vectores es unitar unitarios ios tangen tangente, te, normal normal y binorma binormal,, l,, que actual actualment mente e se conocen como:
Fórmulas de Frenet-Serret
+ , Vect$r Vect$r +in$ra Unitari$. T , Vect$r Tan/ente Unitari$. N , Vect$r N$ra Unitari$. El vector unitario Tangente ( T , el vector unitario !ormal ( N y el vector unitario "inorm "inormal al ( + , forman un triedro en cualquier punto de la # curva, y forman un sistema derec$o de vectores unitarios, es decir:
+ 0 T N T 0 N + N 0 + T %igura formada por tres semirectas, llamadas aristas, que parten del mismo punto, denominado v&rtice del triedro.
+ N T
+ N r T
r 1 O
El estudio de los vectores: T, + y N, es venta'oso para referir los elementos cinemáticos (velocidades, aceleraciones, por e'emplo: la velocidad siempre tiene la dirección de T y la aceleración siempre está contenida en el plano osculador.
FÓRMULAS DE FRENET-SERRET Las fórmulas dadas anteriormente para T, !, y " dependen de la curva se dan en t&rminos de la longitud de arco parámetro. Esta es una suposición natural en la geometría euclidiana, debido a que la longitud de arco es un invariante euclidiana de la curva. En la terminología de la física, la parametriación longitud de arco es una elección natural del anc$o de vía. )in embargo, puede ser difícil de traba'ar en la práctica. *n n+mero de otras epresiones equivalentes están disponibles.
)upongamos que la curva está dada por r ( t, donde el parámetro t no necesita ya ser longitud de arco . - continuación, la unidad de vector tangente T puede escribirse como:
El vector normal ! toma la forma:
*na forma alternativa para llegar a las mismas epresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva: r (t , r (t , r ( t , y para aplicar el proceso de /ram0 )c$midt. La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco T!". Este procedimiento tambi&n se generalia para producir marcos %1E!ET en dimensiones más altas. En t&rminos del parámetro t , las fórmulas de %1E!ET 0 )E11ET recoger un factor adicional de 22r 3(t 22 debido a la regla de la cadena: En forma matricial, las fórmulas de %1E!ET 0 )E11ET se pueden escribir como:
dT
4N
d% dN
4T
+ F2r-3(a% de FRENET SERRET
d% d+
N
d%
Epresiones eplícitas para la curvatura y la torsión se pueden calcular. 4or e'emplo:
La torsión puede epresarse utiliando un producto mito de la siguiente manera: (r ( t # r (t ## r (t # r (t # r ( t #
E5e&$, )ea la función vectorial: 6t i
r (t#
t 5
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5eterminar: a T b ! c
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τ
4ara 6t 7 89
SOLU7IÓN, a# T r
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