Formulas de Frenet-Serret

Santana Abad Magda Chávez Gutiérrez José Luz

Estas formulas pertenecen a la Teoría de Curvas introducidas por Jean Fréderic Frenet y Joseph Serret.  La base espacial definida por el vector Tengente, Normal y Binormal (triedro movil) es conocido tambien como el triedro de Frenet-Serret 

Estas formulas describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva continua, diferenciable en tres dimensiones.  Las formulas se representan con las derivadas de los vectores unitarios Tangente, Normal, y Binormal. 

T = Vector Tangente  N = Vector Normal  B= Vector Binormal  Las formulas de Frenet Serret son: 



Supongamos que f esta parametrizado por longitud de arco entonces se define como

T   KN   B  TN  

Estas formulas nos dan las derivadas de T y B repecto a los vectores T,N,B.

Para expresar la derivada N’ de N en terminos de los vectores ortonormales T, N y B {U1, U2 , U3} es  Se toma como base que si el conjunto un conjunto ortonormal de vectores 3 entonces el vector V  3 se escribe en términos de los vectores U1, U2 , U3. 



Entonces

N’=(N’•T)T + (N’•N)N + (N’•B)B Como ||N||=1 se deduce que N’•N=0  Por lo tanto se establece tambien la ortogonalidad de los vectores N y T 



Derivando tenemos que

N’•T+N’•T’=0 

Usando T’=KN

T’•T= -N • T’ = -N-(KN) = K(||N||)2= K 

Del mismo modo si N•B=0

N’•B + N •B’ = 0 

y con B’=TN

N’•B = -N•B’ = -N-(TN) = -T||N||2 = -T

Finalmente se tiene que  N’ = -KT-TB  Y las formulas 

T



KN

N



- KT - TB

B



TN