UNIVER UNIVERSID SIDAD AD NACIO NACIONAL NAL DE SAN ´ AL DE HUAM CRISTOBAL OB HUAMAN ANGA GA FACULT ACULTAD CIENCIAS AGRARIAS E.F.P. INGENIER´ IA AGR´ ICOLA
TRABAJO DE CALCULO II FORMULAS DE FRENET-SERRET INTEGRANTES: ATAO OSCCO, Rayssa CASTRO CCOTA, Aida MENDEZ MALLQUI, Melissa TINCO DOMINGUEZ, Cinthia
´ AYACUCHO - PERU 2015
FORMULAS DE FRENET SERRET 1.
´ INTRODUCCION
Describen las propiedades cinem´aticas de una part´ıcula que se mueve a lo largo de una curva referenciales en tres dimensiones. La f´ormula de serret son las derivadas de los vectores unitarios tangente, normal y binormal.
Figura 1:
T (t) Si T (t) diferente de cero podemos definir N (t) = T (t) Como el vector normal principal ya que es normal a T(t). UN tercer vector unitario que es perpendicular tanto a T como a N se define como B = T xN el vector se llama vector binormal. Juntos T,N y B forman un sistema de vectores que siguen la regla de la mano derecha ortogonales entre s´ı que se van moiendo a lo largo de una curva.
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T xN se llama binormal a la curva, los vectores T,N y B forman un triedro trirectangulo a derecga de cualquier punto de c. este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrinseco en el punto. Como a medida que varia S el sistema se desplaza, se le conoce como triedro m´ovil. Para una curva de rapidez unitaria definimos las formulas de frenet-serret.
dN dS
dT dS
= kN = kT + τ B dB = τ N dS
−
−
2
Comportamiento gr´ afico de las f´ormulas de Frenet Aplicando las f´ormulas de Frenet al ejercicio anterior, valdr´an aproximadamente: 1. En zonas con torsi´on despreciable:
1. T = kN 2. N =
−kT
3. B = 0 2. En zonas con curvatura despreciable:
1. T = 0 2. N = τ B 3. B =
−τ N
Esto aclara el comportamiento del plano osculador en el ejercicio precedente. En el caso (1) el vector binormal est´a quieto, mientras que los otros dos giran. En cambio, en el caso (2) el vector tangente queda fijo y los que giran son el vector normal y el binormal. En efecto, seleccionar la curva del ejercicio anterior con con los vectores del triedro de Frenet en modo est´atico (Static Vectors). Mover el par´ametro y comprobar el comportamiento del triedro.
2.
TRIEDRO MOVIL
Se construye a partir de la 1ra y 2da derivada de la parametrizaci´on de la curva. En cada punto regular de la curva son tres vectores unitarios T , N y B . Es decir el triedro de Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporcionan importando informaci´ on sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia movil, ya que se desplaza por la curva seg´un la recorremos. Considerando la curva f :
⊆ R − R3 que sea diferenciable y no nula. Tenemos: 3
T (t) =
|
f (t) f (t)
|
T .T = 0
Del cual derivando obtenemos lo siguiente:
T 2 = 1 T .T + T .T = 0
⇒ T .T = 0
De esta forma demostramos que el vector T y T son perpecdiculares; ahora trazaremos un vector en la misma direccion que el T , N la cual llamaremos NORMAL, los cuales formaran el PLANO OSCULADOR. Un vector ortogonal al plano de f (t) es B = T
× N al cual lllamaremos binormal.
Teniendo P (x , y , z) y un P 0 (xt0 , yt0 , zt0 ) :
(P
− P 0).B = 0
El plano atravesado por la curva descrita por f (t) en forma perpendicular se le llama PLANO NORMAL de f (t). Es decir el plano normal de f en t es el plano que pasa por f (t) y tiene como vector normal a T y su ecuaci´on sera dada:
(P
− P 0).T = 0
Se llama PLANO RECTIFICANTE de f (t) al plano que pasa por P y es otogonal al plano osculador y al plano normal de f en t. Osea el plano rectificante de f en t es el plano que pasa por P y tiene por normal a N y su ecuaci´on esta dada por:
(P
− P 0).N = 0
4
3.
DEMOSTRACIONES DE LAS FORMULAS DE FRENET SERRET
3.1.
PRIMERA FORMULA
Se demuestra a partir de las definiciones de Curvatura y Torsi´on.
→ T (t) = L (t) =
→ f (t) f (t)
→ →
(1) vector unitario tangencial
f (t)
L (t) = f (t)
(2)
5
2 en 1
Reemplazar
→ → f (t) T (t) = L (t) Si :
→ T (t) :
se
llama
→ → T (t) N (t) = → f (t)
⇒
Normal
Principal
vector
unitario
Normal
P rincipal
→ → → T (t) = N (t) . f (t)
Eligiendo dos puntos f ( to ) , f ( t) de la curva
Sea : K (t) : vector
→
K (t) :
curvatura
curvatura
Si
K (t)
se
”curva” la curva C
→
T ( t)
→
nos
− T ( t0) |L (t) − L (t0)|
da
la
razon
→
→
T (t) T (t0 )
− |L(t)−L(t0)|
de
Es
el
cambio
Longitud
de
6
es
de
la
medida
de
cuanto
direccion
arco
desde
f ( t0 ) hasta
f ( t)
Ahora para hallar la curvatura a raz´on instant´ anea se obtiene tomando limite cuando t
lim
→
→
T (t) T (t0 )
− t→t0 |L(t)−L(t0 )|
K (t ) =
⇒
:
Si
→
lim →
=
t
t0
T (t0 )
0
L (t0 )
→
→
→
reeplzamos
→
t−t0
L(t)−L(t0 ) t−t0
3
en
→
= |
→
T (t0 )
L (t0 )
|
(3)
(4)
4
T ( t) = N ( t) .K (t) .L (t)
3.2.
→
T ( t)− T ( t0 )
T ( t) = N ( t) . T ( t)
Ahora ∴
→
→ t0
→
f ormula
demostrada
SEGUNDA FORMULA
−→
−→ × −→T (t)
Con la primera y la tercera formula podemos calcular la tercera. Se obtiene de N (t) = B (t) : Derivando esta formula:
−→ −→ −→ −→ −→ N (t) = B (t) × T ( t) + B (t) × T (t) Reemplazando que:
−→ −→ B (t) = −τ S (t) N (t) −→T (t) = k (t)S (t)−→ N (t) Entonces:
−N (t) = (−τ S (t)−→ → −→ −→ −→ N t) × T ( t) + B (t) × (k(t)S (t) N (t)) −→ −→ −→ −→ −→ N (t) = −τ S (t)( N (t) × T ( t)) + k (t)S (t)( B (t) × N (t)) −→ −→ −→ −→ −→ N (t) = τ S (t)( T ( t) × N (t)) − k(t)S (t)( N (t) × B (t)) −→ −→ −→ N (t) = τ S (t) B (t) − k(t)S (t) T ( t) ∴
F´ormula demostrada..... 3.3.
TERCERA FORMULA
Se obtiene a a partir de la definici´on de torsi´on.
7
→
B (t) diferenciable
Sea
en
todos
los
puntos
→
B (t) L (t)
a
Describe la razon de cambio de distancia a lo largo de la curva
la
→
B (t) L (t)
es
→
B (t) L (t)
⇒
si r r
a
binormal
→
N ( t)
→
= r .N ( t) 0
>
misma direcci´on
>
0
r =
−τ el inverso aditivo de r (un escalar) se llama torsi´on.
∴
→
B (t)
⇒ 4.
paralelo
vector
cambio de direcci´on, sentidos opuestos.
=
→
−τ.L (t) .N (t)
formula
de
frenet
EJERCICIO:
1. Dado el camino f (t) = (t, t2 , 23 t3 ) determinar los vectores: - T , N y B - κ y τ - N , B y T - Las ecuaciones del Plano Rectificante, Osculador y Normal Primero hallaremos : T =
|
f (t) f (t)
|
f (t) = (1, 2t, 2t2 )
|f (t)| =
12 + (2t)2 + (2t2 )2
8
respecto
4(t4 + t2 + 41 )
|f (t)| =
|f (t)| = 2t2 + 1 T =
1 2t 2t2 , , 2t2 + 1 2t2 + 1 2t2 + 1
Reemplazando para t = 1 : 1 2 2 3, 3, 3
T (t) =
Ahora hallaremos la NORMAL: N (t) =
|
T (t) T (t)
|
Derivando: df (x) dg (x)
=
f (x).g (x) f (x).g (x) g(x)2
−
T (t) =
2(2t2 +1) 2t(4t) 4t(2t2 ) (2t2 ).(2t+1) 4t , , 2 (2t2 +1) (2t2 +1)2 (2t2 +1)2
T (t) =
4t 4t2 +2 8t 8t3 4t3 2t2 , 2, 2 (2t +1) (2t2 +1)2 (2t2 +1)2
− − |
|T (t)
=
−
− −
−4t
2
(2t2 +1)2
−
− −
+
4t2 +2 8t (2t2 +1)2
2
+
8t3 +4t 4t4 2t2 (2t2 +1)2
− −
4t2 +2−8t 8t3 +4t−4t4 −2t2 −4t 2 , 2 , 2 (2t2 +1) (2t2 +1) (2t2 +1) 2 2 3 4 2 −4t 4t2 +2−8t + + 8t +4t2−4t 2−2t 2 2 2 2 (2t +1) (2t +1) (2t +1)
N (t) =
2
para t = 1:
¯= N
−
2 1 2 , , 3 3 3
−
B = T
× N
B =
B =
1 2 2 3, 3, 3
2 1 2 3 , 3 ,3
× − − − − i
j
k
1 3 2 3
2 3 1 3
2 3 2 3
9
2
B =
4 2 9 + 9
4 9
2 9
1 9
4 9
− − − −
B = 31 (2 ,
i
j +
+
k
−2, 1)
Ahora hallaremos las ecuaciones de los planos pedidos: PLANO OSCULADOR: P 0 = f (1) = 1, 1, 32
− P 0).B ¯ = 0
(P
(1, 1, 23 ) .
2 2 1 3, 3 , 3
=0
2 2 1 3, 3 , 3
=0
− − − − − − − − − − − − − (x , y , z ) 1, y
x
2 3 (x
1) +
2x 2 3
+
2 3
1, z
2 3 (y
2y +2 3
+
.
1) + 31 (z
3z 2 9
2 3)
=0
=0
(6x
− 6y + 3z − 2) = 0
PLANO NORMAL:
− P 0).T ¯ = 0
(P
− − −
(x , y , z ) 1, y
x
1 3 (x
x 1
3
+
− (1, 1, 23 )
.
1 2 2 3, 3, 3
=0
2 3
.
1 2 2 3, 3, 3
=0
− 1, z
−
1) + 32 (y 2y 2 3
−
+
− 1) + 32 (z − 32 )
6z 4 9
−
=0
=0
(3x + 6y + 6 z
PLANO RECTIFICANTE:
10
− 13) = 0
¯ = 0 − P 0).N
(P
− − − − − − − (x , y , z ) 1, y
x
2 3 (x
(1, 1, 23 ) . 1, z
2 3
1) + −31 (y
2x 2 3
+
y +1
3
2 1 2 3 , 3 ,3
=0
2 1 2 3 , 3 ,3
=0
− − − − −
+
.
− 1) + 32 (z − 32 )
6z 4 9
−
=0
=0
(6x + 3y
− 6z − 5) = 0
Para hallar la curvatura: κ =
|
|
f (t) f (t)
×
|f (t)|
3
f (t) = (1, 2t, 2t2 )
f (t) = (0, 2, 4t)
f (t)
×
i
j k f (t) = 1 2t 2t2 0 2 4t
× f (t) = (4t2, −4t, 2) √ f (t) × f (t) = 16t4 + 16t2 + 4
f (t)
|f (t)| = √ 1 + 4t2 + 4t4 κ =
√ 16t4+16t2 +4 √ 1+4t2 +4t4 3
(
)
κ =
√ 36 6 √ 9 3 = 27
Para la torsion:
τ =
(f (t) f (t))f (t)
|
×
|
f (t) f (t)
×
2
11
τ =
(4, 4, 2)(0, 0, 4) 62
−
=
Hallando N , B y T por las Formulas de Frenet Serrel: T = κ. .N T =
6 27 ,3.
T =
2 3
2 1 2 3 , 3 ,3
N = τ . .B N = N =
2 1 2 3 , 3 ,3
− − − − 2 ( 2, 1, 2) 9
N =
2 (1 , 4, 1) 9
− −
− κ T
2 2 2 1 9 ,3 . 3 , 3 , 3
6 1 2 2 27 ,3. 3 , 3 , 3
− − − − 4 4 2 9, 9 , 9
B =
−τ. .N
B =
− 29 · 3 ·
B =
T =
2 4 4 9, 9, 9
− −
2 1 2 3 , 3 ,3
− − − 4 2 4 9, 9, 9
B =
2 (2 , 1, 2) 9
−
12
4 2 = 18 9
