Formulas de Frenet-Serret
-Definición: Jean Frenet Nacido: 7 de Febrero de 1816 en Périgueux, Francia. Fallecido: 12 de Junio de 1900 en Périgueux, Francia. Jean Frenet ingresó en L’École Normale Superieure en el año 1840, más tarde continuo sus estudios en Toulouse, ciudad en la que redactó su tesis doctoral durante 1847. Un f ragmento de la mencionada tesis alberga la teoría de curvas en el espacio, incluyendo las fórmulas que actualmente son conocidas como ‘fórmulas de Frenet – Serret’. Frenet aportó seis de dichas fórmulas, mientras que Serret proporcionó las nueve restantes. Cabe señalar que Frenet publicó este apartado de su tesis en el ‘Journal de mathématique pures et appliques’, en el año 1852. Frenet llegó a ser profesor en Toulouse y, después, en 1848, ocupó un puesto de docente de matemáticas en Lyon. Además, también fue f ue director del observatorio astronómico, donde, como tal, dirigió las observaciones meteorológicas. El libro de ejercicios sobre cálculo de Frenet, cuya primera edición, que fue publicada en el año 1856, ha tenido siete ediciones, la última de ellas divulgada en 1917.
Joseph Alfred Serret Joseph Alfred Serret (París, Francia, 30 de agosto de 1819 - Versalles, Francia, 2 de marzo de 1885), 1885), más conocido como Joseph Serret, fue un matemático famoso por desarrollar junto a Jean Frenet la teoría de curvas. graduado por la École polytechnique en 1840 y miembro de sus tribunales de admisión desde 1848; en 1861 fue nombrado profesor de Mecánica celeste en el Collège de France y diez años después obtuvo la cátedra de Cálculo Diferencial e integral en la Sorbonne. Joseph formó parte también del Bureau des Longitudes desde 1873. La principal aportación de Serret en el ámbito de las matemáticas se produjo dentro de la geometría diferencial. Junto a Charles Bonnet y Bertrand Russell realizó importantes avances en esa cuestión, elaborando la fórmula Frenet-Serret, fundamental en la teoría de las curvas espaciales.
En 1860 sucedió a Poinsot en la Académie des Sciences de Francia. En 1871, ante el progresivo deterioro de su salud, se retiró a Versailles hasta su fallecimiento en 1885. También trabajó algunos aspectos de la teoría de números, el cálculo y la mecánica. Editó los trabajos de Lagrange —publicados en catorce volúmenes entre 1867 y 1892 — y realizó la quinta edición de Monge en 1850. Una de sus principales obras fue el manual Cours d'Algèbre supérieure, editado en dos tomos.
En cálculo vectorial , las fórmulas de Frenet-Serret describir la cinemática de las propiedades de una partícula que se mueve a lo largo de un continuo, diferenciable curva en tres dimensiones del espacio euclidiano R 3 (o las propiedades geométricas de la curva, independientemente de cualquier movimiento). Más específicamente, las fórmulas de describir la derivados de la tangente llamada, normal y binormal vectores unitarios en términos de otra. Las fórmulas tienen el nombre de los dos matemáticos franceses que los descubrieron de forma independiente:Jean Frédéric Frenet , en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret en 1851. Notación vectorial y álgebra lineal en la actualidad se utiliza para escribir estas fórmulas no estaba todavía en uso en el momento de su descubrimiento. La tangente, normal y binormal vectores de la unidad, a menudo llamado T, N y B, o colectivamente el marco de Frenet-Serret o el marco de TNB se definen como sigue:
T es el vector unitario tangente a la curva, apuntando en la dirección del movimiento.
N es la derivada de T con respecto a los parámetros arclength de la curva, dividida por su
longitud. B es el producto vectorial de T y N.
Las fórmulas de Frenet-Serret se
donde d / ds es la derivada con respecto a arclength, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva. Esta fórmula define efectivamente la curvatura y la torsión de una curva en el espacio.
Una curva en el espacio, los vectores T, N y B, y el plano osculador atravesado por T y N.
Sea r (t) una curva en el espacio euclidiano , lo que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a las curvas que no son degenerados, que a grandes rasgos significa que tienen la curvatura . Más formalmente, en esta situación, la velocidad del vector r '(t) y la aceleración del vector r''(t) están obligados a no ser proporcionales. Sea s (t) representan la longitud del arco que la partícula se ha movido a lo largo de la curva . La cantidad s se utiliza para dar la curva trazada por la trayectoria de la partícula a la parametrización naturales por la longitud del arco, ya que muchos diferentes trayectorias de las partículas puede trazar la curva geométrica mismo atravesando a diferente velocidad. En detalle, s viene dada por
La T y N vectores en dos puntos de una curva plana, una versión traducida del segundo cuadro (de puntos), y el cambio en T: T δ. δs es la distancia entre los puntos. En el límite
estará en la dirección N y la curvatura describe la velocidad de rotación de la imagen .
Por otra parte, ya que hemos supuesto que r '≠ 0, es posible resolver para t como una función de s, y por lo tanto para escribir r (s) = r(t (s)). La curva está parametrizada por lo tanto de una manera preferente por su longitud de arco. Con una curva no degenerada r (s), parametrizada por su arclength, ahora es posible definir el marco de Frenet-Serret (TNB o frame):
La unidad T vector tangente se define como
La unidad de vectores normales N se define como
El vector unitario binormal B se define como el producto vectorial de T y N:
De la ecuación (2) que sigue, ya que T tiene siempre la unidad de magnitud , que el N es siempre perpendicular a T. De la ecuación (3) se deduce que B es siempre perpendicular a T y N. Así, los tres vectores unitarios T, N y B son perpendiculares entre sí. Las fórmulas de Frenet-Serret son los siguientes:
donde
κ
es la curvatura y τ es la torsión .
Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como Frenet-Serret teorema, y se puede afirmar de manera más concisa usando la notación de matriz:
Esta matriz es antisimétrica .
El marco de Frenet-Serret en movimiento a lo largo de una hélice . La T está representado por la flecha azul, Nestá representado por el vector de color rojo, mientras que B está representado por el vector negro.
Las fórmulas de n dimensiones Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizados a mayores espacios de dimensión euclidiana por Camille Jordan en 1874. Supongamos que r (s) es una curva suave en R n, parametrizada por longitud de arco, y que las primeras n derivadas de r son linealmente independientes. [2] Los vectores en el marco de Frenet-Serret es una base ortonormal construida mediante la aplicación de la proceso de Gram-Schmidt a los vectores (r '(s), r''(s), ..., r (n) (s)). En detalle, el vector tangente unitario es el primer vector Frenet e 1 (t) y se define como
El vector normal, a veces llamado el vector de curvatura, indica la desviación de la curva de ser una línea recta. Se define como
Su forma normalizada, el vector unitario normal, es el segundo Frenet vector e 2 (s) y se define como
La tangente y el vector normal en el punto s definir el plano osculador en el punto r (s).
Los vectores que queda en el cuadro (la binormal, trinormal, etc) se definen de manera similar por
El verdadero funciones con valores de χ i (s) se denominan curvatura generalizado y se definen como
Las fórmulas de Frenet-Serret, expresado en un lenguaje de la matriz, se
Prueba:
Considere la matriz
Las filas de esta matriz son perpendiculares entre sí, vectores de la unidad: una base ortonormal de R 3. Como resultado, la incorporación de Q es igual a la inversa de Q: Q es una matriz ortogonal .Basta con demostrar que
Nota de la primera fila de esta ecuación ya tiene, por definición, de la N normal y κ la curvatura. Por lo que basta para demostrar que (d Q / d s) Q T es una matriz
antisimétrica. Desde I = T QQ,teniendo un derivado de la aplicación de los rendimientos y regla del producto
que establece la necesaria asimetría-simetría.
El marco de Frenet-Serret que consiste en la tangente T, N normal, y B binormal conjunto forma una base ortonormal del espacio de 3 dimensiones. En cada punto de la curva, esto otorga un marco de referencia o rectilíneo sistema de coordenadas (ver imagen). Las fórmulas de Frenet-Serret admitir una cinemática interpretación. Imaginemos que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, utilizando el marco adjunto en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas de Frenet-Serret decir que este sistema de coordenadas está rotando constantemente como un observador se mueve a lo largo de la curva. Por lo tanto, este sistema de coordenadas es siempre no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector de Darboux de la trama. En concreto, supongamos que el observador lleva un (inercial) superior (o giroscopio ) con ella misma a lo largo de la curva. Si el eje de los puntos principales a lo largo de la tangente a la curva, entonces se podrá observar a girar sobre su eje con velocidad angular- τ en relación con el sistema de coordenadas del observador no inercial. Si, por otro lado, el eje de los puntos principales en la dirección binormal, a continuación, se observa a girar con velocidad angular- κ. Esto se ve fácilmente en el caso cuando la curvatura es una constante positiva y desaparece la torsión. El observador se encuentra entonces en un movimiento circular uniforme . Si los puntos principales en la dirección de la binormal, y luego por la conservación del momento angular debe girar en la dirección opuesta del movimiento circular. En el caso límite cuando la curvatura se desvanece, normal del observador precesión sobre el vector tangente, y del mismo modo la parte superior se gira en sentido contrario de esta precesión. Las aplicaciones. La cinemática de la trama tienen muchas aplicaciones en las ciencias.
En la ciencias de la vida , sobre todo en los modelos de movimiento microbiana, las consideraciones del marco de Frenet-Serret se han utilizado para explicar el mecanismo por el cual un organismo se mueve en un medio viscoso cambia su dirección. En física, el marco de Frenet-Serret es útil cuando es imposible o inconveniente para asignar un sistema de coordenadas naturales para una trayectoria. Tal suele ser el caso, por ejemplo, en la teoría de la relatividad . Dentro de este marco,
Frenet-Serret cuadros se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitatorio.
El marco de Frenet-Serret en movimiento a lo largo de una espiral en el espacio
Un alto cuyo eje está situado en la binormal se observa a girar con velocidad angular κ. Si el eje se encuentra a lo largo de la tangente, se observa a girar con velocidad angular τ.
Ejemplo de una base de Frenet en movimiento (T en azul, en verde N, B, de color morado)
Frenet-Serret fórmulas de cálculo Las fórmulas de Frenet-Serret menudo se introducen en los cursos de cálculo multivariable como compañero al estudio de curvas en el espacio, como la hélice . Una hélice se caracteriza por la altura h y radio R de una sola vuelta. La curvatura y la torsión de una hélice (con un radio constante) están dadas por las fórmulas
Dos hélices (slinkies) en el espacio. (A) Una hélice más compacto con una mayor curvatura y menor torsión. (B) Un extendido hélice con una torsión ligeramente superior, pero menor curvatura.
El signo de la torsión está determinada por los diestros o zurdos sentido en el que la hélice gira alrededor de su eje central. Explícitamente, la parametrización de una sola vuelta de una hélice diestra con una altura h 2π y radio r es x = r cos t y = r sen t z = h t (0 ≤ t ≤ 2 π)
y, por una hélice zurda, x = r cos t y = - r sen t z = h t (0 ≤ t ≤ 2 π).
Tenga en cuenta que estas no son las parametrizaciones de longitud de arco (en cuyo caso, cada una de x, y, z tendría que ser dividido por
.)
En sus escritos expositivos de la geometría de las curvas, Rudy Rucker [6] emplea el modelo de un furtivo para explicar el significado de la torsión y la curvatura. El Slinky, dice, se caracteriza por la propiedad de que la cantidad A
2
=h
2
+ r
2
se mantiene constante si el furtivo es alargada verticalmente a lo largo de su eje central. (Aquí 2π h es la altura de un solo giro de la Slinky, yr el radio.) En curvatura particular, y la torsión son complementarios en el sentido de que la torsión se puede aumentar a expensas de la curvatura por estirar el furtivo.
expansión de Taylor En repetidas ocasiones la diferenciación de la curva y la aplicación de las fórmulas de Frenet-Serret dicta la siguiente aproximación de Taylor a la curva cerca de s = 0: [7]
Para una curva genérica de torsión no nula, la proyección de la curva en planos de coordenadas diferentes en la T, N, B sistema de coordenadas en s = 0 tiene las siguientes interpretaciones: El plano osculador es el plano que contiene T y N. La proyección de la curva en este plano tiene la forma:
Esta es una parábola hasta los términos de orden o (s 2), cuya curvatura a 0 es igual a κ (0).
El plano normal es el plano que contiene N y B. La proyección de la curva en este plano tiene la forma:
que es un cúbicos cuspidales al orden o (s 3).
El avión de la rectificación es el plano que contiene a T y B. La proyección de la curva en este plano es el siguiente:
que traza la gráfica de una polinomio de tercer grado de orden O (s 3).
Las cintas y tubos El aparato de Frenet-Serret permite definir ciertas cintas y tubos óptima en torno a una curva. Estas tienen diversas aplicaciones en la ciencia de materiales y teoría de la elasticidad , [8] , así como agráficos por ordenador . [9] Una cinta Frenet [10] a lo largo de una curva C es la superficie de trazado, barriendo el segmento de línea [- N, N] generados por la unidad de lo normal a lo largo de la curva. Geométricamente, una cinta es una pieza de la envolvente de los planos osculador de la curva. Simbólicamente, la R de la cinta tiene la parametrización siguiente:
En particular, el B binormal es un vector unitario normal a la cinta. Por otra parte, la cinta es una superficie reglada cuya reguli son los segmentos de línea se extendió por N. Así, cada uno de los vectores marco T, N y B se pueden visualizar en su totalidad en términos de la cinta de Frenet. [11] La curvatura de Gauss de una cinta de Frenet se desvanece, y lo que es una superficie desarrollable . Geométricamente, es posible para "rodar" un avión a lo largo de la cinta sin deslizarse o girar para que el régulo siempre se mantiene dentro del avión. [12] La cinta se traza una cinta en el plano (posiblemente con varias hojas). La curva C también se traza una curva C en el plano P, cuya curvatura se da en términos de la curvatura y la torsión de C por
Este hecho da un procedimiento general para la construcción de toda la cinta Frenet. [13] Intuitivamente, se puede cortar una cinta curva de una hoja plana de papel. A continuación, doblando la cinta en el espacio sin romperlo, uno produce una cinta de Frenet. [14] En el caso simple de la Slinky, la cinta es varias vueltas de un anillo en el plano, y doblar hacia arriba en el espacio corresponde al estiramiento el furtivo.
La congruencia de las curvas En clásica geometría euclidiana , lo que interesa es estudiar las propiedades de figuras en el plano que son invariantes bajo la congruencia, de modo que si dos figuras son congruentes, entonces deben tener las mismas propiedades. El aparato de Frenet-Serret presenta la curvatura y la torsión como invariantes numéricos de una curva en el espacio. En términos generales, dos curvas C y C 'en el espacio son congruentes si se puede ser rígido se trasladó a la otra. Un movimiento rígido consiste en una combinación de una traslación y una rotación. La traducción se mueve de un punto de C a un punto de C '. La rotación a continuación, ajusta la orientación de la curva C a la línea con el de C '. Esta combinación de traslación y rotación se llama un movimiento euclidiana . En cuanto a la parametrización r (t) la definición de la primera curva C, un movimiento general Euclides de C es un compuesto de las siguientes operaciones:
(Traducción). R (t) → r (t) + v, donde v es un vector constante. (Rotación). R (t) + v → M (r (t) + v), donde M es la matriz de una rotación.
El marco de Frenet-Serret es particularmente un buen comportamiento con respecto a las mociones de Euclides. En primer lugar, ya que T, N y B pueden ser dados como derivadas sucesivas de la parametrización de la curva, cada uno de ellos es insensible a la adición de un vector constante r (t). Intuitivamente, el marco TNB conectado a r (t) es el mismo que el marco TNB unido a la nueva curva r (t) + v. Esto deja sólo las rotaciones a considerar. Intuitivamente, si se aplica una rotación M de la curva, entonces el marco TNB también gira. Más precisamente, el Q matriz cuyas filas son los vectores de los cambios TNB marco de Frenet-Serret por la matriz de una rotación
A fortiori, la matriz (d Q / d s) Q T no se ve afectada por una rotación:
ya que MM T = I, en la matriz de una rotación. Por lo tanto, las entradas de κ y τ de (d Q / d s) Q T son invariantes bajo de la curva de movimientos euclidianos: si un movimiento de Euclides se aplica a una curva, la curva resultante tiene la misma curvatura y la torsión.
Además, utilizando el marco de Frenet-Serret, también se puede demostrar lo contrario: cualquiera de las dos curvas tienen la misma curvatura y la torsión de las funciones debe ser congruente con un movimiento de Euclides. En términos generales, las fórmulas de Frenet-Serret expresar la derivada Darboux del marco de TNB. Si los derivados de Darboux de dos cuadros son iguales, una versión del teorema fundamental del cálculo afirma que las curvas son congruentes. En particular, la curvatura y la torsión son un conjunto completo de invariantes para una curva en tres dimensiones.
